problemas_por_assunto-28-potencial_eletrico

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4
a
 Ed. - LTC - 1996. Cap. 30 – Potencial Elétrico 
1 
 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 3 
 
 
CAPÍTULO 30 – POTENCIAL ELÉTRICO 
 
04. As cargas mostradas na Fig. 26 estão fixas no espaço. Encontre o valor da distância x tal que a 
energia potencial elétrica do sistema seja nula. 
 
 (Pág. 72) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 
q1 q2 q3
d x
 
Energia potencial elétrica nula: 
 
0
1
0
4
i j
i j ij
q q
U
r
 
 
 
1 3 2 31 2
0 12 13 23
1
0
4
q q q qq q
r r r
 
   
 
 
 
1 3 2 31 2 0
q q q qq q
d x d x
  

 
 
 21 2 1 2 1 3 2 3 2 3 0q q x q q q q q q x q q d    
 (1) 
Raízes de (1): 
 
1 0,07823 cmx  
 
 
2 0,20514 cmx 
 
Como x é uma distância, deve ser maior do que zero. Logo: 
 
20,5 cmx 
 
 
08. A diferença de potencial elétrico entre os pontos extremos de uma descarga elétrica durante uma 
tempestade é 1,2  109 V. De quanto varia a energia potencial elétrica de um elétron que se 
move entre esses pontos? Dê a sua resposta entre (a) joules e (b) elétron-volts. 
 (Pág. 72) 
Solução. 
A variação da energia potencial elétrica sofrida por um elétron para ir do ponto 1 ao ponto 2, U12, 
é dada pela Eq. (1), em que W12 é o trabalho realizado pela força elétrica que age sobre o elétron no 
percurso 1  2. 
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2 
 
12 12U W  
 (1) 
A diferença de potencial elétrico entre os pontos 1 e 2 é dada por (2), em que q0 é a carga 
transportada no percurso 1  2. 
 
12
12
0
W
V
q
  
 (2) 
Combinando-se (1) e (2) e substituindo-se q0 pela carga do elétron, e, teremos: 
 
12 0 12 12U q V e V    
 
 
  19 9 1012 1,60 10 C 1,23 10 V 1,968 10 JU       
 
 
10
12 1,97 10 JU
  
 
 
 10 912 19
1 eV
1,968 10 J 1,2284 10 eV
1,602 10 J
U 

 
     
 
 
 
9
12 1,23 10 eVU  
 
 
13. Uma partícula de carga (positiva) Q está em uma posição fixa P. Uma segunda partícula, de 
massa m e carga (negativa) q se move com velocidade constante em um círculo de raio r1, com 
centro em P. Deduza uma expressão para o trabalho W que precisa ser realizado por um agente 
externo sobre a segunda partícula para aumentar o raio do círculo, centrado em P para r2. 
 (Pág. 72) 
Solução. 
Considere o esquema a seguir: 
 
Quando a carga q é transferida da órbita r1 para r2, há variação (positiva) de energia potencial 
elétrica e (negativa) de energia cinética, ou seja, ocorre variação da energia mecânica do sistema. 
Como este é conservativo, a variação da energia mecânica é causada pelo trabalho (W) de uma força 
externa resultante, que desejamos determinar. 
 
   2 1 2 2 1 1W E E E K U K U       
 
    2 2
2 1
2 1
1 1
2 2
kQ q kQ q
W mv mv
r r
    
      
   
 
 
2 2
2 1
2 1
1 1
2 2
kQq kQq
W mv mv
r r
   
      
   
 (1) 
O movimento da carga q na órbita circular de raio r é governado pela força de atração em relação 
à carga Q. Essa força elétrica (F) age como força centrípeta (Fc). Logo: 
U2
v2
v1
r1
r2

U1
Q
q  F2
F1

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3 
 
cF F
 
 2
2
kQq mv
r r

 
 
2 kQqmv
r

 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
2 2 1 1 2 12 2 2 2
kQq kQq kQq kQq kQq kQq
W
r r r r r r
   
         
   
 
 
1 2
1 1
2
kQq
W
r r
 
  
 
 
 
0 1 2
1 1
8
Qq
W
r r
 
  
 
 
Como r2  r1, teremos W  0. Ou seja, um agente externo deverá realizar trabalho positivo sobre o 
sistema para levá-lo do estado 1 para o estado 2. 
 
