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Aula-11
Oscilações eletromagnéticas
e corrente alternada
Curso de Física Geral F-328
F328 – 1S2013 1
1o semestre, 2013
Nos dois tipos de circuito estudados até agora (RCe RL), 
vimos que a carga, a corrente e a diferença de potencial crescem 
ou decrescem exponencialmente com o tempo.
Introdução
Oscilações LC
ω
ou decrescem exponencialmente com o tempo.
Agora vamos estudar o circuito formado pela terceira 
combinação destes elementos, ou seja, o circuito LC . Veremos que, 
neste caso, estas grandezas não variam exponencialmente com o 
tempo, mas sim senoidalmente(com um determinado período T e 
uma frequência angular ). As oscilações de carga e corrente 
resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo 
0ω
resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo 
magnético do indutor, a que chamamos oscilações eletromagnéticas.
Na figura abaixo estão representados oito estágios em um único 
ciclo de oscilação de um circuito LC sem resistência. Supomos que 
inicialmente a carga q do capacitor tem o seu valor máximo Q e a 
corrente i que atravessa o indutor é nula.
F328 – 1S2013 2
Oscilações LC
energia
totalmente
magnética
energia
totalmente
elétrica
energia
totalmente
elétrica
energia
totalmente
magnética
elétrica elétrica
F328 – 1S2013 3
Oscilações eletromagnéticas (LC)
http://www.walter-fendt.de/ph14br/osccirc_br.htm
Simulação dos estágios
Do ponto de vista formal, um circuito LC é análogo a um oscilador 
harmônico simples, que pode se representado por um sistema massa-
mola:
Circuito LC Sistema massa-mola
Analogia Eletromecânica
1 2= q ( )molada1 2= xkU
Circuito LC Sistema massa-mola
E
r
L
cte:Total
)indutordo(
2
1
)capacitordo(
2
1
2
2
=+
⇔
=
=
BE
EB
B
E
UU
UU
LiU
C
q
U ( )
( )
cte:Total
blocodo
2
1
molada
2
1
2
2
=+
⇔
=
=
cp
pc
c
p
UU
UU
vmU
xkU
F328 – 1S2013 5
No sistema massa-mola, a energia totalU é, em qualquer instante: 
pc UUU +=
Analogia Eletromecânica (massa-mola)
pc UUU +=
Se não houver atrito, U permanece constante, isto é:
0)
2
1
2
1
( 22 =+= kxmv
dt
d
dt
dU
)cos( 0 ϕω += tXx mcuja solução é:





 =
dt
dx
v02
2
=+ x
m
k
dt
xd
m
k=0ω : frequência angular natural
Xm : amplitude
: constante de fase
Movimento 
oscilatório
F328 – 1S2013 6
ϕ
C
q
LiUUU EB
2
2
2
1
2
1 +=+=
Como não há resistência no circuito, temos:
22  qLiddU
Energia total oscilante :
Analogia Eletromecânica (oscilador LC)
12qd
0
22
22
=





+=
C
qLi
dt
d
dt
dU





 =
dt
dq
i
Fazendo as seguintes correspondências:
a solução da equação acima é:
,qx→
C
k
1→,Lm→,iv→
)cos()( 0 ϕω += tQtq
,
0
1
2
2
=+ q
LCdt
qd
frequência angular naturaldas oscilações eletromagnéticas e é uma 
constante de fase, como no caso mecânico. A corrente no circuito LC é: 
onde é a amplitude das oscilações da carga, é a Q
ϕ
F328 – 1S2013 7
)(sen)(sen 000 ϕωϕωω +−=+−== tItQdt
dq
i
LC
1
0 =ω
Circuito LC Sistema massa-mola
Frequência angular:
1=ω
k=0ω
Analogia Eletromecânica
Correspondências qx→
1
Lm→
Frequência angular:
Amplitude:
Constante de fase:
LC0
=ω
Q
m
=0ω
Xm
ϕ ϕ
Correspondências 
entre os dois sistemas
C
k
1→iv→
No circuitoLC, a amplitude e a constante de fase são determinadas
pelas condições iniciais i(0) e q(0).
F328 – 1S2013 8
A energia elétricaarmazenada no capacitorem qualquer instante t é:
)(cos
22 0
2
22
ϕω +== t
C
Q
C
q
UE
Energias elétrica e magnética
)(sen
2
1
2
1
0
222
0
2 ϕωω +== tQLLiU B
22 0CCE
A energia magnéticaarmazenada no indutoré, por sua vez:
C
Q
UU BE 2
2
=+
)(sen
2 0
2
2
ϕω += t
C
Q , pois
LC
1
0 =ω
Então, a soma (energia total 
eletromagnética) permanece 
constante.
C
UU BE 2
=+
Com um resistor Rno circuito, a energia
eletromagnética total U do sistema ( ) 
não é mais constante, pois diminui com o 
Oscilações amortecidas (circuito RLC)
EB UU +
não é mais constante, pois diminui com o 
tempo na medida em que é transformada em 
energia térmica no resistor . 
C
q
LiU
22
1 22 +=
2Ri
dU −=
2Ri
dt
dq
C
q
dt
di
Li −=+
)0( <
dt
dU
Energia
eletromagnética
Potência dissipada 2Ri
dt
dU −= dtCdtPotência dissipada
Como 
dt
dq
i = 0
1
2
2
=++ q
LCdt
dq
L
R
dt
qd
A solução desta equação para o caso de amortecimento
fraco é:
Oscilações Amortecidas (circuito RLC )
)
1
2
(
2
LCL
R <




