APOSTILA MATEMÁTICA

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Curso Preparatório para 
Concurso Municipal de 
Bento Gonçalves 
 
Apostila de 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
Operações entre números reais ......................................................................................... 2 
Teoria dos conjuntos e operações com conjuntos............................................................... 9 
Razão, proporção e regra de três....................................................................................... 14 
Porcentagem e Sistema de medidas.................................................................................. 19 
Equações e sistemas de equações do 1º grau.................................................................... 24 
Matemática Financeira .................................................................................................... 27 
Estatística......................................................................................................................... 31 
Progressões aritmética e geométrica................................................................................ 35 
Análise combinatória........................................................................................................ 39 
Probabilidade................................................................................................................... 43 
Raciocínio Lógico e estruturas lógicas............................................................................... 48 
Bibliografia....................................................................................................................... 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Operações entre números reais 
 
Sistema Numérico 
A forma como classificamos os números surgiu à medida que o conhecimento matemático 
precisou de novos alicerces para suas teorias. 
O início de tudo começou com a necessidade de contagem e com isto os números naturais, 
que são denotados por N. 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, .....} 
Observação: N*= { 1, 2, 3, 4, .....}, ou seja, o conjunto dos números naturais sem o elemento 
zero. 
Após o surgimento dos números naturais temos o aparecimento dos números inteiros, 
denotados por Z. Neste caso temos uma relação de inclusão entre N e Z, ou seja, N está 
contido em Z. 
Z = { ..... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .....} 
As relações de divisões entre números inteiros provocou o surgimento dos números racionais, 
neste conjunto estão listados todos os números que podem ser escritos na forma de fração 
onde o numerador pode ser qualquer número do conjunto Z e o denominador pode ser 
qualquer número do conjunto Z*, onde Z* são todos os números inteiros exceto o elemento 
zero. 
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q, e temos que Z está contido em 
Q. 
Q = { ..... -3/4,... -2/3,... -1/2,... 0/1,... 1/5,... 2/1,... 5/2,... 20/3, .....} 
Com o passar o tempo, foi percebido que em algumas situações os números já conhecidos até 
então não expressavam a solução de alguns problemas, e com isto houve o aparecimento dos 
números irracionais, representados pela letra I. 
Podemos notar que as frações que definem os números racionais podem gerar: 
8
2
= 4 números inteiros 
 
3
4
= 0,75 decimais exatos (quantidade finita de algarismos após a vírgula) 
 
4
3
= 1,3333 … ou 1, 3̅ decimais infinitos e periódicos (quantidade infinita de algarismos após a 
vírgula com repetição) 
Para transformar uma fração em número decimal dividimos o numerador pelo denominador, 
por exemplo: 
5
4
= 1,25. 
Para transformar um número decimal (racional) em forma de fração devemos observar: 
a) Decimal exato 
1,25 = 
125
100
= 
5
4
 simplificando a fração por 25. 
 
b) Decimal infinito e periódico (dízimas periódicas) 
Dízima periódica simples (ocorre repetição logo após a vírgula) 
 
 
 
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0,7777... = 
7
9
 o período é 7 que fica no numerador, e como tem apenas um algarismo 
no período colocamos apenas um algarismo 9 no denominador. 
0,21212121... = 
21
99
= 
7
33
 o período é 21 que fica no numerador, e como temos dois 
algarismos no período colocamos dois algarismos 9 no denominador. Ao final 
simplificamos por 3. 
1,333333.... = 1 + 
3
9
= 
12
9
= 
4
3
 separar a parte inteira da parte da dízima. 
 
Os números irracionais são os números que não podem ser escritos na forma de fração. 
I = { ..... - √2/5,..... √2 ....π,... } 
A união entre os conjuntos dos números racionais e os números irracionais representa o 
conjunto dos números reais, denotado por R. 
R = { ..... ,-3/2,..... -1,..... 0 ,..... , √2 ,..... 3,.....π, ....} 
 
Figura que representa os conjuntos numéricos. 
 
Operações fundamentais: Nos conjuntos numéricos vistos anteriormente podemos aplicar as 
4 operações fundamentais: adição (+), subtração (-) , multiplicação (x) ou (.) e divisão (÷) ou 
(/). 
Para resolver problemas envolvendo as operações e estes números, temos que prestar 
atenção a algumas regras: 
1) resolver a multiplicação e a divisão primeiramente, na sequência em que aparecerem. 
2) resolver as somas e subtrações na sequência em que aparecerem. 
3) caso apareçam parênteses, colchetes ou chaves, devemos resolver primeiramente o que 
estiver dentro dos parênteses, após dentro dos colchetes e por último dentro das chaves, 
observando as regras 1 e 2. 
Exemplo 1 : Resolver a expressão {-3 + 5 x 2 + (6 ÷ 2 + 5) } 
Resolução 
{-3 + 5 . 2 + (6 ÷ 2 + 5) } = {-3 + 5 . 2 + (3 + 5) } = {-3 + 5 . 2 + 8 } = {-3 + 10 + 8 } = {-3 + 10 + 8 } = 
15. 
 
Exemplo 2: Resolver a expressão [(-2 . -3) + 8]÷2 
Resolução 
[(-2 . -3) + 8]÷2 = [+6 +8]÷2 = 14÷2 = 7 
 
 
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Observação: Lembrar da regra dos sinais para multiplicação ou divisão entre dois números 
(sinais iguais resultado positivo, sinais opostos resultado negativo). 
 
Operações fundamentais com números com vírgula: 
Somas e subtrações: Colocar vírgula abaixo de vírgula e completar quando necessário as casas 
com zero. 
 
Multiplicação: Efetuar a multiplicação e após verificar quantos dígitos há após a vírgula para 
posicionar no resultado. 
 
 
Divisão: Vejamos alguns casos do processo de divisão. 
 
Caso 1: divisão por inteiros e o dividendo é menor do que o divisor 
 
Caso 2: divisão entre inteiro e número decimal 
 
Caso 3: dividendo com vírgula e divisor inteiro 
 
 
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Caso 4: divisão entre números com vírgula 
 
 
Potenciação 
Quando falamos em potências estamos escrevendo um número na forma de uma base X e um 
expoente n, deste modo temos Xn , isto quer dizer que X multiplica ele mesmo n vezes. 
Exemplo: 
23 = 2 x 2 x 2 = 8 
34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 
Consequências: 
1. Todo número diferente de zero elevado no expoente zero é igual a 1. 
2. Todo número elevado no expoente 1 é igual a ele próprio. 
 
 
Propriedades: 
1. Produto de potências de mesma base 35. 32 = 35+2 = 37. 
2. Divisão de potências de mesma base 35 ÷ 32 = 35−2 = 33. 
3. Potência de potência(32)4 = 32 .4 = 38. 
 
Expoente negativo 3−1 =
1
3
 ; (
3
4
)
−2
= (
4
3
)
2
. 
Expoente Fracionário 3
1
2 = √3 
 
Frações 
Uma fração é uma divisão entre números que estão no numerador e denominador, esta 
divisão pode produzir números decimais. 
 
 
 
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A representação de uma fração é dada por 
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
 . 
Duas ou mais frações são equivalentes, quando elas representam a mesma quantidade. 
Exemplos: 
1) 
3
4
= 
6
8
= 
12
16
 = 0,75 
 
2) 
2
3
= 
6
9
= 
10
15
 = 0,6666... 
 
Simplificação de frações: o processo de simplificação de uma fração, busca uma fração 
equivalente, porém com números menores. 
 
Exemplo 
 
1) 
20
12
= 
10
6
= 
5
3
 
 
Operações com frações: 
Adição e subtração 
Se duas ou mais frações tiverem o mesmo denominador, podemos somar ou subtrair as 
mesmas fazendo a operação somente como numerador, o denominador é mantido. 
Exemplo: 
2
7
+ 
4
7
− 
3
7
= 
3
7
 
Se os denominadores forem diferentes temos que calcular o mmc entre os denominadores 
para fazer a operação de adição ou subtração. 
Exemplos: 
2
5
+ 
4
15 
= 
10
15
 
 
2
3
− 
1
5
= 
7
15
 
 
Multiplicação: para multiplicar frações basta multiplicar numerador por numerador e 
denominador por denominador. 
Exemplo: 
5
3
 .
4
3
 = 
20
9
 
 
Divisão: para dividirmos frações, temos que inverter a fração divisor e multiplicar pela fração 
dividendo. 
 
 
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Exemplo: 
5
3
 ÷ 
4
3
 = 
5
3
 .
3
4
= 
15
12
 
 
 
Problemas envolvendo frações: 
1) João leu 
2
5
 de um livro na segunda e 
1
3
 na terça, qual foi a fração lida deste livro? 
2
5
+ 
1
3 
= 
11
15
 
2) Na situação do problema 1, qual fração do livro ainda falta ler? 
 
1 - 
11
15
 = 
4
15
 
 
3) Numa turma há 40 alunos entre meninos e meninas, sabendo que 
3
8
 desta turma são 
meninas, quantos são os meninos da turma? 
 
5
8
 . 40 = 25 meninos 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
 
1) Considerando-se o conjunto A = {x  | x >  }, em relação aos números que pertencem ou 
não a esse conjunto, numerar a 2ª coluna de acordo com a 1ª e, após, assinalar a alternativa 
que apresenta a sequência CORRETA: 
(1)  
(2)  
(---) 3 
(---) 3,15 
(---) - 3,15 
(---) 4,2 
 
 a) 2 - 1 - 2 - 1. 
b) 2 - 2 - 1 - 2. 
 c) 1 - 1 - 2 - 2. 
d) 2 - 2 - 1 - 1. 
 
 
2) O valor da expressão 0,6 .
1
3 
+
4
5
+ (
0,333… 
2−1,98
) . 3 + 12 
 
a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55 
 
 
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3)Um indivíduo comprou 3/4 da metade da terça parte das quotas do capital de uma empresa. 
Considerando que o capital da empresa estava dividido em 80 quotas, quantas quotas o 
indivíduo comprou? 
 
