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Obtenha a solução particular da equação 
diferencial 2 s ′ + 4 s −8 e 2 x = 0 2 ′+4 −8!2"=0, sabendo que o 
valor de s para x = 0 "=0 vale 2 2: 
A 
s ( x ) = e 2 x −2 e −2 x (")=!2"−2!−2" 
B 
s ( x ) = e 2 x +2 e −2 x (")=!2"+2!−2" 
C 
s ( x ) = e 2 x + e −2 x (")=!2"+!−2" 
D 
s ( x ) = e 2 x − e − x (")=!2"−!−" 
E 
s ( x ) = ex +2 e − x (")=!"+2!−" 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para resolver a equação 
diferencial 2 s ′ + 4 s −8 e 2 x = 0 2 ′+4 −8!2"=0, onde o valor de s 
para x=0 é 2, começamos reescrevendo a equação diferencial para uma forma mais 
fácil de resolver. 
A equação pode ser rearranjada como: 
2 s ′ + 4 s = 8 e 2 x 2 ′+4 =8!2" 
Dividindo tudo por 2, temos: 
s ′ +2 s = 4 e 2 x ′+2 =4!2" 
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem. 
Podemos resolvê-la usando o método do fator integrante. O fator 
integrante, μ ( x ) 8("), é dado por: 
μ ( x ) = e ∫ p ( x )d x = e ∫ 2 d x = e 2 x 8(")=!∫:(");"=!∫
2;"=!2" 
Multiplicando a equação diferencial por e 2 x !2", temos: 
e 2 xs ′ +2 e 2 xs = 4 e 4 x !2" ′+2!2" =4!4" 
O lado esquerdo é a derivada do produto de e 2 x !2" e s: 
dd x ( e 2 xs ) = 4 e 4 x ;;"(!2" )=4!4" 
Integrando ambos os lados em relação a x : 
e 2 xs = ∫ 4 e 4 x d x = e 4 x + C !2" =∫4!4";"=!4"+> 
Dividindo tudo por e 2 x !2" para obter s: 
s ( x ) = e 2 x + C e −2 x (")=!2"+>!−2" 
Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial s ( 0 ) = 2 (0)=2: 
s ( 0 ) = e 0+ C e 0 = 1+ C = 2 C = 1 (0)=!0+>!0=1+>=2
>=1 
Portanto, a solução é: 
s ( x ) = e 2 x + e −2 x (")=!2"+!−2" 
2 
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Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea: 
A 
s t ′ +2 tt ′′ = 3 @′+2@@″=3 
B 
d y d x − xy = 3 x 2 ;C;"−"C=3"2 
C 
y ′′ + xy − l n ( y ′ ) = 2 C″+"C−DE(C′)=2 
D 
3 v d u d v + d 2 u d v 2 = 4 u 3F;G;F+;2G;F2=4G 
E 
2 s +3 t = 5 l n ( s t ) 2 +3@=5DE( @) 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial linear homogênea é aquela que pode ser escrita na 
forma an ( x ) y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1 ) + ... + a 1 (
x ) y ′ + a 0 ( x ) y = 0 IE(")C(E)+IE−1(")C(E−1)+...+I1(")C
′+I0(")C=0, onde a i( x ) IJ(") são funções contínuas em um intervalo I 
e y ( n ) C(E) é a n-ésima derivada de y. A alternativa 
D, 3 v d u d v + d 2 u d v 2 = 4 u 3F;G;F+;2G;F2=4G, é a 
única que se encaixa nessa definição, pois todos os termos envolvendo a função 
desconhecida (neste caso, u) e suas derivadas estão de um lado da equação e o 
outro lado é igual a zero, caracterizando uma equação diferencial linear 
homogênea. 
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Obtenha a solução particular para a equação 
diferencial u + ( 2 v + u ) v ′ = 0 G+(2F+G)F′=0 sabendo 
que v ( 1 ) = 1 F(1)=1: 
A 
2 uv + u 2−3 = 0 2GF+G2−3=0 
B 
uv + u 2−2 = 0 GF+G2−2=0 
C 
uv + v 2−2 = 0 GF+F2−2=0 
D 
uv +2 u 2− 4 = 0 GF+2G2−4=0 
E 
uv −2 u 2+1 = 0 GF−2G2+1=0 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é u + ( 2 v + u ) v ′ = 0 G+(2F+G)F′=0. 
Para encontrar a solução particular, precisamos resolver a equação diferencial e 
aplicar a condição inicial v ( 1 ) = 1 F(1)=1. Ao fazer isso, chegamos à 
solução uv + v 2−2 = 0 GF+F2−2=0 
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Seja um circuito RL em série com resistência de 10 Ω 10Ω e indutor 
de 1 H 1U. A tensão é fornecida por uma fonte contínua de 50 V 50W, que 
é ligada em t = 0 s @=0 . Determine a corrente máxima obtida no circuito: 
A 
5 A 5X 
B 
10 A 10X 
C 
15 A 15X 
D 
20 A 20X 
E 
25 A 25X 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para determinar a corrente máxima obtida no circuito, devemos aplicar a lei de 
Ohm, que estabelece que a corrente é igual à tensão dividida pela resistência. Neste 
caso, temos uma tensão de 50 V 50W e uma resistência de 10 Ω 10Ω. 
Portanto, a corrente máxima é 50 V/ 10 Ω = 5 A 50W/10Ω=5X 
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Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial ordinária (EDO): 
A 
( 3 p +1 ) ∂ m ∂ p = 2 mp (3:+1)∂\∂:=2\: 
B 
d x d z − x 2 = z d 2 x d z 2 ;";]−"2=];2";]2 
C 
4 x −3 y 2 = 2 4"−3C2=2 
D 
s 2− s t = 2 ∂ s ∂t +3 2− @=2∂ ∂@+3 
E 
∂ w ∂ x + ∂ 2 w ∂ x ∂ y = xy 2 ∂_∂"+∂2_∂"∂C="C2 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A resposta correta 
é: d x d z − x 2 = z d 2 x d z 2 ;";]−"2=];2";]2 
Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que relaciona uma função 
de uma ou mais variáveis com suas derivadas. 
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Um objeto cai em queda livre a partir do repouso. O objeto tem uma massa de 10 
kg. Considere a constante de resistência do ar de 0,5 Ns2/m e a aceleração da 
gravidade igual a 10 m/s2. Determine a velocidade máxima obtida pelo objeto: 
A 
100 m/s 
B 
200 m/s 
C 
300 m/s 
D 
400 m/s 
E 
500 m/s 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A velocidade máxima de um objeto em queda livre é determinada quando a força 
de resistência do ar se iguala à força gravitacional atuante sobre o objeto. Neste 
caso, a força gravitacional é a massa do objeto multiplicada pela aceleração da 
gravidade (10 kg * 10 m/s2 = 100 N). A força de resistência do ar é proporcional ao 
quadrado da velocidade (0,5 Ns2/m * v2 = 100 N). Resolvendo essa equação para a 
velocidade, obtemos v = 200 m/s. Portanto, a velocidade máxima que o objeto 
atinge é 200 m/s. 
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Obtenha a solução geral da equação diferencial d y d x = 2 yx ;C;"=2C": 
A 
y = 2 ex 2+ k , k real C=2!"2+e,k real 
B 
y = x 2+ k , k real C="2+e,k real 
C 
y = kl n ( x 2 ) , k real C=eDE("2),k real 
D 
y = k ex 2 , k real C=e!"2,k real 
E 
y = sen ( x 2 ) + k , k real C= !E("2)+e,k real 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial separável. Ao separar as 
variáveis e integrar, obtemos a solução geral da equação diferencial 
como y = k ex 2 , k real C=e!"2,k real. Esta solução representa uma 
família de curvas, onde 'k' é uma constante real que pode assumir qualquer valor. 
Cada valor de 'k' nos dá uma curva específica dessa família. 
8 
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Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem e 
grau 2: 
A 
( 3 p +1 ) ∂ m ∂ p = 2 mp (3:+1)∂\∂:=2\: 
B 
d 2 y d x 2− ( d 3 y d x 3 ) 2 = d y d x ;2C;"2−(;3C;
"3)2=;C;" 
C 
s 3− ( s t ′′ ) 2 = 2 t ′ +3 3−( @″)2=2@′+3 
D 
∂ w ∂ x + ∂ 2 w ∂ x ∂ y = xy 2 ∂_∂"+∂2_∂"∂C="C2 
E 
d x d z − x 2 = z ( d 2 x d z 2 ) 3 ;";]−"2=](;2";]2)
3 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
d 2 y d x 2− ( d 3 y d x 3 ) 2 = d y d x ;2C;"2−(;3C;
"3)2=;C;". Esta equação é de terceira ordem, pois a maior derivada presente é 
a terceira derivada de y em relação a x ( d 3 y d x 3 ;3C;"3). Além disso, o 
grau da equação é 2, pois a maior potência a que uma derivada é elevada é 2, como 
pode ser observado no termo ( d 3 y d x 3 ) 2 (;3C;"3)2 
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Obtenha a solução da equação diferencial 6 u 2+ 4 cos 
u −2 v ′ = 2 6G2+4cos u−2F′=2 que atenda 
a v = 2 F=2 para u = 0 G=0: 
A 
v ( u ) = 2− u +2 sen u + u 3 F(G)=2−G+2sen u+G3 
B 
v ( u ) = 1+ u + cos u + u 2 F(G)=1+G+cos u+G2 
C 
v ( u ) = 2−2 u +2 sen u + u 2 F(G)=2−2G+2sen u+G2 
D 
v ( u ) = u +2 cos u + u 3 F(G)=G+2cos u+G3 
E 
v ( u ) = 3− u −2 sen u + u 3 F(G)=3−G−2sen u+G3 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é 6 u 2+ 4 cos u −2 v ′ = 2 6G2+4cos 
u−2F′=2. Para encontrar a solução que atende a 
condição v = 2 F=2 para u = 0 G=0,precisamos resolver a equação 
diferencial. Ao fazer isso, encontramos que a solução 
é v ( u ) = 2− u +2 sen u + u 3 F(G)=2−G+2sen u+G3 
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Seja a equação 
diferencial u ( x , z ) x ′′ −2 x ′ +2 z 2 = z 2 v ( x , z ) G(",])"″
−2"′+2]2=]2F(",]). Marque a alternativa que apresenta valores 
para u ( x , z ) G(",]) e v ( x , z ) F(",]) de forma que a equação 
diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea: 
A 
u ( x , z ) = 0 e v ( x , z ) = x 3 G(",])=0 e F(",])="3 
B 
u ( x , z ) = z 2 e v ( x , z ) = x 3 G(",])=]2 e F(",])="3 
C 
u ( x , z ) = x e v ( x , z ) = 0 G(",])=" e F(",])=0 
D 
u ( x , z ) = z 2 e v ( x , z ) = z G(",])=]2 e F(",])=] 
E 
u ( x , z ) = x e v ( x , z ) = z G(",])=" e F(",])=] 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta 
é: u ( x , z ) = z 2 e v ( x , z ) = x 3 G(",])=]2 e F(",])="3. Para 
que a equação diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea, os valores 
de u ( x , z ) G(",]) e v ( x , z ) F(",]) devem ser tais que a equação 
seja um polinômio homogêneo de grau 2. Nesse 
caso, u ( x , z ) = z 2 G(",])=]2 e v ( x , z ) = x 3 F(",])="3 satisf
azem essas condições, tornando a equação diferencial de segunda ordem, linear e 
homogênea. 
 
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Obtenha a solução particular da equação 
diferencial 2 s ′ + 4 s −8 e 2 x = 0 2 ′+4 −8!2"=0, sabendo que o 
valor de s para x = 0 "=0 vale 2 2: 
A 
s ( x ) = e 2 x −2 e −2 x (")=!2"−2!−2" 
B 
s ( x ) = e 2 x +2 e −2 x (")=!2"+2!−2" 
C 
s ( x ) = e 2 x + e −2 x (")=!2"+!−2" 
D 
s ( x ) = e 2 x − e − x (")=!2"−!−" 
E 
s ( x ) = ex +2 e − x (")=!"+2!−" 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação homogênea de primeira ordem. Para 
resolvê-la, precisamos encontrar uma função que satisfaça a equação. A alternativa 
B, s ( x ) = e 2 x +2 e −2 x (")=!2"+2!−2", é a única que satisfaz a 
equação diferencial dada e também atende à condição inicial de 
que s ( 0 ) = 2 (0)=2. Portanto, a solução particular da equação 
diferencial é s ( x ) = e 2 x +2 e −2 x (")=!2"+2!−2". 
2 
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Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial ordinária (EDO) 
A 
( 3 p +1 ) ∂ m ∂ p = 2 mp (3:+1)∂\∂:=2\: 
B 
d x d z − x 2 = z d 2 x d z 2 ;";]−"2=];2";]2 
C 
4 x −3 y 2 = 2 4"−3C2=2 
D 
s 2− s t = 2 ∂ s ∂t +3 2− @=2∂ ∂@+3 
E 
∂ w ∂ x + ∂ 2 w ∂ x ∂ y = xy 2 ∂_∂"+∂2_∂"∂C="C2 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve funções de uma 
variável independente e suas derivadas. A alternativa B apresenta uma EDO, pois a 
equação d x d z − x 2 = z d 2 x d z 2 ;";]−"2=];2";]2 envolve a 
função x(z) e suas derivadas em relação à variável z. As demais alternativas ou não 
envolvem derivadas (como a alternativa C) ou envolvem derivadas parciais (como 
as alternativas A, D e E), o que caracteriza equações diferenciais parciais, e não 
ordinárias. 
3 
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Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem e 
grau 2: 
A 
( 3 p +1 ) ∂ m ∂ p = 2 mp (3:+1)∂\∂:=2\: 
B 
d 2 y d x 2− ( d 3 y d x 3 ) 2 = d y d x ;2C;"2−(;3C;
"3)2=;C;" 
C 
s 3− ( s t ′′ ) 2 = 2 t ′ +3 3−( @″)2=2@′+3 
D 
∂ w ∂ x + ∂ 2 w ∂ x ∂ y = xy 2 ∂_∂"+∂2_∂"∂C="C2 
E 
d x d z − x 2 = z ( d 2 x d z 2 ) 3 ;";]−"2=](;2";]2)
3 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a letra B, que apresenta a equação 
diferencial d 2 y d x 2− ( d 3 y d x 3 ) 2 = d y d x ;2C;"
2−(;3C;"3)2=;C;". Esta equação é de terceira ordem, pois a maior derivada 
presente é a terceira derivada de y em relação a x ( d 3 y d x 3 ;3C;"3). 
Além disso, o grau da equação é 2, pois a maior potência a que uma derivada é 
elevada é 2, como pode ser observado no 
termo ( d 3 y d x 3 ) 2 (;3C;"3)2. 
4 
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Determine a solução da equação 
diferencial x 2+ 4 y 2 = 4 xyy ′ "2+4C2=4"CC′. 
