Sebenta_de_ALGA_2021

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INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
Elaborado por Marta Macufa com participação de Alberto Daniel, Mário Getimane & Ribas Guambe 1 
 
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEBENTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maputo, 2021 
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
Elaborado por Marta Macufa com participação de Alberto Daniel, Mário Getimane & Ribas Guambe 2 
Índice 
 
1. Números Complexos ........................................................................................................... 5 
1.1 Sumário da licção .......................................................................................................... 5 
1.2 Objectivos da licção: ..................................................................................................... 5 
1.3 Introdução ..................................................................................................................... 5 
1.4 Definição de números complexos ................................................................................. 5 
1.5 Representação de números complexos no plano complexo .......................................... 6 
1.6 Operações de números complexos ................................................................................ 6 
1.7 Forma trigonométrica de números complexos .............................................................. 7 
1.8 Operações com números complexos na forma trigonométrica ................................... 8 
1.9 Exercícios Propostos ..................................................................................................... 9 
2. Matrizes .............................................................................................................................. 12 
2.1 Sumário da licção ........................................................................................................ 12 
2.2 Objectivos da licção: ................................................................................................... 12 
2.3 Definição de matrizes .................................................................................................. 12 
2.4 Tipo de Matrizes.......................................................................................................... 12 
2.5 Igualdade de matrizes .................................................................................................. 14 
2.6 Operações com matrizes .............................................................................................. 14 
2.7 Operações Elementares Sobre as Linhas de uma Matriz ............................................ 17 
2.8 Determinante de uma Matriz ....................................................................................... 20 
2.8.1 Regra de Sarrus ................................................................................................... 21 
2.8.2 Regra de Laplace ................................................................................................. 22 
2.9 Matriz Inversa ............................................................................................................. 23 
2.9.1 Método de Gauss - Jordan ................................................................................... 24 
2.9.2 Método da Adjunta .............................................................................................. 26 
2.10 Exercícios Propostos ................................................................................................... 27 
3. Sistema de Equações Lineares ......................................................................................... 31 
3.1 Sumário da licção ........................................................................................................ 31 
3.2 Objectivos da licção .................................................................................................... 31 
3.3 Equação Linear ............................................................................................................ 31 
3.4 Sistemas de equações lineares ..................................................................................... 32 
3.5 Forma matricial ........................................................................................................... 33 
3.6 Sistema de equações lineares ............................................................................ 33 
3.7 Estudo das soluções de sistema de equações lineares ............................................... 34 
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3.6 Exercícios Propostos ................................................................................................... 44 
4. Cálculo Vectorial ............................................................................................................... 48 
4.1 Sumário da licção ........................................................................................................ 48 
4.2 Objectivos da licção .................................................................................................... 48 
4.3 Actividades de aprendizagem ...................................................................................... 48 
4.4 Noção de vector ........................................................................................................... 48 
4.5 Operações sobre vectores ............................................................................................ 50 
4.6 Produto interno (produto escalar) ................................................................................ 50 
4.7 Produto externo (produto vectorial) ........................................................................... 53 
4.8 Produto misto .............................................................................................................. 55 
4.9 Exercícios Propostos ................................................................................................... 56 
4.10 Espaços vectoriais R2 e de R3 ...................................................................................... 57 
4.10.1 Combinações lineares – subespaços gerados ...................................................... 58 
4.10.2 Dependência Linear ............................................................................................. 59 
4.11 Exercícios Propostos ................................................................................................... 66 
5. Valores e Vectores Próprios ............................................................................................. 68 
5.1 Sumário da licção ........................................................................................................ 68 
5.2 Objectivos da licção .................................................................................................... 68 
5.3 Actividades de aprendizagem ...................................................................................... 68 
5.4 Transformação linear ................................................................................................... 68 
5.5 Valores e vectores próprios ......................................................................................... 70 
5.6 Exercícios Propostos ................................................................................................... 76 
6. Rectas e Planos no Espaço ................................................................................................ 79 
6.1 Sumário da licção: ....................................................................................................... 79 
6.2 Objectivos da licção .................................................................................................... 79 
6.3 Actividades de aprendizagem ......................................................................................79 
6.4 Rectas no espaço ......................................................................................................... 79 
6.5 Ângulo entre duas Rectas ............................................................................................ 81 
6.6 Planos no Espaço ......................................................................................................... 81 
6.7 Exercícios Propostos ................................................................................................... 83 
7. Linhas de Segunda Ordem ............................................................................................... 86 
7.1 Sumário da licção ........................................................................................................ 86 
7.2 Objectivos da licção .................................................................................................... 86 
7.3 Atividades de aprendizagem ....................................................................................... 86 
7.4 Equação geral de uma linha de segunda ordem .......................................................... 86 
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7.5 Elipse ........................................................................................................................... 86 
7.6 Hipérbole ..................................................................................................................... 88 
7.7 Parábola ....................................................................................................................... 90 
7.8 Exercícios Propostos ................................................................................................... 92 
8. Superfícies de Segunda Ordem ........................................................................................ 97 
8.1 Sumário da licção ........................................................................................................ 97 
8.2 Objectivos da licção .................................................................................................... 97 
8.3 Actividades de aprendizagem ...................................................................................... 97 
8.4 Superfícies de segunda ordem ..................................................................................... 97 
8.5 Elipsóide ...................................................................................................................... 98 
8.6 Parabolóide Elíptico .................................................................................................... 99 
8.7 Hiperbolóide de uma folha .......................................................................................... 99 
8.8 Hiperbolóide de duas folhas ...................................................................................... 100 
8.9 Sela (Parabolóide Hiperbólico) ................................................................................. 100 
8.10 Cones ......................................................................................................................... 101 
8.11 Exercícios Propostos ................................................................................................. 101 
9. Referências Bibliográficas .............................................................................................. 103 
 
 
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1. Números Complexos 
1.1 Sumário da licção 
 Operações com números complexos 
 Plano complexo. 
 Forma trigonométrica de um número complexo 
 Potenciação e radiciação 
 
1.2 Objectivos da licção: 
No fim da aula o aluno deve ser capaz de: 
 Definir e conhecer básicos de números complexos 
 Realizar operações com números complexos na forma algébricas 
 Escrever o número complexo na forma trigonométrica 
 Efectuar operações com números complexos na forma trigonométrica 
1.3 Introdução 
Nesta unidade temática vamos introduzir o estudo de números complexos. Ao resolver 
uma equação algébrica é fundamental indicar o conjunto solução ao qual deve pertencer 
as soluções, por exemplo: dada a equação , encontre a solução em , então 
 
 
 
, então o conjunto solução é: , 
 
 
- 
Mas se nos pedissem para encontrar a solução no conjunto dos números naturais, a 
resposta seria: 
O conjunto solução é vazio porque 
 
 
 não pertence ao conjunto dos números naturais. 
E, para resolver a equação , temos . Sabemos que não existe 
número real cujo seu quadrado é negativo, logo a equação não tem solução 
em . No entanto, de acordo com alguns estudos convencionou-se o seguinte: 
 √ , em que, o número , é chamado de imaginário puro que é a unidade 
imaginária e com este número realizamos todas as operações. 
 
1.4 Definição de números complexos 
Chama-se número complexo ao número da forma , onde e são números 
reais, o número real é a parte real e o número real é a parte imaginária do número 
complexo denotados por e , respectivamente e é a unidade imaginária. 
 Exemplos 1.1: 
 , em que 2 é a parte real e 3 á a parte imaginária do número complexo. 
 , em que 5 é a parte real e – 7 é a parte imaginária do número complexo. 
 , em que 8 é a parte real e 0 é a parte imaginária do número complexo. 
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 , em que 0 é a parte real e – 3 é a parte imaginária do número complexo e é 
chamado de imaginário puro. 
Notação: O conjunto dos números complexos é denotado pela letra C. Todo número 
real pode ser escrito da forma . Logo assumimos que os números reais 
estão contidos no conjunto dos números complexos. 
 