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 
 
 
4)Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma 
trabalhando a partir de uma das extremidades. Sabendo que uma delas irá pavimentar 2/5 da 
estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, determine a extensão total dessa estrada. 
 
a)150 km b) 135 km c) 120 km d) 100 km 
 
 
5)Trinta alunos realizaram uma prova de Química. Deles, 2/5 tiraram a nota acima de oito, 1/3 
tirou entre cinco e oito e o restante tirou abaixo de cinco. Calcule a quantidade de alunos que 
tirou a nota da prova abaixo de cinco. 
a)10 b) 5 c) 8 d) 12 
 
 
6) Uma empresa aluga containers para guarda de bens. Se o custo de alugar ¼ de um container 
é R$ 1.400,00 mensais, quanto custa alugar 4/5 deste container? 
a. Mais do que R$ 4550,00. 
b. Mais do que R$ 4500,00 e menos que R$ 4550,00. 
c. Mais do que R$ 4450,00 e menos que R$ 4500,00. 
d. Mais do que R$ 4400,00 e menos que R$ 4450,00. 
e. Menos do que R$ 4400,00. 
 
 
7) Na seguinte expressão: 2x-3 = 128, o valor de x para tornar verdadeira a igualdade é: 
 
a)10 b) 7 c) 4 d) 3 e) 2 
 
 
8) Se A é um número compreendido entre 0 e 1, ou seja, 0 < A < 1, então é FALSO que: 
 
 
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Teoria e operações com conjuntos 
União de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, a união deles é pegar todos os 
elementos de A e de B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O 
conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
 
A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então, 
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
 
Intersecção de conjuntos 
 
Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os 
elementos que eles têm em comum. 
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo 
símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois 
conjuntos. 
 
Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto 
vazio ∅. Ou também dizemos que conjuntos que não possuem elementos em comum são 
conjuntos disjuntos. 
 
 
Diferença entre conjunto 
 
Dados o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6, 7}, a diferença desses conjuntos é 
representada pelo conjunto chamado de diferença. 
 
Então os elementos de A – B serão os elementos que estão no conjunto A, mas não estão no 
conjunto B. 
Portanto, de acordo com os conjuntos A e B acima, temos: A – B = {0, 1, 2, 3, 4}. 
Já B – A = {6, 7}. 
 
Conjunto complementar 
 
Conjunto complementar está relacionado com a diferença de conjuntos. 
Dizemos que o conjunto complementar é aquele formado pelos elementos que faltam ao B 
para ser igual ao A. Então, sendo 
 
A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {6,8}, temos: 
𝐶𝐴
𝐵 = A – B = {2, 3, 5}. 
 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tipos-conjunto.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tipos-conjunto.htm
 
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Relação de pertinência e de inclusão 
 
Quando um elemento está num conjunto, dizemos que ele pertence a este conjunto e 
utilizamos o símbolo de pertinência. 
 
 
Para compararmos dois conjuntos utilizamos a relação de inclusão. 
 
 
 
Diagrama de Venn 
 
Vamos explorar esta forma de construção e análise de situações através do exemplo abaixo: 
 
Exemplo 
Uma pesquisa sobre esportes favoritos, no intuito de reestruturar as aulas de Educação Física 
de uma escola de Ensino Médio, fora realizada com 175 alunos. Os resultados obtidos foram os 
seguintes: 
60 alunos preferem natação 
80 alunos preferem vôlei 
120 alunos preferem futebol 
30 alunos preferem vôlei e futebol 
30 alunos preferem natação e vôlei 
45 alunos preferem futebol e natação 
20 alunos preferem futebol, natação e vôlei 
 
Temos três modalidades esportivas: natação, vôlei e futebol. 
Verifique que existem intersecções entre todas as modalidades, dentro delas serão colocados 
os dados. 
 
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>> Veja que os 20 alunos que preferem futebol, natação e vôlei, foram situados na intersecção 
dos três círculos. 
 
>> 120 alunos disseram que preferem futebol. No entanto, dos 120 alunos, 20 preferem as três 
modalidades, 25 preferem natação e futebol e 10 preferem futebol e vôlei. Portanto, 120 – 20 
– 25 – 10 = 120 – 55 = 65 alunos preferem somente futebol. 
 
>>80 alunos preferem vôlei. No entanto, dos 80 alunos, 20 preferem as três modalidades, 10 
preferem vôlei e natação e 10 vôlei e futebol. Assim, temos que 80 – 20 – 10 – 10 = 40 alunos 
preferem somente vôlei. 
 
>> 60 alunos preferem vôlei. No entanto, dos 60 alunos, 20 preferem as três modalidades, 25 
preferem natação e futebol e 10 preferem vôlei e natação. Portanto, 60 – 20 – 25 – 10 = 5 
alunos preferem somente natação. 
 
Podemos notar que o diagrama de Venn possui uma grande praticidade, pois através dele 
organizamos dados pesquisados e logicamente temos valores mais precisos de opiniões 
diversas. Através da utilização do esquema conseguimos identificar a quantidade exata de 
alunos e suas preferências esportivas: natação, vôlei e futebol. 
 
Exercícios 
1) Numa escola de apenas 800 alunos, é sabido que 200 deles gostam de pagode; 300 de rock 
e 130 de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock? 
a) 430 b) 560 c) 670 d) 730 e) 800 
 
2)Sabendo que A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 6, 7, 8, 9}, podemos afirmar que o conjunto 
(A B) C é: 
a) {1, 4} b) {1, 4, 6, 7} c) {1, 4, 5, 6} d) {1, 4, 6, 7, 8, 9} 
 
 
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3)Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos 
produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas pessoas 
não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B? 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 
 
4) Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 
5comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não 
comeram nenhuma ? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 05) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, 
cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 
80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência: 
a) venceu A, com 120 votos. 
b) venceu A, com 140 votos. 
c) A e B empataram em primeiro lugar. 
d) venceu B, com 140 votos. 
e) venceu B, com 180 votos. 
 
6) Se, A=]-2;3] e B=[0;5] então os números inteiros que estão em B - A são: 
a) -1 e 0 b) 1 e 0 c) 4 e 5 d) 3, 4 e 5 e) 0, 1, 2 e 3 
 
 
 
7) Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, 
nenhum esporte. O número total de alunos é 
 
a) 230 b) 300 c) 340 d) 380 
 
 
8) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente 
assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas 
assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais 
distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi: 
a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600 
 
 
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9) Um aeroporto é servido por somente duas empresas aéreas, digamos A e B. Dentre os 
passageiros que passam pelo aeroporto, 81% fazem uso da empresa A e 50% fazem uso de 
ambas as empresas. 
Portanto, a porcentagem de passageiros que utiliza a empresa B é: 
a. Menor que 55%. 
b. Maior que 55% e menor que 60%. 
c. Maior que 60% e menor que 65%. 
d. Maior que 65% e menor que 70%. 
e. Maior que 70%. 
 
10) (La Salle)
 
a)40 b)60 c)80 d)100 e)120 
 
11) La Salle 
 
a)10 b)20 c)30 d)40 e)50 
 
Razões, proporções, regra de três simples e 
composta. 
 
Razão 
Definição: Os conceitos de razão e proporção estão ligados ao quociente. A razão é o 
quociente de dois números, e a proporção é a igualdade entre duas razões. 
 
Exemplo: Em uma sala de aula com 50 alunos, 30 são meninos e 20 são meninas. Determine as 
razões descritas abaixo: 
 
 
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a) Razão entre a quantidade de meninas e a quantidade total de alunos. 
Número de meninas: 20 
Total de alunos: 50 
A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada pelo quociente, que 
é uma divisão representada como fração: 
𝟐𝟎
𝟓𝟎
= 𝟎, 𝟒 
b) Razão entre a quantidade de meninos e a quantidade total de alunos. 
Número total de meninos: 30 
Número total de alunos: 50 
A razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos: 
𝟑𝟎
𝟓𝟎
= 𝟎, 𝟔 
c) Razão entre a quantidade de meninos e o número de meninas. 
Número total de meninos: 30 
Número total de meninas: 20 
A razão entre o número de meninos e o número de meninas: 
𝟑𝟎
𝟐𝟎
= 𝟏, 𝟓 
 
Já a proporção é obtida pela razão. Veja a seguir a definição de proporção: 
 
 
Proporção 
 
Definição: proporção é a igualdade de duas razões. 
 
Representamos a proporção da seguinte forma: 
 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
 
 
𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐 
 
Exemplo: As razões 
5
2 
 e 
10
4
 são proporcionais, pois 5 . 4 = 2 . 10 
 
 
Divisão em partes diretamente e inversamente proporcionais 
 
Exemplo: Dividir R$ 42,00 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 7. 
Primeiro vamos supor uma quantidade x, onde dividiremos o total que temos R$ 42,00 pela 
quantidade de partes que queremos formar. 
Assim: 
3 + 4 + 7 = 14 partes, então 42 ÷ 14 = 3. 
Logo, 
3x = 3.3 = 9 
4x = 4.3 = 12 
7x = 7.3 = 21 
 
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Ou fazemos: 3x + 4x + 7x = 42 → 14x = 42 → x = 3. 
 
Exemplo: Dividir R$ 22,00 em partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 12. 
 
1𝑥
2
+ 
1𝑥
3
+ 
1𝑥
12
= 22 → 
6𝑥+4𝑥+1𝑥
12
= 22 → 11𝑥 = 264 → 𝑥 = 24 
 
Assim as partes serão: 
24
2
= 12 ; 
24
3
= 8 ; 
24
12
= 2 
 
 
 
Regra de três simples: 
 
Grandezas diretamente proporcionais: duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais 
quando, na mesma proporção, o aumento de uma das variáveis implica no aumento da outra, 
ou a diminuição de uma das variáveis implica na diminuição da outra. 
Ex: Uma lâmpada ligada consome 10 watts em 1 hora, 20 watts em 2 horas, 30 watts em 3 
horas...., ou seja, quando aumenta o tempo, aumenta o consumo em watts e na mesma 
proporção. 
 
Grandezas inversamente proporcionais: duas ou mais grandezas são inversamente 
proporcionais quando, na mesma proporção, o aumento de uma das variáveis implica na 
diminuição da outra, ou a diminuição de uma das variáveis implica no aumento da outra. Por 
exemplo, dois operários constroem um muro em 10 dias, proporcionalmente um operário 
constrói o mesmo muro em 20 dias. 
 
