Controle estatístico de processos - Ebook

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CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
André Lunardi Steiner 
SUMÁRIO
Esta é uma obra coletiva organizada por iniciativa e direção do CENTRO SU-
PERIOR DE TECNOLOGIA TECBRASIL LTDA – Faculdades Ftec que, na for-
ma do art. 5º, VIII, h, da Lei nº 9.610/98, a publica sob sua marca e detém os 
direitos de exploração comercial e todos os demais previstos em contrato. É 
proibida a reprodução parcial ou integral sem autorização expressa e escrita.
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETOR DE ENSINO A DISTÂNCIA (EAD) 
Rafael Giovanella
Desenvolvido pela equipe de Criações para o Ensino a Distância (CREAD)
Coordenadora e Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Igor Zattera, Julia Oliveira, Thaís Munhoz 
Revisora
Victoria Menegat Meneguzzi
CONCEITOS ESSENCIAIS 4
POPULAÇÃO, AMOSTRA E UNIDADE ESTATÍSTICA 5
VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS, DISCRETAS E CONTÍNUAS 6
OPERAÇÕES SOBRE AS VARIÁVEIS 9
SÍNTESE 15
GRÁFICOS E CARTAS DE CONTROLE 17
HISTOGRAMA 18
CARTA DE CONTROLE DE VARIÁVEIS 23
CARTA DE CONTROLE DE ATRIBUTOS 32
SÍNTESE 35
CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS 37
CONTROLE DE PROCESSOS 38
CAPACIDADE DE PROCESSOS 42
CONTROLE ESTATÍSTICO 46
CONTROLE ESTATÍSTICO POR ATRIBUTOS 52
SÍNTESE 53
USO DE FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS 55
FERRAMENTAS ESPECÍFICAS 56
FERRAMENTAS GENÉRICAS 59
USO DO MICROSOFT EXCEL 61
SÍNTESE 69
LISTA DE SIGLAS 71
TABELAS 71
3CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
APRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo à disciplina de Controle estatístico de processos!
A incessante busca por competitividade abrange todas as áreas de atuação profissional da 
atualidade, praticamente sem exceção. Essa competitividade significa estar apto a concorrer em 
um mercado em que diferentes fatores estão envolvidos, dentre os quais incluem-se a presença 
do produto, o status da marca, a durabilidade e a credibilidade, bem como, fatalmente, os custos. 
Os custos associados a um processo são fatores determinantes para a competitividade já co-
mentada, visto que, ao reduzir seus custos de produção, a empresa ou negócio pode trabalhar em 
diferentes frentes para atender o mercado. Uma das frentes, de forma indireta, estabelece que se 
o preço do produto vendido, no mercado, estiver adequado e os custos forem menores, torna-se 
possível aumentar a margem financeira de resultados. De forma direta, a redução de custos, se 
entendido que a margem está adequada, pode proporcionar uma diminuição no preço do produto 
e, consequentemente, alcançar uma fatia maior de mercado. Existe um composto entre as duas 
frentes de trabalho apresentadas.
Tratando especificamente de custos, diversas são as formas de buscar reduzi-los, estando 
essas associadas à utilização de uma menor quantidade de matéria-prima e, na grande maioria 
das situações, uma quantidade menor de valor agregado ao produto. Ele precisa ser produzido de 
forma mais rápida, de modo que sejam necessários menos processos para que esse seja finalizado.
Dentre os processos e atividades realizadas, as atividades relacionadas à inspeção, 
cada vez mais, vêm sendo alvos de busca de alternativas para torná-las mais rápidas e 
mais eficientes, visto que o tempo despendido nas etapas de verificação e eventuais to-
madas de ação, com frequência, superam o tempo de execução dos produtos no processo.
Uniremos tal realidade com o fato de que, por diversas vezes, é totalmente im-
praticável a efetivação de uma verificação completa em todos os produtos execu-
tados, e há necessidade de uma maior garantia de resultados nos processos. Diante 
disso, faz-se necessário o desenvolvimento de alguma metodologia, sistemática ou 
técnica, que torne viável tal procedimento. Com as finalidades de redução do tempo 
de inspeção e de aumento da convicção quanto à qualidade do que está sendo produ-
zido, surge o controle estatístico de processos, uma ferramenta antiga, de que nem 
todos os profissionais do ramo têm conhecimento. Tal ferramenta, se bem aplicada, 
traz inúmeras vantagens para o contexto em que está inserida.
Dessa forma, esse material foi desenvolvido com base na ideia de demonstrar 
os principais conceitos e sistemática de aplicação da ferramenta já citada, para que o 
profissional possa, em seu contexto, ajustar a metodologia à sua realidade.
 Esperamos sinceramente que gostem e aproveitem! Vamos lá?
4
CONCEITOS 
ESSENCIAIS
Você conhece probabilidade? Estatística? Lembra dos conceitos?
5CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Ao examinarmos o controle estatístico de processos, percebemos que nosso “Que”, ou o 
conceito central aqui abordado é “controle”, o qual está definido no dicionário como algo seme-
lhante ao “poder de fiscalizar e administrar determinada coisa”. Nosso estudo aborda uma fer-
ramenta ou metodologia que tem por ideia principal controlar, fiscalizar e administrar algo. Esse 
algo, ou “Quem”, é definido pela palavra processos, cuja gama de possíveis significados é diver-
sa, pois remete a uma “sequência contínua de fatos ou operações que apresentam certa unidade”. 
O nosso algo pode ser uma série de operações interligadas que possuem um objetivo comum (no 
nosso caso, usualmente, a execução de um produto). 
Nossa sistemática tem por fim controlar, fiscalizar e administrar uma série de operações 
interligadas que possuem um objetivo comum. Aprenderemos uma forma de controlar processos, 
sabendo que existem diversas maneiras. Nos deparamos com uma questão: “Como” vamos fa-
zer isso? Qual a diferença dessa para as demais maneiras de controlar processos? A resposta está 
justamente na palavra estatístico, que tem relação com “coleta, análise, interpretação e apre-
sentação de massas de dados numéricos”. Aprenderemos uma forma de controlar processos com 
base em coleta, análise, interpretação e apresentação de massas de dados numéricos. Você já deve 
estar compreendendo que utilizaremos muitos conceitos de estatística.
Esse material não tem o intuito de falar sobre estatística, mas de explicar sobre como essa 
pode ser aplicada para controlar processos. Faremos uma rápida revisão de conceitos referentes 
a probabilidade e estatística, a fim de relembrá-los e direcionar nossa linha de pensamento. Essa 
revisão servirá para introduzir uma série de situações de que precisaremos e utilizaremos. 
Ficou curioso? Já imaginou alguma situação e quer 
compreender o que isso tudo quer dizer para ver se o 
conceito é aplicável ou não? Vamos nessa!?
POPULAÇÃO, AMOSTRA E UNIDADE ESTATÍSTICA
Nossa primeira necessidade é a compreensão dos conceitos de população e amos-
tra. A avaliação do comportamento estatístico de um fato depende da correta inter-
pretação dele, de modo que equívocos na compreensão desses conceitos certamente 
levarão a equívocos na aplicação de fórmulas.
• População ou universo estatístico: é o conjunto formado por elementos que te-
nham, pelo menos, uma variável comum (MORETTIN, 2010). Relacionando isso 
com a ideia geral de população, compreendemos que, por exemplo, a população 
mundial tem como característica comum o fato de todos sermos humanos, en-
quanto a população brasileira tem como característica comum o fato de todos 
sermos residentes do Brasil. Podemos tratar da totalidade de produtos que foram 
produzidos em uma empresa, ou da produção referente a um único mês nessa em-
presa, assim como podemos falar de todos os alunos de uma instituição, ou so-
mente dos que cursam um determinado curso. Ainda assim, sempre trataremos 
do todo, mesmo que as vezes não tenhamos um valor exato atrelado a esse todo, e 
precisamos defini-lo através de uma característica comum entre os elementos.
6CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Target Population
Sample
• Amostra: após a população ser definida, um subconjunto ou “recorte” dessa será a 
amostra, umsubconjunto da população, dentro do qual serão estudadas características 
específicas. Estamos falando de uma seleção de dados, produtos, ou pessoas advindas de 
um todo, às quais aplicaremos métodos estatísticos para compreender certas caracte-
rísticas. Veremos que o estudo das amostras tem por finalidade tentar predizer ou des-
crever o que aconteceu com o todo (população).
• Unidade estatística: é cada um dos elementos da população que estamos estudando. 
Selecionaremos algumas unidades estatísticas como amostra para descrever o compor-
tamento da população. 
Sempre trataremos de a probabilidade de um evento acontecer em uma população de 
produtos, com base em amostras significativas dele. Contudo, é praticamente impossível 
termos total certeza do que irá acontecer com todos os componentes, subsistemas, e no 
produto como um todo. Para que isso fosse possível, todos os produtos teriam de ser avalia-
dos (nesse caso a amostragem seria de 100% da população).
 Em um exemplo livre, você produziu 4 diferentes produtos, cada qual com uma quan-
tidade (população) e, como forma de avaliá-los, definiu que 10% dessa produção seria veri-
ficada (amostra). Dessa forma, será possível determinar quantos produtos (unidades esta-
tísticas) precisarão ser inspecionados. Note que, no cálculo percentual, o valor numérico é 
resultante do percentual aplicado, mas as unidades precisam ser números inteiros (dificil-
mente se conseguiria avaliar, por exemplo 0,3 amostras).
VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS, DISCRETAS E CONTÍNUAS
As variáveis estatísticas possuem duas divisões: as discretas e as contínuas.