1.5 Representação de números complexos no plano complexo 
 
onde 
22 ba  
zarg 



















0,0,
2
0,0,
2
0,0,
0,0,
0,
arg
ba
ba
baarctg
baarctg
aarctg
z
a
b
a
b
a
b




 
 
 
1.6 Operações de números complexos 
a) Igualdade de números complexos: 
Dois números e são iguais se e 
b) Oposto de um número complexo: 
O oposto de um número complexo é o número complexo denotado 
por , isto é: 
 
Exemplo 1.2: o oposto de um número complexo é o número complexo 
 
c) Conjugado de um número complexo: 
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O conjugado de um número complexo é o número complexo denotado por 
 ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, isto é: 
 ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
Exemplo 1.3: O conjugado de é o número complexo ̅ e o 
conjugado do número complexo é o número complexo ̅ . 
d) Adição de números complexos 
Dados números complexos e , então: 
 
Exemplo 1.4: 
Considere: e 
 
 
e) Subtracção de números complexos 
 
Exemplo 1.5: 
Considere: e 
 ( ) 
f) Multiplicação de números complexos 
 
Exemplo 1.6: 
 ( ) ( ) 
 
g) Divisão de números complexos 
Para determinar o quociente do número complexo de e , 
 
 
, multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado denominador, .1.7 Forma trigonométrica de números complexos 
Conhecendo o módulo e o argumento de um número complexo , facilmente 
podemos escrever o número na forma trigonométrica da seguinte forma: 
 
onde, | | √ em que 
Exemplo 1.7: 
 | | √ √ 
 , então 
 
 
 
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Logo a forma trigonométrica do número complexo é dada poi: 
 √ (
 
 
) √ (
 
 
) 
 
 
1.8 Operações com números complexos na forma trigonométrica 
 a) Multiplicação 
Sejam e 
então: 
 [ 
 ] 
 
Exemplo 1.8: 
Sejam ( ( 
 
 
) ( 
 
 
)) e ( (
 
 
) (
 
 
)) 
Encontre 
Resolução 
 ( ( ( 
 
 
) ( 
 
 
)) ( (
 
 
) (
 
 
))) 
 ( (
 
 
) (
 
 
)) 
b) Divisão 
Sejam e 
Temos então: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.9: 
Dados os números ( 
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
), encontre 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
( (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
)) ( 
 
 
 
 
 
) 
c) Potenciação 
Seja um número complexo. 
A potência de índice é dado por: 
 | | 
Dado 
 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
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 √ ( 
 
 
 
 
 
) 
d) Radiciação 
Seja um número complexo e. 
Raiz de índice de é qualquer número complexo tal que: e pode 
escrever-se 
 √ 
 
 
Escrevendo | | , temos 
 √| |
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 
Se , √| |
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
Se √| |
 
 ( 
 
 
 
 
 
) … 
Exemplo 1.10: encontre a raiz de índice 4 de 
Resolução 
Sendo | | √ e 
 
 
 
 √| |
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 
Para , √| |
 
 (( 
 
 
 
 
 
 )) 
para 
 √| |
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) √| |
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
Exercício calcule para e . 
 
 
1.9 Exercícios Propostos 
 
1. Usando a unidade imaginaria , escrever os seguintes números: 
a) √ b) √ c) 
 
 
 √ d) √ 
2. Determine de modo que o número seja: 
a) Imaginário puro. b) Real 
3. Resolva as seguintes equações: 
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Se e , calcule: 
a) b) c) d) 
 
 
 
5. Determine os valores de e para que o número seja raíz da equação 
 , . 
6. Determine o número complexo , de modo que ̅ . 
7. Seja , determine: 
a) b) | | 
8. Determine para que 
 
 
 seja: 
a) Real puro. 
b) Imaginário puro. 
9. Calcule o valor das seguintes somas: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
10. 
11. Sabendo que a soma é nula e que , determine 
o menor valor possível de . 
12. Calcular: 
a) b) c) d) f) 
13. Calcule o valor de 
 
 
 e coloque o resultado na forma . 
14. Obtenha o complexo de modo que . 
15. Obtenha o complexo de modo que 
16. Escreve os seguintes números na forma trigonométrica: 
a) 
b) √ 
c) √ 
d) √ 
e) 
f) 
17. Resolver em as equações: 
a) b) c) 
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18. Dados os seguintes complexos e 
 , calcule: 
a) b) 
 
 
 
19. Encontre as raízes quadradas de √ . 
20. Escreve as expressões abaixo na forma 
a) 
b) 
 
 
 
c) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
d) 
 
 
 
21. Escreve a forma algébrica do complexo , sabendo-se que | | e 
 
 
 
22. Dados complexos na forma trigonométrica, coloca-os na forma algébrica 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) √ 
 
 
 
 
 
 
23. Encontre o número complexo na forma algébrica que tenha: 
a) Módulo 2 e argumento 
b) Módulo 10 e argumento 
 
 
 
24. Represente, no plano de Argand-Gauss, os seguintes números complexos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
25. Determine o argumento e faça a representação gráfica de: 
 
√ 
 
 
 
 
 b) √ √ c) 
d) √ e) 
 
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2. Matrizes 
2.1 Sumário da licção 
 Definição e conceitos de matrizes 
 Operações com matrizes 
 Cálculo da matriz inversa: Método de Jordan e Adjunta 
 Calcular determinantes 
 Característica de uma matriz 
2.2 Objectivos da licção: 
No fim da unidade o aluno será capaz de: 
 Definir e reconhecer diferentes tipos de matrizes 
 Efectuar operações com matrizes na forma algébrica e na forma 
trigonométrica 
 Determinar a inversa pelos métodos da Adjunta e Jordan 
 Efectuar operações elementares sobre as linhas de uma matriz 
 Encontrar matrizes equivalentes 
 Escrever matriz na forma escalonada 
 
2.3 Definição de matrizes 
Definição 2.1 (matriz): Uma matriz A é uma tabela rectangular de escalares de mn 
números reais distribuídos por m linhas horizontais e n colunas verticais: 
 *
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
Exemplo 2.1: 
 *
 
 
+ é uma matriz , as suas linhas são e e as 
suas colunas são (
 
 
), (
 
 
) e (
 
 
).Tipos especiais de matrizes 
 
2.4 Tipo de Matrizes 
1) Matriz rectangular 
Uma matriz na qual é denominada matriz rectangular. 
 
2) Matriz Coluna 
A matriz de ordem por é ma matriz-coluna. 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
3) Matriz linha 
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A matriz de ordem por é uma matriz linha. 
[ ] 
 
4) Matriz quadrada 
Quando o número de linhas é igual ao número de colunas, tem-se uma 
matriz quadrada. 
 
