Fundamentação tensão, deformação, lei de hook, poison

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Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Escola Politécnica 
Engenharia Naval e Oceânica POLI/UFRJ 
 
 
 
 
Projeto de Graduação 
 
 
 
 
 
Metodologia para Segregação dos Efeitos de 
Forças e Momentos 
em Linhas de Eixo Através da Análise 
de Esforços Combinados. 
 
 
Marcelo Belleti Anselmo 
DRE: 101153954 
 
 
 
 
PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE 
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS 
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRA NAVAL E 
OCEÂNICA. 
 
 
Orientador: Luiz Antônio Vaz Pinto, D.Sc. 
Co-Orientador: Ricardo H. Gutierrez,MSc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Agosto, 2015 
 
Metodologia para Segregação dos Efeitos de Forças e Momentos 
em Linhas de Eixo Através da Análise de Esforços 
Combinados. 
 
 
 
 
Marcelo Belleti Anselmo 
DRE: 101153954 
 
 
 
 
PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE 
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS 
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRA NAVAL E 
OCEÂNICA. 
 
 
 
 
Aprovado por: 
 
 
 
 
 
 
 
Luis Antônio Vaz Pinto, D.Sc. 
(Orientador) 
 
 
 
 
 
 
 Ricardo H. R. Gutiérrez, M.Sc. 
 (Co-Orientador) 
 
 
 
 
 Ulisses A. Monteiro, D.Sc., DENO/COPPE/UFRJ 
 
 
 
 
 
 
Rio de janeiro 
Agosto,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anselmo, Marcelo Belleti 
Metodologia para Segregação dos Efeitos de Forças e Momentos 
em Linhas de Eixo Através da Análise de Esforços Combinados. / 
Marcelo Belleti Anselmo. - Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 
2015. 
VII, 43 p.: il.; 29,7 cm. 
Orientador: Luiz Antonio Vaz Pinto 
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de 
Engenharia Naval e Oceânica, 2015 
Referências Bibliográficas: p. 56-57. 
1. Introducao. 2. Fundamentos Teoricos. 3. Ferramenta 
Computacional. 4. Validacao da Ferramenta Computacional. I. Vaz 
Pinto, Luis Antonio. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, 
Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e Oceânica. III. 
Metodologia para Segregação dos Efeitos de Forças e Momentos 
em Linhas de Eixo Através da Análise de Esforços Combinados 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
Agradeço primeiramente a Deus, por ter me agraciado com saúde, força, 
perseverança e com familiares e pessoas que me apoiaram em momentos tão difíceis. 
Agradeço aos meus pais, e avós, motivos e inspirações de vida e de apoio 
fundamental para o termino deste curso. 
Agradeço também ao meu irmão, Marcio Belleti, simplesmente por fazer parte da 
minha vida e me mostrar que com muita luta conseguimos alcançar nossos objetivos. 
Não poderia esquecer de agradecer ao professor Luiz Vaz, meu orientador, por ter 
me dado a oportunidade de executar um trabalho ao seu lado, me mostrando os horizontes a 
serem tomados e ,da melhor maneira possível, me ajudando a obter êxito neste trabalho. 
Agradeço também ao Ricardo Homero, meu co-orientador, que teve por muitas vezes 
paciência ao me ensinar e sempre me recebeu prontamente para tirar duvidas 
Agradeço aos colegas de faculdade, que se tornaram verdadeiros amigos, e trilharam 
por este longo tempo ao meu lado, não deixando desanimar e provocando inúmeras risadas: 
Fabio Schelegel, Bruno Muniz, Ivan Rongel, Arthur Stern, Thiago Lopes entre outros... 
Agradeço aos meus amigos e companheiros Marco Dionisio, Rafael Costa, por me 
animarem, me fazerem sorrir, e por serem a família que escolhi. 
Agradeço também a todos do laboratório LEME/LEDAV, que me acolheram muito 
bem, sempre me dando uma motivação extra, as vezes, mesmo sem saber. 
Com certeza esqueci de citar alguns, mas todos que estão presentes em minha vida 
devem saber que são responsáveis por esta conquista. Um sincero e carinhoso Muito 
Obrigado
 
RESUMO 
 
 
Em pesquisa anterior (referencia bibliográfica 9), com o uso de um aparato experimental, foi 
possível a comparação de tensões experimentais e as obtidas por resultados analíticos. No 
presente projeto pretende-se avançar nos resultados da pesquisa anterior, ampliando o número 
de esforços obtidos experimentalmente (reações nos mancais) e comparando os resultados 
analíticos. 
 
Sabemos que eixos de transmissão com aplicação em diversos tiposde máquinas(atua como 
elemento intermediário entre acionador e acionado) estão quase sempre submetidos a esforços 
combinados de torção, flexão e força axial. Em medições experimentais com uso de strain gages 
a segregação desses efeitos envolve certa complexidade. 
 
No presente projeto, o intuito é analizar eixos circulares submetidos a esforços combinados de 
torção e flexão, e espera-se com o resultado e validar um procedimento que permita quantificar 
cada parcela de esforço atuante em linha de eixo. A partir de medições reais será possível 
segregar a tensão normal devida à força axial e ao momento fletor e a tensão de cisalhamento 
devido a efeitos de torção e cisalhamento. Para isso foi desenvolvido e aprimorada uma 
ferramente computacional no software “Excel”, utilizando conceitos que pertencem a teria da 
Resistencia dos Materiais denominada de “Analise de Esforcos Combinados em Eixos 
Circulares” e assumindo um comportamento de vigas hiperestaticas. 
 
Para tornar confiavel a ferramenta, garantindo resultados consistentes, e a correta formulacao 
teorica, os resultados foram comparadados com a referência bibliográfica 9 para que 
pudessemos validar o resultado. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 1 
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ....................................................................................... 3 
2.1 Método da Integração Direta ....................................................................................... 3 
2.1.1 A Linha Elástica ........................................................................................................... 3 
2.2 Introdução ao Método da Integração Direta ................................................................ 4 
2.3 Equações Iniciais do Método ....................................................................................... 4 
2.3.1 Carregamentos descontínuos ........................................................................................ 6 
2.3.2 Condições de Contorno................................................................................................. 7 
2.4 Método da Integração Direta para Eixos Hiperestáticos................................................ 7 
2.5 Dimensionamento de mancais em eixos hiperestáticos pelo método da ....................... 9 
2.5.1 Integração Direta .......................................................................................................... 9 
2.5.2 Reações nos mancais (Analítico) ................................................................................ 12 
3 ESTADO PLANO DE TENSÕES .................................................................................. 17 
3.1 Conceito de Tensão ................................................................................................... 17 
 Tensão Normal devido à Força Axial .............................................................................. 17 
 Tensão Cisalhante devido à Força Cortante .................................................................... 18 
 Estado Tridimensional de Tensões ................................................................................. 18 
3.1.1 Conceito de Deformação ............................................................................................ 22 
 Deformação devido a Tensão Cisalhante ........................................................................ 22 
3.2 Relação entre Tensão e Deformação ..........................................................................24 
 Lei de Hooke ................................................................................................................. 25 
 Coeficiente de Poisson .................................................................................................. 26 
 Lei de Hooke Generalizada ............................................................................................ 27 
3.3 Deformações devido às Tensões Normais: ................................................................. 28 
3.4 Deformações devido às Tensões Cisalhantes: ............................................................. 29 
3.5 Conjunto de Equações da Lei de Hooke Generalizada: ................................................ 29 
3.6 Transformação de Tensões no Estado Plano ............................................................... 30 
 Círculo de Mohr ............................................................................................................ 33 
3.7 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES ............................................................................ 35 
3.7.1 Transformação de Deformações no Estado Plano ...................................................... 35 
 Círculo de Mohr ............................................................................................................ 36 
4 FERRAMENTA COMPUTACIONAL ............................................................................ 39 
4.1 CONCEITO ................................................................................................................. 39 
4.2 FORMULAÇÃO TEÓRICA............................................................................................. 40 
4.2.1 Dimensões do Eixo e Características do Problema .................................................... 41 
4.2.2 Cálculo das Reações de Apoio ................................................................................... 42 
4.2.3 Cálculo dos Esforços na Seção Considerada .............................................................. 44 
 Tensão Cisalhante na Seção devido ao Momento Torsor: ............................................... 47 
4.2.4 Círculo de Mohr (Estado Plano de Tensões) .............................................................. 48 
4.3 Direção Principal: ...................................................................................................... 49 
4.4 Tensão Cisalhante Máxima: ....................................................................................... 49 
5 VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL ................................................... 51 
5.1 APARATO EXPERIMETAL ............................................................................................ 51 
5.2 RESULTADOS TEÓRICOS x RESULTADOS EXPERIMENTAIS ............................................ 54 
5.3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS ................................................................................... 57 
5.3.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................................................................ 58 
5.4 Comparação de Torque.............................................................................................. 58 
6 CONCLUSÃO E RECOMENDAÇÃO ............................................................................ 59 
 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 60 
8 ANEXOS ................................................................................................................. 61 
8.1 MANUAL DE UTILIZAÇÃO ........................................................................................... 62 
8.1.1 Dimensões do Eixo ...................................................................................................... 63 
8.1.2 Carregamento Aplicado .............................................................................................. 64 
8.1.3 Seção do Eixo Analisada .............................................................................................. 61 
8.1.4 Reações de Apoio ....................................................................................................... 63 
8.1.5 Esforços na Seção ....................................................................................................... 64 
8.1.6 Tensões na Seção ........................................................................................................ 65 
8.1.7 Círculo de Mohr .......................................................................................................... 66 
 
 
 