Podemos definir variável, de forma teórica, como a característica em estudo que varia 
para as diferentes unidades estatísticas que são objeto de análise. Nas nossas amostras ou na 
população examinada, as unidades estatísticas que vamos estudar têm, pelo menos, uma va-
riável em comum (utilizando o exemplo anterior, todos são produtos produzidos pela mes-
Avaliação de unidades estatísticas
Produto
(Identificação)
Produzido
(População)
% para Avaliação
(Amostra 10%)
Unidades para avaliar
(Unidades estatísticas)
1 325 32,5 33
2 155 15,5 16
3 268 26,8 27
4 473 47,3 48
Total 1.221 - 124
Fonte: o autor
7CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
ma empresa); o restante das informações pode apresentar variações, e são essas variações 
os alvos de nossos estudos. No uso prático, as variáveis são identificadas por letras do nosso 
alfabeto (em matemática costuma-se utilizar as últimas letras, tais como x, y, z, mas pode-
mos usar qualquer uma, com o cuidado de não confundir com algum elemento ou fórmula).
Utilizando a mesma ideia do exemplo anterior, poderíamos verificar o seguinte:
Note que, fora a variável comum entre eles, temos diferenças relativas à identificação, 
quantidade, aplicação e comprimento médio, e todas elas são variáveis estatísticas.
Dentro da ideia de variável estatística, outros dois conceitos que vamos revisar são os de 
variáveis discretas e contínuas. As variáveis serão categorizadas em uma ou outra forma, não 
existindo nenhuma forma de transição entre essas; ou a variável é discreta, ou é contínua.
Estudo de variáveis 
Produto
(Identificação)
Produzido
(População)
Aplicação
Comprimento médio 
(mm)
1 325 Agrícola 221,6
2 155 Fora-de-Estrada 235,7
3 268 Urbano 198,5
4 473 Rodoviário 175,4
Total 1.221 - 200,4
Fonte: o autor
Variáveis discretas: utilizamos as variáveis para a demonstração de acontecimentos de 
diversas naturezas; quando esses episódios são “contáveis”, “números inteiros”, dizemos que 
esses são discretos. Por exemplo, a quantidade de falhas poderá ser uma, duas, três, e assim por 
diante, mas jamais existirão duas falhas e meia (2,5 falhas). Além disso, ou o fato “É FALHA” ou 
“NÃO É FALHA”, de modo que não existe meia falha ou qualquer outra fração nesse sentido. O 
comportamento é semelhante ao de outros casos, por exemplo, número de amostras, quantida-
de de repetições, entre outros, os quais são descritos por números inteiros, não fracionados. Al-
gumas das variáveis discretas são denominadas qualitativas, pois expressam alguma qualidade, 
meio de identificação ou adjetivo da amostra e, sendo assim, não podem ser operadas algebri-
camente. Outras dessas variáveis discretas serão denominadas quantitativas, pois expressam, 
como o próprio nome sugere, quantidades, e podemos operá-las algebricamente.
No nosso exemplo, notamos que são variáveis discretas a identificação do produto (que 
poderia ser um nome, variável discreta qualitativa), a quantidade produzida (sempre serão 
números inteiros e contáveis, variável discreta quantitativa) e a aplicação (funcionando da 
mesma forma que a identificação, variável discreta qualitativa).
Variáveis contínuas: por outro lado, resultados de medições e verificações, tais como 
tempo e dimensões, podem ser expressos em números fracionados devido às suas unidades 
e múltiplos ou submúltiplos. Por exemplo, uma medida pode ter 2,5 m (2 metros e 50 cen-
tímetros) ou 3,2 s (três segundos e dois décimos de segundo). Esses dados são considerados 
contínuos e precisam ser fracionados para termos precisão quanto a eles, conforme a ne-
cessidade do experimento ou dos fenômenos que queremos enxergar. A título de exemplo, 
8CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
quando estamos verificando uma peça usinada, ela pode ter sido executada com 20,32 mm, e ne-
cessitamos enxergar essa exatidão (ou até mesmo mais exatidão que isso), pois se medirmos 20 
mm ou 21 mm (somente medidas inteiras considerando a unidade milímetros), esse dado não será 
preciso o suficiente para atendermos a algum parâmetro de projeto ou necessidade de produto.
Podemos também associar variáveis discretas em relação às contínuas, sendo 
isso algo comum. Pode-se afirmar, por exemplo, que a falha de número 7 aconteceu 
após 2,5 h de uso do equipamento, ou seja, um evento identificado ocorreu em um tem-
po preciso; do mesmo modo, é possível dizer que os resultados da medição do com-
primento da amostra de número 8 foram de 723,67 mm. É importante ter esse tipo de 
relação de associação muito clara em mente.
No exemplo anterior, temos como variável contínua o comprimento médio, que 
está expresso em milímetros (mm). Se verificarmos todas as peças, cada uma terá um 
comprimento distinto (nunca existirão duas iguais). Além disso, a demonstração de 
tais fatores irá variar de acordo com a resolução do equipamento ou instrumento que 
for utilizado para verificar esse comprimento, pois uma trena poderia verificar dife-
renças em mm entre duas peças, um paquímetro as verificaria em décimos de mm, um 
micrômetro registraria diferenças na casa dos centésimos de mm, outros equipamen-
tos poderiam apontar diferenças em milésimos de mm e assim por diante, até níveis 
subatômicos, caso isso fosse necessário.
Podemos associar variáveis discretas e contínuas de um mesmo elemento, sendo 
possível, por exemplo, afirmar que a média de comprimento de produtos do tipo rodo-
viário ficou em 175,4 mm, e assim por diante.
Vale salientar que, em nossos estudos, utilizaremos dados dentro das unidades 
do SI (sistema internacional de medidas).
9CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
OPERAÇÕES SOBRE AS VARIÁVEIS
Para fazermos qualquer análise sobre os eventos que incidiram sobre as nossas amos-
tras a fim de prevermos o comportamento da nossa população, é de se esperar que tenhamos 
de efetuar alguma operação matemática sobre esses. Vamos rever as principais operações 
de que necessitaremos para nossos estudos.
Somatório: de forma teórica, é a adição de uma sequência de quaisquer tipos de núme-
ros. Podemos dizer que é a forma abreviada de uma soma, normalmente representada pela 
letra grega Σ (sigma maiúsculo). Normalmente, o somatório será utilizado para demonstrar 
alguma variável discreta que seja do tipo quantitativa, pois é a operação que se faz coerente 
durante a análise dessas.
Noexemplo que utilizamos anteriormente, esse somatório foi utilizado para repre-
sentar o total de produtos produzidos (vamos chamar de variável P, por exemplo) e o total 
de unidades que precisamos avaliar (vamos chamar de variável U, por exemplo).
Temos a soma (Somatório ou Σ) total de produtos produzidos (P) representada na li-
nha de Total da nossa tabela, conforme segue:
Total = 325 + 155 + 268 + 473 = 1.221 ou simplesmente ΣP = 1.221
Do mesmo modo, o somatório das unidades a serem avaliadas (U), foi definido por:
Total = 33 + 16 + 27 + 48 = 124 ou simplesmente ΣU = 124
Média Aritmética (X ou μ): costumeiramente, a análise de dados acaba se utilizando de 
medidas que representem a totalidade desses dados de uma forma única, sem que seja neces-
sário expor todos os dados sempre que quisermos comentar sobre esses; tais ferramentas são 
chamadas de medidas de tendência central. De maneira prática, uma das formas mais utiliza-
das é a representação dos dados por sua média aritmética simples. Vale salientar que existem 
outros tipos de média (Média Ponderada, por exemplo), mas, nesse momento, elas não serão 
necessárias para nossas análises. A média aritmética simples é comumente chamada somente 
de Média, sendo essa a maneira pela qual trataremos aqui por diante. A média é representa-
da pela letra grega μ quando trata de valores de uma população, e representada por X quando 
trata de valores de uma amostra de dados. É definida pela relação entre a soma e a contagem 
dos elementos (ou seja, divisão da soma pela contagem). Por exemplo, analisaremos a média 
entre os diâmetros D de 5 produtos, nesse caso chamada de média para dados não agrupados:
10CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
No que tange à análise de dados, essa média precisa representar a média geométri-
ca dos dados, o centro real entre todos os dados que estamos representando. Devemos nos 
atentar à representatividade dos dados (ou seja, o quanto eles interferem no cálculo), pois 
facilmente podemos nos enganar no cálculo das médias, e nem sempre a chamada média 
das médias representa a realidade que estamos procurando mostrar.
Para ilustrar esse fenômeno, preste atenção nos dados trazidos pela tabela anterior. 
Você reparou na média entre os “comprimentos médios”? Pois então. Pelo que está descrito 
na tabela, essa média vale 200,4mm. Te convido a fazer a média entre os seguintes valores 
apresentados: 221,6mm, 235,7mm, 198,5mm e 175,4mm. Fez a soma desses, dividiu por 4 e 
achou um valor de 207,8mm, certo? Então, a média apresentada, de 200,4mm, está errada? 
Não, realmente a média não está equivocada, está corretíssima, pois acabamos de falar que 
precisamos estabelecer a média geométrica entre os dados e que precisamos tomar cuidado 
Cálculo de médias
Produto (Identificação) Diâmetro D (mm) Operação
1 12,52
2 12,51
3 12,53
4 12,50
5 12,54
n = 5 ΣD = 62,6 μ = 12,52
Fonte: o autor
com a média das médias (e sua representatividade) para não nos iludirmos. Note que a co-
luna traz a informação de “comprimento médio”, a linha que representa o produto 2, por 
exemplo, que expressa que a média entre os comprimentos dos 155 produtos produzidos do 
tipo Fora-de-estrada é de 235,7mm; esse valor é a soma entre os valores verificados, divi-
dida pela contagem de 155 produtos, sendo que o mesmo acontece para os demais.
11CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Esse tipo de situação, chamada de média para valores agrupados, é muito comum, e geralmente 
nos leva a uma avaliação direta míope ou equivocada. Para tal, a dica é sempre realizar a média usan-
do a soma entre todos os valores e dividir pela contagem deles, tal como foi dito na explicação sobre 
a média. No caso de não termos os valores, ainda existe a possibilidade de fazermos essa conta de 
maneira mais correta. Fazemos a conta inversa e multiplicamos a contagem (População) pelos resul-
tados do comprimento médio (no caso da linha 2 seria a multiplicação de 155 x 235,7, resultando em 
36.533,5, que é a soma entre todos os comprimentos dos produtos listados). Se fizermos esse procedi-
mento para todas as linhas e somarmos os resultados, chegaremos a um total de 244.715,7mm, o qual, 
dividido pela contagem total de 1.221 produtos, nos dará a média correta dos valores, que é 200,4mm.
