AP1 - ED - 2020.1 (Gabarito)

Prévia do material em texto

Primeira Avaliação Presencial de Equações Diferenciais e Equações Diferenciais Ordinárias 23/04/2020 
Código da disciplina: Matemática/Física EAD 01028 Engenharia de produção EAD 01075 
Nome: _____________________________________ Matrícula: ______________ Polo: ____________ 
Atenção! 
• Preencha cada folha de resposta com NOME, 
MATRÍCULA, POLO E NUMERE. 
• Escreva o total de folhas utilizadas. 
• Todas as respostas devem apresentar TODOS 
os cálculos. 
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou 
preta. 
• Todas as respostas devem ser MANUSCRITAS. Questões 
digitalizadas receberam zero. 
• Todos os arquivos devem estar em formato PDF. 
______________________________________________________________________________________ 
Questão 1 (2,0 pontos) 
Resolver a equação de primeira ordem: (1 + 𝑥2)y′ = x𝑦 + 𝑥2𝑦2 
Solução 
Multiplicando a equação por 
1
1+𝑥2
 temos a equação de Bernoulli seguinte; 
𝑦′ −
𝑥
1 + 𝑥2
𝑦 =
𝑥2
1 + 𝑥2
𝑦2 
Que é uma equação de Bernoulli da forma 
𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦𝑛 
Onde 𝑝(𝑥) = −
𝑥
1+𝑥2
 , 𝑞(𝑥) =
𝑥2
1+𝑥2
 e 𝑛 = 2. 
Fazendo a mudança 𝑧 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦−1 a equação se transforma em uma equação linear 
de primeira ordem da forma 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ (1 − 𝑛)𝑝(𝑥)𝑧 = (1 − 𝑛)𝑞(𝑥) 
Assim tem-se 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+
𝑥
1 + 𝑥2
𝑧 = − 
𝑥2
1 + 𝑥2
 
𝑒
∫
𝑥
1+𝑥2 = 𝑒
1
2
ln(1+𝑥2) = (𝑒ln(1+𝑥
2))
1
2 = √1 + 𝑥2 
𝑒
− ∫
𝑥
1+𝑥2 =
1
√1 + 𝑥2
 
Logo 
𝑧(𝑥) =
1
√1 + 𝑥2
[∫
−𝑥2
1 + 𝑥2
√1 + 𝑥2 + 𝐶] 
=
1
√1 + 𝑥2
(∫
−𝑥2
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + 𝐶) 
De onde a solução é 
1
𝑦
=
1
√1 + 𝑥2
(−
𝑥
2
√1 + 𝑥2 +
1
2
𝑙𝑛 (𝑥 + √1 + 𝑥2) + 𝐶) 
Questão 2 (2,0 pontos) 
Considere a equação: (2𝑥2𝑦 + 2𝑦 + 5)𝑑𝑥 + (2𝑥3 + 2𝑥)𝑑𝑦 = 0 
a) verifique que a equação não é exata e ache um fator integrante (1,0 pontos) 
b) Resolva a equação (1,0 pontos) 
Solução 
a) 𝑀 = 2𝑥2𝑦 + 2𝑦 + 5 , 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2𝑥2 + 2 
𝑁 = 2𝑥3 + 2𝑥 , 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 6𝑥2 + 2 
Como 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 logo a equação não é exata. Analisamos 
I) 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
− 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑁
=
1
2𝑥3+2𝑥
(2𝑥2 + 2 − 6𝑥2 − 2) =
− 4𝑥2
2𝑥3+2𝑥
=
−2𝑥
𝑥2+1
 
II) 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
− 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑀
=
1
2𝑥2𝑦+2𝑦+5
(6𝑥2 + 2 − 2𝑥2 − 2) =
− 4𝑥2
2𝑥2𝑦+2𝑦+5
 
Estamos no caso I pois 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
− 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑁
=
−2𝑥
𝑥2+1
 é uma função só de 𝑥 
Assim 
𝜇(𝑥) = ∫
−2𝑥
𝑥2 + 1
= 𝑒− ln(𝑥
2+1) = 
1
𝑥2 + 1
 