A=*
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
Nota: A matriz quadrada de ordem por é simplesmente designada por matriz de 
ordem . 
5) Matriz Diagonal 
Matriz diagonal é uma matriz quadrada em que os elementos que não estão 
na diagonal principal são iguais a zeros, isto é, para . 
A=*
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
6) Matriz Escalar 
Uma matriz escalar é a matriz diagonal, tal que os elementos são todos 
iguais. 
Exemplo 2.2: A [
 
 
 
] 
 
7) Matriz Identidade 
Uma matriz identidade é uma matriz diagonal, cujos elementos são todos 
iguaisa 1. 
A [
 
 
 
] 
 
8) Matriz Nula ou Matriz Zero 
Uma matriz é dito ser nula se todas entradas são zeros. 
 *
 
 
+ 
 
9) Matriz simétrica 
Uma matriz quadrada de ordem n é dito ser simétrica se . 
Exemplo 2.3: 
 [
 
 
 
] 
10) Matrizes especiais 
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a) Matriz triangular superior 
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos, isto é, e , para 
 [
 
 
 
] 
b) Matriz triangular inferior 
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal 
principal são nulos, isto é, e para 
 [
 
 
 
] 
 
2.5 Igualdade de matrizes 
Duas matrizes [ ] e [ ] são iguais se os elementos 
correspondentes são iguais, isto é: . 
 
2.6 Operações com matrizes 
Sejam [ ] e [ ] duas matrizes de tamanho . 
 
1) Soma de Matrizes: 
A soma de A e B denotada por é a soma obtida pela soma dos 
elementos correspondentes de e , ou seja: 
 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 Exemplo 2.4: Dadas [
 
 
 
] e [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
]=[
 
 
 
] 
 
2) Multiplicação de Uma Matriz Por Escalar 
A multiplicação matriz por um escalar k, denotando por , é obtida 
pelo produto de cada elemento de por . 
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 *
 
 
 
 
 
 
 
 
+= [
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
Exemplo 2.5: 
Seja [
 
 
 
] e um escalar, encontre 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Notação de Somatório: 
Para definir a multiplicação de matrizes convém introduzir o símbolo de somatório, 
denotada por letra grega maiúscula sigma. 
Supõe que seja uma expressão algébrica a uma variável . Então a expressão 
∑ , Significa: 
 Tomando em , obtem-se 
 Tomando em , obtém-se 
 Tomando em obtém-se 
Exemplo 2.6: 
a) ∑ 
 
 
 
b) ∑ 
 
c) ∑ 
 
 
 
 
 
 
3) Multiplicação de Matrizes 
Só podemos efectuar o produto de duas matrizes A e B se o número de 
colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. 
Assim, consideremos dois casos: 
1º Caso: Multiplicação de uma matriz linha por uma matriz coluna. 
Sejam [ ] e [
 
 
 
 
]. Então 
 [ ] [
 
 
 
 
] [ ] 
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2º Caso – Geral: Sejam [ ] e [ ] . O produto de por 
 é uma matriz [ ] que se obtém considerando para elemento 
o produto da linha de pela coluna de . 
Deste modo, definimos o produto de por da seguinte forma: 
 [ ] 
onde ∑ 
 
 . 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
Exemplo 2.7: 
Sejam as matrizes *
 
 
+ e *
 
 
+, encontre . 
Como A é de ordem e B é de ordem , então AB é da ordem . 
 *
 
 
+ *
 
 
+ 
Exemplo 2.8: Sejam [
 
 
 
] e [
 
 
 
], calcule e . 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Nota: 
 Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, . 
 O produto , sem que ou . 
 
Propriedades (multiplicação de matrizes). Desde que sejam possíveis as operações, 
as seguintes propriedades são válidas: 
P1. A multiplicação de matrizes não é comutativa: 
P2. A multiplicação de matrizes é associativa: 
P3. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação a adição: 
 Distributividade a esquerda: 
 Distributividade a direita: 
P4. Multiplicação de um escalar por uma matriz: 
P5. Multiplicação pela matriz identidade: 
P6. Multiplicação pela matriz nula: 
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P7. Transposta de produto de duas matrizes: 
 
 
2.7 Operações Elementares Sobre as Linhas de uma Matriz 
Definição 2.2 (Operações Elementares Sobre as Linhas de uma Matriz). Chamamos 
operações elementares, sobre as linhas de uma matriz a operações de forma: 
1. Trocar de linhas: (linha i troca com linha j); 
2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: ; 
3. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: . 
 
Definição 2.3 (Matrizes Equivalentes). Uma matriz é equivalente a se pode ser 
obtida por meio de uma sequência finita de operações elementares. Denotamos . 
 
Definição 2.4 (Matriz Escalonada). Uma matriz escalonada é uma matriz triangular 
superior que obedece o seguinte: 
1. Se há linhas nulas elas são as últimas; 
2. O primeiro elemento não nulo de cada linha (com excepção da primeira) situa-se 
a direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior. 
3. Os elementares que se situam por baixo do primeiro elemento não nulo de cada 
linha (com excepção da última) são todos nulos. 
 
Exemplos 2.10: 
a) A matriz [
 
 
 
] não é escalonada pois não satisfaz a 1ª condição. 
b) A matriz [
 
 
 
] não é escalonada pois a 2ª condição não é satisfeita. 
c) A matriz [
 
 
 
] não é escalonada pois não satisfaz a 2ª e a 4ª condições. 
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Elaborado por Marta Macufa com participação de Alberto Daniel, Mário Getimane & Ribas Guambe 18 
Exemplo: Alguns exemplos de matrizes escalonadas 
a) *
 
 
+ 
b) [
 
 
 
] 
c) [
 
 
 
]
Definição 2.5 (Pivôs). Chama-se pivôs aso primeiros elementos não nulos de cada linha de 
uma matriz escalonada. 
Exemplo: 
a) A matriz [
 
 
 
] tem como pivôs os números 1; 2 e 3. 
b) A matriz [
 
 
 
] tem como pivôs os números 1 e 7. 
c) A matriz [
 
 
 
 
] tem como pivôs os números 2 e 4. 
Definição 2.6 (Característica de uma matriz). A característica ou posto de uma matriz A é 
o número de pivôs (ou de linhas não nulas) de uma qualquer matriz escalonada obtida de A 
por aplicação sucessiva de um número finito de operações elementares sobre as linhas da 
matriz A. Denota-se por Car(A) ou r(A). 
 
Algoritmo de Eliminação de Gauss 
Para produzir uma matriz escalonada usamos o seguinte algoritmo: 
Passo 1: Se a matriz tiver todos os elementos nulos, pare. A matriz já está na forma de 
escada; 
Passo 2: Caso contrário, encontre a primeira coluna, vinda da esquerda, que contém 
um elemento não nulo . Mova a linha que contém esse elemento para o topo da 
matriz; 
Passo 3: Multiplicar por 
 
 
 a linha no topo. Obtém-se assim um pivô; (este passo pode 
se omitido e apenas ser feito no fim) 
Passo 4: Anula-se cada elemento abaixo do pivô adicionando as linhas às linhas 
abaixo múltiplo adequados da linha no topo; 
Isto completa o processo no que diz respeito à primeira linha. No que se segue 
esqueça a linha no topo e useas restantes. 
Passo 5: Repita os passos 1 a 4 para a matriz formada pelas restantes linhas: 
 
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Exemplo 2.11: Transforme as matrizes abaixo em matrizes escalonadas 
a) [
 
 
 
] 
b) [
 
 
 
] 
c) [
 
 
 
 
] 
Resolução: Aplicando o algoritmo de Gauss, tem-se: 
a) [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Logo, Car(A)=3 pois a matriz escalonada tem 3 linhas nulas. 
b) [
 
 
 
]
 
 
[
 
 
 
] 
 
 
 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Logo, Car(B)=3 pois a matriz escalonada tem 3 linhas não nulas. 
c) [
 
 
 
 
] 
 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
[
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
] 
 [
 
 
 
 
] 
Desta forma tem-se Car(B)=3 pois a matriz escalonada tem 3 linhas não nulas. 
Definição 2.7 (Matriz na Forma Escalonada Reduzida). Dizemos que uma matriz está na 
forma escalonada reduzida, se o único elemento não nulo de cada coluna, é o pivô e é igual a 
unidade (1). 
 
