Calculo Diferencial

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1 Marcar para revisão
Obtenha a solução geral da equação diferencial :
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
2 Marcar para revisão
Um objeto cai em queda livre a partir do repouso. O objeto tem uma
massa de 10 kg. Considere a constante de resistência do ar de 0,5
Ns /m e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s . Determine a
velocidade máxima obtida pelo objeto:
A 100 m/s
B 200 m/s
C 300 m/s
D 400 m/s
dy
dx = 2yx
y = 2ex
2
+ k, k real
y = x2 + k, k real
y = kln(x2), k real
y = kex
2
, k real
y = sen(x2) + k, k real
2 2
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Sair
E 500 m/s
Gabarito comentado
3 Marcar para revisão
Seja a equação diferencial . Marque
a alternativa que apresenta valores para e de forma que
a equação diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea:
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
4 Marcar para revisão
Obtenha a solução particular da equação diferencial 
, sabendo que o valor de pata vale :
A
B
C
D
u(x, z)x′′ − 2x′ + 2z2 = z2v(x, z)
u(x, z) v(x, z)
u(x, z) = 0 e v(x, z) = x3
u(x, z) = z2 e v(x, z) = x3
u(x, z) = x e v(x, z) = 0
u(x, z) = z2 e v(x, z) = z
u(x, z) = x e v(x, z) = z
2s′ + 4s − 8e2x = 0 s x = 0 2
s(x) = e2x − 2e−2x
s(x) = e2x + 2e−2x
s(x) = e2x + e−2x
s(x) = e2x − e−x
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Sair
E
Gabarito comentado
5 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear
homogênea:
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
6 Marcar para revisão
Obtenha a solução da equação diferencial  que
atenda a para :
A
B
C
s(x) = ex + 2e−x
st′ + 2tt′′ = 3
dy
dx − xy = 3x
2
y′′ + xy − ln(y′) = 2
3v dudv +
d2u
dv2
= 4u
2s + 3t = 5ln(st)
6u2 + 4cos u − 2v′ = 2
v = 2 u = 0
v(u) = 2 − u + 2sen u + u3
v(u) = 1 + u + cos u + u2
v(u) = 2 − 2u + 2sen u + u2
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Sair
D
E
Gabarito comentado
7 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma equação implícita
correspondente à solução da equação diferencial 
 sabendo que, para , o valor de vale :
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
8 Marcar para revisão
Seja um circuito RL em série com resistência de e indutor de . A
tensão é fornecida por uma fonte contínua de , que é ligada em 
. Determine a corrente máxima obtida no circuito:
A
B
C
v(u) = u + 2cos u + u3
v(u) = 3 − u − 2sen u + u3
3y2y′ − 4x3 − 2x = 0
x = 1 y 2
y3 − x4 − x2 = 6
y2 − x3 − x2 = 8
2y3 − x4 − x = 4
y3 − 2x3 − x2 = 8
y3 − x4 − x2 = 2
10Ω 1H
50V
t = 0s
5A
10A
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Sair
C
D
E
Gabarito comentado
9 Marcar para revisão
Obtenha a solução particular para equação diferencial 
 sabendo que :
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
10 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta uma solução para a equação
diferencial  :
A
B
15A
20A
25A
u + (2v + u)v′ = 0 v(1) = 1
2uv + u2 − 3 = 0
uv + u2 − 2 = 0
uv + v2 − 2 = 0
uv + 2u2 − 4 = 0
uv − 2u2 + 1 = 0
8x3y + 2y′ − 16x3 = 0
y = 2cosx + 2
y = 2 + 2x
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Sair
C
D
E
Gabarito comentado
y = 2 + exp(−x4)
y = lnx − 2
y = 2x2 + 4
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Sair
1 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial 
.
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
2 Marcar para revisão
Determine a solução particular da equação diferencial 
 que atenda à condição inicial e .