É um fator integrante 
b) Logo 
1
𝑥2 + 1
(2𝑥2𝑦 + 2𝑦 + 5)𝑑𝑥 +
1
𝑥2 + 1
(2𝑥3 + 2𝑥)𝑑𝑦 = 0 
É exata, assim simplificando a equação tem-se 
 (2y +
5
𝑥2 + 1
) dx + 2xdy = 0 
Como a equação é exata logo ∃ ∅ função potencial tal que 
𝜕∅
𝜕𝑥
= 2𝑥 +
5
𝑥2 + 1
 → ∅ = ∫ 2𝑦 +
5
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = 2𝑦𝑥 + 5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐(𝑦) 
Também 
𝜕∅
𝜕𝑦
= 2𝑥 e derivando em y a expressão acima tem-se 
𝜕∅
𝜕𝑦
= 2𝑥 + 𝑐′(𝑦) 
Logo 𝑐′(𝑦) = 0 de onde 𝑐(𝑦) = 𝑐1 assim, 
∅(𝑥, 𝑦) = 2𝑦𝑥 + 5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐1 
Logo a solução é 
2𝑦𝑥 + 5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑐 
Questão 3 (2,0 pontos) 
Considere a família de parábolas 𝑦 = 𝑐𝑥2 
a) Determine a equação diferencial da família de parábolas. (1,0 ponto) 
b) Determine as trajetórias ortogonais destas famílias de parábolas. (1,0 pontos) 
Solução 
a) Como 𝑦 = 𝑐𝑥2 logo 
𝑦
𝑥2
= 𝑐, derivando esta expressão tem-se (
𝑦
𝑥2
)
′
= 0, de onde 
usando a fórmula da derivada de um quociente, obtemos 
𝑦′. 𝑥2 − 2𝑥 . 𝑦 
𝑥4
= 0 
assim, 
− 𝑦′ . 𝑥² + 2𝑥𝑦 = 0 
b) Substituindo 𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 por −
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 tem-se 
− (−
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) 𝑥² + 2𝑥𝑦 = 0 → 𝑥²𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 
dividindo a última equação por x tem-se 
𝑥𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦 = 0 
 integrando tem-se 
𝑥²
2
+ 𝑦² = 𝑐 
Questão 4 (2,0 pontos) 
Considere a seguinte equação diferencial: (𝑥² + 𝑦𝑛)𝑑𝑥 + (𝑥² − 𝑥𝑦𝑚)𝑑𝑦 = 0 
a) Determine o valor de n e m para que a equação seja homogênea (1,0 ponto) 
b) Resolver a equação (1,0 ponto) 
Solução 
a) Como 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦𝑛 e 𝑵(𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 𝑥𝑦𝑚 assim para ser homogênea a equação 
M e N tem que ser homogênea do mesmo grau logo 
𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡𝑘𝑀(𝑥, 𝑦) e 𝑵(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡𝑘𝑁(𝑥, 𝑦) 
assim 
(𝑡𝑥)2 + (𝑡𝑦)𝑛 = 𝑡𝑘(𝑥² + 𝑦𝑛) ⇒ 𝑡²(𝑥²) + 𝑡𝑛𝑦𝑛 = 𝑡𝑘𝑥2 + 𝑡𝑘𝑦𝑛 
⇒ 𝑡2 = 𝑡𝑘 𝑒 𝑡𝑛 = 𝑡𝑘 
logo 𝑛 = 𝑘 = 2 
também 
(𝑡𝑥)2 − 𝑡𝑥(𝑡𝑦)𝑚 = 𝑡𝑘(𝑥² − 𝑥𝑦𝑚) 
com 𝑘 = 2 tem-se, 
𝑡2𝑥2 − 𝑡𝑚+1𝑥𝑦𝑚 = 𝑡2𝑥2 − 𝑡2𝑥𝑦𝑚 ⇒ 
𝑡𝑚+1𝑥𝑦𝑚 = 𝑡2𝑥𝑦𝑚 → 𝑚 + 1 = 2 → 𝑚 = 1 
assim 𝑛 = 2 e 𝑚 = 1 
 
b) Tem-se a equação homogênea 
(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 
fazendo a mudança 𝑣 =
𝑦
𝑥
 de onde 𝑦 = 𝑥𝑣, logo 𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑣, assim da equação 
diferencial tem-se 
(𝑥2 + (𝑣𝑥)2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥(𝑣𝑥))(𝑣 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑣) = 0 
de onde 
𝑥2(1 + 𝑣)𝑑𝑥 + 𝑥3(1 − 𝑣)𝑑𝑣 = 0 
dividindo por 𝑥3(1 + 𝑣) e integrando, obtemos 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1 − 𝑣
1 + 𝑣
𝑑𝑣 = 𝑐 
como 
∫
1 − 𝑣
1 + 𝑣
𝑑𝑣 = ∫ − 1 +
2
1 + 𝑣
𝑑𝑣 = − 𝑣 + 2𝑙𝑛(1 + 𝑣) 
assim tem-se, 
𝑙𝑛(𝑥) + 2𝑙𝑛(1 + 𝑣) − 𝑣 = 𝑐 
isto é, 
𝑙𝑛(𝑥(1 + 𝑣)2) − 𝑣 = 𝑐 
como 𝑣 =
𝑦
𝑥
, tem-se 
𝑙𝑛 (
(𝑥 + 𝑦)2
𝑥
) = 𝑐 +
𝑦
𝑥
 
Aplicando exponencial na última igualdade, tem-se 
(𝑥 + 𝑦)2
𝑥
= 𝑒
𝑙𝑛(
(𝑥+𝑦)2
𝑥
)
= 𝑒𝑐+
𝑦
𝑥 = 𝑐1𝑒
𝑦
𝑥 
Assim, finalmente a solução é 
(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑐1𝑥𝑒
𝑦
𝑥 
Questão 5 (2,0 pontos) 
a) Verifique que 𝑦1(𝑥) = cos (𝑥
2) é uma solução de 𝑥𝑦′′ − 𝑦′ + 4𝑥3𝑦 = 0 com 
 𝑥 > 0 e usando o método de redução de ordem encontre uma segunda solução 
em (0, +∞). (1,0 ponto) 
b) Resolver 5𝑦′′ + 12𝑦′ + 8𝑦 = 0 (1,0 ponto) 
Solução 
a) Se 𝑦1(𝑥) = cos (𝑥
2) tem-se 
𝑦1
′ (𝑥) = −2𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) 
𝑦1
′′(𝑥) = −2 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) − 4𝑥2cos (𝑥2) 
Assim 
𝑥𝑦1
′′(𝑥) − 𝑦1
′ (𝑥) + 4𝑥3𝑦1(𝑥) 
= 𝑥(−2𝑠𝑒𝑛(𝑥2) − 4𝑥2cos (𝑥2)) − (−2𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)) + 4𝑥3(cos (𝑥2)) = 0 
Dividindo a equação por x 
Tem-se: 𝑦′′ −
1
𝑥
𝑦′ + 4𝑥2𝑦 = 0 
Assim a equação é da forma 
𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0 
Onde 𝑝(𝑥) = −
1
𝑥
 , q(𝑥) = 4𝑥2 
Sabemos pelo método de redução de ordem que uma segunda solução 𝑦2 linearmente 
independente com 𝑦1 é 
𝑦2(𝑥) = [∫
1
[𝑦1(𝑥)]
2
𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥] 𝑦1(𝑥) 
= [∫
1
(𝑐𝑜𝑠(𝑥2))
2 𝑒
∫
1
𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑥] 𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 
= [∫
1
(𝑐𝑜𝑠(𝑥2))
2 𝑥 𝑑𝑥] 𝑐𝑜𝑠(𝑥
2) 
Fazendo 𝑢 = 𝑥2 , 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
Tem-se, 
∫
1
(𝑐𝑜𝑠(𝑥2))
2 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫
1
𝑐𝑜𝑠2𝑢
𝑑𝑢 =
1
2
𝑠𝑒𝑐2𝑢 𝑑𝑢 
=
1
2
𝑡𝑔 𝑢 =
1
2
𝑡𝑔 𝑥2 
Assim 
𝑦2(𝑥) =
1
2
(𝑡𝑔 𝑥2)(cos 𝑥2) =
1
2
 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 
b) tem-se o polinômio característico 
5𝑟2 + 12 𝑟 + 8 = 0 
Cujas raízes são 
−12 ± √144 − 4 . 5 . 8
10
=
−12 ± √−16
10
=
−12 ± 4𝑖
10
= −
6
5
±
2
5
𝑖 
𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑒
−
6𝑥
5 𝑐𝑜𝑠 (
2𝑥
5
) + 𝑐2𝑒
−
6𝑥
5 𝑠𝑒𝑛 (
2𝑥
5
)