A 
y 2 = 2 x 2 l nx +2 k x 2 C2=2"2DE"+2e"2, k real 
B 
y 2 = x 2 l nx − k x 2 C2="2DE"−e"2, k real 
C 
y 2 = 12 x 2 l nx +12 k x 2 C2=12"2DE"+12e"2, k real 
D 
y 2 = x 2 l nx −12 k x C2="2DE"−12e", k real 
E 
y 2 = 2 x l nx +2 k x C2=2"DE"+2e", k real 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação não linear. Para resolvê-la, é necessário 
aplicar métodos específicos de resolução de equações diferenciais. Ao resolver a 
equação, chegamos à 
expressão y 2 = 12 x 2 l nx +12 k x 2 C2=12"2DE"+12e"2, onde k 
é um número real. Portanto, a alternativa correta é a alternativa 
C: y 2 = 12 x 2 l nx +12 k x 2 C2=12"2DE"+12e"2, k real. 
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Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-
se que para t = 0 @=0 a população se encontra em 3.000 espécies e 
para t = 3 @=3 anos se encontram 3000 e 6 3000!6 espécies. Determine 
a população para um instante de tempo de 4 anos. 
A 
1000 e 8 1000!8 
B 
1000 e 10 1000!10 
C 
3000 e 8 3000!8 
D 
3000 e 10 3000!10 
E 
3000 e 12 3000!12 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para resolver essa questão, precisamos entender que o crescimento exponencial é 
dado pela fórmula P( t ) = P 0 er t j(@)=j0!k@, 
onde P( t ) j(@) é a população no tempo t @, P 0 j0 é a população 
inicial, r k é a taxa de crescimento e t @ é o tempo. No enunciado, temos que 
para t = 0 @=0, a população é de 3.000 espécies, ou 
seja, P 0 = 3000 j0=3000. Também sabemos que para t = 3 @=3, a 
população é de 3000 e 6 3000!6 espécies. Portanto, a taxa de 
crescimento r k é de 2 por ano. Assim, para determinar a população para um 
instante de tempo de 4 anos, substituímos t = 4 @=4 na fórmula, 
obtendo P( 4 ) = 3000 e 2 ∗ 4 = 3000 e 8 j(4)=3000!2∗4=30
00!8. Portanto, a alternativa correta é a alternativa C: 3000 e 8 3000!8. 
6 
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Um objeto cai em queda livre a partir do repouso. O objeto tem uma massa 
de 10 k g 10en. Considere a constante de resistência do ar 
de 0 , 5 N s 2 / m 0,5o 2/\ e a aceleração da gravidade igual 
a 10 m / s 2 10\/ 2. Determine a velocidade máxima obtida pelo objeto 
A 
100 m / s 100\/ 
B 
200 m / s 200\/ 
C 
300 m / s 300\/ 
D 
400 m / s 400\/ 
E 
500 m / s 500\/ 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A velocidade máxima de um objeto em queda livre é alcançada quando a força de 
resistência do ar se iguala à força da gravidade. Nesse caso, a força da gravidade é a 
massa do objeto multiplicada pela aceleração da gravidade, ou 
seja, 10 k g× 10 m / s 2 = 100 N 10en×10\/ 2=100o. A 
força de resistência do ar é a velocidade ao quadrado multiplicada pela constante 
de resistência do ar. Portanto, para encontrar a velocidade máxima, igualamos as 
duas forças e resolvemos a equação para a velocidade. Isso nos 
dá 200 m / s 200\/ , que é a alternativa correta. 
7 
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Seja um recipiente com, inicialmente, 5.000 l 5.000D de água 
e 100 k g 100en de sal. É inserido no recipiente uma solução (água salgada), 
com uma concentração de 1 k g 1en de sal por litro de água, a uma taxa fixa 
de 20 L/ m i n 20r/\JE. Esta solução é misturada completamente e tem 
uma saída do tanque com uma taxa de 20 L/ m i n 20r/\JE. Determine a 
quantidade de sal no recipiente após 50 minutos. 
A 
1000 exp ( −1 ) 1000!":(−1) 
B 
1000 exp ( −2 ) 1000!":(−2) 
C 
900 exp ( −1 ) 900!":(−1) 
D 
900 exp ( −2 ) 900!":(−2) 
E 
100 exp ( − 4 ) 100!":(−4) 
Resposta correta 
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Gabarito Comentado 
A quantidade de sal no recipiente após 50 minutos édada pela 
expressão 900 exp ( −1 ) 900!":(−1). Esta expressão é obtida através 
da resolução de uma equação diferencial que modela a situação descrita no 
enunciado. A equação leva em consideração a taxa de entrada e saída da solução no 
recipiente e a concentração de sal na solução. A função exponencial indica que a 
quantidade de sal no recipiente diminui exponencialmente com o tempo. 
8 
Marcar para revisão 
Seja um circuito RL em série com resistência de 10 Ω 10Ω e indutor 
de 1 H 1U. A tensão é fornecida por uma fonte contínua de 50 V 50W, que 
é ligada em t = 0 s @=0 . Determine a corrente máxima obtida no circuito: 
A 
5 A 5X 
B 
10 A 10X 
C 
15 A 15X 
D 
20 A 20X 
E 
25 A 25X 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para determinar a corrente máxima obtida no circuito, devemos aplicar a lei de 
Ohm, que estabelece que a corrente é igual à tensão dividida pela resistência. Neste 
caso, temos uma tensão de 50 V 50W e uma resistência de 10 Ω 10Ω. 
Portanto, a corrente máxima é 50 V/ 10 Ω = 5 A 50W/10Ω=5X, que 
corresponde à alternativa A. 
9 
Marcar para revisão 
Marque a alternativa que apresenta uma equação implícita que corresponde à 
solução da equação 
diferencial 3 y 2 y ′ − 4 x 3−2 x = 0 3C2C′−4"3−2"=0 sabendo que 
para x = 1 "=1 o valor de y C vale 2 2. 
A 
y 3− x 4 − x 2 = 8 C3−"4−"2=8 
B 
y 2− x 3− x 2 = 8 C2−"3−"2=8 
C 
2 y 3− x 4 − x = 4 2C3−"4−"=4 
D 
y 3−2 x 3− x 2 = 8 C3−2"3−"2=8 
E 
y 3− x 4 − x 2 = 2 C3−"4−"2=2 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação de Bernoulli, que pode ser resolvida por 
meio de uma substituição apropriada. Ao resolver a equação diferencial, obtemos 
uma equação implícita que representa a solução geral. Para encontrar a solução 
particular que satisfaça a condição inicial dada, 
substituímos x = 1 "=1 e y = 2 C=2 na equação implícita. A única alternativa 
que satisfaz essa condição é a alternativa 
A: y 3− x 4 − x 2 = 8 C3−"4−"2=8. 
10 
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Obtenha a solução particular para a equação 
diferencial u + ( 2 v + u ) v ′ = 0 G+(2F+G)F′=0 sabendo 
que v ( 1 ) = 1 F(1)=1: 
A 
2 uv + u 2−3 = 0 2GF+G2−3=0 
B 
uv + u 2−2 = 0 GF+G2−2=0 
C 
uv + v 2−2 = 0 GF+F2−2=0 
D 
uv +2 u 2− 4 = 0 GF+2G2−4=0 
E 
uv −2 u 2+1 = 0 GF−2G2+1=0 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é u + ( 2 v + u ) v ′ = 0 G+(2F+G)F′=0. 
Para encontrar a solução particular, precisamos resolver a equação diferencial e 
aplicar a condição inicial v ( 1 ) = 1 F(1)=1. Ao fazer isso, chegamos à 
solução uv + v 2−2 = 0 GF+F2−2=0, que corresponde à alternativa C. 
Portanto, a alternativa C é a resposta correta. 
 
1 
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Determine a solução para a equação 
diferencial 4 y ′′ + 4 y = 8 secx 4C″+4C=8 !s", com x " pertencente 
ao intervalo ( 0 , π 2 ) (0,π2). 
A 
y = axcosx + b xsenx +2 l n ( cos ( x )) cosx + x 
sen ( x ) , a e b reais. C=I"su "+v" !E"+2DE (su ("))su "+ x 
sen("), a e b reais. 
B 
y = acosx + b senx +2 l n ( sen ( x )) cosx + 2x 
sen ( x ) , a e b reais. C=Isu "+v !E"+2DE( !E("))su "+ 2x 
sen("), a e b reais. 
C 
y = acosx + b senx +2 l n ( cos ( x )) cosx + 2x 
sen ( x ) , a e b reais. C=Isu "+v !E"+2DE (su ("))su "+ 2x 
sen("), a e b reais. 
D 
y = axcosx + b senx +2 l n ( x ) cosx − x sen ( x ) , a e 
b reais. C=I"su "+v !E"+2DE(")su "− x sen("), a e b reais. 
E 
y = acosx + b xsenx +2 l n ( x ) cosx + x sen ( x ) , a e 
b reais. C=Isu "+v" !E"+2DE (")su "+ x sen("), a e b reais. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A resposta correta 
é: y = acosx + b senx +2 l n ( cos ( x )) cosx + 2x 
sen ( x ) , a e b reais. C=Isu "+v !E"+2DE (su ("))su "+ 2x 
sen("), a e b reais.. A solução da equação 
diferencial 4 y ′′ + 4 y = 8 secx 4C″+4C=8 !s", com x " pertencente 
ao intervalo ( 0 , π 2 ) (0,π2), é dada 
por: y = acosx + b senx +2 l n ( cos ( x )) cosx + 2x 
sen ( x ) , a e b reais. C=Isu "+v !E"+2DE (su ("))su "+ 2x 
sen("), a e b reais.. Para chegar a essa solução, podemos utilizar o método de 
separação de variáveis. Primeiramente, dividimos a equação diferencial 
por 4 4: y ′′ + y = 2 secx C″+C=2 !s" Em seguida, integramos ambos os 
lados da 
equação: y ′ + y = 2 l n ( cos ( x )) C′+C=2DE (su (")) Agora, 
podemos 
isolar y ′ C′: y ′ = 2 l n ( cos ( x )) − y C′=2DE (su ("))−C Inte
gramos novamente ambos os lados da 
equação: y = 2 l n ( cos ( x )) x − xsen ( x ) + c C=2DE (su
 ("))"−" !E(")+s Por fim, adicionamos uma constante arbitrária c s para 
obter a solução geral da equação 
diferencial: y = acosx + b senx +2 l n ( cos ( x )) cosx + 2x 
sen ( x ) , a e b reais. C=Isu "+v !E"+2DE (su ("))su "+ 2x 
sen("), a e b reais. 
2 
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Determine a solução geral da equação 
diferencial y ′′ + 4 y = 10 ex C″+4C=10!". 
A 
y = acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) +2 ex C=Isu (2")+v !E(2
")+2!" 
B 
y = aexcos ( 2 x ) + b exsen ( 2 x ) +2 ex C=I!"su (2")+v
!" !E(2")+2!" 
C 
y = aex + b xe 2 x +2 cos ( 2 x ) C=I!"+v"!2"+2su (2") 
D 
y = acos ( 2 x ) + b xsen ( 2 x ) +2 x C=Isu (2")+v" !E(
2")+2" 
E 
y = acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) + x 2 C=Isu (2")+v !E(2
")+"2 
Resposta correta 
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Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda 
ordem. A solução geral para esse tipo de equação é dada pela soma de uma solução 
particular da equação não homogênea e a solução geral da equação homogênea 
associada. Nesse caso, a solução geral da equação homogênea é dada 
por y = acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) C=Isu (2")+v !E(2"), 
onde 'a' e 'b' são constantes arbitrárias. A solução particular da equação não 
homogênea é dada por 2 ex 2!". Portanto, a solução geral da equação diferencial 
é y = acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) +2 ex C=Isu (2")+v !E(
2")+2!", 
3 
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Determine a solução particular da equação 
diferencial s ′′ −6 s ′ +9 s = 0 ″−6 ′+9 =0 que atenda à condição 
inicial s ( 0 ) = 2 (0)=2 e s ′ ( 0 ) = 8 ′(0)=8. 
A 
2 e 3 x ( 1+ x ) 2!3"(1+") 
B 
4 e 3 x −2 4!3"−2 
C 
2 cos ( 3 x ) +2 sen ( 3 x ) 2su (3")+2 !E(3") 
D 
2 e 3 x +2 ex 2!3"+2!" 
E 
xe 3 x ( 2+ x ) "!3"(2+") 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda 
ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, precisamos 
encontrar a solução geral e, em seguida, aplicar as condições iniciais para 
encontrar a solução particular. A solução geral dessa equação é da 
forma s ( x ) = e 3 x (A x + B) (")=!3"(X"+w), onde A e B são 
constantes a serem determinadas. Aplicando as condições 
iniciais s ( 0 ) = 2 (0)=2 e s ′ ( 0 ) = 8 ′(0)=8, encontramos 
que A = 2 e B = 2. Portanto, a solução particular que atende às condições iniciais 
é 2 e 3 x ( 1+ x ) 2!3"(1+") 
4 
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Seja a equação diferencial 2 y ′′ − 4 y ′ +2 y = 0 2C″−4C′+2C=0. Sabe-
se que y = exp ( x ) C=!": (") e y = xexp ( x ) C="!":(") são 
soluções desta equação diferencial. Determine a alternativa que apresenta uma 
solução da equação diferencial. 
A 
ex +2 e − x !"+2!−" 
B 
( 2+ x ) ex (2+")!" 
C 
2 cosx − senx 2su "− !E" 
D 
x 2−2 x +1 "2−2"+1 
E 
l n ( x ) − x DE(")−" 
Resposta correta 
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Gabarito Comentado 
A resposta correta é: ( 2+ x ) ex (2+")!". A equação diferencial é de 
segunda ordem, linear e homogênea. Portanto, as soluções são da 
forma y = c 1 ex + c 2 xex C=s1!"+s2"!", onde c 1 s1 e c 2 s2 são 
constantes. Substituindo na equação diferencial, 
obtemos: 2 ( c 1 ex + c 2 xex ) ′′ − 4 ( c 1 ex + c 2 xex ) ′
+2 (c 1 ex + c 2 xex ) = 0 2(s1!"+s2"!")″−4(s1!"+s2"!")′+
2(s1!"+s2"!")=0 2 c 1 ex +2 c 2 xex − 4 c 1 ex − 4 c 2 xex
+2 c 1 ex +2 c 2 xex = 0 2s1!"+2s2"!"−4s1!"−4s2"!"+2s1!"+
2s2"!"=0 0 = 0 0=0 Portanto, todas as soluções da 
forma y = c 1 ex + c 2 xex C=s1!"+s2"!" são soluções da equação 
diferencial. 
5 
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Determine a solução da equação 
diferencial 2 x 2 y ′′ +6 xy ′ +2 y = 0 2"2C″+6"C′+2C=0 para x >
0 ">0. 
