Aula 8 - Cálculo Numérico

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CENTRO DE MÍDIAS 
CÁLCULO 
NUMÉRICO
Prof.a Ma. Andréa Fragata
Prof.a Dr.a Neide Ferreira
MATEMÁTICA
CENTRO DE MÍDIAS 
TEMA
OBJETIVO
Interpolação polinomial.
Apresentar aplicações e métodos 
para resolução de interpolação: 
Método de Newton.
CÁLCULO NUMÉRICO
aula 8.1
Interpolação – Forma de Newton
A forma de Newton do polinômio interpolador é 
baseada nos operadores de diferenças divididas.
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Fórmula de Newton para interpolação com 
diferenças divididas
Pn(x) = y0 + (x - x0) y0 + (x - x0) (x - x1) 
2y0 + . . . + (x - x0) 
(x - x1) . . . (x - xn-1) 
ny0
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Operador de diferença dividida
Seja f(x) uma função 
tabelada em n+1 pontos 
distintos x0, x1, . . . , xn. 
Definimos o operador de 
diferença dividida por:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
1
2
3 2 2
1 1
.
.
.
− −
∆ =
∆ = + −
∆ = ∆ + − ∆
∆ = ∆ + − ∆
∆ = ∆ + − ∆n n n
f x f x
f x f x h f x
f x f x h f x
f x f x h f x
f x f x h f x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Operador de diferenças divididas de ordem n
[ ]1, , ...,
1
+ +∆ =
+
i i i nn
i
f x x x
y
n termos
] [1, 2 , 1 1, ..., , ...,+ + + + + −
+
 − =
−
i i i n i i i n
i n i
f x x x f x x x
x x
1 1
1
− −
+
+
∆ − ∆
=
−
n n
i i
i n i
y y
x x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Operador de diferenças divididas
Para calcular as diferenças ordinárias de uma função 
f(x) sobre os pontos x1, x2 ,..., xn, constrói-se uma tabela 
da seguinte maneira:
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a. a primeira coluna é composta de xi, i = 0, 1, 2,..., n; 
b. a segunda coluna contém os valores de f(x) nos 
pontos xi, i = 0, 1, 2,..., n; 
c. Nas colunas 3, 4, 5, ... estão as diferenças ordinárias 
de ordem 1, 2, 3, ... Cada uma dessas diferenças é 
simplesmente a diferença entre duas diferenças 
ordinárias consecutivas e de ordem imediatamente 
inferior.
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Operador de diferenças divididas – Exemplo
Dada a função da tabela abaixo, calcule os operadores 
de diferença dividida.
i xi yi 
0 0,3 3,09 
1 1,5 17,25 -
2 2,1 25,41 
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Operador de diferenças divididas – Exemplo
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
1 0
0 0 1
1 0
2 1
1 1 2
2 1
1 2 0 12
0 0 1 2
2 0
17, 25 3,09, 11,80
1,5 0,3
25, 41 17, 25, 13,60
2,1 1,5
, , 13,60 11,80, , 1, 00
2,1 0,3
− −
∆ = = = =
− −
− −
∆ = = = =
− −
− −
= = = =
−
∆
−
y y
y x x
x x
y y
y x x
x x
x x x x
y x x x
x x
i xi yi 
0 0,3 3,09 
1 1,5 17,25 -
2 2,1 25,41 
 
11,80 
13,60 -
-
yi𝚫𝚫
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Operador de diferenças divididas – Exemplo
E, colocando-se tais valores na tabela, tem-se:
i xi yi 
0 0,3 3,09 
1 1,5 17,25 -
2 2,1 25,41 
 
11,80 
13,60 -
-
yi𝚫𝚫 
1,00
-
-
-
𝚫𝚫2yi
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Interpolação – Forma de Newton
Aplicando Newton na tabela de diferença dividida, 
tem-se:
P2(x) = y0 + (x - x0) y0 + (x - x0) (x - x1) 
2y0 
P2(x) = 3,09 + (x – 0,3)11,80 + (x – 0,3) (x – 1,5)1
P2(x) = 3,09 + 11,8x – 3,54 + x
2 – 1,8x + 0,45
P2(x) = x
2 + 10x
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Interpolação – Forma de Newton – Exemplo 2
Considerando a tabela de diferença dividida, defina o 
valor para P (0,4).
