Apostila GAAL

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Álgebra Linear e
Geometria Analítica
 
Conteúdo
1. Sistemas de equações lineares.
1.1. Sistemas de equações lineares.
1.2. Resolução de sistemas de equações lineares 2x2 e 3x3.
1.3. Discussão de sistemas 2x2 e interpretação geométrica.
2. Espaços vetoriais
2.1. Os espaços vetoriais R, R2 e R3.
2.2. Vetores na reta, no plano e no espaço.
2.3. Operações com vetores: adição, multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial e produto misto. 
2.4. O espaço vetorial das matrizes mxn
2.5. Dependência e Independência linear.
2.6. Geradores e base de um espaço vetorial
3. Subespaços vetoriais
3.1. Ponto em R, R2 e no R3.
3.2. Equações da reta no R2 e no R3: equações geral, vetorial e paramétricas 
3.3. Ângulos entre retas, retas paralelas e retas ortogonais
3.4. Equações do plano no R3: equações geral, vetorial e paramétricas 
4. Espaços métricos e distâncias.
4.1. Distância de ponto a ponto.
4.2. Distância de ponto a reta.
4.3. Distância de ponto a plano.
5. Lugares Geométricos
5.1. Lugares geométricos no plano: mediatriz, bissetriz, circunferência e cônicas 
5.2. Lugares geométricos no espaço: esfera e superfície esférica
Bibliografia 
CALLIOLI, Carlos Alberto; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F.. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.
LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra linear: teoria e problemas. São Paulo: Makron Books, 1980.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harbra, 1986. 
STEINBRUCH, Alfredo. Álgebra linear e geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1975. 
CAROLI, A; CALLIOLI, CA; FEITOSA, M.D. Matrizes, Vetores, Geometria Analítica. São Paulo: Nobel, 1978.
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática elementar: seqüências, matrizes, determinantes, sistemas. São Paulo: Atual, 1993.
0-Matrizes:
INTRODUÇÃO
Em uma editora, a venda de livros de Matemática, Física e Química no primeiro trimestre de uma ano pode ser expressa pela tabela a seguir.
	
	Janeiro
	Fevereiro
	Março
	Matemática
	20 000
	32 000
	45 000
	Física
	15 000
	18 000
	25 000
	Química
	16 000
	17 000
	23 000
Se quisermos saber:
· quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro, basta olharmos o número que está na primeira linha e na segunda coluna;
· quantos livros de Física foram vendidos em janeiro, basta olharmos o número que está na segunda linha e na primeira coluna;
· quantos livros de Química foram vendidos em março, basta olharmos o número que está na terceira linha e na terceira coluna.
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e colunas, denomina-se matriz 3 x 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:
 ou 
DEFINIÇÃO: Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1. Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por m . n números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Dizemos que a matriz é do tipo m x n ou de ordem m x n.
Exemplos:
1º) é uma matriz do tipo 2 x 2 (dois por dois).
2º é uma matriz do tipo 2 x 3 (dois por três).
3º) Quando m = 1, a matriz é chamada matriz linha. Por exemplo, (1 3 -2) é uma matriz linha do tipo 1 x 3.
4º) Quando n = 1, a matriz é chamada matriz coluna. Por exemplo, é uma matriz coluna do tipo 4 x 1.
5º) A matriz A é uma matriz real Logo 
Quando temos matrizes linha ou matrizes coluna, também podemos chamá-la de vetores. É muito comum uma matriz linha como [2 0 5] ser escrita como (2, 0, 5) quando se trabalha com vetores.
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ
Para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica em que linha o elemento se encontra, e o segundo, em que coluna; por exemplo, a23 é o elemento que está na 2ª linha e na 3ª coluna; o elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, em que i representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado de ij-ésimo elemento da matriz; a matriz A, do tipo m x n, será escrita, genericamente, do seguinte modo:
De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na forma: A = (aij)m x n, com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i, j Є N. Lê-se matriz A, dos elementos aij, do tipo m x n.
Exemplos
01. Escreva a matriz A (aij)3 x 2 tal que aij = 3i – 2j + 4. 
Pelos dados do problema, a matriz deve ter 3 linhas e 2 colunas.
A= onde aij = 3i – 2j + 4 é a “lei de formação” da matriz. Cada termo da matriz é definido substituindo-se i e j pelos valores correspondentes.
a11 = 3 . 1 – 2 . 1 + 4 = 5
a12 = 3 . 1 – 2 . 2 + 4 = 3
a21 = 3 . 2 – 2 . 1 + 4 = 8
a22 = 3 . 2 – 2 . 2 + 4 = 6
a31 = 3 . 3 – 2 . 1 + 4 = 11
a32 = 3 . 3 – 2 . 2 + 4 = 9. 
Portanto, a matriz é A = .
02. Escreva a matriz X = (aij), com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal que .
A matriz deve ter 3 linhas e 3 colunas tal que:
a11 = a22 = a33 = 1
a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 0
Assim, X = .
TIPOS DE MATRIZES
Dependendo de certas características, algumas matrizes recebem nomes especiais, como a matriz linha e matriz coluna, já vistas.
Matriz quadrada
Consideremos uma matriz m x n. Quando m = n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a matriz é quadrada do tipo n x n ou simplesmente de ordem n.
Exemplos:
1º) é uma matriz quadrada de ordem 2 (m = n = 2).
2º) é uma matriz quadrada de ordem 3 (m = n = 3).
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, ..., ann formam a diagonal principal da matriz (são os elementos aij com i = j).
 Diagonal principal
	 Diagonal principal
A outra diagonal da matriz quadrada denomina-se diagonal secundaria.
 Diagonal secundária
 Diagonal secundária
Matriz triangular
	Vamos considerar uma matriz quadrada de ordem n. Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos que a matriz é triangular.
Exemplos
 (matriz triangular inferior)
 (matriz triangular superior)
 (matriz triangular inferior)
Matriz diagonal
	A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos é chamada de matriz diagonal.
Exemplos
 