1 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
 
Figura 1 - Exemplos de linhas elásticas de vigas submetidas à carga - R.C. Hibeller, Resistência dos 
Materiais, 5a ed. ...........................................................................................................................................4 
Figura 2 Convenção de sinais positivos - R.C. Hibbeler, 5a ed. ....................................................................6 
Figura 3 - Condições de contorno em diversos apoios - R.C. Hibbeler, 5a ed. .............................................7 
Figura 4 - Viga hiperestática - R.C. Hibbeler, 5a ed. Diagrama de corpo livre - R.C. Hibbeler, 5a ed. .......8 
Figura 5 - Vista Lateral e Frontal do Aparato ............................................................................................. 10 
Figura 6 - Vista superior do Aparato Instrumental .................................................................................... 11 
Figura 7 – Esquema Viga Bi Apoiada ......................................................................................................... 12 
Figura 8 - Esquema viga hiperestática ....................................................................................................... 13 
Figura 9 - Tabela Reação nos Mancais....................................................................................................... 16 
Figura 10 - Forças Cortantes Aplicadas a uma Barra. (Beer Johnston) [1] ................................................ 18 
Figura 11 - Representação do estado tridimensional de tensões em um ponto. ..................................... 19 
Figura 12 - Projeção do Cubo no Plano xy. (James M. Gere) ..................................................................... 21 
Figura 13 - Cubo Elementar sujeito a Tensões Cisalhantes τxy e τyx . (James M. Gere) ........................... 22 
Figura 14 - Cubo Elementar sujeito a Tensões e Deformações Cisalhantes τxy, τyx e γxy ....................... 23 
Figura 15 - Diagrama de Tensão-Deformação de um Material Dúctil. (James M. Gere) .......................... 24 
Figura 16 - Diagrama de Tensão-Deformação de um Material Frágil. (James M. Gere) ........................... 25 
Figura 17 - Representação do estado triaxial de tensões em um ponto. ................................................. 27 
Figura 18 - Elemento Infinitesimal no Estado Plano de Tensões. (James M. Gere) .................................. 31 
Figura 19 - Orientação do Elemento Infinitesimal. (James M. Gere) ........................................................ 31 
Figura 20 - Tensões Atuando no Elemento cujo Plano Inclinado Pertence ao Elemento x1y1. (James M. 
Gere) [3]..................................................................................................................................................... 32 
Figura 21 – Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensões. (James M. Gere) [3] ................................ 34 
Figura 22 - Exemplo de um Círculo de Mohr para o Estado Plano de Deformações. (James ................... 37 
Figura 23 - Ilustração de um Exemplo de Eixo Analisado pela Ferramenta Computacional. .................... 39 
Figura 24 - Dimensões do Eixo Analisado na Vista Longitudinal (à esquerda) e na Seção Transversal (à 
direita). ...................................................................................................................................................... 41 
Figura 25- Diagrama de Corpo Livre do Eixo Analisado ............................................................................ 42 
Figura 26 - Diagrama de Corpo Livre do Eixo antes do Primeiro Mancal. ................................................. 45 
Figura 27 - Diagrama de Corpo Livre do Eixo antes do Segundo Mancal. ................................................. 46 
Figura 28 - Momento Fletor na Seção. ...................................................................................................... 47 
Figura 29 - Vistas Frontal e Lateral do Aparato Experimental ................................................................... 51 
Figura 30 - Dimensões e Propriedades do Eixo Real Analisado................................................................. 52 
Figura 31 - Ilustração do Eixo Real Analisado. ........................................................................................... 53 
Figura 32 - Aparato Experimental.............................................................................................................. 54 
Figura 33 - Carregamentos Aplicados no Eixo Real Analisado. ................................................................. 54 
Figura 34 - Tabela de Comparações e Validações dos Resultados ............................................................ 57 
Figura 35 - Resumo das Medições de Voltagem Média nos Experimentos. ............................................. 57 
Figura 36 - Comparação entre os Valores de Torque Teóricos e Experimentais. ..................................... 58 
Figure 37 - Capa da Ferramenta Computacional. ...................................................................................... 62 
Figure 38 - Vista Longitudinal e Seção Transversal do Eixo a ser Analisado ............................................. 63 
Figure 39 - Tabela de Dimensões do Eixo e Características do Problema. ................................................ 63 
Figure 40 - Diagrama de Corpo Livre do Eixo. ........................................................................................... 60 
Figure 41 - Carregamento e Reações de Apoio. ........................................................................................ 60 
Figure 42 - Posição Longitudinal da Seção do Eixo a ser Analisada. ......................................................... 61 
Figure 43 - Intervalo 1 – Seção do Eixo Anterior ao Primeiro Mancal....................................................... 61 
Figure 44 - Intervalo 2 – Seção do Eixo entre Mancais ............................................................................. 62 
Figure 45 - Intervalo 3 – Seção do Eixo Posterior ao Segundo Mancal. ................................................... 62 
Figure 46 - Mensagem de Erro quando o Usuário Seleciona uma Seção fora do Eixo Circular. ............... 63 
Figure 47 - Interface de Apresentação das Reações de Apoio no Eixo Circular. ....................................... 64 
2 
 
Figure 48 - Interface de Apresentação dos Esforços na Seção do Eixo Analisa. ....................................... 64 
Figure 49 - Interface de Apresentação das Tensões Atuantes na Seção Analisada. ................................. 65 
Figure 50 - Interface de Apresentação das Tensões Principais, Direção Principal e Tensão Cisalhante 
Máxima. ..................................................................................................................................................... 66 
Figure 51 - Exemplo de Círculo de Mohr (Torção + Flexão) para o Estado Plano de Tensões no Ponto da 
Seção Analisada. ........................................................................................................................................ 67 
Figure 52 - Exemplo de Círculo de Mohr (Torção Pura) para o Estado Plano de Tensões no Ponto da 
Seção Analisada ......................................................................................................................................... 68 
 
 
1 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
 
Dando sequencia e baseado nos cálculos do Projeto de Graduação do Fabio Palma, 
foram refeitos os cáculos usados para o experimento anterior, onde era tratado o eixo como 
uma viga Isostatica, utilizando vigas hiperestáticas. Com o objetivo de acompanharmos o seu 
seu comportamento quando sujeita a um determinado carregamento como viga 
hiperestática, e compararmos o resultado. Em outras palavras, é necessário quantificar as 
tensões e deformações neste corpo causadas pelos esforços atuantes e, dessa forma, avaliar se 
possui resistência suficiente. 
 
A teoria de Resistência dos Materiais aliada à Mecânica Clássica introduz os 
conceitos necessários e nos proporciona maneiras quantitativas de determinar as grandezas de 
interesse citadas no parágrafo anterior. Isto é, com os recursos advindos destes ramos de 
estudo da engenharia, torna-se possível calculas tensões e deformações de uma estrutura 
sujeita a um carregamento e, portanto, ser conhecedor de seu comportamento estrutural. 
 
Este projeto tem como objetivo analisar os esforços combinados em linhas de eixos. 
Para alcançá-lo foi desenvolvida uma ferramenta computacional de análise de tensões em 
eixos circulares, sejam eles vazados ou não. Dentre outras funcionalidades intermediárias, 
como cálculo das reações apoio e esforços a que está submetida uma seção qualquer do eixo, 
o resultado final obtido pelo usuário ao utilizar a ferramenta é composto pelo estado de 
tensões em determinado ponto de uma seção do eixo escolhida, além de apresentar o Círculo 
de Mohr para o estado plano de tensões deste ponto. 
 
Para torná-la válida, isto é, garantir que a formulação teórica que está por traz da 
ferramenta computacional foi aplicada corretamente e, por consequência, dar confiabilidade 
aos resultados que podem ser obtidos com o uso da ferramenta, foi realizada o que 
denominamos de validação da ferramenta computacional através da utilização de dados 
experimentais e posterior comparação com os teóricos calculados pela ferramenta. 
 
O “caminho percorrido” para realizar as tarefas descritas acima é apresentado neste 
relatório. Inicialmente, no segundo capítulo, é feito um resumo de fundamentos teóricos que 
foram úteis para o projeto em questão, descrevendo conceitos da teoria da Resistência dos 
2 
 
Materiais e o tratamento necessário para passarmos a considerar o eixo como viga hiper 
estática. 
No capítulo seguinte, foi desenvolvida e adicionada a ferramenta computacional os 
cálculos explicados teoricamente, para que possamos nao so acompanhar a planilha anterior, 
como comparar os resultados. Passando, a priori, por uma introdução conceitual, logo após, 
a formulação teórica é demonstrada em detalhes, chegando, finalmente, a um manual de 
utilização, no qual são dadas todas as orientações necessárias ao usuário para que ele possa 
usufruir da ferramenta de maneira correta e plena. 
 
O quarto capítulo descreve como foi realizada a validação desta ferramenta 
computacional, demonstrando os resultados teóricos calculados, os experimentais obtidos e 
análise de comparação destas duas fontes. Além de apresentar as características do aparato 
experimental usado. 
 
No penúltimo capítulo, apresenta-se a conclusão de todo este processo e sugestões 
para evolução desta ferramenta em projetos futuros. 
 
As referências bibliográficas que contribuíram para a elaboração deste projeto são 
listadas no último capítulo deste relatório
3 
 
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
 
Conforme mencionado anteriormente, foi assumido um comportamento de viga 
hiperestática para o eixo, O eixo de qualquer embarcação além de ser o elemento de 
transmissão de potência entre o motor e o hélice, possui certo peso próprio, caracterizando 
um comportamento de uma viga hiperestática, sendo assim, caso haja uma força horizontal, 
o apoio permanece fixo reagindo com a mesma intensidade da força aplicada e sentido 
oposto, impedindo o deslocamento daviga no sentido horizontal. 
O eixo tem de suportar todas as cargas oriundas destes esforços. O primeiro, com 
origem no torque do motor e o segundo devido ao seu próprio peso. 
Toda a teoria de cálculo da reação nos mancais encontra-se no estudo estudo de 
vigas hiperestáticas , que será apresentado neste projeto. 
 
2.1 Método da Integração Direta 
 
2.1.1 A Linha Elástica 
 
 
Para realizar uma análise estrutural de um eixo submetido a carregamentos 
diversos é necessário, primeiramente, visualizar a deflexão e a inclinação desse eixo. 
É conveniente ilustrar essa situação e para isso utiliza-se a linha elástica. Ela é uma 
representação gráfica da deflexão a qual a viga é submetida em todos os seus pontos. 
Como um esboço, ela auxilia a prever os resultados que serão obtidos nos cálculos e 
também é uma forma de conferir se os valores encontrados estão coerentes. 
 
Para desenhar a linha elástica, no entanto, é necessário observar os tipos de 
apoios que temos: 
• Rolete: limita o deslocamento vertical no ponto do apoio 
 
 
• Pino: limita os deslocamentos vertical e horizontal no 
ponto de apoio 
 
 
• Fixo: limita os deslocamenos vertical e horizontal e 
inclinação no ponto de apoio 
 
Abaixo exemplos de esboços de linha elástica: 
4 
 
 
Figura 1 - Exemplos de linhas elásticas de vigas submetidas à carga - R.C. Hibeller, Resistência dos Materiais, 5a ed. 
 
 
Para fundamentar o método da Integração Direta e podermos determinar a 
inclinação e o deslocamento da linha elástica da viga ou eixo, é necessário estabelecer 
uma relação entre o momento fletor interno do eixo e o raio e o raio de curvatura da 
linha elástica em um ponto específico. Essa relação é dada abaixo: 
 1/ρ=M/(EI) (Eq.2.1) 
 
 
ρ = raio de curvatura em determinado ponto 
M = momento fletor interno da viga no ponto onde calcula-se ρ 
EI = rigidez à flexão da viga 
 
 
2.2 Introdução ao Método da Integração Direta 
 
 
2.3 Equações Iniciais do Método 
 
 
A linha elástica de uma viga pode ser expressa matematicamente como v = f(x), em 
que v representa a deflexão da linha elástica, que pode ser medida perpendicularmente ao 
eixo x, que coincide com a dimensão longitudinal da viga. 
 
