CÁLCULO DIFERENCIAL 2

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CÁLCULO DIFERENCIAL 2
1.1 DERIVADAS SUPERIORES
1. Quando se deriva uma função f, encontra-se a derivada primeira f'. Se f' for derivável, então sua derivada é denotada por f'′, denominada derivada segunda de f. Nesse contexto, encontre a derivada de segunda ordem da função f(x) = 3x2 + 8x + 1 e assinale a alternativa correta: 
E. f''(x) = 6.
2. Enquanto houver diferenciabilidade em uma função, é possível continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e até derivadas superiores de f. Essas derivadas também são chamadas de derivadas sucessivas. Assim, encontre a derivada de sexta ordem da função f(x) = 3x5 + 8x2 e assinale a alternativa correta:​​​​​​​ 
A. f 6(x) = 0. 
3. As derivadas sucessivas são chamadas de derivada primeira, derivada segunda, e assim por diante, conforme segue-se com o processo de derivação. O número de vezes que f for diferenciável é chamado de ordem da derivada. Nesse contexto, encontre a derivada de segunda ordem da função a seguir e assinale a alternativa correta:
F(x) = x+1/x-1
D. F''(x) = 4/(x-1)³
4. A derivada de segunda ordem de uma função representa a derivada da derivada dessa função e pode ser representada por y'' ou ​​​​​​​. Assim, calcule a derivada de segunda ordem da função y = x2(3x + 1) e assinale a alternativa correta:
C. y'' = 18x + 2.
5. A derivada de ordem superior pode ser entendida como “a derivada da função derivada”, ou seja, para encontrar, por exemplo, a derivada segunda, basta derivar a função da primeira derivada novamente, e assim por diante. Nesse contexto, calcule a derivada de terceira ordem da função f(x) = (2x + 1) (3x − 2) e assinale a alternativa correta:​​​​​​​
B. F'''(x) = 0
1.2 REGRA DO PRODUTO E DO QUOCIENTE
1. Encontre a derivada dy/dx se y = (4x2 − 1)(7x3 + x) e assinale a alternativa correta. ​​​​​​
E. dy/dx = 140x4 – 9x2 -1.
2. Encontre a derivada do quociente Q(x) = (x² - 5x +7) / 2x e assinale a alternativa correta.
C. Q’(x) = ½ - 7/2x².
3. Calcule a derivada da função P(x) = (x − 1)(3x − 2) e assinale a alternativa correta.
A. P′(x) = 6x − 5.
4. Encontre a derivada de f(x) = (3x − 2x2)(5 + 4x) e assinale a alternativa correta. 
B. f′(x) = 15 + 4x – 24x².
5. Encontre a derivada de F(x) = (5x-2) / (x² + 1) e assinale a alternativa correta.
D. f′(x) = ( - 5x² + 5 +4x) / ( x4 + 2x² + 1).
2.1 REGRA DA CADEIA
1. As funções nem sempre são simples. Muitas vezes, as variáveis independentes de uma delas, na verdade, são dependentes de outra variável. Suponha as seguintes funções: y =x2 e x = 2t+1. Encontre: dy/dt. ​​​​​​
A. 8t + 4.
2. Nas funções compostas, as variáveis independentes são substituídas por alguma função. Encontre a derivada da seguinte função: y = tg (x3+20):
C. 3x2 sec2 (x3 +20). 
3. Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra da cadeia. Dada a função y = (1+x cos(x))-5, encontre: dy/dx
E. -5 (1+x cos(x))-6(-x sen(x)+cos(x)).​​​​​​​
4. Suponha que a aceleração de um objeto seja dada por a = 5 + v²/2 em m/s2, onde v é a velocidade, a qual é dada por v = 50+2t2 m/s. Qual a taxa de variação da aceleração pelo tempo da/dt em m/s3, conhecida como arranque?​​​​​​​​​​​​​​
C. 200t + 8t3. 
5. As funções trigonométricas também são utilizadas nas funções compostas. Encontre a derivada da seguinte função: ​​​​​​​