Em uma matriz diagonal, aij = 0 para i j.
Matriz identidade
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero é chamada de matriz identidade e seu símbolo é In.
Em uma matriz identidade, temos .
Exemplos
I3 = I2 = I5 = 
Igualdade de matrizes:
	Consideremos duas matrizes reais: e Dizemos que se e somente se e para e 
	Exemplos:
	1) se e somente se x=-1; y=1; z=1 e t=0.
	2) 			3) 
4) Determine os valores de x e y, tal que as matrizes A = e B = sejam iguais.
Para que as matrizes sejam iguais, então x + 2 = 3 e y – 2 = 5, o que resulta em
x = 3 – 2 = 1		y = 5 + 2 = 7. Portanto x = 1 e y = 7
Adição de matrizes.
	A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn e Bmxn é uma matriz mxn, que denotamos A + B, cujos elementos são as somas dos elementos correspondentes de A e B.
Exemplo: Sejam as matrizes A = e B = . Calcular A + B.
A + B = + = 
Propriedades
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem, temos:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro da adição: + A = A + = A, onde denota a matriz nula.
Multiplicação de matriz por um escalar
A multiplicação de uma matriz A por um escalar, resulta em uma nova matriz, onde cada elemento da nova matriz é produto do elemento correspondente da matriz A por .
Exemplo: Sejam a matriz A = e o escalar = 2, temos:
2.A = 2 . = 
Propriedades
Dadas as matrizes A e B de mesma ordem e os escalares , temos:
Distributiva 1: .(A + B) = .A + .B
Distributiva 2: (.A = .A + .A
Multiplicação por zero: 0.A = , ou seja, ao multiplicarmos qualquer matriz pelo número zero, o resultado será a matriz nula.
Associativa: .(.A) = (.).A
Multiplicação de matrizes
Dadas duas matrizes A e B a matriz resultante é calculada da seguinte forma:
Amxn = e Bnxp = 
A.B = 
Exemplos:
1) Sejam as matrizes A =e B = , calcule A.B.
A.B = . = 
L1.C1 = 1.1 + 0.(-1) + 2.2 = 5
L1.C2 = 1.(-1) + 0.0 + 2.0 = -1
L2.C1 = -1.1 + 2.(-1) + 0.2 = -3
L2.C2 = -1. (-1) + 2.0 + 0.0 = 1
2) Sejam então:
Observação: Só poderemos efetuar o produto de duas matrizes, se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
Propriedades
Dadas as matrizes A, B e C, temos:
Multiplicação pela matriz identidade: A.I = I.A = A
Distributiva 1: A.(B + C) = A.B + A.C
Distributiva 2: (A + B).C = A.C + B.C
Associativa: (A.B).C = A.(B.C)
Multiplicação pela matriz nula .A = A. = 
Em geral a comutativa não é válida, ou seja, A.B B.A
Matriz transposta:
	Dada uma matriz denomina-se transposta de A e indica-se por a seguinte matriz: onde para e 
Propriedades da matriz transposta:
	(I)	Sejam e Então 
	(II)	Seja e Então 
	(III)	Seja Então 
	(IV)	Sejam e Então 
	Exemplo: Se então 
Matriz simétrica e matriz antissimétrica:
Uma matriz quadrada se diz simétrica se e antissimétrica se 
Propriedades da matriz simétrica e da matriz antissimétrica:
Se A e B são duas matrizes simétricas então é uma matriz simétrica.
Se A e B são duas matrizes antissimétricas então é uma matriz antissimétrica.
Exemplos:	1) A matriz é uma matriz simétrica.
	2) A matriz é uma matriz antissimétrica.
Determinante de uma matriz:
	A cada matriz de ordem n, está associado um escalar especial chamado determinante de A, denotado por, ou , ou 
Salientamos que um quadro de escalares entre duas barras, chamado determinante de ordem n, não é uma matriz, denota o determinante da matriz entre aquelas duas barras.
Determinantes de ordem um, dois e três:
	Definem-se como segue os determinantes de ordem um, dois e três:
	i)	Se é uma matriz de ordem um, ou seja, então:
	ii)	Se é uma matriz de ordem dois, ou seja, então:
	iii)	Se é uma matriz de ordem três, ou seja, então:
Exemplos: 1) 
	2) 
	3) 
Determinante de uma matriz de ordem 3, pela regra de Sarrus
Repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.
Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do determinante.
Determinante de ordem arbitrária:
	Se é uma matriz de ordem n, ou seja, então o seu determinante pode ser obtido por qualquer uma das expressões abaixo:
 para algum k fixo tal que 
ou,
 para algum k fixo tal que 
onde denota a matriz obtida da matriz A, eliminando-se a linha i e a coluna j.
	Observações:
1) Chamamos a primeira expressão de cálculo do determinante da matriz A pela linha k, e a segunda expressão de cálculo do determinante da matriz A pela coluna k.
2) O determinante de A independe da escolha da linha ou coluna pela qual se desenvolverá o cálculo.
3) O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais.
4) Se uma matriz A possui uma linha ou uma coluna nula então 
5) Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais então 
6) Se A é uma matriz com determinante nulo então A não é inversível.
7) O determinante de uma matriz triangular é dado pelo produto dos elementos da diagonal.
Exemplo: Se então:
IMPORTANTE: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa. Só têm inversa as matrizes cujo determinante é diferente de 0.
Matriz inversa de uma matriz dada
	Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular, ou seja, detA ≠0
Exemplos
01. Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = .
Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada, isto é, X = .
 , que resolvido nos dá a = -3 e c = 2.
 , que resolvido nos dá b = 8 e d = -5. Daí, temos X = , para a qual AX = I2. A seguir, verificamos se XA = I2:
Então, podemos dizer que é a matriz inversa de , ou seja, A-1 = .
02. Determine a matriz inversa de A = , se existir.
Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada tal que X = .
 0 = -2
 Se o sistema (I) é impossível, não há necessidade da resolução do sistema (II). Podemos afirmar que a matriz A não admite inversa ou que a matriz A não é inversível ou que é singular.
03. A matriz é invertível, uma vez que, tomando temos:
Portanto Assim 
	Observações:
	1) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é nula então A não é invertível.
	2) Se A e B são matrizes invertíveis, então AB também é invertível e 
	3) Se A é invertível, então também é invertível e 
Determinação de matriz inversa:
Daremos aqui um método para determinar a inversa de uma matriz A, caso A seja invertível.
	Definição: Dada uma matriz A entenderemos por operações elementares com as linhas de A, uma qualquer das seguintes alternativas:
	(I)	Permutar duas linhas de A;
	(II)	Multiplicar uma linha de A por um número diferente de zero;
	(III)	Somar à uma linha de A uma outra linha de A multiplicada por um número.
	
Quando desejarmos verificar se uma matriz quadrada é invertível, e em caso afirmativo, invertê-la, devemos orientar nosso trabalho no sentido de transformar (se possível) a matriz A na matriz . Como essa mesma sucessão de operações elementares levará em será conveniente reunir A e em uma mesma matriz e operar a partir daí.
Exemplos:
	1) Verificar se a matriz é inversível e determinar caso esta matriz exista:
	Logo a matriz é inversível e 
	2) Verificar se a matriz é inversível, e determinar caso esta matriz exista:
	Como a matriz é equivalente à matriz que não é inversível (pois tem uma linha nula), então A também não é inversível.
Método 2 para cálculo da inversa
Outro método para determinar a matriz inversa é chamado de método de inversão por matriz adjunta. É um método mais longo que o método por sistemas lineares, porém, mais simples, pois não recaem em n sistemas de n equações. A utilização desse método depende do teorema , onde:
· M-1 é a matriz inversa de M. det(M) é o determinante da matriz M
· M é a matriz adjunta de M.
O método por matriz adjunta é constituído pela seguinte sequência de ações:
1. Calcular o determinante da Matriz M.
2. Calcular a matriz C dos cofatores de M.
3. Determinar a matriz adjunta M
4. Calcular 
Antes de tomarmos um exemplo qualquer, devemos observar que só existirá a matriz inversa de M se o seu determinante for diferente de zero, caso contrário teremos uma divisão por zero no passo 4 da sequência anterior, o que não é permitido. Vamos calcular, como exemplo, a inversa, se houver, da matriz . Seguindo a sequência dada, temos:
1. Cálculo do determinante de A:
 O determinante de A é diferente de zero, isso significa que existe a matriz inversa A-1. Passamos então para o passo seguinte. 2. Cálculo da matriz C dos cofatores de A. Seja A, a matriz   , então a matriz C dos cofatores de A é .
 Cofator Ai,j do elemento a11 (1): 
Cofator Ai,j do elemento a12 (3):Cofator Ai,j do elemento a21 (2):Cofator Ai,j do elemento a22 (0):
cofatores:  
3. Cálculo da matriz Adjunta de A. A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto é: A= Ct Portanto temos:  
4. Cálculo da inversa A-1, 
Lista de Exercícios
01. Escreva a matriz correspondente às tabelas a seguir.
a) Tabela de notas de três alunos no primeiro bimestre:
	
	Matemática
	Física
	Química
	Biologia
	Ana
	6
	4
	5
	8
	Antônio
	5
	7
	5
	5
	Beatriz
	5
	6
	7
	4
b)Tabela que mostra, em porcentagem, a localização da população brasileira de 1940 a 1990:
	
	População urbana
	População rural
	1940
	31
	69
	1950
	36
	64
	1960
	45
	55
	1970
	56
	44
	1980
	64
	36
	1990
	72
	28
02. Identifique o tipo das seguintes matrizes:
a) 		b)	c) 
03. Observe a matriz seguinte e responda: 
a) De que tipo é a matriz dada?
b) Quais são os números da 1ª linha?
c) E os da 3ª coluna?
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª coluna?
e) E na 3ª linha e na 1ª coluna?
f) E na 1ª linha e na 3ª coluna?
04.Qual é a ordem da matriz quadrada ?
05. Quais são os números que formam a diagonal principal da matriz quadrada ?
06. Calcule o produto dos elementos da diagonal principal da matriz .
07. Seja a matriz quadrada . Calcule a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
08. Escreva a matriz quadrada de ordem 2, cujo elemento genérico é aij = 4i -2j + 3.
09. Escreva a matriz diagonal de ordem 3, em que aij = i + j para i = j.
010. Escreva a matriz triangular de ordem 4, em que .
011. Identifique:
a) os elementos a11, a22 e a13 na matriz ;
b) os elementos a31, a23 e a33 na matriz .
012. Escreva as matrizes:
a) A = (aij)2 x 3 tal que aij = i² + j²
b) M = (aij), com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal que aij = 3i + 2j – 5
c) X = (aij)4 x 2 de modo que aij = 2i² - j
013. Consideremos as tabelas, que descrevem a produção de grãos em 3 regiões diferentes num período de dois anos consecutivos.
Primeiro ano (em milhares de toneladas).
	