Caso muito semelhante acontece com os chamados “outliers”, ou valores extremos (em alguns 
momentos, chamados popularmente de pontos fora da curva), os quais distorcem por completo a 
nossa análise, pois nos levam a avaliações equivocadas. Precisamos conseguir identificar esses fa-
tores e ignorá-los. Vamos utilizar o exemplo de que estamos tratando para tentar ilustrar essa situ-
ação. Digamos que estamos analisando um conjunto menor de 5 produtos do tipo Fora-de-estrada, 
sendo eles representados pelas letras a, b, c, d, e na tabela:
Se estivéssemos avaliando um processo qualquer cuja especificação fosse 
235,5mm, com tolerância bilateral de 0,2mm (ou seja, estão corretos produtos entre 
235,3 e 235,8) estaríamos incorrendo em uma análise que todos os produtos do nosso 
processo estão fora de especificação, pois a média entre eles foi de 237,4mm. Contudo, 
isto não seria verdade, pois 4 dos 5 produtos apresentados estão absolutamente den-
tro dos parâmetros requeridos e somente 1 deles está fora, sendo que esse produto está 
com um valor tão distorcido perante os demais que acaba por influenciar (isso é rele-
vância) o resultado de todos. Quanto maior o número de produtos corretos perante o 
produto discrepante, menor será esse efeito, do mesmo modo que quanto menos dis-
crepante for esse produto fora de especificação frente aos demais, menor será o efeito. 
Isso demonstra a importância de conseguirmos identificar tais extremos.
ROL: para nos ajudar, dentre outras situações, na identificação de extremos 
e compreensão dos dados, está a função ROL, que é a organização dos dados brutos 
na forma crescente ou decrescente, mostrando a sequência entre eles.
Usando os dados anteriores para demonstrar, teríamos o seguinte rol: 235,4; 
235,5; 235,7; 235,8; 243,9. Dessa forma conseguimos analisar os extremos (tanto infe-
rior quanto superior) dos nossos dados, de modo a buscar identificar se existem gran-
des discrepâncias entre seus valores e os demais dados. No caso apresentado, verifica-
ríamos uma discrepância bastante significativa entre os demais e o extremo superior, 
que corresponde a 243,9mm. Quanto maior o número de dados apresentados, mais se 
faz necessária essa avaliação a fim de verificar se existem outliers ou valores extremos.
Exemplo de Outliers
Produto (Identificação) Diâmetro D (mm) Operação
a 235,7
b 235,5
c 235,4
d 235,8
e 243,9
n = 5 ΣD = 1.186,7 μ = 237,4 Fo
n
te
: o
 a
u
to
r
12CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Mediana (X ou Md): outra medida de tendência central se refere ao va-
lor central de uma série ordenada de dados pela nossa função Rol, o qual vai 
separar a metade maior e a metade menor desse conjunto de dados que que-
remos analisar. Após ordenados os dados, quando o valor sob análise for ím-
par, a mediana será o valor que ficar no meio dos demais. Quando o número de 
valores for par, por sua vez, a mediana será a média aritmética entre os dois 
elementos centrais do rol.
No exemplo abaixo, digamos que nossos valores sejam 45, 32, 27, 58, 
63, 54, 36. Utilizaremos a função rol para ordenar os valores. Ficaremos então 
com a seguinte forma:
27; 32; 36; 45; 54; 58; 63. – Md = 45
Os números em vermelho são a metade inferior dos dados, os números 
em azul são a metade superior, e a nossa mediana é o número 45, em verde, 
sendo esse o valor que ficou no meio da ordenação, visto que são 7 elementos.
Já considerando que os dados sejam 45, 32, 27, 58, 63, 54, 36, 43, pode-
-se perceber que agora temos 8 elementos, ou seja, um número par. Para tal, 
ordenaremos os dados e ficaremos com o seguinte resultado:
27; 32; 36; 43; 45; 54; 58; 63 - Md = 44
Osnúmeros em vermelho são a metade inferior dos dados, os números em azul são a metade 
superior. Nesse caso nossa mediana é 44, pois é a média entre os números 43 e 45 (em destaque), que 
ficaram no meio da série.
Moda (X ou Mo): mais uma medida de tendência central, pressupõe, como o nome sugere, o valor 
que se repete com maior frequência em um grupo ou série de valores. Parece simples, e de fato é, mas 
temos que observar alguns fenômenos que podemos encontrar:
Exemplo 1: sendo nossos valores 9, 5, 6, 7, 8, 6, 4, 2, a moda Mo = 6, pois é o valor que mais vezes 
se repete. Isso fica mais evidente quando usamos a função Rol, ficando com 2; 4; 5; 6; 6; 7; 8; 9, sendo 
esse o caso mais comum.
Exemplo 2: sendo nossos valores 9, 5, 6, 7, 8, 6, 4, 2, 5, nossa moda pode ser chamada bimodal 
(no caso de haver dois valores para a moda) ou multimodal (no caso de haver dois ou mais valores para 
a moda), pois observando os dados, notaremos que se repetem igualmente os números Mo = 5 e Mo = 6. 
Visualizando pelo rol temos com 2; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 8; 9. Tome cuidado em caso de a série ser 9, 6, 5, 6, 
7, 8, 6, 4, 2, 5, pois a única moda é Mo = 6, sendo esse o número que se repete “com maior frequência”, 
conforme explicado anteriormente.
Exemplo 3: talvez o exemplo mais simples de compreender, quando nossa série da dados é toda 
igual, por exemplo 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, a moda é Mo = 6, pois esse se repete constantemente.
Exemplo 4: sendo nossos valores 9, 5, 6, 7, 8, 4, 2, 3, dizemos que é uma série amodal, pois não há 
repetição de valores.
13CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Exemplo 5: uma forma bastante comum de encontrarmos valores dispostos é em tabe-
las, no caso de um jogo onde são possíveis 3 resultados distintos A, B e C, com as seguintes 
repetições de resultados entre 9 jogadas:
A moda, nesse caso, é X= C, pois foi o resultado que mais se repetiu. Isso ficaria evi-
dente se listássemos os resultados em Rol: A; A; A; B; B; C; C; C; C, estando claro que o resul-
tado C obteve maior frequência. 
Amplitude (R): a mais conhecida entre as chamadas medidas de tendência de disper-
são, a amplitude sugere a variação total, ou largura total, range ou intervalo entre os dados. 
Existem diversos usos para a ideia de amplitude, sendo utilizada principalmente para ava-
liar o quanto os dados analisados diferem entre o valor mínimo e o máximo. Contudo, deve-
mos nos atentar ao fato de que somente estamos avaliando os extremos dos dados, de modo 
que somente a amplitude não nos indica uma verdade absoluta sobre os dados obtidos. De 
maneira prática, a amplitude é o resultado da diferença entre o maior e o menor valor da 
série de dados que estamos analisando.
Exemplo de moda
Exemplo de Desvio 
Resultados Possíveis Nº de resultados
A 3
B 2
C 4
Mo = C 9
Produto
(Identificação)
Diâmetro D 
(mm)
Média Desvio
1 12,52 f1 = 12,52 – 12,52...f1 = 0
2 12,51 f2 = 12,51 – 12,52...f2 = -0,01
3 12,53 f3 = 12,53 – 12,52...f3 = 0,01
4 12,50 f4 = 12,50 – 12,52...f4 = -0,02
5 12,54 f5 = 12,54 – 12,52...f5 = 0,02
n = 5 ΣD = 62,6 μ = 12,52
Fonte: o autor
Fonte: o autor
Utilizando novamente os dados do exemplo anterior 9, 6, 5, 6, 7, 8, 6, 4, 2, 5, temos 
uma amplitude R = 7; isso se torna mais evidente quando utilizamos o rol, ficando com 
2; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 8; 9. O maior valor que é 9 subtraído do menor valor que é 2, nos resulta 
na amplitude R = 7; note que não se leva em conta repetições de valores, somente o maior 
menos o menor valor.
Desvio (fi): outra dentre as medidas de tendência de dispersão, o desvio analisa a di-
ferença entre cada um dos elementos avaliados em relação à média aritmética entre esses. 
Atente-se aqui com o sinal, pois positivos e negativos são importantes para avaliar se o 
dado em questão está acima ou abaixo da média dos valores.
Se tomarmos como exemplo os dados que anteriormente utilizamos para calcular a 
média na tabela 3, teremos:
14CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Variância (σ² ou S²): mais uma das medidas de tendência de dispersão, representa o 
quão distante cada valor de um conjunto de dados está do valor central (médio), sendo que, 
quanto menor é essa distância (ou variância), mais próximos os valores estão da média e, 
quanto maior, mais distantes da média. A variância (σ²), basicamente, é a soma dos desvios 
quadrados (Σfi²) dos elementos, dividida pelo número de elementos (n). Quando a variân-
cia é calculada sobre uma população, a denominamos como variância populacional (σ²), e 
quando é calculada sobre uma amostra, chamamos de variância amostral (S²). A diferença 
no cálculo é que quando utilizamos a amostral, a divisão é realizada pelo número de graus 
de liberdade (definido por n-1, a não ser que n seja maior que 30; nesse caso, não será sub-
traído 1, ou seja, o número de graus de liberdade é igual ao número de elementos) ao invés 
de realizarmos a divisão pelo número de elementos (n). 
Usando nosso exemplo anterior, teremos os seguintes resultados:
Exemplo de variância
Produto
(Identificação)
Diâmetro D 
(mm)
Média Desvio Desvio² Variância
1 12,52 0 0
2 12,51 -0,01 0,0001
3 12,53 0,01 0,0001
4 12,50 -0,02 0,0004
5 12,54 0,02 0,0004
n = 5 ΣD = 62,6 μ = 12,52 Σfi² = 0,001 σ² = 0,0002
Fonte: o autor
15CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
O cálculo da variância pode não ser adequado em algumas situações, pois essa é muito influenciada por valores 
que estão muito distantes da média.