A 
y = aex + b xex , a e b reais. C=I!"+v"!", a e b reais. 
B 
y = a l n ( x 2 ) + b x , a e b reais. C=IDE ("2)+v", a e b 
reais. 
C 
y = ax + b x , a e b reais. C=I"+v", a e b reais. 
D 
y = 2 ax −1 x l nx , a e b reais. C=2I"−1"DE", a e b reais. 
E 
y = ax + b x l nx , a e b reais. C=I"+v"DE", a e b reais. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação de Euler, que tem soluções da 
forma y = xm C="\, onde m \ é uma contatante. 
Substituindo essa forma na equação diferencial, obtemos uma equação quadrática 
para m \, cujas soluções são m = −1 \=−1 e m = 0 \=0. 
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada 
por y = ax −1+ b C=I"−1+v, onde a I e b v são constantes arbitrárias. 
No entanto, como x > 0 ">0, podemos escrever x −1 "−1 como 1 x 1" e a 
solução geral se torna y = ax + b C=I"+v 
A alternativa y = ax + b x l nx , a e b reais. C=I"+v"DE", a e b 
reais. é uma extensão dessa solução geral, onde o termo b x l nx v"DE" é 
adicionado para satisfazer a condição de que x > 0 ">0 
6 
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Marque a alternativa que apresenta duas funções que são linearmente 
independentes. 
A 
3 exp ( −2 x ) 3!": (−2") e 1 exp ( 2 x ) 1!": (2") 
B 
9 x 3 9"3 e 2 x 3 2"3 
C 
senx !E" e cosx su " 
D 
exp ( 2 l nx ) !":(2DE") e 3 x 2 3"2 
E 
3 x 1 / 2 3"1/2 e 4 √ x 4" 
Resposta correta 
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Gabarito Comentado 
A resposta correta é: senx !E" e cosx su " 
As funções sen x e cos x são linearmente independentes, pois não existe uma 
combinação linear delas que seja igual a zero. 
7 
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Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação 
diferencial y ′′ + 4 x 2 y ′ + 4 y = cosx C″+4"2C′+4C=su " tenha 
solução única para um problema de valor inicial. 
A 
x > 0 ">0 
B 
x < 0 "<0 
C 
x ≤0 "≤0 
D 
x ≥0 "≥0 
E 
− ∞ < x < ∞ −∞<"<∞ 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta: − ∞ < x < ∞ −∞<"<∞ que indica que a equação 
diferencial y ′′ + 4 x 2 y ′ + 4 y = cosx C″+4"2C′+4C=su " tem 
solução única para um problema de valor inicial em todo o conjunto dos números 
reais, ou seja, para qualquer valor de x no intervalo − ∞ < x < ∞ −∞<"<∞. 
Isso ocorre porque a equação diferencial dada é linear e de coeficientes constantes, 
o que garante a existência e unicidade da solução para qualquer valor de x. 
8 
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Resolva a equação diferencial y ′′ + 4 y ′ +13 y = 0 C″+4C′+13C=0. 
A 
ae −3 x + b e −2 x , a e b reais. I!−3"+v!−2", a e b reais. 
B 
acos ( 3 x ) + b sen ( 3 x ) , a e b 
reais. Isu (3")+v !E(3"), a e b reais. 
C 
ae −2 xcos ( 3 x ) + b e −2 xsen ( 3 x ) , a e b 
reais. I!−2"su (3")+v!−2" !E(3"), a e b reais. 
D 
ae −2 x + b xe −2 x , a e b reais. I!−2"+v"!−2", a e b reais. 
E 
acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) , a e b 
reais. Isu (2")+v !E(2"), a e b reais. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda 
ordem com coeficientes constantes. A solução geral para esse tipo de equação é 
dada por y ( x ) = emx C(")=!\", onde m \ é uma raiz da equação 
característica associada. Neste caso, a equação característica 
é m 2+ 4 m +13 = 0 \2+4\+13=0, cujas raízes são complexas e dadas 
por m = −2±3 i \=−2±3J. Portanto, a solução geral da equação diferencial é 
dada 
por y ( x ) = e −2 x ( acos ( 3 x ) + b sen ( 3 x ) C(")=!
−2"(Icos (3")+v !E(3"), onde a I e b v são constantes reais. 
A resposta correta 
é: ae −2 xcos ( 3 x ) + b e −2 xsen ( 3 x ) , a e b 
reais. I!−2"su (3")+v!−2" !E(3"), a e b reais. 
9 
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Seja a equação diferencial y ′′ + 4 y = 0 C″+4C=0. Sabe-se que as 
funções y = cos ( 2 x ) C=su (2") e y = 3 sen ( 2 x ) C=3 !E(
2") são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda a condição 
inicial de y ( 0 ) = 1 C(0)=1 e y ′ ( 0 ) = 4 C′(0)=4. 
A 
cos ( 2 x ) +2 sen ( 2 x ) su (2")+2 !E(2") 
B 
cos ( x ) −2 sen ( 2 x ) su (")−2 !E(2") 
C 
− cos ( 2 x ) +3 sen ( 2 x ) −su (2")+3 !E(2") 
D 
cos ( 2 x ) +2 sen ( x ) su (2")+2 !E(") 
E 
cosx + sen ( x ) su "+ !E(") 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação homogênea de segunda ordem. As 
soluções para este tipo de equação são combinações lineares das funções solução. 
Neste caso, as funções solução 
são y = cos ( 2 x ) C=su (2") e y = 3 sen ( 2 x ) C=3 !E(2"). 
Para encontrar a solução que atende às condições iniciais dadas, precisamos 
encontrar os coeficientes apropriados para estas funções. Ao aplicar as condições 
iniciais, encontramos que a solução que atende a essas condições 
é cos ( 2 x ) +2 sen ( 2 x ) su (2")+2 !E(2") 
10 
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Resolva o problema de contorno que atenda à 
equação 16 x ′′ + x = 0 16"″+"=0 e x ( 0 ) = 4 "(0)=4 e x ( 2
π ) = 3 "(2π)=3. 
A 
3 ex 3+2 e − x 3 3!"3+2!−"3 
B 
4 cos ( x 4 ) +3 sen ( x 4 ) 4su ("4)+3 !E("4) 
C 
4 excos ( x 4 ) +3 exsen ( x 4 ) 4!"su ("4)+3!"
 !E("4) 
D 
4 ex 4 +3 xex 4 4!"4+3"!"4 
E 
2 cos ( x 4 ) − 4 sen ( x 4 ) 2su ("4)−4 !E("4
) 
Resposta correta 
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Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação homogênea de segunda ordem. A 
solução geral para esse tipo de equação é uma combinação linear de funções seno e 
cosseno. A alternativa 
correta, 4 cos ( x 4 ) +3 sen ( x 4 ) 4su ("4)+3 !
E("4), é a única que atende a essa forma e também satisfaz as condições de 
contorno dadas, x ( 0 ) = 4 "(0)=4 e x ( 2 π ) = 3 "(2π)=3. 
 
1 
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Resolva o problema de contorno que atenda à 
equação 16 x ′′ + x = 0 16"″+"=0 e x ( 0 ) = 4 "(0)=4 e x ( 2
π ) = 3 "(2π)=3. 
A 
3 ex 3+2 e − x 3 3!"3+2!−"3 
B 
4 cos ( x 4 ) +3 sen ( x 4 ) 4su ("4)+3 !E("4) 
C 
4 excos ( x 4 ) +3 exsen ( x 4 ) 4!"su ("4)+3!"
 !E("4) 
D 
4 ex 4 +3 xex 4 4!"4+3"!"4 
E 
2 cos ( x 4 ) − 4 sen ( x 4 ) 2su ("4)−4 !E("4
) 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação homogênea de segunda ordem. A 
solução geral para esse tipo de equação é uma combinação linear de funções seno e 
cosseno. A alternativa 
correta, 4 cos ( x 4 ) +3 sen ( x 4 ) 4su ("4)+3 !
E("4), é a única que atende a essa forma e também satisfaz as condições de 
contorno dadas, x ( 0 ) = 4 "(0)=4 e x ( 2 π ) = 3 "(2π)=3. 
2 
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Determine a solução particular da equação 
diferencial s ′′ −6 s ′ +9 s = 0 ″−6 ′+9 =0 que atenda à condição 
inicial s ( 0 ) = 2 (0)=2 e s ′ ( 0 ) = 8 ′(0)=8. 
A 
2 e 3 x ( 1+ x ) 2!3"(1+") 
B 
4 e 3 x −2 4!3"−2 
C 
2 cos ( 3 x ) +2 sen ( 3 x ) 2su (3")+2 !E(3") 
D 
2 e 3 x +2 ex 2!3"+2!" 
E 
xe 3 x ( 2+ x ) "!3"(2+") 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda 
ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, precisamos 
encontrar a solução geral e, em seguida, aplicar as condições iniciais para 
encontrar a solução particular. A solução geral dessa equação é da 
forma s ( x ) = e 3 x (A x + B) (")=!3"(X"+w), onde A e B são 
constantes a serem determinadas.Aplicando as condições 
iniciais s ( 0 ) = 2 (0)=2 e s ′ ( 0 ) = 8 ′(0)=8, encontramos 
que A = 2 e B = 2. Portanto, a solução particular que atende às condições iniciais 
é 2 e 3 x ( 1+ x ) 2!3"(1+"), que corresponde à alternativa A. 
3 
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Resolva a equação 
diferencial y ′′ −2 y ′ = sen ( 4 x ) C″−2C′= !E(4") com y ( 0
) = 1 40 C(0)=140 e y ′ ( 0 ) = 95 C′(0)=95. 
A 
y = e 2 x −1+1 40 cos 4 x −120 sen ( 4 x ) C=!2"−1+140su 4
"−120 !E(4") 
B 
y = 1− e 2 x −1 40 cos 4 x −120 sen ( 4 x ) C=1−!2"−140su 
4"−120 !E(4") 
C 
y = 1+ e 2 x −1 40 cos 4 x +120 sen ( 4 x ) C=1+!2"−140su 
4"+120 !E(4") 
D 
y = e 2 x −1+120 cos 4 x −1 40 sen ( 4 x ) C=!2"−1+120su 4
"−140 !E(4") 
E 
y = 1+ e 2 x +120 cos 4 x −120 sen ( 4 x ) C=1+!2"+120su 4
"−120 !E(4") 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A solução da equação diferencial dada é encontrada ao resolver a equação 
homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a 
equação não homogênea. A solução geral da equação homogênea é uma 
combinação linear das soluções exponenciais, enquanto a solução particular pode 
ser encontrada usando o método de coeficientes indeterminados. Ao aplicar as 
condições iniciais dadas, obtemos a solução 
específica y = e 2 x −1+1 40 cos 4 x −120 sen ( 4 x ) C=!2"−1+
140su 4"−120 !E(4"). 
4 
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Resolva a equação diferencial y ′′ + 4 y ′ +13 y = 0 C″+4C′+13C=0. 
A 
ae −3 x + b e −2 x , a e b reais. I!−3"+v!−2", a e b reais. 
B 
acos ( 3 x ) + b\sen( 3 x ) , a e b 
reais. Icos (3")+v\sen(3"), a e b reais. 
C 
ae −2 xcos ( 3 x ) + b e −2 x \sen( 3 x ) , a e b 
reais. I!−2"cos (3")+v!−2"\sen(3"), a e b reais. 
D 
ae −2 x + b xe −2 x , a e b reais. I!−2"+v"!−2", a e b reais. 
E 
acos ( 2 x ) + b\sen( 2 x ) , a e b 
reais. Icos (2")+v\sen(2"), a e b reais. 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda 
ordem com coeficientes constantes. A solução geral para esse tipo de equação é 
dada por y ( x ) = emx C(")=!\", onde m \ é uma raiz da equação 
característica associada. Neste caso, a equação característica 
é m 2+ 4 m +13 = 0 \2+4\+13=0, cujas raízes são complexas e dadas 
por m = −2±3 i \=−2±3J. Portanto, a solução geral da equação diferencial é 
dada 
por y ( x ) = e −2 x ( acos ( 3 x ) + b\sen( 3 x )) C(")=!
−2"(Icos (3")+v\sen(3")), onde a I e b v são constantes reais. Isso 
corresponde à alternativa 
C: ae −2 xcos ( 3 x ) + b e −2 x \sen( 3 x ) , a e b 
reais. I!−2"cos (3")+v!−2"\sen(3"), a e b reais.. 
5 
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Determine a solução da equação 
diferencial 2 x 2 y ′′ +6 xy ′ +2 y = 0 2"2C″+6"C′+2C=0 para x >
0 ">0. 
A 
y = aex + b xex , a e b reais. C=I!"+v"!", a e b reais. 
B 
y = a l n ( x 2 ) + b x , a e b reais. C=IDE ("2)+v", a e b 
reais. 
C 
y = ax + b x , a e b reais. C=I"+v", a e b reais. 
D 
y = 2 ax −1 x l nx , a e b reais. C=2I"−1"DE", a e b reais. 
E 
y = ax + b x l nx , a e b reais. C=I"+v"DE", a e b reais. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação de Euler, que tem soluções da 
forma y = xm C="\, onde m \ é uma constante. Substituindo essa forma na 
equação diferencial, obtemos uma equação quadrática para m \, cujas soluções 
são m = −1 \=−1 e m = 0 \=0. Portanto, a solução geral da equação 
diferencial é dada por y = ax −1+ b C=I"−1+v, onde a I e b v são 
constantes arbitrárias. No entanto, como x > 0 ">0, podemos 
escrever x −1 "−1 como 1 x 1" e a solução geral se 
torna y = ax + b C=I"+v. A alternativa 
E, y = ax + b x l nx C=I"+v"DE", é uma extensão dessa solução geral, 
onde o termo b x l nx v"DE" é adicionado para satisfazer a condição de 
que x > 0 ">0. Portanto, a alternativa E é a resposta correta. 
6 
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Determine a solução geral da equação 
diferencial 2 y ′′ −12 y ′ +20 y = 0 2C″−12C′+20C=0. 
A 
aexcos ( 3 x ) + b exsen ( 3 x ) , a e b 
reais. I!"su (3")+v!" !E(3"), a e b reais. 
B 
ae −3 xcos ( x ) + b e −3 xsen ( x ) , a e b 
reais. I!−3"su (")+v!−3" !E("), a e b reais. 
C 
ae 3 xcos ( x ) + b e 3 xsen ( x ) , a e b 
reais. I!3"su (")+v!3" !E("), a e b reais. 
D 
axe 3 xcos ( x ) + b xe 3 xsen ( x ) , a e b 
reais. I"!3"su (")+v"!3" !E("), a e b reais. 
E 
axexcos ( x ) + b xexsen ( x ) , a e b 
reais. I"!"su (")+v"!" !E("), a e b reais. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda 
ordem. Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação 
característica associada, que é 2 m 2−12 m +20 = 0 2\2−12\+20=0. 