	Soja
	Feijão
	Arroz
	Milho
	Região 1
	3000
	200
	400
	600
	Região 2
	700
	350
	700
	100
	Região 3
	1000
	100
	500
	800
Segundo ano (em milhares de toneladas).
	
	Soja
	Feijão
	Arroz
	Milho
	Região 1
	5000
	50
	200
	0
	Região 2
	2000
	100
	300
	300
	Região 3
	2000
	100
	600
	600
Se quisermos saber qual é a produção acumulada em cada região durante os dois anos, devemos somar as produções.
Produção de grãos durantes os dois anos (em milhares de toneladas).
	
	Soja
	Feijão
	Arroz
	Milho
	Região 1
	
	
	
	
	Região 2
	
	
	
	
	Região 3
	
	
	
	
12) Consideremos o seguinte, após o primeiro ano, houve muitos incentivos e condições climáticas favoráveis, então, a estimativa de produção para o próximo ano é que seja o dobro.
Primeiro ano (em milhares de toneladas).
	
	Soja
	Feijão
	Arroz
	Milho
	Região 1
	3000
	200
	400
	600
	Região 2
	700
	350
	700
	100
	Região 3
	1000
	100
	500
	800
Qual será a produção estimada para o próximo ano?
	
	Soja
	Feijão
	Arroz
	Milho
	Região 1
	
	
	
	
	Região 2
	
	
	
	
	Região 3
	
	
	
	
13) No campeonato Baiano da terceira divisão, após cinco rodadas, foram obtidos os seguintes resultados pelas cinco equipes participantes:
	Equipe
	Vitória
	Empate
	Derrota
	Barro Vermelho
	3
	2
	0
	Carranca
	2
	1
	2
	Veneza
	2
	0
	3
	Colonial
	1
	1
	3
	Olaria
	1
	0
	4
	Resultado
	Pontos
	Vitória
	3
	Empate
	1
	Derrota
	0
Calcule quantos pontos cada time conquistou até agora, e represente os resultados em uma matriz de ordem 5 x 1.
14) Um fabricante produz 3 tipos de componentes eletrônicos A, B e C. E para a produção desses componentes, é utilizado silício, níquel, gálio e ouro. E a quantidade de cada material é dado pela tabela a seguir:
	
	Silício
	Níquel
	Gálio
	Ouro
	Componente A
	2
	0
	1
	1
	Componente B
	1
	1
	0
	0
	Componente C
	3
	2
	2
	1
Se o preço de cada material é dado pela tabela a seguir:
	
	Preço
	Silício
	1
	Níquel
	2
	Gálio
	3
	Ouro
	4
Calcule o preço unitário de cada componente eletrônico.
	
	Preço unitário
	Componente A
	
	Componente B
	
	Componente C
	
15) Um proprietário de duas cantinas em escolas diferentes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: suco de laranja, água mineral, queijo e presunto. Na cantina da escola A são consumidos, por semana, 40 dúzias de laranja, 140 garrafas de água mineral, 15 quilos de queijo e 9 quilos de presunto. Na cantina B são consumidos semanalmente 50 dúzias de laranja, 120 garrafas de água mineral, 18 quilos de queijo e 10 quilos de presunto. O proprietário das cantinas compra os produtos que revende de dois fornecedores, cujos preços, em R$, são expressos na tabela seguinte:
	Produtos
	Fornecedor 1
	Fornecedor 2
	1 dúzia de laranja
	1,20
	1,10
	1 garrafa de água mineral
	0,80
	0,90
	1 quilo de queijo
	5,00
	6,00
	1 quilo de presunto
	9,00
	7,50
Partindo dessas informações, determine:
a) Uma matriz 2 x 4 em que esteja registrado o consumo dos produtos listados na cantina A e também na cantina B.
b) Uma matriz 4 x 2 em que estejam registrados os preços praticados pelos fornecedores 1 e 2 para os produtos listados.
c) Uma matriz 2 x 2 contendo os preços totais cobrados por fornecedor para cada cantina.
d) Quanto o proprietário economizará comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes.
16) Na Páscoa, Jair resolveu ganhar um dinheiro extra, fabricando e vendendo ovos de chocolate. Para planejar seus investimentos e lucros no projeto, Jair elaborou as seguintes planilhas com quantidades necessárias e custo de material para quatro tipos de ovos.
	Tabela 1 – Quantidade de material necessário para a fabricação de uma unidade de cada tipo de ovo
	Tipo de ovo
	Tipo 1
	Tipo 2
	Tipo 3
	Tipo 4
	Chocolate (gramas)
	120
	250
	180
	160
	Açúcar (gramas)
	100
	120
	100
	80
	Recheio (gramas)
	160
	180
	200
	100
	Embalagem (folhas)
	0,5
	1,5
	1,0
	1,0
	Tabela 2 – Custo de cada tipo de material (R$)
	Chocolate (kg)
	Açúcar
	Recheio (kg)
	Embalagem (folhas)
	12,00
	1,50
	28,00
	1,20
a) Escreva uma matriz de ordem 1 x 4 contendo o custo total de fabricação de cada tipo de chocolate.
b) Se Jair pretende trabalhar com as margens de lucro sobre o preço de custo expressas na tabela seguinte, calcule qual é o valor total das vendas que ele espera conseguir com 200 unidades da cada tipo de chocolate.
	Tabela 3 – Margem de lucro por tipo produzido
	Tipo de chocolate
	Tipo 1
	Tipo 2
	Tipo 3
	Tipo 4
	Margem de lucro (%)
	60
	80
	100
	100
17) Sejam as matrizes A = , B = , C = e D = . Calcule:
a) 
18
b) A + B
c) A.C
d) B.C
e) C.D
f) D.A
g) A – B
h) 2A + 3
i) B+2(B-A)
	
	
8
18) 
19) Dadas as matrizes A = , B = e C = . Determine a matriz X = , em cada um dos casos:
a) A + B = X
b) X + 2C = A
c) A + B + C + X = 
d) A + I = X
e) A.B = X
f) X = A.C
g) A – 2C = X
h) A² = X
20) Dadas as matrizes A = , B = e C = , calcule:
a) A + B
b) A + C
c) B + C
d) A + B + C
· Dadas as matrizes A = , B = e C = , calcule:
a) A + B – C
b) A – B + C
c) A – B – C
· Use = 2 e = 3, A = e B = e verifique as quatro propriedades da multiplicação de matriz por um escalar.
· Determine os produtos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
	1) Sejam matrizes de Calcular:
f) 
g) 
	2) Determinar a matriz tal que:
h) sendo A, B, e C as matrizes do exercício 1).
i) 
	3) Dadas as matrizes: determinar os produtos AB e BA.
j) 
	5) Determinar todas as matrizes tais que: onde: 
1 - Sistemas Lineares:
Dados os números reais a1, a2, ...,an, b à equação onde os são variáveis em R, damos o nome de equação linear sobre R nas incógnitas . 
Uma solução dessa equação é uma sequência (c1, c2, ..., cn) de n números reais (ou n-upla de números reais), não necessariamente distintos entre si, indicada por, tal que é uma frase verdadeira.
	Exemplo: Dada a equação , a terna ordenada é uma solução dessa equação, pois é uma frase verdadeira.
	Definição: Um sistema linear S de m equações lineares com n incógnitas é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas, consideradas simultaneamente. Isto é:
	Uma solução de S é uma n-upla (c1, c2, ..., cn) de números reais que é solução de cada uma das equações do sistema. Se dizemos que S é um sistema de ordem n (ou m).
Exemplo: Dado o sistema de ordem 3: , temos que S = {(3, -2, 2)} é solução, pois essa terna ordenada satisfaz as 3 equações.
Sistemas lineares 2 x 2
Apresentam duas equações e duas incógnitas, com a seguinte estrutura geral 
 
