Soluções dos Exercícios de Avaliação do livro Norman S Nise _ Passei Direto

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Impresso por Vanilce Maria Rodrigues de Oliveira, CPF 067.230.936-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por
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1
CAPÍTULO 2
2.1
Utilizando o Item 3 da Tabela 2.1, a transformada de Laplace de é . Utilizando o Item 4 da Tabela 2.2, t
2.2 
A expansão de ( ) em frações parciais fornece:F s
em que
e
Realizando a transformada de Laplace inversa, obtém-se
2.3
Realizando a transformada de Laplace da equação diferencial admitindo condições iniciais nulas, obtém-se
Grupando-se os termos, obtém-se
Assim,
2.4
Realizando o produto cruzado, obtém-se
2.5
Solução dos Exercícios
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2 Solução dos Exercícios
em que
e
Assim,
2.6
Análise das Malhas
A transformação do circuito fornece
A equação das malhas pode, agora, ser escrita como
Resolvendo as equações das malhas para ( ), obtém-seI2 s
Porém, ( ) = ( ).VL s sI2 s
Assim,
ou
Análise Nodal
Escrevendo as equações nodais,
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3Solução dos Exercícios
Resolvendo para ( ), obtém-seVL s
ou
2.7
Com o amplificador operacional inversor
.
Sem o amplificador operacional inversor
2.8
As equações de movimento podem ser escritas como
Resolvendo para ( ), resulta emX2 s
Assim,
2.9
As equações de movimento podem ser escritas como
em que u1(s) é o deslocamento angular da inércia.
Resolvendo para u2(s), obtém-se
Daí, após simplificações, obtém-se
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4 Solução dos Exercícios
2.10
Transformando o sistema para um sem as engrenagens de transmissão, transferindo a mola de 4 N • m/rad para 
a esquerda e multiplicando sua rigidez por (25/50) , obtém-se2
1 N m s/rad• •
1 N m m/rad• •
As equações de movimento podem ser escritas como
em que u1(s) é o deslocamento angular da inércia de 1 kg.
Resolvendo para ua(s), obtém-se
Daí, obtém-se
Porém, 
Assim,
2.11
Inicialmente, são determinados os parâmetros mecânicos
São obtidos agora os parâmetros elétricos. Pela equação da relação torque-velocidade, impõe-se vm = 0 para 
determinar o torque de bloqueio e faz-se = 0 para obter a velocidade do sistema sem carga. Assim,Tm
bloc
vazio
Portanto,
bloc
vazio
Substituindo todos os valores na função de transferência do motor,
em que um(s) é o deslocamento angular da armadura.
Ocorre que Assim,
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5Solução dos Exercícios
2.12
Fazendo
nas Eqs. 2.127, obtém-se
Com base nessas equações, podem-se desenhar os circuitos análogos em série e em paralelo considerando estas 
como as equações das malhas e dos nós, respectivamente.
Análogo em série 
 
Análogo em paralelo 
2.13
Escrevendo a equação nodal, obtém-se
Porém,
s 
s
Substituindo essas relações na equação diferencial, obtém-se
 s s (1)
Lineariza-se, agora, o termo ev.
A forma geral é
s
s
A substituição na função, ( ) = f v ev, de por v vs + dv, fornece
s s
s 
Resolvendo para evs + dv, obtém-se
s 
s s s s 
Substituindo na Eq. (1), obtém-se
 s s (2)
Fazendo i t( ) = 0 e levando o circuito a atingir o regime estacionário, o capacitor atuará como um circuito aberto. 
Assim, = com = 2. Porém, = vs vr ir ir evr ou vr = lnir.
Portanto, = ln 2 = 0,693. A substituição desse valor de na Eq. (2) fornecevs vs
Aplicando a transformada de Laplace, obtém-se
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6 Solução dos Exercícios
Resolvendo para a função de transferência, obtém-se
ou
 em torno do equilíbrio.
CAPÍTULO 3
3.1
A identificação apropriada das variáveis do circuito fornece
s
Escrevendo as relações de derivadas, obtêm-se
 (1)
Utilizando as leis de Kirchhoff das correntes e das tensões,
e
A substituição dessas relações nas Eqs. (1) e simplificando-se fornece as equações de estado na forma
e
e
e
em que a equação de saída é
s
Arrumando as equações na forma vetorial-matricial, obtêm-se
e
3.2
Escrevendo as equações de movimento, obtêm-se
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7Solução dos Exercícios
Calculando a transformada de Laplace inversa e simplificando, obtêm-se
As variáveis de estado, , são definidas comozi
As equações de estado podem ser escritas utilizando a definição das variáveis de estado e a transformada inver-
sa da equação diferencial, isto é,
A saída é . Assim, = . Na forma vetorial,z5 y z5
3.3
Inicialmente, as equações de estado são deduzidas para a função de transferência sem zeros.