Desvio Padrão (σ ou s): a mais utilizada e conhecida dentre as medidas de tendência de dispersão, costuma resolver 
o problema de interpretação dimensional da variância, visto que seu cálculo é, basicamente, a raiz quadrada positiva da 
variância. É denotado pelos símbolos σ, quando o desvio padrão é populacional ou s, quando o desvio padrão é amostral. 
Exemplo de desvio padrão 
Fonte: o autor
Produto
(Identificação)
Diâmetro D 
(mm)
Média Desvio Desvio² Variância
Desvio 
Padrão
1 12,52 0 0
2 12,51 -0,01 0,0001
3 12,53 0,01 0,0001
4 12,50 -0,02 0,0004
5 12,54 0,02 0,0004
n = 5 ΣD = 62,6 μ = 12,52 Σfi² = 0,001 σ² = 0,0002 σ = 0,014
O desvio padrão, juntamente com a média aritmética, de-
fine a confiabilidade ou regularidade do dado a ser analisado; o 
dado pode ser expresso por média aritmética (μ) +/- desvio pa-
drão (σ), sendo que quanto mais desvios padrões ele estiver dis-
tante da média, menos confiável é o valor.
SÍNTESE
Nesse capítulo, verificamos conceitos relacionados a popu-
lação, amostra, variáveis contínuas e discretas e operações di-
versas, tais como somatório, rol, medidas de tendência central e 
de tendência de dispersão.
Revisamos alguns conceitos de estatística que serão de gran-
de importância em nossos estudos, a fim de explicar a aplicação 
básica desses. Sugiro que leia cuidadosamente esses conceitos.
16CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
1. Em relação aos seguintes dados:
a. Qual o somatório ∑?
b. Qual a moda Mo?
c. Qual a mediana Md?
d. Qual a amplitude R?
e. Qual o desvio-padrão populacional σ?
10 4 6 8 2 4 3 7 9 2 10 2
Respostas:
a. ∑ = 67
b. Mo = 2
c. Md = 5
d. R = 8
e. σ = 3,01
17
GRÁFICOS E CARTAS 
DE CONTROLE
Você sabia que, para termos uma melhor visualização de dados, podemos 
recorrer a gráficos? Você imagina para que existem cartas de controle? 
18CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Diversas são as formas gráficas de se demonstrar o comportamento dos dados. Nesse contexto, dentre essas 
formas, algumas também nos proporcionam análises interessantes sobre as variáveis que estamos observando.
Nesse capítulo, vamos apresentar algumas formas gráficas de demonstração e análise de processos. Note 
que existem inúmeras formas possíveis para demonstrar esses dados, realizar análises sobre eles e observar re-
sultados, do mesmo modo que algumas literaturas ou fontes vão adaptando alguns desses métodos, modificando 
certos detalhes e criando outras formas de realizar essas tarefas.Vamos demonstrar algumas formas de realizar 
tal trabalho, nos atendo à base fundamental do conhecimento de controle estatístico de processos. Assim, não 
é nossa intenção afirmar que esse é o único modo correto de efetuá-lo, tampouco esgotar as formas possíveis; 
visamos demonstrar o conhecimento básico necessário para o profissional dar seguimento a seus estudos, caso 
essa seja sua tarefa ou atividade.
HISTOGRAMA
Considerado uma das 7 ferramentas da qualidade e chamado de “gráfico de distribuição de frequências”, o 
histograma é considerado classicamente como uma das “sete ferramentas da qualidade”. Se caracteriza por uma 
representação gráfica em formato de barras, na qual cada barra contém os dados de uma mesma categoria no in-
tervalo analisado, sem que haja espaço entre as barras, de modo a demonstrar os resultados de uma categoria ao 
lado da outra. Dessa forma, é de se esperar que, para cada uma dessas categorias, o gráfico aponte a quantidade 
de unidades estatísticas que apresentam tal valor, exibindo a frequência em que uma determinada amostra de 
dados ocorre. Deve ficar bem claro que, de maneira usual, o histograma analisa somente UMA variável por vez 
(em certas aplicações, algumas literaturas colocam em paralelo análises de mais de uma variável, mas isso não 
vai exatamente ao encontro do que queremos demonstrar).
19CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Para construirmos um histograma precisamos de dados, sendo eles coletados por um 
determinado período. Após a coleta, é necessário agrupar esses dados em categorias. Algu-
mas dessas categorias são bastante óbvias e outras precisam ser ajustadas, dependendo do 
que queremos demonstrar; caso contrário, poderiam ser “infinitas”. 
Por exemplo, se estivéssemos avaliando uma pesquisa na qual os entrevistados so-
mente pudessem escolher entre as opções “péssimo, ruim, regular, bom, muito bom e óti-
mo”, essas seriam as 6 categorias entre as quais dividiríamos nossos dados. Em um segundo 
exemplo, caso as opções fossem divididas em notas fixas de satisfação, tais como “1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9, 10”, então seriam essas as 10 categorias nas quais agruparíamos nossos dados. 
As respostas somente podem ser dadas escolhendo uma das opções pré-fixadas.
Indo um pouco adiante, se analisássemos as notas dos alunos de uma turma, já tería-
mos variações nessas categorias facilmente ajustáveis à resolução de que precisamos, pois 
normalmente as notas não são valores inteiros (como 1, 2 ou 3) e sim frações desses (como, 
1,2; 2,5 e 3,6, por exemplo). Dessa forma, as notas de 1 a 10, cada qual com um décimo 
de variação (1,0, 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, ... 1,9) nos resultariam em 100 diferentes categorias, o que 
normalmente não é interessante para uma quantidade de dados relativamente finita (como, 
por exemplo, o número de alunos de uma turma). Para ajustar isso, poderíamos dividir as 
notas em categorias que variassem de ponto em ponto, por exemplo, entre 0 e 1, entre 1 e 
2, entre 2 e 3 ... entre 9 e 10, ou então de meio em meio ponto, por exemplo entre 1,5 e 2,0, 
entre 2,0 e 2,5, entre 2,5 e 3.... entre 9,0 e 9,5, entre 9,5 e 10,0. Isso tudo será determinado 
posteriormente; ao menos por hora, é a nossa necessidade de deixar claros os dados.
Exemplo de histograma 1
Exemplo de histograma 2
Fonte: o autor Fonte: o autor
20CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
De forma semelhante e ainda mais complicada, imagine, por exemplo, 
se estivéssemos analisando os resultados da inspeção de um diâmetro, o qual 
pudesse variar entre 24,4mm e 26,4mm; sendo assim, como você dividiria 
em categorias essa variação possível de 2,0mm? Talvez de 1 em 1mm obti-
véssemos uma análise extremamente rasa e que não nos levaria a resultado 
nenhum, do mesmo modo que, indo ao limite, as peças dentro desse interva-
lo poderiam assumir qualquer valor cujo limite é a resolução do equipamento 
que estivéssemos utilizando para avaliá-las. Se esse equipamento fosse um 
micrômetro ou um bom paquímetro, facilmente poderíamos analisar peças 
em intervalos de centésimo em centésimo de milímetro, ou seja, teríamos 
200 diferentes categorias nesse intervalo de apenas 2mm; imagine se a reso-
lução do equipamento fosse, então, milesimal, seriam 2.000 diferentes ca-
tegorias de dados! Dessa forma, de maneira semelhante às notas, podería-
mos dividir esses 2mm em categorias que variassem de décimo em décimo de 
milímetro, ou seja, entre 24,4 e 24,5mm, entre 24,5 e 24,6mm, entre 24,6 e 
24,7mm... entre 26,2 e 26,3mm, entre 26,3 e 26,4mm (20 categorias distin-
tas). Da mesma forma, poderíamos variar de 5 em 5 centésimos, sendo entre 
24,40 e 24,45mm, entre 24,45 e 24,50mm, entre 24,50 e 24,55mm... entre 
26,30 e 26,35mm entre 26,35 e 26,40mm (40 categorias distintas). Nova-
mente, a princípio, o que irá determinar a quantidade de categorias é a ne-
cessidade que temos de deixar claros os dados para nossas análises. Em cada 
uma dessas categorias, simplesmente contamos quantas das peças analisa-
das estavam naquele intervalo de dados específico.
Vistos os exemplos de histograma 1, 2 e 3, você precisa reparar que eles apresentam diferentes “for-
matos” no gráfico. O primeiro demonstra uma concentração grande de dados (uma frequência alta de 
dados) nas maiores notas (lado direito do gráfico), enquanto o segundo apresenta uma quantidade muito 
baixa de dados nas notas inferiores, uma crescente de dados em função da nota 7 e, posteriormente, uma 
decrescente em direção às notas mais elevadas. Já o terceiro nos passa a nítida impressão de um cres-
cimento de dados em relação ao centro desses e depois um decréscimo, formando uma espécie de sino. 
Todos esses comportamentos são análises possíveis de serem feitas por um observador atento aos dados 
disponíveis, e cada situação será muito particular e irá variar de acordo com a forma como nós montamos 
os gráficos, solicitamos os dados e dividimos as categorias, além de sofrer uma forte influência do tipo de 
verificação que estamos fazendo.
Exemplo de histograma 3
Fonte: o autor
21CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
No exemplo do primeiro gráfico, nós verificamos uma pesquisa de satisfação de clientes 
hipotética. Note que, usualmente, se o serviço é bom, o negócio tem clientes corriqueiros. Essa 
pesquisa serve para avaliar e refinar essas percepções, mas é bem comum que, diante do exposto, 
os dados fiquem concentrados nas melhores respostas e alguns poucos detratores da pesquisa 
acabem fatalmente gerando alguns dados nas notas mais baixas. Sobre esses dados é que preci-
samos realizar nossas análises e tomar medidas de correção ao negócio, de modo que a pesquisa 
é, praticamente, montada com o fim de verificar o quanto existe desses “poucos” dados para, 
então, realizarmos “ajustes finos” ou tratarmos pontualmente algum caso.