Algoritmo de Eliminação de Gauss – Jordan 
Este algoritmo serve para produzir uma matriz escalonada reduzida: 
1ª Fase: Algoritmo de Gauss até produzir uma matriz na forma escalonada; 
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2ª Fase: Aplicar o algoritmo de Gauss de baixo para cima por forma a anular todos os 
elementos da matriz situados acima (e na mesma coluna) dos pivôs. Para isso, bastará 
começar na última linha não nula e, de baixo para cima adicionar a cada linha 
múltiplos adequados das linhas inferiores. 
Exemplo 2.12: Encontre as formas escalonadas reduzidas das matrizes dadas no exemplo 
2.11. 
Resolução: A primeira fase do algoritmo de Gauss-Jordan já foi feita no exemplo anterior, 
vamos aproveitar estes resultados para executar a segunda fase. Assim, temos: 
a) [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 
 [
 
 
 
]
 
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] 
 
 
 [
 
 
 
] 
b) [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 
 [
 
 
 
] 
 
 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
c) [
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
]
 
 
[
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
] 
 
 
[
 
 
 
 
] 
 
2.8 Determinante de uma Matriz 
Definição 2.8 (Determinante). Chama-se determinante de uma matriz quadrada a soma 
algébrica dos produtos que se obtém efectuando todas as permutações dos segundos índices 
do termo principal, fixando os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal 
 ou , conforme a permutação dos segundos índices seja da classe par ou impar. 
 Matriz de ordem 1: [ ] . 
 Matriz de ordem 2: *
 
 
+ . 
Exemplos 2.13: 
a) [ ] 
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b) *
 
 
+ 
 
2.8.1 Regra de Sarrus 
O Determinante de uma matriz de terceira ordem pode ser calculado utilizado a Regra de 
Sarrus que consistem em: 
1º Passo: Repetir ao lado da matriz as duas primeiras colunas. 
2º Passo: Multiplicamos os elementos da diagonal principal de . Seguindo a 
direcção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das 
outras diagonais paralelas à diagonal principal. Observe que todas as diagonais devem 
ter 3 elementos (tamanho da matriz). 
3º Passo: Multiplicamos os elementos da diagonal secundário de , trocando o sinal 
do produto obtido. Seguindo a direcção da diagonal secundária, multiplicamos, 
separadamente, os elementos das outras diagonais paralelas à diagonal secundária, 
também trocando o sinal dos produtos. 
4º Passo: Somamos todos os resultados obtidos. 
 
 
|
 
 
 
| |
 
 
 
| 
 
 
Exemplo 2.14: Aplicando a regra de Sarrus, calcule o determinante de [
 
 
 
]. 
Resolução: 
 
|
 
 
 
| |
 
 
 
| 
 [ 
 
 
 
Nota: A Regra de Sarrus só é aplicável nas matrizes de ordem 3. 
 
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2.8.2 Regra de Laplace 
Teorema 2.1 (Expansão de Laplace): Seja dada uma matriz [ ] de ordem 
superior ( . O determinante da matriz [ ] define-se recursivamente por 
 ∑ 
 
 
 
onde é uma matriz de A obtida eliminando-se a linha e a coluna 
 
Na expansão de Laplace para o cálculo do determinante de , não é obrigatório fazermos 
o somatório ao longo da primeira linha de , podemos ir ao longo de qualquer linha ou 
qualquer coluna de , de preferência aquela que tiver mais zeros. Assim, 
 
 Fixando a -ésima linha: 
 ∑ 
 
 
 
 Fixando a j-ésima coluna: 
 ∑ 
 
 
 
 
Exemplo 2.15: Aplicando a Regra de Laplace, calcule os determinantes das seguintes matrizes: 
a) [
 
 
 
] 
b) [
 
 
 
 
] 
Resolução: 
a) Usando a expansão de Laplace obtemos: 
 
|
 
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 
 
 
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b) Pela expansão de Laplace, vamos calcular os determinantes das submatrizes: 
 |
 
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 
 |
 
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 
 |
 
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 ; 
 |
 
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 . 
Portanto, o determinante da matriz será dado por: 
 
 
 
 
 
2.9 Matriz Inversa 
Definição 2.9 (Matriz invertível, Inversa). Uma matriz quadrada , de ordem , é 
invertível se existe uma matriz quadrada , de ordem , tal que 
 
A matriz chamamos inversa de . 
 
Exemplo 2.16: 
Seja *
 
 
+. Esta matriz é invertível pois existe *
 
 
+ tal que 
 . De facto, temos 
 *
 
 
+ *
 
 
+ *
 
 
+ *
 
 
+ 
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 *
 
 
+ *
 
 
+ *
 
 
+ *
 
 
+. 
 
Proposição (Unicidade da Inversa). A inversa de uma matriz, se existir, é única. 
Notação: A inversa de uma matriz A denota-se por 
Propriedades. No que se segue considere as matrizes envolvidas todas quadradas. 
(i) A matriz identidade é invertível e 
(ii)Se é invertível então também é invertível e 
(iii) Se e são invertíveis, então é invertível e 
(iv) Se é invertível então também é invertível e 
(v) Se é invertível e então também é invertível e 
 
 
 
 
2.9.1 Método de Gauss - Jordan 
Para determinar a matriz inversa de uma matriz utlizando o método de Gauss, 
reduz-se a matriz a uma matriz identidade e a matriz , identidade transforma-se na 
matriz na matriz inversa, utilizando operações elementares do seguinte modo: 
Dada uma matriz quadrada de dimensão n: 
Passo 1: Formar a matriz aumentada [ | ] 
Passo 2: Aplicando a [ | ] o algorítmo de Gauss – Jordan, reduzir a matriz A à 
matriz identidade, lembando que cada operação deve ser efectuada 
simultaneamente na parte direita (que corresponde a ). Se nesta fase aparecer 
uma linha só com elementos nulos, paramos pois significa que A não admite 
inversa. 
Passo 3: Concluída a fase anterior obtemos [ | ]: 
(i) Se então é invertível e 
 
(ii) Se então não admite inversa. 
Exemplo 2.17: Calcule a inversa da matriz [
 
 
 
]. 
Resolução: Considerando a matriz aumentada [ | ] e consequente método de Gauss – 
Jordan, obtemos: 
[
 
 
 
|
 
 
 
]
 
 
[
 
 
 
|
 
 
 
]
 
 
 
 [
 
 
 
|
 
 
 
]
 
 
[
 
 
 
|
 
 
 
] 
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Logo, [
 
 
 
]. 
Exemplo 2.18: Determine, se possível, a inversa da matriz [
 
 
 
]. 
Resolução: Montando a matriz aumentada [ | ] e consequente eliminação de Gauss-
Jordan: 
[
 
 
 
|
 
 
 
] [
 
 
 
|
 
 
 
] 
 [
 
 
 
|
 
 
 
]
 
 
[
 
 
 
|
 
 
 
 ]
 
 
 
 [
 
 
 
|
 
 
 
]
 ⁄ 
 ⁄ 
 ⁄ 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
Portanto, a matriz admite inversa e 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
. 
Exemplo 2.20: Encontre a matriz inversa de [
 
 
 
]. 
[ | ] [
 
 
 
 
 
 
] *
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 *
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ [
 
 
 
 
 
 
]. 
Logo, a matriz é invertível e [
 
 
 
]. 
 