Interpretação geométrica dos sistemas lineares 2 x 2
Geometricamente em um sistema 2 x 2, cada linha representa uma reta no plano cartesiano. 
Sistema Possível e Determinado:  quando o sistema tem apenas 1 solução. Geometricamente representa retas concorrentes, onde há um ponto (x0, y0) de intersecção que é solução única do sistema.
Sistema Possível e Indeterminado: Quando temos infinitas soluções. Geometricamente representa retas coincidentes, onde infinitos pontos comuns fazem parte do conjunto solução do sistema. 
Sistema Impossível: Quando não há solução. Geometricamente representa retas paralelas,onde não há nenhum ponto solução do sistema.
 Os métodos mais usados são: Método da adição e Método da substituição.
Resolução pelo método da adição: Multiplicamos as linhas ( ou uma linha por um nº diferente de zero, para que os coeficientes fiquem opostos e somamos as 2 linhas).
Exemplos: 
1) 
	 5x=5 x = 5/5=1
Susbtituindo em qualquer uma das 2 equações temos 3.1-4y=-5 -4y = -5-3 = -8 y = -8/-4 =2
Solução: {(1,2)}
2) 		3) 5)
Resolução pelo método da substituição: Isolamos uma das variáveis de uma equação e substituimos na outra.
Exemplo: 
Da primeira temos x = 5 – 2y , substituindo na segunda obtemos 3. (5-2y) -4y= -5 15-6y-4y=-5 -10y = -20
Logo y = -20/-10= 2. Tendo o valor de y, voltamos na equação 1 e obtemos o valor de x: x = 5-2.2 =1
Solução {(1,2)}.
Exercícios
Resolva cada sistema 2 x 2 usando o método que quiser; classifique-o quanto ao número de soluções e faça sua representação gráfica.
a) 			b)		c) 
Resolução de um sistema de equações lineares 3x3 ou maior
	
Consideremos as seguintes operações sobre S:
1. Multiplicar uma equação por um número diferente de zero.
2. Adicionar uma equação a outra.
3. Permutar duas equações.
Para transformá-lo num sistema escalonado, como no exemplo abaixo:
Exemplo de sistema escalonado: 
	1) Sendo todo sistema linear equivalente a um sistema escalonado, bastará que saibamos solucionar os sistemas escalonados e saibamos reduzir um sistema qualquer a um sistema escalonado.
	2) Todas as equações do tipo que porventura aparecerem durante o processo de escalonamento, devem ser eliminadas.
	Exemplo: Escalonemos o seguinte sistema:
	Observe que é a única solução do sistema dado inicialmente, pois é a única solução do sistema escalonado.
Discussão e resolução de um sistema linear:
Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha. Mas é preciso estar atento, pois a última linha num sistema de n incógnita é a n-ésima linha, que, se não existir, deve ser considerada totalmente nula (0x + 0y + 0z + ... = 0, equivale a 0 = 0).
Na última linha, podemos ter:
Uma equação com uma incógnita (ex: 2z = 4; 5w = 0; z = -1, ...): o sistema é possível e determinado -SPD;
Uma igualdade sem incógnitas (exemplo: 0 = 0; 2 = 2; 5 = 5; ...): o sistema é possível e indeterminado - SPI;
Um sentença falsa (exemplo: 0 = 9; 0 = 2; 0 = -4; ...): o sistema é impossível - SI.
Exemplo: Discutir e resolver o seguinte sistema:
1) 				Resp.: SPD (1,2,0)
2) S: 				Resp.: SI
3) S: 						Resp.: SPI
Sistemas lineares homogêneos
Todo sistema linear, onde o termo independente é igual a zero, é chamado de sistema linear homogêneo. Todos os sistemas lineares homogêneos possuem pelo menos uma solução, chamada de solução trivial, é quando todas as incógnitas são iguais a zero. x = y = w = ... = z = 0
Exemplos:
01) 		02) 
	Exercícios: 
A) Discutir e resolver por escalonamento o seguinte sistema:
1) 	 2) 	3) 
4) S:	5)		6)
7) 	8)S: 	9) S:
10)S:	11)S: 	12)S:
B) Discutir o sistema em função de a.
C) Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado ou impossível em função do parâmetro m.
a) 
D) Determine os valores de k e de m a fim de que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Obtenha também a solução geral do sistema e, por fim, explicite duas soluções possíveis.
	
E) Determine o valor de m para que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Depois disso, com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, determine dois conjuntos de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três equações.
	VETORES EM Rn
Em várias aplicações aparecem certas quantidades, tais com temperatura e peso, que possuem apenas uma “magnitude”. Tais quantidades podem ser representadas por números reais e são chamados escalares. Por outro lado, há também quantidades como força e velocidade, que são caracterizadas não só pela magnitude, como também pela direção. Essas quantidades podem ser representadas por setas, com comprimento e direção adequados, emanando de um ponto de referência O, e são chamados vetores.
Vetor provém do verbo latino vehere: transportar, levar. Vetor é particípio passado de vehere, significando transportado, levado. Dados dois pontos A e B, temos o vetor , ou seja, o ponto A é “transportado” até B.
Definição: Um vetor é composto por três grandezas, que são: A intensidade ou comprimento, chamado de módulo ou norma de vetor. A direção do vetor. O sentido do vetor.
Representação de um vetor
Dados dois pontos A e B a representação do vetor é uma seta partindo de A e chegando em B.
 B
	
