Cálculo Numérico - Lista de Exercícios 3 - Zapata

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Nume´rico
Lista de exerc´ıcios 1/2015
1. Em cada um dos PVI’ s abaixo, aproxime y(0.4) pelo me´todo de Euler, me´todo do ponto me´dio, me´todo
de Euler aperfeic¸oado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando h = 0.2.
a)y′ + y = x y(0) = 1;
b)y′ = −20y y(0) = 1;
c)y′ = y − x y(0) = 1;
d)y′ = 3y + 3x y(0) = 1;
e)y′ = −xy y(0) = 1;
f)y′ = x2 − y y(0) = 1;
g)y′ =
(
1− 43x
)
y y(0) = 1;
2. Resolva pelo me´todo das diferenc¸as finitas:
a) y′′ + 2y′ + y = x; y(0) = 2; y(1) = 0,
usando h = 0.25.
b) y′′ = yseny + xy; y(0) = 2; y(1) = 5
usando h = 0.1.
3. Use o me´todo de Picard para encontrar as aproximac¸o˜es φ1(x), φ2(x), φ3(x) dos seguintes PVI’s:
a)
{
y′ = −y
y(0) = 1
b)
{
y′ =
(
1− 43x
)
y
y(0) = 1
Tome φ0(x) = 1 como chute inicial.
4. Dados:
a)
{
y′ = 11+y2
y(0) = 1
Estime y(1) usando o me´todo da Se´rie de Taylor de 3a ordem e h = 0, 5.
b)
{
xy′ = x− y
y(2) = 2
Estime y(2, 2) usando o me´todo da Se´rie de Taylor de 2a ordem e h = 0, 1.
c)
{
xy′ = x− y
y(2) = 2
Estime y(2, 2) usando o me´todo da Se´rie de Taylor de 3a ordem e h = 0, 1.
5. Dado o PVI abaixo{
y′ = f(x, y)
y(x0) = y0
a) mostre como o me´todo de Euler nos da´ uma aproximac¸a˜o para y(x0+h). Para isso, fac¸a a construc¸a˜o
geome´trica do me´todo, explicando passo-a-passo cada etapa da construc¸a˜o.
b) mostre como o me´todo de Euler aperfeic¸oado nos da´ uma aproximac¸a˜o para y(x0 + h). Para isso,
fac¸a a construc¸a˜o geome´trica do me´todo, explicando passo-a-passo cada etapa da construc¸a˜o.
c) mostre como o me´todo do ponto me´dio nos da´ uma aproximac¸a˜o para y(x0 + h). Para isso, fac¸a a
construc¸a˜o geome´trica do me´todo, explicando passo-a-passo cada etapa da construc¸a˜o.