De acordo com os livros, essa relação simplificada consiste em: 
 
 d²v/dx²=M/(EI) 
 
(Eq.2.2) 
 
 
 
 
5 
 
Podemos escrever essa mesma equação de duas outras formas, diferenciando ambos 
os lados da equação em relação a x e substituindo: V = dM/dx: 
 d(EI d²v/dx²)/dx = V(x) 
 
(Eq.2.3) 
 
 
E ainda, substituindo –w = dV/dx: 
 
 d²(EI d²v/dx²)/dx² = -w(x) 
 
(Eq.2.4) 
Sendo V(x) o cisalhamento em cada ponto da viga e w(x) a intensidade da carga 
distribuída em cada ponto. 
 
Na maioria dos casos, a rigidez à flexão (EI) é constante ao longo de todo o 
comprimento da viga e as equações anteriores podem ser escritas como: 
 
 EI (d⁴v/dx⁴) = -w(x) 
 
(Eq.2.5) 
 EI (d³v/dx³) = V(x) 
 
(Eq.2.6) 
 EI (d²v/dx²) = M(x) 
 
(Eq.2.7) 
 
 
 
Começamos a resolver o problema por qualquer uma das equações (2.5), (2.6) ou 
(2.7), dependendo dos dados e assim realizar integrações sucessivas. A cada integração, 
introduzimos uma constante e, em seguida, resolvemos a integração, calculando cada 
constante para encontrar a solução do problema. 
 
Por exemplo, se o momento fletor interno M estiver determinado no 
problema, podemos começar pela equação (2.7) e realizar duas integrações, calculando 
duas constantes, uma de cada vez. Se, no entanto, os dados do problema nos permitirem 
iniciar apenas pela equação (2.5), deveremos realizar quatro integrações, calculando 
quatro constantes, uma de cada vez para chegar na solução final. 
 
 
6 
 
2.3.1 Carregamentos descontínuos 
 
 
 
É importante ressaltar também que o carregamento da viga pode ser 
descontínuo. Nesse caso, tanto a função do momento fletor interno quanto a do 
carregamento são compostas por diversas equações, cada uma válida em um 
trecho entre as descontinuidades. Assim, devemos escolher arbitrariamente 
coordenadas x1, x2, x3 … por exemplo, de acordo com a quantidade de trechos 
delimitados pelas descontinuidades. Dessa forma, é possível escrever a expressão para 
o momento fletor M = f(x) de uma maneira simples. Para casos mais complexos, 
existem diversas metodologias que auxiliam a escrever todas essas equações para os 
carregamentos e para momentos fletores de cada trecho em uma única expressão. 
 
Devemos lembrar também de atender às condições de continuidade no cálculo das 
constantes de integração. Ou seja, como a linha elástica deve ser sempre contínua, os 
valores encontrados para inclinação e deflexão em pontos que delimitam 
descontinuidades devem ser os mesmos quando substituímos o valor de tal coordenada 
tanto na função do trecho à sua esquerda quanto na função do trecho à sua direita. 
 
 
Convenções de Sinais 
 
 
 
É imprescidível lembrar sempre das convenções de sinais e coordenadas nos 
cálculos. A deflexão positiva v é medida para cima. Para o momento fletor interno (M), 
esforço cortante (V) e intensidade da carga distribuída (w) a convenção utilizada está de 
acordo com a figura abaixo: 
 
 
Figura 2 Convenção de sinais positivos - R.C. Hibbeler, 5a ed. 
 
 
 
7 
 
2.3.2 Condições de Contorno 
 
 
 
As constantes de integração já mencionadas anteriormente 
são calculadas por meio de funções de momento fletor, 
deslocamento, etc em pontos específicos onde essas funções 
sejam conhecidas. Chamamos esses valores de condições de 
contorno. Para estabelecê-las, no entanto, é preciso levar em 
consideração os tipos de apoios que temos no problema, pois 
cada tipo de apoio estabelece um tipo de condição de contorno. 
A figura abaixo vemos alguns tipos comuns de apoio e as 
condições de contorno inerentes a eles: 
 
Por exemplo, se os apoios de ua viga forem do tipo rolete 
ou pino, como nas ilustrações 1,2,3 e 4 o deslocamento nesses 
pontos será nulo e se estes apoios estiverem localizados nas 
extremidades ainda, o momentos nesses pontos também será 
nulo. 
 
Se a viga possui uma extremidade fixa, como na 
ilustração 5, ambos deslocamento e inclinação serão nulos 
neste ponto. 
 
Figure 3 - Condições de contorno 
em diversos apoios - R.C. 
Hibbeler, 5a ed. 
 
 
2.4 Método da Integração Direta para Eixos Hiperestáticos
 
Os eixos hiperestáticos são caracterizados por possuírem mais reações do que 
equações de equlíbrio. Ou seja, esse eixo possui mais reações do que o necessário para que 
ele se encontre em estado de equilíbrio. Assim, as reações que não são necessára
para manter tal eixo ou viga em equilibrio são chamadas de redundantes. Esse número de 
reações redundantes é igual ao grau de indeterminação. 
Figura 3 - Condições de contorno 
em diversos apoios - R.C. 
Hibbeler, 5a ed. 
 
8 
 
Na figura abaixo por exemplo, podemos observar que há cinco reações 
desconhecidas (Aᵪ, Aᵧ, Bᵧ, Cᵧ, Dᵧ) e três são as equações de equilibrio da estática: 
 
 ΣFᵪ = 0 
 
(Eq.2.8) 
 ΣFᵧ = 0 
 
(Eq.2.9) 
 ΣM = 0 
 
(Eq.2.10) 
 
 
 
Figura 4 - Viga hiperestática - R.C. Hibbeler, 5a ed. Diagrama de corpo livre - R.C. Hibbeler, 5a ed. 
 
 
 
 
 
Logo, retirando-se quaisquer duas reações redundantes entre as reações Aᵧ, Bᵧ, Cᵧ, Dᵧ 
o sistema continua em equilíbrio. Isso caracteriza a viga da figura como 
indeterminada de segundo grau. Devemos observar que Aᵪ não pode ser escolhida como 
reação redundante, pois, se suprimida, a primeira equação de equilíbrio ΣFᵪ = 0 não será 
satisfeita. 
 
Até agora vimos que para utilizar o Método da Integração Direta é preciso escrever 
primeiramente o momento fletor interno (M) da viga em função do deslocamentox (se 
possível de acordo com os dados) e a partir daí realizar duas integrações sucessivas de 
acordo com a equação (3). 
 
No entanto, para vigas hiperestáticas, o momento fletor interno também pode ser 
expresso em função das reações redundantes. Após essas duas integrações, teremos duas 
constantes de integração, bem como duas reações redundantes a serem determinadas. As 
outras incógnitas serão determinadas pela aplicação das condições de contorno do 
problema. 
 
9 
 
2.5 Dimensionamento de mancais em eixos hiperestáticos pelo método da 
2.5.1 Integração Direta 
 
Nesta seção será detalhado todo o processo de como deve ser feito o dimensionamento de 
mancais em eixos hiperestáticos usando o método da Integração Direta como forma de 
resolver a indeterminação da estática. 

 Passo 1 
 
O primeiro ponto que deve ser abordado no problema é realizar um diagrama de corpo 
livre, possibilitando uma visão geral de todas as forças e torções atuantes na viga, assim como 
as reações geradas nos apoios. 
 
 Passo 2 
 
Neste ponto do problema, deve-se aplicar as três equações de equilíbrio da estática, ou seja: 
 
∑ Fx = 0 
 
∑ Fy = 0 
 
∑ M = 0 
 
Com isso fica possível determinar quais reações são redundantes, ou seja, quais são as 
reações que ficam indeterminadas pelas equações da estática. 
 
 Passo 3 
 
Neste ponto, é necessário expressar a função do carregamento no ponto x (w(x)) ou a 
função do momento fletor no ponto x (M(x)) em função das reações redundantes. 
 
 Passo 4 
 
A partir da função definida no passo 3, realizar as múltiplas integrações até chegar na 
equação da linha elástica (v(x)). 
 
Lembrando que se o problema for iniciado por w(x) devem ser realizadas 4 integrações a 
partir da equação (2.5), enquanto que se o início ocorrer por M(x) devem ser feitas apenas duas 
 
10 
 
integrações a partir da equação (2.7). 

 Passo 5 
 
Após serem obtidas as equações a partir das múltiplas integrações, devem ser aplicadas as 
condições de contorno do problema. 
Com isso, será possível encontrar os valores das constantes de integração, assim como o 
valor das reações redundantes do problema. 
 
 Passo 6 
 
Tendo obtido o valor das reações redundantes, deve-se retornar para as equações que foram 
resultantes da aplicação das 3 equações de equilíbrio da estática (passo 2). Com essas reações 
redundantes determinadas, torna-se possível encontrar o valor de todas as reações do problema. 
 
 Passo 7 
 
Encontrar para cada apoio da viga, caso exista reação em mais de um eixo, o módulo da 
reação neste apoio (R). 
 
Conhecendo todos os passos, evolui-se para o teste: 
 
 
Figura 5 - Vista Lateral e Frontal do Aparato 
 
11 
 
 
Figura 6 - Vista superior do Aparato Instrumental 
 
A massa é obtida através da multiplicação da densidade do material com o volume do 
objeto em estudo. 
 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 
 
(Eq.2.11) 
 
Onde: m = massa do eixo em kg; 
V = volume da linha de eixo em m³; 
ρ = densidade do material em kg/m³; 
O volume da linha de eixo foi calculado, multiplicando sua área transversal "𝐴𝑇" pelo 
seu comprimento total “L”. 
 𝑉 = 𝐴𝑇 ∗ 𝐿 
 
(Eq.2.12) 
Sabendo que : 
 𝐴𝑇 = 𝜋 ∗ 𝑟² 
 
(Eq.2.13) 
Substituindo a equação (2.12) na equação (2.13), obtemos a equação (2.14), como demonstrado. 
 𝑉 = 𝜋 ∗ 𝑟² ∗ 𝐿 (Eq.2.14) 
 
 
 
12 
 
 
Onde : r = raio da seção transversal da linha de eixo; 
 L = comprimento total da linha de eixo; 
O comprimento e o raio da seção transversal da linha de eixo também são conhecidos, 
podendo assim obter sua massa, em Kg: 
 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 ∗ L (Eq.2.15) 
 
Logo obtivemos o valor de 498,166 Kg, ou 0,498 toneladas. 
Como: 
 𝑃 = 𝑚 ∗ 𝑔 (Eq.2.16) 
 
Onde: P = Força Peso, em N; 
 g = aceleração da gravidade, em m/s²; 
 
 Finalmente, é feito o cálculo da distribuição uniforme dividindo a força peso pelo 
comprimento da linha de eixo, como demonstrado na equação (2.7). 
 𝑃
𝐿
= 𝑞 
(Eq.2.17) 
 
Onde: q = distribuição uniforme, em N/m; 
 