As raízes dessa equação são complexas e dadas por m = 3± i \=3±J. 
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada 
por y ( x ) = emx ( acos ( x ) + b sen ( x )) C(")=!\"(Is
u (")+v !E(")), onde m \ é a parte real das raízes e a I e b v são 
constantes reais. Substituindo m = 3 \=3, obtemos a solução geral 
como ae 3 xcos ( x ) + b e 3 xsen ( x ) , a e b 
reais. I!3"su (")+v!3" !E("), a e b reais., que corresponde à 
alternativa C. 
7 
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Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação 
diferencial y ′′ + 4 x 2 y ′ + 4 y = cosx C″+4"2C′+4C=su " tenha 
solução única para um problema de valor inicial. 
A 
x > 0 ">0 
B 
x < 0 "<0 
C 
x ≤0 "≤0 
D 
x ≥0 "≥0 
E 
− ∞ < x < ∞ −∞<"<∞ 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a E, que indica que a equação 
diferencial y ′′ + 4 x 2 y ′ + 4 y = cosx C″+4"2C′+4C=su " tem 
solução única para um problema de valor inicial em todo o conjunto dos números 
reais, ou seja, para qualquer valor de x no intervalo − ∞ < x < ∞ −∞<"<∞. 
Isso ocorre porque a equação diferencial dada é linear e de coeficientes constantes, 
o que garante a existência e unicidade da solução para qualquer valor de x. 
8 
Marcar para revisão 
Seja a equação diferencial y ′′ + 4 y = 0 C″+4C=0. Sabe-se que as 
funções y = cos ( 2 x ) C=su (2") e y = 3 sen ( 2 x ) C=3 !E(
2") são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda a condição 
inicial de y ( 0 ) = 1 C(0)=1 e y ′ ( 0 ) = 4 C′(0)=4. 
A 
cos ( 2 x ) +2 sen ( 2 x ) su (2")+2 !E(2") 
B 
cos ( x ) −2 sen ( 2 x ) su (")−2 !E(2") 
C 
− cos ( 2 x ) +3 sen ( 2 x ) −su (2")+3 !E(2") 
D 
cos ( 2 x ) +2 sen ( x ) su (2")+2 !E(") 
E 
cosx + sen ( x ) su "+ !E(") 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação homogênea de segunda ordem. As 
soluções para este tipo de equação são combinações lineares das funções solução. 
Neste caso, as funções solução 
são y = cos ( 2 x ) C=su (2") e y = 3 sen ( 2 x ) C=3 !E(2"). 
Para encontrar a solução que atende às condições iniciais dadas, precisamos 
encontrar os coeficientes apropriados para estas funções. Ao aplicar as condições 
iniciais, encontramos que a solução que atende a essas condições 
é cos ( 2 x ) +2 sen ( 2 x ) su (2")+2 !E(2"), que 
corresponde à alternativa A. 
9 
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Determine a solução geral da equação 
diferencial d 2 u d v −3 d u d v +2 u = 8 ;2G;F−3;G;F+2G=8. 
A 
u = aev + b ve −2 v −2 , a e b reais. G=I!F+vF!−2F−2,a e b 
reais. 
B 
u = avev + b e 2 v −2 , a e b reais. G=IF!F+v!2F−2,a e b reais. 
C 
u = ae − v + b e −2 v −2 , a e b reais. G=I!−F+v!−2F−2,a e b 
reais. 
D 
u = aev + b e 2 v +2 , a e b reais. G=I!F+v!2F+2,a e b reais. 
E 
u = aev + b e 2 v −2 , a e b reais. G=I!F+v!2F−2,a e b reais. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial de segundaordem 
homogênea com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, precisamos 
encontrar as raízes da equação característica associada, que 
é r 2−3 r +2 = 0 k2−3k+2=0. As raízes dessa equação 
são r = 1 k=1 e r = 2 k=2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é 
dada por u = aev + b e 2 v G=I!F+v!2F, onde 'a' e 'b' são constantes 
reais. No entanto, a equação diferencial original tem um termo constante no lado 
direito, que é 8. Para compensar isso, precisamos adicionar uma constante à nossa 
solução geral. Portanto, a solução geral correta da equação diferencial 
é u = aev + b e 2 v +2 , a e b reais. G=I!F+v!2F+2,a e b reais.. 
10 
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Determine a solução geral da equação 
diferencial y ′′ + 4 y = 10 ex C″+4C=10!". 
A 
y = acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) +2 ex C=Isu (2")+v !E(2
")+2!" 
B 
y = aexcos ( 2 x ) + b exsen ( 2 x ) +2 ex C=I!"su (2")+v
!" !E(2")+2!" 
C 
y = aex + b xe 2 x +2 cos ( 2 x ) C=I!"+v"!2"+2su (2") 
D 
y = acos ( 2 x ) + b xsen ( 2 x ) +2 x C=Isu (2")+v" !E(
2")+2" 
E 
y = acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) + x 2 C=Isu (2")+v !E(2
")+"2 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda 
ordem. A solução geral para esse tipo de equação é dada pela soma de uma solução 
particular da equação não homogênea e a solução geral da equação homogênea 
associada. Nesse caso, a solução geral da equação homogênea é dada 
por y = acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) C=Isu (2")+v !E(2"), 
onde 'a' e 'b' são constantes arbitrárias. A solução particular da equação não 
homogênea é dada por 2 ex 2!". Portanto, a solução geral da equação 
diferencial 
é y = acos ( 2 x ) + b sen ( 2 x ) +2 ex C=Isu (2")+v !E(
2")+2!", que corresponde à alternativa A. 
 
1 
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Marque a alternativa que apresenta uma série trigonométrica par. 
A 
Σ ∞ 0 [ 1 n 2 cos ( nx ) −1 nsen ( nx ) ] Σ0∞[1E2su
 (E")−1E !E(E")] 
B 
Σ ∞ 0 [( n +1 ) cos ( nx ) +3 nsen ( nx )] Σ0∞[(E+1)su 
(E")+3E !E(E")] 
C 
Σ ∞ 0 [ n 2 cos ( nx )] Σ0∞[E2su (E")] 
D 
Σ ∞ 0 [ 1 n ( x +1 ) ] Σ0∞[1E("+1)] 
E 
Σ ∞ 0 [( n +1 ) sen ( nx )] Σ0∞[(E+1) !E(E")] 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série trigonométrica par é aquela que é simétrica em relação à origem. A 
série Σ ∞ 0 [ n 2 cos ( nx )] Σ0∞[E2su (E")] é simétrica em 
relação à origem, pois cos (nx) é uma função par. 
2 
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Marque a alternativa correta relacionada à 
série Σ n 1 n +1 ( n +1 )( n +8 ) Σ1EE+1(E+1)(E+8) 
A 
É divergente 
B 
É convergente com soma 110 110 
C 
É convergente com soma 18 18 
D 
É convergente com soma 19 19 
E 
É convergente com soma 111 111 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série em questão é convergente e sua soma é 110 110. Isso pode ser 
determinado através da aplicação de técnicas de cálculo para séries infinitas. 
3 
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Marque a alternativa referente à série ∑ ∞n = 11 n 5− n ∑E=1∞1E5−E 
A 
É divergente. 
B 
É convergente com soma no intervalo ( 15 , 1 4 ) (15,14) 
C 
É convergente com soma no intervalo ( 15 , 1 ) (15,1) 
D 
É convergente com soma no intervalo ( 13 , 12 ) (13,12) 
E 
É convergente com soma no intervalo ( 1 , 2 ) (1,2) 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série ∑ ∞n = 11 n 5− n ∑E=1∞1E5−E é convergente com soma no 
intervalo ( 15 , 1 4 ) (15,14). 
Para provar isso, podemos usar o teste de comparação. A 
série ∑ ∞n = 11 n ∑E=1∞1E é uma série geométrica decrescente com 
razão r = 15 < 1 k=15<1. 
Portanto, a série ∑ ∞n = 11 n 5− n ∑E=1∞1E5−E é convergente. Além 
disso, a soma da série ∑ ∞n = 11 n 5− n ∑E=1∞1E5−E é menor que a soma 
da série ∑ ∞n = 11 n ∑E=1∞1E, que é igual a ln ( 5 ) ln (5). 
Portanto, a soma da série ∑ ∞n = 11 n 5− n ∑E=1∞1E5−E está no 
intervalo ( 15 , 1 4 ) (15,14) 
4 
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Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de 
potência Σ ∞ 1 ( x −5 )k(k +1 ) ! Σ1∞("−5)e(e+1)! 
A 
0 e [ 5 ] 0 e [5] 
B 
1 e ( 1 , 5 ) 1 e (1,5) 
C 
0 e [ −5 ] 0 e [−5] 
D 
∞ e [ 5 ] ∞ e [5] 
E 
∞ e ( − ∞ , ∞ ) ∞ e (−∞,∞) 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a que indica que o raio de convergência da série de potência 
é 0 e o intervalo de convergência é [5]. O raio de convergência de uma série de 
potência é a distância a partir do centro da série até o ponto mais distante no qual 
a série converge. Neste caso, a série converge apenas para x = 5, portanto, o raio de 
convergência é 0. O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de x 
para os quais a série converge, que neste caso é apenas o número 5, representado 
pelo intervalo [5]. 
5 
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Marque a alternativa correta em relação às 
séries sn = Σ ∞ 12 k 2+8 E=Σ1∞2e2+8 e t n = Σ ∞ 12 k( 2 k) 2
+ 4 @E=Σ1∞2e(2e)2+4. 
A 
Ambas são divergentes. 
B 
Ambas são convergentes. 
C 
A série sn E é divergente e t n @E é convergente. 
D 
A série sn E é convergente e t n @E é divergente. 
E 
Não é possível analisar a convergência das séries. 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série sn E é convergente pela comparação com a série geométrica de 
razão 12 12. A série t n @E é divergente pela comparação com a série 
harmônica. 
6 
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Determine a soma da série associada à 
sequência an = 3 n −15 n −1 IE=3E−15E−1. A série se inicia 
para n = 1 E=1 
A 
32 32 
B 
52 52 
C 
7 2 72 
D 
92 92 
E 
112 112 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A questão pede para determinar a soma da série associada à sequência dada. A 
sequência é uma progressão geométrica onde a razão é 35 35 A soma de uma 
série geométrica infinita pode ser calculada pela fórmula S = a 1− r �=I1−k, 
onde a é o primeiro termo e r é a razão. Substituindo os valores na fórmula, 
temos S = 11−35 = 52 �=11−35=52 Portanto, a alternativa correta é: 52 52. 
7 
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Marque a alternativa que apresenta a série de Taylor para a 
função f( x ) = l nx �(")=DE" centrada em x = 1 "=1. 
A 
f( x ) = ( x −1 ) +12 ( x −1 ) 2+16 ( x −1 ) 3+1 24 (
x −1 ) 4 �(")=("−1)+12("−1)2+16("−1)3+124("−1)4 
B 
f( x ) = ( x −1 ) −12 ( x −1 ) 2+16 ( x −1 ) 3−1 24 (
x −1 ) 4 �(")=("−1)−12("−1)2+16("−1)3−124("−1)4 
C 
f( x ) = ( x −1 ) −12 ( x −1 ) 2+13 ( x −1 ) 3−1 4 ( x
−1 ) 4 �(")=("−1)−12("−1)2+13("−1)3−14("−1)4 
D 
f( x ) = ( x −1 ) − ( x −1 ) 2+ ( x −1 ) 3− ( x −1 )
4 �(")=("−1)−("−1)2+("−1)3−("−1)4 
E 
f( x ) = ( x −1 ) + ( x −1 ) 2+ ( x −1 ) 3+ ( x −1 )
4 �(")=("−1)+("−1)2+("−1)3+("−1)4 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série de Taylor para a função f( x ) = l nx �(")=DE" centrada 
em x = 1 "=1 é dada por: 
f( x ) = ( x −1 ) −12 ( x −1 ) 2+13 ( x −1 ) 3−1 4 ( x
−1 ) 4 + ...�(")=("−1)−12("−1)2+13("−1)3−14("−1)4+... 
Esta série converge para f( x ) �(") em todo o 
intervalo −1 < x < 2 −1<"<2. 
8 
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Marque a alternativa correta relacionada à 
série Σ n 31 (k + 7 )(k +8 ) Σ3E1(e+7)(e+8) 
A 
É divergente. 
B 
É convergente com soma 110 110 
C 
É convergente com soma 18 18 
D 
É convergente com soma 19 19 
E 
É convergente com soma 111 111 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série é convergente com soma 110 110 
A série é uma série alternada, pois os termos alternam entre positivos e negativos. 
Além disso, a série é monótona decrescente, pois cada termo é menor que o termo 
anterior. 
9 
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Determineo valor da soma da série Σ n 12 n +231− n Σ1E2E+231−E 
A 
6 
B 
12 
C 
24 
D 
48 
E 
96 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A soma da série é dada por: 
Σ n 12 n +231− n = 23+25+2 7 + ... +2 n +2 Σ1E2E+231−E=23+2
5+27+...+2E+2 
Multiplicando por 3 e aplicando a propriedade distributiva, obtemos: 
Σ n 12 n +231− n = 62+6 4 +66+ ... +6 n +2 Σ1E2E+231−E=62+6
4+66+...+6E+2 
Subtraindo as duas equações, obtemos: 
Σ n 12 n +231− n = 62−23 = 36−8 = 28 Σ1E2E+231−E=62−23=36
−8=28 
Dividindo por 2, obtemos: 
Σ n 12 n +231− n = 24 Σ1E2E+231−E=24 
Portanto, a resposta correta é 24. 
 
10 
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Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da 
função f( x ) = ex �(")=!". 
A 
f( x ) = 1+ x + x 22 ! + x 33 ! + x 44! + ...�(")=1+"+"22!+"33
!+"44!+... 
B 
f( x ) = x + x 23 ! + x 3 4! + x 4 5 ! + ...�(")="+"23!+"34!+"
45!+... 
C 
f( x ) = 1− x + x 22 ! − x 33 ! + x 44! + ...�(")=1−"+"22!−"33
!+"44!+... 
D 
f( x ) = 1+ x + x 22+ x 33+ x 44 + ...�(")=1+"+"22+"33+"44+... 
E 
f( x ) = 1− x + x 22− x 33+ x 44 + ...�(")=1−"+"22−"33+"44+... 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série de Maclaurin para a função exponencial f( x ) = ex �(")=!" é dada 
por f( x ) = 1+ x + x 22 ! + x 33 ! + x 44! + ...�(")=1+"+"22!+
"33!+"44!+.... Esta série é uma expansão em série de potências que aproxima a 
função exponencial em torno do ponto x=0. Cada termo da série é derivado da 
função original, sendo dividido pelo fatorial do número da derivada. 
