Trabalho 1 CD1 Gustavo Coelho Domingos

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Universidade Federal de Uberlândia 
 FEELT – Faculdade de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comunicações Digitais 1 
 
Trabalho 1 
 
Prof. Dr. Antônio Cláudio Paschoarelli Veiga 
Engenharia Eletrônica e de Telecomunicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gustavo Coelho Domingos 
 11321ETE010 
 
02 de Setembro de 2020 
 
http://www.ebramem.feciv.ufu.br/defaul12.gif
 
1- Introdução Teorica 
 
1.1- Teorema da amostragem 
A amostragem de um sinal ou forma de onda analógica é o processo pelo qual o sinal passa a ser 
representado por um conjunto discreto de números. Estes números, ou amostras, são iguais ao valor 
do sinal em instantes bem determinados (os instantes de amostragem). As amostras devem ser 
obtidas de maneira a que seja possível reconstituir o sinal com exatidão. A forma de onda original, 
definida em tempo contínuo, passa a ser representada em tempo discreto por amostras obtidas em 
instantes de amostragem espaçados convenientemente. 
O intervalo de tempo entre amostras chama-se intervalo de amostragem, Ts. O seu inverso é a 
frequência de amostragem, Fs = 1/Ts amostras por segundo. Um sinal para ser recuperado após sua 
amostragem deve obedecer o Teorema de Nyquist. A reconstrução do sinal original é um processo de 
interpolação. 
1.2- Teorema de Nyquist 
"Seja um sinal, limitado em banda, e seu intervalo de tempo dividido em partes iguais, de forma 
que se obtenham intervalos tais que, cada subdivisão compreenda um intervalo com período T 
segundos, onde T é menor do que Fm/2, e se uma amostra instantânea é tomada arbitrariamente de 
cada subintervalo, então o conhecimento da amplitude instantânea de cada amostra somado ao 
conhecimento dos instantes em que é tomada a amostra de cada subintervalo contém toda a 
informação do sinal original." 
 
1.3- Interpolação 
A interpolação corresponde ao aumento da frequência de amostragem do sinal contínuo, e só é, 
naturalmente, possível se este tiver já sido amostrado a uma frequência satisfazendo o teorema da 
amostragem. 
1.4- Efeito Aliasing 
Caso a frequência de amostragem não seja suficientemente alta, ocorre a sobreposição do espectro 
(aliasing), impossibilitando recuperar o sinal original. 
 
 
 
2- Execução 
 
2.1- Introdução 
Utilizando um sinal senoidal, no caso 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡) com frequência de F=10Hz com uma 
frequência de amostragem 10Hz, 30Hz e 100Hz e 1kHz. 
Abaixo mostra o código utilizado para implementação do sinal senoidal com sua devida 
frequência de amostragem, apresentando as amostras em sinal discreto, utilizando a convolução 
através da função interpoladora para a devida reconstrução do sinal. Primeiro utilizamos uma 
frequência de amostragem “desobedecendo” o Teorema de Nyquist 
(Fs>2Fmax amostras/seg.) fazendo Fs = 10 Hz. 
 
2.2- Código e resultados Gráficos 
 
2.2-1. Código para 10 Hz 
clear; 
close all; 
 
t=0:0.0001:10; % Vetor de tempo 
F=10; % Frequência entrada em Hz 
 
X=sin(2*pi*F*t); % Gerando onda senoidal 
 
figure(1); % Plotando Sinal 
plot(t,X); 
axis([0 0.05 -1.5 1.5]); 
title('Sinal Contínuo'); 
xlabel('t'); 
ylabel('X(t)'); 
 
Fs1=10; % Frequência de amostragem 
 
t1=0:1/Fs1:1; % Vector de tempo 
x1=sin(2*pi*F*t1); % Onda com tempo de acordo com a frequência de 
amostragem 
figure(1); 
subplot(411); 
stem(t1,x1); % Representa os valores da função nos instantes 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
title('Sinal Amostrado com Fs = 10Hz'); 
xlabel('t'); 
ylabel('amplitude'); 
hold on; 
plot(t,X,'m:'); % Plotar sinal original em verde e tracejado 
 
Ts=1/Fs1; % Função Interpolação 
N1=round(1/Ts); 
n1=0:N1; 
Sinc=sinc(Fs1*(ones(length(n1),1)*t-(n1*Ts)'*ones(1,length(t)))); %Jogando 
a função sinc 
figure(1); 
subplot(412); 
plot(t,Sinc); 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
ylabel('x(t)'); 
title('Função Interpoladora'); 
figure(1); 
Xa=x1*Sinc; 
subplot(413); 
plot(t,Xa,'b--',t,X,'m'); 
legend('amostrado','original'); 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
ylabel('x_{a}(t)'); 
title('Reconstrução do X{a}(t) quando Fs = 10Hz'); 
 
 
Isso fez com que o programa não conseguisse plotar o sinal amostrado. 
 