 O valor de “q” (distribuição uniforme) obtido foi de 61,206 N/m, e aplicado por toda a 
extensão da linha de eixo. 
2.5.2 Reações nos mancais (Analítico) 
Como visto anteriormente que as reações nas direções X e Z são desprezíveis, foram 
calculadas apenas as reações na direção Y do problema em questão. 
Em uma viga biapoiada , o que seria um caso crítico (com momento fletor máximo), 
foram realizados os cálculos da seguinte maneira: 
 
Figura 7 – Esquema Viga Bi Apoiada 
 
13 
 
 
Foi realizado o cálculo das reações para uma viga isostática da seguinte maneira: 
Os valores negativos das forças, peso do propulsor (P) e peso da linha de eixo (q*L), 
explica-se pois o referencial adotado foi zero (em X e em Y) na extremidade “2” da viga. 
 ∑𝐹 = 0 (Eq.2.18) 
 
 −F + 𝑅1 + 𝑅2 − 𝑞 ∗ 𝐿 = 0 (Eq.2.19) 
 
Como q = 61,206 N/m e F = varia de acordo com a forca aplicada: 
 
Achamos então a relação R1+R2 para a força aplicada de 1020.24N ou 104Kgf: 
 
 ∑𝑀 = 0 (Eq.2.20) 
 (𝑅1 ∗ 0.282) − (q ∗ L ∗ 0.191) − (P ∗ 0.382) = 0 (Eq.2.21) 
 
Resolvendo temos os valores de R1 e R2 para cada forca aplicada: 
 
 𝑅1 = 1418,56𝑁 𝑒 𝑅2 = −421,64𝑁 (Eq.2.22) 
 
O sinal negativo da 𝑅2 demonstra que seu sentido na Figura 7 está invertido. 
 
O cálculo das reações da viga hiperestática a seguir será realizado pelo método de 
integração direta. 
 
 
Figura 8 - Esquema viga hiperestática 
 
14 
 
Novamente a origem da configuração acima encontra-se no ponto 2 com o intuito de 
facilitar a obtenção de uma das constantes que surgirá quando forem calculadas as integrais do 
momento. 
 ∑𝐹 = 0 (Eq.2.23) 
 𝑅′ + 𝑅2 + 𝑅3 − 𝐹 − 𝑞 ∗ 𝐿 = 0 (Eq.2.24) 
 
 
 
 Agora será calculado a equação do momento fletor em relação a coordenada “x”, e 
deveremos integrá-la duas vezes para chegar à equação da linha elástica. 
 
 𝑀(𝑥) = (−𝐹 ∗ 𝐿) + (𝑅1 ∗ 𝐿_𝑀1) + (𝑅3 ∗ 𝐿_𝑀2) − (𝑞 ∗ 𝐿 ∗ (𝐿/2)) = 0 (Eq.2.25) 
 
Percebemos que na Equação (2.25) temos a distância 0,282 multiplicando a força 
distribuída (Peso do eixo). Esta distância foi encontrada através do centroide da força 
distribuída, que como é um retângulo se dá pela metade de seu comprimento (L). 
 𝑀(𝑥) = 𝐿𝑀1 ∗ 𝑅1 + 𝐿𝑀2 ∗ 𝑅2 − 391,43 (Eq.2.26) 
 
Integrando a Equação (2.26) temos: 
 
𝐸 ∗ 𝐼 ∗ (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
) = L_M1 ∗ 𝑅1 ∗ 𝑥 + L_M2 ∗ 𝑅2 ∗ 𝑥 − 391,43 ∗ 𝑥 + 𝐶1 
(Eq.2.27) 
 
Integrando a equação (2.27) para as coordenadas x, onde estão os mancais: 
 No exemplo abaixo, usaremos a forca de 1020,24N ou 104Kg. 
 𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑣 = 0,282 ∗ 𝑅1 ∗ 𝑥
2 + 0,035 ∗ 𝑅2 ∗ 𝑥² − 391,43 ∗ 𝑥² + 𝐶1 ∗ 𝑥 + 𝐶 2 (Eq.2.28) 
 
Aplicam-se então as condições de contorno para encontrar os valores das constantes 
𝐶1 𝑒 𝐶2. 
No ponto x = 0 não há deflexão da linha elástica, portanto, v = 0: 
 
 𝑣(𝑥 = 0) = 0 ∴ 𝐶2 = 0 (Eq.2.29) 
 
 
 
15 
 
 
No ponto x = 0,282 não há deflexão da linha elástica, portanto, v = 0: 
 
 0 = 0,002 ∗ 𝑅1 + 0,0002 ∗ 𝑅3 − 0,249 + 0,012 ∗ 𝐶1 + 𝐶2 (Eq.2.30) 
 
Como foi determinado na Equação (2.29) que 𝐶2 = 0, temos: 
 
 𝐶1 = 203,435 − 0,141 ∗ 𝑅1 − 0,02 ∗ 𝑅2 (Eq.2.31) 
 
No ponto x = 0,035 não há inclinação da linha elástica, portanto, 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0: 
 
 0 = 0,01 ∗ 𝑅1 + 0,001 ∗ 𝑅3 − 1,422 + 𝐶1 (Eq.2.32) 
 
Rearrumando a Equação (2.32), temos: 
 
 𝐶1 = 1,422 − 0,01 ∗ 𝑅1 − 0,001 ∗ 𝑅2 (Eq.2.33) 
 
Igualando a Equação (2.33) com a Equação (2.31) e temos: 
 
 0,15 ∗ 𝑅1 + 0,18 ∗ 𝑅3 = 195,24 (Eq.2.34) 
 
No ponto x = 0,282 não há deflexão da linha elástica, portanto v = 0: 
 
 0 = 0,11 ∗ 𝑅1 + 0,0013 ∗ 𝑅3 − 15,56 + 0,282 ∗ 𝐶1 (Eq.2.35) 
 
Rearrumando a Equação (2.35) temos: 
 
 𝐶1 = 55,18 − 0,39 ∗ 𝑅1 − 0,05 ∗ 𝑅2 (Eq.2.36) 
 
No ponto x = 0,282 não há inclinação da linha elástica, portanto 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0: 
 
 0 = 0,08 ∗ 𝑅1 + 0,01 ∗ 𝑅3 − 114,72 + 𝐶1 (Eq.2.37)16 
 
Isolando 𝐶1 temos: 
 
 𝐶1 = 114,72 − 0,08 ∗ 𝑅1 − 0,01 ∗ 𝑅2 (Eq.2.38) 
 
Igualando a Equação (2.37) com a Equação (2.38) temos: 
 
 0,48 ∗ 𝑅1 + 0,05 ∗ 𝑅3 = 55,19 (Eq.2.39) 
 
Logo tem-se agora um problema de duas equações e duas incógnitas: 
 
 [
−0.15 −0,19
0,48 0,05
] ∗ [
𝑅1
𝑅3
] = [
196,61
55,58
] (Eq.2.40) 
 
De onde obtém os valores de 𝑅1 𝑒 𝑅3: 
R1= 1246,54N 
R3=243,95N 
 Substituindo os valores na equacao 2.27, encontramos os valores de R2: 
R2= -446,93 N 
 
 O processo e repetido para todas as forcas aplicadas no experimento, como mostra o quadro 
a seguir: 
 
F RM1 RM2 RM3 
[kgf] [N] [N] [N] [N] 
104 1020.4 1246.54 -446.93 243.95 
151 1481.31 1803.52 -651.84 352.95 
174 1706.94 2076.08 -752.12 406.30 
194 1903.14 2313.09 -839.31 452.68 
Figura 9 - Tabela Reação nos Mancais 
 
 
17 
 
 
3 ESTADO PLANO DE TENSÕES 
 
 
3.1 Conceito de Tensão 
 
 
Tensão é definida, matematicamente, como carga (força) por unidade de área e, por 
consequência, no sistema internacional de unidades (SI), a unidade de tensão é representada 
por N/m² (denominada Pascal). 
 
Em problemas práticos da engenharia, utilizam-se múltiplos da unidade Pascal (como 
por exemplo, MPa), pois Pascal é um valor de tensão muito pequeno quando comparado 
aos valores de tensão atuantes nas estruturas reais. Para se ter noção deste fato, um psi é 
equivalente a quase 7000 Pascal. 
 
 
1𝑝𝑠𝑖 =
𝑙𝑏
𝑖𝑛2
=
4,448𝑁
(2,54.10−2)2. 𝑚2
= 6,895.103
N
m2
= 6,895 KPa 
(Eq.2.41) 
 
 
 Tensão Normal devido à Força Axial 
 
 
Para forças axiais aplicadas a uma barra, a tensão normal média atuante na 
seção transversal pode ser calculada da seguinte forma: 
 
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝐹
𝐴
 
(Eq.2.42) 
 
Onde: 
 
 
F é a força normal atuante na extremidade da barra 
A é o valor da área transversal da barra. 
Para definir a tensão em um ponto específico da seção transversal, devemos considerar 
uma pequena área ao redor deste ponto e reduzi-la até o limite tendendo a zero e, então: 
 
 
𝜎 = lim
𝛥𝐴→0
𝛥𝑓
𝛥𝐴
 
(Eq.2.43) 
 
Onde: 
 
 
Δf é a força atuante nesta pequena área 
 
 
É importante salientar que a distribuição de tensão da barra é, aproximadamente, 
 
18 
 
uniforme somente numa seção distante do ponto de atuação da força e caso a linha de ação 
desta carga passe pelo centroide da seção transversal considerada. Em todos os outros casos, 
esta distribuição é não uniforme e, estaticamente, indeterminada. 
 
 Tensão Cisalhante devido à Força Cortante 
 
 
De forma análoga a relação entre forças axiais e tensões normais, podemos calcular a 
tensão média de cisalhamento causada por uma força transversal aplicada a uma barra: 
 
𝜏𝑚𝑒𝑑 =
𝐹
𝐴
 
(Eq.2.44) 
 
Onde: 
 
 
F é a força transversal atuante 
 
 
A é o valor da área transversal da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estado Tridimensional de Tensões 
As tensões provenientes de um carregamento genérico são tridimensionais. Para 
facilitar a visualização e melhor ilustrar este estado de tensões, será utilizado um elemento 
diferencial em um ponto qualquer de um corpo sujeito a um determinado carregamento.
Figura 10 - Forças Cortantes Aplicadas 
a uma Barra. (Beer Johnston) [1] 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há, então, as tensões normais atuantes nos planos perpendiculares aos eixos x, y e z, 
representadas por σxx, σyy e σzz, respectivamente ou apenas, σx, σy e σz . As tensões cisalhantes 
possuem duas componentes em cada plano e seguem a seguinte simbologia: 
 
τxy é a componente em y da tensão cisalhante que atua no plano cuja normal é 
paralela ao eixo x. De forma genérica, a primeira letra representa o eixo perpendicular ao 
plano de atuação da componente de tensão e a segunda indica qual sua direção. 
 