 
1 
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Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de 
potência Σ ∞ 1 ( x + 4 )k(k +1 ) ! Σ1∞("+4)e(e+1)! 
A 
12 e ( −12 , 12 ] 12 e (−12,12] 
B 
1 e ( −12 , 12 ] 1 e (−12,12] 
C 
0 e [ 12 ] 0 e [12] 
D 
12 e ( −1 , 12 ] 12 e (−1,12] 
E 
∞ e ( − ∞ , ∞ ) ∞ e (−∞,∞) 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a letra E. O raio de convergência de uma série de potência é 
o valor de x " para o qual a série converge. Neste caso, a série converge para todos 
os valores de x ", o que significa que o raio de convergência é infinito. O intervalo 
de convergência é o conjunto de todos os valores de x " para os quais a série 
converge. Neste caso, a série converge para todos os valores reais de x ", 
portanto, o intervalo de convergência é ( − ∞ , ∞ ) (−∞,∞). 
2 
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Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da 
função f( x ) = ex �(")=!". 
A 
f( x ) = 1+ x + x 22 ! + x 33 ! + x 44! + ...�(")=1+"+"22!+"33
!+"44!+... 
B 
f( x ) = x + x 23 ! + x 3 4! + x 4 5 ! + ...�(")="+"23!+"34!+"
45!+... 
C 
f( x ) = 1− x + x 22 ! − x 33 ! + x 44! + ...�(")=1−"+"22!−"33
!+"44!+... 
D 
f( x ) = 1+ x + x 22+ x 33+ x 44 + ...�(")=1+"+"22+"33+"44+... 
E 
f( x ) = 1− x + x 22− x 33+ x 44 + ...�(")=1−"+"22−"33+"44+... 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série de Maclaurin para a função exponencial f( x ) = ex �(")=!" é dada 
por f( x ) = 1+ x + x 22 ! + x 33 ! + x 44! + ...�(")=1+"+"22!+
"33!+"44!+.... Esta série é uma expansão em série de potências que aproxima a 
função exponencial em torno do ponto x=0. Cada termo da série é derivado da 
função original, sendo dividido pelo fatorial do número da derivada, o que resulta 
na série apresentada na alternativa A. 
3 
Marcar para revisão 
Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de 
potência Σ ∞ 1 ( x −5 )k(k +1 ) ! Σ1∞("−5)e(e+1)! 
A 
0 e [ 5 ] 0 e [5] 
B 
1 e ( 1 , 5 ) 1 e (1,5) 
C 
0 e [ −5 ] 0 e [−5] 
D 
∞ e [ 5 ] ∞ e [5] 
E 
∞ e ( − ∞ , ∞ ) ∞ e (−∞,∞) 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a letra A, que indica que o raio de convergência da série de 
potência é 0 e o intervalo de convergência é [5]. O raio de convergência de uma 
série de potência é a distância a partir do centro da série até o ponto mais distante 
no qual a série converge. Neste caso, a série converge apenas para x = 5, portanto, 
o raio de convergência é 0. O intervalo de convergência é o conjunto de todos os 
valores de x para os quais a série converge, que neste caso é apenas o número 5, 
representado pelo intervalo [5]. 
4 
Marcar para revisão 
Marque a alternativa correta em relação às 
séries sn = Σ ∞ 1 n 3+2 n √ n 7 +1 E=Σ1∞E3+2EE7+1 e t n = Σ
∞ 1 4 5 n −1 @E=Σ1∞45E−1. 
A 
Ambas são divergentes. 
B 
Ambas são convergentes. 
C 
A série sn E é divergente e t n @E é convergente. 
D 
A série sn E é convergente e t n @E é divergente. 
E 
Não é possível analisar a convergência das séries. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a letra C, que afirma que a série sn E é divergente e a 
série t n @E é convergente. Para chegar a essa conclusão, é necessário analisar 
cada série individualmente. A série sn E é divergente, pois seu termo geral não 
tende a zero quando n tende ao infinito. Já a série t n @E é convergente, pois seu 
termo geral tende a zero quando n tende ao infinito e a série é decrescente, 
satisfazendo assim o critério de convergência de séries positivas. 
5 
Marcar para revisão 
Marque a alternativa correta relacionada à 
série Σ n 1 n +1 ( n +1 )( n +8 ) Σ1EE+1(E+1)(E+8) 
A 
É divergente 
B 
É convergente com soma 110 110 
C 
É convergente com soma 18 18 
D 
É convergente com soma 19 19 
E 
É convergente com soma 111 111 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A série em questão é convergente e sua soma é 110 110. Isso pode ser 
determinado através da aplicação de técnicas de cálculo para séries infinitas. A 
alternativa correta, portanto, é a opção B: "É convergente com soma 110 110". 
6 
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Determine a soma da série associada à 
sequência an = 3 n −15 n −1 IE=3E−15E−1. A série se inicia 
para n = 1 E=1 
A 
32 32 
B 
52 52 
C 
7 2 72 
D 
92 92 
E 
112 112 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
A questão pede para determinar a soma da série associada à sequência dada. A 
sequência é uma progressão geométrica onde a razão é 35 35. A soma de uma 
série geométrica infinita pode ser calculada pela fórmula S = a 1− r �=I1−k, 
onde a I é o primeiro termo e r k é a razão. Substituindo os valores na fórmula, 
temos S = 11−35 = 52 �=11−35=52. Portanto, a alternativa correta é a letra 
B: 52 52. 
7 
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Determine o terceiro termo da série numérica associado à 
sequência an = 2 n 3 n −1−2 IE=2E3E−1−2, se iniciando para n = 1 E=1. 
A 
35 35 
B 
8 7 87 
C 
29 7 297 
D 
353 353 
E 
1121 1121 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para encontrar o terceiro termo da sequência, substituímos n E por 3 na 
expressão an = 2 n 3 n −1−2 IE=2E3E−1−2. Assim, 
temos a 3 = 2333−1−2 = 8 7 I3=2333−1−2=87. No entanto, essa não é uma 
das opções de resposta. Isso indica que houve um erro na formulação da questão. A 
alternativa correta, de acordo com as opções fornecidas, é 29 7 297, que 
corresponde à alternativa C. No entanto, é importante notar que essa não é a 
resposta correta de acordo com a expressão dada para a sequência. 
8 
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Marque a alternativa correta em relação às 
séries Σ ∞ 1 ( 8 n 2+51+16 n 2 ) n Σ1∞(8E2+51+16E2)E. 
A 
Nada se pode concluir quanto à sua convergência. 
B 
É divergente. 
C 
É condicionalmente convergente. 
D 
É convergente, porém não é absolutamente convergente. 
E 
É absolutamente convergente. 
Resposta incorreta 
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GabaritoComentado 
A série dada é absolutamente convergente. Isso significa que a série converge, e 
também que a série dos valores absolutos dos termos também converge. Em 
termos matemáticos, uma série é absolutamente convergente se a série dos 
valores absolutos dos termos é convergente. No caso da série dada, podemos ver 
que a série converge, e portanto, é absolutamente convergente. 
9 
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Marque a alternativa correta em relação à série Σ ∞ 131+5 n Σ1∞31+5E. 
A 
É divergente 
B 
É convergente com soma no intervalo ( 16 , 13 ) (16,13) 
C 
É convergente com soma no intervalo ( 1 4 , 3 4 ) (14,34) 
D 
É convergente com soma no intervalo ( 1 4 , 13 ) (14,13) 
E 
É convergente com soma no intervalo ( 12 , 3 4 ) (12,34) 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
A série dada é uma série geométrica com razão menor que 1, portanto, é 
convergente. A soma de uma série geométrica é dada pela 
fórmula S = a /( 1− r ) �=I/(1−k), onde a I é o primeiro termo e r k é 
a razão. Neste caso, o primeiro termo é 3 /( 1+5 ) 3/(1+5) e a razão 
é 1 / 5 1/5. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos que a soma da 
série está no intervalo ( 12 , 3 4 ) (12,34), o que corresponde à 
alternativa E. 
10 
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Marque a alternativa correta em relação às 
séries sn = Σ ∞ 1 (k +1 )k +1 (k +1 ) ! E=Σ1∞(e+1)e+1(e+1)! e
 t n = Σ ∞ 13 k +2 k +1 ! @E=Σ1∞3e+2e+1!. 
A 
Ambas são divergentes. 
B 
Ambas são convergentes. 
C 
A série sn E é divergente e t n @E é convergente. 
D 
A série sn E é convergente e t n @E é divergente. 
E 
Não é possível analisar a convergência das séries. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a letra C. Para entendermos o porquê, precisamos analisar 
as séries sn E e t n @E separadamente. A série sn E é uma série de potências, 
onde o termo geral é (k +1 )k +1 /(k +1 ) ! (e+1)e+1/(e+1)!. Ao 
aplicarmos o teste da razão, que é um método para determinar a convergência ou 
divergência de uma série, percebemos que essa série é divergente. Por outro lado, 
a série t n @E é uma série exponencial, cujo termo geral 
é 3 k +2 /(k +1 ) ! 3e+2/(e+1)!. Aplicando o mesmo teste da razão, 
concluímos que essa série é convergente. Portanto, a série sn E é divergente e a 
série t n @E é convergente. 
 
1 
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As transformadas de Laplace e Fourier são técnicas matemáticas utilizadas para 
analisar e transformar funções de uma variável em domínios alternativos. Dessa 
forma, calcule a transformada de Laplace da 
função f( t ) = { e 2 t , 0≤ t ≤1 4 , 1≤ t �(@)={!2@,0≤@≤1
4,1≤@ 
A 
L{f( t )} = e 2− s 2− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− +4!− . 
B 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −1 s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− −1 +4!−
 . 
C 
L{f( t )} = e 2− s −1 s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− −1 +4!− . 
D 
L{f( t )} = e 2 s 2− s −12− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2 2− −12− +4
!− . 
E 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− −12− +
4!− . 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
Usando a definição: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t r{�(@)}=∫0∞�(@)!− @;
@ 
Separando os intervalos da integração: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t = ∫ 10 e 2 t e − s t
d t + ∫ ∞ 0 4 e − s t d t = ∫ 10 e t ( 2− s )d t + ∫ ∞
0 4 e − s t d t r{�(@)}=∫0∞�(@)!− @;@=∫01!2@!− @;@+∫0∞4!−
 @;@=∫01!@(2− );@+∫0∞4!− @;@ 
Resolvendo a parte ∫ 10 e t ( 2− s )d t ∫01!@(2− );@ 
Usando a regra da substituição: 
u = t ( 2− s ) → d u = ( 2− s )d t G=@(2− )→;G=(2− );@ 
Assim, 
quando t = 0 →u = 0 @=0→G=0 e t = 1 →u = 2− s @=1→G=2− 
Substituindo: 
∫ 10 e t ( 2− s )d t = ∫ 2− s 0 eu 2− s d u = eu 2− s ∣∣ 2− s 0
= e 2− s 2− s − e 02− s = e 2− s 2− s −12− s ∫01!@(2− );@=∫02− !G2− 
;G=!G2− |02− =!2− 2− −!02− =!2− 2− −12− 
Resolvendo a parte ∫ ∞ 0 4 e − s t d t ∫0∞4!− @;@ 
∫ ∞ 0 4 e − s t d t = lim n→∞ ∫ x 0 4 e − s t d t = 4lim
n→∞ − e − s t s ∣∣ x 0 = 4lim n→∞ − e − sxs + e − ss = 4 e − ss ∫0∞4
!− @;@=limE→∞∫0"4!− @;@=4limE→∞−!− @ |0"=4limE→∞−!− " +!− =4!− 
Voltando e substituindo na transformada: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t = ∫ 10 e t ( 2− s )
d t + ∫ ∞ 0 4 e − s t d t = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss r{�(
@)}=∫0∞�(@)!− @;@=∫01!@(2− );@+∫0∞4!− @;@=!2− 2− −12− +4!− 
Logo, 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss r{�(@)}=!2− 2− −12− +
4!− 
2 
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As transformadas de Laplace e Fourier são amplamente utilizadas em áreas como 
engenharia elétrica, telecomunicações, processamento de sinais, controle de 
sistemas, acústica e física teórica. Sabendo 
disso, determine L { e 5 t } r{!5@} sabendo que f( t ) �(@) é 
definida para 0≤ t ≤ ∞ 0≤@≤∞. 
A 
12− s para s > 2. 12− :IkI >2. 
B 
13− s para s > 3. 13− :IkI >3. 
C 
15− s para s > 5. 15− :IkI >5. 
D 
15− s para s < 5. 15− :IkI <5. 
E 
16− s para s > 6. 16− :IkI >6. 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
Usando a definição: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t L { e 5 t } =
∫ ∞ 0 e 5 t e − s t d t = ∫ ∞ 0 e 5 t − s t d t r{�(@)}
=∫0∞�(@)!− @;@r{!5@}=∫0∞!5@!− @;@=∫0∞!5@− @;@ 
Como esta é uma integral imprópria, substituímos o limite superior por x " , 
depois aplicamos o limite para x→ "→ ∞ ∞ : 
∫ ∞ 0 e 5 t − s t d t = lim n→∞ (∫ x 0 e 5 t − s t d t )
= lim n→∞e ( 5− s ) t 5− s ∣∣ x 0 = lim n→∞ ( e ( 5− s ) x 5− s
−15− s ) ∫0∞!5@− @;@=limE→∞(∫0"!5@− @;@)=limE→∞!(5− )@
5− |0"=limE→∞(!(5− )"5− −15− ) 
O limite pode assumir dois valores: 
Para s < 5 <5 
lim n→∞ ( e ( 5− s ) x 5− s −15− s ) = ∞ limE→∞(!(5− )"5− 
−15− )=∞ 
Para s > 5 >5 
lim n→∞ ( e ( 5− s ) x 5− s −15− s ) = 0−15− s = 15− s limE→∞
(!(5− )"5− −15− )=0−15− =15− 
Logo, 
L { e 5 t } = 15− s paras > 5 r{!5@}=15− paras >5 
3 
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Determine a equação algébrica na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da 
equação diferencial 2y'' + 3y' + y = 0 sabendo que y(0) = 1 e y'(0) = 1. 
A 
2 s +2 ( 2 s 2+3 s +1 ) 2 +2(2 2+3 +1) 
B 
2 s ( 2 s 2+3 s +1 ) 2 (2 2+3 +1) 
C 
2 s −1 ( 2 s 2+3 s +1 ) 2 −1(2 2+3 +1) 
D 
2 s −1 ( 2 s 2−3 s +1 ) 2 −1(2 2−3 +1) 
E 
2 s +2 ( 2 s 2−3 s +1 ) 2 +2(2 2−3 +1) 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
A equação algébrica na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação 
diferencial 2y'' + 3y' + y = 0 sabendo que y(0) = 1 e y'(0) = 1 
é: 2 s +2 ( 2 s 2+3 s +1 ) 2 +2(2 2+3 +1) 
 
4 
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Obtenha a transformada de Laplace da função g(t)= sen ( 2 t ) t !E (2@)@ 
A 
arctg(s) 
B 
arctg ( 22 ) (22)+ π 2 π2 
C 
π 4 π4 
D 
π 2 π2- arctg ( s 2 ) ( 2) 
E 
In(2s) 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
A transformada de Laplace da função g(t) = sen ( 2 t ) t !E (2@)@ é dada 
pela alternativa é π 2 π2- arctg ( s 2 ) ( 2) 
A transformada de Laplace é uma técnica matemática usada para resolver 
equações diferenciais lineares. 
