05- Às vezes, calcular uma integral dupla , onde é uma região em formato circular, usando coordenadas retangulares pode ser algo trabalhoso a se f...

Para calcular a integral dupla usando coordenadas polares, precisamos primeiro descrever a região R em termos de coordenadas polares. Como a região é circular, podemos descrevê-la como 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π. A integral dupla pode ser escrita como: ∬R xy dA Usando coordenadas polares, temos: x = r cos(θ) y = r sin(θ) dA = r dr dθ Substituindo na integral, temos: ∬R xy dA = ∫0^2π ∫0^2 r^3 cos(θ) sin(θ) dr dθ Resolvendo a integral em relação a r, temos: ∬R xy dA = ∫0^2π [r^4/4 cos(θ) sin(θ)]_0^2 dθ ∬R xy dA = ∫0^2π 4 cos(θ) sin(θ) dθ ∬R xy dA = 0 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 2π.