 A 
Cálculo dos componentes de um vetor
Podemos calcular os componentes de um vetor a partir das coordenadas dos pontos A e B.
Exemplos:
Sejam os pontos em R, A = 2 e B = 5. Calcule os vetores e .
	 = B – A = 5 – 2 = 3
	 = A – B = 2 – 5 = -3
Sejam os pontos em R², A = (1, 2) e B = (5, 4). Calcule os vetores e .
 = B – A = (5, 4) – (1, 2) = (4, 2)
	 = A – B = (1,2) – (5, 4) = (-4, -2)
Sejam os pontos em R³, A = (3, 3, 4) e B = (-1, 0, 2). Calcule os vetores e .
 = B – A = (-1, 0, 2) – (3, 3, 4) = (-4, -3, -2)
	 = A – B = (3, 3, 4) – (-1, 0, 2) = (4, 3, 2)
Representação do vetor no plano
Exemplo 1: Represente o vetor = (-2, 1)
Observe que os vetores u, v e w são iguais, calculando suas componentes, temos:
	 = (-2, 1) – (0, 0) = (-2, 1)
 = (1, 2) – (3, 1) = (-2, 1)
 = (0, -1) – (2, -2) = (-2, 1)
Exemplo 2: Represente os vetores = (1, 2), = (-2, 3) e = (3, -2)
Representação do vetor no espaço tridimensional R³
Módulo ou norma de um vetor
É a distância da origem à extremidade de um vetor.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
|| = 
 = Onde: a = e b = 
Exemplo: Calcule o módulo de = (1, 2)
|| = = 
Analogamente, em R³, se = (a, b, c), temos: || = .
Exercícios
01. Dados os pontos A = (1, 3), B = (-1, 0), C = (2, -1) e D = (-1, -3).
a) Determine os vetores e represente no plano cartesiano: , , , , 
b) Calcule a norma dos vetores encontrados no item a.
02. Represente os vetores: = (1, 2, 3), = (1, -2, 3) e = (0, 3, -2) e = (1, 2, 0)
As operações sobre vetores.
(i) Adição: A resultante u + v de dois vetores u e v é obtida pela chamada regra do paralelogramo, isto é, u + v é a diagonal do paralelogramo formado por u e v, conforme ilustra a Figura 2.1(a).
(ii) Multiplicação escalar: O produto k.u de um real k por um vetor u se obtém multiplicando a magnitude, ou módulo, de u por k, e conservando a mesma direção se k ≥ 0 ou a direção oposta se k < 0 (Figura 2.1(b)).
(i) Adição: Se (a, b) e (c, d) são pontos extremos dos vetores u e v, então (a + c, b + d) será a extremidade de u + v, conforme Figura 2.2(a).
(ii) Multiplicação escalar: Se (a, b) é uma extremidade de um vetor u, então (ka, kb) será a extremidade do vetor ku, conforme Figura 2.2(b).
Matematicamente, identificamos o vetor u com a sua extremidade (a, b) e escrevemos u = (a, b). Além disso, iremos nos referir ao par ordenado (a, b) de reais como um ponto ou um vetor, dependendo de sua interpretação. Generalizamos esta noção, chamando vetor a uma ênupla (a1, a2, ..., an) de reais. Não obstante poderemos usar uma notação especial para os vetores no espaço R3.
Vetores em Rn
O conjunto de todas as ênuplas de reais, denotado por Rn, constitui o espaço-n, ou espaço de n dimensões. Uma ênupla particular de Rn, digamos, u = (u1, u2, ..., un) é chamada um ponto ou um vetor; os reais ui são as componentes (ou coordenadas) do vetor u. Além disso, ao estudarmos o espaço Rn, usaremos o termo escalar para designar os elementos de R.
Dois vetores u e v são iguais (escrevendo u =v), se têm o mesmo número de componentes, isto é, se pertencem ao mesmo espaço, e se as componentes correspondentes são iguais. 
Os vetores (1, 2, 3) e (2, 3, 1) não são iguais, pois as componentes correspondentes não são iguais.
Exemplos.
(a) Considere os seguintes vetores
(0, 1) (1, -3) (1,2, , 4) (-5, ½, 0 , π)
Os dois primeiros têm dois componentes, por isso são pontos de R²; os dois últimos têm quatro componentes e, assim, são pontos de R4.
(b) Seja (x - y, x + y, z – 1) = (4, 2, 3). Então, pela definição de igualdade de vetores, 
x – y = 4; x + y = 2; z – 1 = 3 o que dá x = 3, y = -1, z = 4.
Adição de Vetores, Multiplicação por Escalar
Sejam u e v vetores em Rn:
		u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn)
A soma de u e v (escreve-se u + v) é o vetor obtido somando-se as componentes correspondentes:
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2, ..., un + vn)
O produto de um real k pelo vetor u (escreve-se ku) é um vetor que se obtém multiplicando-se cada componente de u por k:
		Ku = (ku1, ku2, ..., kun)
Note-se que tanto u + v como ku são também vetores de Rn. Define-se também
		-u = -1u e u – v = u + (-v)
Não se define a soma de vetores com números diferentes de componentes.
	No teorema seguinte descrevem-se as propriedades básicas dos vetores do Rn sob as operações de adição e multiplicação escalar.
Teorema 2.1: Para quaisquer vetores u, v, w Є Rn e quaisquer escalares k, k’ Є R,
	Adição:
(i) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w)
(ii) Elemento neutro: u + 0 = u
(iii) Elemento oposto: u + (-u) = 0
(iv) Comutativa: u + v = v + u
Multiplicação:
(v) Distributiva em relação à adição de vetores: k(u + v) = ku + kV
(vi) Distributiva em relação à adição de escalares: (k + k’)u = ku + k’u
(vii) Associativa em relação aos escalares: (kk’)u = k(k’u)
(viii) Elemento neutro: 1u = u
Sejam u e v vetores em Rn tais que u = kv para algum escalar não-nulo k. Então u é chamado múltiplo de v; e u terá a mesma direção de v se k ≥ 0, e direção oposta se k < 0.
Exemplos:
01. Sejam os vetores u = (1, 2, 3) e v = (0, -1, 1). Calcule u + v.
u + v = (1, 2, 3) + (0, -1, 1) = (1, 1, 4)
02. Represente os vetores u = (1, 2), 2.u e -2.u
Espaço vetorial
	Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, com duas operações, soma e multiplicação por escalar, tais que, satisfazem as propriedades (Teorema 2.1) da adição de vetores e multiplicação por escalar.
Exercícios:
01. Sejam u = (2, -7, 1), v = (-3, 0, 4), w = (0, 5, -8). Ache (a) 3u – 4v, (b) 2u + 3v – 5w.
02. Calcule:
(a) 2 - 3
(b) -2 + 4 - 3
03. Ache x e y (a) (x, 3) = (2, x + y); (b) (4, y) = x(2, 3).
04. Como sabemos R² = {(x, y) / x, y Є R}. O R² pode ser visto como espaço vetorial sobre R desde que se definam adição e multiplicação por um número real assim:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e
k(x, y) = (kx, ky)
05. O R³ é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais. Ou seja: R³ = {(x, y, z) / x, y, z Є R}. A adição e multiplicação por escalares são definidas no R³ por:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e
k(x, y, z) = (kx, ky, kz)
06. Façam a verificação das propriedades relativas à adição e multiplicação descritas no Teorema 2.1
Subespaço vetorial
	Às vezes é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que sejam eles próprios espaços vetoriais. Tais conjuntos serão chamados de subespaço vetorial.
Exemplo
Sabemos que R² é um espaço vetorial, mas nesse espaço vetorial há uma reta passando pela origem, e essa reta é um subespaço vetorial, pois a reta sozinha funciona como um espaço vetorial, já que se somarmos quaisquer dois vetores que estejam contidos na reta o vetor resultante também estará contido na reta, o mesmo acontece se multiplicarmos um vetor por um escalar, dizemos que o subconjunto é “fechado” para adição e multiplicação por um escalar.
Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
1º W
2º Fechamento para a adição: Para quaisquer u, v W, tivermos (u + v) W.
3º Fechamento para a multiplicação: Para quaisquer R e u W, tivermos .u R.
Exemplo 1: Seja V = R² e W = {(x, 0)/x R}
1º W, pois se x = 0, temos o vetor nulo (0, 0)
2º Sejam u W e v W, tal que u = (x1, 0) e v = (x2, 0).
u + v = (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0), como x1 + x2 R, então u + v W.
3º Sejam R e u W.
.u = .(x, 0) = (x, 0), como x R, então .u W
Portanto W é um subespaço vetorial de V.
Exemplo 2: Verifique se S é subespaço vetorial de R², S = {(x, y)/y = x²}
 1º S, pois 0 = 0²
2º Sejam u S e v S, tal que u = (x1, y1) e v = (x2, y2).
u + v = (x1, y1) + (x2, y2). = (x1 + x2, y1 + y2), mas y1 + y2 (x1 + x2)² 
Logo u + v S.
Portanto S não é subespaço vetorial de R².
Exercícios
1. Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de R²?
S = {(x, y) R²/ x – y = 0}
T = {(x, y) R²/ x = 2}
U = {(x, y) R²/ y = 2x}
V = {(x, y) R²/ x + y = 1}
2. Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de R³?
S = {(x, y, z) R³/ x = y = 0}
T = {(x, y, z) R³/ y = 1}
U = {(x, y, z) R³/ x = y = z}
V = {(x, y, z) R³/ x + y = 3}
Vetores e Equações Lineares
	Dois importantes conceitos envolvendo vetores, combinações lineares e dependência linear estão estreitamente relacionados com os sistemas de equações lineares.