Portanto, além do exemplo dado acima, as tensões cisalhantes representadas no cubo são: 
 
 
 τxz é a componente na direção z da tensão cisalhante que atua no plano cuja 
normal é paralela ao eixo x; 
 
 τyx é a componente na direção x da tensão cisalhante que atua no plano cuja 
normal é paralela ao eixo y; 
 τyz é a componente na direção z da tensão cisalhante que atua no plano cuja 
normal é paralela ao eixo y; 
 
 τzx é a componente na direção x da tensão cisalhante que atua no plano cuja 
Figura 11 - Representação do estado tridimensional de tensões em um ponto. 
 
20 
 
normal é paralela ao eixo z; 
 
 τzy é a componente na direção y da tensão cisalhante que atua no plano cuja 
normal é paralela ao eixo z; 
 
A princípio, pode-se concluir, então, que para definir um estado de tensões em um 
dado ponto Q, submetido a um carregamento genérico são necessárias nove componentes, 
sendo três componentes de tensão normal (σx, σy e σz) e seis de tensão cisalhante (τxy, τxz, τyx, 
τyz, τzx e τzy). 
 
Porém, isso não verdade. Ao aplicar as equações de equilíbrio deste elemento 
diferencial centrado no ponto Q, percebe-se que são necessárias apenas seis componentes de 
tensão para definir seu estado, pois: 
 
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 Eq. (2.45) 
𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 
Eq. (2.46) 
𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 
Eq. (2.47) 
 
Veja, abaixo, a dedução das igualdades acima. 
 
 
Como o cubo está em equilíbrio, serão utilizadas as seguintes equações: 
 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 Eq. (2.48) 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
 
Eq. (2.49) 
∑ 𝐹𝑧 = 0 
 
Eq. (2.50) 
∑ 𝑀𝑥 = 0 
 
Eq. (2.51) 
∑ 𝑀𝑦 = 0 
 
Eq. (2.52) 
∑ 𝑀𝑧 = 0 
 
Eq. (2.53) 
As equações do equilíbrio de forças estão satisfeitas já que nas faces ocultas do cubo 
da figura 11 agem tensões de mesma intensidade, porém sentido contrário. 
 
Utilizando a equação de momentos em torno do eixo z como exemplo e considerando 
a área do cubo igual a “A” e o lado “L”, temos:
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+↺ ∑ 𝑀𝑧 = 0 Eq. (2.54) 
(𝜏𝑥𝑦 . 𝐴). 𝐿 – (𝜏𝑦𝑥. 𝐴). 𝐿 = 0 
Eq. (2.55) 
 
Portanto: 
 
 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 
 
(Eq.2.56) 
 
Ou seja, a componente da tensão atuando em um plano perpendicular ao eixo x 
na direção y é igual a componente da tensão que atua em um plano perpendicular ao eixo y 
na direção de x. 
 
A dedução das outras igualdades é análoga, isto é, lançando mão das equações 
de equilíbrio de momentos em relação ao eixo y e z, encontraremos respectivamente: 
 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 (Eq.2.57) 
 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 (Eq.2.58) 
 
 
Figura 12 - Projeção do Cubo no Plano xy. (James M. 
Gere) 
 
22 
 
 
 
3.1.1 Conceito de Deformação 
 
 
 Deformação devido a Tensão Normal Axial 
 
 
Ao se aplicar uma determinada força axial em uma barra, por exemplo, seu 
comprimento irá se alterar, tornando-se menor (caso seja uma carga compressiva) ou maior 
(caso esteja sujeita a uma carga de tração). Esta variação no comprimento ocasionada pela 
tensão axial (advinda de uma força axial aplicada) é denominada deformação e é representada 
pela letra grega δ. 
 
Pode-se definir também a deformação específica (representada pela letra ε), que nada 
mais é do que a própria deformação dividida pelo comprimento original da barra, como pode 
ser visto abaixo: 
 
𝜀 =
𝛿
𝑙
 
 
(Eq.2.59) 
 
 
 Deformação devido a Tensão Cisalhante 
 
 
Considera-se um cubo elementar sujeito às tensões cisalhantes τxy e τyx, conforme pode 
ser visto na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas componentes de tensão cisalhante têm valores equivalentes, como já fora 
demonstrado, anteriormente, na seção 2.1.2. 
Figura 13 - Cubo Elementar sujeito a Tensões 
Cisalhantes τxy e τyx . (James M. Gere) 
 
23 
 
Este elemento irá sofrer uma deformação angular no plano xy, como consequência, o 
valor dos ângulos formados pelas faces sob tensão do elementos varia da seguinte maneira: 
 
 O valor de dois dos ângulos (opostos) se reduz e torna-se: 
 
 𝜋
2
− У𝑥𝑦 (Eq.2.60) 
 
 O valor dos outros dois ângulos aumentae torna-se 
 𝜋
2
+ У𝑥𝑦 
 
(Eq.2.61) 
 
A figura a seguir apresenta a deformação de cisalhamento (em relação ao plano xy) no 
cubo elementar devido às tensões cisalhantes atuantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 - Cubo Elementar sujeito a Tensões e Deformações Cisalhantes τxy, τyx e γxy . 
 
O ângulo γxy é medido em radianos e é conhecido como deformação de cisalhamento. 
A convenção de sinais para a deformação cisalhante é descrito abaixo: 
Considera-se positiva a deformação cisalhante na qual o ângulo entre as faces 
positivas ou negativas do elemento é reduzido, caso contrário, isto é, este ângulo seja 
aumentado, a deformação por cisalhamento é considerada negativa. 
Entende-se por faces positivas, faces cujo vetor normal está na direção positiva do 
eixo de referência. Faces negativas, por razões óbvias, possui vetor normal apontando na 
direção negativa do eixo de referência. 
Portanto, no exemplo da figura mostrada acima, a deformação é positiva, tendo em 
vista que há uma redução no ângulo referente ao vértice q, sendo este formado pelas faces 
positivas (cujos vetores normais apontam na direção positiva dos eixos x e y). 
 
 
 
 
24 
 
 
 
3.2 Relação entre Tensão e Deformação 
 
 
 Diagrama Tensão - Deformação 
 
 
O diagrama de tensão – deformação de um material demonstra a relação entre as 
tensões e suas, respectivas, deformações específicas, sendo esta igual ao alongamento 
dividido pelo comprimento do corpo. 
 
Através de um ensaio de tração em um dado corpo de prova é possível determinar o 
diagrama de tensão-deformação para um determinado material. O exemplo a seguir mostra o 
diagrama de um material dúctil: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível observar na figura 15 que há, inicialmente, uma região onde o gráfico tem 
comportamento linear e o material está no que se denomina regime elástico (do ponto O ao 
A). O coeficiente angular representa justamente o módulo de elasticidade do material e a 
função que representa esta reta é denominada de Lei de Hooke, conforme será apresentada, 
detalhadamente, adiante. 
Após ultrapassar o valor de sua tensão limite de escoamento (ponto A), o 
comportamento do material entra em regime plástico (do ponto B ao D) e a relação linear 
entre tensão e deformação específica já não é mais válida. 
Figura 15 - Diagrama de Tensão-Deformação de um Material Dúctil. (James M. Gere) 
 
25 
 
Finalmente, na última parte do gráfico (do ponto D ao E), há uma inclinação negativa 
demonstrando o fenômeno de redução do diâmetro do corpo de prova, denominado estricção. 
Observe o exemplo de um diagrama de tensão-deformação de um material frágil: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a deformação específica desta classe de materiais é significantemente 
menor quando comparado aos materiais dúcteis. Além disso, o fenômeno de estricção não é 
observado. O ponto A representa a tensão limite de escoamento, enquanto que o ponto B é a 
tensão de ruptura. 
 
 Lei de Hooke 
 
Os materiais quando sujeitos a um determinado carregamento, isto é, quando há 
tensões atuantes devido aos esforços aplicados a uma estrutura qualquer, sofrerão deformação. 
Até que as tensões nesta estrutura alcancem um determinado limite (representada pela tensão 
de escoamento do material), dizemos que o corpo está em seu regime elástico, em outras 
palavras, a relação entre deformações e tensões é linear e pode ser descrita pela Lei de Hooke: 
 𝜎 = 𝐸Є 
 
(Eq.2.62) 
 
Onde: E representa a constante de proporcionalidade entre tensão e deformação 
conhecida, normalmente, como módulo de elasticidade do material (sua a unidade é a 
mesma de tensão). 
 
Caso, as tensões superem a tensão de escoamento do material, o comportamento 
Figura 16 - Diagrama de Tensão-
Deformação de um Material Frágil. 
(James M. Gere) 
 
26 
 
estrutural do corpo entrará em regime plástico e a relação linear entre tensões e deformações 
não é mais válida. Neste regime, a deformação do corpo não se torna nula ao cessar o 
carregamento, resultando em uma deformação permanente (mesmo quando as tensões 
atuantes são iguais à zero). 
 
A Lei de Hooke aplicada às tensões e deformações por cisalhamento é análoga ao 
que foi explicado acima e é descrita pela seguinte equação: 
 
 𝜏 = 𝐺. У (Eq.2.63) 
 
Onde: G representa a constante de proporcionalidade entre tensão e deformação de 
 
cisalhamento conhecida, normalmente, como módulo de elasticidade transversal (sua 
a unidade é a mesma de tensão, pois a deformação de cisalhamento é medida em radianos). 
 
 Coeficiente de Poisson 
 
 
Este coeficiente representa a relação entre a deformação específica transversal 
proveniente de uma carga longitudinal e a própria deformação longitudinal. Ou seja, qual é 
o percentual de deformação específica transversal ao carregamento aplicado, em relação à 
deformação específica longitudinal. Por exemplo, caso uma barra seja submetida a um 
carregamento axial “P” no eixo x, sabemos que apesar de as tensões normais em y e z serem 
nulas, há sim uma deformação nestas direções. Portanto: 
 𝜎𝑥 = 𝑃/𝐴 ; 𝜎𝑦 = 0 ; 𝜎𝑧 = 0 (Eq.2.64) 
 
ѵ𝑦𝑥 = −
𝜀𝑦𝑥
𝜀𝑥
 
(Eq.2.65) 
 
ѵ𝑧𝑥 = −
𝜀𝑧𝑥
𝜀𝑥
 
(Eq.2.66) 
 
 
 
 
27 
 
O sinal negativo das equações acima se deve ao fato de que a deformação transversal é 
contrária à deformação longitudinal. Em outras palavras, quando há um alongamento 
longitudinal, ocorre uma contração do material nas direções transversais e vice-versa. 
 