 
2.2-2. Código para 30 Hz 
 
No segundo teste colocamos uma frequência de amostragem que obedecesse ao 
Teorema de Nyquist (Fs= 30Hz): 
 
 
clear; 
close all; 
 
t=0:0.0001:10; % Vetor de tempo 
F=10; % Frequência entrada em Hz 
 
X=sin(2*pi*F*t); % Gerando onda senoidal 
 
figure(1); % Plotando Sinal 
plot(t,X); 
axis([0 0.05 -1.5 1.5]); 
title('Sinal Contínuo'); 
xlabel('t'); 
ylabel('X(t)'); 
 
Fs1=30; % Frequência de amostragem 
 
t1=0:1/Fs1:1; % Vector de tempo 
x1=sin(2*pi*F*t1); % Onda com tempo de acordo com a frequência de 
amostragem 
figure(1); 
subplot(411); 
stem(t1,x1); % Representa os valores da função nos instantes 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
title('Sinal Amostrado com Fs = 30Hz'); 
xlabel('t'); 
ylabel('amplitude'); 
hold on; 
plot(t,X,'m:'); % Plotar sinal original em verde e tracejado 
 
Ts=1/Fs1; % Função Interpolação 
N1=round(1/Ts); 
n1=0:N1; 
Sinc=sinc(Fs1*(ones(length(n1),1)*t-(n1*Ts)'*ones(1,length(t)))); %Jogando 
a função sinc 
figure(1); 
subplot(412); 
plot(t,Sinc); 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
ylabel('x(t)'); 
title('Função Interpoladora'); 
figure(1); 
Xa=x1*Sinc; 
subplot(413); 
plot(t,Xa,'b--',t,X,'m'); 
legend('amostrado','original'); 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
ylabel('x_{a}(t)'); 
title('Reconstrução do X{a}(t) quando Fs = 30Hz'); 
 
Obedecendo o terorema já conseguimos um resultado melhor: 
 
 
 
2.2-3. Código para 100Hz 
Como observado aumentando a frequencia de amostragem conseguimos um sinal melhor. Assim 
aumentamos a Fs =100Hz. 
 
clear; 
close all; 
 
t=0:0.0001:10; % Vetor de tempo 
F=10; % Frequência entrada em Hz 
 
X=sin(2*pi*F*t); % Gerando onda senoidal 
 
figure(1); % Plotando Sinal 
plot(t,X); 
axis([0 0.05 -1.5 1.5]); 
title('Sinal Contínuo'); 
xlabel('t'); 
ylabel('X(t)'); 
 
Fs1=100; % Frequência de amostragem 
 
t1=0:1/Fs1:1; % Vector de tempo 
x1=sin(2*pi*F*t1); % Onda com tempo de acordo com a frequência de 
amostragem 
figure(1); 
subplot(411); 
stem(t1,x1); % Representa os valores da função nos instantes 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
title('Sinal Amostrado com Fs = 100Hz'); 
xlabel('t'); 
ylabel('amplitude'); 
hold on; 
plot(t,X,'m:'); % Plotar sinal original em verde e tracejado 
 
Ts=1/Fs1; % Função Interpolação 
N1=round(1/Ts); 
n1=0:N1; 
Sinc=sinc(Fs1*(ones(length(n1),1)*t-(n1*Ts)'*ones(1,length(t)))); %Jogando 
a função sinc 
figure(1); 
subplot(412); 
plot(t,Sinc); 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
ylabel('x(t)'); 
title('Função Interpoladora'); 
figure(1); 
Xa=x1*Sinc; 
subplot(413); 
plot(t,Xa,'b--',t,X,'m'); 
legend('amostrado','original'); 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
ylabel('x_{a}(t)'); 
title('Reconstrução do X{a}(t) quando Fs = 100Hz'); 
 
2.2-4. Código para 1Khz 
 
Com uma frequencia maior conseguimos com que Xa(t) ficasse cada vez mais aproximado de X(t). 
Portanto para ultimo teste colocamos Fs=1KHz. 
 
clear; 
close all; 
 
t=0:0.0001:10; % Vetor de tempo 
F=10; % Frequência entrada em Hz 
 
X=sin(2*pi*F*t); % Gerando onda senoidal 
 
figure(1); % Plotando Sinal 
plot(t,X); 
axis([0 0.05 -1.5 1.5]); 
title('Sinal Contínuo'); 
xlabel('t'); 
ylabel('X(t)'); 
 
Fs1=1000; % Frequência de amostragem 
 
t1=0:1/Fs1:1; % Vector de tempo 
x1=sin(2*pi*F*t1); % Onda com tempo de acordo com a frequência de 
amostragem 
figure(1); 
subplot(411); 
stem(t1,x1);% Representa os valores da função nos instantes 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
title('Sinal Amostrado com Fs = 1KHz'); 
xlabel('t'); 
ylabel('amplitude'); 
hold on; 
plot(t,X,'m:'); % Plotar sinal original em verde e tracejado 
 
Ts=1/Fs1; % Função Interpolação 
N1=round(1/Ts); 
n1=0:N1; 
Sinc=sinc(Fs1*(ones(length(n1),1)*t-(n1*Ts)'*ones(1,length(t)))); %Jogando 
a função sinc 
figure(1); 
subplot(412); 
plot(t,Sinc); 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
ylabel('x(t)'); 
title('Função Interpoladora'); 
figure(1); 
Xa=x1*Sinc; 
subplot(413); 
plot(t,Xa,'b--',t,X,'m'); 
legend('amostrado','original'); 
axis([0 0.5 -1.5 1.5]); 
ylabel('x_{a}(t)'); 
title('Reconstrução do X{a}(t) quando Fs = 1KHz'); 
 
 
Apesar de necessitar de muito processamento conseguimos um X(a) tao próximo de X(t) que mal 
podemos diferencialas.