Exemplos de regra de três simples. 
 
1) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 m2 em 3 horas, em quanto tempo, 
nas mesmas condições ela limpará uma área de 11900 m2 ? 
 
Área tempo 
5100 3 
11900 x 
 
 
 
As grandezas são diretamente proporcionais, neste caso seguimos a resolução, 
 
5100 - 3 
11900 - x 
 
 
5100X = 3 x 11900 
5100X = 35700 
X = 35700 ÷ 5100 = 7 horas 
 
 
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17 
 
 
2) Um trem deslocando-se a uma velocidade média de 400 km por hora, faz um 
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a 
velocidade fosse de 480 km por hora ? 
 
Velocidade tempo 
400 3 
480 x 
 
As grandezas são inversamente proporcionais, neste caso invertemos a posição dos dados de 
uma das grandezas. 
 
400 - x 
480 - 3 
 
400 x 3 = 480X 
X = 1200 ÷ 480 
X = 2,5 horas 
 
 
Regra de três composta 
 
Para calcular regras de três composta, precisaremos inicialmente entender as variáveis 
envolvidas, verificar o relacionamento direta ou inversamente proporcional e montar o cálculo 
da regra. 
 
Exemplo: 
Trabalhando 8 horas por dia, durante 14 dias, Maurício recebeu R$ 2.100,00. Se trabalhar 6 
horas por dia, durante quantos dias ele deve trabalhar para receber R$ 2 700,00? 
 
 IP DP 
 
14 = 6 • 2100 
 x 8 2700 
 
14 = 12600 
 x 21600 
12600x = 302400 
x = 24 
Ele deverá trabalhar 24 dias 
 
 
Exercícios: 
 
1)Para chegar ao trabalho, José gasta 2 h 30 min, dirigindo à velocidade média de 75 km/h. Se 
aumentar a velocidade para 90 km/h, o tempo gasto, em minutos, para José fazer o mesmo 
percurso é: 
 
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a) 50 b) 75 c) 90 d) 125 e) 180 
 
 
2)A tripulação de um navio, composta de 180 homens, dispõe de víveres para 60 dias. 
Decorridos 15 dias de viagem foram recolhidos 45 náufragos. Para quantos dias ainda darão os 
víveres, após o aumento da tripulação? 
 
a) 36 b) 27 c) 30 d) 42 e) 9 
 
 
3)Quatro funcionários de uma empresa são capazes de atender, em média, 52 pessoas por 
hora. Diante disso, espera-se que seis funcionários, com a mesma capacidade operacional dos 
primeiros, sejam capazes de atender por hora uma média de: 
 
a)72 pessoas. b) 75 pessoas. c) 78 pessoas. d) 82 pessoas. e) 85 pessoas. 
 
 
4)Uma impressora a jato de tinta possui duas velocidades. Na velocidade mais baixa, imprime 
4.000 páginas por hora, e na mais alta 6.000 páginas por hora. Se a máquina fez um serviço em 
8 horas na velocidade mais alta, em quanto tempo faria esse serviço trabalhando na 
velocidade mais baixa? 
 
a) 10 horas b) 11 horas c) 12 horas d) 13 horas e) 14 horas 
 
5)Em quatro horas de trabalho, duas equipes de manutenção preventiva visitam 80 
cruzamentos semaforizados, em uma certa cidade. Em quantas horas, cinco dessas equipes 
visitariam 600 desses cruzamentos semaforizados? 
a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 
 
6)Um Auxiliar Administrativo demora 2 horas para lavrar 2,5 atas. Considerando-se a mesma 
proporção, é CORRETO afirmar que para lavrar 4 atas ele demoraria: 
a) 3 horas e 20 min. b) 3 horas e 16 min. c) 3 horas e 12 min. d) 3 horas e 7 min. 
 
 
 
7)Três ralos oferecem vazão a uma piscina, esvaziando-a em 3 horas. Considerando que todos 
os ralos oferecem a mesma vazão e que um dos ralos está entupido (sem vazão alguma), o 
tempo gasto para esvaziar a piscinaserá de: 
a) 4 horas e 30 minutos. b) 4 horas e 25 minutos. c) 4 horas e 20 minutos. 
d) 4 horas e 15 minutos. e) 4 horas e 10 minutos. 
 
 
8) Um automóvel demora 1h e 25min para percorrer uma distância, desenvolvendo uma 
velocidade média de 80 km/h. Se a velocidade média fosse de 100 km/h, quanto tempo esse 
automóvel levaria para percorrer o mesmo trajeto? 
 
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a) 1h. b) 1h e 8 min. c) 1h e 10 min. d) 1h e 12 min. e) 1h e 15 min. 
 
 
9) Considerando que 15 kg de feijão são suficientes para preparar 25 refeições por dia durante 
8 dias, por quantos dias é possível preparar 40 refeições diárias utilizando 21 kg de feijão? 
 A) 5. B) 6. C) 7. D) 9. E) 10. 
 
10) La Salle 
 
 
a) 18 minutos 
b) 27 minutos 
c) 32 minutos 
d) 40 minutos 
e) 75 minutos 
 
11) La Salle 
 
a) 0,25 b) 0,125 c) 0,35 d) 0,375 e) 0,45 
 
 
12) La Salle 
 
 
 
 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 
Porcentagem e Sistema de medidas 
 
Porcentagem 
 
Quando expressamos uma porcentagem, estamos fazendo uma representação proporcional de 
um número em relação a outro, tomando um deles como 100%. As situações de porcentagem 
também podem ser resolvidas utilizando regras de três simples. 
 
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Quando expressamos um número na forma percentual, queremos dizer dividido por 100, ou 
seja, 35% = 35/100 = 0,35 na forma decimal. 
 
Exemplo 1: 
 
a) Quanto é 35% de R$ 200,00 ? 
 
200 - 100% 
X - 35% 
 
100X = 7000 
X = 7000 ÷ 100 
X = 70 
 
b) Quantos por cento equivale R$ 25,00 de R$ 200,00 ? 
200 - 100 % 
25 - X 
 
200X = 2500 
X = 2500 ÷ 200 
X = 12,5 % 
 
 
Exemplo 2: Cálculo do valor final de produtos após acréscimos ou descontos. 
 
a) Um produto custa R$ 110,00 e sofreu um acréscimo de 10%, qual o novo preço deste 
produto? 
Poderíamos fazer a conta calculando o valor de 10% de R$ 110,00 que é R$ 11,00 e 
após somar R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00. Mas também podemos fazer esta conta 
diretamente no formato R$ 110,00 . (1 + 0,10) = R$ 110,00 . 1,10 = R$ 121,00. 
 
b) Um produto custa R$ 110,00 e sofreu um desconto de 10%, qual o novo preço deste 
produto? 
Poderíamos fazer a conta calculando o valor de 10% de R$ 110,00 que é R$ 11,00 e 
após diminuir R$ 110,00 - R$ 11,00 = R$ 99,00. Mas também podemos fazer esta conta 
diretamente no formato R$ 110,00 . (1 - 0,10) = R$ 110,00 . 0,90 = R$ 99,00. 
 
 
Exemplo 3: Aumentar sucessivamente 5% e 10% é diferente do que aumentar 15%. 
 
 
Observe que R$1000,00, aumentando 5%, temos R$1050,00 e após aumentando 10% temos 
R$1155,00. Agora R$ 1000,00 aumentando 15%, temos R$1150,00. 
 
 
Exemplo 4: Descontar sucessivamente 5% e 10% é diferente do que descontar 15%. 
Observe que R$1000,00, descontando 5%, temos R$950,00 e após descontando 10% temos 
R$855,00. Agora R$ 1000,00 descontando 15%, temos R$850,00. 
 
 
 
 
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Calculando o valor original 
 
Considere a situação: paguei por uma TV R$ 1620,00 e este valor estava com desconto de 10% 
obtido na negociação com a loja, qual o valor original sem o desconto? 
 
1620 90% 
X 100% 
 
90X = 162000 
X = 1800 
 
R$ 1800,00 era o valor original sem o desconto. 
 
 
 
Conversão de medidas 
 
Medidas lineares: Para fazer a leitura das medidas de comprimento, devemos utilizar do 
quadro abaixo, onde o mesmo contém a unidade de comprimento básica que é o metro (m) e 
algumas de suas subdivisões. 
Nomenclatura 
km – quilômetro; hm – hectômetro; dam – decâmetro; m – metro; DM – decímetro; cm – 
centímetro; mm – milímetro. 
 
Para cada unidade que movimentamos a vírgula para a esquerda, devemos dividir o número 
por 10 e para cada unidade que movimentamos a vírgula para direita, multiplicamos por 10. 
 
 
Exemplos: 
conversão de 16,584hm para metros, temos 16,584 x 10 x 10 = 1658,4m. 
conversão de 230 cm para km, temos 230 ÷10÷10÷10÷10÷10 = 0,0023km 
 
Medidas de superfície: Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a 
medida dessa grandeza, portanto, um número. A unidade fundamental de superfície chama-se 
metro quadrado (m2), que correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. 
Para cada unidade que movimentamos a vírgula para a esquerda, devemos dividir o número 
por 100 e para cada unidade que movimentamos a vírgula para direita, multiplicamos por 100. 
 
Exemplos: 
conversão de 16,5 m2 para cm2, temos 16,5 x 100 x 100 = 165000 cm2. 
conversão de 20 mm2 para cm2, temos 20 ÷100= 0,2 cm2. 
 
 
Medidas de volume: A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro 
cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. 
 
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Podemos utilizar a mesma ideia que nas transformações anteriores, a diferença é que a cada 
movimentação o número deve ser multiplicado ou dividido por 1000. 
Exemplos: 
conversão de 16,5 m3 para cm3, temos 16,5 x 1000 x 1000 = 16500000 cm3. 
conversão de 2 mm3 para cm3, temos 2 ÷1000= 0,002 cm3. 
 