No exemplo do segundo gráfico, demonstramos a concentração de notas de uma turma. O 
gráfico demonstra um comportamento típico desse tipo de verificação (situações diferentes des-
sa é que são anormais e precisam ser avaliadas mais a fundo). Notem que há poucos dados situa-
dos em notas inferiores e uma crescente em relação à média 7,0, com posterior decréscimo. Isso 
acontece com frequência, pois as pessoas buscam a famosa “nota para aprovar” (tipicamente o 
7,0). Esse comportamento é muito próximo do próximo gráfico que vamos analisar, mas aqui te-
mos uma situação incomum: a necessidade de se demonstrar “todas” as possibilidades de notas, 
que vão de 0 a 10, sendo que a concentração está em torno de um “alvo” específico (a nota 7,0).
O exemplo do terceiro gráfico expressa o caso típico do uso do histograma para o controle de 
um processo que tem uma medida e “limites” definidos. Normalmente, processos de fabricação 
desse tipo (corte, dobra, usinagem etc.) costumam ter seus equipamentos e parâmetros definidos 
para atingir uma medida nominal (uma medida de especificação), e o restante dos dados se dis-
tribuigradativamente em direção aos limites de especificação do processo (tolerâncias). O equí-
voco, nesses casos, é a omissão de comportamentos do histograma dessa maneira.
22CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Note que, quanto maior a quantidade de dados e de categorias, mais o comportamento 
de um histograma para casos típicos tenderá a adquirir um formato de “sino”, também co-
nhecido como Distribuição Normal.
Claro que outros formatos são, também, possíveis. Vamos ver os comportamentos mais 
comuns que os histogramas apresentam:
Padrões de histograma 
Simétrico (normal): caso típico de processo padronizado e com dados 
estáveis (pouca variação). A maior concentração de dados fica no 
centro e esses vão decrescendo de maneira simétrica dos dois lados.
Assimétrico: caso em que os dados são tolerados até um 
número limite, não podendo ultrapassá-lo (notas, pesquisas). 
Costumeiramente, existe concentração em um dos lados, com dados 
fora desse padrão em decréscimo até o lado oposto.
Bimodal: usual quando são utilizadas duas diferentes coletas para 
comparação de dados, sendo o mais correto separar cada coleta em 
um gráfico independente.
Uniforme: caso típico de anormalidade nos dados em virtude de 
falhas, deixando as frequências entre as categorias muito próximas 
umas das outras.
Aleatório: barras de diferentes tamanhos em diferentes sequências 
demonstram a ausência de um padrão entre os dados. Não existe 
controle, critério ou definição de categorias.
Fonte: adaptado de taguchi, 1990.
23CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
O uso do histograma é mais bem direcionado e proporciona melhores análi-
ses em casos de verificação de resultados de processos padronizados.
CARTA DE CONTROLE DE VARIÁVEIS
A carta de controle é o meio mais utilizado para acompanhar um processo 
padronizado. Nesse momento, trataremos somente das aplicáveis a variáveis con-
tínuas (numéricas) e demonstraremos alguns comportamentos típicos nos dados, 
aos quais precisamos nos atentar para realizar nossas análises.
A melhor opção para controle de um processo é por variáveis contínuas, ou 
seja, numéricas. Tornar um processo controlável é o primeiro passo para o contro-
le estatístico de processos, e esse controle tende a ser melhor compreensível por 
meio de números. Uma famosa frase, atribuída a Galileu Galilei, físico, astrônomo 
e engenheiro renascentista, diz “meça o que for possível ser medido, o que não 
for, torne mensurável.”. Tal declaração define o conceito de controle; tudo aquilo 
que for mensurável pode ser mais facilmente compreendido estatisticamente e ter 
comportamentos mais previsíveis, como veremos adiante. 
Existem diferentes tipos de cartas de controle de variáveis de processo, sen-
do a mais comum denominada carta das médias e da amplitude, ou carta XR. Po-
rém, em alguns casos, recorrer a algum outro tipo de carta diferenciada pode vir a 
ser recomendável em função de alguma especificidade do processo em questão.
24CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Para começarmos a elaborar as cartas de controle, precisamos compreender alguns 
pontos do processo em questão que necessitam de controle.
a. Subgrupo: definirá o tamanho da nossa amostra (quantas peças serão verificadas no pro-
cesso) e a cada quanto tempo elas serão verificadas (frequência de amostragem). Pode-
mos definir que a amostra será de 4 peças coletadas a cada 1 hora, por exemplo. Esses são 
valores típicos, mas devemos nos certificar de que o processo produz peças suficientes 
para que sejam retiradas, por exemplo, 5 a cada hora como amostra. Esse número pode 
ser coerente se o processo executa cerca de 20 peças ou mais por hora; caso contrário, 
podemos pensar em uma quantidade menor. De forma análoga, comentamos sobre a ve-
rificação a cada 1 hora, mas para isso é necessário verificar, além da existência de um 
volume de peças coerente, se o processo está apto a fazer a verificação dessas no espaço 
de tempo de 1 hora. Tendo em vista que algumas medições complexas podem levar um 
tempo maior, pode ser alargado o espaço de coleta (a cada 2 horas, por exemplo). Esse 
ajuste deve ser feito para que, dentro de cada turno em que o processo opera (manhã, 
tarde, noite, madrugada) sejam executadas, pelo menos, 3 amostras, de forma inicial.
Quanto maior o subgrupo (mais peças), mais facilmente serão detectadas anomalias.
b. Limites de controle e linha central: os limites de controle devem ter uma certa folga 
em relação aos limites de especificação, para que possamos prever erros ou agir antes 
que os produtos sejam produzidos fora das especificações. Eles normalmente têm como 
base a distribuição da amostragem, podendo assim ser calculados.
Normalmente, processos que estão sob controle possuem limites mais estreitos, e pro-
cessos que precisam de grandes melhorias possuem limites mais largos. No momento do 
cálculo, precisamos verificar se os resultados não superam os limites de especificação. Em 
caso positivo, o processo utilizado para realização do produto não é coerente com suas espe-
cificações, tornando necessário rever maquinário, ferramental, matéria prima, parâmetros, 
ambiente e mão-de-obra, a fim de compreender as anomalias que estão se apresentando.
Por serem descritos por cálculos, é natural que os limites de controle sofram certas 
modificações ao longo do tempo, até que os processos se estabilizem. Aconselhamos que se 
tome cuidado com os eventuais “deslocamentos” que podem acontecer em relação a esses 
limites, conforme é esperado, que sejam necessários dados de produtos oriundos do pro-
cesso para fazer esses cálculos, os quais certamente não existirão em um momento inicial. 
A mesma lógica é aplicável à questão da linha central de dados, pois muitos utilizam 
como linha central o valor nominal da especificação, o que é incorreto. Nem todas as especi-
ficações possuem valores nominais centralizados em relação às suas tolerâncias, tampouco 
relacionados aos seus processos. A linha central é o divisor que permite as análises sobre as 
causas especiais dos processos. Em um processo estável e controlado, com especificação de 
valor nominal centralizada em relação à especificação nominal, é de se esperar que a linha 
central coincida com tal valor, mas não podemos tomar isso como verdade absoluta.
Para determinarmos os cálculos de linha central (LC), limite superior de controle (LSC) 
e limite inferior de controle (LIC), precisaremos contar com o apoio de alguns valores de 
25CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
constantes tabeladas, que podem ser encontrados em uma tabela ao fi-
nal desse material. São necessárias as seguintes fórmulas:
3. Média do subgrupo (n=número de amostras em cada subgrupo): 
4. Amplitude do grupo (dentro de cada grupo): 
5. Média global (k=número de subgrupos utilizados): 
6. Amplitude média: 
7. Linha central das médias: 
8. Limite superior de controle das médias: 
9. Limite inferior de controle das médias: 
10. Linha central das amplitudes: 
11. Limite superior de controle das amplitudes: 
12. Limite inferior de controle das amplitudes: 
OBS: essas fórmulas somente valem para subgrupos entre 2 e 25 elementos.
Em um exemplo hipotético, foram realizadas 25 coletas (amostras) de 5 peças cada (denominadas x1, x2, x3, 
x4 e x5 em cada amostra). Aplicaremos os cálculos acima definidos, conforme demonstrado na tabela a seguir:
Tabela de dados para carta controle
Fo
n
te
: o
 a
u
to
r.
26CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Em cada subgrupo (amostra), foi calculada sua média Xbar. Por exemplo, na amostra 1, 
temos os valores 22,30mm, 22,37mm, 22,28mm, 22,65mm e 22,48mm, cuja média foi calcula-
da em 22,42mm; o mesmo foi realizado para as demais amostras. Para cada subgrupo, foi cal-
culada sua amplitude R, sendo que para a mesma amostra 1 temos o maior valor em 22,65mm e 
o menor valor em 22,28mm, resultando na amplitude de 0,37mm; o mesmo foi calculado para 
as demaisamostras.
A partir desses dados, foram calculadas a média global (média entre todos os resultados 
de Xbar) e a amplitude média (média entre todos resultados de R), disponibilizadas, respec-
tivamente, nas linhas LCX e LCR. Com os valores de e é possível calcular os limites superior 
(LSCX) e inferior de controle (LICX) para as médias. Para isso, também é necessária a verificação 
do valor de A2, que é 0,577, obtido em uma tabela disponibilizada no final desse material, e tendo 
em vista que o tamanho do subgrupo é igual a 5 (5 peças em cada amostra). Na mesma tabela, ob-
tivemos os valores D3 = 0 e D4 = 2,114, que nos possibilitaram calcular os limites superior (LSCR) 
e inferior de controle (LICR) para as amplitudes. 
c. Plotagem do gráfico: com os dados anteriores, conseguimos demonstrar os valores no gráfico 
a seguir. Observe a necessidade de deixar a escala suficientemente ajustada para que se possa 
distinguir a diferença entre os valores, e de modo que todos eles fiquem visíveis no gráfico.
Exemplo de carta de controle xbar-r 
Fonte: o autor.
27CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Esse foi um gráfico preliminar em um processo hipotético qualquer, não possuindo 
nenhuma especificação. Porém, tratando-se de uma carta de controle, é importante que 
exista a coleta de dados no processo de maneira contínua. Na prática, deveriam ser manti-
dos os 25 subgrupos a fim de facilitar o controle estatístico; constantemente, acrescenta-se 
uma nova amostra na sequência e elimina-se a mais antiga (isso se aplica ao gráfico e ao 
cálculo, mas os dados históricos devem ser mantidos). Antigamente, o próprio operador era 
responsável por inserir o dado na carta de controle e plotar o ponto no gráfico, mas, com o 
advento de sistemas informatizados, isso tornou-se incomum. O que é necessário é a exis-
tência de um local para que sejam coletados os dados.
d. Registro de eventos: é interessante que exista um espaço para que o operador faça o re-
gistro de eventos (também conhecido como diário de bordo). Devem ser registrados os 
fatos que aconteceram durante a produção, tais como troca de lotes de material, ajustes 
de parâmetros e ferramental de máquina, ajuste de manutenção, entre outros, pois tais 
dados darão subsídios às nossas análises.
Atualmente, existem recursos eletrônicos como softwares, que podem ser disponibi-
lizados diretamente no chão de fábrica, com o fim de automatizar o trabalho (desde a pró-
pria coleta de dados até a plotagem do gráfico e diário), diferentemente da aplicação que 
estamos demonstrando utilizando o Software Microsoft Excel, que necessitaria de diversas 
automações para atender a qualquer tipo de situação. Não costuma ser muito conveniente 
utilizar diretamente no chão de fábrica esse tipo de planilha eletrônica, a não ser que seja 
exclusivamente para anotar dados das verificações amostradas e diário de bordo.
e. Identificação da carta: uma carta de controle disponibilizada no processo deve deixar 
claro o que está sendo verificado por meio de uma espécie de cabeçalho, compreendendo 
informações tais como:
• identificação com nome da peça e código;
• local em que os dados estão sendo verificados, ou seja, em que processo ou máquina;
• responsáveis pela coleta, ou seja, os operadores habilitados para realizar esse trabalho;
• recursos necessários, tais como o instrumento de medição correto a ser utilizado, com 
tipo, capacidade e resolução dos dados necessária;
• quantidade, ou seja, tamanho do subgrupo ou amostra necessária a ser coletada;
• frequência de coleta das amostras.
O formato da carta é bastante livre e deve ser conveniente ao processo em questão, 
devendo apenas conter todos os dados de forma clara. Existem manuais sobre o assunto 
ou modelos específicos que alguns clientes (como montadoras), definem que precisam ser 
usados, mas em geral estarão presentes os elementos comentados aqui.
f. Análise dos dados e da carta: tão importante quanto coletar os valores, realizar os 
cálculos e demonstrar graficamente os resultados está o fato de saber interpretar 
tais resultados.
28CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Um processo está sujeito a variações (vamos relembrar isso de forma mais completa adian-
te). Quando essas variações são normais ao processo, pode-se dizer que esse está sob controle. 
Isso é expresso pelas cartas de controle; porém, está estatisticamente provado que elas demons-
tram muito mais do que um processo sob controle. Quando feito corretamente, o controle de-
monstrará anomalias e as chamadas “causas especiais”, situações que são incomuns ao processo 
controlado e que precisam ser investigadas para serem compreendidas e sanadas.
Os limites de controle devem ser revistos sempre que for realizada uma melhoria no proces-
so. Pode ser tomado como base um estudo inicial que demonstre um processo estável, com limi-
tes de controle fixados. A revisão dos limites, quando necessária, precisa ser feita com cuidado, 
sendo, para tanto, o procedimento mais comum verificar o histórico recente, eliminar os pontos 
“defeituosos” e calcular tomando como base somente as situações normalizadas, fixando esses 
limites. Tal lógica vale também para a carta das médias e para a carta das amplitudes.
A situação que mais gera problemas no processo é a aparição de pontos fora dos limites de 
controle. Deve ser avaliado se a marcação do ponto foi correta, se mudou algo no sistema de me-
dição (o instrumento não é o usual, o operador foi modificado ou houve problemas com instru-
mentos em termos de funcional ou resolução). Após essa avalição, deve ser reavaliada a amostra 
em questão, sendo importante que as amostras estejam claras. Vale salientar que a causa do pro-
blema pode ter acontecido entre a medição fora dos limites e a imediatamente anterior, sendo 
também interessante avaliar a população contida nesse espaço de tempo para compreender se foi 
algo realmente pontual ou se o processo está com problemas. O gráfico a seguir nos denota a pre-
sença de pontos fora dos limites de controle (acima e abaixo das linhas tracejadas em vermelho).
29CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Pontos fora do limite
Pontos consecutivos 
Pontos em sequência
Pontos alternados
Fo
n
te
: R
ib
e
ir
o
 e
 t
e
m
 C
a
te
n
, 2
0
1
2
.
Fonte: Ribeiro e tem Caten, 2012.
Fonte: Ribeiro e tem Caten, 2012.
Fonte: Ribeiro e tem Caten, 2012.
Os indícios de problemas no processo através da análise de cartas de controle variam con-
forme a interpretação de cada bibliografia. Vamos nos ater àqueles mais comumente utilizados, 
lembrando que um estudo aprofundado no tema nos revela outras situações:
• 7 pontos consecutivos no mesmo lado da linha central: indica que houve uma mudança no 
processo, visto que 7 amostras não variaram em torno da linha central, o que demonstra des-
locamento de processo. A causa pode ter sido uma avaria ou problema de manutenção na má-
quina, mudança no padrão da matéria prima ou mudança de parâmetros de processo;
• 6 pontos consecutivos em acréscimo ou decréscimo: indica, costumeiramente, 
uma degradação de parâmetros, de ferramentas ou de componentes da máquina.
• 14 pontos consecutivos alternados: presença de amostras suficientes para deslocar 
a linha central, ou seja, modificar a média. Isso denota que houve uma modificação 
significativa no processo, tal como troca de máquina, mudança na qualidade geral 
da matéria prima ou mudança no sistema de controle em alguma parte do processo.
30CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Pontos em ciclos 
• Ciclos de repetição: periodicidade clara no comportamento dos resultados, ou seja, ciclos se alter-
nando em periodicidade fixa. A cada x pontos o processo apresenta valores crescentes, depois, a cada 
y pontos, valores decrescentes, e assim por diante. Isso indica que existe uma tendência de resultados, 
associada à troca de turnos com diferentes instrumentos de medição ou operadores.
11.Amplitude móvel (entre valor atual e anterior): 
12. Média dos valores individuais (k=número valores): 
13. Amplitude móvel média: 
14. Linha central das médias: 
15. Limite superior de controle das médias: 
16. Limite inferior de controle das médias: 
17. Linha central da amplitude móvel: 
18. Limite superior de controle da amplitude móvel: 
19. Limite inferior de controle da amplitude móvel: 
Em um exemplo hipotético, foram realizadas 25 coletas (amostras) de 
1 peça cada. Aplicaremos os cálculos acima definidos, conforme demonstra-
do na tabela a seguir:
• Carta de valores individuais: tipo de carta específica de controle na qual não utilizamos subgrupos, 
ou seja, o tamanho de cada uma das nossas amostras é igual a 1. Caso típico de processos contínuos 
em que não há separação de produtos (refino de petróleo, processos químicos, energia elétrica), ou 
em que a produção é realizada em lotes pequenos e há pouca repetição de produtos. Esse é um caso 
particular, pois as fórmulas que vimos só atendem subgrupos entre 2 e 25 elementos, de modo que são 
necessárias algumas modificações nos cálculos. Não existe média de subgrupos e a nossa amplitude é 
móvel (AM), visto que sofre influência direta de cada elemento verificado. As seguintes mudanças são 
necessárias, fazendo relação com as fórmulas anteriores:
Fo
n
te
: R
ib
e
ir
o
 e
 t
e
m
 C
a
te
n
, 2
0
1
2
.
31CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Tabela de dados para carta de valores individuais 
Exemplo de carta de controle x-am
Fonte: o autor.
Fonte: o autor.
Primeiramente, foi calculada a amplitude móvel AM, sendo que, para cada ponto temos 
que fazer o módulo do valor de x subtraído do valor de x anterior. No caso do valor x1 não 
há amplitude, visto que não existe valor anterior e, no caso de x2, temos o valor 22,54mm 
menos o valor em 22,30mm, resultando na amplitude móvel de 0,24mm. O mesmo foi cal-
culado para as demais amostras. Com esses dados, foram calculadas a média dos valores individuais (média entre 
todos os valores de x1 a x25) e a amplitude móvel média (média entre todos resulta-
dos de AM), disponibilizadas, respectivamente, nas linhas LCX e LCAM. Com os valores 
de e , é possível calcular os limites superior (LSCX) e inferior de controle (LICX) 
para as médias. Para isso, também é necessária a verificação do valor de E2, que é 2,660, 
obtido em uma tabela disponibilizada no final desse material, tendo em vista que o ta-
manho do subgrupo é igual a 2 (pois a amplitude leva em conta somente 2 valores). Na 
mesma tabela, obtivemos os valores D3 = 0 e D4 = 3,267 que nos possibilitaram calcular 
os limites superior (LSCAM) e inferior de controle (LICAM) para as amplitudes. Tudo isso 
é demonstrado no gráfico anterior, sendo suas análises realizadas da mesma forma que 
as do gráfico Xbar-R, anteriormente definido.
32CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
CARTA DE CONTROLE DE ATRIBUTOS
Em diversas situações, não nos é possível verificar produtos por meio de alguma me-
dição; seja porque a verificação é muito demorada, porque a velocidades de medição é mui-
to lenta em relação à velocidade do processo, porque o processo de verificação de um valor 
mensurável é muito complexo ou porque a característica a ser verificada dificulta sua trans-
formação em atributos mensuráveis, tais como situações onde a saída de uma verificação é, 
por exemplo, OK e NOK, cores (vermelho, azul, amarelo, verde..), passa/não passa e análogos.
