Cálculo Numerico - Fórum 1 - 2015 - 2

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) As matrizes A, B e C são do tipo m x 3, n x p e 4 x r, respectivamente. Se a matriz transposta de (ABC) é do tipo 5 x 4, então determine os valores de m, n, p e r
2) Considere a equação ex – 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. Mostre que existe uma raiz real no intervalo [0,5; 0,9]
3) Suponha a equação 3x3 – 5x2 + 1 = 0.
a) Utilize o Teorema de Bolzano para verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo [0,1].
b) Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
c) Que outro método é possível utilizar para determinar a raiz desta equação?
1)   Se A-¹=ABC=5x4  então
A=mx3 e B=nxp mx3 e nxp n=3 e mxp. Para mxp e C=4xr então p=4 dá-se mxr e
A-¹=rxm=5x4 portanto r=5 e m=4
Resp: r=5, m=4, p=4 e n=3
 
2) Para fazermos x=0,5 e x=0,9 para os intervalos teremos. Para f(x)=(e^x)-3x
f(0,5)=(2,718^0,5)-3.0,5 = 0,148
f(0,9)=(2,718^0,9)-3.0,9 = -0,241
Aplicando o teorema de Bolzano
f(0,5).f(0,9)=-0,036 f(0,5).F(0,9)<0  existe número impar de raízes no mínimo uma.
 
3) Para f(x)= 3x3 – 5x2 + 1 nos intervalos [0,1]
       a)  Pelo teorema de Bolzano
f(0)=f(1)=
f(0).f(1)<0  sim existe pelo menos uma raiz real.
       b) Pelo método da Bisseção
f(0)=1 e f(1)=-1  Bolzano f(0).f(1)<0  existe uma raiz
 
1ª Interação
Xm=(0+1)/2=0,5
F(0,5)=0,125
f(0,5).f(1)<0
 
2ª Interação
Xm=(0,5+1)/2=0,75
f(0,75)=-0,547
f(0,5).f(0,75)<0  possui pelo menos uma raiz real no intervalo de [0,5;0,75].
 
      c) Método de Newton