Combinações Lineares
Seja um sistema não homogêneo de m equações com n incógnitas:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.............................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Este sistema é equivalente à seguinte equação vetorial:
x1 + x2 + ... + xn = 
Isto é, à equação vetorial
	x1u1 + x2u2 + ... + xnun = v
onde u1 , u2 , ... , un e v são os vetores colunas acima, respectivamente.
	Se o sistema acima tem solução, então diz-se que v é uma combinação linear dos vetores ui. Enunciemos formalmente este importante conceito.
Observação: A expressão combinação linear significa multiplicar os vetores por escalares e somá-los.
Definição: Um vetor v é uma combinação linear de vetores u1 , u2 , ... , un se existem escalares k1, k2, ... kn tais que
	v = k1u1 + k2u2 + ... + knun
Isto é, se a equação vetorial
	v = x1u1 + x2u2 + ... + xnun
Tem solução, para os xi escalares.
	A definição aplica-se tanto aos vetores coluna como aos vetores linha, embora a ilustração se baseie só em vetores coluna.
Exemplo: Suponhamos
v = , u1 = , u2 = e u3 = 
Então v é uma combinação linear de u1 , u2 , u3 pois a equação vetorial (ou sistema)
 = x + y + z ou 
Tem a solução x = -4, y = 7, z = -1. Em outras palavras v = -4u1 + 7u2 – u3
Dependência Linear
	Consideremos homogêneo de m equações em n incógnitas:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.............................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Este sistema é equivalente à seguinte equação vetorial:
x1 + x2 + ... + xn = 
ou seja, à equação vetorial
	x1u1 + x2u2 + ... + xnun = 0
onde os u1, u2, ... un são os vetores coluna acima, respectivamente.
	Se o sistema homogêneo acima tem solução não trivial, os vetores u1, u2, ... un dizem-se linearmente dependentes; por outro lado, se a equação tem somente a solução trivial, ou zero, os vetores dizem-se linearmente independentes. Enunciemos formalmente este importante conceito.
Definição: Os vetores u1, u2, ... un de Rn são linearmente dependentes se existem escalares k1, k2, ... kn, não simultaneamente nulos, tais que:
k1u1 + k2u2 + ... + knun = 0
Isto é, se a equação vetorial
	x1u1 + x2u2 + ... + xnun = 0
tem solução não trivial, onde os xi são escalares não conhecidos. Caso contrário, os vetores classificam-se como linearmente independente.
	A definição acima aplica-se tanto aos vetores coluna como aos vetores linha.
Exemplo:
(a) A única solução de
x + y + z = ou 
é a solução zero x = 0, y = 0, z = 0. Logo, os três vetores são linearmente independente.
(b) A equação vetorial (ou sistema de equações lineares)
x + y + z = ou 
tem solução não trivial (3, -2, 1), isto é, x = 3, y = -2, z = 1. Assim, os três vetores são linearmente dependentes.
Produto escalar
Sejam u e v vetores de Rn:
	u = (u1 , u2 , ... , un) e v = (v1 , v2 , ... , vn)
O produto escalar, ou produto interno, de u e v, denotado por u . v, é o escalar obtido pela multiplicação das componentes correspondentes, comando-seos produtos resultantes:
	u . v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn 
Os vetores u e v são ortogonais (ou perpendiculares) se seu produto escalar é zero, isto é, se u . v = 0.
Exemplo:
	Sejam u = (1, -2, 3, -4), v = (6, 7, 1, -2) e w = (5, -4, 5, 7). Então
	u . v = 1 . 6 + (-2) . 7 + 3 . 1 + (-4) . (-2) = 6 – 14 + 3 + 8 = 3
	u . w = 1 . 5 + (-2) . (-4) + 3 . 5 + (-4) . 7 = 5 + 8 + 15 – 28 = 0
Assim, u e w são ortogonais.
	Seguem-se as propriedades básicas do produto escalar em Rn.
Terema 2.2: Para quaisquer vetores u, v, w em Rn e qualquer escalar k Є R,
(i) (u + v) . w = u . w + v . w
(ii) (ku) . v = k(u . v)
(iii) u . v = v . u
(iv) u . u ≥ 0, e u . u = 0 se e somente se u = 0
Observação: O espaço Rn com as operações acima de adição vetorial, multiplicação escalar e produto escalar é usualmente chamado espaço Euclidiano de dimensão n.
Exercícios:
01. Converta a seguinte equação vetorial em um sistema de equações lineares e resolva:
 = x + y + z 
02. Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3) e u3 = (2, -1, 1).
03. Escreva o vetor v = (2, 3, -5) como combinação de u1 = (1, 2, -3), u2 = (2, -1, -4) e u3 = (1, 7, -5).
04. Determine se os vetores u1 = (1, 1, 1), u2 = (2, -1, 3), e u3 = (1, -5, 3) são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
05. Determine se os vetores (1, -2, -3), (2, 3, -1) e (3, 2, 1) são linearmente dependentes.
06. Calcule u . v, onde u = (1, -2, 3, -4) e v = (6, 7, 1, -2)
07. Sejam u = (3, 2, 1), v = (5, -3, 4), w = (1, 6, -7). Ache:
(a) (u + v) . w
(b) u . w + v . w
08. Sejam u = (1, 2, 3, -4), v = (5, -6, 7, 8), e k = 3. Ache:
(a) k(u . v)
(b) (ku) . v
(c) u . (kv)
09. Sejam u = (5, 4, 1), v = (3, -4, 1) e w = (1, -2, 3). Quais os pares (se houver) de vetores perpendiculares?
010. Determine k de maneira que os vetores u = (1, k, -3) e v = (2, -5, 4) sejam ortogonais.
011. Prove o Teorema 2.2.
Base de um espaço vetorial
	Um conjunto de vetores é chamado de base de um espaço vetorial V, se os vetores do conjunto forem L.I. e gerarem o espaço vetorial V.
a. {v1, v2, ..., vn} é L.I.
b. [v1, v2, ..., vn] = V
Base canônica
	A base canônica, é uma base formada pelos vetores dos eixos coordenados, de módulo 1 (versor).
A base canônica do espaço R² é {(1, 0); (0, 1)}
A base canônica do espaço R³ é {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)}.
Exercícios
01. Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
a) u = (3, -1) e v = (9, -3)
b) u = (2, 3), v = (-1, -1) e w = (2, 0)
c) u = (1, 4) e v = (0, 2)
d) u = (4, 2, 3), v = (2, 0, 0) e w = (-1, 2, 3)
e) u = (1, 2, 3), v = (-1, -1, 4) e w = (0, -2, 2)
02. Encontre uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
U = [(1, 2); (0, 2); (3, 0)]
V = [(1, 0, 1); (0, 2, 3); (1, 2, 4)]
S = {(x, y) R²/ x = y}
T = {(x, y) R²/ 2x + y = 0}
U = {(x, y, z) R³/ x = y = z}
V = {(x, y, z) R³/ 2x = y e z = -3x}
Vetores no Espaço, Notação ijk em R3
Os vetores em R3, chamados vetores no espaço, aparecem em muitas aplicações, especialmente na física. Usa-se com frequência uma notação especial para tais vetores:
	i = (1, 0, 0) é o vetor unitário na direção-x,
	j = (0, 1, 0) é o vetor unitário na direção-y,
	k = (0, 0, 1) é o vetor unitário na direção-z.
Então, qualquer vetor u = (a, b, c) em R3 pode expressar de maneira única como 
	u = (a, b, c) = ai + bj + ck
Como i, j, k são vetores unitários mutuamente ortogonais, temos:
	i . i = 1, j . j = 1, k . k = 1 e i . j = 0, i . k = 0, j . k = 0
	As várias operações com vetores estudadas anteriormente podem expressar-se na notação acima como segue: Sejam u = a1i + a2j + a3k e v = b1i + b2j + b3k. Então:
 u + v = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j + (a3 + b3)k
u.v = a1b1 + a2b2 + a3b3
u = a1i + a2j + a3k , onde é um escalar
||u|| = (norma ou comprimento do vetor u)
Exemplo: Sejam u = 3i + 5j – 2k e v = 4i – 3j + 7k.
(a) Achar u + v, somamos as componentes correspondentes:
u + v = 7i + 2j + 5k
(b) Para achar 3u – 2v, multiplicamos primeiro os vetores pelos escalares, e então somamos:
3u – 2v = (9i + 15j – 6k) + (-8i + 6j – 14k) = 4i + 21j – 20k
(c) Para achar u . v, multiplicamos as componentes correspondentes e somamos:
u . v = 12 – 15 – 14 = -17
(d) Para achar ||u|| = 
Produto Vetorial
Há uma operação especial para vetores u, v em R3, chamada produto vetorial, e denotada por u x v. Especificamente, suponhamos:
	u = a1i + a2j + a3k e v = b1i + b2j + b3k
Então:
	u x v = (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k
Note-se que u x v é um vetor, daí a designação de produto vetorial (também chamado produto externo) de u e v.
	Utilizando a notação de determinante, onde = ad – bc, o produto vetorial também pode ser expresso como
u x v = i - j + k
ou, equivalentemente,
u x v = 
Seguem-se duas propriedades importantes do produto vetorial.
Teorema 2.3: Sejam u, v, w vetores em R3.
(i) O vetor w = u x v é ortogonal a u e a v.
(ii) O valor absoluto do produto triplo (ou produto misto) u . v x w representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u, v, w, conforme se vê na Figura 2.9.
Exemplo:
(a) Sejam u = 4i + 3j + 6k e v = 2i + 5j – 3k. Então
u x v = i - j + k = -39i + 24j + 14k
(b) (2, -1, 5) x (3, 7, 6) = = (-41, 3, 17)