Equivalências importantes: 
1 polegada = 25,4 mm 
1 hectare = 10 000 m2 
1000 litros de água = 1 m3 
1 mililitro de água = 1cm3 
 
Conversão de tempo 
 
Equivalências para utilizar nas conversões: 
1 dia = 24 horas 
1 hora = 60 minutos 
1 minuto = 60 segundos 
 
Exemplo: converter 13,3 horas em horas e minutos. 
Temos 13 horas inteiras e 0,3 horas, resolvendo por regra de três: 
1 h 60 min 
0,3h x min 
X = 0,3 . 60 = 18 min. 
Temos 13 h e 18 min. 
 
Adição e subtração com horas minutos e segundos 
 
Exemplo 1 
1 h 35 min 38 seg + 2 h 39 min 35 seg 
 
1 35 3 
+ 2 39 35 
4 15 13 
 
 38 + 35 = 73, descontando 60 seg. ficamos com 13 seg. e acrescentamos 1 minuto. 
 
35 + 39 = 74 + 1 reserva = 75, descontando 60 min. ficamos com 15 min. e acrescentamos 1 
hora 
 1 + 2 = 3 + 1 reserva = 4 horas. 
Atenção para a subtração, pois o empréstimo de 1 hora são 60 min. e de 1 min. são 60 seg. 
 
Exercícios: 
 
1)A população de uma cidade era de 10.000 habitantes em 1970, tendo crescido 20% na 
primeira década seguinte e 12% cumulativamente na segunda década seguinte. Qual a 
população dessa cidade em 1990? 
 
a) 12.000 b) 13.120 c) 13.200 d) 13.440 e) 14.400 
 
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23 
 
 
 
 
2)Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de lado, então expressando-se 
a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se: 
 
a) 3 600 b) 36 c) 0,36 d) 0,036 e) 0,0036 
 
 
3)Somente 25% dos 60 funcionários de um Tribunal eram mulheres. Depois de transferido um 
certo número de funcionários do sexo masculino, as mulheres passaram a representar 30% do 
total de funcionários. O número de homens transferidos foi: 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 35 e) 45 
 
 
4)Em uma estante, 2/5 dos livros são técnicos e o restante, de literatura. Dos livros de 
literatura, 3/4 são de Literatura brasileira. Com base nessa informação, pode-se concluir que o 
percentual de livros de literatura brasileira, na estante, é igual a: 
a) 30% b) 40% c) 45% d) 55% e) 60% 
 
 
 
5)Em determinado concurso público, a prova para o cargo de Agente Administrativo contém 
10 questões de português, 10 questões de matemática, 5 questões de informática e 15 
questões de legislação. Sabendo-se que Pedro acertou 60% do total de questões de português, 
30% do total de questões de matemática, 80% do total de questões de informática e 80% do 
total de questões de legislação, analisar os itens abaixo: 
I - Pedro acertou 6 questões de português e somente 3 de informática. 
II - Pedro acertou 3 questões de matemática e 12 de legislação. 
III - Pedro acertou 62,5% do total de questões da prova. 
Estão CORRETOS: 
a) Somente os itens I e II. 
b) Somente os itens I e III. 
c) Somente os itens II e III. 
d) Todos os itens 
 
 
 
6) O preço das passagens dos ônibus municipais, em uma determinada cidade, sofreu uma 
redução no seu valor de R$ 3,05 para R$ 2,85. Com base nessas informações, pode-se afirmar 
que o percentual aproximado de redução foi de 
A) 1%. B) 7%. C) 10%. D) 12%. E) 20%.7) Conforme indicadores econômicos, o valor de uma ação na bolsa de valores teve um 
aumento de 5% e passou a valer R$ 16,59. Qual era o valor dessa ação antes do aumento? 
A) R$ 14,70. B) R$ 15,00. C) R$ 15,20. D) R$ 15,50. E) R$ 15,80. 
 
 
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8) Quantos copos de 200cm3 são necessários para esvaziar totalmente um barril com 50 litros 
de água? 
a) 25000 b)2500 c)250 d)25 e)2,5 
 
9) Uma pessoa compra um terreno por R$ 150.000,00. Porém, nos 3 anos subsequentes à 
compra, o terreno desvaloriza-se a taxa de 5% ao ano. 
Qual o valor do terreno 3 anos após a compra? 
a. Maior que R$ 128.500,00 
b. Maior que R$ 128.250,00 e menor ou igual a R$128.500,00 
c. Maior que R$ 128.000,00 e menor ou igual a R$128.250,00 
d. Maior que R$ 127.500,00 e menor ou igual a R$128.00,00 
e. Menor ou igual a R$127.500,00 
 
10) O preço cobrado por um serviço de manutenção A de R$520,00 sofreu um aumento de 
R$140,00 e outro serviço B, de R$380,00 sofreu um aumento de R$40,00. Sobre isso, podemos 
afirmar que: 
a) O percentual de aumento do serviço A é maior que 26%. 
b) O percentual de aumento do serviço B é menor que 10%. 
 c) O percentual de aumento de A e B são iguais. 
d) O percentual de aumento do serviço B é maior que do serviço A. 
11) La Salle 
 
a) R$ 15,00 b) R$ 16,00 c) R$ 17,00 d) R$18,00 e) R$19,00 
 
 
12) La Salle 
 
a) 304 b) 346 c) 604 d) 646 e) 684 
 
Equações e sistemas de equações do 1º grau 
 
 
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Equação é quando temos um relacionamento entre números e incógnitas (x, y, z, ...) com 
uma igualdade entre elementos/termos. 
Exemplos: 
 
a) x – 8 = 5x + 4 
 
b) x2 = 16 
 
c) 2x = 8 
 
 
Numa equação queremos encontrar o valor de x para que a igualdade seja verdadeira. Nestas 
situações haverá uma quantidade finita de valores para x que a igualdade é verdadeira. 
No exemplo anterior: a) x = - 3 ; b) x = +4 ou – 4 ; c) x = 3. 
 
 
Sistemas de equações do 1º grau 
Agora teremos mais do que uma equação e mais do que uma incógnita, assim teremos que 
encontrar o resultado numérico para todas as incógnitas, e este resultado deve satisfazer 
todas as equações. 
 
Para resolver um sistema de equações de 1º grau temos algumas opções de métodos, vamos 
abordá-los a seguir: 
 
 
Método da substituição 
 
Este método consiste em substituir uma equação em outra, para isto temos que isolar uma das 
variáveis e depois aplicar a substituição, veja o exemplo abaixo: 
 
Podemos isolar y na primeira equação, desta forma y = 4 – x e após substituir na segunda 
equação, assim: 
2x – 3(4 – x) = 3 ↔ 2x –12 + 3x = 3 ↔ 5x = 15 ↔ x = 15 ÷ 5 ↔ x = 3. 
 
De posse do resultado de x, podemos substituir numa das equações inicias e obter o valor de y, 
deste modo x + y = 4 ↔ 3 + y = 4 ↔ y = 4 – 3 ↔ y = 1. 
Verifiquem que x = 3 e y = 1 satisfazem as duas equações do sistema. 
 
 
 
 
Método da adição 
 
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 Este método consiste em somar as equações afim de obter uma nova equação mais simples e 
que possa fornecer a solução de uma das variáveis. Neste caso antes de somar as equações, 
podemos multiplicá-la por um número que julgarmos conveniente para que após a adição a 
nova equação seja de fácil resolução, veja o exemplo abaixo: 
7
1
x y
x y
 

 
 
Se adicionarmos cada lado da igualdade vamos obter uma nova equação, observe: 
x + y + x – y = 7 + 1 ↔ 2x = 8 ↔ x = 8 ÷ 2 ↔ x = 4. 
Após obter o resultado x = 4, basta apenas substituir este resultado em qualquer uma das 
equações do sistema e obter o valor de y. Assim: 
4 + y = 7 ↔ y = 7 – 4 ↔ y = 3. 
Verifiquem que x = 4 e y = 3 satisfazem as duas equações do sistema. 
 
Exercícios: 
 
1) Em determinado dia de trabalho, um Auxiliar Administrativo digitou x ofícios e y 
memorandos, totalizando 155 documentos digitados. Sabendo-se que o número de 
memorandos é igual a 3/2 do número de ofícios, é CORRETO afirmar que o número de ofícios e 
o número de memorandos, respectivamente, são: 
a) 89 e 66. b) 83 e 72. c) 87 e 68. d) 62 e 93. 
 
 
2)Em relação à quantidade de agentes comunitários de saúde que trabalham nas microáreas x 
e y, sabe-se que: 
• A quantidade de agentes que trabalham na microárea x mais a quantidade de agentes que 
trabalham na microárea y é igual a 26. 
• O dobro da quantidade de agentes que trabalham na microárea x menos a quantidade de 
agentes que trabalham na microárea y é igual a 10. Com base nessas informações, quantos 
agentes comunitários de saúde trabalham na microárea y? 
 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 
 
3)Em uma agência dos Correios em que há apenas selos de R$ 0,20 e de R$ 0,25, uma pessoa 
compra 125 selos, pagando um total de R$ 28,25. O percentual de selos de R$ 0,20 comprados 
por essa pessoa é igual a: 
 
a) 40% b) 48% c) 60% d) 65% e) 70% 
 
4)A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como 3 está para 1. Qual é a idade de 
cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos? 
 
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a) 10 e 34 b) 12 e 36 c) 15 e 39 d) 6 e 30 e) 18 e 42 
 
 
 
5) Luiza, Marina e Natália trabalham na secretaria de uma escola. Ao final de certo período, 
constatou-se que Luiza havia feito o dobro do número de matrículas que Marina efetuara. 
Também Luiza e Natália juntas haviam efetivado 80 matrículas e que Natália e Marina juntas 
haviam efetuado 60 matrículas. O número total de matrículas efetuadas nesse período pelas 
três funcionárias juntas foi igual a: 
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140 
 
6) Duas concessionárias, digamos Z e Y, vendem um automóvel com configurações idênticas. 
Na concessionária Z o automóvel é R$ 2.000,00 mais barato que na concessionária Y. 
Sabe-se que se a concessionária Y conceder um desconto de 3% no automóvel, então o preço 
na concessionária Y é R$ 100,00 menor que o preço na concessionária Z. 
Portanto, o preço do automóvel na concessionária Z é: 
a. Maior do que R$ 72.500. 
b. Maior do que R$ 67.500,00 e menor que R$ 72.500,00. 
c. Maior do que R$ 62.500,00 e menor que R$ 67.5000,00. 
d. Maior do que R$ 57.500,00 e menor que R$ 62.500,00. 
e. Menor do que R$ 57.500,00. 
 