A
B
C
D
E
d2u
dv − 3
du
dv + 2u = 8
u = aev + bve−2v − 2, a e b reais.
u = avev + be2v − 2, a e b reais.
u = ae−v + be−2v − 2, a e b reais.
u = aev + be2v + 2, a e b reais.
u = aev + be2v − 2, a e b reais.
s′′ − 6s′ + 9s = 0 s(0) = 2 s′(0) = 8
2e3x(1 + x)
4e3x − 2
2cos(3x) + 2sen(3x)
2e3x + 2ex
xe3x(2 + x)
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Sair
Gabarito comentado
3 Marcar para revisão
Resolva a equação diferencial  com  e 
.
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
4 Marcar para revisão
Seja a equação diferencial . Sabe-se que as funções 
 e são soluções da equação dada.
Determine uma solução que atenda a condição inicial de e 
.
A
B
C
D
( )
y′′ − 2y′ = sen(4x) y(0) = 140
y′(0) = 9
5
y = e2x − 1 + 140 cos4x −
1
20 sen(4x)
y = 1 − e2x − 140 cos4x −
1
20 sen(4x)
y = 1 + e2x − 140 cos4x +
1
20 sen(4x)
y = e2x − 1 + 120 cos4x −
1
40 sen(4x)
y = 1 + e2x + 120 cos4x −
1
20 sen(4x)
y′′ + 4y = 0
y = cos(2x) y = 3sen(2x)
y(0) = 1
y′(0) = 4
cos(2x) + 2sen(2x)
cos(x) − 2sen(2x)
−cos(2x) + 3sen(2x)
cos(2x) + 2sen(x)
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Sair
E
Gabarito comentado
5 Marcar para revisão
Resolva a equação diferencial .
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
6 Marcar para revisão
Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação
diferencial  tenha solução única para um
problema de valor inicial.
A
B
C
cosx + sen(x)
y′′ + 4y′ + 13y = 0
ae−3x + be−2x,  a e b reais.
acos(3x) + bsen(3x),  a e b reais.
ae−2xcos(3x) + be−2xsen(3x),  a e b reais.
ae−2x + bxe−2x,  a e b reais.
acos(2x) + bsen(2x),  a e b reais.
y′′ + 4x2y′ + 4y = cosx
x > 0
x < 0
x ≤ 0
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Sair
D
E
Gabarito comentado
7 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial 
.
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
8 Marcar para revisão
Seja a equação diferencial . Sabe-se que 
 e  são soluções desta equação diferencial.
Determine a alternativa que apresenta uma solução da equação
diferencial.
A
B
C
x ≥ 0
−∞ < x < ∞
2y′′ − 12y′ + 20y = 0
aexcos(3x) + bexsen(3x),  a e b reais.
ae−3xcos(x) + be−3xsen(x),  a e b reais.
ae3xcos(x) + be3xsen(x),  a e b reais.
axe3xcos(x) + bxe3xsen(x),  a e b reais.
axexcos(x) + bxexsen(x),  a e b reais.
2y′′ − 4y′ + 2y = 0
y = exp(x) y = xexp(x)
ex + 2e−x
(2 + x)ex
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Sair
C
D
E
Gabarito comentado
9 Marcar para revisão
Resolva o problema de contorno que atenda à equação  e
 e .
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
10 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial .
A
B
2cosx − senx
x2 − 2x + 1
ln(x) − x
16x′′ + x = 0
x(0) = 4 x(2π) = 3
3e
x
3 + 2e−
x
3
4cos( x
4
) + 3sen( x
4
)
4excos( x
4
) + 3exsen( x
4
)
4e
x
4 + 3xe
x
4
2cos( x
4
) − 4sen( x
4
)
y′′ + 4y = 10ex
y = acos(2x) + bsen(2x) + 2ex
y = aexcos(2x) + bexsen(2x) + 2ex
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Sair
C
D
E
Gabarito comentado
y = aex + bxe2x + 2cos(2x)
y = acos(2x) + bxsen(2x) + 2x
y = acos(2x) + bsen(2x) + x2
Exercício - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Sair
1 Marcar para revisão
Marque a alternativa correta em relação às séries .