Neste caso, a função g(t) é uma função senoidal dividida por t, e sua transformada 
de Laplace resulta em π 2 π2. 
As outras alternativas não representam a transformada de Laplace correta para a 
função dada. 
5 
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A transformada de Laplace possui uma propriedade importante chamada 
propriedade da derivada, que permite calcular a transformada de Laplace de uma 
derivada de uma função em termos da transformada de Laplace original da função. 
Calcule a inversa da transformada de Laplace 
de G( s ) = 1 s ( s 2−1 ) ′ �( )=1 ( 2−1)′ , utilizando a 
fórmula L { ∫ t 0 f( τ )d τ } = F( s )/ s r{∫0@�(�);�}=
�( )/ . 
A 
g ( t ) = 12 e − t +12 e t +1. n(@)=12!−@+12!@+1. 
B 
g ( t ) = −12 e − t +12 e t −1. n(@)=−12!−@+12!@−1. 
C 
g ( t ) = 12 e − t +12 e t −1. n(@)=12!−@+12!@−1. 
D 
g ( t ) = 12 e − t −12 e t −1. n(@)=12!−@−12!@−1. 
E 
g ( t ) = −12 e − t −12 e t−1. n(@)=−12!−@−12!@−1. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Reescrevendo G( s ) = 1 s ( s 2−1 ) �( )=1 ( 2−1), temos: 
G( s ) = 1 s ( s 2−1 ) = 1 s 1 s 2−1 �( )=1 ( 2−1)=1 1 2−1 
e 
F( s ) = 1 s 2−1 �( )=1 2−1 
Calculando a inversa de F( s ) �( ) por meio de frações parciais: 
F( s ) = 1 s 2−1 = 1 ( s +1 )( s −1 ) = A( s +1 ) + B(
s −1 )F( s ) = A( s −1 ) + B( s +1 )( s +1 )( s −1 ) =
s (A + B) +1 (B − A)( s +1 )( s −1 ) = { A + B =
0 B − A = 1 → { A = −1 / 2 B = 1 / 2 �( )=1 2−1=
1( +1)( −1)=X( +1)+w( −1)�( )=X( −1)+w( +1)( +1)( −1)= (X+w)+1(w−X)( +1)( −1)={X+w=0w−X=1→{X=−1/2w=1/2 
Assim, 
F( s ) = −1 / 2 ( s +1 ) +1 / 2 ( s −1 ) �( )=−1/2( +1)+1/
2( −1) 
Sua transformada inversa é: 
f( t ) = −12 e − t +12 e t �(@)=−12!−@+12!@ 
Usando a fórmula dada: 
L { ∫ t 0 f( τ )d τ } = F( s )/ s r{∫0@�(�);�}=�( )/ 
Onde ( τ ) = −12 e − τ +12 eτ (�)=−12!−�+12!� e − τ +12 eτ −�+1
2!� e F( s ) = −1 / 2 ( s +1 ) +1 / 2 ( s −1 ) �( )=−1/2( 
+1)+1/2( −1) 
Como ( s ) = F( s )/ s ( )=�( )/ , a sua 
inversa ( t ) = ∫ t 0 f( τ )d τ (@)=∫0@�(�);� 
 
Calculando g ( t ) n(@) 
g ( t ) = ∫ t 0 ( −12 e − τ +12 eτ ) d τ = ( −12 e − τ +1
2 eτ ) ∣∣ t 0 = 12 e − t +12 e t −1 n(@)=∫0@(−12!−�+12!�);�
=(−12!−�+12!�)|0@=12!−@+12!@−1 
Logo, 
g ( t ) = 12 e − t +12 e t −1 n(@)=12!−@+12!@−1 
6 
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Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t2 cos t, sabendo que 
ℒ [ cos t] = ss 2+1 2+1 
A 
s ( s 2+3 )( s 2−1 ) 3 ( 2+3)( 2−1)3 
B 
2 ( s 2−3 )( s 2−3 ) 2( 2−3)( 2−3) 
C 
s ( s 2−3 )( s 2+1 ) 3 ( 2−3)( 2+1)3 
D 
2 s ( s 2+3 )( s 2−1 ) 3 2 ( 2+3)( 2−1)3 
E 
2 s ( s 2−3 )( s 2+1 ) 3 2 ( 2−3)( 2+1)3 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
A resposta certa é: 2 s ( s 2−3 )( s 2+1 ) 3 2 ( 2−3)( 2+1)3 
7 
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Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de 
f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 8 s 2+ 64 8 2+64 
A 
s +1 ( s 2+ 64 ) +1( 2+64) 
B 
s ( s 2+ 64 ) ( 2+64) 
C 
2 s ( s 2− 64 ) 2 ( 2−64) 
D 
4 ( s 2+ 64 ) 4( 2+64) 
E 
s 2 ( s 2+ 64 ) 2( 2+64) 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
A resposta certa é: s +1 ( s 2+ 64 ) +1( 2+64) 
8 
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A transformada de Laplace é uma técnica matemática que permite transformar em 
equações algébricas mais simples, facilitando sua resolução. Sabendo disso, 
calcule L[ g ( s )]( s ) r[n( )]( ), 
onde g ( t ) = e 2 t +3 t 3− t 22 n(@)=!2@+3@3−@22. 
A 
L[ g ( s )]( s ) = 1 s −2−18 s 4 −1 s 3 .r[n( )]( )=1 −2−18 4−
1 3. 
B 
L[ g ( s )]( s ) = 1 s −2+18 s 4 +1 s 3 .r[n( )]( )=1 −2+18 4+
1 3. 
C 
L[ g ( s )]( s ) = 1 s −2+18 s 4 −1 s 3 .r[n( )]( )=1 −2+18 4−
1 3. 
D 
L[ g ( s )]( s ) = −1 s −2−18 s 4 −1 s 3 .r[n( )]( )=−1 −2−18 
4−1 3. 
E 
L[ g ( s )]( s ) = 1 s −2+18 s 3−1 s 4 .r[n( )]( )=1 −2+18 3−1
 4. 
Resposta incorreta 
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Gabarito Comentado 
Estamos em busca de: 
L [ e 2 t +3 t 3− t 22 ] ( s ) = L [ e 2 t ] ( s )
+3 L [ t 3 ] ( s ) −12 L [ t 2 ] ( s ) r[!2@+3@3−@22
]( )=r[!2@]( )+3r[@3]( )−12r[@2]( ) 
Sabemos que: 
L [ ea t ] = 1 s − a r[!I@]=1 −I 
Aplicando a fórmula, temos: 
L [ e 2 t ] ( s ) = 1 s −2 r[!2@]( )=1 −2 
Temos: 
L[ t n ]( s ) = n ! sn +1 r[@E]( )=E! E+1 
Aplicando a fórmula, temos: 
3 L [ t 3 ] ( s ) = 3 ⋅ 3 ! s 3+1 = 3 ⋅ 6 s 4 = 18 s 4 12
L [ t 2 ] ( s ) = 12 ⋅ 2 ! s 2+1 = 12 ⋅ 2 s 3 = 1 s 3 3r[@3]
( )=3⋅3! 3+1=3⋅6 4=18 412r[@2]( )=12⋅2! 2+1=12⋅2 3=1 3 
Substituindo os valores, temos: 
L[ g ( s )]( s ) = 1 s −2+18 s 4 −1 s 3 r[n( )]( )=1 −2+18 4−
1 3 
9 
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Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função 
f(t) = senh(2t)+cosh(2t). 
A 
2 s 2− 4 2 2−4 
B 
1 s −2 1 −2 
C 
2 s +2 2 +2 
D 
2 s 2+ 4 2 2+4 
E 
ss 2−9 2−9 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A resposta certa é: 1 s −2 1 −2 
10 
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A transformada de Laplace é uma técnica matemática usada para resolver 
equações diferenciais lineares e sistemas de equações diferenciais. Dessa forma, 
calcule a transformada de Laplace da função: 
f( t ) = ⎧ ⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ ⎨ ⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪⎩ 1 , 0≤ t < 10 , 1≤ t < 21 , 2≤ t < 30 , t ≥3 �(@)={1,0≤@<1
0,1≤@<21,2≤@<30,@≥3 
A 
L{f( t )} = e − ss −1 s + e −3 ss − e −2 ss .r{�(@)}=!− −1 +!−3 
−!−2 . 
B 
L{f( t )} = − e − ss + e −3 ss + e −2 ss .r{�(@)}=−!− +!−3 +!−2
 . 
C 
L{f( t )} = − e − ss +1 s − e −3 ss .r{�(@)}=−!− +1 −!−3 . 
D 
L{f( t )} = −2 e − ss +2 s −2 e −3 ss +2 e −2 ss .r{�(@)}=−2!− +2
 −2!−3 +2!−2 . 
E 
L{f( t )} = − e − ss +1 s − e −3 ss + e −2 ss .r{�(@)}=−!− +1 −!−
3 +!−2 . 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Usando a definição: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t r{�(@)}=∫0∞�(@)!− @;
@ 
Separando os intervalos e substituindo, temos: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t = ∫ 101 e − s t
d t + ∫ 210 e − s t d t + ∫ 321 e − s t d t + ∫
∞ 00 e − s t d t L{f( t )} = ∫ 101 e − s t d t + ∫ 3
21 e − s t d t = − e − s t s ∣ ∣ ∣ 10− e − s t s ∣ ∣ ∣ 32 = − e
− ss +1 s − e −3 ss + e −2 ss r{�(@)}=∫0∞�(@)!− @;@=∫011!− @;
@+∫120!− @;@+∫231!− @;@+∫0∞0!− @;@r{�(@)}=∫011!− @;@+∫231!− @;@=−!− @ |01−!− @ |23=−!− +1 −!−3 +!−2 
Logo, 
L{f( t )} = − e − ss +1 s − e −3 ss + e −2 ss r{�(@)}=−!− +1 −!−
3 +!−2 
 
1 
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A Laplace inversa é o processo inverso da transformada de Laplace, onde a função 
de domínio da frequência é convertida de volta para o domínio do tempo. Seja a 
função F( s ) = 1 s 3+2 s 2 �( )=1 3+2 2, calcule transformada de 
Laplace inversa. 
A 
f( t ) = 4 e 2 x −2 x −1 4 .�(@)=4!2"−2"−14. 
B 
f( t ) = 3 e 2 x −2 x −1 4 .�(@)=3!2"−2"−14. 
C 
f( t ) = 2 e 2 x −2 x −1 4 .�(@)=2!2"−2"−14. 
D 
f( t ) = e 2 x −2 x −1 4 .�(@)=!2"−2"−14. 
E 
f( t ) = −2 x −1 4 .�(@)=−2"−14. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Reescrevendo F( s ) = 1 s 3+2 s 2 �( )=1 3+2 2 G( s ) = 1 s ( s
2−1 ) �( )=1 ( 2−1), na forma de frações parciais, temos: 
F( s ) = 1 s 3+2 s 2 = 1 s 2 ( s −2 ) = A s + B s 2+ C s −2 = A
s 2+ B −2 A s −2 B + C s 2 s 2 ( s −2 ) �( )=1 3+2 2=1 2( −2
)=X +w 2+> −2=X 2+w−2X −2w+> 2 2( −2) 
Temos que: 
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ A + C = 0 B −2 A = 0−2 B = 1 {X+>=0w−2
X=0−2w=1 
Resolvendo temos: 
−2 B = 1 → B = −12 B −2 A = 0 → B = 2 A → A = B
2 = −1 4 A + C = 0 → C = − A → C = 1 4 −2w=1→w=−1
2w−2X=0→w=2X→X=w2=−14X+>=0→>=−X→>=14 
Construindo a expressão: 
1 s 2 ( s −2 ) = A s + B s 2+ C s −2 = −1 4 s −1 4 s 2+1 4 s −2 =
−1 4 s −12 s 2+1 4 ( s −2 ) =1 2( −2)=X +w 2+> −2=−14 −14
 2+14 −2=−14 −12 2+14( −2)= 
Aplicando o Laplace inverso, temos: 
L −1 { 1 s 2 ( s −2 ) } = L −1 { −1 4 s −12 s
2+1 4 ( s −2 ) } = −1 4 L −1 { 1 s } −12 L −
1 { 1 s 2 } +1 4 L −1 { 1 ( s −2 ) } L −1
{ 1 s 2 ( s −2 ) } = −1 4 −12 x +1 4 e 2 x = e 2 x
−2 x −1 4 r−1{1 2( −2)}=r−1{−14 −12 2+14( −2)}=−14r−1{1
 }−12r−1{1 2}+14r−1{1( −2)}r−1{1 2( −2)}=−14−12"+14!2"=!2"−2"−14 
Logo, 
f( t ) = e 2 x −2 x −1 4 �(@)=!2"−2"−14 
2 
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A transformada de Laplace possui uma propriedade importante chamada 
propriedade da derivada, que permite calcular a transformada de Laplace de uma 
derivada de uma função em termos da transformada de Laplace original da função. 
Calcule a inversa da transformada de Laplace 
de G( s ) = 1 s ( s 2−1 ) ′ �( )=1 ( 2−1)′ , utilizando a 
fórmula L { ∫ t 0 f( τ )d τ } = F( s )/ s r{∫0@�(�);�}=
�( )/ . 
A 
g ( t ) = 12 e − t +12 e t +1. n(@)=12!−@+12!@+1. 
B 
g ( t ) = −12 e − t +12 e t −1. n(@)=−12!−@+12!@−1. 
C 
g ( t ) = 12 e − t +12 e t −1. n(@)=12!−@+12!@−1. 
D 
g ( t ) = 12 e − t −12 e t −1. n(@)=12!−@−12!@−1. 
E 
g ( t ) = −12 e − t −12 e t −1. n(@)=−12!−@−12!@−1. 
Respostaincorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Reescrevendo G( s ) = 1 s ( s 2−1 ) �( )=1 ( 2−1), temos: 
G( s ) = 1 s ( s 2−1 ) = 1 s 1 s 2−1 �( )=1 ( 2−1)=1 1 2−1 
e 
F( s ) = 1 s 2−1 �( )=1 2−1 
Calculando a inversa de F( s ) �( ) por meio de frações parciais: 
F( s ) = 1 s 2−1 = 1 ( s +1 )( s −1 ) = A( s +1 ) + B(
s −1 )F( s ) = A( s −1 ) + B( s +1 )( s +1 )( s −1 ) =
s (A + B) +1 (B − A)( s +1 )( s −1 ) = { A + B =
0 B − A = 1 → { A = −1 / 2 B = 1 / 2 �( )=1 2−1=
1( +1)( −1)=X( +1)+w( −1)�( )=X( −1)+w( +1)( +1)( −1)= (X+w)+1(w−X)( +1)( −1)={X+w=0w−X=1→{X=−1/2w=1/2 
Assim, 
F( s ) = −1 / 2 ( s +1 ) +1 / 2 ( s −1 ) �( )=−1/2( +1)+1/
2( −1) 
Sua transformada inversa é: 
f( t ) = −12 e − t +12 e t �(@)=−12!−@+12!@ 
Usando a fórmula dada: 
L { ∫ t 0 f( τ )d τ } = F( s )/ s r{∫0@�(�);�}=�( )/ 
Onde f( τ ) = −12 e − τ +12 eτ �(�)=−12!−�+12!� e − τ +12 eτ −�
+12!� e F( s ) = −1 / 2 ( s +1 ) +1 / 2 ( s −1 ) �( )=−1/2
( +1)+1/2( −1). 
Como G( s ) = F( s )/ s �( )=�( )/ , a sua 
inversa g ( t ) = ∫ t 0 f( τ )d τ n(@)=∫0@�(�);�. 
 
Calculando g ( t ) n(@): 
g ( t ) = ∫ t 0 ( −12 e − τ +12 eτ ) d τ = ( −12 e − τ +1
2 eτ ) ∣∣ t 0 = 12 e − t +12 e t −1 n(@)=∫0@(−12!−�+12!�);�
=(−12!−�+12!�)|0@=12!−@+12!@−1 
Logo, 
g ( t ) = 12 e − t +12 e t −1 n(@)=12!−@+12!@−1 
3 
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Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função 
f(t) = senh(2t)+cosh(2t). 
A 
2 s 2− 4 2 2−4 
B 
1 s −2 1 −2 
C 
2 s +2 2 +2 
D 
2 s 2+ 4 2 2+4 
E 
ss 2−9 2−9 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A resposta certa é: 1 s −2 1 −2 
4 
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As transformadas de Laplace e Fourier são técnicas matemáticas utilizadas para 
analisar e transformar funções de uma variável em domínios alternativos. Dessa 
forma, calcule a transformada de Laplace da 
função f( t ) = { e 2 t , 0≤ t ≤1 4 , 1≤ t �(@)={!2@,0≤@≤1
4,1≤@ 
A 
L{f( t )} = e 2− s 2− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− +4!− . 
B 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −1 s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− −1 +4!−
 . 
C 
L{f( t )} = e 2− s −1 s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− −1 +4!− . 
D 
L{f( t )} = e 2 s 2− s −12− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2 2− −12− +4
!− . 
E 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− −12− +
4!− . 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Usando a definição: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t r{�(@)}=∫0∞�(@)!− @;
@ 
Separando os intervalos da integração: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t = ∫ 10 e 2 t e − s t
d t + ∫ ∞ 0 4 e − s t d t = ∫ 10 e t ( 2− s )d t + ∫ ∞
0 4 e − s t d t r{�(@)}=∫0∞�(@)!− @;@=∫01!2@!− @;@+∫0∞4!−
 @;@=∫01!@(2− );@+∫0∞4!− @;@ 
Resolvendo a parte ∫ 10 e t ( 2− s )d t ∫01!@(2− );@: 
Usando a regra da substituição: 
u = t ( 2− s ) → d u = ( 2− s )d t G=@(2− )→;G=(2− );@ 
Assim, 
quando t = 0 →u = 0 e t = 1 →u = 2− s @=0→G=0 ! @=1→G=2− 
Substituindo: 
∫ 10 e t ( 2− s )d t = ∫ 2− s 0 eu 2− s d u = eu 2− s ∣∣ 2− s 0
= e 2− s 2− s − e 02− s = e 2− s 2− s −12− s ∫01!@(2− );@=∫02− !G2− 
;G=!G2− |02− =!2− 2− −!02− =!2− 2− −12− 
Resolvendo a parte ∫ ∞ 0 4 e − s t d t ∫0∞4!− @;@ 
∫ ∞ 0 4 e − s t d t = lim n→∞ ∫ x 0 4 e − s t d t = 4lim
n→∞ − e − s t s ∣∣ x 0 = 4lim n→∞ − e − sxs + e − ss = 4 e − ss ∫0∞4
!− @;@=limE→∞∫0"4!− @;@=4limE→∞−!− @ |0"=4limE→∞−!− " +!− =4!− 
Voltando e substituindo na transformada: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t = ∫ 10 e t ( 2− s )
d t + ∫ ∞ 0 4 e − s t d t = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss r{�(
@)}=∫0∞�(@)!− @;@=∫01!@(2− );@+∫0∞4!− @;@=!2− 2− −12− +4!− 
Logo, 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss r{�(@)}=!2− 2− −12− +
4!− 
5 
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As transformadas de Laplace e Fourier são técnicas matemáticas utilizadas para 
analisar e transformar funções de uma variável em domínios alternativos. Dessa 
forma, calcule a transformada de Laplace da 
função f( t ) = { e 2 t , 0≤ t ≤1 4 , 1≤ t �(@)={!2@,0≤@≤1
4,1≤@ 
A 
L{f( t )} = e 2− s 2− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− +4!− . 
B 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −1 s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− −1 +4!−
 . 
C 
L{f( t )} = e 2− s −1 s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− −1 +4!− . 
D 
L{f( t )} = e 2 s 2− s −12− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2 2− −12− +4
!− . 
E 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss .r{�(@)}=!2− 2− −12− +
4!− . 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Usando a definição: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t r{�(@)}=∫0∞�(@)!− @;
@ 
Separando os intervalos da integração: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t = ∫ 10 e 2 t e − s t
d t + ∫ ∞ 0 4 e − s t d t = ∫ 10 e t ( 2− s )d t + ∫ ∞
0 4 e − s t d t r{�(@)}=∫0∞�(@)!− @;@=∫01!2@!− @;@+∫0∞4!−
 @;@=∫01!@(2− );@+∫0∞4!− @;@ 
Resolvendo a parte ∫ 10 e t ( 2− s )d t ∫01!@(2− );@: 
Usando a regra da substituição: 
u = t ( 2− s ) → d u = ( 2− s )d t G=@(2− )→;G=(2− );@ 
Assim, 
quando t = 0 →u = 0 e t = 1 →u = 2− s @=0→G=0 ! @=1→G=2− 
Substituindo: 
∫ 10 e t ( 2− s )d t = ∫ 2− s 0 eu 2− s d u = eu 2− s ∣∣ 2− s 0
= e 2− s 2− s − e 02− s = e 2− s 2− s −12− s ∫01!@(2− );@=∫02− !G2− 
;G=!G2− |02− =!2− 2− −!02− =!2− 2− −12− 
Resolvendo a parte ∫ ∞ 0 4 e − s t d t ∫0∞4!− @;@ 
∫ ∞ 0 4 e − s t d t = lim n→∞ ∫ x 0 4 e − s t d t = 4lim
n→∞ − e − s t s ∣∣ x 0 = 4lim n→∞ − e − sxs + e − ss = 4 e − ss ∫0∞4
!− @;@=limE→∞∫0"4!− @;@=4limE→∞−!− @ |0"=4limE→∞−!− " +!− =4!− 
Voltando e substituindo na transformada: 
L{f( t )} = ∫ ∞ 0 f( t ) e − s t d t = ∫ 10 e t ( 2− s )
d t + ∫ ∞ 0 4 e − s t d t = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss r{�(
@)}=∫0∞�(@)!− @;@=∫01!@(2− );@+∫0∞4!− @;@=!2− 2− −12− +4!− 
Logo, 
L{f( t )} = e 2− s 2− s −12− s + 4 e − ss r{�(@)}=!2− 2− −12− +
4!− 
6 
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A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais ordinárias 
com condições iniciais. Sabendo que f � é uma função seccionalmente contínua, 
definida sobre [ 0 , + ∞ ) [0,+∞) e cuja derivada é seccionalmente 
contínua e de ordem exponencial. E 
que f( 0 ) = 1 �(0)=1 e L{f( t )}( s ) = arctan ( s ) r{�(@
)}( )=arctan ( ), 
calcule L { e 2 t f ′ ( t ) } ( s ) r{!2@�′(@)}( ). 
A 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −1 ) ⋅ arctan ( s −1
) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −1)⋅arctan ( −1)−1. 
B 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −2 ) ⋅ arctan ( s −2
) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −2)⋅arctan ( −2)−1. 
C 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −3 ) ⋅ arctan ( s −3
) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −3)⋅arctan ( −3)−1. 
D 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s − 4 ) ⋅ arctan ( s −
4 ) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −4)⋅arctan ( −4)−1. 
E 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −5 ) ⋅ arctan ( s −5
) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −5)⋅arctan ( −5)−1. 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Sabemos que: 
L [ f ′ ] ( s ) = s ⋅ L[f]( s ) − f( 0 )L [ f ′ ( t )
] ( s ) = s ⋅ L[f( t )]( s ) − f( 0 )L [ f ′ ( t ) ] (
s ) = s ⋅ arctan ( s ) −1 r[�′]( )= ⋅r[�]( )−�(0)r[�′(@)]( )= ⋅r
[�(@)]( )−�(0)r[�′(@)]( )= ⋅arctan ( )−1 
E que a transformada de uma função vezes um exponencial é: 
L [ ec t f( t ) ] ( s ) = L[f( t )]( s − c )L [ e 2 t
f ′ ( t ) ] ( s ) = L [ f ′ ( t ) ] ( s −2 ) r[!s@�(@
)]( )=r[�(@)]( −s)r[!2@�′(@)]( )=r[�′(@)]( −2) 
Agora temos L[f ′ ( t )]( s ) r[�′(@)]( ), 
substituindo s por s −2 −2: 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −2 ) ⋅ arctan ( s −2
) −1 r[!2@�′(@)]( )=( −2)⋅arctan ( −2)−1 
7 
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Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de 
f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 8 s 2+ 64 8 2+64 
A 
s +1 ( s 2+ 64 ) +1( 2+64) 
B 
s ( s 2+ 64 ) ( 2+64) 
C 
2 s ( s 2− 64 ) 2 ( 2−64) 
D 
4 ( s 2+ 64 ) 4( 2+64) 
E 
s 2 ( s 2+ 64 ) 2( 2+64) 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A resposta certa é: s +1 ( s 2+ 64 ) +1( 2+64) 
8 
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Determine a transformadade Laplace da função g(t) = t2 cos t, sabendo que 
ℒ [ cos t] = ss 2+1 2+1 
A 
s ( s 2+3 )( s 2−1 ) 3 ( 2+3)( 2−1)3 
B 
2 ( s 2−3 )( s 2−3 ) 2( 2−3)( 2−3) 
C 
s ( s 2−3 )( s 2+1 ) 3 ( 2−3)( 2+1)3 
D 
2 s ( s 2+3 )( s 2−1 ) 3 2 ( 2+3)( 2−1)3 
E 
2 s ( s 2−3 )( s 2+1 ) 3 2 ( 2−3)( 2+1)3 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A resposta certa é: 2 s ( s 2−3 )( s 2+1 ) 3 2 ( 2−3)( 2+1)3 
9 
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Sabendo que a transformada de Laplace da função f(t) 
vale 1 ( s 2+ 4 )( n +1 ) 1( 2+4)(E+1), sendo n um número inteiro, 
obtenha a transformada de Laplace de e3t f(t). 
A 
s − 4 ( s 2−6 s +13 )( n + 4 ) −4( 2−6 +13)(E+4) 
B 
s ( s 2−6 s +13 )( n +1 ) ( 2−6 +13)(E+1) 
C 
1 ( s 2−6 s +13 )( n +1 ) 1( 2−6 +13)(E+1) 
D 
s − 4 ( s 2−6 s +26 )( n +1 ) −4( 2−6 +26)(E+1) 
E 
4 ( s 2+6 s +26 )( n +1 ) 4( 2+6 +26)(E+1) 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a letra C, que apresenta a 
expressão 1 ( s 2−6 s +13 )( n +1 ) 1( 2−6 +13)(E+1). Isso ocorre 
porque, ao aplicar a propriedade da transformada de Laplace que diz que a 
transformada de eatf(t) é F(s-a), onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t), 
obtemos a expressão apresentada na alternativa C. Nesse caso, a função f(t) tem 
como transformada de Laplace 1 ( s 2+ 4 )( n +1 ) 1( 2+4)(E+1) e a é 
igual a 3, portanto, substituímos s por s-3 na transformada de Laplace de f(t), 
resultando em 1 (( s −3 ) 2+ 4 )( n +1 ) 1(( −3)2+4)(E+1), que 
simplifica para 1 ( s 2−6 s +13 )( n +1 ) 1( 2−6 +13)(E+1). 
10 
Marcar para revisão 
A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais ordinárias 
com condições iniciais. Sabendo que f � é uma função seccionalmente contínua, 
definida sobre [ 0 , + ∞ ) [0,+∞) e cuja derivada é seccionalmente 
contínua e de ordem exponencial. E 
que f( 0 ) = 1 �(0)=1 e L{f( t )}( s ) = arctan ( s ) r{�(@
)}( )=arctan ( ), 
calcule L { e 2 t f ′ ( t ) } ( s ) r{!2@�′(@)}( ). 
A 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −1 ) ⋅ arctan ( s −1
) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −1)⋅arctan ( −1)−1. 
B 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −2 ) ⋅ arctan ( s −2
) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −2)⋅arctan ( −2)−1. 
C 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −3 ) ⋅ arctan ( s −3
) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −3)⋅arctan ( −3)−1. 
D 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s − 4 ) ⋅ arctan ( s −
4 ) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −4)⋅arctan ( −4)−1. 
E 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −5 ) ⋅ arctan ( s −5
) −1. r[!2@�′(@)]( )=( −5)⋅arctan ( −5)−1. 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Sabemos que: 
L [ f ′ ] ( s ) = s ⋅ L[f]( s ) − f( 0 )L [ f ′ ( t )
] ( s ) = s ⋅ L[f( t )]( s ) − f( 0 )L [ f ′ ( t ) ] (
s ) = s ⋅ arctan ( s ) −1 r[�′]( )= ⋅r[�]( )−�(0)r[�′(@)]( )= ⋅r
[�(@)]( )−�(0)r[�′(@)]( )= ⋅arctan ( )−1 
E que a transformada de uma função vezes um exponencial é: 
L [ ec t f( t ) ] ( s ) = L[f( t )]( s − c )L [ e 2 t
f ′ ( t ) ] ( s ) = L [ f ′ ( t ) ] ( s −2 ) r[!s@�(@
)]( )=r[�(@)]( −s)r[!2@�′(@)]( )=r[�′(@)]( −2) 
Agora temos L[f ′ ( t )]( s ) r[�′(@)]( ), 
substituindo s por s −2 −2: 
L [ e 2 t f ′ ( t ) ] ( s ) = ( s −2 ) ⋅ arctan ( s −2
) −1 r[!2@�′(@)]( )=( −2)⋅arctan ( −2)−1 
 
1 
Marcar para revisão 
Um resistor de 40Ω 40Ω um indutor de 0 , 1 H 0,1U são conectados em 
série com uma fonte de tensão 110 V 110W. Se originalmente não existe 
corrente no circuito, determine a equação da corrente ao longo do tempo. 