 
7) La Salle 
 
a) 32 b) 36 c) 42 d) 48 e) 56 
 
 
 
Matemática Financeira 
 
Juros Simples 
 
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao 
atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital 
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a 
seguinte: 
𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒕 
J = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo 
 
 
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𝑴 = 𝑪 + 𝑱 
M = montante, C = Capital, J = juros 
 
𝑴 = 𝑪. ( 𝟏 + 𝒊 . 𝒕) 
 
Observação: a taxa utilizada nas expressões deve estar na forma decimal e o período de 
capitalização deve ser o mesmo da decorrência do tempo. 
 
Exemplo 1: Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo 
de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 1.728,00 
 
J = 3200. 
3
100
 . 18 = 32. 3. 18 = 1728 
 
 
Juros Compostos 
 
Juros compostos são muito utilizados pelo sistema financeiro, pois oferece uma rentabilidade 
melhor. A taxa de juros é sempre aplicada ao somatório do capital no final de cada mês. 
Para entender melhor veja com fica a aplicação mês a mês dos juros: 
 Primeiro mês: 
 Segundo mês: 
 Terceiro mês: 
 Quarto mês: .... 
Para simplificar, obtemos a fórmula a seguir que representa juros compostos: 
 
onde: 
M - é o montante final; 
i - é a taxa de juros aplicada; 
C - é o capital ou valor inicial; 
t - é o tempo total; 
 
O cálculo somente dos juros é obtido pela seguinte fórmula 𝑴 = 𝑪 + 𝑱. 
J - é o juro total; 
M - é o montante que pode ser calculado pela fórmula acima; 
C - é o capital ou valor inicial. 
 
 
Importante: 
Quando aplicamos esta fórmula devemos ficar atentos aos seguintes: 
 
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29 
 
 
 se a taxa i for ao ano, o tempo t deve ser reduzido à unidadede ano; 
 se a taxa i for ao mês, o tempo t deve ser reduzido a unidade de mês; 
 se a taxa i for ao dia, o tempo t deve ser reduzido a unidade de dia; 
 Ou seja, devemos manter taxa e tempo na mesma unidade de tempo. 
 
 
Exemplo 2: Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo 
de 24 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao ano a juros compostos? 
 
M = 3200. ( 1 + 0,03)2 = 3200 . 1,032 = 3200 . 1,0609 = 3394,88 
M = C + J 
 3394,88 = 3200 + J 
J = 3394,88 - 3200 = 194,88 
 
Se a pergunta num modelo de capitalização composta for sobre o tempo de aplicação, o 
exercício deverá trazer informações extras, veja o exemplo abaixo: 
 
Exemplo: A juros compostos, quanto tempo deve ficar aplicado um capital de R$ 200,00 a uma 
taxa de 10% ao mês para produzir um montante de R$ 266,20? 
Use log(1,331) = 0,123 e log(1,10) = 0,041 
 
Neste caso deveremos utilizar as informações do exemplo logs da seguinte forma: 
 
𝑡 = 
𝑙𝑜𝑔 (
𝑀
𝐶 )
𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)
 
 
Assim 266,20 ÷ 200 = 1,331 e 1+ 0,10 = 1,10. Portanto a conta final será 0,123 ÷ 0,041 = 3 
meses. 
 
 
Taxas Proporcionais são taxas em que utilizamos a proporcionalidade para alinhá-las ao 
regime de capitalização, ou seja, na forma em que o capital é atualizado. 
Exemplo: 
24% a.a. capitalizados mensalmente – 24:12 = 2% a.m. 
24% a.a. capitalizados trimestralmente – 24:4 = 6% a.t. 
 
 
60% a.m. capitalizados diariamente – 60:30 = 2% a.d. 
 
 
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao 
serem aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo prazo, produzem um mesmo 
montante acumulado no final daquele prazo. 
A juros simples, basta utilizar a proporcionalidade. 
A juros compostos não são proporcionais, por exemplo, a juros compostos a taxa de 1% 
ao mês significa que no final de um ano termos 12,68% ao ano. Portanto para fazermos 
a equivalência correta utilizamos a expressão abaixo: 
𝑖 = (1 + 𝑖0)
𝑡0
𝑡 − 1 
 
 Página 
30 
 
 
Onde, i0 é a taxa que queremos converter; t0 é o tempo associado a taxa que queremos 
converter t é o tempo da nova taxa que queremos calcular e i é a taxa equivalente. 
 
 
Exercícios: 
 
1)Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juro simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja 
obtido um montante de R$ 19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de: 
a) 1 ano e 10 meses. b) 1 ano e 9 meses. c) 1 ano e 8 meses. 
d) 1 ano e 6 meses e) 1 ano e 4 meses. 
 
 
 
2)Aplicando uma taxa de juros simples de 4% ao mês sobre um capital, este dobrará de valor 
em: 
a) 1 ano b) 1 ano e 5 meses c) 2 anos 
d) 2 anos e 1 mês e) 2 anos e 5 meses 
 
 
 
 
3)Aplicando-se R$ 18.000,00 a juro simples, à taxa mensal de 2,5%, obter-se-á o rendimento 
de R$ 4.500,00 no prazo de: 
a) 7 meses. b) 9 meses. c) 10 meses. d) 11 meses. e) 13 meses. 
 
 
4)Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização 
composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão: 
a) R$ 98,00 b) R$ 101,00 c) R$ 110,00 d) R$ 114,00 e) R$ 121,00 
 
 
 
 
 
 
 
5)Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou 
R$ 2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à 
taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de 
a) R$ 5 320,00 b) R$ 5 480,00 c) R$ 5 620,00 d) R$ 5 680,00 e) R$ 5 720,00 
 
6)Um capital de R$ 4.200,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 2% ao mês durante 1 
ano. Qual foi o valor do juro obtido? 
A) R$ 1.008,00. B) R$ 1.090,00. C) R$ 1.120,00. D) R$ 1.200,00. E) R$ 1.384,00 
 
 
 
 Página 
31 
 
 
7)Determine a taxa necessária para um capital de R$ 82.000,00 produzir R$ 7.380,00 de juros 
simples, sabendo-se que o prazo de aplicação é de 6 meses. 
A) 2,5% a.m. B) 0,1% a.m. C) 1% a.m. D) 2% a.m. E) 1,5% a.m. 
 
8) Quanto tempo a mais um capital levaria para triplicar no regime de juros simples em relação 
ao regime de juros compostos, se considerarmos uma taxa de juros de 10% a.m. ? 
(use ln(1,1) = 0,1 e ln(3) = 1,1). 
a) 2 meses b) 6 meses c) 9 meses d) 11 meses e) 12 meses 
 
9) La Salle 
 
a) R$ 1000,00 
b) R$ 1200,00 
c) R$ 1400,00 
d) R$ 1600,00 
e) R$ 1800,00 
 
10) La Salle 
 
a)R$750,00 b)R$725,00 c)R$700,00 d)R$675,00 e)R$650,00 
 
Estatística 
Medidas de tendência central 
Média aritmética simples 
É o resultado da divisão da soma de n valores por n. 
 
 
 Página 
32 
 
 
Ex: a média entre as idades 35, 38 e 41 é Média aritmética simples = 
35+38+41
3
 = 38. 
Média aritmética ponderada 
Neste tipo de média aritmética, cada número que fará parte da média terá um peso. Este peso 
será multiplicado pelo número, que serão somados e divididos depois pela soma dos pesos. 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
Mediana 
É a medida que ocupa a posição central num conjunto de dados ordenados, isto é: 
EX :População com quantidade de elementos ímpar: 
Para a seguinte população: 
{1, 3, 5, 7, 9} 
A posição da mediana será = (n+1)/2 = (5+1)/2 = 3, logo a mediana vale 5. 
 
EX: População com quantidade de elementos par: 
Na seguinte população: 
{1, 2, 4, 8, 9, 10} 
Não há um valor central, portanto a mediana é calculada tirando-se a média dos dois valores 
centrais (no caso, o 3° e 4° elemento), ou seja é a média dos termos de posição n/2 e n/2 +1. 
Logo, o valor da mediana é = (4+8)/2 = 6 
Moda: 
 
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33 
 
 
A moda é a observação mais frequente. Caso não haja observação mais frequente, a 
distribuição é amodal. Podemos ter um conjunto unimodal (com uma moda), bimodal (com 
duas modas) ou multimodal (com três ou mais modas). 
Exemplos: 
A moda de {1, 2, 3, 3, 3, 4} é 3. 
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6} apresenta duas modas (BIMODAL): 5 e 6. 
A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9} não apresenta moda (AMODAL). 
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} apresenta mais do que duas modas (MULTIMODAL): 5, 6 e 7 
 
 
Exercícios: 
 
1)O quadro abaixo apresenta a quantidade diária de alvarás emitidos por certo Agente 
Executivo Especializado durante os cinco primeiros dias úteis do mês de maio de 2016: 
 
Com base nessas informações assinalar a alternativa CORRETA: 
a) A moda é igual a 28. 
b) A média aritmética de alvarás emitidos diariamente é igual a 29. 
c) Se em cada dia esse funcionário emitisse dois alvarás a mais, a média aritmética de alvarás 
emitidos diariamente passaria a ser igual a 29. 
 d) A mediana é igual a 28. 
 
 
2) Um dado foi laçado 50 vezes. A tabela a seguir mostra os seis resultados possíveis e suas 
respectivas frequências de ocorrência. 
 
A frequência do aparecimento de um número ímpar foi de: 
 
 
a) 2/5 b) 11/25 c) 12/25 d) 1/2 e) 13/25 
 
3) Em uma cidade é realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de 
determinado tributo estadual no período de um mês. Analisando os documentos de 
arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico 
abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes. 
 