 )cos()( 2max ϕω +′=
−
teQtq
t
L
R
Agora as oscilações são amortecidas, pois a amplitude de 
decai exponencialmente com o tempo:
onde . Quando 
fraco é:
)(tq
ou seja, aproxima-se da frequência angular naturaldo sistema.
⇒
ω′
LCL
R 1
2
2
<<





)
2
(
LCL
<



)cos()( max ϕω +′= teQtq
2
2
0 2





−=′
L
Rωω
LC
1
0=≅′ ωω
decai exponencialmente com o tempo:
F328 – 1S2013 11
q
Exemplo 1
Um circuito RLCsérie possui indutância L = 12 mH, capacitância 
C = 1,6 µF, e resistência R = 1,5 Ω.
a)em que instante t a amplitude das oscilações da carga no circuito 
será 50% do seu valor original?
b) quantas oscilações são completadas neste intervalo de tempo?
O tempo para uma oscilação completa é o período .
Queremos que:
π= 2T
5,0ln
2
5,0 max
2
max =−⇒=
−
L
Rt
QeQ
t
L
R
st
R
L
t 011,05,0ln
2 =⇒−=daí:
será 50% do seu valor original?
Neste caso, como , . Ou seja:
O tempo para uma oscilação completa é o período .
0ωω ≅′20
2
2
ω<<





