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Engenharia de Processos - Aula 6
Índices de Capacidade de Processo
Há indústrias que possuem profissionais dedicados à aplicação do Lean Manufacturing – ou produção enxuta – no chão de fábrica. A produção enxuta é baseada no pressuposto de que os processos de fabricação são operados de forma capaz e previsível.  O contrário de produção enxuta é a produção tradicional em massa, onde primeiro o item é produzido, para em seguida ser inspecionado para remoção de produtos não conformes.
Em função da busca pela produção enxuta por grande parte das indústrias, é comum tratar sobre capacidade e performance de processo, bem como seus índices Cp e Cpk. 
Quando é medida a capacidade do processo, estamos extrapolando o que sabemos sobre o produto que produzimos para o produto que ainda não produzimos. É razoável fazê-lo quando sabe-se que o processo se comportou de forma previsível no passado, isto é, se comportou dentro de seus Limites de Controle, ou esteve sob Controle Estatístico.
Índices de capacidade
O Cp compara a tolerância especificada com a variação potencial do processo:
O Cp descreve a relação entre o espaço disponível para variação de acordo com as especificações e o espaço ocupado pela variação do processo.
Para caracterizar a localização do processo usamos o Cpk, que avalia a distância da média do processo com a especificação mais próxima dela, da seguinte forma:
Quando o processo opera centralizado na nominal (alvo da especificação), os dois índices (Cp e Cpk) terão o mesmo valor, ou valores muito próximos. A medida que a média do processo se desvia da nominal, o Cpk vai ficando menor que o Cp.
A interpretação dos valores do Cp e Cpk depende de o processo estar sob ou fora de controle estatístico:
· Se o processo está sob controle, o Cp e o Cpk representam a capacidade real do processo – como se comportou no passado e o que se espera que continue a fazer no futuro.
· Se o processo é imprevisível – ou fora de controle – o Cp e Cpk não são representativos.
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http://www.portalaction.com.br/analise-de-capacidade/21-indices-de-capacidade-do-processo-cp-e-cpk
Nesta seção, vamos apresentar o índice de capacidade do processo sob a hipótese de normalidade dos dados. Para um processo sob controle estatístico (estável), o índice de capacidade determina o que pode ser esperado para o processo em relação às especificações. Como apresentamos na seção introdutória, os índices de capacidade do processo podem ser estabelecidos somente para um processo estável ao longo do tempo (sob controle). O índice Cp é definido, quando os dados seguem uma distribuição normal, por
	
	
ou seja,
	
	
em que LSE é o Limite Superior de Especificação e LIE o Limite Inferior de Especificação.
Um processo centrado, isto é, μ = (1/2)(LIE + LSE) com uma distribuição (estável) normal e com um Cp = 1 produzirá 0,27% dos itens fora de especificação. Também, para um processo centrado e estável  com Cp = 1, os limites de controle para o gráfico da média e de especificação estão relacionados da seguinte forma
	
	
em que n é o tamanho dos subgrupos racionais no gráfico de controle. Temos assim que, a menos da constante , os dois limites coincidem para processos com Cp = 1.  O índice Cp é uma medida da capacidade do processo e pode ser estimado por
	
	
no qual  é uma estimativa da variabilidade de curto prazo do processo. A maioria das empresas adotam o valor Cp = 1,67 (ou Cp = 1,33) conforme recomendação de Juran e Gryna (1980).   Um índice utilizado, equivalente ao Cp, é a "Razão de Capacidade"  Rc que é definida como o recíproco do Cp
. Em porcentagem o Rc é dado por:
• Rc = % da especificação usada;
• Rc = [6σ/(LSE - LIE)]×100% ;
• Rc = (1/Cp)×100%;
Para Cp = 1,33 (dados normais, processo sob controle e centrado) temos um valor correspondente de Rc = 75%. Da mesma forma, um RC=60% está relacionado com um Cp=1,67. Quanto menor o Rc de um processo melhor o seu comportamento.
Para avaliar mais eficientemente a capacidade do processo foi introduzido no Japão o índice Cpk, que leva em conta não somente a variabilidade do processo como também sua localização com respeito aos limites de especificação. Antes de entrarmos na análise do índice Cpk consideremos dois outros índices, que juntos com Cp e Cpk revelam diferentes aspectos do processo.  Para a especificação superior definimos
	
	
Analogamente, para a especificação inferior tomamos
	
	
em que μ é a média do processo. A relação entre Cp e a dupla (CPI, CPS) é dada por
	
	
Desta forma, definimos o índice  por:
	
	
No caso de especificações bilaterais, o índice Cpk permite a avaliação da capacidade do processo na "pior situação possível". Neste sentido, a utilização do Cpk determina a estratégia "mais conservadora". Assim, um processo com Cpk alto oferece garantias de um comportamento satisfatório, enquanto a estabilidade seja mantida. A relação entre Cp e Cpk é definida por
	
	
em que k é o fator que representa o quanto o processo está centrado
	
	
sendo m = (LSE - LIE)/2 o ponto central da especificação. Apresentamos os índices de capacidade na Figura 2.1.1.
Figura 2.1.1: Índices de capacidade do processo.
 