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34 
 
 
 
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da: 
a)média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. 
b) média aritmética é igual ao valor da mediana. 
c) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. 
d) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. 
e) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. 
 
 
 
4) Num grupo de 10 funcionários de uma empresa foi feito um levantamento de suas alturas, 
que aparecem na tabela: 
 
Sabe-se que a média aritmética das alturas de todos eles é 1,80 m e que a altura y tem 0,10 m 
a mais que a altura x. Assim, a altura x mencionada na tabela é: 
a) 1,85 b) 1,80 c) 1,88 d) 1,82 e)1,90 
 
5) O professor conselheiro de certa turma de Ensino Fundamental montou o mapa da sala de 
aula utilizando em vez do nome do aluno a idade de cada um, em anos, de acordocom a 
imagem abaixo, e chegou às seguintes conclusões: 
 
I - A moda e a mediana das idades possuem o mesmo valor. 
 II - A idade média dos alunos desta turma é de 12 anos. 
III - Ao organizar os dados em uma tabela de frequência relativa da variável idade, tem-se 20% 
para 11 anos e 30% para 12 anos. 
Com relação às conclusões deste professor conselheiro, pode-se afirmar que: 
 
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35 
 
 
a) Todas as conclusões estão corretas. 
b) Somente a conclusão II está correta. 
c) Somente a conclusão III está correta. 
d) Somente as conclusões I e II estão corretas. 
e) Todas as conclusões estão incorretas. 
 
6) A sequência a seguir mostra o número de gols marcados pelo funcionário Ronaldão nos 
nove últimos jogos disputados pelo time da empresa onde ele trabalha: 
 
 2, 3, 1, 3, 0, 2, 0, 3, 1. 
 
Sobre a média, a mediana e a moda desses valores é verdade que: 
 
a) média < mediana < moda; 
b)média < moda < mediana; 
c)moda < média < mediana; 
d)mediana < moda < média; 
e)mediana < média < moda. 
 
7) La Salle 
 
 
a) 130 b) 134 c) 136 d) 138 e) 140 
 
Progressão Aritmética e Progressão Geométrica 
 
Progressão aritmética 
Definimos Progressão Aritmética (P.A) como sendo uma sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual a soma do termo anterior com uma constante. Na P.A 
temos a presença de uma constante chamada de razão (r), sendo a mesma obtida por meio da 
diferença de um termo da sequência pelo seu anterior. Confira alguns exemplos: 
http://www.infoescola.com/matematica/sequencias-numericas/
 
 Página 
36 
 
 
A sequência (1, 4, 7, 10, 13, 16) é uma P.A. 
A razão da P.A é representada por r = 4 - 1 = 3 
 
Fórmula do termo geral de uma Progressão aritmética 
Quando partimos do primeiro termo da sequência, a fórmula do termo geral de uma P.A (a1, 
a2, a3, ...,, an, ...) de razão r é representada por: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 
 an = Termo geral 
 a1 = Primeiro termo da sequência. 
 n = Número de termos da P.A. ou posição do termo numérico na P.A 
 r = Razão 
Exemplo 1: Determine o 20º termo da P.A. (2, 4, 6, 8 ...) 
Dados da questão: a1 = 2, r = 2, n = 20, a20 = ? 
an=a1+(n−1)⋅r 
a20=2+(20−1)⋅2 
a20=2+(19)⋅2 
a20=2+38=40 
O vigésimo termo da P.A. é 40. 
 
Soma dos termos de uma PA finita 
É dada pela fórmula: 
𝑆𝑛 = 
(𝑎1 + 𝑎𝑛). 𝑛
𝟐
 
 
Exemplo 2: Determine a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (2, 4, 6, 8 ...) 
 
Sn = 
(2+40).20
2
= 
42.20
2
= 420 
 
 
Progressão Geométrica 
 
 
 Página 
37 
 
 
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de 
números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma 
quantidade fixa q, chamada razão. 
 
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, 
dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2. 
 
Cálculo do termo geral 
 
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do 
primeiro, da seguinte maneira: 
an = a1 . qn-1 
 
a n o n-ésimo termo da PG 
a1 é o primeiro termo 
q é a razão da PG 
n é a quantidade de termos da PG 
 
Exemplo 1: Calcule o 10º termo da PG (1, 2, 4, 8,...) 
a10 = 1.210-1 = 1.29 = 512 
Soma dos n primeiros termos de uma PG 
 
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos 
considerar o que segue: 
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + na 
 
Para uma PG finita, temos 
 
 
Para uma PG infinita e desde que -1 < q < 1, temos: 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) 
Temos: 
 
 
Exemplo 3: Calcule o valor da PG (2 , 1 , 
1
2
 , ....) 
 
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38 
 
 
S = 
2
1− 
1
2
= 4 
 
Exercícios: 
1)Certo digitador, trabalhando sem interrupções, consegue dar 2.400 toques na primeira hora 
de trabalho do dia, 1.200, na segunda hora, 600, na terceira, e assim sucessivamente. O tempo 
mínimo necessário para que ele cumpra um trabalho que exija 4.725 toques é: 
 
a) impossível de ser determinado b) 5 h c) 5 h e 10 min 
d) 5 h e 30 min e) 6 h 
 
2)Sabendo-se que o primeiro termo de determinada progressão geométrica de razão 6 é igual 
a 9, analisar os itens abaixo: 
 I - O quinto termo é igual a 11.664. 
II - A soma dos seis primeiros termos é igual a 69.984. 
 
a) Os itens I e II estão corretos. 
b) Somente o item I está correto. 
c) Somente o item II está correto. 
d) Os itens I e II estão incorretos. 
 
 
 
3)Em relação à quantidade de crianças que entraram em determinada casa de passagem no 
mês de março de 2016, sabe-se que no primeiro dia entraram 9 crianças, no segundo, 14, e 
assim por diante, formando uma progressão aritmética. Quantas crianças entraram nessa casa 
de passagem no 31º dia? 
 a) 169 b) 154 c) 164 d) 159 e) 174 
 
 
 
4)Em relação à quantidade de telefonemas realizados por determinado Agente de 
Telemarketing durante 16 dias, sabe-se que: no primeiro dia, foram realizados 3 telefonemas, 
no segundo, 5, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. Quantos telefonemas 
esse Agente realizou ao todo nesses 16 dias? 
a) 127 b) 288 c) 59 d) 76 e) 33 
 
 
 
5)As idades de Bruno, Magno e André estão, nesta ordem, em progressão aritmética. Sabendo-
se que Bruno tem 19 anos e André 53 anos, a idade de Magno é: 
a) 14 b) 27 c) 30 d) 33 e) 36 
6) Em uma progressão aritmética, o oitavo termo é 140 e o vigésimo segundo termo é o dobro 
do oitavo termo. O décimo segundo termo é igual a 
A) 180. B) 190. C) 200. D) 210. E) 220. 
 
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39 
 
 
 
7) Considere que: (x , 7 , x + 6) é uma PA e, (y , 16 , x) é uma PG. Assinale a alternativa que 
representa o valor de 2x – 3y: 
a) 13 b) -277 c) 1 d) 254 e) -184 
 
8) O limite da série infinita S de razão 1/3 , onde S = 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + .... é: 
a) 13,444... b) 13,5 c) 13,666... d) 13,6 e) 14 
 
9) Para o pagamento de um bem uma pessoa concorda em pagar 6 reais no primeiro mês, 12 
reais no segundo, 24 no terceiro e assim sucessivamente, por 10 meses. 
Portanto, o valor total que a pessoa pagará pelo bem é: 
a) Maior que 6300 reais. 
b) Maior que 6200 reais e menor que 6300 reais. 
c) Maior que 6100 reais e menor que 6200 reais. 
d) Maior que 6000 reais e menor que 6100 reais. 
e) Menor que 6000 reais. 
 
10) Três colegas pescam 21 quilos de peixe juntos e dividem todo o resultado da pescaria de 
maneira a formar uma progressão aritmética, em que o mínimo que um deles pode receber é 
1 quilo de peixe. 
Portanto, o máximo que um dos colegas pode receber de peixe é: 
a) 9kg b) 12 kg c) 13 kg d) 15 kg e) 18 kg 
 
11) La Salle 
 
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 
 
Análise Combinatória 
 
 
Fatorial 
O fatorial de um número natural “n” é indicado por n! e por definição temos que: 
n! = n.(n-1).(n-2)....3.2.1 e 1! = 1 e 0! = 1. 
 
Exemplo 1) 
3! = 3x2x1 = 6 
 
 Página 
40 
 
 
5! = 5x4x3x2x1 = 120 
6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 
 
7!
4!
 = 
7𝑥6𝑥5𝑥4!
4!
 = 7x6x5 = 210 
 
 
Permutações simples 
 
Situação problema: 
 
Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los num mesmo número) podemos formar com 
os algarismos 1, 2 e 3. 
Temos: 123, 132, 213, 231, 312, 321. 
 
Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações 
simples e tem a representação Pn. 
 
Exemplo 
Quantos são os anagramas (diferentes posições das letras de uma palavra) da palavra anel. 
P4 = 4x3x2x1 = 24 
 
ANEL, ANLE, AELN, ALEN, AENL, ALNE, NAEL, NALE, NEAL, NELA, NLAE, NLEA, EANL, EALN, 
ENAL, ENLA, ELAN, ELNA, LAEN, LANE, LNAE, LNEA, LEAN, LENA, 
 
Permutações com repetição 
 
Situação problema: 
Quantos anagramas temos da palavra PAPA. 
 
Se os As e os Ps fossem diferentes o que teríamos era um caso de permutação simples e o 
resultado seria P4 = 4x3x2x1 = 24 anagramas. Porém os As e os Ps são iguais e neste caso o 
número depermutações é dado por: P4 / P2.P2, deste modo 
4!
2!2!
 = 6. 
 
 
 
 
Arranjos simples 
São os agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p nos n elementos. 
p ≤ n 
Representado por An,p = 
𝒏!
(𝒏−𝒑)!
 
 
Exemplo 3) 
Quantos agrupamentos ordenados diferentes de 2 letras distintas é possível formar com as 
letras a,b,c e d. 
ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. 
N= 4 e p= 2, então A4,2 = 
4!
(4−2)!
 = 24 / 2 = 12. 
 