A. √sec(x²)tg(x²)
B. x√sec(x²)tg(x²)
2.2 DERIVADAS PARCIAIS
1. Determine ∂f/∂x e ∂f/∂y no ponto (1, -1) sabendo que f (x, y) = 2x²-3y-4.
C. ∂f/∂x(1,-1) = 4 e ∂f/∂y(1,-1) = -3
2. Encontre fx e fy considerando ​​​​​​​.​​​​​​​ 
E. f x = -1/(x-y)² e f y = 1/(x-y)²
3. Encontre fx, fy e fz onde f (x, y,z) = 1 + xy² - 2z²​​​​​​​. 
D. f x= y² , f y= 2xy e f z= - 4z 
4. Determine fxy e fyx onde f(x,y)= x+y+xy.​​​​​​ 
A. f xy = f yx = 1 
5. Encontre ∂z/∂x se a equação xy+z³x-2yz=0 define z como função de duas variáveis independentes x e y.​​​​​​​​​​​​​
D. ∂z/∂x = y + z³ / 2y - 3z²
3.1 DERIVADAS DIRECIONAIS
1. Considere um ponto sobre a superfície de equação f (x, y)v = 2xy - y3 no ponto P(5, 5). Ao deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar que ele se move em taxas de valores diferentes, dependendo da direção do deslocamento. Determine a taxa na qual o ponto se desloca na direção do versor. ​​​​​​​ 
C. 58. 
2. ​​​​​​​A derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou seja, indica a taxa de variação da função. Determine a taxa variação da função ​​​​​​​ f (x, y, z ) = xy + yz + zx no ponto P(1, -1, 2) e na direção do vetor. 
A. 3. 
3. Dado um ponto no espaço definido por uma função, existem infinitas direções nas quais é possível deslocar e determinar a taxa cuja função varia naquela direção. Mas existe, em um dado ponto, uma única direção na qual a função cresce mais rapidamente. Encontre a direção na qual a função f(x, y) = x2+ xy + y2 aumenta mais rapidamente no ponto (-1, 1). Encontre a derivada direcional de f nessa direção.
E. v=(-1,1) e df(-1,1)= √2
4. ​​​​​​​Dada uma função, podemos determinar a direção na qual a função apresenta a menor variação possível. Tal direção é unicamente determinada, juntamente com a taxa mínima de variação. Encontre a direção na qual a função f(x,y,z) = x/y – yz diminui mais rapidamente no ponto (4, 1, 1). Encontre a derivada direcional de f nessa direção. ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
D. v=(-1,5,1) e df(4,1,1)= -3√3
5. Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a função T(x, y) = x3- y3+ xy. Determine a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto (2,1).
B. v=(13,-1)
3.2 POLINOMIO DE TAYLOR
1. Calcule os polinômios de Taylor T3 (x) centrados em x=1 da função f(x) = e^x
E. T3(x)=e(x+(x-1)²/2 + (x-1)³/6)
2. Encontre T3(x) centrado em x=0 da função f(x)=(1+x)-1, ou seja, os polinômios de Maclaurin.
D. T3(x) = 1 – x + x² - x³
3. Considere a função f(x) = ex. Encontre Tn(x) em x=1 para um valor arbitrário de n
A. Tn(x) = e.[1 + (x – 1) + (x – 1 )²/2! + ... + (x - 1)^n/n!
4. Use a estimativa de erro para obter uma cota para o erro |T3 ( – e2 | sendo T3(2) centrado em a=1. Use K= e2 .
B. 0,31
5. Calcule os polinômios de Maclaurin T3 (x) da função f(x) = 1/1 + x²
C. T3 (x) = 1 - x²
4.1 PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
1. As funções são muitas vezes utilizadas para modelar fenômenos. Assim, saber seus comportamentos, como máximos e mínimos absolutos, é essencial para entender o fenômeno que está por trás. Considere a seguinte função​: ​​​​​​​ 
f(x) = 10x³/3 – 15x² +20x. 0<x<4
​​​​​​​Encontre os valores de x onde ocorrem os máximos e mínimos absolutos da função.​​​​​​ 
E. Máximo absoluto em x= 4 e mínimo absoluto em x= 0.
2. Dado um certo intervalo do domínio de uma função, esta pode ou não apresentar pontos de máximo e mínimo absolutos. Dada a função f(x) = 4x^5 + 5x^4 ​​​​​​​determine se ela tem extremos absolutos e, se tiver, onde ocorrem.
A. Não tem extremos absolutos.
3. Para encontrar pontos críticos e pontos de máximo e mínimo absolutos de funções, as derivadas são essenciais. Suponha a seguinte função: f(x) = 2/x² - x, 0<x<1. Determine se f(x) tem extremos absolutos e, caso tenha, onde ocorrem.