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2.9.2 Método da Adjunta 
Definição 2.10 (Cofactor). Chama-se cofactor do elemento da matriz ⟦ ⟧ , o 
número real 
 
 ( ) 
onde é uma matriz obtida de eliminando-se a linha e coluna . 
 
Definição 2.11 (Matriz Adjunta). Seja uma matriz . Definimos a matriz 
adjunta de A, denotada por , como a trasposta da matriz formada pelos 
cofatores de , ou seja, 
 [
 
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
 
] 
em que 
 ( ) é o cofator do elemento , para 
 
Teorema 2.2 (Cálculo da Matriz Inversa pelo Método da Matriz Adjunta). Uma 
matriz quadrada é invertível se, e somente se . Neste caso: 
 
 
 
 
Este resultado nos fornece um novo método de calcular a inversa de uma matriz. 
 
Nota: Uma matriz possui inversa se o seu determinante for diferente de zero. 
 
Exemplo 2.21: Determinemos a inversa da matriz *
 
 
+. 
Resolução: Tem-se ( ) e, portanto, existe a inversa 
de A. Calculemos sua inversa pela matriz adjunta. 
 [
 
 
]
 
 *
 
 
+
 
 *
 
 
+. 
Então 
 
 
 
 
 
 
 *
 
 
+ [
 
 
 
 
 
] 
 
Exemplo 2.22: Se possível, encontre a inversa da matriz [
 
 
 
]. 
Resolução: Primeiro vamos calcular o determinante da matriz. Assim, 
 ( ) |
 
 
 
| |
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
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Como ( ) então existe a inversa de . Calculemos os cofatores da matriz: 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 |
 
 
| 
A matriz adjunta é a matriz transposta da matriz dos cofactores: 
 [
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
] 
Assim, a matriz inversa será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
2.10 Exercícios Propostos 
1. Seja: 
 

















07-112
3739
0540
1137
02-83
M
 
a) Qual é a ordem de ? 
b) Escreva os elementos da segunda linha. 
c) Escreva os elementos da quarta coluna. 
d) Escreva o elemento )4,3( , o elemento )4,1( , e o 
elemento )1,3( . 
 
2. a)Quantos elementos há numa matriz 11 ? 
 b) Quantos elementos há numa matriz 53 ? 
 c) Quantos elementos há numa matriz nm ? 
 d) Quantos elementos há numa matriz rr  ? 
3. Sendo as matrizes 








nmyx
nmyx
A
32
 e 







101
68
B , achar os valores de 
 para que se tenha . 
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4. Escreva a matriz cujos elementos são a soma dos elementos correspondentes das 
matrizes , onde: 











06
43
12
A e 












12
43
06
B . 
5. Sejam: 
 12
4
2
1
,
103
102
,
112
321
























 DeCBA 
Encontre: a) b) A c) B d) 
 e) f) g) h) 
6. Se é uma matriz diagonal então 
 
7. Sendo as matrizes 







112
52
A e 








152y
yxyx
B , calcule e de modo 
que tBA  . 
8. Sejam as matrizes 


















16
40
323
24
tz
yx
z
yx
A e 


















136
140
323
245
B . Se 
tt BA  , determine . 
9. Sejam as matrizes e e , de mesma ordem . Demonstre que: 
  ttt BABA  . 
10. Seja 












 






40
21
51
24
dc
ba
. Determine o valor de . 
11. Mostre que a equação 0I4x5x 2
2  é satisfeita por cada uma das seguintes 
matrizes: 
 a) 






10
01
, b) 






40
04
 , c) 








21
23
 
12. Dadas as matrizes: 











202
110
201
A , 











032
140
031
B e 











633
422
756
X . 
13. Mostre que BXAX  , embora BA  . 
14. Verifique que: 























11
11
23
32
23
32
11
11
 
15. Seja A = 








 012
2 2
x
x
. Se , então 
16. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: 
a) 
b) 
c) Se, então ou 
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d) 
17. Se , então 




 
2
23
12
________ 
18. Dadas matrizes: 








































0152
1123
2112
,
2121
1112
0141
,
134
312
231
CBA
 
 Mostre que 
19. Calcule: 
a)  









 

0213
1050
2101
232 ; b) 





















 










 
10
04
31
705
241
032
005
430
121
; 
c)






















 
10705
04241
31032
005
430
121
. 
20. Determine quais das seguintes matrizes são simétricas, explique porquê: 
a) 










45
12
21
; b) 













257
523
732
; c) 












023
202
320
; d) 










756
551
613
; e) 









 
023
221
310
 
21. Seja 











001
100
010
A . Mostre que 3
3 I5A  . 
22. Escreva a matriz 32)(  ijaA tal que jiaij 23
2  . 
23. Se é uma matriz triangular superior, qual é a transposta de ? 
24. Se é uma matriz triangular inferior, qual é a transposta de ? 
25. Determine o número bR, para que a matriz 






bb
b
A
2
23
, seja simétrica. 
26. Seja a matriz  
44xij
aA  , para a qual 








41,
0
jisejia
aa
a
ij
jiij
ii
. 
Determine e . é simétrica? 
27. Se 
 












33
2
cossen4cos
cossen2sen
=








ca
b
2
1
, determine os números . 
28. Seja a matriz A, quadrada de ordem . Demonstre que é simétrica. 
 
Determinante e Matriz Inversa 
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Elaborado por Marta Macufa com participação de Alberto Daniel, Mário Getimane & Ribas Guambe 30 
1. Dada a matriz 











264
390
158
A . Obtenha a matriz dos cofactores 
2. Dada a matriz 











315
120
312
A Calcule: a) AAdj ; b) || A ; c) 
1
A . 
3. Dada a matriz A = 









 
315
120
312
Calcule: a) b) c) 
4. Em cada caso determinar a inversa da matriz dada e verificar o resultado 
a) 





 
12
53
 b) 








25
13
 c) 





 


cos
cos
sen
sen
 d)













824
442
224
e) 










001
010
100
 f) 










100
001
010
 g) 













225
5615
113
 h)












1535
020
515
 i)










 300
0200
004
.
 
j) 










574
232
111
 l) 










100
110
011
 m) 
















1170
0132
0013
2214
 n) 














1000
0100
1010
1101
 o) 
















1000
2100
3210
7531
 p)
1 0
0 2
A
 
  
  
q) 
7 7
3 1
B
 
  
 
 r) 
1 0 0
0 0 1
0 1 0
C
 
 
  
 
 
 s) 
4 2 1
7 3 3
2 0 1
D
 
 
  
 
 
 
5. Verifique se as matrizes e são inversas, uma da outra: 











142
810
163
A é 














302
24116
47231
B . Caso não sejam, determine a inversa da matriz A. 
6. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas: 
7. Reduzir cada matriz seguinte à forma escalonada e depois à sua forma canónica por 
linhas. Calcule também o posto )(Ar de cada uma 









 































960
724
531
132
243
311
220
3213
3212
1321
CBA
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a) 













56263
32142
12121
 b) 













75654
40213
15232
 c) 

















5114
1352
35110
2131
 d) 

















4350
1200
3140
2310
 
8. Determine o posto das seguintes matrizes para os diferentes valores do parâmetro 
 . 
 a) 















3314
417101
2741
213 
A b) 


















11221
1101
1111
11121


A 
 
 
3. Sistema de Equações Lineares 
 
3.1 Sumário da licção 
 Definição conceitos básicos sobre sistemas de equações 
 Métodos de solução de sistemas de equações 
 Análise do tipo de soluções dos sistemas de equações lineares 
 Sistema na forma triangular 
 Solução do sistema linear homogéneo 
 Solução geral de um sistema linear não homogéneo 
 
3.2 Objectivos da licção 
No fim desta unidade o aluno será capaz de: 
 Conhecer diferentes tipos de soluções de sistemas de equações 
 Conhecer diferentes métodos de resolução de sistemas de equações 
 Saber resolver sistemas de equações homogéneos e não homogéneos 
 Saber escrever a solução de um sistema não homogéneo 
 Escrever a solução geral de sistema linear do não homogéneo 
 Palavras chaves: Sistema. 
 