i xi yi yi 2yi
0 0,0
1
2 -
3 - -
𝚫𝚫 𝚫𝚫 3yi𝚫𝚫 𝚫𝚫
- 
- 
- 
4 -- - - 
4yi
0,2
0,3
0,5
0,6
1,100
1,600
1,000 0,000
1,000
2,00
0,280
0,610
1,090
1,690
1,008
1,064
1,125
1,343
1,512
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Interpolação – Forma de Newton – Exemplo 2
P2(x) = y0 + 
 y0 (x - x0) + 
 2y0 (x - x0) (x - x1) +
 3y0 (x - x0) (x - x1) (x - x2) + 
 4y0 (x - x0) (x - x1) (x - x2) (x - x3) +
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Interpolação – Forma de Newton – Exemplo 2
P(0,4) = y0 + 
 1y0 (0,4 - x0) +
 2y0 (0,4 - x0) (0,4 - x1) +
 3y0 (0,4 - x0) (0,4 - x1) (0,4 - x2) +
 4y0 (0,4 - x0) (0,4 - x1) (0,4 - x2) (0,4 - x3) +
P(0,4) = 1,216
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CÁLCULO NUMÉRICO
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DINÂMICA
LOCAL
Construir a tabela de diferenças divididas para a 
função f(x) tabelada a seguir:
x -1 0 1 3 
f(x) 2 4 2 10 
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CÁLCULO NUMÉRICO
Tabela de diferenças divididas.
Solução da dinâmica
i xi yi yi 2yi 
0 -1 2 2 -2 1 
1 0 4 -2 2 - 
2 1 2 4 - - 
3 3 10 1 - - 
𝚫𝚫 𝚫𝚫 3yi𝚫𝚫
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CÁLCULO NUMÉRICO
TEMA
OBJETIVO
Ajuste de curva.
Apresentar aplicações e métodos 
para resolução de ajuste de curva: 
Método dos Mínimos Quadrados.
CÁLCULO NUMÉRICO
aula 8.2
Ajuste de curva
É um método que consiste em encontrar uma 
curva que se ajuste a uma série de pontos e que 
possivelmente cumpra uma série de parâmetros 
adicionais.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Ajuste de curva
Pode envolver tanto a interpolação, onde é necessário 
um ajuste exato aos dados, quanto a suavização, na 
qual é construída uma função “suave” que se ajusta, 
aproximadamente, aos dados.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Ajuste de curva
Ao se estudar a relação entre duas variáveis, deve-se 
inicialmente fazer um gráfico dos dados (diagrama 
de dispersão), pois ele fornece uma ideia da forma da 
relação exibida por eles. 
Através deste diagrama pode-se visualizar a curva que 
melhor se ajusta aos dados.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Interpolação e ajuste de curva
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Interpolação e ajuste de curva
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Ajuste linear simples
O modelo mais simples que relaciona duas variáveis X 
e Y é a equação da reta y = b0 + b1x onde b0 e b1 são os 
parâmetros do modelo. 
Há inúmeras retas possíveis.
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Diagrama de dispersão
Construir o diagrama de dispersão das 5 medidas das 
variáveis X e Y.
i 1 2 3 4 5 
xi 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 
yi 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 
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Diagrama de dispersão
i 1 2 3 4 5 
xi 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 
yi 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 
y
x
Diagrama de Dispersão
1
10
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Diagrama de dispersão
Y
x
Y=b0+b1x
yi=b0+b1xi
di=yi-yi{
xi
Uma reta arbitrária no diagrama de dispersão
1
10
^
^
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Diagrama de dispersão
Ajuste de duas retas no diagrama de dispersão: 
i
1
2
3
4
5
1,3
3,4
5,1
6,8
8,0
2,0
5,2
3,8
6,1
5,8
1,3
3,4
5,1
6,8
8,0
0,7
1,8
-1,3
-0,7
-2,2
4,5
4,5
4,5
4,5
4,5
-2,5
0,7
-0,7
1,6
1,3
xi yi yi di
D = 10,75 D = 11,48
yi = 0 + 1 xi yi = 4,5 + 0 xi 
yi di
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Medida do desvio total dos pontos à reta estimada:
2
1=
=∑
n
i
i
D d
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Diagrama de dispersão
Retas traçadas no diagrama de dispersão.