A Nada se pode concluir quanto à sua convergência.
B É divergente.
C É condicionalmente convergente.
D É convergente porém não é absolutamente convergente.
E É absolutamente convergente.
Gabarito comentado
2 Marcar para revisão
Marque a alternativa correta em relação às séries  e 
.
A Ambas são divergentes.
B Ambas são convergentes.
C A série é divergente e é convergente.
D A série é convergente e é divergente.
E Não é possível analisar a convergência das séries.
Σ∞1 ( 8n
2+5
1+16n2
)
n
sn = Σ∞1
n3+2n
√n7+1
tn = Σ∞1
4
5n−1
sn tn
sn tn
Exercício - SÉRIES Sair
Gabarito comentado
3 Marcar para revisão
Determine a soma da série associada à sequência . A série se
inicia para 
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
4 Marcar para revisão
Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da
série de potência 
A
B
C
D
E
an =
3n−1
5n−1
n = 1
3
2
5
2
7
2
9
2
11
2
Σ∞1 (x − 5)
k(k + 1)!
0 e [5]
1 e (1, 5)
0 e [−5]
∞ e [5]
Exercício - SÉRIES Sair
E
Gabarito comentado
5 Marcar para revisão
Marque a alternativa correta em relação às séries   e 
.
A Ambas são divergentes.
B Ambas são convergentes.
C A série é divergente e é convergente.
D A série é convergente e é divergente.
E Não é possível analisar a convergênciadas séries.
Gabarito comentado
6 Marcar para revisão
Marque a alternativa correta em relação à série .
A É divergente
B É convergente com soma no intervalo 
C É convergente com soma no intervalo 
D É convergente com soma no intervalo 
∞ e (−∞, ∞)
sn = Σ∞1
(k+1)k+1
(k+1)!
tn = Σ∞1
3k+2
k+1!
sn tn
sn tn
Σ∞1
3
1+5n
( 16 ,
1
3 )
( 1
4
, 3
4
)
( 1
4
, 1
3
)
( )
Exercício - SÉRIES Sair
E É convergente com soma no intervalo 
Gabarito comentado
7 Marcar para revisão
Marque a alternativa correta relacionada à série 
A É divergente
B É convergente com soma 
C É convergente com soma 
D É convergente com soma 
E É convergente com soma 
Gabarito comentado
8 Marcar para revisão
Determine o terceiro termo da série numérica associado à sequência 
, se iniciando para .
A
B
C
D
( 1
2
, 3
4
)
Σn1
n+1
(n+1)(n+8)
1
10
1
8
1
9
1
11
an =
2n
3n−1−2
n = 1
3
5
8
7
29
7
35
3
Exercício - SÉRIES Sair
E
Gabarito comentado
9 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da função 
.
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
10 Marcar para revisão
Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da
série de potência 
A
B
C
11
21
f(x) = ex
f(x) = 1 + x + x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +. . .
f(x) = x + x
2
3! +
x3
4! +
x4
5! +. . .
f(x) = 1 − x + x
2
2! −
x3
3! +
x4
4! +. . .
f(x) = 1 + x + x
2
2 +
x3
3 +
x4
4 +. . .
f(x) = 1 − x + x
2
2 −
x3
3 +
x4
4 +. . .
Σ∞1
(x+4)k
(k+1)!
1
2
 e ( − 1
2
, 1
2
]
1 e ( − 1
2
, 1
2
]
0 e [ 1
2
]
( ]
Exercício - SÉRIES Sair
D
E
Gabarito comentado
1
2  e ( − 1, 12 ]
∞ e (−∞, ∞)
Exercício - SÉRIES Sair
1 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para
função 
f(t) = senh(2t)+cosh(2t).