No caso específico em que o material é isotrópico, isto é, suas propriedades mecânicas 
são independentes da direção considerada, então, a deformação específica deverá ser a 
mesma para qualquer direção transversal. Consequentemente: 
 
𝜀𝑦𝑥 = 𝜀𝑧𝑥 Eq. (2.67) 
ѵ𝑦𝑥 = ѵ𝑧𝑥 
Eq. (2.68) 
 
 
 
 
 Lei de Hooke Generalizada 
 
 
O que foi apresentado acima é a aplicação da Lei de Hooke em sua forma 
uniaxial. Porém, para generalizá-la, será considerado um carregamento multiaxial no 
elemento diferencial, como é mostrado no exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para analisar os efeitos provocados por este carregamento combinado, 
lançaremos mão do “Princípio da Superposição”, cuja definição é descrita abaixo: 
 
Princípio da Superposição: Afirma que os efeitos de um carregamento 
combinado atuando sobre uma estrutura pode ser considerado como a combinação do 
Figura 17 - Representação do estado triaxial de tensões 
em um ponto. 
 
28 
 
efeito de cada carregamento sobre esta estrutura, analisado independentemente. 
 
Para que este princípio tenha validade é preciso que as condições listadas a 
seguir sejam satisfeitas: 
 
 O material deve estar no regime elástico; 
 
 
O efeito de um dos carregamentos não influi nas condições de aplicação dos demais 
carregamentos. 
 
 
3.3 Deformações devido às Tensões Normais: 
 
 
Portanto, como foi visto, anteriormente, uma deformação axial de um corpo 
qualquer implica, também, em uma deformação transversal ao eixo em que foi aplicado 
o carregamento. 
 
Aplicando o princípio descrito acima, podemos afirmar que a deformação normal 
total em um determinado eixo será a combinação das deformações provocadas pelos três 
carregamentos mostrados na figura acima (σx, σy e σz): 
 
Por exemplo, vamos determinar qual será a deformação específica total no eixo 
x, ocasionada pela própria tensão normal em x e pelas tensões normais em y e em z: 
 
𝜀𝑥 = 𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝑥𝑦 + 𝜀𝑥𝑧 Eq. (2.69) 
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
−
𝜈𝜎𝑦
𝐸
−
𝜎𝑧
𝐸
 
 
 
Eq. (2.70) 
 
Onde: εx é a deformação normal total na direção do eixo x, somando as contribuições 
de cada deformação de forma independente; 
 
εxx é a deformação na direção x causada pela própria tensão normal em x; 
εxy é a deformação na direção x causada pela tensão normal em y; 
εxz é a deformação na direçãox causada pela tensão normal em z; 
ν é o coeficiente de Poisson. 
 
29 
 
De forma análoga, pode-se descrever a deformação específica total para as outras 
direções: 
 
Em y: 
𝜀𝑦 = 𝜀𝑦𝑥 + 𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝑦𝑧 Eq. (2.71) 
𝜀𝑦 = −
𝜈𝜎𝑥
𝐸
+
𝜎𝑦
𝐸
−
𝜈𝜎𝑧
𝐸
 
 
 
Eq. (2.72) 
 
 
 
Em z: 
 
𝜀𝑧 = 𝜀𝑧𝑥 + 𝜀𝑧𝑦 + 𝜀𝑧𝑧 Eq. (2.73) 
𝜀𝑧 = −
𝜈𝜎𝑥
𝐸
−
𝜈𝜎𝑦
𝐸
+
𝜎𝑧
𝐸
 
 
 
Eq. (2.74) 
 
 
3.4 Deformações devido às Tensões Cisalhantes: 
 
 
Aplicando a Lei de Hooke para tensões e deformações de cisalhamento, temos: 
 
У𝑥𝑦 =
𝜎𝑥𝑦
𝐺
 
 
Eq. (2.75) 
У𝑥𝑧 =
𝜎𝑥𝑧
𝐺
 
Eq. (2.76) 
У𝑦𝑧 =
𝜎𝑦𝑧
𝐺
 
 
 
Eq. (2.77) 
 
 
 
3.5 Conjunto de Equações da Lei de Hooke Generalizada: 
 
 
Enfim, o conjunto de equações pertencentes à Lei de Hooke em sua forma geral 
é formado pelas equações relativas à tensão e deformação normal (axial) e cisalhante: 
 
𝜀𝑥 =
1
𝐸
(𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑧) Eq. (2.78) 
𝜀𝑦 =
1
𝐸
(−𝜈𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑧) 
 
Eq. (2.79) 
 
30 
 
𝜀𝑧 =
1
𝐸
(− 𝜈𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦 + 𝜎𝑧) 
Eq. (2.80) 
У𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
 
 
Eq. (2.81) 
У𝑥𝑧 =
𝜏𝑥𝑧
𝐺
 
Eq. (2.82) 
У𝑦𝑧 =
𝜏𝑦𝑧
𝐺
 
 
Eq. (2.83) 
 
Em resumo, as três primeiras representam deformação axial nas três direções x, y e z e 
as três últimas estão relacionadas à deformação dos três planos perpendiculares aos eixos x, y, 
e z (plano xy, xz e yz). 
 
Não é necessário determinar, de forma experimental, as três constantes E, G e v 
pertencentes ao conjunto de equações acima, pois há uma relação entre elas representada pela 
fórmula a seguir: 
 
𝐺 =
𝐸
2
. (1 + v) 
(Eq.2.84) 
 
3.6 Transformação de Tensões no Estado Plano 
 
 
O estado plano de tensões é uma condição específica do estado tridimensional de 
tensões apresentado no subitem anterior, na qual: 
 𝜎𝑧 = 0; 𝜏𝑥𝑦 = 0; 𝜏𝑧𝑥 = 0; 𝜏𝑥𝑧 = 0; 𝜏𝑦𝑧 = 0 (Eq.2.85) 
 
 
 
31 
 
 
A figura a seguir apresenta o elemento infinitesimal no estado plano de tensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma questão relevante e de extrema importância nos projetos de engenharia é se for 
alterada a orientação do elemento infinitesimal analisado, como as tensões seriam afetadas. 
Em outras palavras, há o interesse em saber se as tensões atuando em um ponto são 
dependentes do eixo de referência utilizado e será visto a seguir que a resposta é afirmativa. 
 
Considerando que o elemento mostrado na figura acima tenha sido rotacionado no 
plano xy, isto é, em torno do eixo z e um novo sistema de eixos coordenados x1y1 seja 
utilizado, conforme pode ser visto abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 - Elemento Infinitesimal no Estado Plano de 
Tensões. (James M. Gere) 
Figura 19 - Orientação do Elemento Infinitesimal. (James 
M. Gere) 
 
32 
 
 
 
 
Estamos interessados em determinar o estado plano de tensões neste elemento 
reorientado em função das tensões do elemento original. Para isso, basta aplicar as equações 
de equilíbrio de forças no elemento mostrado a seguir, em que o plano inclinado é referente ao 
elemento x1y1 e os outros planos são pertencentes ao elemento xy:
Figura 20 - Tensões Atuando no Elemento cujo Plano 
Inclinado Pertence ao Elemento x1y1. (James M. Gere) [3] 
 
33 
 
 
As equações resultantes, após manipulações algébricas e substituições trigonométricas, 
denominadas “Equações de Transformação para o Estado Plano de Tensões” são: 
 
𝜎𝑥1 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+ (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛2𝜃 Eq. (2.86) 
𝜏𝑥1𝑦1 = (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 
 
 
Eq. (2.87) 
 
Para calcular a tensão normal σy1, é necessário apenas substituir o valor de θ por (θ 
+ 90), que é o ângulo entre os eixos x1 e y1: 
 
 𝜎𝑥1 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
− (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛2𝜃 (Eq.2.88) 
 
Perceba que se somarmos as equações das tensões normais σx1 σy1, temos: 
 
 𝜎𝑥1 + 𝜎𝑦1 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 
 
(Eq.2.89) 
 
 
Isto quer dizer que as soma das tensões normais atuando nas faces de um elemento 
plano de tensões (em um ponto de um corpo submetido a um carregamento) é constante 
e, portanto, independe da orientação do elemento considerado. 
 
 Círculo de Mohr 
Portanto, o estado plano de tensões em um determinado ponto de um corpo é 
dependente da orientação do elemento infinitesimal considerado. Assim sendo, surge um 
questionamento natural que consiste em determinar em qual direção atuam as tensões normais 
e cisalhantes máximas. 
 
Será utilizada a representação gráfica das equações de transformação de tensões 
apresentadas anteriormente para responder à pergunta acima e a outras pertinentes. Esta 
representação é conhecida como Círculo de Mohr, cuja equação é: 
(𝜎𝑥1 −
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏2𝑥1𝑦1 = (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏2𝑥𝑦 
 
Eq. (2.90) 
 
Observe que a equação acima representa um círculo com as seguintes características: 
 
 
34 
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
 
 
Eq. (2.91) 𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
 
𝑅 = √
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏2𝑥𝑦 
 
 
Eq. (2.92) 
𝑅 = √
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏2𝑥𝑦 
 
Onde: R é o raio do círculo e a posição de seu centro é σx1 = σmed e τx1y1 = 0. 
Veja a representação do Círculo de Mohr para o estado plano de tensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tendo construído o círculo de Mohr, pode-se facilmente determinar o estado de 
tensões em um ponto para qualquer plano (orientação) por inspeção visual. Isto é, através da 
geometria do círculo podemos calcular as tensões para qualquer ângulo de orientação. 
Finalmente, a direção na qual atuam as tensões normais máximas e mínimas, 
conhecidas como tensões principais, é denominada direção principal. O valor das tensões é 
calculado pelas expressões abaixo: 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚𝑒𝑑 + 𝑅; 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑚𝑒𝑑 − 𝑅 
Eq. (2.93) 
𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝑚𝑖𝑛 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± √
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏2𝑥𝑦 
 
 
Eq. (2.94) 
 
 
Enquanto que a direção principal é calculada igualando a zero a equação de 
transformação para τ, pois, ao observar o círculo, vê-se que quando as tensões normais são 
máximas ou mínimas, a tensão cisalhante é nula: 
𝜏𝑥1𝑦1 = (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 0 
 
Figura 21 – Circulo de Mohr para o Estado Plano de 
Tensões. (James M. Gere) [3] 
 
35 
 
Portanto: 
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑝 = 
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
 
 
Eq. (2.95) 
 
O ângulo θ referente à direção principal é metade do calculado acima. 
 
 
O módulo da tensão cisalhante máxima é equivalente ao raio do círculo: 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = (√
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
2
) + 𝜏2𝑥𝑦 
 
Eq. (2.96) 
 
Enquanto que o valor da tensão normal para o plano no qual a tensão cisalhante é 
máxima é: 
𝜎𝑥1 = 𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
 
 
Eq. (2.97) 
 
 
3.7 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES 
 
 
3.7.1 Transformação de Deformações no Estado Plano 
 
De forma análoga às transformações de tensões, dada as deformações específicas 
de um elemento infinitesimal, caso ocorra rotação do eixo de referência, as deformações 
específicas são alteradas. 
 