Y
x
Y = 4,5 + 0x
Y = 0 + 1x
1
10
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Ajuste linear simples - Escolha da melhor reta
Um modo de estimar os coeficientes b0 e b1 é 
determinar o mínimo da função D (b0, b1).
No processo de minimização, calculam-se as derivadas 
parciais de D em relação a b0 e b1.
A melhor reta que passa pelo diagrama de dispersão 
apresenta, então, a forma: y = b0 + b1x.
e
( )
( )
1
0 1 22
.
.
∑ − ∑ ∑ − ∑ ∑
= =
∑ − ∑
i i i i i i
i i
y x b n x y x y
b b
n n x x
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Ajuste linear simples - Escolha da melhor reta
A solução do sistema de equações lineares é b0 e b1 
dados pelas equações anteriores e com estes valores a 
função D(b0, b1) apresenta seu menor valor. 
Como este método consiste em achar o mínimo de 
uma função quadrática, ele é conhecido como Método 
dos Mínimos Quadrados.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Ajuste linear simples - Escolha da melhor reta
O MMQ ou Mínimos Quadrados Ordinários ou OLS 
(do inglês Ordinary Least Squares) é uma técnica 
de otimização matemática que procura encontrar o 
melhor ajuste para um conjunto de dados tentando 
minimizar a soma dos quadrados das diferenças 
entre o valorestimado e os dados observados (tais 
diferenças são chamadas resíduos).
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Ajuste de curva - Coeficiente de determinação
Um modo de medir a qualidade do ajuste linear 
simples é através do coeficiente de determinação:
sendo 0  R2  1.
Deste modo, quanto mais próximo o coeficiente de 
determinação estiver da unidade, melhor será o ajuste.
[ ]
( ) ( )
2
2
2 22 2
/
/ /
∑ − ∑ ∑
=
   ∑ − ∑ × ∑ − ∑   
i i i i
i i i i
x y x y n
R
x x n y y n
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Ajuste de curva – Resíduos
Uma maneira de verificar a adequação do modelo é 
comparar cada valor observado yi com o respectivo 
valor predito pelo modelo yi. A diferença entre estes 
dois valores é o resíduo.
 
Os resíduos podem ser vistos como a parte do valor 
observado que o ajuste não foi capaz de explicar.
^
ˆ= −i i ir y y
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Ajuste de curva – Exemplo
A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma 
amostra de nove homens entre as idades de 25 a 29 
anos, extraída ao acaso entre funcionários de uma 
grande indústria:
Altura 183 173 168 188 158 163 193 163 178 cm 
Peso 79 69 70 81 61 63 79 71 73 kg 
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CÁLCULO NUMÉRICO
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L
a) Faça o diagrama de dispersão dos dados e observe 
que parece existir uma relação linear entre a altura e o 
peso.
b) Ajuste uma reta que descreva o comportamento do 
peso em função da altura, isto é, peso = f(altura).
c) Estime o peso de um funcionário com 175 cm de 
altura; e estime a altura de um funcionário com 80 kg.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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L
d) Resolva o item (c) com essa função e compare os re-
sultados obtidos. Tente encontrar uma explicação.
e) Determine o coeficiente de determinação.
f) Monte a tabela de resíduos.
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Sequência para resolução:
• diagrama de dispersão;
• cálculo dos somatórios;
• determinação da melhor reta y = b0 + b1;
• coeficiente de determinação (R2);
• tabela dos resíduos.
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DINÂMICA
LOCAL
O número de bactérias por unidade de volume 
existente em uma cultura após x horas é apresentado 
na tabela:
a) Faça o diagrama de dispersão.
b) Ajuste os dados a uma curva linear.
c) Calcule y(x) para x=7.
 0 1 2 3 4 5 6 
32 47 65 92 132 190 275 
nº de horas (x)
nº de bactérias por
volume unitário (y) 
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