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41 
 
 
 
Arranjos com repetição 
 
Quantos agrupamentos ordenados diferentes de 2 letras distintas ou não é possível formar 
com as letras a,b,c e d. 
aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. 
ARn,p = 𝒏𝒑 = 42 = 16 
 
 
Combinações simples 
 
São subconjuntos com exatamente p elementos que podemos formar com os n elementos. 
p ≤ n 
Representado por Cn,p = 
𝒏!
𝒑!(𝒏−𝒑)!
 
 
Quantos subconjunto de 2 letras distintas é possível formar com as letras a,b,c e d. 
ab, ac, ad, bc, bd, cd. 
n= 4 e p= 2, então C4,2 = 
4!
2!(4−2)!
 = 24 / 4 = 6. 
 
 
Exemplo 4) Quantos anagramas tem a palavra PROVA. 
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
Exemplos: 
Usando os números 1, 3, 4, 6 e 9, quantos números distintos de 3 algarismos podemos formar. 
 
A5,3 = 
5!
(5−3)!
 = 
5.4.3.2!
2!
 = 5.4.3 = 60 
 
Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podemos formar para representar um grupo de 10 
pessoas. 
C10,3 = 
10!
3!(10−3)!
 = 
10.9.8.7!
3!.7!
 = 
10.9.8
3.2.1
 = 120 
 
Exercícios 
1)Desejando limpar uma prateleira, a arrumadeira retirou de lá uma coleção de livros 
numerados de 1 a 9. Depois, ela recolocou aleatoriamente os livros na prateleira. É claro que 
ela pode tê-los colocado na ordem normal, ou seja, 1, 2, 3 etc. No entanto, a chance de isso 
ocorrer é apenas uma em: 
 
a) 16.660 b) 40.320 c) 362.880 d) 368.040 e) 406.036 
 
 
 
 
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2)A soma do número de anagramas que se pode fazer com as letras da palavra AMOR com o 
número de anagramas que se pode fazer com as letras da palavra PAZ é um número: 
a) divisível pelo mínimo múltiplo comum entre 2 e 15 b) ímpar 
c) múltiplo de 4 d) primo e) divisível por 9 
 
 
 
3)Uma comissão composta por 3 pessoas será constituída a partir de um grupo de 7 agentes 
administrativos. Quantas comissões diferentes podem ser formadas? 
 
a) 21 b) 28 c) 35 d) 42 e) 49 
 
 
 
4)Para realizar uma atividade de integração entre os 10 alunos da Educação Infantil, a 
professora organizou as crianças em equipes de 3 alunos. Nessa situação, a quantidade de 
equipes diferentes que podem ser formadas com esses 10 alunos corresponde a 
A) 120. B) 240. C) 360. D) 720. E) 840. 
 
 
 
5) Um pintor deseja pitar as letras da palavra TEMPO em um cartaz de publicidade usando 
cores diferentes. De quantas maneiras diferentes esse processo pode ser executado se ele 
dispõe de 8 tintas de cores diferentes? 
a) 6720 b) 1680 c) 56 d) 14 e) 40320 
 
 
 
6) Quantos anagramas possui a palavra ERECHIM? 
a) 5040 b) 1080 c) 10080 d) 2520 e) 1760 
 
 
 
7) Alfredo tem 7 barras de chocolate, todas de sabores diferentes, e uma caixa onde cabem 
apenas 3 barras de chocolate. Alfredo decide encher completamente a caixa com suas barras 
para presentear um amigo. 
Se a ordem em que as barras são colocadas na caixa não altera o presente, então o número de 
presentes diferentes que Alfredo pode criar com 3 de suas barras de chocolate é igual a: 
 
a) 35 b) 75 c) 150 d) 180 e) 210 
8) Ana está reorganizando sua biblioteca. Dentre 12 livros diferentes que possui, decide que irá 
manter 7 e doar os outros 5. 
De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher os 7 livros que irá manter? 
a. Mais de 900. 
b. Mais de 800 e menos de 900. 
c. Mais de 700 e menos de 800. 
d. Mais de 600 e menos de 700. 
e. Menos de 600. 
 
 
 
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9) Quantos são os anagramas da palavra TEORIA que começam com T e terminam com A? 
a) 720 b) 360 c) 120 d) 24 e) 20 
 
 
 
10) Tomando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números pares de 4 algarismos 
distintos podem ser formados? 
a) 120 b) 210 c) 360 d) 630 e) 840 
 
 
 
11) La Salle 
 
 
a) 6435 b) 7200 c) 9825 d) 2400 e) 5725 
 
 
Probabilidade 
 
 
Situação 1: 
 
No lançamento de uma moeda quais são as possibilidades de resultados que temos: 
CA- cara 
CO- coroa 
 
No jogo de um dado quais são as possibilidades de resultados que temos? 
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Então: 
a) Qual a chance de obter cara no lançamento de uma moeda? 50% 
b) Qual a chance de obter coroa no lançamento de uma moeda? 50% 
c) Qual a chance de obter o número 1 no lançamento do dado? 16,67% 
d) Qual a chance de obter o número 6 no lançamento do dado? 16,67% 
e) Qual a chance de obter um número par no lançamento do dado? 50% 
 
 
Situação 2: 
 
Considere agora que vamos lançar 3 vezes uma mesma moeda, quais as possibilidades de 
resultados que temos ? 
Possibilidades: 
CA CA CA 
CA CA CO 
CA CO CA 
CA CO CO 
 
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CO CA CA 
CO CA CO 
CO CO CA 
CO CO CO 
 
Então: 
a) Qual a chance de obter 3 caras? 12,50% 
b) Qual a chance de obter pelo menos 2 caras? 50% 
c) Qual a chance de obter exatamente 2 caras? 37,50% 
d) Qual a chance de obter pelo menos 1 coroa? 87,50% 
 
 
 
Espaço Amostral 
 
É o conjunto formado por todos os resultados possíveis. 
No caso da moeda: { CA, CO} 
No caso do dado: { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
No caso da moeda lançada 3 vezes: { CA CA CA, CA CA CO, CA CO CA, CA CO CO, CO CA CA, CO 
CA CO, CO CO CA, CO CO CO } 
 
 
Evento 
 
É a ocorrência de um experimento aleatório. 
Ex: laçamos a moeda e obtemos cara, jogamos o dado e obtemos o número 1, lançamos a 
moeda 3 vezes e obtemos a sequência { CA, CO, CA }. 
 
Desta forma a probabilidade de um evento ocorrer ou não é calculada: 
 
P(A) = número de resultados favoráveis A ÷ número total de resultados possíveis. 
 
Lê-se a probabilidade do evento A ocorrer, indicada por P(A). 
 
 
Situação 3: 
 
No jogo de um dado com as possibilidades {1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
a) Qual a chance de ocorrer o número 7? 0% 
b) Qual a chance de ocorrer um número menor que 7 e maior do que 0? 100% 
c) Qual a chance de ocorrer um número par? 50% 
d) Qual a chance de ocorrer um número ímpar? 50% 
e) Qual a chance de ocorrer o número 5? 16,67% 
f) Qual a chance de não ocorrer o número 5? 83,33% 
g) Qual a chance de ocorrer um número par ou múltiplo de 3? 66,67% 
h) Qual a chance de não ocorrer um número par ou múltiplo de 3? 33,33% 
i) Qual a chance de ocorrer um número par e múltiplo de 3? 16,67% 
 
Nestes casos podemos estabelecer as seguintes propriedades: 
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ou 0% ≤ P(A) ≤ 100% 
 
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2) P(A*) = 1 – P(A), onde P(A*) é a chance de não ocorrer P(A), ou seja o 
complementar de P(A). 
 
Quando temos a união de dois eventos, a probabilidade pode ser calculada como sendo: 
 
Exemplo: Qual a probabilidade de num lançamento de um dado ocorrer um número par ou 
múltiplo de 3? 
P(par ou múltiplo de 3) = 
3
6
+ 
2
6
− 
1
6
= 
4
6
= 0,666 … ou 66,66% 
Probabilidade Condicional 
 
Situação 4: Qual a probabilidade de num lançamento de uma moeda 3 vezes obter exatamente 
2 caras, sabendo que o primeiro resultado é cara? 
 
Possibilidades: 
CA CA CA CO CA CA 
CA CA CO CO CA CO 
CA CO CA CO CO CA 
CA CO CO CO CO CO 
 
Mas sabemos que o primeiro resultado é cara, então o espaço amostral modifica-se para: 
 
CA CA CA 
CA CA CO 
CA CO CA 
CA CO CO 
 
A resposta é 50%. 
 
Ex: Numa população de 500 pessoas, 280 são mulheres. Exercem a profissão de advogado 60 
pessoas, sendo 20 do sexo feminino. Tomando ao acaso uma dessas pessoas, qual a 
probabilidade de que, sendo mulher, seja advogada? 
 
P(A/B) = 20 ÷ 280 = 0,0714 ou 7,14%. 
 
P(A/B) – probabilidade de ocorrer o evento A condicionado ao evento B que já ocorreu. 
 
