MA11 - Exercícios Resolvidos - 53 62

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A Matemática do Ensino Médio Diego Oliveira - Vitória da Conquista / BA
Solução :7
(a) As parcelas a deduzir são 0, 1320, 3207 60 e 17468 10., ,
(b) 0, 26 · 5000 = 1300.
(c) Não, porque a função que descreve a renda ĺıquida (renda menos o imposto) em termos
da renda é uma função crescente.
(d) Em cada faixa de renda, devemos ter ax − p = b(x− q) = bx − bq , para todo x. Ou seja,
b b= a e p = bq . Assim, = 0% e q é arbitrário para a faixa 1, b = 15% e q = 8800 para a faixa
2, b = 26% e = 12 = 35% e = 49908q .336, 92 para a faixa 3 e b q , 86 para a faixa 4.
(e) Inicialmente, vamos calcular o IR nos pontos de mudança de faixa:
Renda IR
8800 0
17160 1254,24
158450 37983,40
Logo, um IR igual a R$ 20 000,00 é pago na faixa de tributação de 17.160 a 158,450. A renda
corresp ondente satisfaz 0, 26 3207x− , 60 = 20.000, ou seja, ela é igual a R$ 89.260 00.,
28. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços:
Numero de cópias Preço por cópia
de 1 a 19 R$ 0.1
de 20 a 49 R$ 0.08
50 ou mais R$ 0.06
Esboce o gráfico da função que associa a cada natural n o custo de n cópias de um mesmo
original.
Solução:
f(x) = 



0.1 [0 900]x para x ∈ ,
0 08 (900 1800]. x para x ∈ ,
0.06 (1800 )x para x ∈ ,∞
29. Discuta o número de soluções da equação que ocorre em função dos|x − 2| = ax + b
parâmetros .a e b
Solução:
|x− 2| = =ax + b

x− 2 = ax + b⇒ (a− 1)x+ ( + 2)b
2− x = ax + b⇒ (a+ 1) + ( 2)x b−
7Resolvida por Humberto José Bortolossi. Dispońıvel em:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2011.1/gma00116/listas/gma00116-lista-12.pdf
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Repare que em cada caso temos apenas uma única possibilidade de solução. Assim a equação
têm duas soluções posśıveis, a saber: − b+ 2
a− 1 e −
b− 2
a+ 1 
.
30. Chama-se de função rampa a uma função poligonal , cujo gráfico é de umaf : [a, b]→ R
das formas abaixo:
Isto é, f tem dois patamares [ ] e [ ], onde assume, respectivamente, os valores 0 e D,a, c d, b
ligados por uma rampa.
a) Mostre que toda função rampa pode ser escrita na forma
f(x) =
α
2
[( ]d− c c d) + |x− |+ |x− | ,
para to do x ∈ [a, b], onde
α =
D
d− c
é a inclinação da rampa.
b) Mostre que toda função poligonal definida em um intervalo [ ] pode ser expressa comoa, b
uma soma de uma função constante (que pode ser vista como uma função rampa de inclinação
zero) com um número finito de funções rampa. Escreva nesta forma a função poligonal cujo
gráfico é dado abaixo.
1 2 3
4
-1
-1
x
y
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c) Conclua que toda função poligonal definida em um intervalo [a,b] pode ser escrita na forma
f(x) = A+ α xα α a α α ,1| 1|+ 2|x− 2|+ · · ·+ 11 |x− n|
para to do x ∈ [ ]a, b , onde α1, α2, ..., αn são as abscisas dos vértices da poligonal. Escreva
nesta forma a função poligonal cujo gráfico é dado acima.
31. Dadas as progressões aritméticas
(a1, a , ...2, ..., an ) e ( )b1, b , ...2, ..., bn
mostre que existe uma, e somente uma, função afim f : R→ R tal que f(a1) = b2, ..., f (an) =
bn, ...
Solução:
Suponha por absurdo que exista uma função afim g 6= f tal que g(a1) = ) = b2, ..., g(an bn, ...
Sendo assim:
g(a1) = f(a1)
g(a2) = f(a2)
g(a3) = f(a3)
...
Sendo g( ( então:a1) = a a1) + ) + b e f = a
0(a1 b
0
g(a a1) = f(a1)⇒ 1 =
b0 − b
a− a0
g(a a2) = f(a2)⇒ 2 =
b0 − b
a− a0
g(a a3) = f(a3)⇒ 3 =
b0 − b
a− a0
...
O que implica em um absurdo, pois se todos os termos da sequência ( ) são iguaisa1, a , a , ...2 3
a mesma não pode ser uma progressão aritmética.
32. A e B são duas locadoras de automóvel. A cobra 1 real por quilômetro rodado mais uma
taxa fixa de 100 reais. B cobra 80 centavos por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de 200
reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou d B sobre A em função do numero de quilômetros a
serem ro dados.
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Solução:
Vamos determinar quando A é mais vantajoso que B.
1x+ 100 200 + 0< .8x
0.2x < 100 500⇒ x < 
Assim até 500 quilômetros a empresa A é mais vantajosa que a B.
Agora determinemos quando B é mais vantajoso que A.
1x+ 100 200 + 0> .8x
0.2x > 100 500⇒ x > 
Assim acima de 500 quilômetros a empresa B é mais vantajosa que a A.
33. Defina uma função f : R → R p ondo f(x) = 2x se x é racional e f(x) = 3x se x é
irracional. Mostre que se tem não linear.f(nx) = nf (x) para to do n ∈ Z e to do x ∈ R mas f
Solução:
34. Prove que a função f : R→ R, definida p or f(x) = 3x+sen(2π x), é crescente e, para todo
x ∈ R fixado, transforma a progressão aritmética numa progressão geométrica.x, x+ 1 + 2, x , ...
Entretanto, f não é afim. Por que isto não contradiz o fato provado no final da seção 4 (pág.
102)?
Solução :8
Para to do x ∈ R, como sen[2 + 1)] = sen(2 ), segue-se que x(x π x f(x+ 1) −f(x) = 7, portanto
a sequência f( )x , f (x+ 1), ..., f ( )x+n , ... é uma progressão aritmética de razão 7. A maneira de
f e f
0
(x) = 7 + 2π · cos cos(π x). Como [2π · (π x) ≤ 2π < 7, têm-se f 0(x) > 0 para todo x, logo f
é crescente.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correção.
Para encontrar esse e outros exerćıcios resolvidos de matemática acesse: www.number.890m.com
8Solução retirada da página da UFPR. Dispońıvel em: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
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A Matemática do Ensino Médio Diego Oliveira - Vitória da Conquista / BA
A MATEM ́ATICA DO ENSINO MÉDIO
A matemática do Ensino médio (volume 1)
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Eduardo Wagner.
Augusto César Morgado.
Resolvido por: Diego Oliveira
6 Funções Quadráticas
1. Encontre a função quadrática cujo gráfico é dado em cada figura abaixo:
2 2
8
(1.9)(5,13)
(3,5)
Solução 1a:
Usando a forma canônica:
f(x) = a( 3)x− 2 + 5
como f(5) = 13 então:
a(5 − 3)2 + 5 = 13
Que implica em a = 2. Assim a função quadrática será
f(x) = 2(x− 3)2 + 5.
Solução 1b:
Explorando a simetria da parábola a coordenada “x” do vértice estará a 2 unidades da reta
y = 2 e y = −2.
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|2|+ | − |2
2
= 2uc
Logo a coordenada “x” do vértice está em 0.
Usando a forma canônica.
f(x) = a(x− 0)2 + y1
= ax2 + y1
Assim sabemos que a função é da forma com isso montamos o sistema.f(x) = ax2 + y1

3 = a y(−2)2 + 1
9 = a(1)2 + y1
⇒ a = −2; y = 11
Assim a equação do gráfico será: f(x) = −2x2 + 11.
2. Identifique os sinais de a, b e c nos gráficosde funções quadráticas f(x) = ax2 + bx + c
dados abaixo.
GR ́AFICO UM
O
GR ́AFICO DOIS
O
GR ́AFICO TR ̂ES
O
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Solução:
1◦ gráfico: a < 0, b > 0, 0.c > 
2◦ gráfico: a > 0, b > 0, 0.c < 
3◦ gráfico: a > 0, b < 0, 0.c > 
3. Escreva cada uma da funções quadráticas abaixo na forma . A seguir,f( ( )x) = a x− b 2 + c
calcule suas ráızes (se existirem), o eixo de simetria de seu gráfico e seu valor mı́nimo ou máximo.
a) f(x) = x2 − 8x+ 23
b) f(x) = 8x− 2x2
Solução 3a:
Encontrando o vértice da função:
− b
2a
= −
(−8)
2(1) 
= 4
f(4) = 42 − 8(4) + 23 = 7
Logo o vértice ocorre em (4,7). Assim a forma canônica da função é:
f(x) = 1(x− 4)2 + 7
Como o ponto (4,7) ocorre acima do eixo x e a parábola é voltada para cima, então a função
não têm raiz. O eixo de simetria é a reta x = 4 e o ponto de minimo é 7.
Solução 3b:
As ráızes da equação ocorrem para x = 0 e x = 4.
f(x) = 8x− 2x2
x(8 − 2x)
O vértice da função ocorre em (2, 8).
− b
2a
= −
8
2(−2) = 2
f(2) = 2(8 2(2)) = 8−
Logo a forma canônica da função é: + 8. Como a parábola é voltada paraf( 2( 2)x) = − x− 2
baixo então: o eixo de simetria é a reta x = 2 e o valor de máximo é 8.
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4. Observe os gráficos abaixo, que representam as parábolas para diversos valoresy = ax2
de a. Estas parábolas são semelhantes entre si?
O
3
1/3
1
a=3 a=1
a=1/3
y = ax2
Solução:
Dada uma função então toda função são semelhantes entrey = ax2 y0 = (k a)x2 com k ∈ R
si e a . Logo todas as funções do problema são semelhantes.y = ax2
5. Encontre a unidade que deve ser usada nos eixos cartesianos de modo que a parábola
abaixo seja o gráfico da função f(x) = 2 .x2
O
Solução:
No gráfico traçamos a função g(x) = x.
(0,0)
P
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Os pontos de intercessão irá ocorrer em (0,0) e (0.5, 0.5).
g(x x) = f( )
x = 2x2
2x2 − x = 0
x(2x− 1) = 0 ⇒ x = 0 ex = 0.5
Onde f(0) = 0 e f(0.5) = 0.5
Duplicando a coordenada x de (0.5, 0.5) encontramos a unidade.
6. Encontre os valores mı́nimos e máximo assumidos pela função + 3 em cadaf( 4x) = x2− x
um dos intervalos abaixo:
a) [1 4],
b) [6 10],
Solução
A função têm concavidade para cima e vértice em (2,-1). Assim no intervalo [1 4] terá um,
ḿınimo em x = 2 e máximo em x = 4.
Já no intervalo [6, 10] o ḿınio será em x = 6 e máximo em x = 10.
7. Seja f(x) = , com a 0.ax2 + bx + c >
a) Mostre que f

x1 + x2
2

<
f(x x1) + f( 2)
2
.
b) Mais geralmente mostre que se 0 < a < 1, então f(αx1 + (1 ) +−α)x2) < αf (x1
(1 − α)f(x2). Interprete geometricamente esta propriedade.
Solução 7a:
f

x1 + x2
2

= a

x1 + x2
2
2
+ b

x1 + x2
2

+ c (1)
f f(x1) + (x2)
2
= a
(x21 + x
2
2)
2 + b(x1 + x2) + 2c
2
(2)
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comparando (1) e (2):
a

x1 + x2
2
2
+ b

x1 + x2
2

+ c 
a(x21 + x
2
2)
2 + b(x1 + x2) + 2c
2
a(x x1 + 2)
2 + b(x x1 + 2) + 2c
2

a(x21 + x
2
2)
2 + b(x1 + x2) + 2c
2
a(x x1 + 2)
2 +
b(x x1 + 2) + 2c
2
 
a(x21 + x
2
2)
2 +
b(x x1 + 2) + 2c
2
(x1 + x2) (
2  x21 + x
2
2)
2
Concluindo que:
(x1 + x2) (
2 < x21 + x
2
2)
2
Solução 7b:
Provemos inicialmente que se x1 6= x2 e 0 < α < 1 então:
[ ]αx1 + (1 − α)x2 2 < αx21 + (1 − α)x22
Prova:
[ ]αx1 + (1 − α)x2 2 −

αx21 + (1 − α)x22

< 0
(α− α)2x21 − 2α(1 − α)x1x2 + (α− α2)x22
⇒ α(1 − α)[x1 − x x2]2 > 0 se 1 6= x2 e 0 < α < 1 C.q.d.
Finalmente voltamos ao problema principal.
f(αx b αx c1 + (1 − α)x2) = a αx( 1 + (1 − α)x2)2 + ( 1 + (1 − α)x2) + 
<a αx( 21 + (1 − α)x22) +b(αx1 + (1 − α)x2) + c
Usando o resultado da primeira demonstração:
= αax21 + αbx1 + αc + (1 − α)x22 + (1 − α)bx2 + (1 − α)c
= αf ( ) (x1) + (1 − α f x2)
Como se queria demonstrar.
8. Prove que se a, b e c são inteiros impares, as ráızes de não são racionais.y = ax2 + bx + c
Solução:
Imagine por absurdo que exista uma raiz racional em sua forma irredut́ıvel. Não podep/q 
o correr de p eq serem ambos pares pois, neste caso não estaria em sua forma irredut́ıvel.p/q 
Logo segue três possibilidades:
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