Portanto, assim como havia o interesse em determinar as tensões normais e 
cisalhantes máximas, há também este objetivo no que diz respeito às deformações normais e 
cisalhantes. Em outras palavras, pretende-se encontrar o valor da deformação normal e 
cisalhante máximas. 
 
Quando há uma rotação no eixo de referencia, as equações resultantes, após 
manipulações algébricas e substituições trigonométricas, denominadas “Equações de 
Transformação para o Estado Plano de Deformações” são análogas às “Equações de 
Transformação para o Estado Plano de Tensões”. Veja a seguir: 
𝜀𝑥1 =
𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2
+ (
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
) . 𝑐𝑜𝑠20 + (
У𝑥𝑦
2
) 𝑠𝑖𝑛20 
 
Eq. (2.98) 
 
36 
 
У𝑥1𝑦1
2
= − (
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
) . 𝑠𝑖𝑛20 + (
У𝑥𝑦
2
) 𝑐𝑜𝑠20 
Eq. (2.99) 
 Para calcular a tensão normal εy1, é necessário apenas substituir o valor de θ por (θ 
+ 90), que é o ângulo entreos eixos x1 e y1: 
 
𝜀𝑥1 =
𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2
+ (
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
) . 𝑐𝑜𝑠20 − (
У𝑥𝑦
2
) 𝑠𝑖𝑛20 
 
Eq. (2.100) 
 
 
Perceba que se somarmos as equações das tensões normais εx1 εy1, temos: 
 
𝜀𝑥1 + 𝜀𝑦1 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 
Eq. (2.101) 
 
 
Isto quer dizer que as soma das deformações normais atuando nas faces de um 
elemento plano de deformações (em um ponto de um corpo submetido a um carregamento) 
é constante e, portanto, independe da orientação do elemento considerado. 
 
 Círculo de Mohr 
 
 
Portanto, o estado plano de deformações em um determinado ponto de um corpo 
é dependente da orientação do elemento infinitesimal considerado. Assim sendo, surge 
um questionamento natural que consiste em determinar em qual direção atuam as 
deformações normais e cisalhantes máximas. 
Será utilizada a representação gráfica das equações de transformação de deformações 
apresentadas anteriormente para responder à pergunta acima e a outras pertinentes. Esta 
representação é conhecida como Círculo de Mohr de Deformações, cuja equação é: 
 
(𝜀𝑥1 −
𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2
)
2
+ (
У𝑥1𝑦1
2
)
2
= (
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
)
2
+ (
У𝑥𝑦
2
)
2
 
 
Eq. (2.102) 
 
 
Observe que a equação acima representa um círculo com as seguintes características: 
 
𝜀𝑚𝑒𝑑 =
𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2
; 𝑅 = (
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
)
2
+ √(У𝑥𝑦/2)²)
2
 
 
Eq. (2.103) 
 
Onde: R é o raio do círculo e a posição de seu centro é εx1 = εmed e γx1y1 = 0. 
 
37 
 
Veja a representação do Círculo de Mohr para o estado plano de deformações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tendo construído o círculo de Mohr, pode-se facilmente determinar o estado de 
deformações em um ponto para qualquer plano (orientação) por inspeção visual. Isto é, 
através da geometria do círculo podemos calcular as deformações para qualquer ângulo de 
orientação. 
Finalmente, a direção na qual atuam as deformações normais máximas e mínimas, 
conhecidas como deformações principais, é denominada direção principal. O valor das 
deformações é calculado pelas expressões abaixo: 
 
𝜀𝑚𝑎𝑥 = 𝜀𝑚𝑒𝑑 + 𝑅 ; 𝜀𝑚𝑖𝑛 = 𝜀𝑚𝑒𝑑 − 𝑅 
Eq. (2.104 e 
2.105) 
𝜀𝑚𝑎𝑥, 𝑚𝑖𝑛 = √(𝜀𝑥 + 𝜀𝑦)/2 ± (𝜀𝑥 − 𝜀𝑦)/2)
2 + У²𝑥𝑦 
Eq. (2.106) 
 
Enquanto que a direção principal é calculada igualando a zero a equação de 
transformação para γ, pois, ao observar o círculo, vê-se que quando as deformações normais 
são máximas ou mínimas, a deformação cisalhante é nula: 
 
У𝑥1𝑦1
2
= − (
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
) . 𝑠𝑖𝑛20 + (
У𝑥𝑦
2
) 𝑐𝑜𝑠20 = 0 
 
 
 
Figura 22 - Exemplo de um Círculo de Mohr para o Estado Plano de 
Deformações. (James 
 
38 
 
 
Portanto: 
𝑡𝑎𝑛20𝑝 = 
2У𝑥𝑦
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
 
 
Eq. (2.107) 
 
 
O ângulo θ referente à direção principal é metade do calculado acima. 
 
 
O módulo da deformação cisalhante máxima é equivalente ao raio do círculo: 
 
У𝑚𝑎𝑥 = 2𝑅 = 2. √(𝜀𝑥 − 𝜀𝑦)2 + (У𝑥𝑦)2
2
 
 
 
Eq. (2.108) 
 
 
Enquanto que o valor da tensão normal para o plano no qual a tensão cisalhante é 
máxima é: 
𝜀𝑥1 = 𝜀𝑚𝑒𝑑 =
𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2
 
 
Eq. (2.109) 
 
 
 
39 
 
4 FERRAMENTA COMPUTACIONAL 
 
 
A ferramenta computacional desenvolvida, em resumo, tem como função calcular, 
analiticamente, as tensões atuantes em determinado ponto de uma seção pertencente a um 
eixo circular e as reações nos mancais. 
 
A seguir será relatado de forma mais aprofundada o conceito e funções desta 
ferramenta, sua abrangência de aplicação, além de apresentar sua formulação analítica. 
 
Em seguida, para facilitar a utilização da ferramenta, será apresentado também um 
manual explicativo para o usuário. 
 
Vale ressaltar que será realizada uma validação desta ferramenta através de 
experimentação. Este conteúdo será apresentado, em detalhe, no capítulo 5. 
 
4.1 CONCEITO 
 
 
A ferramenta computacional analisa, em termos estruturais, um eixo circular 
submetido a uma força aplicada em uma alavanca, conforme é mostrado na figura abaixo: 
 
Figura 23 - Ilustração de um Exemplo de Eixo Analisado pela Ferramenta Computacional. 
 
 
 
 
Como pode ser observado, o eixo está sendo apoiado por dois mancais e um parafuso 
na extremidade oposta ao carregamento. 
 
 
 
 
40 
 
Conforme será visto na descrição da formulação analítica desta ferramenta, os 
mancais impedem apenas a translação do eixo na direção vertical, enquanto que o parafuso é 
responsável por impedir a rotação do eixo. 
 
Faz parte do escopo desta ferramenta, a determinação dos seguintes itens: 
 
 
 Reações de Apoio: Reações nos mancais e na extremidade do eixo onde se 
localiza o parafuso. 
 
 Esforços na seção considerada: Esforço cortante, momento fletor e torsor na 
seção considerada. 
 
 Estado de Tensões: Tensões em um dado ponto devido aos esforços atuantes na 
seção considerada. 
 
 Círculo de Mohr (Estado Plano): Tensões principais, direções principais, 
tensão máxima de cisalhamento para o estado plano de tensões no ponto considerado. 
 
A ferramenta concebida suporta variação de qualquer um dos dados de entrada abaixo: 
 
 
 Magnitude da Força Aplicada; 
 
 
 Posição Longitudinal dos Mancais; 
 
 
 Características do Eixo Circular, isto é, comprimento, raio interno e externo. 
 
 
Ou seja, ela é válida para eixos circulares de quaisquer dimensões e submetidos a 
qualquer magnitude de força vertical. 
 
A ferramenta computacional foi implementada utilizando o software “Excel”. 
 
 
O próximo tópico aborda a formulação analítica que está por trás desta ferramenta 
computacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 FORMULAÇÃO TEÓRICA 
Para modelar o problema e deduzir as formulações analíticas utilizadas pela 
ferramenta computacional, foram utilizados os fundamentos teóricos da disciplina de 
 
41 
 
Resistência dos Materiais descritos anteriormente neste relatório. 
 
Os cálculos realizados pela ferramenta seguem uma sequência bem definida, cuja 
ordem das etapas é descrita a seguir: 
 
 Dimensões do Eixo e Características do Problema; 
 
 
 Cálculo das Reações de Apoio; 
 
 
 Cálculo dos Esforços na Seção Considerada; 
 
 
 Cálculo das Tensões Atuantes na Seção Considerada; 
 
 
 Círculo de Mohr (Estado Plano de Tensões); 
 
 
Cada uma destas etapas será, minuciosamente, detalhada nos subtópicos a seguir. 
 
 
 
 
 
4.2.1 Dimensões do Eixo e Características do Problema 
 
 
Veja abaixo uma ilustração do eixo analisado com suas dimensões e a posição dos 
mancais: 
 
Figura 24 - Dimensões do Eixo Analisado na Vista Longitudinal (à esquerda) e na Seção Transversal (à direita). 
 
 
 
 
42 
 
 
Onde: 
L é o comprimento total do eixo; 
 
 
LSG é a posição longitudinal da seção que ser analisar; 
De é diâmetros do eixo; 
Re é o raio externo do eixo; 
re é o raio interno do eixo; 
LM1 é a posição longitudinal do primeiro mancal; 
LM2 é a posição longitudinal do segundo mancal; 
Perceba que o usuário poderá, sem restrições, posicionar os mancais em qualquer 
coordenada longitudinal que julgue conveniente. Além disso, a ferramenta é válida para eixos 
de quaisquer dimensões L (comprimento) e De (diâmetro). 
 
 
 
 
4.2.2 Cálculo das Reações de Apoio 
 
 
Para calcular as reações nos apoios do eixo analisado, será utilizado um diagrama de corpo 
livre e, então, serão aplicadas as equações de equilíbrio de forças e momentos. 
 
Figura 25 - Diagrama de Corpo Livre do Eixo Analisado 
Onde:F é a força aplicada no braço de alavanca; 
 
 
T é o torque aplicado no eixo devido à força F; 
RM1 é a força de reação no primeiro mancal. 
 
43 
 
RM2 é a força de reação no segundo mancal. 
 
RM3 é a força de reação no terceiro mancal. 
 
Tp é o torque de reação na extremidade onde está o parafuso. 
 
 
Pe é o peso do eixo, sendo igual ao produto da massa do eixo pela aceleração da 
gravidade. 
 