Eventos independentes 
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer 
um deles não depende do fato de os outros terem ou não teremocorrido. 
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) 
 
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Exemplo 1:Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de 
cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e 
a segunda ser azul? 
Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira 
retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou 
seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e 
a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 
10/30.20/30=2/9. 
 Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. 
Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a 
segunda retirada, já que ela foi reposta na urna. 
Exemplo 2: 
 
 
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas sem 
reposição, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser 
vermelha e a segunda ser azul? 
Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: 
 
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 
Assim: 
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 
 
Exercícios 
1)Em uma urna há 6 bolas numeradas de 1 a 6. Ao se retirar ao acaso uma bola da urna, a 
probabilidade de ser par ou maior que 5 é de: 
a) 46% b) 48% c) 50% d) 54% e)30% 
 
 
2)Retira-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas verdes, 4 amarelas e 5 
vermelhas. Qual é a probabilidade de a bola retirada ser verde ou amarela? 
 a) 3 / 5 b) 2 / 3 c) 2 / 5 d) 3 / 2 e) 1 / 2 
 
3)Em uma estufa há 3 coxinhas simples e 2 coxinhas com catupiry, sem qualquer identificação 
em nenhuma delas. Retira-se aleatoriamente uma após a outra e sem reposição. A 
probabilidade de exatamente as duas serem com catupiry é: 
 
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a) 20% b) 15% c) 10% d) 1% e) 5% 
 
 
4)Raissa e Diego resolvem disputar um jogo em que cada um deles lança uma moeda honesta 
de forma independente e simultânea. Raissa será vencedora no caso de 2 resultados iguaise 
Diego no caso de 2 resultados diferentes. As probabilidades de vitória dela e dele são, 
respectivamente, iguais a : 
a) 2/3 e 1/3 b) ¼ e ¾ c) 1/3 e 2/3 d) ½ e ½ e) ¾ e ¼ 
5) Numa competição da qual participaram americanos e europeus, um grupo de atletas foi 
premiado com medalhas de ouro, prata ou bronze de acordo com a tabela abaixo 
 
 
 
 
Sabendo que cada atleta recebeu apenas uma medalha e escolhendo, ao acaso, um atleta 
desse grupo, a probabilidade (APROXIMADA) de ele ser americano e ter recebido medalha de 
prata é: 
a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) 50% 
 
6) Um arquivo contém 24 fichas, numeradas de 1 a 24. Retira-se ao acaso uma ficha. A 
probabilidade de se tirar uma ficha com o número maior ou igual a 15 é aproximadamente 
igual a: 
a) 20,93% b) 37,50% c) 41,67% d) 43,48% e) 50% 
 
7) Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Duas crianças são sorteadas para 
constituírem uma dupla de ping-pong. A probabilidade de as duas crianças escolhidas serem 
do mesmo sexo é: 
a) 4 / 25 b) 9 / 25 c) 21 / 50 d) 7 / 15 e) 8 / 15 
 
8) Num grupo de 120 mulheres tem-se que: 
 10 usam brinco, pulseira e anel e 16 não usam nenhum desses itens; 
 64 usam brinco; 
 58 usam pulseira; 
 38 usam anel; 
 26 usam brinco e pulseira; 
 16 usam brinco e anel. 
Uma das mulheres é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de que a mulher escolhida 
use dois dos itens citados? 
a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 50% 
 
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9) La Salle 
 
a) 15 b) 13 c) 9 d) 8 e) 7 
 
10) La Salle 
 
 
a) 20% b) 40% c) 50% d) 60% e) 80% 
 
 
Estruturas Lógicas 
 
Compreender estruturas lógicas é, antes de tudo, compreender o que são proposições. 
Chama-se proposição toda sentença declarativa à qual podemos atribuir um dos valores 
lógicos: verdadeiro ou falso, nunca ambos. Trata-se, portanto, de uma sentença fechada. 
 
Exemplos: 
p: 2 é um nº primo. (V) 
q: 2² + 3² >( 2+3 )² .(F). 
r: Foi publicado o Edital do TRE/MG 2008. (V) 
 
Atenção: Sentenças exclamativas, interrogativas e imperativas não podem ser classificadas 
como proposições. 
 
As proposições devem seguir os seguintes princípios: 
1. Identidade: a proposição é igual a si mesma. 
2. Não- contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa. 
 
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3. Terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira, ou é falsa. 
 
Proposições Compostas – Conectivos: 
 
Conectivo “e”, denominado conjunção e cujo símbolo é o acento circunflexo: ^ A proposição 
composta P e Q é chamada conjunção de P com Q e simbolizada por P ^ Q. A conjunção P ^ Q 
só é verdadeira quando ambas são verdadeiras. 
 
Tabela-verdade, representativa da conjunção “e” 
 
 
 
Conectivo “ou”, denominado disjunção cujo símbolo é a letra : v ou v Em relação à disjunção, 
faz-se necessária uma subdivisão em nosso estudo, dado que existe a disjunção inclusiva e a 
disjunção exclusiva. A primeira simbolizada por v e a segunda por v. 
A proposição composta p ou q é chamada disjunção inclusiva de P com Q e simbolizada por P v 
Q. A proposição composta ou P ou Q é chamada disjunção exclusiva de P com Q e é 
representada por P v Q. Mas afinal qual a diferença entre a inclusão e a exclusão? 
Observemos as seguintes proposições: 
a) Trabalho ou estudo. 
b) Ou trabalho ou estudo. 
As duas proposições acima são muito parecidas, mas a primeira denota uma inclusão e a 
segunda uma exclusão. 
 
 
 
 
 
Tabela-verdade, representativa da conjunção “ou” (inclusivo) 
 
Tabela-verdade, representativa da conjunção “ou” (exclusivo) 
 
 
Conectivo condicional (Se...., então.....). A condicional estabelece uma relação de causa e 
efeito, portanto, se a causa ocorrer a consequência ocorrerá. 
 
Eis a tabela da condicional:→ 
 
 
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As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se A, então B": 
1) Se A, B. 
2) Todo A é B. 
3) B, se A. 
4) A é condição suficiente para B. 
5) B é condição necessária para A. 
6) A implica B. 
7) A somente se B. 
 
Conectivo bicondicional ( ......se, e somente se.....). 
O conectivo bicondicional é simbolizado por . 
 
A tabela-verdade da bicondicional:  
 
 
Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes 
expressões: 
1) A se e só se B. 
 2) Se A então B e se B então A. 
 3) A implica B e B implica A. 
4) Todo A é B e todo B é A. 
5) A somente se B e B somente se A. 
6) A é condição suficiente e necessária para B. 
 7) B é condição suficiente e necessária para A. 
MODIFICADOR “NÃO” – NEGAÇÃO - “não A” 
As seguintes frases são equivalentes entre si: 
Lógica não é fácil. 
Não é verdade que Lógica é fácil. 
É falso que Lógica é fácil. 
Não é o caso que Lógica é fácil. 
 
 
 
Visão geral 
 
 
 
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Ordem de precedência dos conectivos 
 
Construção de uma tabela verdade de uma proposição composta. 
 
Exemplo 1: ~(P ^~Q) 
 
Exemplo 2: (P v ~R) → (Q ^ ~R) 
 
 
TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A, B, C, ... 
será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos 
das proposições A, B, C, ... que a compõem. 
 
 
CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições A, B, C, ... 
será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das 
proposições A, B, C, ... que a compõem. 
 
 
 
CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for 
uma tautologia nem uma contradição. 
 
 
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NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – Leis de De Morgan 
 
 
PROPOSIÇÕESLOGICAMENTE EQUIVALENTES 
 Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são 
equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de 
suas tabelas-verdade são idênticos. 
Exemplo: 
Se A, então B = Se não B, então não A. 
 
 
 
 
 
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
As proposições formadas com os termos: todo, algum e nenhum, são chamadas de 
proposições categóricas. Temos as seguintes formas: 
1. Todo A é B 
2. Nenhum A é B 
3. Algum A é B 
4. Algum A não é B 
 
- Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B, ou 
seja, todo elemento de A também é elemento de B. 
 
- Enunciados da forma “Nenhum A é B” afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, A 
e B não tem elementos em comum. 
 
- Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o 
conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. 
 
- Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um 
elemento que não pertence ao conjunto B. 
 
 
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NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM 
 
Exemplos: 
1) Negação de “Algum carro é veloz” é: “Nenhum carro é veloz”. 
 
 
2) Negação de “Nenhuma música é triste” é: “Alguma música é triste”. 
3) Negação de “Nenhum exercício não é difícil” é: “Algum exercício não é difícil”. 
4) Negação de “Toda meditação é relaxante” é: “Alguma meditação não é relaxante”. 
5) Negação de “Todo político não é rico” é: “Algum político é rico”. 
6) Negação de “Alguma arara não é amarela” é: “Toda arara é amarela”. 
7) Negação de “Alguém ganhou o bingo” é: “Ninguém ganhou o bingo”. 
8) Negação de: “Algum dia ela me amará” é: “Nenhum dia ela me amará”, ou melhor: “Nunca 
ela me amará”. 
 
 
Quantificadores 
 
O quantificador universal é indicado pelo símbolo  que se lê: para todo, para cada, qualquer 
que seja. 
 
O Quantificador Existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo  que se lê: 
existe pelo menos um, existe um, existe, para algum. 
 
Negação do Quantificador Universal 
Faremos a negação do quantificador universal  do seguinte modo: primeiro substituiremos o 
 (para todo) pelo  (existe um) e depois negaremos a sentença aberta. 
Simbolicamente, podemos escrever: 
 A negação de (x)(P) é a sentença (x)(¬P). Onde P representa a sentença aberta. 
Exemplo: 
proposição: (x)(x  N)(x + 1 > 4) negação: (x)(x  N)(x + 1 ≤ 4) 
 
Negação do Quantificador Existencial 
Faremos a negação do quantificador existencial  do seguinte modo: primeiro substitui-se o  
(existe) pelo  (para todo), e depois nega-se a sentença aberta. 
Simbolicamente, podemos escrever: 
 A negação de (x)(P) é a sentença (x)(¬P). Onde P representa a sentença aberta. 
Exemplo: 
proposição: (x)(x  Q)(1/x é um número natural) negação: (x)(x  Q)(1/x não é um número 
natural) 
 
 
 
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Exercícios 
 
1) La Salle 
 
 
 
2) La Salle 
 
 
 
 
3) La Salle 
 
 
 
a) 4 b) 8 c) 10 d) 16 e) 32 
4) A partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a 
proposição P^Q^R→PvQ é uma tautologia. (C ) 
 
 
5) La Salle 
 
 
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6) La Salle 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
DANTE, Luiz Roberto: Matemática Contexto e Aplicações. Volumes 1,2 e 3. São Paulo: 
Ática,2011. 
PAIVA, Manoel. Matemática. Volumes 1,2 e 3. Rio de Janeiro: Moderna, 2011. 
GIOVANNI, José Ruy. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2003. 
ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002. 
 
Sites 
PCI Concursos. Disponível em: https://arquivo.pciconcursos.com.br/ acessado em abr/2022. 
qconcursos. Disponível em https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos acessado 
em abr/2022. 
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https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos