Aula 3 - Capitalização Composta

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Profa. Dra. Rita de Cássia Pistóia Mariani
Por recorrência, ao final de n períodos, o capital inicial (C = PV) aplicado a
uma taxa de juros ip ao período, gerará um montante (M ou FV) de:
(1 )nM C i= +
Exemplo 1: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 3% am, com capitalização
mensal?
12
1 (1 ) = 1.000 * (1+0,03) = 1.425,76nFV PV i= +
Você pode constatar, agora, que os montantes gerados pelas duas
alternativas de cálculo FV1 e FV2 são diferentes. Isto significa que as taxas de
juros de 3% am com capitalização mensal e de 36% aa com capitalização
anual, apesar de serem proporcionais, não são equivalentes, pois geram
montantes diferentes em tempos iguais.
Taxa Proporcional X Taxa Equivalente
1
2 (1 ) = 1.000 * (1+0,036) = 1.360,00nFV PV i= +
Exemplo 2: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização
anual?
Exemplo: Qual a taxa de juros mensal que é equivalente a
uma capitalização anual composta de um capital de $
1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa?
1
1/12 .....................................................
( )
( )
[ ] ( )
( )
121
12
11 12 1212
1
12
(1 0,36) 1
(1 0,36) 1
(1,36) 1
1 1,36
1,36 1
1,025954835 1
0,025954835 . .
o o q
q
q
q
q
q
q
q
C C i
i
i
i
i
i
i a m
+ = +
+ = +
 
= +  
+ =
= −
= −
=
1/12 1/12 1/12 1/12
Exemplo: Qual a taxa
de juros mensal que
é equivalente a uma
capitalização anual
composta de um
capital de $ 1.000,00
aplicado por 12
meses a taxa de
juros de 36% aa?
1
1/q 1/q 1/q 1/q 1/q.....................................................
( )
( )
[ ] ( )
( )
1
1
1
1
(1 ) 1
(1 ) 1
(1 ) 1
1 1
1 1
q
o o q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
C i C i
i i
i i
i i
i i
+ = +
+ = +
 + = +  
+ = +
= + −
Taxas Equivalentes
Exemplo: Qual a taxa de juros anual que é equivalente a
uma capitalização mensal composta de um capital de $
1.000,00 aplicado por 1 ano a taxa de juros de 3% am?
Exemplo: Qual a
taxa de juros anual
que é equivalente a
uma capitalização
mensal composta
de um capital de $
1.000,00 aplicado
por 1 ano a taxa de
juros de 3% am?
1
1/12 .....................................................
( )112
12
(1 0,03) 1
(1,03) 1
1 1,42576
0,42576
o o q
q
q
q
C C i
i
i
i aa
+ = +
= +
+ =
=
1/12 1/12 1/12 1/12
1
1/q 1/q 1/q 1/q 1/q.....................................................
( )
( )
( )
1(1 ) 1
(1 ) 1
1 1
1 1
q
o o q
q
q
q
q
q
q
C i C i
i i
i i
i i
+ = +
+ = +
+ = +
= + −
Taxas Equivalentes
Exemplo: Qual o montante gerado por um capital de $1.000,00
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização
mensal?
1
kn
nk o
iC C
k
 
= + 
 
i taxa nominal if taxa efetiva
CO principal Cnk montante
K número de capitalizações para 1 para um período da taxa nominal
n número de períodos de capitalização da taxa nominal
Taxa Nominal X Taxa Efetiva
120,361 1.000,00 1 1.425,76
12
kn
nk o
iC C
k
   
= + = + =   
   
Exemplo: Qual o montante gerado por um capital de $1.000,00
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização
mensal?
E qual a taxa efetiva de juros envolvida nesta operação financeira
120,361 1 0,42576 42,58%
12f
i aa = + − = = 
 
Taxa Nominal X Taxa Efetiva
(1 ) 1
1 1
nk
n
f
k
f
iC i C
k
ii
k
 
+ = + 
 
 
= + − 
 
if taxa efetiva
Taxas de juros equivalentes: duas taxas de juros são ditas
equivalentes quando, ao serem aplicadas ao mesmo capital pelo
mesmo prazo, gerarem o mesmo montante.
Taxa de juros nominal: uma taxa de juros é dita nominal quando está
expressa em unidade de tempo diferente da unidade de tempo do
período de capitalização.
Taxa de juros efetiva: uma taxa de juros é dita efetiva quando está
expressa em unidade de tempo igual à unidade de tempo do período
de capitalização.
(1 )nFV PV i= +
Exemplo 4.5: uma pessoa vendeu um carro nas seguintes condições:
uma parcela de $ 10.000,00 vencível em 30 dias, uma segunda
parcela de $ 10.000,00 vencível em 60 dias, e uma última parcela de
$15.000,00 vencível em 90 dias, representadas por três notas
promissórias. Se esta pessoa negociar essas notas promissórias para
transformá-las em dinheiro, na mesma data da venda do carro,
quanto deverá receber por elas?
(Em outras palavras, qual o valor à vista do carro, equivalente às três 
parcelas?)
3
Exemplo 4.5: uma pessoa vendeu um carro nas seguintes
condições: uma parcela de $ 10.000,00 vencível em 30 dias, uma
segunda parcela de $ 10.000,00 vencível em 60 dias, e uma última
parcela de $15.000,00 vencível em 90 dias, representadas por três
notas promissórias.
Se esta pessoa negociar essas notas promissórias para transformá-
las em dinheiro, na mesma data da venda do carro, quanto deverá
receber por elas?
(Em outras palavras, qual o valor à vista do carro, equivalente às 
três parcelas?)