07_Nocoes_de_Estatistica-1

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1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Visão Conceitual Básica (1.01. População ou Universo; 1.02. Amostragem x Amostra; 1.03. 
Experimento Aleatório; 1.04. Amostragem Aleatória; 1.05. Método Estatístico). ....................................... 1 
 
2. Variáveis Aleatórias (2.01. A Variável Aleatória Discreta, 2.02. A Variável Aleatória Contínua, 2.03. 
A Variável Qualitativa). ........................................................................................................................... 15 
 
3.Normas de Apresentação Tabular (3.01. Modelo de uma Tabela; 3.02. Séries/Tabelas Estatísticas; 
3.03. Tipos de Séries Estatísticas; 3.04. Estudo elementar de uma série temporal; 3.05. As variações 
percentuais). .......................................................................................................................................... 21 
 
4. Medidas de Tendência Central (4.01. Média Aritmética, simples e ponderada; 4.02. Propriedades da 
Média Aritmética; 4.03. Vantagens da Média Aritmética; 4.04. Desvantagens da Média Aritmética; 4.05. 
Média Típica; 4.06. Média Atípica; 4.07. Mediana; 4.08. Moda. .............................................................. 26 
 
5. Análise e Interpretação Matemática de Gráficos Estatísticos (5.01. Gráfico de Colunas; 5.02. Gráfico 
Pictórico; 5.03. Gráfico de Setores; 5.04. Gráfico de Linhas). ................................................................. 47 
 
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O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
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As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
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- Número da página onde se encontra a dúvida; e 
- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
 
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ESTATÍSTICA 
 
Estatística é um ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provém da palavra latina Status. 
É ciência quando estuda populações; é método, quando serve de instrumento a uma outra ciência. 
Vejamos algumas definições: 
 
- População: ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum, 
denominamos população estatística ou universo estatístico. 
Na maioria da vezes limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas 
uma parte da população. A essa parte proviniente da população em estudo denominamos amostra. 
 
- Amostras: são subconjuntos da população, que conservam, portanto, a característica comum da 
população e são retiradas por técnicas adequadas chamadas de amostragem. 
 
- Parâmetros: são as características numéricas da população. 
 
- Estimativas: em geral, por problemas de tempo e dinheiro, trabalha-se com amostras e não com a 
população. 
 
AMOSTRAGEM 
 
É um técnica especial para recolher amostras, que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. 
 
Probabilística (aleatória): A probabilidade de um elemento da população ser escolhido é conhecida. 
Cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido. 
 
Não-probabilística (não aleatória): Não se conhece a probabilidade de um elemento ser escolhido 
para participar da amostra. 
 
No quadro abaixo está descrita os métodos de amostragem: 
 
1. Visão Conceitual Básica (1.01. População ou Universo; 1.02. 
Amostragem x Amostra; 1.03. Experimento Aleatório; 1.04. 
Amostragem Aleatória; 1.05. Método Estatístico). 
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- Amostragem probabilística 
 
Amostragem casual ou aleatória simples: este tipo de amostragem se assemelha ao sorteio lotérico. 
Ela pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um 
dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais serão pertentes à amostra. 
Exemplo: 15% dos alunos de uma população de notas entre 8 e 10, serão sorteados para receber uma 
bolsa de estudos de inglês. 
 
 
Desvantagens: 
- Requer listagem da população; 
- Trabalhosa em populações elevadas; 
- Custos elevados se a dispersão da amostra for elevada. 
 
Amostragem sistemática: escolher cada elemento de ordem k. Assemelha-se à amostragem 
aleatória simples, porque inicialmente enumeram-se as unidades da população. Mas difere da aleatória 
porque a seleção da amostra é feita por um processo periódico pré-ordenado. Os elementos da população 
já se acham ordenados, não havendo necessidade de construir um sistema de referência. 
Exemplo: Amostra de 15% dos alunos com déficit de atenção diagnosticado. Sorteia-se um valor de 1 
a 5. Se o sorteado for o 2, incluem-se na amostra o aluno 2, o 7, o 12 e assim por diante de cinco em 
cinco. 
 
Amostragem proporcional estratificada: muitas vezes a população se divide em subpopulações – 
estratos, então classificamos a população em, ao menos dois estratos, e extraímos uma amostra de cada 
um. Podemos determinar características como sexo, cor da pele, faixa etária, entre outros. 
Exemplo: Supondo que dos noventa alunos de uma escola, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas 
vamos obter a amostra proporcional estratificada de 10% desta população. 
Temos dois estratos: sexo masculino e feminino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Facilidade de cálculo estatístico; 
- Probabilidade elevada de compatibilidade dos dados da amostra e da população. 
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Sexo População 10% Amostra 
M 54 
10𝑥54
100
= 5,4 5 
F 36 
10𝑥36
100
= 3,6 4 
Total 90 
10𝑥90
100
= 9,0 9 
 
Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem aos meninos e de 55 a 90, as 
meninas. 
Para amostragem muito grande também fazemos o uso da Tabela de Números Aleatórios, elaborada 
a fim de facilitar os cálculos, que foi construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos 
ao acaso nas linhas e colunas, conforme pode ser visto abaixo: 
 
 
 
Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, sorteamos um algarismo qualquer da 
mesma, a partir do qual iremos considerar números de dois, três ou mais algarismos, conforme nossa 
necessidade. Os números obtidos irão indicar os elementos da amostra. 
 
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No nosso exemplo vamos definir como critérios a primeira e a segunda colunas da esquerda, de cima 
para baixo (constituídos de 2 algarismos), obtermos os seguintes números. 
 
57 28 92 90 80 22 56 79 53 18 53 03 27 05 40 
Eliminamos os números maiores que 90 e os números repetidos. 
 
Assim temos: 
28 22 53 18 03 – para os meninos; 
57 90 80 56 – para as meninas. 
 
 
 
Desvantagens: 
- Necessita de maior informação sobre a população; 
- Cálculo estatístico mais complexo. 
 
Amostragem por conglomerado: é uma amostra aleatória de agrupamentos naturais de indivíduos 
(conglomerados) na população. Dividimos em seções a área populacional, selecionamos aleatoriamente 
algumas dessas seções e tomamos todos os elementos das mesmas. 
Exemplo: 
 
A leitura da tabela pode ser feita horizontalmente (da direita para esquerda ou vice versa), 
verticalmente (de cima para baixo ou vice versa), diagonalmente (no sentido ascendente ou 
descendente), formando desenho de alguma letra e até mesmo escolhendo uma única linha ou 
coluna. O critério adotado deve ser definido antes do início do processo. 
 
- Pressupõe um erro de amostragem menor; 
- Assegura uma boa representatividade das variáveis estratificadas; 
- Podem empregar-se metodologias diferentes para cada estrato; 
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O mapa mostra os conglomerados selecionados (neste caso os municípios), que apresentaram a maior 
proporção de casos de dengue confirmados no Estado de São Paulo até março de 2015. 
 
 
Desvantagens: 
- Maior erro de amostragem; 
- Cálculo estatístico mais complexo na estimação do erro de amostragem. 
 
- Amostragem não-probabilística 
 
Amostragem por cotas: consiste em uma amostragem por julgamento que ocorre em suas etapas. 
Em um primeiro momento, são criadas categorias de controle dos elementos da população e, a seguir, 
selecionam-se os elementos da amostra com base em um julgamento. 
 
Amostragem por julgamento: quando o pesquisador seleciona os elementos mais representativos 
da amostra de acordo com seu julgamento pessoal. Essa amostragem é ideal quando o tamanho da 
população é pequeno e suas características, bem conhecidas. 
 
Amostragem por conveniência: é uma amostra composta de indivíduos que atendem os critérios de 
entrada e que são de fácil acesso do investigador. Para o critério de seleção arrolamos uma amostra 
consecutiva. 
Exemplo: Em uma pesquisa sobre dengue, arrolar os 200 pacientes que receberam diagnostico em 
um hospital. 
 
Vantagens Desvantagens 
- Mais econômica; 
- Fácil administração; 
- Não necessita de 
listagem da população. 
 
- Maior erro de amostragem que em 
amostras aleatórias; 
- Não existem metodologias válidas 
para o cálculo do erro de 
amostragem; 
- Limitação representativa; 
- Maior dificuldade de controle de 
trabalho de campo 
 
- Tamanho da Amostra 
 
O tamanho da amostra deve ser determinado antes de se iniciar a pesquisa. 
Deve-se usar a maior amostra possível, pois quanto maior a amostra, maior a representatividade da 
população. Amostras menores possuem resultados menos precisos. 
É muito importante usarmos amostras de tamanhos adequados, para que os dados tenham maior 
confiabilidade e precisão. 
Consideramos: 
- Não existem listagem de toda a população; 
- Concentra os trabalhos de campo num número limitado de elementos da 
população. 
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- Erros de amostragem 
 
Diferença randômica(aleatória) entre a amostra e população da qual a amostra foi retirada. O tamanho 
do erro pode ser medido em amostras probabilísticas, expressa como “erro padrão” (ou precisão) de 
média, proporção entre outros. 
Erro padrão da média: é usado para estimar o desvio padrão da distribuição das médias amostrais, 
tanto para populações finitas ou infinitas (será abordado em medidas de dispersão). 
 
- Intervalo de confiança 
 
É o grau de certeza de a média de uma população. É o intervalo que indica que há 95% de confiança 
de que o parâmetro populacional se encontra. 
Tem como objetivo indicar a precisão de uma amostra em estimar os valores de uma população. 
 
São utilizados também para: 
- Indicar confiabilidade de uma estimativa 
- Como forma alternativa de expressar o nível de significância: Um IC 95% equivale ao nível de 
significância de 5%. 
 
 
Cálculos do intervalo de confiança: 
 
1) Para uma proporção populacional: 
 
 
 
Onde: 
p é a proporção amostral 
Z é o valor da variável normal padrão para o grau de confiabilidade adotado 
n é o tamanho amostral. 
 
2) Para uma média populacional 
Amostras grandes: n > 100 
Amostras médias: n > 30 
Amostras pequenas: n < 30 
Amostras muito pequenas: n < 12 
- A amplitude do intervalo é inversamente proporcional ao tamanho da amostra; 
- Quanto maior o n (menor a margem de erro), mais estreito é o intervalo e maior é a 
precisão. 
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Exemplo: 
 
Dados x = 15, σ = 3, n = 50 
IC 95% μ = X ± z.e 
Para acharmos o Z , basta pegarmos o grau de confiabilidade (neste caso 95%), transforma-lo para 
decimal (0,95) e dividirmos por 2 (0,95 / 2 = 0,475). Após consultamos a tabela z, e achamos o valor 
correspondente à 0,475 = 1,96. Não é necessário memorizar a tabela, no concurso será fornecido o valor 
de z para resolução da questão. 
 
 
𝑒 = 𝑍√
𝜎
𝑛
→ 𝑒 = 1,96√
3
50
→ 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑎çã𝑜 = 0,835 
 
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P (X – e < μ < X + e) 
P (15 – 0,835 < μ < 15 + 0,835)  P (14,16 < μ < 15,83)  X = 15; IC 95% = 14,16 a 15,83. 
 
Referências 
 
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 18ª edição – São Paulo - Editora Saraiva: 2004. 
SILVA, Ermes Medeiros, Elio Medeiros...- Estatística para os cursos de: Economia, Administração, Ciências Contábeis - 3ª edição – São 
Paulo – Editora Atlas S. A: 1999. 
DORA, Filho U – Introdução à Bioestatística para simples mortais – São Paulo – Elsevier: 1999. 
http://www.andremachado.org 
 
PROBABILIDADE 
 
 Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento 
 
Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos 
considerar: 
Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis. 
Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o 
número de elementos do espaço amostra por n(S). 
Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o 
número de elementos do evento por n(A). 
 
Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos. 
Ø = evento impossível. 
S = evento certo. 
 
População: ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum, 
denominamos população estatística ou universo estatístico. 
Na maioria da vezes limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma 
parte da população. A essa parte proviniente da população em estudo denominamos amostra. 
Uma amostra é, portanto, um subconjunto finito de uma população. 
Amostragem: há uma técnica especial para recolher amostras, o que garante o acso na escolha, está 
técnica é chamada de amostragem. 
Amostragem casual ou aleatória simples: Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio 
lotérico. 
Na prática, a amostragem casual ou aleatória simples pode ser realizada numerando-se a populção 
de 1 a n, sortenado-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, k números dessa 
sequência. 
Exemplo: Obtenha uma amostra representativa para a pesquisa de estatura de 90 alunos de uma 
escola. 
Numeramos os alunos de 01 a 90, escrevmos os números em pedaços iguais de um mesmo papel e 
colocamos dentro de uma caixa. Retiramos um a um os números que formarão a amostra. 
Existem outros tipos de amostragem: amostragem proporcional estratificada eamostragem 
sistemática. 
 
Experimento aleatório: experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos 
várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
 
 
 Conceito de Probabilidade 
 
As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de 
ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo 
quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando: 
 
𝑷(𝑨) =
𝒏(𝑨)
𝑵(𝑺)
 
 
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Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, 
temos: 
- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
- um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S. 
- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3. 
- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois 
 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴1)
𝑁(𝑆)
=
3
6
=
1
2
 
 
 Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio 
 
- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é 
igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1. 
- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 - P(A). 
 
Demonstração das PropriedadesConsiderando S como um espaço finito e não vazio, temos: 
 
{
𝑛(∅) = 0 → 𝑃(∅) =
0
𝑛(𝑆)
→ 𝑃(∅) = 0
𝑃(𝑆) =
𝑛(𝑆)
𝑛(𝑆)
→ 𝑃(𝑆) = 1
 
 
{
∅ ∁ 𝐴 ∁ 𝐴 ↔ 𝑛(∅) ≤ 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝑆) ↔
↔ 
𝑛(∅)
𝑛(𝑆)
≤ 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
≤ 
𝑛(𝑆)
𝑛(𝑆)
↔ 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
 
 
{
𝐴 ∪ �̅� = 𝑆
𝐴 ∩ �̅� = ∅
 
 
{
↔ 𝑛(𝐴) + 𝑛(�̅�) = 𝑛(𝑆) ↔
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(�̅�)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝑆)
𝑛(𝑆)
↔
↔ 𝑃(𝐴) + 𝑃(�̅�) = 1 ↔ 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴)
 
 
União de Eventos 
 
Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos: 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 
 
↔
𝑛(𝐴∪𝐵)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
−
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝑆)
 
 
Logo: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
 
 
 
 
 
A
B
S
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. 10 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
 
 
 
Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que 
A ∩ B = 0, portanto: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em 
dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente: 
 
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) 
 
Eventos Exaustivos 
 
Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão 
denominados exaustivos se A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …∪ An = S 
 
 
 
Então, logo: 
 
{
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ …∪ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ⋯+ 𝑃(𝐴𝑛)
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪…𝐴𝑛) = 𝑃(𝑆) = 1
 
Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 
 
 Probabilidade Condicionada 
 
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B 
condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada 
por P(B/A). 
 
Veja: 𝑃(𝐵/𝐴) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐴)
 
 
 
 
Eventos Independentes 
 
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes 
somente quando: 
 
 P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B) 
A
B
S
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. 11 
Intersecção de Eventos 
 
Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo: 
 
𝑃(𝐵/𝐴) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐴)
=
𝑛(𝐴∩𝐵)+𝑛(𝑆)
𝑛(𝐴)+𝑛(𝑆)
=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
 
 
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐵)
=
𝑛(𝐴∩𝐵)+𝑛(𝑆)
𝑛(𝐵)+𝑛(𝑆)
=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
Assim sendo: 
 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) 
P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) 
 
Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição 
ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação: 
 
A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou 
A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
 
 Lei Binominal de Probabilidade 
 
Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de 
maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa 
ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 
– p. 
 
Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer 
o evento A só k vezes? 
 
Resolução: 
- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário 
ocorrer exatamente n – k vezes o evento A. 
- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de 
ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é: 
 
𝑝. 𝑝. 𝑝 … . . 𝑝⏟ 
𝑘 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
. (1 − 𝑝). (1 − 𝑝)… . . (1 − 𝑝)⏟ 
(𝑛−𝑘)𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
= 𝑝𝑘 . (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 
 
- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de 
maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k. 
- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e 
portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . pk . (1 – p)n-k 
 
Questões 
 
01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, 
exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é: 
 
(A) 
1
3
 (B) 
1
2
 (C) 
1
4
 (D) 
1
12
 (E) 
1
8
 
 
02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma 
reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de 
acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os 
filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é: 
 
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. 12 
 
 
(A) 
1
3
 (B) 
1
4
 (C) 
7
15
 (D) 
7
23
 (E) 
7
25
 
 
03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei 
ou uma dama? 
 
04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada 
uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares 
ou dois números iguais? 
 
05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. 
A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é 
(A) 10% 
(B) 12% 
(C) 64% 
(D) 82% 
(E) 86% 
 
06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao 
acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca? 
 
07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. 
Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é: 
(A) 42% 
(B) 45% 
(C) 46% 
(D) 48% 
(E) 50% 
 
08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. 
Podemos concluir que o valor de P(B) é: 
(A) 0,5 
(B) 5/7 
(C) 0,6 
(D) 7/15 
(E) 0,7 
 
09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com 
reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem 
brancas é: 
 
(A) 
1
81
 (B) 
16
81
 (C) 
4
81
 (D) 
24
81
 (E) 
2
81
 
 
10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de 
laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na 
lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas 
suficientes para fazer o suco dessa fruta é: 
 
0
2
4
6
8
10
Sem
filhos
1 filho 2 filhos 3 filhos
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 13 
(A) 1 (B) 
1
39
 (C) 
1
38
 (D) 
2
3
 (E) 
2
37
 
 
Respostas 
 
01. 𝑃(𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) = 4
12
=
1
3
 
 
02. A partir da distribuição apresentada no gráfico: 
08 mulheres sem filhos. 
07 mulheres com 1 filho. 
06 mulheres com 2 filhos. 
02 mulheres com 3 filhos. 
 
Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido 
um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25. 
 
03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) = 4
52
+
4
52
=
8
52
=
2
13
 
 
04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. 
Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
9
36
+
6
36
−
3
36
=
12
36
=
1
3
 
 
05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500 
 
A: o número sorteado é formado por 3 algarismos; 
A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500 
 
B: o número sorteado é múltiplo de 10; 
B = {10, 20, ..., 500}. 
 
Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que 
a1 = 10 
an = 500 
r = 10 
Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 =10 + (n – 1) . 10 → n = 50 
 
Dessa forma, p(B) = 50/500. 
 
A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10; 
A Ω B = {100, 110, ..., 500}. 
De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(A∩B) = 41/500 
 
Por fim, p(A.B) = 
401
500
+
50
500
−
41
500
=
41
50
= 82% 
 
06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas. 
Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9 
A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4 
B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2 
 
 𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
→ 𝑃(𝐴) =
4
9
≅ 44,4% 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
→ 𝑃(𝐵) =
2
9
≅ 22,2% 
 
Como A∩B = ∅, A e B são eventos mutuamente exclusivos; 
Logo: P(A∪B) = P(A) + P(B) = 
4
9
+
2
9
=
6
9
→ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
2
9
≅ 67,0% 
 
07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos: 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 14 
(A) “A” acerta e “B” erra; ou 
(B) “A” erra e “B” acerta. 
 
Assim, temos: 
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 
P (A ∪ B) = 40% . 70% + 60% . 30% 
P (A ∪ B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30 
P (A ∪ B) = 0,28 + 0,18 
P (A ∪ B) = 0,46 
P (A ∪ B) = 46% 
 
08. Sendo A e B eventos independentes, P(A∩B) = P(A) . P(B) e como P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B). 
Temos: 
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 
0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 
0,7 . (PB) = 0,5 
P(B) = 5/7. 
 
09. Representando por 𝑃(𝐵1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝑃4) a probabilidade pedida, temos: 
𝑃(𝐵1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝑃4) = 
𝑃(𝐵1). 𝑃(𝑃2). 𝑃(𝐵3). 𝑃(𝑃4) = 
 
2
6
.
4
6
.
2
6
.
4
6
= (
2
6
)
2
. (
4
6
)
2
=
4
81
 
 
10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes 
foram servidos com apenas um desses sucos, então: 
I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os 
nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas. 
II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove 
primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco. 
A probabilidade de isso ocorrer é: 
 
𝐶9,8. (
1
3
)
8
. (
2
3
)
1
= 9.
1
38
.
2
3
=
2
37
 
 
MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para chegar a um fim que se deseja. 
Vamos destacar o método experimental e o método estatístico. 
Método Experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar 
esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos. 
Método Estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas contantes, admite todas essas 
causas presentes variando-as, resgistrando essas variações e procurando determinar que influências 
cabe a cada uma delas. 
Como exemplo podemos citar a determianção das causas que definem o preço de certa mercadoria. 
Para aplicarmos o método experimental teríamos que vaiar a quantidade da mercadoria e verificar se 
influencia no preço. 
Porém, seria necessário que não houvesse variações de outros fatores. Mas como isso é impossível 
lançamos mão do método estatístico. 
Fases do método estatístico: 
1) Coleta de dados: pode ser direta ou indireta. 
1.1) direta: quando é realizada sobre elementos informativos de resgistro obrigatório. Exemplos: 
nascimentos, casamentos, importação, censo demográfico, etc. 
A coleta direta pode ser: 
a) Contínua (registros). 
b) Periódica (censo). 
c) Ocasional (extemporaneamente) 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 15 
1.2) indireta: quando é inferida de elementos conhecidos.ou do conhecimento de outros fenômenos 
relacionados com o fenômeno estudado. 
2) Crítica dos dados: serve para procurar possíveis falhas, imperfeições e erros que possam influir nos 
resultados. Pode ser externa procurando erros do informante ou interna para observar os elementos 
originais dos dados. 
3) Apuração dos dados: é a soma e o processamento dos dados obtidos. Pode ser manual, 
eletromecânica ou eletrônica. 
4) Exposição ou apresentação dos dados: pode ser através de tabelas ou gráficos para facilitar o 
exame daquilo que está sendo estudado. 
5) Análise dos resultados: fazemos uma análise dos resultados obtidos que tem por base a indução, 
inferência ou tirando daí conclusões e previsões. 
 
 
 
Variáveis: São características que são medidas, controladas ou manipuladas em uma pesquisa. 
Diferem em muitos aspectos, principalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa e na forma 
como podem ser medidas. 
 
Pesquisa “Correlacional” X Pesquisa “Experimental”: A maioria das pesquisas empíricas 
pertencem claramente a uma dessas duas categorias gerais: em uma pesquisa correlacional 
(Levantamento) o pesquisador não influencia (ou tenta não influenciar) nenhuma variável, mas apenas 
as mede e procura por relações (correlações) entre elas, como pressão sanguínea e nível de colesterol. 
Em uma pesquisa experimental (Experimento) o pesquisador manipula algumas variáveis e então mede 
os efeitos desta manipulação em outras variáveis; por exemplo, aumentar artificialmente a pressão 
sanguínea e registrar o nível de colesterol. A análise dos dados em uma pesquisa experimental também 
calcula "correlações" entre variáveis, especificamente entre aquelas manipuladas e as que foram afetadas 
pela manipulação. Entretanto, os dados experimentais podem demonstrar conclusivamente relações 
causais (causa e efeito) entre variáveis. Por exemplo, se o pesquisador descobrir que sempre que muda 
a variável A então a variável B também muda, então ele poderá concluir que A "influencia" B. Dados de 
uma pesquisa correlacional podem ser apenas "interpretados" em termos causais com base em outras 
teorias (não estatísticas) que o pesquisador conheça, mas não podem ser conclusivamente provar 
causalidade. 
 
Variáveis dependentes e variáveis independentes: Variáveis independentes são aquelas que são 
manipuladas enquanto que variáveis dependentes são apenas medidas ou registradas. Esta distinção 
confunde muitas pessoas que dizem que “todas variáveis dependem de alguma coisa”. Entretanto, uma 
vez que se esteja acostumado a esta distinção ela se torna indispensável. Os termos variável dependente 
e independente aplicam-se principalmente à pesquisa experimental, onde algumas variáveis são 
manipuladas, e, neste sentido, são "independentes" dos padrões de reação inicial, intenções e 
características dos sujeitos da pesquisa (unidades experimentais). Espera-se que outras variáveis sejam 
“dependentes” da manipulação ou das condições experimentais. Ou seja, elas dependem "do que os 
sujeitos farão" em resposta. Contrariando um pouco a natureza da distinção, esses termos também são 
usados em estudos em que não se manipulam variáveis independentes, literalmente falando, mas apenas 
se designam sujeitos a “grupos experimentais” baseados em propriedades pré-existentes dos próprios 
sujeitos. Por exemplo, se em uma pesquisa compara-se a contagem de células brancas (White Cell Count 
em inglês, WCC) de homens e mulheres, sexo pode ser chamada de variável independente e WCC de 
variável dependente. 
 
2. Variáveis Aleatórias (2.01. A Variável Aleatória Discreta, 2.02. A 
Variável Aleatória Contínua, 2.03. A Variável Qualitativa). 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 16 
Níveis de Mensuração: As variáveis diferem em “quão bem” elas podem ser medidas, isto é, em 
quanta informação seu nível de mensuração pode prover. Há obviamente algum erro em cada medida, o 
que determina o "montante de informação" que se pode obter, mas basicamente o fator que determina a 
quantidade de informação que uma variável pode prover é o seu tipo de nível de mensuração. Sob este 
prisma as variáveis são classificadas como nominais, ordinais e intervalares. 
- Variáveis nominais permitem apenas classificação qualitativa. Ou seja, elas podem ser medidas 
apenas em termos de quais itens pertencem a diferentes categorias,mas não se pode quantificar nem 
mesmo ordenar tais categorias. Por exemplo, pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos 
da variável A (sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles "tem mais" da qualidade 
representada pela variável. Exemplos típicos de variáveis nominais são sexo, raça, cidade, etc. 
- Variáveis ordinais permitem ordenar os itens medidos em termos de qual tem menos e qual tem mais 
da qualidade representada pela variável, mas ainda não permitem que se diga “o quanto mais”. Um 
exemplo típico de uma variável ordinal é o status socioeconômico das famílias residentes em uma 
localidade: sabe-se que média-alta é mais “alta” do que média, mas não se pode dizer, por exemplo, que 
é 18% mais alta. A própria distinção entre mensuração nominal, ordinal e intervalar representa um bom 
exemplo de uma variável ordinal: pode-se dizer que uma medida nominal provê menos informação do 
que uma medida ordinal, mas não se pode dizer “quanto menos” ou como esta diferença se compara à 
diferença entre mensuração ordinal e intervalar. 
- Variáveis intervalares permitem não apenas ordenar em postos os itens que estão sendo medidos, 
mas também quantificar e comparar o tamanho das diferenças entre eles. Por exemplo, temperatura, 
medida em graus Celsius constitui uma variável intervalar. Pode-se dizer que a temperatura de 40C é 
maior do que 30C e que um aumento de 20C para 40C é duas vezes maior do que um aumento de 30C 
para 40C. 
 
Relações entre variáveis: Duas ou mais variáveis quaisquer estão relacionadas se em uma amostra 
de observações os valores dessas variáveis são distribuídos de forma consistente. Em outras palavras, 
as variáveis estão relacionadas se seus valores correspondem sistematicamente uns aos outros para 
aquela amostra de observações. Por exemplo, sexo e WCC seriam relacionados se a maioria dos homens 
tivesse alta WCC e a maioria das mulheres baixa WCC, ou vice-versa; altura é relacionada ao peso 
porque tipicamente indivíduos altos são mais pesados do que indivíduos baixos; Q.I. está relacionado ao 
número de erros em um teste se pessoas com Q.I.'s mais altos cometem menos erros. 
 
Importância das relações entre variáveis: Geralmente o objetivo principal de toda pesquisa ou 
análise científica é encontrar relações entre variáveis. A filosofia da ciência ensina que não há outro meio 
de representar “significado” exceto em termos de relações entre quantidades ou qualidades, e ambos os 
casos envolvem relações entre variáveis. Assim, o avanço da ciência sempre tem que envolver a 
descoberta de novas relações entre variáveis. Em pesquisas correlacionais a medida destas relações é 
feita de forma bastante direta, bem como nas pesquisas experimentais. Por exemplo, o experimento já 
mencionado de comparar WCC em homens e mulheres pode ser descrito como procura de uma 
correlação entre 2 variáveis: sexo e WCC. A Estatística nada mais faz do que auxiliar na avaliação de 
relações entre variáveis. 
 
Aspectos básicos da relação entre variáveis: As duas propriedades formais mais elementares de 
qualquer relação entre variáveis são a magnitude (“tamanho”) e a confiabilidade da relação. 
- Magnitude é muito mais fácil de entender e medir do que a confiabilidade. Por exemplo, se cada 
homem em nossa amostra tem um WCC maior do que o de qualquer mulher da amostra, poderia-se dizer 
que a magnitude da relação entre as duas variáveis (sexo e WCC) é muito alta em nossa amostra. Em 
outras palavras, poderia-se prever uma baseada na outra (ao menos na amostra em questão). 
- Confiabilidade é um conceito muito menos intuitivo, mas extremamente importante. Relaciona-se à 
“representatividade” do resultado encontrado em uma amostra específica de toda a população. Em outras 
palavras, diz quão provável será encontrar uma relação similar se o experimento fosse feito com outras 
amostras retiradas da mesma população, lembrando que o maior interesse está na população. O 
interesse na amostra reside na informação que ela pode prover sobre a população. Se o estudo atender 
certos critérios específicos (que serão mencionados posteriormente) então a confiabilidade de uma 
relação observada entre variáveis na amostra pode ser estimada quantitativamente e representada 
usando uma medida padrão (chamada tecnicamente de nível-p ou nível de significância estatística). 
 
Significância Estatística (nível-p): A significância estatística de um resultado é uma medida estimada 
do grau em que este resultado é “verdadeiro” (no sentido de que seja realmente o que ocorre na 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 17 
população, ou seja no sentido de “representatividade da população”). Mais tecnicamente, o valor do nível-
p representa um índice decrescente da confiabilidade de um resultado. Quanto mais alto o nível-p, menos 
se pode acreditar que a relação observada entre as variáveis na amostra é um indicador confiável da 
relação entre as respectivas variáveis na população. Especificamente, o nível-p representa a 
probabilidade de erro envolvida em aceitar o resultado observado como válido, isto é, como 
“representativo da população”. Por exemplo, um nível-p de 0,05 (1/20) indica que há 5% de probabilidade 
de que a relação entre as variáveis, encontrada na amostra, seja um “acaso feliz”. Em outras palavras, 
assumindo que não haja relação entre aquelas variáveis na população, e o experimento de interesse seja 
repetido várias vezes, poderia-se esperar que em aproximadamente 20 realizações do experimento 
houvesse apenas uma em que a relação entre as variáveis em questão seria igual ou mais forte do que 
a que foi observada naquela amostra anterior. Em muitas áreas de pesquisa, o nível-p de 0,05 é 
costumeiramente tratado como um “limite aceitável” de erro. 
 
Como determinar que um resultado é “realmente” significante: Não há meio de evitar 
arbitrariedade na decisão final de qual nível de significância será tratado como realmente “significante”. 
Ou seja, a seleção de um nível de significância acima do qual os resultados serão rejeitados como 
inválidos é arbitrária. Na prática, a decisão final depende usualmente de: se o resultado foi previsto a 
priori ou apenas a posteriori no curso de muitas análises e comparações efetuadas no conjunto de dados; 
no total de evidências consistentes do conjunto de dados; e nas “tradições” existentes na área particular 
de pesquisa. Tipicamente, em muitas ciências resultados que atingem nível-p 0,05 são considerados 
estatisticamente significantes, mas este nível ainda envolve uma probabilidade de erro razoável (5%). 
Resultados com um nível-p 0,01 são comumente considerados estatisticamente significantes, e com 
nível-p 0,005 ou nível-p 0,001 são frequentemente chamados "altamente" significantes. Estas 
classificações, porém, são convenções arbitrárias e apenas informalmente baseadas em experiência 
geral de pesquisa. Uma consequência óbvia é que um resultado considerado significante a 0,05, por 
exemplo, pode não sê-lo a 0,01. 
 
Significância estatística e o número de análises realizadas: Desnecessário dizer quanto mais 
análises sejam realizadas em um conjunto de dados, mais os resultados atingirão “por acaso” o nível de 
significância convencionado. Por exemplo, ao calcular correlações entre dez variáveis (45 diferentes 
coeficientes de correlação), seria razoável esperar encontrar por acaso que cerca de dois (um em cada 
20) coeficientes de correlação são significantes ao nível-p 0,05, mesmo que os valores das variáveis 
sejam totalmente aleatórios, e aquelas variáveis não se correlacionem na população. Alguns métodos 
estatísticos que envolvem muitas comparações, e portanto uma boa chance para tais erros, incluem 
alguma "correção" ou ajuste para o número total de comparações. Entretanto, muitos métodos estatísticos 
(especialmente análises exploratórias simples de dados) não oferecem nenhum remédio direto para este 
problema. Cabe então ao pesquisador avaliar cuidadosamente a confiabilidade dedescobertas não 
esperadas. 
 
Força X Confiabilidade de uma relação entre variáveis: Foi dito anteriormente que força 
(magnitude) e confiabilidade são dois aspectos diferentes dos relacionamentos entre variáveis. Contudo, 
eles não são totalmente independentes. Em geral, em uma amostra de certo tamanho quanto maior a 
magnitude da relação entre variáveis, mais confiável a relação. 
Assumindo que não há relação entre as variáveis na população, o resultado mais provável deveria ser 
também não encontrar relação entre as mesmas variáveis na amostra da pesquisa. Assim, quanto mais 
forte a relação encontrada na amostra menos provável é a não existência da relação correspondente na 
população. Então a magnitude e a significância de uma relação aparentam estar fortemente relacionadas, 
e seria possível calcular a significância a partir da magnitude e vice-versa. Entretanto, isso é válido apenas 
se o tamanho da amostra é mantido constante, porque uma relação de certa força poderia ser tanto 
altamente significante ou não significante de todo dependendo do tamanho da amostra. 
 
Por que a significância de uma relação entre variáveis depende do tamanho da amostra: Se há 
muito poucas observações então há também poucas possibilidades de combinação dos valores das 
variáveis, e então a probabilidade de obter por acaso uma combinação desses valores que indique uma 
forte relação é relativamente alta. Considere-se o seguinte exemplo: 
Há interesse em duas variáveis (sexo: homem, mulher; WCC: alta, baixa) e há apenas quatro sujeitos 
na amostra (2 homens e 2 mulheres). A probabilidade de se encontrar, puramente por acaso, uma relação 
de 100% entre as duas variáveis pode ser tão alta quanto 1/8. Explicando, há uma chance em oito de que 
os dois homens tenham alta WCC e que as duas mulheres tenham baixa WCC, ou vice-versa, mesmo 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 18 
que tal relação não exista na população. Agora considere-se a probabilidade de obter tal resultado por 
acaso se a amostra consistisse de 100 sujeitos: a probabilidade de obter aquele resultado por acaso seria 
praticamente zero. 
Observando um exemplo mais geral. Imagine-se uma população teórica em que a média de WCC em 
homens e mulheres é exatamente a mesma. Supondo um experimento em que se retiram pares de 
amostras (homens e mulheres) de certo tamanho da população e calcula-se a diferença entre a média de 
WCC em cada par de amostras (supor ainda que o experimento será repetido várias vezes). Na maioria 
dos experimentos os resultados das diferenças serão próximos de zero. Contudo, de vez em quando, um 
par de amostra apresentará uma diferença entre homens e mulheres consideravelmente diferente de 
zero. Com que frequência isso acontece? Quanto menor a amostra em cada experimento maior a 
probabilidade de obter esses resultados errôneos, que, neste caso, indicariam a existência de uma 
relação entre sexo e WCC obtida de uma população em que tal relação não existe. Observe-se mais um 
exemplo (“razão meninos para meninas”, Nisbett et al., 1987): 
Há dois hospitais: no primeiro nascem 120 bebês a cada dia e no outro apenas 12. Em média a razão 
de meninos para meninas nascidos a cada dia em cada hospital é de 50/50. Contudo, certo dia, em um 
dos hospitais nasceram duas vezes mais meninas do que meninos. Em que hospital isso provavelmente 
aconteceu? A resposta é óbvia para um estatístico, mas não tão óbvia para os leigos: é muito mais 
provável que tal fato tenha ocorrido no hospital menor. A razão para isso é que a probabilidade de um 
desvio aleatório da média da população aumenta com a diminuição do tamanho da amostra (e diminui 
com o aumento do tamanho da amostra). 
 
Por que pequenas relações podem ser provadas como significantes apenas por grandes 
amostras: Os exemplos dos parágrafos anteriores indicam que se um relacionamento entre as variáveis 
em questão (na população) é pequeno, então não há meio de identificar tal relação em um estudo a não 
ser que a amostra seja correspondentemente grande. Mesmo que a amostra seja de fato “perfeitamente 
representativa” da população o efeito não será estatisticamente significante se a amostra for pequena. 
Analogamente, se a relação em questão é muito grande na população então poderá ser constatada como 
altamente significante mesmo em um estudo baseado em uma pequena amostra. Mais um exemplo: 
Se uma moeda é ligeiramente viciada, de tal forma que quando lançada é ligeiramente mais provável 
que ocorram caras do que coroas (por exemplo uma proporção 60% para 40%). Então dez lançamentos 
não seriam suficientes para convencer alguém de que a moeda é viciada, mesmo que o resultado obtido 
(6 caras e 4 coroas) seja perfeitamente representativo do viesamento da moeda. Entretanto, dez 
lançamentos não são suficientes para provar nada? Não, se o efeito em questão for grande o bastante, 
os dez lançamentos serão suficientes. Por exemplo, imagine-se que a moeda seja tão viciada que não 
importe como venha a ser lançada o resultado será cara. Se tal moeda fosse lançada dez vezes, e cada 
lançamento produzisse caras, muitas pessoas considerariam isso prova suficiente de que há “algo errado” 
com a moeda. Em outras palavras, seria considerada prova convincente de que a população teórica de 
um número infinito de lançamentos desta moeda teria mais caras do que coroas. Assim, se a relação é 
grande, então poderá ser considerada significante mesmo em uma pequena amostra. 
 
Pode uma “relação inexistente” ser um resultado significante: Quanto menor a relação entre as 
variáveis maior o tamanho de amostra necessário para prová-la significante. Por exemplo, imagine-se 
quantos lançamentos seriam necessários para provar que uma moeda é viciada se seu viesamento for 
de apenas 0,000001 %! Então, o tamanho mínimo de amostra necessário cresce na mesma proporção 
em que a magnitude do efeito a ser demonstrado decresce. Quando a magnitude do efeito aproxima-se 
de zero, o tamanho de amostra necessário para prová-lo aproxima-se do infinito. Isso quer dizer que, se 
quase não há relação entre duas variáveis o tamanho da amostra precisa quase ser igual ao tamanho da 
população, que teoricamente é considerado infinitamente grande. A significância estatística representa a 
probabilidade de que um resultado similar seja obtido se toda a população fosse testada. Assim, qualquer 
coisa que fosse encontrada após testar toda a população seria, por definição, significante ao mais alto 
nível possível, e isso também inclui todos os resultados de "relação inexistente". 
 
Como medir a magnitude (força) das relações entre variáveis: Há muitas medidas da magnitude 
do relacionamento entre variáveis que foram desenvolvidas por estatísticos: a escolha de uma medida 
específica em dadas circunstâncias depende do número de variáveis envolvidas, níveis de mensuração 
usados, natureza das relações, etc. Quase todas, porém, seguem um princípio geral: elas procuram 
avaliar a relação comparando-a de alguma forma com a “máxima relação imaginável” entre aquelas 
variáveis específicas. Tecnicamente, um modo comum de realizar tais avaliações é observar quão 
diferenciados são os valores das variáveis, e então calcular qual parte desta “diferença global disponível” 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 19 
seria detectada na ocasião se aquela diferença fosse “comum” (fosse apenas devida à relação entre as 
variáveis) nas duas (ou mais) variáveis em questão. Falando menos tecnicamente, compara-se “o que é 
comum naquelas variáveis” com “o que potencialmente poderia haver em comum se as variáveis fossem 
perfeitamente relacionadas”. Outro exemplo: 
Em uma amostra o índice médio de WCC é igual a 100 em homens e 102 em mulheres. Assim, poderia-
se dizer que, em média, o desvio de cada valor da média de ambos (101) contém uma componente devida 
ao sexo do sujeito, e o tamanho desta componente é 1. Este valor, em certo sentido, representa uma 
medida da relaçãoentre sexo e WCC. Contudo, este valor é uma medida muito pobre, porque não diz 
quão relativamente grande é aquela componente em relação à "diferença global" dos valores de WCC. 
Há duas possibilidades extremas: S 
- Se todos os valore de WCC de homens são exatamente iguais a 100 e os das mulheres iguais a 102 
então todos os desvios da média conjunta na amostra seriam inteiramente causados pelo sexo. Poderia-
se dizer que nesta amostra sexo é perfeitamente correlacionado a WCC, ou seja, 100% das diferenças 
observadas entre os sujeitos relativas a suas WCC's devem-se a seu sexo. 
- Se todos os valores de WCC estão em um intervalo de 0 a 1000, a mesma diferença (de 2) entre a 
WCC média de homens e mulheres encontrada no estudo seria uma parte tão pequena na diferença 
global dos valores que muito provavelmente seria considerada desprezível. Por exemplo, um sujeito a 
mais que fosse considerado poderia mudar, ou mesmo reverter, a direção da diferença. Portanto, toda 
boa medida das relações entre variáveis tem que levar em conta a diferenciação global dos valores 
individuais na amostra e avaliar a relação em termos (relativos) de quanto desta diferenciação se deve à 
relação em questão. 
 
“Formato geral” de muitos testes estatísticos: Como o objetivo principal de muitos testes 
estatísticos é avaliar relações entre variáveis, muitos desses testes seguem o princípio exposto no item 
anterior. Tecnicamente, eles representam uma razão de alguma medida da diferenciação comum nas 
variáveis em análise (devido à sua relação) pela diferenciação global daquelas variáveis. Por exemplo, 
teria-se uma razão da parte da diferenciação global dos valores de WCC que podem se dever ao sexo 
pela diferenciação global dos valores de WCC. Esta razão é usualmente chamada de razão da variação 
explicada pela variação total. Em estatística o termo variação explicada não implica necessariamente que 
tal variação é “compreendida conceitualmente”. O termo é usado apenas para denotar a variação comum 
às variáveis em questão, ou seja, a parte da variação de uma variável que é “explicada” pelos valores 
específicos da outra variável e vice-versa. 
 
Como é calculado o nível de significância estatístico: Assuma-se que já tenha sido calculada uma 
medida da relação entre duas variáveis (como explicado acima). A próxima questão é “quão significante 
é esta relação”? Por exemplo, 40% da variação global ser explicada pela relação entre duas variáveis é 
suficiente para considerar a relação significante? “Depende”. Especificamente, a significância depende 
principalmente do tamanho da amostra. Como já foi explicado, em amostras muito grandes mesmo 
relações muito pequenas entre variáveis serão significantes, enquanto que em amostras muito pequenas 
mesmo relações muito grandes não poderão ser consideradas confiáveis (significantes). Assim, para 
determinar o nível de significância estatística torna-se necessária uma função que represente o 
relacionamento entre “magnitude” e “significância” das relações entre duas variáveis, dependendo do 
tamanho da amostra. Tal função diria exatamente “quão provável é obter uma relação de dada magnitude 
(ou maior) de uma amostra de dado tamanho, assumindo que não há tal relação entre aquelas variáveis 
na população”. Em outras palavras, aquela função forneceria o nível de significância (nível-p), e isso 
permitiria conhecer a probabilidade de erro envolvida em rejeitar a ideia de que a relação em questão não 
existe na população. Esta hipótese “alternativa” (de que não há relação na população) é usualmente 
chamada de hipótese nula. Seria ideal se a função de probabilidade fosse linear, e por exemplo, apenas 
tivesse diferentes inclinações para diferentes tamanhos de amostra. Infelizmente, a função é mais 
complexa, e não é sempre exatamente a mesma. Entretanto, em muitos casos, sua forma é conhecida e 
isso pode ser usado para determinar os níveis de significância para os resultados obtidos em amostras 
de certo tamanho. Muitas daquelas funções são relacionadas a um tipo geral de função que é chamada 
de normal (ou gaussiana). 
 
Por que a distribuição normal é importante: A “distribuição normal” é importante porque em muitos 
casos ela se aproxima bem da função introduzida no item anterior. A distribuição de muitas estatísticas 
de teste é normal ou segue alguma forma que pode ser derivada da distribuição normal. Neste sentido, 
filosoficamente, a distribuição normal representa uma das elementares “verdades acerca da natureza 
geral da realidade”, verificada empiricamente, e seu status pode ser comparado a uma das leis 
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. 20 
fundamentais das ciências naturais. A forma exata da distribuição normal (a característica “curva do sino”) 
é definida por uma função que tem apenas dois parâmetros: média e desvio padrão. 
Uma propriedade característica da distribuição normal é que 68% de todas as suas observações caem 
dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média, um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos 
valores, e 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios padrões da média. Em outras 
palavras, em uma distribuição normal as observações que tem um valor padronizado de menos do que -
2 ou mais do que +2 tem uma frequência relativa de 5% ou menos (valor padronizado significa que um 
valor é expresso em termos de sua diferença em relação à média, dividida pelo desvio padrão). 
 
Ilustração de como a distribuição normal é usada em raciocínio estatístico (indução): 
Retomando o exemplo já discutido, onde pares de amostras de homens e mulheres foram retirados de 
uma população em que o valor médio de WCC em homens e mulheres era exatamente o mesmo. Embora 
o resultado mais provável para tais experimentos (um par de amostras por experimento) é que a diferença 
entre a WCC média em homens e mulheres em cada par seja próxima de zero, de vez em quando um 
par de amostras apresentará uma diferença substancialmente diferente de zero. Quão frequentemente 
isso ocorre? Se o tamanho da amostra é grande o bastante, os resultados de tais repetições são 
“normalmente distribuídos”, e assim, conhecendo a forma da curva normal pode-se calcular precisamente 
a probabilidade de obter “por acaso” resultados representando vários níveis de desvio da hipotética média 
populacional 0 (zero). Se tal probabilidade calculada é tão pequena que satisfaz ao critério previamente 
aceito de significância estatística, então pode-se concluir que o resultado obtido produz uma melhor 
aproximação do que está acontecendo na população do que a “hipótese nula”. Lembrando ainda que a 
hipótese nula foi considerada apenas por “razões técnicas” como uma referência contra a qual o resultado 
empírico (dos experimentos) foi avaliado. 
 
Todos os testes estatísticos são normalmente distribuídos: Não todos, mas muitos são ou 
baseados na distribuição normal diretamente ou em distribuições a ela relacionadas, e que podem ser 
derivadas da normal, como as distribuições t, F ou Chi-quadrado (Qui-quadrado). Tipicamente, estes 
testes requerem que as variáveis analisadas sejam normalmente distribuídas na população, ou seja, que 
elas atendam à "suposição de normalidade". Muitas variáveis observadas realmente são normalmente 
distribuídas, o que é outra razão por que a distribuição normal representa uma "característica geral" da 
realidade empírica. O problema pode surgir quando se tenta usar um teste baseado na distribuição normal 
para analisar dados de variáveis que não são normalmente distribuídas. Em tais casos há duas opções. 
Primeiramente, pode-se usar algum teste "não paramétrico" alternativo (ou teste “livre de distribuição”); 
mas isso é frequentemente inconveniente porque tais testes são tipicamente menos poderosos e menos 
flexíveis em termos dos tipos de conclusões que eles podem proporcionar. Alternativamente, em muitos 
casos ainda se pode usar um teste baseado na distribuição normal se apenas houver certeza de que o 
tamanhodas amostras é suficientemente grande. Esta última opção é baseada em um princípio 
extremamente importante que é largamente responsável pela popularidade dos testes baseados na 
distribuição normal. Nominalmente, quanto mais o tamanho da amostra aumente, mais a forma da 
distribuição amostral (a distribuição de uma estatística da amostra) da média aproxima-se da forma da 
normal, mesmo que a distribuição da variável em questão não seja normal. Este princípio é chamado de 
Teorema Central do Limite. 
 
Como se conhece as consequências de violar a suposição de normalidade: Embora muitas das 
declarações feitas anteriormente possam ser provadas matematicamente, algumas não têm provas 
teóricas e podem demonstradas apenas empiricamente via experimentos Monte Carlo (simulações 
usando geração aleatória de números). Nestes experimentos grandes números de amostras são geradas 
por um computador seguindo especificações pré-designadas e os resultados de tais amostras são 
analisados usando uma grande variedade de testes. Este é o modo empírico de avaliar o tipo e magnitude 
dos erros ou viesamentos a que se expõe o pesquisador quando certas suposições teóricas dos testes 
usados não são verificadas nos dados sob análise. Especificamente, os estudos de Monte Carlo foram 
usados extensivamente com testes baseados na distribuição normal para determinar quão sensíveis eles 
eram à violações da suposição de que as variáveis analisadas tinham distribuição normal na população. 
A conclusão geral destes estudos é que as consequências de tais violações são menos severas do que 
se tinha pensado a princípio. Embora estas conclusões não devam desencorajar ninguém de se 
preocupar com a suposição de normalidade, elas aumentaram a popularidade geral dos testes estatísticos 
dependentes da distribuição normal em todas as áreas de pesquisa. 
 
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. 21 
Objeto da Estatística: Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para 
coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais 
como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os 
quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em 
estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor 
compreensão das situações que representam. Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos 
estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar 
a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o 
máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os dados 
provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, 
deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de 
estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais 
realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de 
uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido. 
Exemplo: Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os tipos de saladas, de 
sobremesas e de carnes disponíveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa 
qualidade. Basta que seja provado um tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem 
servidos e que a comida está dentro dos padrões. 
 
 
 
SERIES ESTATÍSTICAS 
 
A Estatística tem objetivo sintetizar os valores que uma ou mais variáveis possam assumir, para que 
tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. Esses valores irão fornecer 
informações rápidas e seguras. 
 
 Tabela: é um quadro que resume um conjunto de observações. Uma tabela compõe-se de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.Normas de Apresentação Tabular (3.01. Modelo de uma Tabela; 3.02. 
Séries/Tabelas Estatísticas; 3.03. Tipos de Séries Estatísticas; 3.04. Estudo 
elementar de uma série temporal; 3.05. As variações percentuais). 
1) Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo; 
2) Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; 
3) Coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; 
4) Linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal; 
5) Casa ou célula – espaço destinado a um só número; 
6) Título – Conjunto de informações, as mais completas possíveis, que satisfazem as seguintes 
perguntas: O quê? Quando? Onde? localizando-se no topo da tabela. 
 
Elementos complementares: de preferência colocados no rodapé. 
- Fonte; 
- Notas; 
- Chamadas. 
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. 22 
 
 
 
 Séries Estatísticas: toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos 
em função da época, do local ou da espécie. 
 
Observamos três elementos: 
- tempo; 
- espaço; 
- espécie. 
 
Conforme varie um dos elementos da série, podemos classifica-la em: 
- Histórica; 
- Geográfica; 
- Específica. 
 
- Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas: Os valores da variável são descritos em, 
determinado local, em intervalos de tempo. 
 
 
 
- Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização: valores da variável, em determinado 
instante, discriminados segundo regiões. 
 
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. 23 
 
 
- Séries específicas ou categóricas: aquelas que descrevem valores da variável, em determinado 
tempo e local, segundo especificações ou categorias. 
 
 
 
- Séries conjugadas – Tabela de dupla entrada: utilizamos quando temos a necessidade de 
apresentar, em uma única tabela, variações de mais de uma variável. Com isso conjugamos duas séries 
em uma única tabela, obtendo uma tabela de dupla entrada, na qual ficam criadas duas ordens de 
classificação: uma horizontal e uma vertical. 
 
Na tabela abaixo vamos a variável região e tempo. 
 
 
 
 
 
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. 24 
 Dados absolutos e dados relativos 
 
Aos dados resultantes da coleta direta da fonte, sem manuseio senão contagem ou medida, são 
chamados dados absolutos. Não é dado muito importância a estes dados, utilizando-se de os dados 
relativos. 
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões) que estabelecem entre dados 
absolutos e têm por finalidade facilitar as comparações entre quantidades. Os mesmos podem ser 
traduzidos por meio de percentagens, índices, coeficientes e taxas. 
 
- Percentagens: 
 
Considerando a série: 
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA 
CIDADE A - 1995 
CATEGORIAS NÚMERO DE ALUNOS 
1º grau 19.286 
2º grau 1.681 
3º grau 234 
Total 21.201 
Dados fictícios. 
 
 
Calculando os percentagens dos alunos de cada grau: 
 
1º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
19.286𝑥100
21.201
= 90,96 = 91,0 
 
2º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
1.681𝑥100
21.201
= 7,92 = 7,9 
 
3º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
234𝑥100
21.201
= 1,10 = 1,1 
 
Formamos com os dados uma nova coluna na série em estudo: 
 
 
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A - 1995 
CATEGORIAS NÚMERO DE ALUNOS % 
1º grau 19.286 91,0 
2º grau 1.681 7,9 
3º grau 234 1,1 
Total 21.201 100,0 
 
Esses novos valores nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade A, 91 estão matriculados no 1º 
grau, 8 (aproximadamente) no 2º grau e 1 no 3º grau. 
 
- Índices: razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra. 
 
Exemplos: 
 
𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙𝑒𝑡𝑢𝑎𝑙 = 
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑛𝑜𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎
𝑥100 
 
 
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 = 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
 
 
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. 25 
 
Econômicos: 
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 = 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
 
 
𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 = 
𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
 
 
 
- Coeficientes: razões entre o número de ocorrências e o número total (ocorrências e não 
ocorrências). 
 
Exemplos: 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ó𝑏𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Educacionais: 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑎𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
 
 
 
- Taxas: coeficientes multiplicados por um potência de 10 (10,100, 1000, ...) para tornar o resultado 
mais inteligível. 
 
Exemplos: 
 
Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000. 
Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1000. 
 
1) Em cada 200 celulares vendidos, 4 apresentam defeito. 
Coeficiente de defeitos: 4/200 = 0,02 
Taxa de defeitos = 2% (0,02 x 100) 
 
Questões 
 
01. O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1º ano no início de 2009 e 683.816 no final do ano. 
O estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado apresentou maior 
evasão escolar? 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: Evasão estado A: 6,8% e Evasão estado B: 5,5%. 
 
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑨: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜: 
683816
733986
= 0,931647𝑥100 = 93,16472 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 6,8% 
 
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑩: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜: 
412457
436127
= 0,945727𝑥100 = 94,57268 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 5,4% 
 
 
Referências 
 
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 17ª edição – São Paulo - Editora Saraiva: 2002 
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. 26 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os 
elementos de A. 
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o 
resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos de 
A relativa a essa operação. 
 
 Média Aritmética Simples 
 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. 
 
- Cálculo da média aritmética 
 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por 
definição: 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. 
 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 
elementos, dividida por 5. Assim: 
 
𝑥 = 
3 + 4 + 6 + 9 + 13
5
↔ 𝑥 = 
35
5
↔ 𝑥 = 7 
 
A média aritmética é 7. 
 
4. Medidas de Tendência Central 
(4.01. Média Aritmética, simples e ponderada; 
4.02. Propriedades da Média Aritmética; 
4.03. Vantagens da Média Aritmética; 
4.04. Desvantagens da Média Aritmética; 
4.05. Média Típica; 
4.06. Média Atípica; 
4.07. Mediana; 
4.08. Moda. 
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus 
elementos, dividida pelo número de elementos n. 
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. 27 
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguro estão indicados a seguir: 
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90 
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65 
 
Se somarmos todos os valores teremos: 
 
𝑥 =
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65
15
=
1075
15
= 71,70 
 
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de turistas foi de R$ 71,70. 
 
 Média aritmética ponderada 
 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um 
“determinado peso” é chamada média aritmética ponderada. 
 
- Cálculo da média aritmética ponderada 
 
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com 
“pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição: 
 
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto, 
 
 
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então 𝑥 =
𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; …; 𝑥𝑛
𝑛
: que é a média aritmética simples. 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, 
respectivamente. 
 
Se x for a média aritmética ponderada, então: 
 
𝑥 = 
2 .35 + 3 .20 + 5 .10
2 + 3 + 5
↔ 𝑥 = 
70 + 60 + 50
10
 ↔ 𝑥 = 
180
10
 ↔ 𝑥 = 18 
 
A média aritmética ponderada é 18. 
 
2) Em um dia de pesca nos rios do pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes 
capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado em Campo Grande. 
 
 
 
A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos 
produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos. 
 
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. 28 
Tipo de peixe Quilo de peixe pescado Preço por quilo 
Peixe A 18 R$ 3,00 
Peixe B 10 R$ 5,00 
Peixe C 6 R$ 9,00 
 
Vamos determinar o preço médio do quilograma do peixe vendido pelos pescadores ao supermercado. 
Considerando que a variável em estudo é o preço do quilo do peixe e fazendo a leitura da tabela, 
concluímos que foram pescados 18 kg de peixe ao valor unitário de R$ 3,00, 10 kg de peixe ao valor 
unitário de R$ 5,00 e 6 kg de peixe ao valor de R$ 9,00. 
Vamos chamar o preço médio de p: 
𝑝 =
18𝑥3,00 + 10𝑥5,00 + 6𝑥9,00
18 + 10 + 6
=
54 + 50 + 54
34
=
158
34
= 4,65 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Neste caso o fator de ponderação foi a quantidade de peixes capturadas de cada espécie. 
 
 
 
Questões 
 
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP/2014) Na festa de seu aniversário em 2014, todos os sete filhos de João estavam 
presentes. A idade de João nessa ocasião representava 2 vezes a média aritmética da idade de seus 
filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a idade de João valia 
(A) 1,5. 
(B) 2,0. 
(C) 2,5. 
(D) 3,0. 
(E) 3,5. 
 
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os censos populacionais produzem informações 
que permitem conhecer a distribuição territorial e as principais características das pessoas e dos 
domicílios, acompanhar sua evolução ao longo do tempo, e planejar adequadamente o uso sustentável 
dos recursos, sendo imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de 
investimento. Constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos 
municípios e em seus recortes internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanos – cujas 
realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários para serem conhecidas. 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.shtm 
(Acesso dia 29/08/2011) 
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a distribuição entre homens e mulheres no território 
brasileiro. A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira disponibilizada pelo IBGE. 
 
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php 
(Acesso dia 29/08/2011) 
 
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de homens e mulheres, por faixa etária de uma 
determinada cidade. (Dados aproximados) 
A palavra média, sem especificações (aritmética ou ponderada), 
deve ser entendida como média aritmética. 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 29 
Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e com base no quadro abaixo a 
frequência relativa, dos homens, da classe [30, 34] é: 
 
 
(A) 64%. 
(B) 35%. 
(C) 25%. 
(D) 29%. 
(E) 30%. 
 
03. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de densidade 800 g/l será misturado a um líquido L2 
de densidade 900 g/l Tal mistura será homogênea e terá aproporção de 3 partes de L1 para cada 5 partes 
de L2 A densidade da mistura final, em g/l, será 
(A) 861,5. 
(B) 862. 
(C) 862,5. 
(D) 863. 
 
04. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as Áreas – EB) Em uma turma a média 
aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos 
homens é 6. Se o número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o número total 
de alunos da turma é 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 16. 
(E) 20. 
 
05. (SAP/SP - Oficial Administrativo – VUNESP) A altura média, em metros, dos cinco ocupantes de 
um carro era y. Quando dois deles, cujas alturas somavam 3,45 m, saíram do carro, a altura média dos 
que permaneceram passou a ser 1,8 m que, em relação à média original y, é 
(A) 3 cm maior. 
(B) 2 cm maior. 
(C) igual. 
(D) 2 cm menor. 
(E) 3 cm menor. 
 
06. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em uma empresa com 5 funcionários, a soma 
dos dois menores salários é R$ 4.000,00, e a soma dos três maiores salários é R$ 12.000,00. Excluindo-
se o menor e o maior desses cinco salários, a média dos 3 restantes é R$ 3.000,00, podendo-se concluir 
que a média aritmética entre o menor e o maior desses salários é igual a 
(A) R$ 3.500,00. 
(B) R$ 3.400,00. 
(C) R$ 3.050,00. 
(D) R$ 2.800,00. 
(E) R$ 2.500,00. 
 
07. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o movimento diário, um atacadista, que 
vende à vista e a prazo, montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia com 
o respectivo prazo, em dias, para que o pagamento seja efetuado. 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 30 
PORCENTUAL DO 
FATURAMENTO 
PRAZO PARA 
PAGAMENTO (DIAS) 
15% À vista 
20% 30 
35% 60 
20% 90 
10% 120 
 
O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas nesse dia, é igual a 
(A) 75. 
(B) 67. 
(C) 60. 
(D) 57. 
(E) 55. 
 
08. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Uma loja de roupas de malha vende camisetas 
com malha de três qualidades. Cada camiseta de malha comum custa R$15,00, de malha superior custa 
R$24,00 e de malha especial custa R$30,00. Certo mês, a loja vendeu 180 camisetas de malha comum, 
150 de malha superior e 70 de malha especial. O preço médio, em reais, da venda de uma camiseta foi 
de: 
(A) 20. 
(B) 20,5. 
(C) 21. 
(D) 21,5. 
(E) 11. 
 
09. (CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP – Programador de Computador – 
FIP) A média semestral de um curso é dada pela média ponderada de três provas com peso igual a 1 
na primeira prova, peso 2 na segunda prova e peso 3 na terceira. Qual a média de um aluno que tirou 
8,0 na primeira, 6,5 na segunda e 9,0 na terceira? 
(A) 7,0 
(B) 8,0 
(C) 7,8 
(D) 8,4 
(E) 7,2 
 
10. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática 
– FUNCAB/2014) A tabela abaixo mostra os valores mensais do Imposto Predial e Territorial Urbano 
(IPTU) pagos pelos apartamentos de um condomínio. Determine a média aritmética desses valores. 
 
Número de Apartamentos Valor de IPTU Pago 
5 R$ 180,00 
5 R$ 200,00 
10 R$ 220,00 
10 R$ 240,00 
4 R$ 300,00 
6 R$ 400,00 
 
(A) R$ 248,50 
(B) R$ 252,50 
(C) R$ 255,50 
(D) R$ 205,50 
(E) R$ 202,50 
 
11. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP/2013) Em uma 
seção de uma empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários mensais, segundo os cargos 
que ocupam, é a seguinte: 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 31 
 
 
Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1.490,00, pode-se concluir que o salário 
de cada um dos dois gerentes é de 
(A) R$ 2.900,00. 
(B) R$ 4.200,00. 
(C) R$ 2.100,00. 
(D) R$ 1.900,00. 
(E) R$ 3.400,00. 
 
12. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Em um concurso existem provas de 
Português, Matemática, Informática e Conhecimentos Específicos, com pesos respectivos 2, 3, 1 e 4. Um 
candidato obteve as seguintes notas nas provas de Português, Matemática e Informática: 
 
Disciplina Nota 
Português 77 
Matemática 62 
Informática 72 
 
Se a nota do candidato no concurso foi 80, qual foi a sua nota na prova de Conhecimentos Específicos? 
(A) 95 
(B) 96 
(C) 97 
(D) 98 
(E) 99 
 
13. (VUNESP – 2014 – FUNDUNESP – Assistente Administrativo) Um concurso teve duas fases, e, 
em cada uma delas, os candidatos foram avaliados com notas que variaram de zero a dez. Para efeito 
de classificação, foram consideradas as médias ponderadas de cada candidato, uma vez que os pesos 
da 1.ª e da 2.ª fases foram 2 e 3, respectivamente. Se um candidato tirou 8 na 1.ª fase e 5 na 2.ª, então 
é verdade que sua média ponderada foi 
(A) 6,2. 
(B) 6,5. 
(C) 6,8. 
(D) 7,1. 
(E) 7,4. 
 
14. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP/2014) A tabela mostra os valores de algumas latinhas 
de bebidas vendidas em um clube e a quantidade consumida por uma família, em certo dia. 
 
Bebidas (latinha) Valor unitário Quantidade Consumida 
Refrigerante R$ 4,00 8 
Suco R$ 5,00 6 
Cerveja X 4 
 
Considerando-se o número total de latinhas consumidas por essa família nesse dia, na média, o preço 
de uma latinha saiu por R$ 5,00. Então, o preço de uma latinha de cerveja era 
(A) R$ 5,00. 
(B) R$ 5,50. 
(C) R$ 6,00. 
(D) R$ 6,50. 
(E) R$ 7,00. 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 32 
15. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP/2014) Em um edifício residencial, 
14 unidades pagam uma taxa mensal de condomínio no valor de 930 reais. Para as 28 unidades restantes, 
que são menores, a taxa mensal de condomínio também é menor. Sabendo-se que o valor médio da taxa 
mensal de condomínio, nesse edifício, é de 750 reais, é correto afirmar que o valor em reais que cada 
unidade menor paga mensalmente de condomínio é igual a 
(A) 600. 
(B) 620. 
(C) 660. 
(D) 700. 
(E) 710. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Foi dado que: J = 2.M 
 
𝐽 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
7
= 2.𝑀 ( I ) 
 
Foi pedido: 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
= ? 
 
Na equação ( I ), temos que: 
 
7 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
 
 
7
2
= 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝑀
 
 
𝑎 + 𝑏 +⋯+ 𝑔
𝑀
= 3,5 
 
02. Resposta: E. 
 
 [30, 34] = 600, somatória de todos os homens é: 300+400+600+500+200= 2000 
 
600
300+400+600+500+200
=
600
2000
= 0,3 . (100) = 30% 
 
 
03. Resposta: C. 
 
3.800+5.900
3+5
=
2400+4500
8
=
6900
8
= 862,5 
 
04. Resposta: D. 
Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h = homens). 
 
A média da turma é 7,5, sendo S a soma das notas: 
𝑆
𝑚+ℎ
= 7,5  𝑆 = 7,5(𝑚 + ℎ) 
 
A média das mulheres é 8, sendo S1 a soma das notas: 
𝑆1
𝑚
= 8  𝑆1 = 8𝑚 
 
A média dos homens é 6, sendo S2 a soma das notas: 
𝑆2
ℎ
= 6  𝑆2 = 6ℎ 
 
Somando as notas dos homens e das mulheres: 
S1 + S2 = S 
8m + 6h = 7,5(m + h) 
8m + 6h = 7,5m + 7,5h 
8m – 7,5m = 7,5h – 6h 
0,5m =1,5h 
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. 33 
𝑚 =
1,5ℎ
0,5
 
𝑚 = 3ℎ 
h + 8 = 3h 
8 = 3h – h 
8 = 2h  h = 4 
m = 4 + 8 = 12 
Total de alunos = 12 + 4 = 16 
 
05. Resposta: A. 
Sendo S a soma das alturas e y a média, temos: 
 
𝑆
5
= 𝑦  S = 5y 
 
𝑆−3,45
3
= 1,8  S – 3,45 = 1,8.3 
S – 3,45 = 5,4 
S = 5,4 + 3,45 
S = 8,85, então: 
5y = 8,85 
y = 8,85 : 5 = 1,77 
1,80 – 1,77 = 0,03 m = 3 cm a mais. 
 
06. Resposta: A. 
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
x1 + x2 = 4000 
x3 + x4 + x5 = 12000 
 
 
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4
3
= 3000 
 
x2 + x3 + x4 = 9000 
 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 4000 + 12000 = 16000 
 
Sendo 𝑥1 𝑒 𝑥5 o menor e o maior salário, respectivamente: 
 𝑥1 + 9000 + 𝑥5 = 16000 
 
 𝑥1 + 𝑥5 = 16000 − 9000 = 7000 
 
Então, a média aritmética: 
𝑥1 + 𝑥2
2
=
7000
2
= 3500 
 
 
07. Resposta: D. 
Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual pelo prazo e dividimos pela soma dos 
porcentuais. 
 
15.0+20.30+35.60+20.90+10.120
15+20+35+20+10
= 
 
=
600+2100+1800+1200
100
= 
 
=
5700
100
= 57 
 
08. Resposta: C. 
 Também média aritmética ponderada. 
 
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. 34 
180.15+150.24+70.30180+150+70
= 
 
=
2700+3600+2100
400
= 
 
=
8400
400
= 21 
 
09. Resposta: B. 
Na média ponderada multiplicamos o peso da prova pela sua nota e dividimos pela soma de todos os 
pesos, assim temos: 
𝑀𝑃 = 
8.1 + 6,5.2 + 9.3
1 + 2 + 3
=
8 + 13 + 27
6
=
48
6
= 8,0 
 
10. Resposta: B. 
 
𝑀 =
5.180 + 5.200 + 10.220 + 10.240 + 4.300 + 6.400
5 + 5 + 10 + 10 + 4 + 6
=
10100
40
= 252,50 
 
11. Resposta: C. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
1490 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
2𝑥 + 13600 + 12000 = 29800 
2𝑥 = 4200 
𝑥 = 2100 
Cada um dos gerentes recebem R$ 2100,00 
 
12. Resposta: C. 
 
2.77 + 3.62 + 1.72 + 4. 𝑥
2 + 3 + 1 + 4
= 80 
 
412 + 4. 𝑥
10
= 80 
 
4x + 412 = 80 . 10 
4x = 800 – 412 
x = 388 / 4 
x = 97 
 
13. Resposta: A. 
𝑀𝑝 = 
2.8 + 3.5
2 + 3
 = 
16 + 15
5
 = 
31
5
 = 6,2 
 
 
14. Resposta: E. 
 
8.4 + 6.5 + 4. 𝑥
8 + 6 + 4
= 5 
 
 
62 + 4. 𝑥
18
= 5 
 
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. 35 
4.x = 90 – 62 
x = 28 / 4 
x = R$ 7,00 
 
15. Resposta: C. 
 
𝟏𝟒 . 𝟗𝟑𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟏𝟒 + 2𝟖
= 𝟕𝟓𝟎 
 
𝟏𝟑𝟎𝟐𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟒𝟐
= 𝟕𝟓𝟎 
 
13020 + 28.x = 42 . 750 
28.x = 31500 – 13020 
x = 18480 / 28 
x = R$ 660,00 
 
Referência 
 
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os n valores e extraindo-se a raiz de 
índice n deste produto. (n≥2) 
 
Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é 
 
 
 
A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos 
membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são 
iguais). Isso permite a definição da média aritmética geométrica, uma mistura das duas que sempre tem 
um valor intermediário às duas. 
A média geométrica é também a média aritmética harmônica no sentido que, se duas sequências (an) 
e (hn) são definidas: 
 
 
 
e 
 
 
 
Então an e hn convergem para a média geométrica de x e y. 
 
Exemplo: 
 
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio aritmético deste conjunto, 
multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. 
Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6. 
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, 
extrairíamos a raiz de índice n. 
 
Neste exemplo teríamos a seguinte solução: 
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. 36 
 
 
 
Utilidades da Média Geométrica 
 
Progressão Geométrica 
Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica que diz que 
em toda PG., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente: 
 
 
 
Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma PG.: 7, 21 e 63. 
Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63. 
 
Vejamos: 
 
 
 
Variações Percentuais em Sequência 
 
Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com variações percentuais em 
sequência. 
 
Exemplo 
 
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após 
dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria? 
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, 
devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, ; 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais 
percentuais. 
A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores: 
 
 
 
Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento. 
Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes 
consecutivas o percentual 12, 8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado 
os percentuais 20%, 12% e 7%. 
Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos 
aumentos temos: 
 
Salário Inicial + % 
Informado 
Salário final Salário inicial + % médio Salário final 
R$ 1.000,00 20% R$ 1.200,00 R$ 1.000,00 12, 8417 R$ 1.128,74 
R$ 1.200,00 12% R$ 1.334,00 R$ 1.287,74 12, 8417 R$ 1.274,06 
R$ 1.334,00 7% R$ 1.438,00 R$ 1.274,06 12, 8417 R$ 1.438,08 
 
Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a 
média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média aritmética 
de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o 
percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica. 
 
Cálculo da Média Geométrica Triangular 
 
Bom... primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos quadrados catetos e dividimos pela 
hipotenusa e no final pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividimos 
por PI (3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos triângulos. 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 37 
Exemplo 
 
A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por: 
 
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013 
 
Aplicação Prática: 
Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor 
possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre 
as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b = 64. 
 
A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada. 
G = R[a × b] = R[64] = 8 
 
Resposta: 
É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode 
ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas 
dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm. 
 
Interpretação gráfica 
 
A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma 
bastante simples. 
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos 
AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta. 
 
 
 
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um 
compasso centrado em O e raio OA, trace uma semicircunferência começando em A e terminando em C. 
O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semicircunferência. A medida 
do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC. 
 
MÉDIA HARMÔNICA 
 
A média harmônica é o inverso da Média Geométrica dada pela fórmula: 
 
𝐻 =
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+⋯+
1
𝑥𝑝
𝑛
 
Exemplo: 
 
Calcular a média entre os números 3 e 4 
 
A média entre seus inversos é: 
 
1
3 +
1
4
2
=
7
24
 
 
Logo a Média Harmônica é: 𝐻 = (
7
24
)
−1
= 
24
7
≅ 3,42 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 38 
Questões 
01. Na figura abaixo os segmentos AB e DA são tangentes à circunferência determinada pelos pontos 
B, C e D. Sabendo-se que os segmentos AB e CD são paralelos, pode-se afirmar que o lado BC é: 
 
 
 
A) a média aritmética entre AB e CD. 
B) a média geométrica entre AB e CD. 
C) a média harmônica entre AB e CD. 
D) o inverso da média aritmética entre AB e CD. 
E) o inverso da média harmônica entre AB e CD. 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Sendo AB paralela a CD, se traçarmos uma reta perpendicular a AB, esta será perpendicular a CD 
também. 
Traçamos então uma reta perpendicular a AB, passando por B e outra perpendicular a AB passando 
por D: 
 
 
Sendo BE perpendicular a AB temos que BE irá passar pelo centro da circunferência, ou seja, podemos 
concluir que o ponto E é ponto médio de CD. 
Agora que ED é metade de CD, podemos dizer que o comprimento AF vale AB-CD/2. 
Aplicamos Pitágoras no triângulo ADF: 
 
 
 
(1) 
 
Aplicamos agora no triângulo ECB: 
 
(2) 
 
Agora diminuímos a equação (1) da equação (2):Note, no desenho, que os segmentos AD e AB possuem o mesmo comprimento, pois são tangentes à 
circunferência. Vamos então substituir na expressão acima AD = AB: 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 39 
 
 
 
 
Ou seja, BC é a média geométrica entre AB e CD. 
 
MEDIANA, MODA E QUARTIS 
 
Mediana: é o valor que tem tantos dados antes dele, como depois dele. Para se medir a mediana, os 
valores devem estar por ordem crescente ou decrescente. No caso do número de dados ser ímpar, existe 
um e só um valor central que é a mediana. Se o número de dados é par, toma-se a média aritmética dos 
dois valores centrais para a mediana. 
É uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte 
modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a 
divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% 
são maiores ou iguais à mediana. 
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se 
n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semissoma dos dois elementos 
médios. 
A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte 
modo: 
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide 
ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são 
maiores ou iguais à mediana. 
 Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: 
- Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. 
- Se n é par, a mediana é a semissoma dos dois elementos médios. 
 
Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn:n; 
então uma expressão para o cálculo da mediana será: 
 
 
 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos 
dados. Consideremos o seguinte exemplo: um aluno do 10º ano obteve as seguintes notas: 10, 10, 10, 
11, 11, 11, 11, 12. A média e a mediana da amostra anterior são respectivamente. 
 
 
 
 
Admitamos que uma das notas de 10 foi substituída por uma de 18. Neste caso a mediana continuaria 
a ser igual a 11, enquanto que a média subiria para 11.75. 
 
 
 
Média e Mediana: Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: 
X1:n, X2:n, ..., Xn: “n” então uma expressão para o cálculo da mediana será: 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 40 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos 
dados. 
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito 
menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. 
A média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou 
"muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são 
os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a 
mediana. 
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
- for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana. 
- for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que 
a mediana. 
- for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior 
à mediana. 
 
 
Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois esta está na posição em que passando 
uma linha vertical por esse ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais. 
 
 
 
Como medida de localização, a mediana é mais resistente do que a média, pois não é tão sensível 
aos dados. 
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito 
menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. 
 
Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas medidas de localização é preferível, 
dependendo do contexto em que estão a ser utilizadas. 
Exemplo: Os salários dos 160 empregados de uma determinada empresa, distribuem-se de acordo 
com a seguinte tabela de frequências: 
 
 
Calcular a média e a mediana e comentar os resultados obtidos. 
Resolução: = (75.23 + 100.58 +...+ 400.7 + 1700.2)/160 = 156,10 
Resolução: euros. m = semi-soma dos elementos de ordem 80 e 81 = 100 euros. 
Comentário: O fato de termos obtido uma média de 156,10 e uma mediana de 100, é reflexo do fato 
de existirem alguns, embora poucos, salários muito altos, relativamente aos restantes. Repare-se que, 
numa perspectiva social, a mediana é uma característica mais importante do que a média. Na realidade 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 41 
50% dos trabalhadores têm salário menor ou igual a 100 €, embora a média de 156,10 € não transmita 
essa ideia. 
 
Vejamos de uma outra forma: Sabes, quando a distribuição dos dados é simétrica ou aproximadamente 
simétrica, as medidas de localização do centro da amostra (média e mediana) coincidem ou são muito 
semelhantes. O mesmo não se passa quando a distribuição dos dados é assimétrica, fato que se prende 
com a pouca resistência da média. 
 
Representando as distribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas 
na forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo geral: 
 
 
 
Moda: é o valor que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é o de maior efetivo e, portanto, de 
maior frequência. Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são 
discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da 
representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe 
modal. Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por 
vezes a mediana. 
Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se 
os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, 
da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe 
modal. 
 
 
 
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por 
vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação). 
 
 
 
Quartis: Generalizando a noção de mediana m, que como vimos anteriormente é a medida de 
localização, tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a m, e os outros 50% são 
maiores ou iguais a m, temos a noção de quartil de ordem p, com 0<p<1, como sendo o valor Qp tal que 
100p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Qp e os restantes 100 (1-p)% dos elementos 
da amostra são maiores ou iguais a Qp. 
Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir da amostra ordenada. 
Um processo de obter os quartis é utilizando a Função Distribuição Empírica. 
Generalizando ainda a expressão para o cálculo da mediana, temos uma expressão análoga para o 
cálculo dos quartis: 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 42 
Qp = 
 
onde representamos por [a], o maior inteiro contido em a. 
Aos quartis de ordem 1/4 e 3/4 , damos respectivamente o nome de 1º quartil e 3º quartil. Exemplo: 
Tendo-se decidido registrar os pesos dos alunos de uma determinada turma práticado 10º ano, 
obtiveram-se os seguintes valores (em kg): 
 
52 56 62 54 52 51 60 61 56 55 56 54 57 67 61 49 
 
a) Determine os quartis de ordem 1/7, 1/2 e os 1º e 3º quartis. 
b) Um aluno com o peso de 61 kg, pode ser considerado "normal", isto é nem demasiado magro, nem 
demasiado gordo? 
 
Resolução: Ordenando a amostra anterior, cuja dimensão é 16, temos: 
 
49 51 52 52 54 54 55 56 56 56 57 60 61 61 62 67 
 
a) 16 . 1/7 = 16/7, onde [16/7] = 2 e Q1/7 = x3 : 16 = 52 
 16 . 1/4 = 4, onde Q1/2 = [x8 : 16 + x9 : 16]/2 = 56 
 16 . 1/2 = 8, onde Q1/4 = [x4 : 16 + x5 : 16]/2 = 53 
 16 . 3/4 = 12, onde Q3/4 = [x12 : 16 + x13 : 16]/2 = 60.5 
 
b) Um aluno com 61 kg pode ser considerado um pouco "forte", pois naquela turma só 25% dos alunos 
é que têm peso maior ou igual a 60.5 kg. 
 
Questões 
01. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática 
– FUNCAB/2014) Determine a mediana do conjunto de valores (10, 11, 12, 11, 9, 8, 10, 11, 10, 12). 
(A) 8,5 
(B) 9 
(C) 10,5 
(D) 11,5 
(E) 10 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) As massas de 5 
amigos são 63,5; 70,3; 82,2; 59 e 71,5 quilogramas. A média e a mediana das massas são, 
respectivamente: 
(A) 69,3 e 70,3 quilogramas. 
(B) 172,25 e 82,2 quilogramas. 
(C) 69,3 e 82,2 quilogramas. 
(D) 172, 70,3 quilogramas. 
 
03. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) O gráfico apresenta informações 
sobre o número médio de anos de estudo da população brasileira, com base na Pesquisa Nacional por 
Amostra de Domicílios de 2011, publicado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 43 
 
 
Com base nas informações do gráfico, é verdade que 
(A) o número de homens com estudo é menor que o número de mulheres com estudo, nos anos de 
2009 e 2011. 
(B) de 2009 para 2011 houve um aumento no número de homens com estudo. 
(C) em 2010, a média de anos de estudo das mulheres era de 7,4 anos. 
(D) em 2009, a média de anos de estudos das mulheres era de exatos 7 anos e 3 meses. 
(E) a média de anos de estudo das mulheres não ultrapassou a 5 meses a dos homens, nos anos de 
2009 e 2011. 
 
04. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Um concurso é composto por três 
fases, com pesos 1, 2 e 3, respectivamente. Pedro ficou sabendo que na 1.ª fase desse concurso sua 
nota foi 7,0 e que na 2.ª fase sua nota foi 4,0. 
Sabendo-se que para ser aprovado a média aritmética ponderada final tem que ser, no mínimo, 5, que 
as notas apresentadas ainda não estão multiplicadas pelos respectivos fatores, e que em cada fase as 
notas variam de zero a dez, pode-se afirmar corretamente que 
(A) não há como Pedro ser aprovado no concurso. 
(B) Pedro já está aprovado no concurso, independentemente da nota que tirar na 3.ª fase. 
(C) se Pedro tirar 5,0 ou mais na 3.ª fase, então ele estará aprovado no concurso. 
(D) Pedro precisa tirar, no mínimo, 7,0 na 3.ª fase, para ser aprovado no concurso. 
(E) tirando 4,0, Pedro estará aprovado no concurso. 
 
05. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG/2014) A tabela a seguir apresenta o índice de 
desenvolvimento humano (IDH) de alguns países da América Latina referente ao ano 2012. 
 
Países IDH 
Argentina 0,811 
Bolívia 0,645 
Brasil 0,730 
Chile 0,819 
Colômbia 0,719 
Cuba 0,780 
México 0,775 
Uruguai 0,792 
Venezuela 0,758 
 
Disponível em: <http://www.abinee.org.br/abinee/decon/decon55a.htm>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
Dentre os países listados, aquele cujo IDH representa a mediana dos dados apresentados é: 
(A) Brasil 
(B) Colômbia 
(C) México 
(D) Venezuela 
 
06. (QC – Segundo Tenente – Ciências Contábeis – MB/2014) Analise a tabela a seguir. 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 44 
 Classe Velocidade (em nós) Tempo(h) 
 1 0 |------- 5 1 
 2 5 |------ 10 7 
 3 10 |------ 15 15 
 4 15 |------ 20 9 
 5 20 |------ 25 3 
 6 25 |------ 30 2 
 
Dos registros de navegação de um determinado navio, foi obtido o quadro acima. 
 
Após análise dos registros, determine a média das velocidades do navio na série observada e assinale 
a opção correta. 
 
(A) 13,43 nós 
(B) 13,92 nós 
(C) 14,12 nós 
(D) 14,69 nós 
(E) 15,26 nós 
 
07. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA/2014) Considere o conjunto de dados 
abaixo, referente ao salário médio dos funcionários de uma empresa. 
 
 
 
O valor da Mediana é: 
 
(A) 1240 
(B) 1500 
(C) 1360 
(D) 1600 
(E) 1420 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP/2014) Na tabela, as letras q, p e m substituem as 
alturas, relacionadas em ordem crescente, de seis alunos do Curso de Formação de Oficiais da Polícia 
Militar avaliados em um exame biométrico, sendo que, nessa tabela, letras iguais correspondem a alturas 
iguais. 
 
Nome Altura (em centímetros) 
Gonçalves q 
Camargo q 
Pacheco q 
Mendes p 
Santos m 
Ferreira m 
 
Sabendo-se que a moda, a mediana e a média aritmética das alturas desses alunos são, 
respectivamente, 173 cm, 174,5 cm e 175,5 cm, pode-se concluir que a altura do aluno Ferreira é igual, 
em centímetros, a 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 45 
(A) 177. 
(B) 178. 
(C) 179. 
(D) 180. 
(E) 182. 
 
(09. BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Considere o seguinte conjunto: 
{15; 17; 21; 25; 25; 29; 33; 35} 
A média, a mediana e a moda desse conjunto de dados são, respectivamente, 
(A) 1, 2 e 3 
(B) 5, 7 e 9 
(C) 7, 9 e 5 
(D) 25, 25 e 25 
(E) 25, 27 e 29 
 
(SEFAZ/RJ – ANALISTA DE CONTROLE INTERNO – CEPERJ/2013) Observe os números 
relacionados a seguir, e responda às questões de números 10 e 11. 
 
 
 
10. A mediana desses valores vale: 
(A) 6 
(B) 6,5 
(C) 7 
(D) 7,5 
(E) 8 
 
11. A moda desses valores vale: 
(A) 8 
(B) 7 
(C) 6 
(D) 5 
(E) 4 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Coloquemos os valores em ordem crescente: 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12 
 
Como a Mediana é o elemento que se encontra no meio dos valores colocados em ordem crescente, 
temos que: 
𝑀 =
10 + 11
2
=
21
2
= 10,5 
 
02. Resposta: D. 
A média é: 𝑀 =
63,5+70,3+82,2 + 59+71,5
5
 = 
346,5
5
= 69,3 
Para verificar a mediana, basta colocar os valores em ordem crescente e verificar o elemento que se 
encontra no meio deles: 
59 63,5 70,3 71,5 82,2 
 
 
03. Resposta: E. 
Média das mulheres: 
7,3+7,5
2
= 
14,8
2
= 7,4 anos = 7,4 . 12 = 88,8 meses 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 46 
Média dos homens: 
7+7,1
2
= 
14,1
2
= 7,05 anos = 7,05 . 12 = 84,6 meses 
Assim, 88,8 – 84,6 = 4,2 meses 
 
04. Resposta: C. 
Pesos 1, 2 e 3, respectivamente. Pedro ficou sabendo que na 1.ª fase desse concurso sua nota foi 7,0 
e que na 2.ª fase sua nota foi 4,0. 
Sabendo-se que para ser aprovado a média aritmética ponderada final tem que ser, no mínimo, 5 
 
𝑀 = 
1.7 + 2.4 + 3. 𝑥
1 + 2 + 3
= 5 
 
 
15 + 3. 𝑥
6
= 5 
 
15 + 3𝑥 = 6 . 5 
 
3𝑥 = 30 − 15 
 
𝑥 =
15
3
= 5 
 
05. Resposta: C. 
Vamos colocar os números em ordem crescente: 
0,645 0,719 0,730 0,758 0,775 0,780 0,792 0,811 0,819 
O número que se encontra no meio é 0,775 (México). 
 
06. Resposta: C. 
Vamos calcular a média de cada classe: 
* Classe 1: (0 + 5) / 2 = 5 / 2 = 2,5 
2,5 . 1 = 2,5 
* Classe 2: (5 + 10) / 2 = 15 / 2 = 7,5 
7,5 . 7 = 52,5 
* Classe 3: (10 + 15) / 2 = 25 / 2 = 12,5 
12,5 . 15 = 187,5 
* Classe 4: (15 + 20) / 2 = 35 / 2 = 17,5 
 
17,5 . 9 = 157,5 
* Classe 5: (20 + 25) / 2 = 45 / 2 = 22,5 
22,5 . 3 = 67,5 
* Classe 6: (25 + 30) / 2 = 55 / 2 = 27,5 
27,5 . 2 = 55 
* Soma das médias = 522,5 
* Total de horas = 37h 
Por final: 522,5 / 37 = 14,12 
 
07. Resposta:C. 
Colocando na ordem crescente: 
1100;1200;1210;1250;1300;1420;1450;1500;1600;1980 
A mediana é o número que se encontra no meio. Nesse caso que tem 10 números(par) é a média do 
5º e 6º números: 
 
1300 + 1420
2
=
2720
2
= 1360 
 
08. Resposta: C. 
* Se a moda é 173 cm, então q = 173 cm (Gonçalves, Camargo e Pacheco). 
* Se a mediana é 174,5 cm, então (q + p) / 2 = 174,5. 
q + p = 174,5 . 2 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 47 
q + p = 349 cm 
* Se a média aritmética é 175,5 cm, então: 
 
𝑀 = 
3.𝑞+𝑝+2.𝑚 
6
= 175,5 
 
2.𝑞+𝑞 + 𝑝 +2.𝑚 
6
= 175,5 
 
2.173 + 349 + 2.m = 175,5 . 6 
346 + 349 + 2.m = 1053 
2.m = 1053 – 695 
m = 358 / 2 
m = 179 cm 
 
09. Resposta: D. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
15 + 17 + 21 + 25 + 25 + 29 + 33 + 35
8
= 25 
 
A mediana é a média entre o 4º e 5º termo: 
 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
25 + 25
2
= 25 
Moda é o número que mais aparece: 25 
 
10. Resposta: C. 
Colocando em ordem crescente: 
3; 4; 6; 7; 7; 8; 8; 8; 9 
 
São 9 elementos, então a mediana é o quinto elemento(9+1/2) 
Mediana 7 
 
11. Resposta: A. 
Moda é o elemento que aparece com mais frequência: 8 
 
 
HISTOGRAMAS, POLÍGONOS E CURVAS DE FREQUÊNCIA 
 
 Histogramas: Conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, 
de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. 
 
A largura dos retângulos é igual a amplitude dos intervalos de classe. 
 
5.Análise e Interpretação Matemática de Gráficos Estatísticos 
(5.01. Gráfico de Colunas; 
5.02. Gráfico Pictórico; 
5.03. Gráfico de Setores; 
5.04. Gráfico de Linhas). 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 48 
 
 
 
 
 Polígonos de frequência: gráfico em linha sendo as frequências marcadas sobre o eixo horizontal 
(perpendicular), levantadas pelos ponto médios. 
 
 
 
Retirando o histograma do fundo, obtemos o polígono de frequência. 
 
 
Nota: No caso termos uma variável essencialmente positiva, cuja distribuição se inicie no valor zero, 
devemos, devemos considerar o intervalo anterior localizado no semieixo negativo, mas consideramos 
apenas a parte positiva do segmento que liga o ponto médio desse intervalo com frequência do 0 |- .... 
 
 
 
 
 
- Histograma goza de uma propriedade da qual faremos considerável uso: a 
área de um histograma é proporcional à soma das frequências. 
- No caso de usarmos as frequências relativas, obtemos um gráfico de área 
unitária. 
- Quando queremos comparar duas distribuições, o ideal é fazê-lo pelo 
histograma de frequência relativas. 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 49 
Exemplo: 
 
 
Polígonos de frequência acumulada: marca-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares 
ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de 
classe. 
Cada valor da variável é marcado por um segmento de reta vertical e de comprimento proporcional à 
respectiva frequência. 
 
 
Também podemos representar a distribuição de frequência pelo gráfico da frequência acumulada, o 
qual se apresentará com pontos de descontinuidade nos valores observado da variável. 
 
 
 
Curvas de frequência – Curva polida 
 
Os dados coletados pertencem a uma amostra extraída de uma população, podemos imaginar as 
amostras tornando-se cada vez mais amplas e a amplitude das classes ficando cada vez menor, o que 
nos permite concluir que a linha poligonal (contorno do polígono de frequência) tende a se transformar 
em uma curva, mostrando de forma mais clara a verdadeira natureza da distribuição da população. 
O polígono de frequência nos dá a imagem real do fenômeno e a curva de frequência nos dá a 
tendência. 
Após traçado o polígono de frequência é necessário que façamos muitas vezes um polimento, 
acrescendo ao mesmo mais dados para que ele se torne uma curva. Tal polimento consiste na eliminação 
dos vértices da linha poligonal. Conseguimos com isso o emprego de uma fórmula bastante simples, que 
a partir das frequências reais, podemos obter novas frequências, também chamadas de frequências 
calculadas, localizadas nos pontos médios (como o polígono de frequência). 
 
A fórmula que nos dá a frequência calculada (fci): 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 50 
 
 
Onde: 
 
 
Exemplo: 
Vamos pegar a tabela de distribuição de frequência das estaturas dos alunos da 6ª serie de uma 
escola: 
 
i Estaturas 
(cm) 
fi 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
150 – 154 
154 – 158 
158 – 162 
162 – 166 
166 – 170 
170 - 174 
4 
9 
11 
8 
5 
3 
 Ʃ = 40 
 
Vamos agora aplicar a fórmula, para calcularmos as novas frequências acumuladas: 
 
 
 
Montando a tabela com os novos valores de frequência acumulada, temos: 
 
i Estaturas 
(cm) 
fi Fc1 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
150 – 154 
154 – 158 
158 – 162 
162 – 166 
166 – 170 
170 - 174 
4 
9 
11 
8 
5 
3 
4,2 
8,2 
9,8 
8,0 
5,2 
2,8 
 Ʃ = 40 
 
 
 
 
afci  frequência calculada da classe considerada; 
fi  frequência simples da classe considerada; 
f i -1  é a frequência simples da classe anterior à classe considerada; 
f i + 1  é a frequência simples da classe posterior à classe considerada; 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 51 
Montando o gráfico da curva temos: 
 
 
 
- Formas das curvas de frequência 
 
As curvas assumem as seguintes caraterísticas: 
 
1) Curva em forma de sino: caracterizam- se pelo fato de apresentar um valor máximo na região 
central. 
Alguns exemplos que utilizam forma de sino são peso de adultos, inteligência medida em testes, entre 
outros. Elas podem ser: 
 
Simétrica: apresentam valor máximo no ponto central e os pontos equidistantes desse ponto terem a 
mesma frequência. 
 
 
 
Assimétrica: na prática não encontramos distribuição perfeitamente simétrica, elas são mais ou menos 
assimétricas, em relação a frequência máxima. Assim as curvas apresentam caudas de um lado ou de 
outro. Sendo que se a cauda ficar mais alongada a direita a curva é chamada de assimétrica positiva 
ou enviesada à direita, ou se for alongada a esquerda é chamada de assimétrica negativa ou 
enviesada à esquerda, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 52 
2) Curvas em forma de jota: são relativas a distribuição extremamente assimétricas, caracterizadas 
por apresentar o ponto de ordenada máxima em uma das extremidades. 
Alguns exemplos são os dos fenômenos econômicos e financeiros. 
 
 
 
3) Curvas em U: caracterizadas por apresentar ordenadas máximas em ambas as extremidades. 
Um exemplo é a curva da mortalidade por idade. 
 
 
4) Distribuição retangular: este tipo é muito raro, apresenta todas as classes com a mesma frequência. 
Essa distribuição seria representada por um histograma em que todas as colunas teriam a mesma altura 
ou por um polígono de frequência reduzido a um segmento de reta horizontal. 
 
 
Referências 
 
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 17ª edição – São Paulo - Editora Saraiva: 2002 
 
Questões 
 
01. (Enem - 2005) Foram publicados recentemente, trabalhos relatando o uso de fungos como 
controle biológico de mosquitos transmissores da malária. Observou-se o percentual de sobrevivência 
dos mosquitos Anopheles sp. após exposição ou não a superfícies cobertas com fungos sabidamente 
pesticidas, ao longo de duas semanas. Os dados obtidos estão presentes no gráfico abaixo. 
1120355 E-book gerado especialmente para ANDERSON DA COSTA
 
. 53 
 
No grupo exposto aos fungos, o período em que houve 50% de sobrevivência ocorreu entre os dias: 
(A) 2 e 4 
(B) 4 e 6 
(C) 6 e 8 
(D) 8 e 10 
(E) 10 e 12 
 
02. (SAAE/SP – Biólogo – VUNESP/2014) O gráfico representa a evolução da população de certa 
cidade, em intervalos de 10 anos. 
 
Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar, em relação à população total dessa cidade, que 
(A) a população aumentou em 20% entre 1970 e 1980. 
(B) de 1980 a 2000, a populaçãoaumentou em mais de 10 mil habitantes. 
(C) de 1990 a 2000, a população aumentou em mais de 25%. 
(D) de 2000 a 2010, a população aumentou em 2 mil habitantes. 
(E) o percentual de aumento de 1990 a 2000 foi igual ao percentual de aumento de 1970 a 1990. 
 
03. (EMPLASA – Assistente Administrativo – VUNESP/2014) Os resultados de duas perguntas de 
uma ampla pesquisa sobre mobilidade urbana estão representados nos gráficos: 
Qual é a situação do trânsito na cidade? 
 
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. 54 
Apesar de 522 entrevistados afirmarem que a situação do trânsito na cidade é ruim ou péssima, o 
número de entrevistados que dificilmente deixaria ou não deixaria de usar o carro se houvesse uma boa 
alternativa é de, apenas, 
(A) 194. 
(B) 186. 
(C) 180. 
(D) 172. 
(E) 160. 
 
04. (ITESP – AUXILIAR DE GESTÃO ORGANIZACIONAL – VUNESP/2013) O gráfico a seguir mostra 
o desempenho de um veículo conforme as condições do trânsito. 
 
A tabela a seguir mostra os quilômetros que esse veículo percorreu em uma viagem. 
 
Analisando-se o gráfico e a tabela conjuntamente, pode-se concluir que o total de litros de combustível 
que esse veículo consumiu, nessa viagem, foi de 
(A) 18. 
(B) 20. 
(C) 22. 
(D) 23,5. 
(E) 24,5. 
 
05. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) As novas tecnologias e o 
empenho dos organismos públicos, associados aos interesses e boas práticas da iniciativa privada, 
ampliaram a rede de esgotos. 
 
Considere que, em 1990, a população brasileira era de 145 milhões de habitantes e, em 2010, de 190 
milhões. Com base nos percentuais apresentados na reportagem, o número de habitantes, no Brasil, que 
contam com saneamento básico aumentou, de 1990 para 2010, em, aproximadamente, 
(A) 65 milhões 
(B) 50 milhões 
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. 55 
(C) 45 milhões 
(D) 25 milhões 
(E) 10 milhões 
 
06. (SEED/SP – ANALISTA ADMINISTRATIVO – VUNESP/2013) O gráfico mostra o saldo diário (em 
milhares de reais) do caixa de uma empresa, ou seja, a diferença entre os valores recebidos (entrada de 
dinheiro) e os valores pagos pela empresa (saída de dinheiro), nos dez primeiros dias de certo mês: 
 
Sabendo que a empresa pagou R$12.500,00 no dia 4 e R$18.750,00 no dia 7, pode-se afirmar que a 
soma dos valores que essa empresa recebeu nos dias 4 e 7 foi igual a 
(A) R$ 30.250,00. 
(B) R$ 42.250,00. 
(C) R$ 46.200,00. 
(D) R$ 36.250,00. 
(E) R$ 34.200,00. 
 
07. (BANCO DO BRASIL – ESCRITURÁRIO – FCC/2013) O supervisor de uma agência bancária 
obteve dois gráficos que mostravam o número de atendimentos realizados por funcionários. O gráfico I 
mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários A e B, durante 2 horas e meia, e o Gráfico 
II mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários C, D e E, durante 3 horas e meia. 
 
Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou o número de atendimentos, 
por hora, que cada um deles executou. O número de atendimentos, por hora, que o funcionário B realizou 
a mais que o funcionário C é 
(A) 3. 
(B) 10. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 4. 
 
08. (SEJUS/ES – AGENTE PENITENCIÁRIO – VUNESP/2013) Observe os gráficos e analise as 
afirmações I, II e III. 
Procura por graduação aumenta ano a ano 
Explosão do número de inscritos 
 
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. 56 
 
 
I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, foi 
maior que 1000%. 
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior. 
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à distância 
foi de 2 para 5. 
É correto o que se afirma em 
(A) I e II, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D 
 
 
Como podemos observar no gráfico, 50% está entre 40% e 60%. Então, 50%, está entre 8 e 10. 
 
02. Resposta: B 
Vamos analisar as alternativas: 
 
A) 55 / 50 = 1,1 = 110 / 100 = 110 % , ou seja, aumentou 10%. 
 
B) 70 – 55 = 15 (que é mais de 10) 
 
03. Resposta: E 
Ruim +péssimo=28+41=69 
Dificilmente deixaria ou não deixaria: 13+7=20 
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. 57 
552-----69 
X------20 
X=160 
 
04. Resposta: A 
Congestionado: 14/7=2 litros 
Intermediário: 25,5/8,5=3 litros 
Livre: 30/10=3 litros 
Estrada: 140/14=10 litros 
 
2+3+3+10=18 litros 
 
05. Resposta: B 
1990 
 145 ∙ 0,69 = 100,05 
A população que tinha saneamento básico era de 100,05 milhões 
 
2010 
 190 ∙ 0,79 = 150,1 
A população que tinha saneamento básico era de 150,1 milhões 
 
Portanto, aumentou: 150,1-100,05=50,05. 
Aproximadamente 50 milhões. 
 
06. Resposta: A 
Saldo: SL 
Entrada: E 
Saída: S 
SL=E-S 
 
Dia 4 
7000=E-12500 
E=19500 
 
Dia 7 
-8000=E-18750 
E=10750 
 
Soma do valor recebido: R$ 19500,00 +R$ 10750,00 =R$ 30250,00 
 
07. Resposta: E 
Funcionário B: 
 
25
2,5
= 10 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎 
 
Funcionário C: 
 
21
3,5
= 6 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠/ℎ𝑜𝑟𝑎 
 
Portanto, o funcionário B realizou 4 atendimentos a mais. 
 
08. Resposta: E 
I correto 69,8 ∙
1000
10
= 698 
 
II correto781,6-680,7=100,9 mil 
 
III correto 
10
25
=
2
5
 
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