B. Tem máximo absoluto em x= 1/2.
4. Na hora de investigar os pontos extremos absolutos de uma função, o intervalo de interesse é importante. Suponha a função f ( x ) contínua no intervalo aberto ( a , b ). Se lim x->a+f(x)=+∞ e lim x->b-f(x)=+∞. ​​​​​​​O que podemos afirmar sobre seus pontos extremos absolutos?
A. A função f(x)tem um mínimo absoluto em (a, b).
5. Você está construindo uma caixa com base quadrada e sem tampa superior para guardar objetos. Você precisa que ela tenha volume de 32.000 cm3. Qual deve ser a altura da caixa para que o material usado em sua construção seja minimizado?
B. 20 cm.
4.2 REGRA DE L’HÔPITAL
1. Quando x→0, a função f(x) = sen(2x)/x ​​​​​​​tem uma indeterminação do tipo 0/0. Qual é o limite dessa função quando x→ 0?​​​​​​​​​​​​​​
C. 2
2. Ao calcular o limite de funções quocientes, algumasdelas podem apresentar indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞. Assim, é necessário fazer uso da regra de L’Hôpital. Suponha a função f(x) = (e^x-1)/x³. Encontre lim x->0 f(x).
D. +∞
3. Ao calcular limite, indeterminações do tipo ∞/∞ podem acontecer. Esse é o caso da função f(x) = e^x/x², quando x->∞. Sabendo dessa indeterminação, encontre o​​​​​​​ ​​​​​​​ lim x->∞ f(x).
D. +∞
4. Ao encontrar indeterminações do tipo 0 . ∞, também é possível usar a regra de L’Hôpital. Dada a função f(x) = xe^x, determine lim x->-∞ f(x).​​​​​​​​​​​​​​
A. 0
5. A regra de L’Hôpital pode ser adaptada para indeterminações no limite de multiplicação de funções. Determine lim x->1+ In(x)tg(πx/2)
A.-2/π.
5.1 APLICAÇÕES DA DERIVADA: APROXIMAÇÃO LINEAR E APLICAÇÕES
1. A aproximação linear é muito útil em problemas aplicados, quando lidamos com funções mais complexas. Utilizando a aproximação linear da função f(x)=x3-1 em x0=2, qual o valor da aproximação para x=2,1?
B. 8,2. 
2. Utilizando a aproximação linear da função f(x) = x/raiz(2x-3) em x0=2, determine o valor da aproximação para x=1,8.​​​​​​​ 
C. 2,2. 
3. Ao utilizar a aproximação linear de uma função, ocorrerá um erro que, em situações práticas, deseja-se que seja controlado. Utilizando a aproximação linear da função f(x)=x2+2x em x0=1, qual o valor do erro da aproximação para x=1,2? 
D. 0,04. 
4. Medindo um triângulo a fim de encontrar a sua área, você obtém que sua base b e sua altura h são iguais. Suponha que b=10,0cm e o erro na medida seja de ±0,03cm. Qual o valor do erro propagado na área do triângulo? 
C. 0,3cm3​​​​​​​. 
5. Uma indústria está produzindo cubos de plástico para compor um brinquedo. As laterais medidas tiveram valor de 25cm e erro de 0,08cm. Qual o erro percentual de seu volume? 
C. 0,96%. 
5.2 DIFERENCIABILIDADE, APROXIMAÇÃO LINEAR E PLANOS TANGENTES
1. Considerando os conhecimentos adquiridos em relação aos planos tangentes, observe a figura a seguir e assinale a alternativa correta:
D. O plano z = L(x,y) é o único plano que contém as retas tangentes aos dois traços verticais por P. 
2. Em relação às derivadas parciais de funções de várias variáveis, é correto afirmar que: 
C. quando fixadas todas as variáveis independentes de uma função, menos uma, e derivadas em relação a essa variável, você terá uma derivada parcial. 
3. Calcule fy (2,3,1) em que f(x,y,z) = xyz e assinale a alternativa correta: 
B. fy(2,3,1) = 2. 
4. Sabendo que o volume do cone circular reto de raio r e altura h é dado por f(r,h) = pi/3.r²h , calcule as derivadas parciais e assinale a alternativa correta:
E. ∂f/∂r = 2/3 π rh e ∂f/∂h = π/3r²
5. Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = x3+y2-6x2+y-1 e assinale a alterativa correta:
B. ∂f/∂x = 3x³ - 12x e ∂f/∂y = 2y + 1
6.1 DERIVAÇÃO COMPLEXA
1. A derivada de uma função complexa é, de diversas formas, diferente da derivada de uma função real, desde sua interpretação até as suas condições de existência e diferenciabilidade. A fim de calcular a derivada de uma função de variável complexa dada, é necessário primeiro garantir que a função seja contínua e, em seguida, garantir as condições necessárias (condições de Cauchy-Riemann) e as condições suficientes (continuidade das partes real e imaginária) para, então, finalmente aplicar as regras de derivação. Aplicando conceitos referentes ao processo de derivação, obtenha a derivada da função complexa f(z)=3z+4.
 B. f'(z)=3.
2. Apesar das semelhanças entre as regras básicas de derivação entre funções de variável complexa e variável real, existem diferenças significativas no processo de derivação para que se garantam a existência da derivada, bem como a diferenciabilidade da função em si. Previamente ao uso das regras de derivação, é necessário garantir que a função seja contínua e, em seguida, garantir as condições necessárias (condições de Cauchy-Riemann) e as condições suficientes (continuidade das partes real e imaginária). Aplicando conceitos referentes ao processo de derivação, obtenha a derivada da função complexa f(z)=3z2-2z+4. 
E. f'(z)=6z-2.
3. Derivadas de funções complexas e de funções reais têm regras de derivação similares. Porém, para que se obtenha uma derivada válida para uma função de variável complexa, existem condições necessárias e suficientes que devem ser atendidas. É preciso garantir que a função seja contínua e, depois, garantir as condições necessárias (condições de Cauchy-Riemann) e as condições suficientes (continuidade das partes real e imaginária). Aplicando conceitos referentes ao processo de derivação, obtenha a derivada da função complexa f(z)=(1-4z2)3. 
A. A derivada da função é dada por f'(z)=-24z(1-4z2)2.
4. Para que uma função de variável complexa seja derivável (ou diferenciável), isto é, sua derivada exista e seja válida, é necessário que uma série de condições sejam atendidas, dada a natureza de múltiplas variáveis da função, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), visto que z=x+iy. Essas condições são dadas com respeito à função f(z) e também sobre suas partes u(x,y) e v(x,y). Dos casos a seguir, em qual deles a função atende a todas as condições que garantem a existência e a validade da derivada de uma função complexa? 
D. A função f(z) é contínua; suas partes e as derivadas parciais de primeira ordem dessas partes são contínuas; e as derivadas parciais de primeira ordem das partes atendem às condições de Cauchy-Riemann.
5. As condições de Cauchy-Riemann definem um critério necessário para que a derivada de uma função complexa exista. Esse critério surge da definição da derivada de uma função complexa, que é de muitas formas similar à definição da derivada de uma função de variável real. A diferença nasce do fato de que uma função complexa define múltiplas direções em um plano, e, para que essa derivada exista, é necessário que o limite, que a define, exista em todas as infinitas direções e ainda seja exatamente igual em todas elas. Para isso, utiliza-se uma condição especial sobre as derivadas direcionais de primeira ordem da função. Essa condição é adequadamente expressa em qual das alternativas a seguir? 
C. Necessidade de derivadas de componentes direcionais ortogonais serem iguais.
6.2 FUNÇÕES ANALÍTICAS
1. No que diz respeito à definição de função analítica, é CORRETO afirmar que: 
A. Uma função f de uma variável complexa z é analítica em um conjunto aberto S se f tiver uma derivada em cada ponto desse conjunto.
2. Para uma função ser analítica é necessário: 
E. a validade das equações de Cauchy-Riemann embora não suficiente.
3. No que diz respeito às funções analítica real e analítica complexa, é correto afirmar que: 
C. A função complexa definida por f (0)=0 e se z ≠0 é analítica em todo o plano complexo.
4. Considerando a função exponencial ex (com x real). As propriedades básicas são: E^x1+x2 = Ex1Ex2E, (Ex)a = EaX Se desejarmos uma função exponencial complexa ez com as mesmas propriedades, escrevemos z=x+iy então é correto afirmar que:
A.E^z = E^x+iy = E^xEîy
5. As funções analíticas podem ser representadas por séries. Brown e Churchill (2015) explicam que uma sequência infinita z1, z2, ... , zn,... de números complexos tem um limite z se, dado qualquer número positivo ​​​​​​​ Neste contexto, é correto afirmar que:
E. Uma sequência tem, no máximo, um limite.