3.3 Equação Linear 
Definição 3.1 (Equação linear). Uma equação linear com incógnitas é 
uma equação da forma 
 (3.1) 
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em que, são as variáveis e são os respectivos 
coeficientes das variáveis e é o termo independente. 
Definição 3.2 (Solução de uma equação linear). O elemento é solução 
da equação (3.1) se e somente se 
 Ou pr outra, uma solução de uma equação linear (3.1) é uma lista de valores para as 
incógnitas, , ou seja, 
que satisfazem a equação. 
Exemplo 3.1: O elemento é solução da equação porque 
 . 
 
3.4 Sistemas de equações lineares 
Definição 3.3 (Sistema de equações lineares): Um sistema de equações lineares é um 
conjunto de equações lineares com incógnitas: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3.2) 
 
onde os e os são constantes e os são incógnitas. Dizemos que o sistema 
(3.2) é um sistema e é um sistema quadrado se . 
Definição 3.4 (Solução e Conjunto solução). O elemento é solução do 
sistema (3.2) se for solução de todas as equações de (3.2). Ao conjunto de todas as 
soluções de (3.2) chamamos conjunto solução do sistema. 
Exemplo 3.2. O sistema 





0
2
yx
yx
tem como solução )1;1(  . 
Exemplo 3.3: O sistema 





022
0
yx
yx
 tem como conjunto solução  RS   :),( . 
Definição 3.5 (Sistemas Equivalentes). Dois sistemas com mesmo número de 
equações e de incógnitas são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução. 
Definição 3.6 (Classificação do sistema). Um sistema de equações lineares diz-se: 
 Incompatível se não tiver solução 
 Compatível e determinado se tiver uma única solução. 
 Compatível e indeterminado se tiver um número infinito de soluções. 
 
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3.5 Forma matricial 
Por simplicidade um sistema de equações lineares (3.2) pode ser escrito na formamatricial, da seguinte maneira: onde 
 *
 
 
 
 
 
 
 
 
+ [
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
], (3.3) 
em que, é a matriz dos coeficientes, é o vector das variáveis e é o 
vector do lado direito do sistema linear de equações, isto é, o vector dos termos 
independentes. 
Observação: Quando *
 
 
 
 
+ dizemos que o sistema é homogéneo. 
OBSERVAÇÃO: Um sistema de equações lineares é dito ser degenerado se todos os 
coeficientes das equações que o compõem são nulos e denotamos da seguinte forma: 
 
 
3.6 Sistema de equações lineares 
Considere um sistema de duas equações não degeneradas nas incógnitas e : 
 
{
 
 
 (3.4) 
 
Como as equações do sistema (3.4) são não degeneradas, então os coeficientes 
 são não nulos. 
 
A solução do sistema (3.4) pode ser classificada como um dos três tipos: 
 
1) O Sistema possui exactamente uma solução se as duas rectas das equações que 
compõem o sistema intersectam em um único ponto. 
 
 
 
 
 
 
 ou equivalente à 
 
2) O sistema possui uma infinidade de soluções se as rectas possuem a mesma 
inclinação, ou seja, as rectas se sobrepõem ou ainda os coeficientes e os termos 
independentes são proporcionais: 
 
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3) O sistema não possui solução: Neste caso as duas rectas são paralelas e distintas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de sistema de equações 
Algoritmo de eliminação 
A solução sistema (3.4) pode ser obtida através da eliminação de uma das linhas 
reduzindo o sistema a uma única equação. Este processo, consiste em eliminar uma das 
incógnitas, obtemos portanto, uma única equação com uma única incógnita. 
 
Exemplo 3.4: 
{
 
 
 
Para reduzir este sistema a uma única equação, podemos inicialmente eliminar a 
variável , multiplicando a por e adicionando , obtemos: 
 
 
 
 
 _________________ 
 Soma: 
Resolvendo a nova equação em y, obtemos e substituindo em uma das 
equações, obtemos 
 ou, ou seja, 
Solução: 
 
3.7 Estudo das soluções de sistema de equações lineares 
Para uma melhor compreensão do estudo das soluções dos sistemas de equações 
lineares consideraremos três casos: 
A. Sistema de equações lineares e incógnitas. 
B. Sistema de equações lineares e incógnitas. 
C. Sistema de equações lineares homogéneos. 
 
A. Sistema de n equações lineares e n incógnitas. 
Para resolver um sistema de equações e incógnitas consideremos os seguintes 
métodos: 
a) Método de Gauss Jordan: 
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{
 
 
 
 utilizando operações elementares reduzimos o sistema em um sistema de 
equações lineares equivalente, da seguinte forma: 
 
{
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 esta é a solução do sistema linear . 
Definição 3.7 (Matriz aumentada). Uma matriz aumentada do sistema é uma 
matriz da forma 
[ | ] [
 
 
 
 
|
 
 
 
 
] 
 
 
Exemplo 3.5: Resolva o sistema 





20155
2242
yx
yx
. 
Resolução: 
*
 
 
 
 
 
+ 
 
 
 *
 
 
 
 
 
+ 
 *
 
 
 
 
 
+ 
 
 
 *
 
 
 
 
 
+ *
 
 
 
 
 
+ 
Facilmente podemos ver que a matriz *
 
 
 
 
 
+ é equivalente a matriz ampliada do 
sistema *
 
 
 
 
 
+. E a solução do sistema é {
 
 
, ou seja, . 
b) Regra de Cramer. Este método consiste em calcular os determinantes: 
Exemplo: 





153
102
yx
yx
 
1) Calcular o determinante dos coeficientes das variáveis 
5
31
12
D 
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2) Calcular o determinante da variável x . 
151530
315
110
xD 
3) Calcular o determinante da variável y . 
201030
151
102
yD 
E em seguida calculamos os valores das variáveis da seguinte forma: 
3
5
15

D
D
x x 4
5
20

D
D
y
y
 
Solução: 


















4
3
y
x
 
A regra de Cramer pode ser útil para sistemas de ordens superiores. 
 
c) Método da matriz inversa 
Considere o sistema de equações lineares: 
{
 
 
 
 
 
Este sistema pode ser escrito na forma matricial: 
*
 
 
 
 
+ *
 
 
 
 
+ [
 
 
 
 
] 
Na forma abreviada o sistema é dado por: 
BAX  
Em que A é a matriz dos coeficientes, X é o vector das variáveis e B é o vector 
dos termos independentes. 
Supõe que a matriz A possui inversa, seja 1A a matriz inversa de A . 
Multiplicando 1A em ambos membros do sistema BAX  , temos: 
BAAXA 11   
Como IAA 1 e XIX  então: 
BAX 1 
Exemplo: 
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




153
102
yx
yx
 
A matriz dos coeficientes do sistema é: 







31
12
A 
31
12
det A =5 









21
13
5
11A 
Como, BAX 1 , então 


























4
3
20
15
5
1
10
15
21
13
5
1
X 
Solução: 


















4
3
y
x
 
Sistema na forma Triangular 
Se um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas está na forma 
triangular e seja kx a variável principal na k-ésima equação, então o sistema triangular 
de equações lineares, tem a seguinte forma: 










nnnn
nn
nn
bxa
baxa
bxaxaxa
...
...
1...
22222
1212111
 
Em que 
11a , 22a , …, nna são não nulos e o sistema possui assim uma única solução. 
Exemplo 3.6: 








93
25
1142
z
zy
zyx
 
Como o sistema está na forma triangular, este, pode ser resolvido por retro-substituição: 
i. Da última equação obtemos .3z 
ii. Substituímos 3z na 2ª equação, obtemos .1y 
iii. Substituindo 3z e 1y na 1ª equação, obtemos .2x 
E a solução é única     3,1,2,, zyx . 
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B. Sistema de m equações com n incógnitas, nm  : 
Para um sistema com m equações com n incógnitas, utiliza-se o método semelhante ao 
de Gauss-Jordan, com diferença da matriz das variáveis não poder ser transformada na 
matriz identidade por ser rectangular. No entanto, transforma-se em 1 cada elemento ija 
na qual ji  e os restantes em zeros. 
Exemplo 3.7: 








3410
425
162
yx
yx
yx
 
11
2
1
ll  








3410
425
82
yx
yx
yx
 
133
122
10
5
lll
lll


 








7724
3612
82
y
y
yx
 
22
12
1
ll  








77240
30
82
yx
yx
yx
 233 24lll  








500
3
82
yx
yox
yx
 
Nota: Como não existem valores x e y que satisfaçam a 3ª equação, 500  yx , o 
sistema diz-se incompatível. 
Exemplo 3.8: 











754
93425
1642
yx
yx
yx
yx
 
Escrevendo a matriz associado ao sistema na forma ampliada e utilizando Gauss-Jordan, 
temos: 
22
144
133
122
11
12
1
39130
1550
36120
841
4
3
5
794
913
425
821
2
1
754
913
425
1642
ll
lll
lll
lll
ll 



























































 









































000
000
310
201
2
000
000
310
821
13
5
39130
1550
310
821
211
244
233












lll
lll
lll
 
Como as 3ª e a 4ª equações são zeros, a solução é dada pelas duas primeiras equações: 
Sol: 


















3
2
y
x
 
 
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Exemplo 3.9: 





1904252144
84102482
4321
4321
xxxx
xxxx
 
Considere a matriz ampliada do sistema. 








190
84
42
10
52
24
14
8
4
2


 
Efectuamos operações elementares a matriz ampliada do sistema da seguinte forma: 
2212211
2
1
22
42
224
512
20
41
4
190
42
42
5
52
12
14
4
4
1
2
1
190
84
42
10
52
24
14
8
4
2
lllllll 




 






















 











 
11
86
112
4920
10
01
4
11
42
112
512
10
41
211




lll 
Rescrevendo o sistema, temos: 











432
431
4321
4321
11211
492086
111120
8649200
xxx
xxx
xxxx
xxxx
 
Solução: 
   4343434321 ,,11211,492086,,, xxxxxxxxxx  
Ou seja, 
    ,,11211,492086,,, 4321 xxxx 
Onde  e  são quaisquer números reais, o sistema diz-se indeterminado. 
 Forma escalonada, variáveis livres 
Diz-se que um sistema de equações lineares está na forma escalonada se nenhuma 
equação encontra-se na forma degenerada e se a incógnita principal em cada equação 
está a direita da equação precedente: 
Chama-se equação degenerada a toda equação que a tem a seguinte forma: 
bxxx n  000 21  . 
Variáveis livres: Uma variável kx chama-se variável livre se kx não é a variável 
principal no sistema escalonado. 
Exemplo 3.10: considere o sistema 





24
5234
tz
tzyx
 
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As variáveis principais são x e z e as variáveis livres são y e t . 
Para determinar a solução do sistema, atribuem-se valores arbitrários as variáveis livres. 
Resolução: 











tz
tyx
tz
tzyx
42
1445
42
2345
 
Solução:       ,42,,1445,42,,1445,,,  ztytyxtzyx 
Onde  e  são números reais quaisquer. 
Exemplo 3.11: Considere o sistema.








3410
425
1642
yx
yx
yx
 
Consideremos a matriz ampliada do sistema: 












3
4
16
410
25
42



A
 
Seja a matriz B na forma de escada: 












5
3
2
00
10
01



B 
E seja V a matriz dos coeficientes já na forma escalonada. 











0
1
0
0
0
1
V 
Examinando as matrizes B e V 
 A matriz B tem três linhas com elementos não nulos. 
 A matriz V contida em B tem duas linhas com elementos não nulos. 
Chama-se característica de A , (da matriz ampliada do sistema) e representa-se por 
Ca ao número de linhas não nulas de B (matriz na forma de escada), então 3Ca
porque B tem três linhas com elementos não nulos. 
Chama-se característica de V (da matriz dos coeficientes das variáveis) contida em B 
e se representa por Cv , ao número de número de linhas não nulas de V , neste caso, 
2Cv porque a matriz V tem duas linha com elementos não todos nulos. 
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Observação: no exemplo dado, o sistema de equações lineares tem três equações, 3m
e duas variáveis, 2n e CvCa  , neste caso o sistema é incompatível, a última linha 
de B representa a equação linear 500 21  xx que não é satisfeita para nenhum 1x e 
2x , a equação é chamada degenerada. 
Exemplo 3.12: Sejam as matrizes: 













000
000
310
201




B 













0
0
1
0
0
0
0
1
V 
Neste exemplo B representa um sistema de quatro equações, 4m e duas variáveis, 
2n e CvCa  B e V tem duas linhas com elementos não todos nulos. 
Neste caso, o sistema é compatível e as primeiras duas linhas de B fornecem: 21 x e 
32 x . 
Exemplo 3.14: 







11
86
3
21
2
20
1
0
0
1


B 






3
21
2
20
1
0
0
1
V 
Neste exemplo B representa um sistema de duas equações 2m e quatro variáveis 
4n 2CvCa . O sistema é compatível, donde da 1ª linha temos 
431 212086 xxx  e da 2ª 432 3211 xxx  , 3x e 4x são variáveis livres e 
assumem valores arbitrários, logo o sistema é compatível indeterminado. 
Note que: quando CvCa  diz-se que a característica de B é C ; 
CCvCa  . 
No entanto podemos concluir que CvCa  . 
 Característica e o número de variáveis 
1. A característica não pode ser maior que o número das variáveis, nC  . 
2. Quando a característica é igual ao número das variáveis o sistema é compatível 
e determinado. 
3. Quando a característica é menor que o número de variáveis, o sistema é 
compatível indeterminado. 
Graus de liberdade 
Chama-se grau de liberdade do sistema de equações lineares a diferença: 
Cng  . 
Grau de liberdade é o número de variáveis livres que um sistema de equações 
lineares tem ao qual se lhe deverão atribuir valores arbitrários. 
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Observe que no Exemplo 3.14, a característica é 2C e o número de variáveis é 4n 
logo 224  Cng 
Como vimos, no Exemplo3.14 temos duas variáveis livres. 
 
Discussão do sistema 
Considera-se o sistema , com e . Na discussão do sistema pelo método 
de Gauss (ou Gauss-Jordan) faz-se o seguinte: 
Passo 1: Formar a matriz aumentada: 
Passo 2: Aplicar a [ | ]o método em causa até encontrar a matriz escalonada [ | ] 
(i) Se [ | ] então o Sistema é incompatível, fim do processo. 
(ii) Se [ | ] então o sistema é compatível e determinado. 
(iii) Se [ | ] então o sistema é compatível e indeterminado. 
 
Exemplo 3.15: Consideremos o sistema que depende dos parâmetros a e b e 
procuremos uma relação para que o sistema seja possível: 











bz
azy
zyx
zyx
2
0
 
Construamos a matriz ampliada do sistema: 
23322122
1
0
100
110
010
111
2
12
0
100
110
020
111
2
0
100
110
111
111
lll
b
a
ll
b
a
lll
b
a

























































 
































1
1
1
0
000
100
010
111
1
1
0
100
100
010
111
344
ab
a
lll
b
a








 
Para que o sistema seja possível é necessário e suficiente que:   BACAC |)(  
Isto que dizer: 101  abab 
Caso contrário, a última linha representa uma igualdade impossível. 
 
 
 
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C. Sistemahomogéneo 
Chama-se sistema homogéneo de equações lineares, ao sistema cujos termos 
independentes de cada equação são todos nulos, isto é, o sistema é da forma: 










0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa




 
O sistema homogéneo de equações lineares sempre tem uma solução zero, 
chamada solução trivial e a outra solução se existir é chamada solução não 
trivial. Assim o sistema pode ser reduzido a um sistema equivalente em forma de 
escada. 
Sistema homogéneo de equações lineares com mais variáveis que equações 
Exemplo 3.16: 





0642
0963
zyx
zyx
 
 A solução trivial: 
0 zyx 
 Solução não trivial ou solução própria: 





 
















0
0
0
3
00
21
2
0
0
6
3
42
21
3
1
0
0
6
9
42
63
12211






lllll 
Como    1|)(  nBACAC e 3n então o grau de liberdade é 213 g 
logo, o sistema tem dois graus de liberdade, ou seja, em duas variáveis livres. 
Reescrevendo o sistema, temos: 






yzx
zyx
zyx
23
0000
032
 
Solução: ),,23(),,23(),,(   zyyzzyx , IRe  . 
Sistema homogéneo de equações lineares com mais equações. 
Exemplo2: 








0212
0816
042
yx
yx
yx
 
1. Solução trivial 
0 yx 
2. Solução não trivial 
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22
133
122
11
40
1
0
0
0
|260
|400
|21
12
16
0
0
0
|212
|816
|21
2
1
0
0
0
|212
|816
|42
ll
lll
lll
ll 





































 





















 0
0
0
|00
|10
|21
26
0
0
0
|260
|10
|21
233 lll
 
 
Veja que a característica é    2|)(  nBACAC , o sistema é determinado, o que 
significa que o sistema não tem solução própria (solução não trivial), a única solução é 
a trivial. 
 
3.6 Exercícios Propostos 
1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos 
novos sistemas. 











43
6
0234
1132
zyx
zyx
zyx
zyx
 
2. Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à 
forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos 
coeficientes: 
a) 





63
52
21
21
xx
xx
 b) 








023
132
032
zyx
zyx
zyx
 
c) 





3252
4
321
321
xxx
xxx
 d) 








577
3252
4
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
e) 132 4321  xxxx f) 











2
4
4
0
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
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 g) 








023
032
032
zyx
zyx
zyx
 h) 













1
0533
33
3
1423
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
 
Solução: a) b) 






3
1
;
3
2
;
3
1
 
c) 




 


 

;
3
45
;
3
717
 
d)     f) g) h)  
3. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares por meio do algoritmo de 
Gauss, ou seja, passando-as primeiro à forma escalonada. 
 
 a) 





0y2x3
7yx2
 b) 





4y4x9
6y6x4
 c). 





4y3x2
9y2x
 d) 





9y3x
8yx4
; 
 e) 








2z2y2x4
3zyx2
0zyx
 
f) 








2y4x
5z3x
5zy2x2
 g)








9z2yx
2zy3x2
3zy2x
 h) 








9zx8
2z6y4
3z4y3x2
 
i) 








0z4yx3
4zy2x
8z3yx2
 j) 








0z2yxw8
0z2yx5
0zyx2w3
 
 Solução a) 3,2  yx ; c) 2y5x  , ; e) 3z2y1x  ,, ; 
 g) 2z2y3x  ,, i) 2z2y2x  ,, j) w3zw4yw2x  ;; onde 
 w-arbitrário. 
4. Determine os valores de m e n, de modo que o sistema 





nyx
myx
46
13
 
admita: 
a) Solução única b) Nenhuma solução c) Infinidade de soluções. 
Solução: a) b) c) 
5. Determine k, para que o sistema admita solução 








kyx
yx
yx
2
045
234
 
Solução: 
6. Considere o sistema: 
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Para que valores de o sistema: 
a) Tem única solução 
b) É incompatível 
 
7. Determine o valor de , de modo que o sistema seguinte: 
a) Tenha única solução b) Seja incompatível c) Tenha infinidade 
de soluções 








0
1
1
kzyx
zkyx
zykx
 
Solução: a) b) c) 
8. Determine a solução geral do sistema: 
a) ; b)








023
032
05
yx
yx
yx
; c) 











022
053
032
0
zyx
zyx
zyx
zyx
; d) 





0zyx
0yx2
; 
e) 





0zyx
0z7y2x3
 f) 





0z2yx8
0zy3x4
 
 g) 





0z4y6x3
0zyx
 h) 





0yx3
0y2x6
; 
i) 





0y4x7
0y2x3
 j) 








0z2yx
0z2yx3
0z6yx
 
Soluções: 1-a) )}0,0{( ; 1-b) {}S 1-c) )}0,0,0{(S ; 1-d) x3zx2y  ; , x- arbitrário; 
1-f) 0yx4z  ; , x- arbitrário; 1-h) x3y  , x-arbitrário; 1-j) z4yz2x  ; , z- 
arbitrário; 
9. Determine o valor de m, de modo que o sistema homogéneo admita uma 
solução não nula. 
 





05
0213
myx
yx
 
Solução: 
13
10
m 
10. Determine o valor de k, de modo que o sistema homogéneo admita uma solução 
não trivial. 








04
072
03
yx
yx
yx
 









5
4
12
32
4
zm
zy
zyx
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
Elaborado por Marta Macufa com participação de Alberto Daniel, Mário Getimane & Ribas Guambe 47 
Solução: 
 








032
01514
023
zyx
zykx
zyx
 INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
Elaborado por Marta Macufa com participação de Alberto Daniel, Mário Getimane & Ribas Guambe 48 
4. Cálculo Vectorial 
 
4.1 Sumário da licção 
 Noção de vector; 
 Produto escalar, vectorial e misto; 
 Condição de complanaridade; 
 Espaços vectoriariais; 
 Dependência linear de vectores; 
 Base e dimensão de um espaço vectorial. 
4.2 Objectivos da licção 
 Introduzir os conceitos sobre os produtos escalar, vectorial e misto e a 
respectiva interpretação geométrica, 
 Criar bases para estudo de geometria no plano e no espaço. 
 Introduzir os conceitos sobre espaços vectoriais, dependência linear de 
vectores e desenvolver vectores numa determinada base. 
 Criar bases para estudo de geometria no plano e no espaço. 
4.3 Actividades de aprendizagem 
Para aprendizagem deste tema o estudante deve: 
 Participar na aula a ser apresentada pelo docente 
 Ler os textos de apoio e livro recomendados sobre esta matéria 
 Resolver os exercícios das fichas fornecidas pelo docente 
Palavras chave: vector, módulo de vector, norma, ângulo, distância entre 
vectores, produto escalar, externo e misto, base, dependência linear 
 
4.4 Noção de vector 
 
Definição 4.1 (Vector): Um vector é uma grandeza