(aqui, obtemos o produto vetorial sem usar a notação ijk)
Exercícios:
01) Determine u x v, onde
(a) u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6)
(b) u = (7, 3, 1) e v = (1, 1, 1)
(c) u = (-4, 12, 2) e v = (6, -18, 3)
02) Considerando os vetores u = 2i – 3j + 4k, v = 3i + j -2k, w = i + 5j + 3k. Determine
(a) u x v
(b) u x w
(c) v x w
03) Ache ||w|| se w = (-3, 1, -2, 4, -5).
04) Determine k tal que ||u|| = , com u = (1, k, -2, 5).
Exercícios complementares:
01) Sejam u = (2, -1, 0, -3), v = (1, -1, -1, 3), w = (1, 3, -2, 2). Ache:
(a) 2u – 3v (b) 5u – 3v – 4w (c) –u + 2v – 2w (d) u . v; u . w; v . w (e)||u||; ||v||; ||w||
02) Determine x e y se:
(a) x(3, 2) = 2(y, -1)
(b) x(2, y) = y(1, -2)
03) Sejam
u1 = , u2 = e u3 = 
Expresse v como combinação linear de u1, u2, u2, onde
(a) v = , (b) v = , (c) v = 
04) Determine se os seguintes vetores u, v, w são linearmente independentes; se não forem expresse um deles como combinação linear dos outros.
(a) u = (1, 0, 1), v = (1, 2, 3), w = (3, 2, 5);
(b) u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 1), w = (0, 1, 1);
(c) u = (1, 2), v = (1, -1), w = (2, 5);
(d) u = (1, 0, 0, 1), v = (0, 1, 2, 1), w = (1, 2, 3, 4);
(e) u = (1, 0, 0, 1), v = (0, 1, 2, 1), w = (1, 2, 4, 3).
05) Dados u = 3i – 4j + 2k, v = 2i + 5j – 3k, w = 4i + 7j + 2k. Determinar:
(a) u x v, (b) u x w, (c) v x w, (d) v x u.
GEOMETRIA ANALÍTICA
Equações de retas
Equação geral da reta
A equação geral da reta é do tipo ax + by + c = 0
Demonstração:
Sejam os pontos A = (x1, y1), B = (x2, y2) e um ponto genérico P = (x, y) de uma reta r.
Como os triângulos APE e ABF são semelhantes, podemos calcular a razão entre os catetos.
Temos: 
O que implica em:
Equação reduzida da reta
Para a equação reduzida da reta, basta explicitar o y na equação geral da reta para obtermos a equação reduzida.
Explicitando y na equação,
(y1 – y2).x + (x2 – x1).y + (x1.y2 – y2.y1) = 0
temos:
Observe o gráfico a seguir.
A razão é constante para dois pontos distintos quaisquer da reta e é igual a tangente de (ângulo de inclinação da reta).
A razão m = é chamada de coeficiente angular da reta.
Equação segmentária da reta
Consideremos a seguinte situação:
Temos os pontos P = (p, 0) e Q = (0, q), que substituindo a equação, temos:
 , dividindo toda a equação por pq, temos:
 , esta equação é a equação segmentária da reta.
Equação vetorial da reta
Dados os pontos P1 = (x1, y1) e P = (x, y) e um vetor diretor = (a, b).
Como os vetores e são paralelos, então
 = .t, onde t R
P – P1 = t.
(x, y) = (x1, y1) + t.(a, b)
Para R³ a equação vetorial é: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c)
Equações paramétricasde reta
A partir da equação vetorial da real (x, y) = (x1, y1) + t.(a, b) obtemos o sistema de equações.
(x, y) = (x1, y1) + (at, bt)
(x, y) = (x1, + at, y1 +bt)
Para R³, temos
Equação simétrica da reta
Partindo das equações paramétricas da reta e explicitando o t, temos:
 e , onde a 0 e b 0
Portanto
Exemplo 1: Dados o ponto P = (1, 2) e o vetor diretor = (-1, 3). Determine a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação simétrica da reta.
Solução
A equação vetorial da reta é (x, y) = (1, 2) + t.(-1, 3)
As equações paramétricas da reta são 
A equação simétrica da reta é 
Exemplo 2: Dados o ponto P = (4, 2, 3) e o vetor diretor = (-1, 3, -2). Determine a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação simétrica da reta.
Solução
A equação vetorial da reta é (x, y, z) = (4, 2, 3) + t.(-1, 3, -2)
As equações paramétricas da reta são 
A equação simétrica da reta é 
Exercícios
1. Determine o valor de “a” para que o ponto (3, -1) pertença a reta ax – 9y + 6 = 0.
2. Determine os pontos em que a reta 2x – 3y – 12 = 0 intercepta os eixos coordenados.
3. Dados os pontos A = (-1, 2) e B = (2, 3), pertencentes à reta r, faça o que se pede:
a) A equação geral da reta r.
b) A equação reduzida da reta r.
c) O coeficiente angular da reta r.
d) A equação segmentária da reta r.
e) A equação vetorial da reta r.
f) As equações paramétricas da reta r.
g) A equação simétrica da reta r.
h) Verifique se os pontos C = (-4, 1) e D = (1, 2) pertencem a reta r.
i) Determine os pontos em que a reta r intercepta os eixos coordenados.
4. Determine o ângulo formado pela reta:
, t R
5. Determine a equação geral, a equação reduzida, a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação simétrica, das retas dos gráficos abaixo:
a) 
b) 
6. Calcule o ângulo formado pelas retas:
a) x + 3y + 1 = 0 e 3x – y – 1 = 0
b) 2x – y + 3 = 0 e 6x – 3y – 3 = 0
7. Calcule os ângulos internos do triângulo cujos vértices são (0, 2); (2, 0) e (4, 2).
8. Prove que os coeficientes a e b da reta ax + by + c = 0 são as componentes do vetor normal da reta.
Equações de planos
Equação geral do plano
A equação geral do plano é da forma ax + by + cz + d = 0, onde o vetor normal ao plano é .
Exemplo 1: Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A = (1, 4, -2) e possui vetor normal .
Solução
Substituindo a, b, e c da equação ax + by + cz + d = 0 pelos componentes do vetor normal, temos:
5x – 2y – 3z + d = 0
Como o plano passa pelo ponto A, podemos aplicar o ponto A na equação.
5.1 – 2.4 – 3.(-2) + d = 0 d = -3
Portanto, a equação geral do plano é 5x – 2y – 3z – 3 = 0.
Exemplo 2: Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A = (1, 0, 2) B = (-1, 1, 0) e C = (2, 2, 1).
Solução
Vamos considerar o vetor normal .
Observe a figura:
Como os vetores são L.I. e ambos os vetores são ortogonais ao vetor normal .
Então temos em subespaço n, tal que
Resolvendo o sistema obtemos:
Temos então que 
Qualquer vetor desse subespaço n é um vetor normal, vamos usar o vetor 
Substituindo na equação do plano ax + by + cz + d = 0, temos -5x + 4y + 3z + d = 0
Aplicando no ponto A temos d = -1
Portanto, a equação do plano é -5x + 4y + 3z – 1 = 0
Equação segmentária do plano
Sejam os pontos A = (p, 0, 0), B = (0, q, 0) e C = (0, 0, r), os pontos de interseção do plano com os eixos ortogonais.
A equação segmentária do plano é:
Exemplo 1: Qual é a equação segmentária do plano que contém os pontos A = (5, 0, 0), B = (0, 2, 0) e C = (0, 0, -3)
Solução: 
Exemplo 2: Qual é a equação segmentária do plano , cuja equação geral é 2x – 3y – z + 6 = 0.
Solução: vamos determinar os pontos de interseção do plano com os eixos ortogonais.
Para A = (p, 0, 0), p = -3
Para B = (0, q, 0), q = 2
Para C = (0, 0, r), r = 6
Portanto, a equação segmentária é 
Equação vetorial do plano
Sejam os vetores e paralelos ao plano e o ponto A pertencente ao plano, para que um ponto qualquer P pertença ao plano, e suficiente e necessário que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e , ou seja, os vetores devem ser L.D.
Temos então:
Portanto, 
Exemplo: Dados os vetores e paralelos ao plano e o ponto A = (1, 3, -2) do plano, encontres a equação vetorial do plano 
Solução: 
Equações paramétricas do plano
A partir da equação vetorial do plano podemos determinar as equações paramétricas do plano.
(x, y, z) = (a, b, c) + t1.(u1, u2, u3) + t2.(v1, v2, v3)
, onde 
Exercícios
01. Quais dos pontos abaixo pertencem ao plano 
a) (0, 0, 12)
b) (5, 2, 6)
c) (4, 4, 4)
d) (0, 0, 0)
e) (3, 0, 0)
02. Dados os pontos A = (1, 1, 2), B = (-1, 3, 0) e C = (2, 5, -3), que pertencem ao plano , faça o que se pede:
a) A equação geral do plano .
b) A equação segmentária do plano .
c) A equação vetorial do plano .
d) As equações paramétricas do plano .
e) Verifique se a reta r: (x, y, z) = (2, 5, -3) + t.(-2, -2, 2), está contida no plano .
03. Encontre a equação do plano que é paralelo ao plano : x + 2y – z + 4 = 0 e passa pelo ponto A = (0, 1, 2).
04. Verifique se os plano a seguir são um subespaço de R³.
a) 
b) 
05. Encontre a equação do plano que é perpendicular à reta r: (x, y, z) = (2, 5, -3) + t.(-2, 3, 2) e passa pelo ponto A = (-1, 3, 2).
06. Determine a equação do plano que passa pelo ponto A = (1, 2, -1) e que corta os eixos coordenados em segmentos iguais.
07. Calcule os valores de a e b para que os planos e sejam paralelos.
08. Determine k para que os planos e sejam ortogonais.
09. Obtenha o plano que contenha o ponto P = (0, 1, 2) e é ortogonal aos planos e .
010. Determine a equação do plano que passa pela reta de interseção dos planos e e é perpendicular ao plano yz.