L
R
ω
π
′
= 2T
F328 – 1S2013 12
LC
t
ntnT
π2
=⇒=
( )
13
10.6,110.122
011,0
2
1
63
≅
×
=
−−π
nou
As oscilações de um circuito RLC não serão totalmente 
amortecidas se um dispositivo de fem externo fornecer energia
suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor. 
Oscilações forçadas– Corrente alternada
Normalmente este dispositivo é um gerador de corrente alternada
com femdo tipo: , onde é a chamada frequência 
angular propulsora. Quando uma femcomo esta é ligada a um circuito 
RLC, dizemos que as oscilações da carga, da tensão e da corrente são 
oscilações forçadas. Veremos que, qualquer que seja 
a frequência angular natural ω0 de um circuito, estas 
oscilações ocorrem sempre na frequência angular 
)(sen tm ωεε = ω
oscilações ocorrem sempre na frequência angular 
propulsora.
Mostramos aqui a solução para a corrente:
onde é a amplitude da corrente no circuito e é a diferença de fase
entre a tensão da fonte e a corrente. Voltaremos a isso mais adiante.
ϕI
,
ε
F328 – 1S2013 13
)(sen)( ϕω −= tIti
Um resistor ligado ao gerador de fem alternada.
Corrente no resistor:i
Um Circuito Resistivo
)(sen)(sen tVtv RmR ωωεε ===Temos:
Corrente no resistor:Ri
Se escrevermos a corrente na forma
então temos: e .
)(sen t
R
V
R
v
i RRR ω==
)(sen ϕω −= tIi RR
V
I R= 0=ϕentão temos: e 
da corrente e da tensão no resistor é:
Portanto, a corrente e a tensão (ddp) estão
em faseno resistor. A relação entre as amplitudes
.
F328 – 1S2013 14
R
I RR = 0=ϕ
RIV RR =
Um capacitor ligado ao gerador de femalternada. 
Temos: 
)(sen tVCvCq CCC ω== e comoMas:
Um Circuito Capacitivo
)(sen)(sen tVtv CmC ωωε ==
dt
dq
i CC =)(sen tVCvCq CCC ω==
:
Então e as amplitudes da tensão e da 
e comoMas:
)
2
(sen)(cos
πωωωω +== tCVtCVi CCC
dt
iC =
Introduzindo a reatância capacitiva
C
XC ω
1=
πϕ −=
)
2
(sen)
2
(sen
πωπω +=+= tIt
X
V
i C
C
C
C
Então e as amplitudes da tensão e da 
(vemos que a corrente está adiantadade 
em relação à tensão).
corrente estão relacionadas por:
F328 – 1S2013 15
2
πϕ −=
CCC XIV =
2
π
Um indutor ligado à fonte de femalternada. 
dtt
V
di L )(sen ω=
Um Circuito Indutivo
dt
di
LtVtv LLmL === )(sen)(sen ωωε
ou ∴
Temos:
dtt
L
V
di LL )(sen ω=ou
)cos()(sent
L
V
dtt
L
V
i LLL ωω
ω∫ −==
∴
Introduzindo a reatância indutiva LXL ω= :
π
)
2
(sen)
2
(sen
πωπω −=−= tIt
X
V
i L
L
L
L
Então e as amplitudes da tensão e da 
corrente estão relacionadas por: 
(vemos que a corrente no indutor está atrasadade
em relação à tensão).
F328 – 1S2013 16
2
πϕ =
2
π
LLL XIV =
L
http://www.walter-fendt.de/ph14br/accircuit_br.htm
Simulações dos três circuitos simples
http://www.walter-fendt.de/ph14br/accircuit_br.htm
(Simulação dos três circuitos simples)
F328 – 1S2013 17
A femaplicada é:
A corrente transiente é nula; a corrente 
permanenteé dada por: 
O Circuito RLCSérie
)(sen tm ωεε =
)(sen)( ϕω −= tIti
Objetivo: determinar I e em função 
das grandezas R, L, C, e .mε ω
ϕ
A corrente i tem o mesmo valor em todos os 
elementos e é representada por um único fasor
(vetor girante) no diagrama. Para qualquer t :
CL VV >
)(sen)(
CLR vvv ++=ε
Segue que: 
ou
:
F328 – 1S2013 18
Do diagrama, supondo que
CLRm VVV
rrrr
++=ε
CLR vvv ++=ε
CL VV >
( ) ( )222 CLm IXIXIR −+=ε
( )222 CLRm VVV −+=ε
Daí achamos o valor de I :
,O Circuito RLCSérie
,
)
1
( 22
Z
LR
I mm
ε
ω
ε =
−+
=
)
1
( 22
Z
C
LR
ω
ω −+
onde é a impedânciado
ω
22 )
1
(
C
LRZ
ω
ω −+=
Também a constante de fase pode ϕ
circuito para a frequência de excitação.
F328 – 1S2013 19
R
C
L
R
XX
V
VV
tg CL
R
CL ω
ω
ϕ
1−
=−=−=
ser encontrada do diagrama dos fasores:
Circuito RLC série
Corrente: I m
ε=Corrente:
22 )
1
(
C
LR
I
ω
ω −+
=
22 )
1
(
C
LR
I
Z m
ω
ωε −+==Impedância:
R
C
L
R
XX
V
VV
tg CL
R
CL ω
ω
ϕ
1−
=−=−=Constante de fase:
Ressonância
Como maximizar a amplitude I da corrente?
Minimizando a impedância Zpara facilitar a passagem da corrente
A amplitude I da corrente é máxima(condição de ressonância)
quando ou 
isto é, quando a frequência propulsora
C
L
ω
ω 1= 0
1 ωω ==
LC
22 )
1
(
C
LRZ
ω
ω −+=
isto é, quando a frequência propulsora
coincide com a frequência angular 
naturaldo circuito: 
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/RLC.htm
0ωω =
Impedância e ângulos de fase para várias 
combinações de componentes em série no circuito
TABELA:
Impedâncias e ângulos de fase
FaseϕImpedância ZComponente
Negativa, entre -90º e 0o
Positiva, entre 0º e 90º 
Negativa, entre -90º e 0o
Positiva, entre 0o e 90o
Negativa, se XC >XL
Positiva, se XC < XL
F328 – 1S2013 22
)(sen)(sen ϕωωεε −== tItiP m• Potência instantânea: 
ϕωωεϕωε senttItI mm )cos()(sencos)(sen
2 −=
Potência em Circuitos CA
• Potência médianum ciclo (de período T ): 
ϕεωϕε cos
2
1
)(sen
1
cos
0
2 Idtt
T
IP m
T
mmed ∫ ==
m
rms
εε = II =
• Valores rms: valores constantes dando a mesma potência que a 
média no tempo de i(t):
2
m
rmsε =
2
I
I rms =
média no tempo de i(t):
ϕε cosrmsrmsmed IP =
F328 – 1S2013 23
Então:
Para a máxima transferência de potência: (ou ). 
Nestas condições, , que é a condição de ressonância.
1cos =ϕ
C
L
ω
ω 1=
0=ϕ
)(sen222 ϕω −== tRIRiP• Potência instantânea:
Potência em Circuitos CA (resistor)
Potência dissipada somente no resistor:
2cos rmsrmsrmsrmsrmsmed RIZ
R
IIP === εϕε 