Para esses casos existem as cartas de controle por atributos, que são costumeiramente 
simples. As mais conhecidas são a carta P, carta NP e carta U, todas baseadas na demonstra-
ção de itens não conformes de diferentes formas:
a. Carta p: baseada em verificações de amostras nas quais busca-se determinar a razão 
comprometida de cada uma das amostras (percentual de peças com problema em cada 
amostra). Nesse caso, o tamanho das amostras pode ser diferente entre si e podem 
acontecer diferentes problemas (não-conformidades) dentro da amostra. As fórmulas 
para cálculo nesse caso são:
20. Valor individual: 
21. Média dos valores individuais (amostras de diferentes): 
22. Média dos valores individuais (amostras iguais): 
23. Linha central: 
24. Limite superior de controle (amostras diferentes n=n): 
25. Limite inferior de controle (amostras diferentes n=n): 
Para todos os casos:
ni = número de peças inspecionadas
npi = número de itens não-conforme encontrados
k = número de subgrupos
n = tamanho médio da amostra
33CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Em um exemplo hipotético, podemos acompanhar o funcionamento dessa carta:
Primeiramente, estabelece-se o valor individual p (proporção de não-conformidades), 
dividindo o número de produtos não-conforme np pelo tamanho da amostra n. No caso da 
primeira amostra temos np1 = 4 e n1 = 50, o que nos resulta no valor de p1 em 0,08 (ou 8%); 
seguimos o cálculo dos demais da mesma forma. Posteriormente, calculamos a média des-
ses valores para estabelecer , nos atentando ao fato de que o número de amostras não é 
igual. Temos de somar todos os números de produtos não-conforme np e dividir pela soma 
de todas as quantidades de amostra n, sendo esse resultado demonstrado na linha LCp.
Passamos ao cálculo dos limites de controle superior e inferior, para o qual precisamos 
estabelecer a média aritmética do tamanho das amostras, demonstrado na linha nbar, colo-
cando-os nas linhas LSCp e LICp. Os resultados são plotados no gráfico a seguir.
b. Carta np: baseada em verificações de amostras nas quais busca-se determinar o número de 
unidades não-conforme em unidades sempre de mesmo tamanho. Trataremos de núme-
ros absolutos, e não mais relativos (percentuais). As fórmulas para cálculo nesse caso são:
26. Média dos valores individuais: 
27. Linha central: 
28. Limite superior de controle: 
29. Limite inferior de controle: 
Tabela de dados para carta p 
Exemplo de carta p 
Fonte: o autor.
Fonte: o autor.
34CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Para todos os casos:
n = número de peças inspecionadas
npi = número de itens não-conforme encontrados
k = número de subgrupos
Em um exemplo hipotético, acompanharemos o funcionamento dessa carta:
Calcularemos a média dos valores individuais de itens não-conforme para estabe-
lecer o valor médio em relação a esses, atentando-nos ao fato de que o número de 
amostras agora é igual. É necessário um cálculo de média simples, sendo esse resultado 
demonstrado na linha LCnp.
Posteriormente passamos ao cálculo dos limites de controle superior e inferior, usan-
do diretamente as fórmulas demonstradas para tal e colocando-os nas linhas LSCnp e LIC-
np. Os resultados são plotados no gráfico a seguir.
c. Carta u: baseada em verificações de amostras nas quais busca-se determinar o número 
de não-conformidades por unidade avaliada, sendo que nesse caso as amostras podem 
ser de tamanhos diferentes. Trataremos de números médios de problemas por unidade. 
As fórmulas para cálculo nesse caso são:
30. Valor individual: 
31. Média dos valores individuais: 
32. Linha central: 
33. Limite superior de controle: 
34. Limite inferior de controle: 
Tabela de dados para carta np
Exemplo de carta np
Fonte: o autor.
Fonte: o autor.
35CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Para todos os casos:
ni = número de peças inspecionadas
ci = número de não-conformidades encontrados na amostra i
k = número de subgrupos
n = tamanho médio da amostra
Em um exemplo hipotético, podemos acompanhar o funcionamento dessa carta:
Estabelece-se o valor individual u (número de não-conformidades por produto), dividindo o 
número de não-conformidades c pelo tamanho da amostra n. No caso da primeira amostra temos c1 = 
4 e n1 = 6, nos resultando no valor de u1= 0,67; seguimos o cálculo dos demais da mesma forma. Pos-
teriormente, calculamos a média desses valores para estabelecer , atentando-nos ao fato de que o 
número de amostrasnão é igual. Somamos todos os números de produtos não-conforme c e dividimos 
pela soma de todas as quantidades de amostra n, sendo esse resultado demonstrado na linha LCu.
Passamos ao cálculo dos limites de controle superior e inferior. Precisamos esta-
belecer a média aritmética entre os tamanhos das amostras, demonstrado na linha nbar, 
colocando-os nas linhas LSCu e LICu. Os resultados são plotados no gráfico a seguir.
SÍNTESE
Nesse capítulo, verificamos formas gráficas de demonstrar os dados coletados 
utilizando histogramas e interpretando seus resultados. Analisamos as cartas de 
controle de processos por variáveis e por atributos, compreendendo casos de apli-
cação e detalhes aos quais precisamos nos atentar para analisar o comportamento 
em nossas coletas de dados.
Tabela de dados para carta u 
Exemplo de carta u 
Fonte: o autor.
Fonte: o autor.
36CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
EXERCÍCIOS SUMÁRIO
1. Qual a diferença entre valores individuais e amostras?
2. O que difere variáveis contínuas de atributos?
3. Por que 14 pontos consecutivos alternados são um sinal de alerta em uma 
carta de controle?
4. O que significa, de maneira geral, um ponto fora dos limites de controle?
5. No processo com que você tem contato, qual das cartas apresentada seria 
a mais indicada?
Respostas:
1. Valores individuais são coletas de dados únicas caracterizadas em processos em que 
o volume produtivo é baixo, amostras são coletas da dados conforme uma frequência 
e quantidades definidas.
2. Variáveis contínuas são mensuráveis e podem, dentro de um determinado limite, 
assumir qualquer valor, dependendo da resolução utilizada para verificar, já os 
atributos são apenas contáveis por números inteiros.
3. Porque identificam que houve um deslocamento do processo de forma generalizada, 
modificando as médias e, fatalmente, os limites usuais.
4. Significa um risco para o processo, denotando que ele pode vir a produzir peças em 
desacordo com as especificações.
5. Resposta individual.
37
CONTROLE 
ESTATÍSTICO DE 
PROCESSOS
Você entende o que é controle estatístico? Sabe como ter garantia de 
qualidade na produção? 
38CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Nesse momento, já temos as ferramentas-base para que possamos seguir adiante e 
compreender a aplicação do controle estatístico de processos. Compreendemos os conceitos 
estatísticos e fórmulas iniciais e verificamos as ferramentas gráficas de que precisaremos 
para aplicar. Vamos examinar mais alguns conceitos iniciais e uni-los ao restante para for-
mar a ideia de controle estatístico de processos.
CONTROLE DE PROCESSOS
Tendo em mente o fato de que dois produtos nunca serão iguais pois suas dimensões, 
em alguma escala ou resolução, terão alguma diferença, introduzimos o conceito de variação.
Variações são diferenças entre produtos causadas por uma série de fatores, tais como 
variações na máquina ou equipamento que está produzindo o produto (folgas, desgastes, 
dimensões, sensores, lubrificação, etc.), variações na ferramenta utilizada na máquina 
(desgaste, variação dimensional, esforço executado, deformação, etc.), variações na ma-
téria prima (dimensão, resistência, propriedades químicas e mecânicas, etc.), variações 
na mão-de-obra (conhecimento, precisão, desgaste, troca de operador, etc.), variações no 
meio-ambiente (umidade, temperatura, amplitude térmica, constância da rede elétrica, vi-
brações, etc.), método de fabricação (mudança de etapas, parâmetros, regulagens, fixação, 
etc.) e meio ou equipamento de medição (folgas, precisão, ajuste, facilidade de leitura, po-
sicionamento, etc.). Todos esses fatores fazem parte dos famosos estudos de causa e efeito 
realizados por Ishikawa, que acabaram por gerar o conhecido diagrama de espinha de peixe 
(diagrama 6M) expresso no gráfico a seguir.
Não é um mero acaso esse diagrama ser uma ferramenta tão utilizada; ele retrata, de 
forma categorizada, uma série de fatores que causam variações em um produto. Somos, por 
ele, instigados a procurar quais dessas nos afetam dentro dos níveis que temos como aceitá-
veis, sendo essa a grande chave para compreendermos o conceito de variação. Deve-se com-
preender qual o nível de variação “aceitável” para o produto de que estamos tratando. Nor-
malmente essas variações aceitáveis vêm a nós sob forma de uma especificação, a qual possui 
uma medida nominal e uma tolerância, sendo tal medida nominal a dimensão que se deseja do 
produto, e a tolerância sendo o grau de erro ou variação aceitável para essa dimensão.
Existem, tipicamente, duas situações ou causas distintas de variação, sendo essas as 
causas comuns e as causas especiais. Compreendemos como causas comuns as variações 
Diagrama de Ishikawa 
Fonte: o autor.
39CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
a que nosso processo está sujeito normalmente e, mesmo que essas ocorram, os resul-
tados do processo em si continuarão dentro dos limites aceitáveis definidos. Já as causas 
especiais são definidas por fatores que vão além dos normalmente previstos e tidos como 
normais para o processo em questão.
A compreensão da questão da variação está no nível de controle que temos sobre os 
nossos processos. Processos sob controle têm suas fontes de variações ou causas comuns 
conhecidas e controladas. Usando um exemplo hipotético, a máquina tem desgaste e com-
portamento conhecidos (controlados por uma boa sistemática de manutenção), os métodos 
de fabricação são definidos (procedimentos de execução, ferramentas com desgaste conhe-
cido e controlado, parâmetros definidos), a matéria-prima é constante (fonte conhecida, 
controle sobre suas propriedades dimensionais, físicas e químicas), os meios de medição 
são aferidos (desgaste e folgas conhecidos, posicionamento e leitura conhecidos e verifica-
dos), o meio ambiente é conhecido (condições ambientais comuns para o processo não afe-
tam o processo de forma significativa) e a mão-de-obra é capacitada (treinada, constante e 
conhecedora do processo, condições de trabalho conhecidas e controladas). O conjunto do 
controle e conhecimento sobre todos esses elementos denominaremos processo conhecido.
Conforme já visto, esse processo conhecido, em condições normais de controle, pro-
duz peças em torno de uma medida nominal que, gradativamente, vai se dispersando em 
direção às tolerâncias do produto. Assim, é formado um histograma em forma de sino, que 
caracteriza a distribuição normal, estável e previsível ao longo do tempo. Quando esse pro-
cesso conhecido é influenciado por algo fora da normalidade, está sujeito às causas espe-
ciais. Tais causas, fatalmente, modificarão o formato do histograma, normalmente resul-
tado da quantidade de peças em cada categoria de medição, decorrente da verificação das 
peças oriundas do nosso processo.
 A análise do gráfico a seguir pode nos ajudar na compreensão do conceito aqui explicado.
40CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
A distribuição normal (ou distribuição contínua) corresponde a casos em que a média μ = 0 e que o desvio 
padrão σ = 1, devendo haver também a distribuição simétrica de dados em intervalos de σ = 1, de modo a termos 
uma curva que obedece à equação 35 e está demonstrada no gráfico a seguir. Dessa forma, conseguiremos deter-
minar a quantidade de ocorrências em que uma variável assume um determinado valor contínuo em torno de uma 
média qualquer. Conseguiremos verificar também qual será a probabilidade dessa variável assumir um determi-
nado valor de maneira distribuída em um dado limite.
35. Equação da distribuição normal: 
Essa é a distribuição normal chamada de padrão (Standard), na qual são demonstrados valores tabelados de 
Z (ver primeira tabela ao final do e-book) até um valor de σ = 4,09. Vejamos o resultado no gráfico.
Diagrama de Ishikawa 
Distribuição normal
Fonte: AIAG, 2005.
Fonte: adaptado de AIAG, 2005.
41CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Valores de Z 
Fo
n
te: A
IA
G
, 2
0
0
5
.
Por exemplo, digamos que o diâmetro de um determinado eixo usinado é especificado 
em 12,5mm (nesse momento, a especificação assume o valor da média μ) e as peças usinadas 
apresentam um desvio padrão de σ=2,25 em torno dessa medida, entendendo que a especifi-
cação permite que as peças assumam valores de 10,8 até 15,1mm. Peças fora da especificação 
ficarão com diâmetros abaixo de 10,8mm e maiores que 15,1mm. Utilizando a equação (35), 
descobrimos que o valor de Z (área abaixo da curva) para cada um dos limites especificados 
é dado por:
Verificando na tabela ao final do e-book, constatamos que o valor Z da curva para o re-
sultado de 0,755 é de 0,2266 (valor atribuído ao número 0,75, o mais próximo do resultado 
0,755) ou seja 22,66%, e a área Z para valores de 1,15 é 0,1251 ou seja 12,51%. Com base nos 
valores apresentados nos nossos cálculos, podemos entender que teremos 22,66% de chance 
de termos peças abaixo de 10,8mm e 12,51% , de peças acima de 15,1mm. Se o desvio padrão 
for menor (por exemplo 1,1 ao invés de 2,25), teremos um resultado de Z1=-1,54 e Z2=2,36, 
o que resulta, respectivamente, em possibilidades de peças com problema de 6,18% e 0,9%, 
Quanto mais larga for a especificação e quanto menor for o desvio padrão, menor é a proba-
bilidade de termos peças com problema.
Um bom início para nosso controle de processos é a implantação de cartas de controle, 
a fim de monitorarmos os resultados que estamos obtendo com esse. Precisamos diminuir ao 
máximo a variabilidade de uma das nossas fontes, o sistema de medição.
É preciso compreender que sistemas de medição melhores nos levam a resultados mais 
corretos, demonstrando a verdade sobre o nosso processo e não deturpando resultados. Isso 
pode nos levar a crer que temos um bom processo quando, na verdade, ele está descontrola-
do; ou ainda, crermos que temos um processo em descontrole quando na verdade isso é fruto 
de medições equivocadas. Uma série de cuidados devem ser tomados para com o sistema de 
medição. Não basta ensinar uma pessoa a medir com um paquímetro, por exemplo. A pessoa 
pode ser extremamente habilidosa, no entanto, o instrumento pode não oferecer a resolu-
ção necessária, a peça pode não prover uma superfície que facilite o posicionamento ideal 
do instrumento, o ambiente pode não permitir uma boa leitura de resultados, o instrumento 
pode causar diferenças de leituras, ou o sistema de medição pode ser lento e não responder 
de acordo com a velocidade de execução do processo. O sistema de medição também está su-
jeito a inúmeras variações, e recomendamos que sejam feitas avaliações sobre ele.
42CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
Deve-se compreender que os resultados do nosso controle precisam refletir pontos da 
forma mais real possível. Podemos comparar esses resultados com um alvo, de modo que ne-
cessitamos do resultado mais exato possível, assim como nos demonstra o gráfico a seguir:
Note que podemos ter resultados não exatos (diretamente deslocados) e não precisos (dis-
persos, distorcidos); podemos ter resultados exatos (não deslocados) mas ainda imprecisos (dis-
persos e distorcidos) ou ainda resultados extremamente precisos (sem distorções) mas inexatos 
(deslocados). O importante é que tenhamos resultados tão exatos e precisos quanto possível.
CAPACIDADE DE PROCESSOS
Os cálculos estatísticos são realizados sobre amostras significativas para que possa-
mos predizer o comportamento da população, visto que é impraticável analisar toda a po-
pulação de produtos para conhecermos seus resultados.
Precisamos compreender o que é uma amostra significativa que, ao ser analisada te-
nha condições estatísticas de representar o comportamento da população. Segundo Shewart 
(1931), tendo em vista uma população (n), uma amostra significativa (S), é:
36. Amostra significativa: 
A análise da capacidade dos processos é uma sistemática que visa determinar o quanto 
um processo é capaz de produzir dentro da sua especificação (e não qual o volume de produ-
tos possíveis de serem executados nesse processo). É aplicável principalmente para deter-
minar a confiabilidade de produtos em sistemas e processos nos quais o volume de produção 
e o custo do produto são bastante consideráveis, assim como o custo de recuperação da falha 
e os efeitos negativos relativos à segurança do usuário.
Precisão de resultados 
Fo
n
te
: a
d
a
p
ta
d
o
 d
e
 A
IA
G
, 2
0
0
5
.
Não exato e 
Não preciso
Exato mas 
Não preciso
Preciso mas 
Não exato
Exato e
Preciso
43CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
 A avaliação de um processo é possível de ser executada quando esse pro-
cesso estiver sob controle, ou seja, quando as variáveis que influenciam signi-
ficativamente seus resultados estejam controladas. Caso contrário, qualquer 
resultado não significa nada, pois é momentâneo e ilusório.
Uma boa forma de verificarmos se o processo está sob controle é a ava-
liação do desempenho do processo ou performance do processo, sendo esses 
índices adimensionais. Para fins de compreensão o índice Pp (performance ge-
ral) é o desempenho do processo independentemente de sua centralização (a 
medida nominal e a linha central de controle não necessariamente são as mes-
mas). Tal índice vai indicar apenas o quanto o processo está dentro ou fora dos 
limites de especificação, precisando ser comparado aos seus limites superior 
de especificação (LSE) e limite inferior de especificação (LIE). 
O índice Ppk já leva em conta, além da performance geral do processo, o 
quanto ele também está centralizado, avaliando a distância entre a linha cen-
tral de controle e a medida nominal requerida para o processo. Se um produ-
to tem limites inferiores e superiores de especificação, haverão dois cálculos 
distintos para chegarmos no índice Ppk, os chamados de Ppu (em relação aos 
limites superiores de especificação) e Ppl (em relação aos limites inferiores de 
especificação). Se o processo é unilateral (só tem tolerância superior ou infe-
rior), utiliza-se somente um desses. Sendo assim, o índice Ppk será o menor 
valor entre os encontrados nos cálculos de Ppu e Ppl.
Para avaliação do índice de performance, não se realizam tomadas de amostras de acordo com 
intervalos previstos (subgrupos). É realizada uma verificação dos produtos produzidos em sequência, 
sendo essa “amostra” de produtos consecutivos de, no mínimo n=125 peças, ou a quantidade de produ-
tos produzidos em 8 horas de produção ininterrupta (o que for menor entre esses). Como visamos veri-
ficar a variação total do processo, utilizaremos a média e o desvio padrão s, ambos amostrais. Vamos 
avaliar somente a amostra como um todo, e não prever o comportamento da população.
37. Desvio padrão amostral: 
38. Performance geral: 
39. Performance superior do processo: 
40. Performance inferior do processo: 
41. Performance do processo centrado: 
Na qual:
LSE = Limite superior de especificação
LIE = Limite inferior de especificação
44CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS
 SUMÁRIO
O critério para determinar se a performance do processo é considerada adequada ou não 
é bastante particular a cada empresa, ou definido pela relação cliente/fornecedor. Um índice 
usual considerado na indústria define valores mínimos aceitáveis de Pp = 2,00 e Ppk = 1,66.
Partindo do pressuposto de que o desempenho do processo (amostral) é considerado 
aceitável, avançaremos para a avaliação da capacidade do processo, chamada comumente 
de capabilidade de processo (espécie de nacionalização da expressão Process Capability vinda 
da língua inglesa). Ela é definida pelos índices Cp e Cpk, também adimensionais, que tam-
bém se utilizam dos limites de especificação para serem balizados.
Estatisticamente, o que muda entre os cálculos do desempenho e da capacidade é que 
o segundo utiliza o desvio padrão populacional, tendo em vista que iremos avaliar subgru-
pos de amostras buscando predizer os resultados