Realizando o produto cruzado, obtém-se
Calculando a transformada de Laplace inversa, admitindo condições iniciais nulas, obtêm-se
Definindo as variáveis de estado como
obtêm-se
Utilizando os zeros da função de transferência, obtém-se a equação de saída como 
Arrumando todas as equações na forma vetorial-matricial, obtêm-se
3.4
A equação de estado é convertida em uma função de transferência utilizando
 (1)
em que
e
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8 Solução dos Exercícios
Calculando ( – ), obtém-sesI A
,
Calculando a inversa, obtém-se
,
A substituição de todas as expressões na Eq. (1) fornece
3.5
Escrevendo a equação diferencial, obtém-se
 (1)
Fazendo = + x xo dx e substituindo na Eq. (1), obtém-se
 (2)
Lineariza-se agora .x2
a partir daí, pode-se escrever
 (3)
A substituição da Eq. (3) na Eq. (1) e realizando as derivadas indicadas fornece a equação diferencial lineari-
zada intermediária,
 (4)
A força da mola na condição de equilíbrio é 10 N. Assim, como = 2 , 10 = 2F x2 x2o; logo,
Substituindo esse valor de na Eq. (4) é obtida a equação diferencial linearizada final.xo
Selecionando as variáveis de estado,
As equações de estado e de saída podem ser escritas como
A conversão para a forma vetorial-matricial fornece o resultado final como
CAPÍTULO 4
4.1
Para uma entrada em degrau
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9Solução dos Exercícios
Calculando a transformada de Laplace inversa, obtém-se
4.2
Como e
4.3
a. Como os polos estão em –6 19,08, ( ) = +  j c t A Be–6tcos(19,08 + t f).
b. Como os polos estão em –78,54 e –11,46, ( ) = + c t A Be–78,54t + .Ce–11,4t
c. Como os polos são repetidos e localizados sobre o eixo real em –15, ( ) = + c t A Be–15t + .Cte–15t
d. Como os polos estão em 25, ( ) = + cos(25 +j c t A B t f).
4.4
a. 20 e 2zvn = 12; logo, z = 0,3 e o sistema é subamortecido.
b. 30 e 2zvn = 90; logo, z = 1,5 e o sistema é superamortecido.
c. 15 e 2zvn = 30; logo, z = 1 e o sistema é criticamente amortecido.
d. 25 e 2zvn = 0; logo, z = 0 e o sistema é sem amortecimento.
4.5
,logo,e
Portanto, , s e ,
Com base na Figura 4.16, vnTr = 1,4998. Portanto, Tr = 0,079 s.
Finalmente, ,UP .
4.6
a. A aproximação de segunda ordem é válida, uma vez que os polos dominantes possuem uma parte real de 
–2 e o polo de ordem superior está posicionado em –15, isto é, mais de cinco vezes mais afastado.
b. A aproximação de segunda ordem não é válida, uma vez que os polos dominantes possuem uma parte 
real de –1 e o polo de ordem superior está posicionado em –4, isto é, um afastamento inferior a cinco 
vezes.
4.7
a. Expandindo ( ) em frações parciais, obtém-se G s
, , ,
,
 Porém, –0,3023 não 
é uma ordem de grandeza inferior aos resíduos dos termos de segunda ordem (termos 2 e 3). Portanto, a 
aproximação de segunda ordem não é válida.
b. Expandindo ) em frações parciais, obtém-se G s(
, , ,
,
 Porém, 0,0704 é uma 
ordem de grandeza inferior aos resíduos dos termos de segunda ordem (termos 2 e 3). Portanto, a aproximação 
de segunda ordem é válida.
4.8
Veja a Figura 4.31 do texto em que são mostrados o diagrama de blocos em Simulink e as respostas das 
saídas.
4.9
a. Como , E, também, 
 O vetor de estado é . A saí-
da é 
, ,
 O cálculo da transformada de 
Laplace inversa fornece ( ) = –0,5y t e–t – 12 + 17,5 .e–2t e–3t
b. Os autovalores são obtidos calculando-se as raízes de , ou seja, –2 e –3.