Cálculo de distâncias
Distância de ponto a ponto
Dados os pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), a distância do ponto A ao ponto B é a norma do vetor .
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
Onde: a = x2 – x1 e b = y2 – y1
Exemplo: Calcule a distância entre os pontos A = (2, 3) e B = (3, 5).
Solução: calculando o vetor = B – A = (3, 5) – (2, 3) = (1, 2)
Calculando a norma do vetor temos:
Portanto a distância entre os pontos A e B é dAB = .
Da mesma forma a distância entre dois pontos em R³ é:
Se , temos: dAB = 
Distância de ponto à reta
No espaço R²
Dada a reta r: ax + by + c = 0 e o ponto P = (x1, y1).
A distância de ponto pode ser encontrada através da fórmula:
Como a demonstração requer conhecimento de relações trigonométricas, a mesma se encontra em apêndices.
No espaço R³
Antes de vermos como se calcula a distância de ponto à reta no espaço R³, voltemos ao produto vetorial.
Produto vetorial
Dados os vetores , o produto vetorial de por é um vetor , tal que o vetor é perpendicular aos vetores e :
 x = 
Onde é a base canônica de R³.
A mesma expressão pode ser escrita na forma do determinante da seguinte matriz.
 x 
O módulo do produto vetorial de por é 
Geometricamente o módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo por e .
Demonstração:
A área do paralelogramo é base vezes altura, da figura temos base = e altura, h = .
Portanto, a área do paralelogramo é 
Exemplo 1:
Dados = (1, 2, 2) e = (0, 1, -2). Calcule .
Distância de ponto à reta
Dado uma reta r e um ponto P não pertencente a r, podemos calcular a distância d.
Vejamos a figura:
Como d = e , temos então:
Exemplo: Calcule a distância do ponto P = (1, 0, 1) a reta r: (x, y, z) = (0, 0, 3) + t.(1, 2, 0), t R.
Solução:
Tomemos um ponto qualquer da reta r, seja esse ponto o ponto A = (0, 0, 3), então o vetor = (1, 0, -2) e temos o vetor diretor da reta = (1, 2, 0).
Vamos calcular o produto vetorial
Vamos agora calcular as normas dos vetores
Portanto a distância é:
Distância de ponto ao plano
Para calcular a distância de um ponto P = a um plano podemos fazer uso da fórmula:
Ou podemos calcular a distância da seguinte forma:
Considerando um ponto P não pertencente ao plano, então existe uma reta passando por P e que é perpendicular ao plano, agora basta calcular a distância do ponto P ao ponto de intersecção da reta com o plano.
Exemplo: Calcule a distância doponto P = (1, 0, 1) ao plano .
Com o vetor normal do plano e o ponto P, obtemos a reta:
Agora basta determinarmos o ponto de intersecção E do plano com a reta.
Substituindo x, y e z da reta r no plano , temos t = .
Temos então E = 
Vamos calcular a distância do ponto P ao ponto E
Ou pela fórmula:
Distância entre duas retas
Só poderemos calcular a distância entre duas retas se elas não forem concorrentes, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum.
Se as retas forem paralelas, podemos pegar um ponto de uma delas e calcular a distância desse ponto até outra reta.
Se as retas forem reversas a distância entre duas retas reversas, r e s é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta.
Exercícios
1. Calcule a distância do ponto (0, 0) a reta .
2. Calcule a distância entre as retas e .
3. Calcule a distância do ponto P = (1, 0, 1) ao plano .
4. Os planos e são paralelos. Determine a distância entre eles.
5. Calcule a distância do plano até a origem do sistema cartesiano R³.
6. Calcule a distância entre as retas r: (x, y, z) = (0, 1, 1) + t(1, 0, 1) e s: (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(1, 1, 2).
7. Calcule a medida da altura do triângulo da figura:
8. Encontre um ponto do eixo y cujo distância ao plano é de 2 unidades.
Apêndice
Determinante de uma matriz de ordem 3, pela regra de Sarrus
Repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.
Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do determinante.
Demonstração da fórmula da distância entre ponto e reta no espaço R²
Sejam a reta r: ax + by + c = 0 e ponto P = (x1, y1)
Queremos calcular a distância d, temos:
1) 
Como
2) 
Como , temos então:
3) 
Substituindo 2 e 3 em 1, temos:
3
2
x
.
(
)
A
a
=
11
A
a
a
=
=
11
11
.
A
a
a
a
a
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è
ç
ö
ø
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11
12
21
22
A
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
-
11
12
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22
11
22
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.
A
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a
a
a
a
a
a
a
a
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æ
è
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ç
ç
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ø
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÷
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32
33
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a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
+
+
-
-
-
11
12
13
21
22
23
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32
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11
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33
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21
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13
13
22
31
12
21
33
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32
11
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10
10
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.
1
2
3
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1
4
2
3
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×
-
×
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-
.
1
1
2
2
4
3
5
1
2
1
4
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1
3
5
2
1
2
2
4
5
1
2
2
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4
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3
6
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-
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×
×
+
-
×
-
×
+
×
×
-
×
×
-
-
×
×
-
-
×
×
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+
+
-
+
+
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(
)
(
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.
 
 
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Î
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a
a
a
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a
a
a
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n
n
n
n
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÷
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2
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L
M
L
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a
a
a
a
a
a
a
a
a
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n
n
n
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j
n
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-
+
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1
L
L
M
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£
k
n
,
A
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a
a
a
a
a
a
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n
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×
×
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-
×
×
+
×
×
+
×
×
=
+
+
+
=
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2
0
2
3
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4
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2
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2
5
4
1
2
2
3
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2
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1
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2
3
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0
2
3
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0
0
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.
 
 
 
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ç
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1
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1
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2
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1
0
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÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
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