 =
Z
Rϕcospois
)(sen ϕω −== tRIRiP
• Potência médianum ciclo (de período T ): 
• Potência instantânea:
• Fator de potência( ):ϕcos
• = 1: circuito resistivo (transferência máxima 
de potência ressonância)
• = 0: circuito indutivo ou capacitivo (não há 
transferência de potência)
F328 – 1S2013 24
ϕcos
ϕcos
Transformadores
Geração (La Grande-2)
Tensão baixa (110 V)
para segurança
Transmissão (1000 km)
para segurança
Tensão alta (735 kV)
para minimizar perdas
Québec
Consumo (Montréal)
Tensão baixa (110 V)
para segurança
Sistema de distribuição Requer mudança de tensão
A taxa média de dissipação numa carga resistiva é: rmsrms IVP =
Por razões de segurança, tanto na estação geradora quanto na 
extremidade receptora, é conveniente lidar com baixas voltagens. Já 
Transformadores
na transmissão, é conveniente lidar com baixas correntes ( para 
minimizar perdas ôhmicas).
Solução? 
Transformador : um dispositivo usado para aumentar ou 
diminuir a ddpem um cicuito CA, de modo a manter constante o 
produto V x I .
F328 – 1S2013 26
Primário Secundário
Transformador ideal
a) Saberta: O enrolamento primário é um indutor puro; como 
, não há transferência de potência do gerador para o0cos =ϕ
Transformadores
, não há transferência de potência do gerador para o
transformador. O fluxo atravessa os dois enrolamentos e a fem 
induzida por espiraé a mesma nos dois:
Controlando-se e , pode-se elevar ou baixar a tensão do 
secundário.
SN PN
(relação entre as tensões)
Bφ
0cos =ϕ
P
P
S
S VN
N
V =
S
S
P
PB
esp N
V
N
V
dt
d === φε
secundário.
primário secundário
F328 – 1S2013 27
b) Fechando-seS, há transferência de potência do gerador para a carga 
(representada aqui apenas por uma carga resistiva R). Para um transformador 
ideal com carga resistiva o fator de potência é igual a 1; a taxa com que o 
gerador fornece energia ao enrolamento primário é V I e, analogamente, a 
Transformadores
gerador fornece energia ao enrolamento primário é VPIP e, analogamente, a 
energia é transferida do enrolamento primário ao secundário com taxa VSIS. 
Por conservação de energia:
SSPP VIVI =
que é a relação de transformação de correntes.
Finalmente, lembrando que ,
R
V
I SS = vem:
P
S
P
S
P
PS IN
N
V
V
II ==
Finalmente, lembrando que 
RS
o que mostra que, do ponto de vista do primário, 
a resistência equivalente da carga não é R e sim R
N
N
R
S
P
eq
2






=
Primário Secundário
F328 – 1S2013 28
R
N
N
V
R
V
N
N
N
N
R
V
N
N
II
S
P
PP
P
S
P
SS
P
S
SP 22
2






====
Exemplo 2
Num circuito RLCsérie, R = 200 Ω, C = 15 µF, L = 230 mH, f = 60 Hz e εm = 36 V.
( ) ( ) Ω≅−+=−+= 2191777,86200)( 2222 CL XXRZ
a) Determine a impedância do circuito
Ω===
Ω===
177
2
11
7,862
fCC
X
LfLX
C
L
πω
πω
CL
rad42,0tgarc;A164,0 −≅−===
R
XX
Z
I CLm ϕε
91,0)42,0(coscos ≅−=ϕ 91,0
219
200
cos ≅==
Z
Rϕ
b) Determine a amplitude e a fase da corrente
c) Calcule o fator de potência
ou
d) Determine a potência média dissipada no resistor
Ω=== 177
2 fCC
XC πω
( ) W69,2200x116,0 22 ≅== RIP rmsmed
Como XC > XL (ϕ < 0) o circuito é predominantemente capacitivo.
d) Determine a potência média dissipada no resistor
e) O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo ?
ou W69,291,0x116,0x5,25cos ≅== ϕε rmsrmsmed IP
Resumo
Amortecimento RZR =
ω′
Fornecimento
LXL ω=
C
XC ω
1=
0ω
ω′
ω
Oscilações eletromagnéticas
(movimento harmônico simples)
LXL ω=
Ressonância:
F328 – 1S2013 30
0ωω =
Lista de exercícios do Capítulo 31
Os exercícios sobre Oscilações Eletromagnéticas estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br ).
Consultar: Graduação ���� Disciplinas ���� F 328-Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures(Prof. Roversi)
ouou
UnivespTV e Youtube(Prof. Luiz Marco Brescansin)
F328 – 1S20123 31