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
2 Marcar para revisão
Obtenha a transformada de Laplace da função g(t)=
A arctg(s)
B arctg + 
C
D - arctg 
2
s2−4
1
s−2
2
s+2
2
s2+4
s
s2−9
sen(2t)
t
(22)
π
2
π
4
π
2 (
s
2)
Exercício - TRANSFORMADAS (LAPLACE E FOURIER) Sair
E  
ln(2s)
Gabarito comentado
3 Marcar para revisão
Sabendo que a transformada de Laplace da função f(t) vale 
sendo n um número inteiro, obtenha a transformada de Laplace de e t
f(t).
 
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
4 Marcar para revisão
Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de
Laplace de 
f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 
A
B
1
(s2+4)(n+1)
3
s−4
(s2−6s+13)(n+4)
s
(s2−6s+13)(n+1)
1
(s2−6s+13)(n+1)
s−4
(s2−6s+26)(n+1)
4
(s2+6s+26)(n+1)
8
s2+64
s+1
(s2+64)
s
(s2+64)
Exercício - TRANSFORMADAS (LAPLACE E FOURIER) Sair
C
D
E
Gabarito comentado
5 Marcar para revisão
Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t cos t, sabendo
que 
ℒ [ cos t] =
A
B
C
D
E
Gabarito comentado
2s
(s2−64)
4
(s2+64)
s
2
(s2+64)
2 
s
s2+1
s(s2+3)
(s2−1)3
2(s2−3)
(s2−3)
s(s2−3)
(s2+1)3
2s(s2+3)
(s2−1)3
2s(s2−3)
(s2+1)3
Exercício - TRANSFORMADAS (LAPLACE E FOURIER) Sair
1 Marcar para revisão
Uma esfera com 20 C de temperatura é colocada totalmente em um
líquido que está a 100 C. Sabendo que a constante de tempo de
aquecimento vale 10 seg., determine a temperatura da esfera, em C,
após 10 seg.
A Entre 60 e 70
B Entre 70 e 80
C Entre 80 e 90
D Entre 90 e 100
E Entre 100 e 110
Gabarito comentado
2 Marcar para revisão
Um objeto com massa de 5 kg está em queda livre em um ambiente
cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5
Ns /m. O objeto sai do repouso. Determine a expressão da velocidade
em função do tempo obtida por ele durante sua queda. Considere a
aceleração da gravidade como 10 m/s .
A v(t)=50(1-e )m/s 
B v(t)=150(1-e )m/s 
C v(t)=100(1-e )m/s 
0 
0 
 0
2
2
-0,1t
-0,2t
-0,1t
Exercício - APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Sair
( ) ( )
D v(t)=150(1-e )m/s 
E v(t)=50(1-e )m/s 
Gabarito comentado
3 Marcar para revisão
Um objeto com massa de 2 kg está em queda livre em um ambiente
cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de k Ns /m.
O objeto sai do repouso. Determine o valor de k sabendo que ele
atinge uma velocidade máxima de 80 m/s.
A 0,15
B 0,25
C 0,35
D 0,50
E 1.00
Gabarito comentado
4 Marcar para revisão
Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC
sabendo que R = 20Ω , C = 2x10^-3 F, L = 1 H e v(t) = 12 sen(10t).
Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para t = 0 são nulas.
A e [0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t)
-0,1t
-0,2t
2
-10t
Exercício - APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Sair
B
e [0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024
sen(10t)
C
e [-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024
sen(10t)
D
e [-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024
sen(10t)
E 0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)
Gabarito comentado
5 Marcar para revisão
Seja um circuito RC em série com resistência de 100Ω e capacitor de 1F.
A tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de 50V ligada em
t = 0s. Determine a corrente no capacitor após 2 s.
A 0,25 e-
B 0,5 e -
C 0,5 e -
D 0,25 e -
E 0,25 e 
Gabarito comentado
-20t
-10t
-20t
1
100
1
50
1
100
1
50
-1
Exercício - APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Sair