As coordenadas retangulares e as coordenadas polares se relacionam por meio das seguintes equações: , e . Assim, a integral dupla com coordenadas ...

Para resolver esse problema, precisamos primeiro encontrar os limites de integração em coordenadas polares. O cilindro é definido por x² + y² = 1, que em coordenadas polares se torna r²cos²θ + r²sin²θ = 1, ou seja, r² = 1/cos²θ + 1/sin²θ. Isso nos dá os limites de integração para r: 1/cosθ ≤ r ≤ 1/sinθ A esfera é definida por x² + y² + z² = 4, que em coordenadas esféricas se torna r² + z² = 4, ou seja, z = sqrt(4 - r²). Isso nos dá o limite de integração para z: 0 ≤ z ≤ sqrt(4 - r²) A integral dupla em coordenadas polares é dada por: ∬f(x,y)dA = ∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ Para encontrar o volume, precisamos integrar a função f(x,y,z) = 1 sobre a região delimitada pela esfera e pelo cilindro: V = ∭f(x,y,z)dV = ∬∫f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz Substituindo z por sqrt(4 - r²), temos: V = ∬∫f(rcosθ,rsinθ,sqrt(4 - r²))rdrdθdz V = ∫₀^(π/4) ∫(1/cosθ)^(1/sinθ) ∫₀^sqrt(4 - r²) r dz dr dθ V = ∫₀^(π/4) ∫(1/cosθ)^(1/sinθ) r(sqrt(4 - r²)) dr dθ V = ∫₀^(π/4) [-1/3(4 - r²)^(3/2)]_(1/cosθ)^(1/sinθ) dθ V = ∫₀^(π/4) [-1/3(4 - (1/cos²θ + 1/sin²θ))^(3/2)] dθ V = ∫₀^(π/4) [-1/3(4 - (cos²θ + sin²θ)/(cos²θsin²θ))^(3/2)] dθ V = ∫₀^(π/4) [-1/3(4 - 1/(cos²θsin²θ))^(3/2)] dθ V = ∫₀^(π/4) [-1/3(4cos²θsin²θ - 1)^(3/2)/(cos²θsin²θ)] dθ V = ∫₀^(π/4) [-8/3(cos²2θ)^(3/2)/(cos²θsin²θ)] dθ V = ∫₀^(π/4) [-8/3(cos²θ)^(3/2)/(cos²θsin²θ)] dθ V = ∫₀^(π/4) [-8/3cosθ/(sin³θ)] dθ V = [-8/3(-1/2cos²θ)]₀^(π/4) V = 2/3 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 2/3.