16. Uma placa infinita carregada tem densidade de carga  = 0,12 C/m2. A que distância estão as 
superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 48 V? 
 (Pág. 73) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
 
O módulo do campo elétrico gerado por uma placa infinita, que possui densidade de carga 
homogênea , é dado por: 
 
02
E



 
Ou seja, o campo elétrico gerado por essa placa é constante. A diferença de potencial entre duas 
superfícies equipotenciais A e B localizadas nas proximidades da placa, sendo que B está mais 
próxima da placa, vale: 
 
0 0
1
.
B
AB
AB B A
A
W
V V V d
q q
        F s
 
 
 0
0
1
. . . cos 1
B B B B
AB
A A A A
V q d d E ds E ds
q
            E s E s
 
                
A
B
d
ds
E
q0
F
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4 
 
B
AB
A
V E ds Ed  
 
Logo: 
   
 
12 2 2
30
6 2
0
2 8,85 10 C /N.m 48 V2
7,08 10 m
0,12 10 C/m
2
ABAB AB
VV V
d
E

 




 
     

 
 
7,1 mmd 
 
 
18. Na experiência da gota de óleo de Millikan (veja Seção 28-6), um campo elétrico de 1,92  105 
N/C é mantido entre duas placas separadas por 1,5 cm. Encontre a diferença de potencial entre 
as placas. 
 (Pág. 73) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação, em que a carga de prova q0 será transportada da placa 
negativa (A) para a placa positiva (B): 
 
A diferença de potencial entre as placas corresponde ao negativo do trabalho realizado pelo campo 
elétrico sobre uma carga de prova em seu movimento de uma placa à outra, dividido pela carga de 
prova. 
 
0 0
1
.
B
AB
AB B A
A
W
V V V d
q q
        F s
 
 
 0
0
1
. . . cos 1
B B B B
AB
A A A A
V q d d E ds E ds
q
            E s E s
 
 
  51,92 10 N/C 0,015 m 2.880 V
B
AB
A
V E ds Ed     
 
 
2,9 kVABV 
 
 
20. O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raio R, cuja densidade de carga é 
uniforme, tem direção radial e seu módulo é 
 
  3
04
r
qr
E
R

, 
sendo q a carga total na esfera e r a distância ao centro desta. (a) Determine o potencial V(r) 
dentro da esfera, considerando V = 0 em r = 0. (b) Qual a diferença de potencial elétrico entre 
um ponto da superfície e outro centro da esfera? Se q for positiva, que ponto possui maior 
potencial? (c) Mostre que o potencial à distância r do centro, sendo r  R, é dado por 
                
                
ds
q0
E
A
B
d
F
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  2 2
3
0
3
8
q R r
V
R


 
onde o zero do potencial foi arbitrado em r = . Por que este resultado difere do que foi 
apresentado no item (a)? 
 (Pág. 73) 
Solução. 
(a) Considere o esquema abaixo, em que os pontos C, S e P estão localizados no centro, na 
superfície e no interior da esfera, a uma distância r do centro, respectivamente: 
 
A diferença de potencial entre os pontos P e C vale: 
 
.
P
CP P C
C
V V V d     E s
 
Considerando o potencial nulo no centro da esfera, teremos: 
 
( )
0 0 0
0 . . .cos0 .
r r r
P C rV V V d E ds E ds          E s
 
Neste caso, como o valor de referência do potencial é no centro da esfera ( e não no infinito), os 
vetores ds (deslocamento a partir do ponto de referência do potencial) e dr (deslocamento radial a 
partir de r = 0) são idênticos (ds = dr) 
 2
( ) 3 3 30 0
0 0 04 4 4 2
r r
r
qr q q r
V dr rdr
R R R        
 
 2
( ) 3
08
r
qr
V
R
 
 
(b) A diferença de potencial entre S e C vale: 
 2
( ) (0) 3
0
0
8
CS S C R
qR
V V V V V
R       
 
 
08
CS
q
V
R
  
 
Como VCS é negativo, isto significa que indo do centro para a superfície da esfera o potencial 
elétrico diminui se a carga da esfera for positiva. Logo, o centro da esfera apresenta maior potencial 
(c) Com V = 0 no infinito, o cálculo de V(r) é feito da seguinte forma: 
 
ext int. .
S P
P
S
V V d d

    E s E s
 
O cálculo deve ser feito em duas etapas, pois o comportamento do campo elétrico no interior da 
esfera é diferente do comportamento no exterior. 
 
( ) ext int0 . .cos180 . .cos180
S P
r
S
V E ds E ds

    
 
+
r
R
ds = dr
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
C P
+
S
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( ) ext int. .
S P
r
S
V E ds E ds

  
 
Neste caso, como o valor de referência do potencial é no infinito, os vetores ds (deslocamento a 
partir do ponto de referência do potencial) e dr (deslocamento radial a partir de r = 0) possuem 
sentido contrário (ds = dr). 
 
   ( ) 2 3
0 0
1
. .
4 4
R r
r
R
q qr
V dr dr
r R     
 
 
( ) 2 3
0 04 4
R r
r
R
q dr q
V rdr
r R    
 
 2 2
( ) 3
0 0
1 1
4 4 2
r
q q r R
V
R R 
    
            
 
 2 2
( ) 2
0 0
1
4 8
r
q q r R
V
R R R 
 
   
 
 
Após o desenvolvimento da equação acima, a resposta será obtida. 
  2 2
( ) 3
0
3
8
r
q R r
V
R


 
O valor de V(r) obtido no item (a) difere do valor acima devido à mudança observada na posição de 
referência onde V = 0. 
 
28. Suponha que a carga negativa de uma moeda de cobre tenha sido removida para uma grande 
distância da Terra - talvez uma galáxia distante - e que a carga positiva foi distribuída 
uniformemente na superfície do nosso planeta. De quanto mudaria o potencial elétrico na 
superfície da Terra? (Veja o Exemplo 2 no Cap. 27) 
 (Pág. 74) 
Solução. 
O planeta Terra apresenta um campo elétrico E de módulo igual a 150 N/C, que aponta diretamente 
para baixo, ortogonalmente à sua superfície. Como a Terra pode ser considerada uma esfera 
condutora, esse campo é gerado por uma distribuição de cargas negativas distribuídas 
homogeneamente sobre sua superfície. Próximo à superfície do planeta, considerada plana, o campo 
elétrico vale: 
 
0
E



 
Logo: 
 
  12 2 2 9 20 8,85 10 C /N m 150 N/C 1,3275 10 C/mE         
A carga total sobre a superfície vale: 
 
   
2
2 9 2 64 1,3275 10 C/m 4 6,37 10 m 676.898,04 CT TQ R           
 
6,77 kCTQ  
 
O potencial elétrico na superfície e no exterior da Terra é o mesmo que seria produzido se a carga 
QT fosse puntiforme e localizada no centro do planeta, ou seja: 
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7 
 
( )
0
1
4
r
q
V
r

 (r  RT) 
Na superfície, o potencial vale: 
 
( )
0
1
4T
T
R
T
Q
V
R

 
Portanto, mudanças na carga total da superfície do planeta acarretam variações no potencial elétrico 
em sua superfície. A moeda de cobre citada no enunciado do problema, de massa igual a 3,11 g, 
possui número de átomos de cobre igual a: 
   
 
23
22
6,02 10 átomos/mol 3,11 g
2,9483 10 átomos
63,5 g/mol
AN mN
M

   
 
Na expressão acima, NA é o número de Avogadro, m é a massa da moeda de cobre, fornecida no 
Exemplo citado no enunciado, e M é a massa molar do cobre. A carga positiva presente na moeda 
QM é igual ao produto de N, do número de prótons por átomo Z e da carga do próton +e: 
 
   22 19 52,9483 10 29 1,60 10 C 1,3680 10 C 136,80 kCMQ NZe       
 
Ao distribuir a carga QM sobre a superfície da Terra, o novo potencial será devido à carga Q = QT + 
QM. Portanto, a variação no potencial elétrico será igual a: 
 
 
0 0 0
1 1 1
4 4 4T
T M T
Q Q T M T
T T T
Q Q Q
V V V Q Q Q
R R R                  
 
  
 
5
8
2
12 60
2
1,3680 10 C
1,9310 10 V
4 C
4 8,85 10 6,37 10 m
N m
M
T
Q
V
R  

    
 
  
 
 
 
193 MVV 
 
 
35. Para a configuração de cargas da Fig. 35, mostre que V(r) para pontos no eixo vertical, 
considerando r  d, é dado por 
 
0
1 2
1
4
q d
V
r r
 
  
 
 
(Sugestão: A configuração de cargas pode ser vista como a soma de uma carga isolada e um 
dipolo.) 
 
 (Pág. 74) 
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8 
Solução. 
A forma mais direta de cálculo do potencial no ponto P devido às três cargas é por meio da soma 
dos potenciais gerados por cada uma dessas cargas. Considerando-se no esquema acima como 1, 2 e 
3 as cargas superior, do meio e inferior, teremos: 
 
1 2 3V V V V  
 
 
   0 0 0
1 1 1
4 4 4
q q q
V
r d r r d     
 
 
   
      
  0 0
1 1 1
4 4
r r d r d r d r r dq q
V
r d r r d r r d r d 
        
      
      
 
 
  
2 2
0
2
4
q r rd d
V
r r d r d
  
  
  
 (1) 
A Eq. (1) corresponde ao valor exato do potencial no ponto P gerado pelas três cargas. Para 
obtermos a expressão do potencial para pontos onde r  d, é preciso aproximar o denominador do 
termo entre colchetes para r
3
, o que significa fazer r + d  r e r  d  r, e truncar em algum ponto a 
soma que aparece no numerador domesmo termo. Se o truncamento resultar em r
2
, o resultado será: 
 2
3
0 0
1
4 4
q r q
V
r r 
 
 (2) 
A Eq. (2) corresponde ao potencial de apenas uma carga pontual q a uma distância r dessa carga. 
Neste caso, percebemos que o truncamento foi exagerado, pois não existem traços da presença do 
dipolo na expressão resultante. Aproximando-se o numerador do termo entre colchetes de (1) para 
r
2
 + 2rd, teremos: 
 2
3
0
2
4
q r rd
V
r
 
  
 
 
 
0
2
1
4
q d
V
r r
 
  
 
 
Podemos também acatar a sugestão dada no enunciado do problema e considerar o potencial 
elétrico no ponto P como sendo o resultado da sobreposição do potencial elétrico produzido pelo 
dipolo (cargas das extremidades do arranjo) e potencial da carga central (+q). 
 
dip qV V V 
 (3) 
Na Seção 30.6 do livro, é feito o cálculo do potencial gerado por um dipolo, sendo que para r  d, 
o resultado é: 
 
2
0
1 2 cos
4
qd
V
r



 (4) 
Na Eq. (4),  é o ângulo entre a linha que une as cargas do dipolo e a linha que une o centro do 
dipolo ao ponto P. No presente caso,  = 0. Substituindo-se (4) em (3), teremos: 
 
2
0 0
1 2 1
4 4
qd q
V
r r 
 
 
 
0
1 2
1
4
q d
V
r r
 
  
 
 
 
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9 
38. Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio 
interno a e raio externo b. A carga é distribuída de modo que a densidade de carga (carga por 
unidade de área) é dada por  = k/r3, onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer 
ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é dado por 
 
08
Q a b
V
ab
 
  
 
 
 (Pág. 75) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 
Q
q
a
b
d
rd
dr
dq
 
Elemento de carga no anel: 
 
3
dq k
dA r
  
 
 
3
dq k
rdrd r

 
 
2
kdrd
dq
r


 (1) 
Carga total no anel: 
 
Q dq 
 (2) 
Substituindo-se (1) em (2): 
 
2
20
b
a
d dr
Q dq k
r
 
   
 
 
1 1
2Q k
a b
    
 
 
Potencial elétrico no centro do anel: 
 
0
1
4
dq
dV
r

 
 
0
1
4
dq
V dV
r
  
 (3) 
Substituindo-se (1) em (3): 
 
2
30
04
b
a
k d dr
V
r
 

  
 
 
2 2
0
1 1
4
k
V
a b
 
  
 
 
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10 
 
0
1 1 1 1 2
4 2
k
V
a b a b

 
    
       
    
 
 
0
1 1 1 1 1
2
8
V k
a b a b
 
    
      
    
 
O termo entre colchetes é a carga total Q: 
 
0
1 1
8
Q
V
a b
 
  
 
 
 
40. O campo elétrico realiza trabalho de 3,94  1019 J sobre um elétron no campo ilustrado na Fig. 
37, para mover o elétron desde A até B, ao longo de uma linha de campo. Quais as diferenças de 
potencial elétrico (a) VB  VA, (b) VC  VA e (c) VC  VB? 
 
 (Pág. 75) 
Solução. 
(a) 
  
 
19
19
0
3,94 10 J
2,4625 V
1,60 10 C
AB AB
AB B A
W W
V V V
q e



         

 
 
2,46 VABV 
 
(b) Neste caso, o elétron é transportado entre as mesmas superfícies equipotenciais do item (a). 
Logo: 
 
2,46 VAC ABV V   
 
(c) Como o elétron permanece na mesma superfície equipotencial, não há variação de potencial 
elétrico. 
 
0BCV 
 
 
51. Em um bastão fino de comprimento L, que está sobre o eixo x, com uma extremidade na origem 
(x = 0), como na Fig. 42, está distribuída uma carga por unidade de comprimento dada por  = 
kx, sendo k uma constante. (a) Considerando nulo o potencial eletrostático no infinito, determine 
V no ponto P do eixo y. (b) Determine a componente vertical Ey do campo elétrico em P, 
utilizando o resultado de (a) e também por cálculo direto. (c) Por que a componente horizontal 
Ex do campo elétrico em P não pode ser encontrada usando o resultado de (a)? A que distância 
do bastão, ao longo do eixo y, o potencial é igual à metade do seu valor na extremidade 
esquerda do bastão? 
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11 
 
 (Pág. 76) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 dx x
y
dE


r
y
x
dq
P
 
(a) Elemento de potencial (dV) gerado pelo elemento de carga (dq): 
 
 
1/ 2
2 2
0 0
1 1
4 4
dq dq
dV
r y x 
 

 (1) 
Elemento de carga (dq): 
 
dq
kx
dx
  
 
 
dq kxdx
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
 
1/ 2
2 2
04
k xdx
dV
y x


 
 
 
1/ 20 2 2
04
Lk xdx
V dV
y x
 

 
 
 
 
1/ 2
2 2
004
Lk
V y x

 
 
 
 
1/ 2
2 2
04
k
V y L y

   
  
 
(b) 
 
 
1/ 2
2 2
04
y
V k
E y L y
y y 
               
 
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 
1/ 2
2 2
0
1
.2 1
4 2
y
k
E y L y
 
    
 
 
 
 
1/ 2
2 2
0
1
4
y
k y
E
y L
 
  
  
 
Cálculo direto de V 
 
sen cosd dE dE   E i j (3) 
Módulo do elemento de campo elétrico: 
 
2
0
1
4
dq
dE
r

 (4) 
Substituindo-se (2) em (4): 
 
2 2
04
k xdx
dE
y x


 (5) 
Senos e cossenos de : 
 
 
1/ 2
2 2
sen
x
y x
 

 (7) 
 
 
1/ 2
2 2
cos
y
y x
 

 (8) 
Substituindo-se (5), (6) e (7) em (3): 
 
   
2
3/ 2 3/ 2
2 2 2 2
0 04 4
k x dx ky xdx
d
y x y x 
  
 
E i j
 
 
   
2
3/ 2 3/ 20 02 2 2 2
0 04 4
L Lk x dx ky xdx
d
y x y x       E E i j
 
  
   
1/ 2
2 2
1/ 2 1/ 2
2 2 2 2
0 0
ln 1
4 4
L L yk L ky y
y y L y L 
              
         
E i j
 
Nesta expressão, pode-se ver que : 
 
 
1/ 2
2 2
0
1
4
y
k y
E
y L
 
  
  
 
(c) Não há dependência de V em relação a x na resposta do item (a). 
(d) Potencial na extremidade esquerda do bastão, usando a resposta do item (a), com y = 0: 
 
 
1/ 2
2 2
(0)
0 0
0 0
4 4
k kL
V L 
    
  
 
Valor de y para o qual V(y) = V(0)/2: 
 
(0)
( )
02 8
y
V kL
V

 
 
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 
1/ 2
2 2
0 04 8
k kL
y L y 
   
  
 
 
 
1/ 2
2 2
2
L
y L y  
 
 
3
4
L
y 
 
 
55. Uma carga de 15 nC pode ser produzida por simples atrito. Que variação de potencial essa carga 
causará em uma esfera condutora isolada de 16 cm de raio? 
 (Pág. 76) 
Solução. 
A variação de potencial elétrico que a esfera de raio r sofrerá vale: 
 
0V V V  
 , 
onde V0 é o potencial da esfera na ausência de cargas elétricas em sua superfície (V0 = 0) e V é o 
potencial na superfície da esfera carregada homogeneamente com carga q. O potencial V é o mesmo 
que se verifica a uma distância r de uma carga puntiforme. 
  
 
8
2
120
2
1,5 10 C1 1
842,58 V
4 0,16 cmC
4 8,85 10 
N.m
q
V
r 



   
 
 
 
 
Apresentando-se a resposta com dois algarismos significativos: 
 
840 VV 
 
 
56. Encontre (a) a carga e (b) a densidade de carga na superfície de uma esfera condutora de 15,2 
cm de raio, cujo potencial é de 215 V. 
 (Pág. 76) 
Solução. 
(a) O potencial elétrico no exterior de uma esfera condutora de raio R e carga q é dado por: 
 
( )
0
1
4
r
q
V
r

 (r  R) 
Conhecendo-se V(R), pode-se calcular q: 
 
( )
0
1
4
R
q
V
R

 
 
  
2
12 9
0 ( ) 2
C
4 4 8,85 10 0,152 m 215 V 3,6344 10 C
N m
Rq RV         
 
 
 
3,63 nCq 
 
(b) A densidade superficial de carga  vale: 
  
 
9
8 2
22
3,6344 10 C
1,2518 10 C/m
4 4 0,152 m
q q
A R
  



    
 
 
212,5 nC/m 
 
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