A massa do eixo é calculada através da multiplicação de seu volume pela massa 
específicado material que o compõe. Veja: 
 
𝑚𝑒 = (𝐴𝑒. 𝐿)𝜌 
 Eq. (3.1) 
 
 
Sendo: me a massa do eixo; 
 
 
ρ a massa específica do material do eixo; 
 
 
Ae é a área transversal do eixo circular, cuja fórmula é: 
 
Há, então, três incógnitas para serem calculadas, que RM1, RM2 e Tp. Portanto, serão 
utilizadas as equações de equilíbrio de forças na direção do eixo y, de momentos em relação 
ao eixo z e eixo x, como segue: 
∑ 𝐹𝑦 = 𝐹 − 𝑅𝑚1 − 𝑃𝑒 − 𝑅𝑚2 = 0 
Eq. (3.2) 
∑𝑀𝑧 = −𝐹𝐿 + 𝑅𝑚1𝐿𝑚1 +
𝑃𝑒𝐿
2
+ 𝑅𝑚2𝐿𝑚2 = 0 
 
 
Eq. (3.3) 
𝑇𝑥 = 𝑇 − 𝑇𝑝 = 0 
 
Eq. (3.4) 
 
 
Da última equação, determina-se que: 
𝑇 = 𝑇𝑝 
 Eq. (3.5) 
 
Portanto, o torque de reação na extremidade está calculado. Restam, então, apenas 
duas equações e duas reações de apoio a serem descobertas. Através deste sistema de 
equações mostrado abaixo, calcula-se as reações nos mancais: 
𝐹 − 𝑅𝑚1 − 𝑃𝑒 − 𝑅𝑚2 = 0 
 
Eq. (3.6) 
𝐹𝐿 + 𝑅𝑚1𝐿𝑚1 +
𝑃𝑒𝐿
2
+ 𝑅𝑚2𝐿𝑚2 = 0 
 
Eq. (3.7) 
 
44 
 
Isolando RM2 na primeira equação e substituindo-o na segunda, determina-se a reação 
de apoio no primeiro mancal: 
 
 
𝑅𝑚1 =
𝐹(𝐿 − 𝐿𝑚2) = 𝑃𝑒 (𝐿𝑚2 − (
𝐿
2
))
𝐿𝑚1 − 𝐿𝑚2
 
 
Eq. (3.8) 
 
 
E, finalmente, a reação de apoio no segundo mancal é calculada como segue: 
 
 
𝑅𝑚2 = 𝐹 − 𝑃𝑒 − 𝑅𝑚1 
 Eq. (3.9) 
 
 
Com as reações de apoio determinadas, torna-se possível calcular os esforços na seção 
do eixo considerada. A dedução das equações dos esforços será apresentada no próximo 
subitem. 
 
4.2.3 Cálculo dos Esforços na Seção Considerada 
 
 
Para calcular os esforços numa determinada seção do eixo, cuja distância em relação à 
extremidade de aplicação da força é igual a x, imagina-se que o eixo tenha sido cortado 
exatamente sobre ela e, novamente, aplica-se as equações de equilíbrio de forças e momentos. 
 
A ferramenta deverá ser capaz de calcular os esforços em qualquer seção pertencente 
ao eixo. Como estes esforços na seção dependem de sua posição longitudinal é preciso dividir 
o eixo em três intervalos, pois para cada um destes haverá uma fórmula para o esforço 
cortante e momento fletor. 
 
O momento torsor é constante ao longo de todo eixo, já que há apenas um torque 
aplicado ao eixo e este ocorre na extremidade do eixo. Portanto, a fórmula para cálculo do 
momento torsor é a mesma para todos os intervalos do eixo. 
 
 Primeiro Intervalo: 
 
 
Neste primeiro intervalo, a seção a ser analisada do eixo é anterior ao primeiro mancal, 
conforme é ilustrado abaixo: 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular o esforço cortante na seção, utiliza-se a equação de equilíbrio de forças 
na direção vertical (em y): 
 
∑ 𝐹𝑦 = 𝐹 − 𝑃 + 𝐸𝑐 = 0 
Eq. (3.10) 
𝐸𝑐 = −𝐹 + 𝜆𝑒𝐺𝑥 
 
Eq. (3.11) 
 
Onde P é o peso da parte do eixo de comprimento x e é determinado através da 
equação a seguir: 
𝑃 = 𝜆𝑒𝐺𝑥 Eq. (3.11) 
 
Para calcular o momento fletor na seção, utiliza-se a equação de equilíbrio de 
 
momentos em torno do eixo z: 
∑𝑀𝑧 = −𝐹𝑥 + 𝑃.
𝑥
2
+ 𝑀𝑓 = 0 
 
Eq. (3.13.) 
𝑀𝑓 = − (
1
2
) 𝜆𝑒𝐺𝑥2 + 𝐹𝑥 
 
Eq. (3.14) 
 
Finalmente, para calcular o momento torsor na seção, utiliza-se a equação de 
equilíbrio de momentos em torno do eixo x: 
 
∑𝑇𝑥 = 𝑇 − 𝑇𝑠 = 0 
Eq. (3.15) 
𝑇𝑠 = 𝑇 
 
Eq. (3.16) 
 
 
 
 
 Segundo Intervalo: 
Figura 26 - Diagrama de Corpo Livre do Eixo antes 
do Primeiro Mancal. 
 
46 
 
No segundo intervalo, a seção a ser analisada do eixo está entre os mancais, conforme 
é ilustrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
: 
 
Para calcular o esforço cortante na seção, utiliza-se a equação de equilíbrio de forças 
na direção vertical (em y): 
 
∑ 𝐹𝑦 = 𝐹 − 𝑅𝑚1𝑃 + 𝐸𝑐 = 0 
Eq. (3.17) 
𝐸𝑐 = −𝐹 + 𝑅𝑚1 + 𝜆𝑒𝐺𝑥 
 
Eq. (3.18) 
 
Para calcular o momento fletor na seção, utiliza-se a equação de equilíbrio 
de momentos em torno do eixo z: 
 
∑𝑀𝑧 = −𝐹𝑥 + 𝑅𝑚1(𝑥 − (𝐿 − 𝐿𝑚1)) + 𝑃 (
𝑥
2
) + 𝑀𝑓 = 0 
 
Eq. (3.19) 
𝑀𝑓 = − (
1
2
) 𝜆𝑒𝐺𝑥2 + (𝐹 − 𝑅𝑚1)𝑥 + 𝑅𝑚1(𝐿 − 𝐿𝑚1) 
 
Eq. (3.20) 
 
Finalmente, para calcular o momento torsor na seção, utiliza-se a equação de 
equilíbrio de momentos em torno do eixo x: 
 
∑𝑇𝑥 = 𝑇 − 𝑇𝑠 = 0 
Eq. (3.21) 
𝑇𝑠 = 𝑇 
 
Eq. (3.22) 
 
 
 
 
 Terceiro Intervalo: 
 
 
No terceiro intervalo, a seção a ser analisada do eixo é posterior ao segundo mancal, 
conforme é ilustrado abaixo: 
 
Figura 27 - Diagrama de Corpo Livre do Eixo antes do Segundo 
Mancal. 
 
47 
 
𝐼𝑒 =
𝜋
4
(𝑅𝑒⁴ − 𝑟𝑒⁴) Eq. (3.32) 
 
No ponto marcado em vermelho na figura acima, y é equivalente ao raio do círculo e a 
tensão normal naquele ponto é máxima, cuja equação torna-se: 
 
𝜎𝑥 =
𝑀𝑓𝑅𝑒
𝐼𝑒
 Eq. (3.33) 
 
 
 Tensão Cisalhante na Seção devido ao Momento Torsor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o ponto em vermelho da figura acima, a tensão cisalhante atuando no plano 
perpendicular ao eixo x, na direção de z é: 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑇𝑝𝑅𝑒
𝐼𝑝𝑒
 
Eq. (3.34) 
 
 
 
 
Onde Ipe é o momento polar de inércia da seção em relação ao eixo x, cuja fórmula 
para seção circular maciça é: 
 
𝐼𝑝𝑒 =
𝜋
2
(𝑅𝑒⁴ − 𝑟𝑒⁴) Eq. (3.35) 
 
Enfim, as tensões atuando na seção foram determinadas e o estado de tensões no ponto 
em vermelho (cuja distância em relação ao centro do círculo é o próprio raio) também já e 
conhecido. 
 
Porém, há o interesse, neste momento, em descobrir quais são as tensões principais 
para o ponto em questão, além da direção onde ocorrem estas tensões (chamada direção 
principal). Outra informação relevante é a tensão de cisalhamento máxima e sua direção de 
atuação. Todas estes dados serão explicados a seguir. 
Figura 28 - Momento 
Fletor na Seção. 
 
48 
 
4.2.4 Círculo de Mohr (Estado Plano de Tensões) 
 
 
Como já fora explicado neste relatório, na seção de apresentação da teoria da 
resistência dos materiais (mais precisamente, no subitem 2.1.4), o estado plano de tensões em 
um determinado ponto é dependente da orientação do elemento infinitesimal considerado. 
 
Portanto, para calcular a tensão normal máxima e mínima, a ferramenta utiliza: 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚𝑒𝑑 + 𝑅; 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑚𝑒𝑑 − 𝑅 Eq. (3.36) 
𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝑚𝑖𝑛 = (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)/2 ± √(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)/2)² + 𝜏𝑥𝑦²)
2
 
 
Eq. (3.37) 
 
 
Onde R é o raio do Círculo de Mohr e σmed é o valor de seu centro. 
 
 
Enquanto que para determinar a direção principal, lança-se mão da fórmula a seguir: 
 
𝑇𝑎𝑛20𝑝 =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
− 𝜎𝑦 Eq. (3.11) 
 
 
 
Onde θp é o ângulo referente à direção principal. 
 
 
No que diz respeito à tensão cisalhante, a equação abaixo é utilizada para determinar 
seu valor máximo: 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)/2)² + 𝜏𝑥𝑦²
2
 
 Eq. (3.39) 
 
 
 
Para determinar o ângulo no qual ocorre a tensão cisalhante máxima basta somar 45
o 
ao θp, ou seja: 
 
𝜃𝑟𝑚𝑎𝑥 = 𝜃𝑝 + 45° 
 Eq. (3.40) 
 
Além de realizar os cálculos supracitados, a ferramenta também é capaz de desenhar o 
 
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões no ponto da seção escolhido pelo usuário. 
 
 
Todavia, para traçar o Círculo de Mohr no software Excel (no qual foi implementada 
esta ferramenta), ao invés de utilizar os valores de raio e centro previamente calculados, são 
 
49 
 
utilizadas as equações parametrizadas do Cïrculo de Mohr em função do ângulo de orientação 
do elemento infinitesimal: 
𝜎𝑥1 = (
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) . 𝑐𝑜𝑠20 + 𝑥𝑦. 𝑐𝑜𝑠20 
 
Eq. (3.41) 
𝜏𝑥1 =
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
. 𝑠𝑖𝑛20 + 𝜏𝑥𝑦. 𝑐𝑜𝑠20 
 
 
Eq. (3.42) 
Em outras palavras, o valor da tensão normal e cisalhante é calculado a cada 15 graus 
no intervalo de 0
o 
a 360
o 
e, então, cria-se um gráfico a partir destes dados. 
 
Além deste círculo de Mohr que representa o estado