Estimativa do desvio padrão
A seguir vamos apresentar diversos métodos para estimar o desvio padrão de curto prazo, que é utilizado para cálcular o índice de Capacidade do Processo.
Variabilidade a curto prazo
• Método 1:
Tradicionalmente, ao estimar a variabilidade em um gráfico  e R temos
	
	
em que  é a média das amplitudes dos subgrupos e a constante d2 é tabelada no Apêndice.
A seguir são analisadas algumas situações práticas:
· Observação 1: Quando os dados são retirados de forma sequencial (ao longo do tempo) e avaliados a estabilidade via um gráfico  e R, a estimativa tradicional () não é influenciada pela variabilidade ocorrida entre os subgrupos. Por isso, admitimos que o processo está sob controle.
· Observação 2: Quando retiramos uma amostra de uma população (que não realizado ao longo do tempo), o desvio padrão amostral (s) é a única forma de estimarmos a variabilidade. Além disso, o índice de capacidade não é aplicável. 
 
• Método 2:
Outra maneira de estimar a variabilidade de curto prazo é definida por
	
	
em que  é a média dos desvios padrão amostral dos subgrupos
e  uma constante tabelada no Apêndice. Esta estratégia é aplicada quando retiramos amostras sequenciais (ao longo do tempo) e avaliamos a estabilidade via o gráfico de médias e desvio padrão. A constante de correção de vício  pode ser aplicada para corrigir o desvio padrão. Abaixo apresentamos a fórmula da constante  e na seção "Propriedade dos Estimadores" esta fórmula é deduzida,
 
• Método 3: Desvio padrão agrupado
Outro método utilizado para estimarmos a variabilidade a curto prazo. É usado quando as amostras têm subgrupos de tamanhos variáveis, sendo definido por
	
	
em que sp representa o desvio padrão agrupado (Spooled) e é dado por
	
	
sendo
	
	
Podemos também utilizar um fator de correção c4(d) com o objetivo de reduzir o vício da estimativa, com isso temos
	
	
em que
	
	
Os valores de c4(d) podem ser determinados através da relação
	
	
sendo  a função gama.
 
A seguir apresentamos um exemplo envolvendo os conceitos discutidos.
Exemplo 2.1.1:
Consideremos um processo sob controle cujos dados seguem distribuição normal. Para este processo temos as seguintes especificações:
LSE = 10,9 , VN = 10,7  e  LIE = 10,5
Vamos supor que a média amostral do processo seja dada por  = 10,662 e  = 0,2, para um amostra com 3 elementos em cada subgrupo.
Vamos calcular a capacidade do processo como discutido acima. Primeiramente calcula-se o desvio padrão
	
	
em que d2 = 1,693 (para n = 3) tabelado no Apêndice.
A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo Cpk, ou seja,
	
	
	
	
Assim,
	
	
Tratamento de tolerâncias unilaterais
Em alguns casos, temos apenas limites superiores ou inferiores de engenharia. Assim, não temos como calcular o índice Cp. Nestes casos, o manual de CEP (2ª Edição) propõea seguinte estratégia:
· Apenas limite Superior 
· Cpk = CPS; 
· Cp não se aplica; 
· CPI não se aplica.
· Apenas limite Inferior
·  Cpk = CPI; 
· Cp não se aplica; 
· CPS não se aplica.
 
Exemplo 2.1.2:
Considere um processo por batelada no qual reaizamos três medidas por lote, início, meio e fim de cada lote. As especificações são dadas por LSE=12 e LIE=9. Vamos avaliar a capacidade e performance do processo.
		Lote
	Medições
	1
	10,69
	10,80
	10,39
	2
	10,20
	10,30
	10,72
	3
	10,42
	10,61
	10,54
	4
	10,98
	10,27
	10,50
	5
	10,61
	10,52
	10,67
	6
	10,57
	10,46
	10,50
	7
	10,44
	10,29
	9,86
	8
	10,20
	10,29
	10,41
	9
	10,46
	10,76
	10,74
	10
	10,11
	10,33
	10,98
	11
	10,29
	10,57
	10,65
	12
	10,83
	11,00
	10,65
	13
	10,35
	10,07
	10,48
	14
	10,69
	10,54
	10,61
	15
	10,44
	10,44
	10,57
	16
	10,63
	9,86
	10,54
	17
	10,54
	10,82
	10,48
	18
	10,50
	10,61
	10,54
	19
	10,29
	10,79
	10,74
	20
	10,57
	10,44
	10,52
Primeiramente vamos fazer uma análise de estabilidade do processo através de um gráfico de controle:
O gráfico X-Barra com todos os valores dentro dos 3 desvios padrão do limite central, indica que o processo é estável. O gráfico de amplitude indica que todos os valores estão dentro do limite de controle.
 
Em seguida, iremos verificar se os dados tem distribuição normal:
Como todos os p-valores associados aos testes são maiores do que 0,05, não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.
Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade do processo. Para este processo temos as seguintes especificações: 
LIE = 9 e LSE = 12
Calculamos então a média amostral do processo:  = 10,51 e a média das amplitudes dos subgrupos  = 0,365, para uma amostra com 3 elementos cada subgrupo.
Para calcular a capacidade do processo conforme discutido acima, primeiramente calcula-se o desvio padrão:
	
	
Para calcular Cp e Cpk primeiramente obtemos os índices laterais
	
	
	
	
A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo Cpk, ou seja,
	
	
Também obtemos o Cp
	
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