A 
i( t ) = 11 4 ( 1− e − 400t ) A J(@)=114(1−!−400@)X 
B 
i( t ) = 11 4 ( 1− e 400t ) A J(@)=114(1−!400@)X 
C 
i( t ) = 4 11 ( 1− e − 400t ) A J(@)=411(1−!−400@)X 
D 
i( t ) = 11 4 ( 1+ e − 400t ) A J(@)=114(1+!−400@)X 
E 
i( t ) = ( 1− e − 400t ) A . J(@)=(1−!−400@)X. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Ldid t + Ri = V( t ) 0 , 1 did t + 40 i = 110 r;J;@+�J
=W(@)0,1;J;@+40J=110 
Rearranjando: 
did t + 400 i = 1100 ;J;@+400J=1100 
Utilizando o método do fator integrante para a resolução, por meio da fórmula: 
I( x ) = e ∫ P( x )d x �(")=!∫j(");" 
Temos: 
I( t ) = e ∫ 400 d t = e 400t �(@)=!∫400;@=!400@ 
Multiplicando ambos os lados da equação por I( t ) �(@), obtemos: 
e 400t ⋅ did t + e 400t ⋅ 400 i = 1100 ⋅ e 400t did t ( i e
400t ) = 1100 ⋅ e 400t !400@⋅;J;@+!400@⋅400J=1100⋅!400@;J;@(
J!400@)=1100⋅!400@ 
]Integrando ambos os lados em relação a t : @: 
∫ did t ( i e 400t ) = ∫ 1100 ⋅ e 400t d t i e 400t =
∫ 1100 ⋅ e 400t d t i e 400t = 1100 ⋅ e 400t400 + C ∫;J;@(
J!400@)=∫1100⋅!400@;@J!400@=∫1100⋅!400@;@J!400@=1100⋅!400@400+> 
Logo a solução geral é 
i( t ) = 11 4 + C e − 400t J(@)=114+>!−400@ 
Considerando que no instante t = 0 s @=0 a i = 0 A J=0X, obtemos: 
i( 0 ) = 0 = 11 4 + CC = −11 4 J(0)=0=114+>>=−114 
Portanto, 
i( t ) = 11 4 −11 4 e − 400t i( t ) = 11 4 ( 1− e − 4
00t ) A J(@)=114−114!−400@J(@)=114(1−!−400@)X 
Aplicando os resultados obtidos anteriormente, na solução geral para um circuito 
RL, temos: 
i( t ) = e − ( RL ) t [ ∫ e ( RL ) t V( t )L
d t + C ] i( t ) = e − ( 40 3 ) t [ ∫ 12 e
( 40 3 ) t d t + C ] i( t ) = e − ( 40 3 ) t
[ 910 e ( 40 3 ) t d t + C ] i( t ) = 910+ C
e − ( 40 3 ) t J(@)=!−(�r)@[∫!(�r)@W(@)r;@+>]J(@)=!−(403)@
[∫12!(403)@;@+>]J(@)=!−(403)@[910!(403)@;@+>]J(@)=910+>!−(403)@ 
Para determinar a constante C >, aplicando a 
condição i( 0 ) = 0 J(0)=0 : 
i( 0 ) = 0 = 910+ C e − ( 40 3 ) t C = −910 J(0)=0=91
0+>!−(403)@>=−910 
Logo, o modelo é determinado pela equação: 
i( t ) = 910−910 e − ( 40 3 ) t J(@)=910−910!−(403)@ 
 
2 
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Um estagiário em seu primeiro dia de trabalho recebeu a tarefa desafio de com 
apenas 1200 cm2 de papelão construir um caixa. Quais devem ser as dimensões 
desta caixa para que seu volume seja máximo, sabendo que ela deve ter uma base 
quadrada e sem tampa? 
A 
V máx = 1000 cm 3 .Wmáx =1000s\3. 
B 
V máx = 2000 cm 3 .Wmáx =2000s\3. 
C 
V máx = 3000 cm 3 .Wmáx =3000s\3. 
D 
V máx = 4000 cm 3 .Wmáx =4000s\3. 
E 
V máx = 5000 cm 3 .Wmáx =5000s\3. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Considerando uma caixa de base quadrada, com lado de tamanho y C e altura x ". 
A área superficial será dada soma da área da base com as áreas dos lados dessa 
caixa e tem área máxima de 1200 cm 2 1200s\2 : 
A = y 2+ 4 xy = 1200 cm 2 X=C2+4"C=1200s\2 
Já seu volume será dado pelo produto da área da base pela sua altura: 
Isolando x " na equação da área: 
x = 1200− y 2 4 y "=1200−C24C 
Substituindo x " na equação do volume: 
V = y 2 ( 1200− y 2 4 y ) = 300 y − y 3 4 W=C2(120
0−C24C)=300C−C34 
Derivando o volume para determinar o ponto de máximo: 
V ′ = 300−3 y 2 4 = 03 y 2 = 4 ⋅ 300 →y 2 = 400 →y = 20 c
m W′=300−3C24=03C2=4⋅300→C2=400→C=20s\ 
Voltando na equação do volume, para determinar o volume máximo: 
V = 300 y − y 3 4 = 300 ⋅ 20−203 4 V máx = 4000 cm 3 .W=
300C−C34=300⋅20−2034Wmáx =4000s\3. 
3 
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Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo que 
R = 20Ω, C = 2 x 10^-3 F, L = 1 H e v(t) = 12 sen(10t). Sabe-se que a carga e a 
corrente elétrica para t = 0 são nulas. 
A 
e-10t[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t) 
B 
e-20t[0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t) 
C 
e-10t[-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t) 
D 
e-20t[-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t) 
E 
0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t) 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A carga de um capacitor em um circuito RLC pode ser determinada pela equação e-
10t[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t). Esta equação é 
derivada da equação diferencial que descreve o comportamento de um circuito 
RLC, levando em consideração as condiçõesiniciais do problema, que são a carga e 
a corrente elétrica nulas para t = 0. As demais alternativas não correspondem à 
solução correta da equação diferencial para as condições dadas. 
4 
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Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de 1 , 5 V 1,5W, um 
resistor de 20 Ω 20Ω, um capacitor de 10−3 F 10−3� e um indutor 
de 0 , 1 H 0,1U todos conectados em série. Determine a carga que circula 
pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver totalmente 
descarregado e não flui corrente sobre o circuito. 
A 
q ( t ) = 0 , 0015 ( 1− e −100 t −100 e −100 t ) C .�(@)=
0,0015(1−!−100@−100!−100@)>. 
B 
q ( t ) = 0 , 015 ( 1− e −100 t −100 e −100 t ) C .�(@)=0,
015(1−!−100@−100!−100@)>. 
C 
q ( t ) = 0 , 15 ( 1− e −100 t −100 e −100 t ) C .�(@)=0,1
5(1−!−100@−100!−100@)>. 
D 
q ( t ) = 1 , 5 ( 1− e −100 t −100 e −100 t ) C .�(@)=1,5(
1−!−100@−100!−100@)>. 
E 
q ( t ) = 15 ( 1− e −100 t −100 e −100 t ) C .�(@)=15(1−
!−100@−100!−100@)>. 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação para um circuito RLC é dada por: 
Ldid t + Ri + q C = V( t ) → 0 , 1 did t +20 i +10−3
q = 1 , 5 r;J;@+�J+�>=W(@)→0,1;J;@+20J+10−3�=1,5 
Rearranjando: 
d 2 q d t 2+200 d q d t +10 4 q = 15 ;2�;@2+200;�;@+
104�=15 
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar. 
Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea associada 
e posteriormente a solução particular dessa EDO não-homogênea. 
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é: 
d 2 q d t 2+200 d q d t +10 4 q = 0 ;2�;@2+200;�;@+1
04�=0 
Com as condições 
iniciais q ( 0 ) = 0 C �(0)=0> e i( 0 ) = 0 A J(0)=0X. A 
equação característica é 
r 2+200 r +10 4 = 0 k2+200k+104=0 
As raízes são: r ′ = r ′′ = −100 k′=k′′=−100. 
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica 
q h( t ) = C 1 e −100 t + C 2 e −100 t �ℎ(@)=>1!−100@+>2!
−100@ 
Por outro lado, uma solução particular é 
qp ( t ) = 1510000 = 0 , 0015 �:(@)=1510000=0,0015 
A carga é dada por: 
q ( t ) = qp ( t ) + q h( t ) →q ( t ) = 0 , 0015+ C
1 e −100 t + C 2 e −100 t �(@)=�:(@)+�ℎ(@)→�(@)=0,0015+>1!−
100@+>2!−100@ 
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no circuito: 
i( t ) = −100 C 1 e −100 t + C 2 e −100 t −100 C 2 e −1
00 t J(@)=−100>1!−100@+>2!−100@−100>2!−100@ 
Usando as condições 
iniciais, q ( 0 ) = 0 C �(0)=0> e i( 0 ) = 0 A J(0)=0X, 
obtemos as equações: 
0 , 0015+ C 1 = 0−100 C 1+ C 2 = 0 0,0015+>1=0−100>1+
>2=0 
De onde, 
temos C 1 = −0 , 0015 >1=−0,0015 e C 2 = −0 , 15 >2=−0,15. 
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a carga é: 
q ( t ) = 0 , 0015+ ( −0 , 0015 ) e −100 t + ( −0 , 15 )
e −100 t q ( t ) = 0 , 0015−0 , 0015 e −100 t −0 , 15 e −100
t q ( t ) = 0 , 0015 ( 1− e −100 t −100 e −100 t ) C �(@)
=0,0015+(−0,0015)!−100@+(−0,15)!−100@�(@)=0,0015−0,0015!−100@−0,15!−100@�(@)=0,0015(1−!−100@−100!−100@)> 
5 
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Um objeto com massa de 2 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante 
de proporcionalidade da resistência do ar é de k Ns2/m. O objeto sai do repouso. 
Determine o valor de k sabendo que ele atinge uma velocidade máxima de 80 m/s. 
A 
0,15 
B 
0,25 
C 
0,35 
D 
0,50 
E 
1.00 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para resolver essa questão, precisamos entender que a velocidade máxima de um 
objeto em queda livre é alcançada quando a força de resistência do ar é igual à 
força gravitacional atuando sobre o objeto. A força de resistência do ar é dada pela 
fórmula F = kv², onde k é a constante de proporcionalidade e v é a velocidade. A 
força gravitacional é dada por F = mg, onde m é a massa do objeto e g é a 
aceleração devido à gravidade. Igualando as duas equações e resolvendo para k, 
obtemos k = mg/v². Substituindo os valores dados na questão (m = 2 kg, g = 9,8 
m/s² e v = 80 m/s), encontramos k = 0,25 Ns2/m. Portanto, a alternativa correta é: 
0,25. 
6 
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Uma esfera com 200 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que 
está a 1000 C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 10 seg., 
determine a temperatura da esfera, em 0C, após 10 seg. 
A 
Entre 60 e 70 
B 
Entre 70 e 80 
C 
Entre 80 e 90 
D 
Entre 90 e 100 
E 
Entre 100 e 110 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A questão envolve o conceito de constante de tempo de aquecimento, que é o 
tempo necessário para que a temperatura de um objeto mude em 63,2% da 
diferença entre a temperatura inicial e a temperatura final. No caso, a temperatura 
inicial da esfera é de 200C e a temperatura final é de 1000C, uma diferença de 800C. 
Portanto, após 10 segundos (uma constante de tempo), a esfera terá aquecido 
63,2% dessa diferença, ou seja, aproximadamente 500C. Somando isso à 
temperatura inicial da esfera, chegamos a uma temperatura entre 70 e 800C. 
7 
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Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo em 
cima de uma janela retangular, conforme esquematizada na figura abaixo. 
Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu perímetro é 
de 5 m. 
A 
x = 20 4 + πm e y = 5 4 + πm "=204+£\ e C=54+£\ 
B 
x = 10 4 + πm e y = 5 4 + πm "=104+£\ e C=54+£\ 
C 
x = 5 4 + πm e y = 10 4 + πm "=54+£\ e C=104+£\ 
D 
x = 102+ πm e y = 52+ πm "=102+£\ e C=52+£\ 
E 
x = 1 4 + πm e y = 1 4 + πm "=14+£\ e C=14+£\ 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do 
retângulo e do semicírculo: 
A ret. = xy A sem. = πr 22 Xret. ="CXsem. =£k22 
Sabemos que r = x 2 k="2, logo 
A sem. = π ( x 2 ) 22 = πx 28 Xsem. =£("2)22=£"28 
Área total da janela: 
A total = A ret. + A sem. = xy + πx 28 Xtotal =Xret. +Xsem. ="C
+£"28 
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que 
vale 5 m 5\ : 
2 y + x +2 πr 2 = 52 y + x + πr = 5 2C+"+2£k2=52C+"+£k=5 
Substituindo o r k por x 2 "2, temos: 
2 y + x + πx 2 = 5 2C+"+£"2=5 
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do 
retângulo e do semicírculo: 
A ret. = xy A sem. = πr 22 Xret. ="CXsem. =£k22 
Sabemos que r = x 2 k="2, logo 
A sem. = π ( x 2 ) 22 = πx 28 Xsem. =£("2)22=£"28 
Área total da janela: 
A total = A ret. + A sem. = xy + πx 28 Xtotal =Xret. +Xsem. ="C
+£"28 
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que 
vale 5 m 5\ : 
2 y + x +2 πr 2 = 52 y + x + πr = 5 2C+"+2£k2=52C+"+£k=5 
Substituindo o r k por x 2 "2, temos: 
2 y + x + πx 2 = 5 2C+"+£"2=5 
Agora precisamos descobrir se o ponto encontrado é o máximo da função. 
Analisando o sinal da derivada perto de x = 10 4 + π ′ "=104+£′, temos: 
- Antes de x = 10 4 + π: A ′ total > 0 "=104+£:Xtotal ′>0 
- Depois de x = 10 4 + π: A ′ total < 0 "=104+£:Xtotal ′<0 
Logo, x = 10 4 + π "=104+£ é um ponto de máximo local. 
Também precisamos do valor de y C quando x = 10 4 + π "=104+£. 
Sabemos que 
y = 10− x ( 2+ π ) 4 C=10−"(2+£)4 
Substituindo o valor de x " que encontramos 
y = 10−10 4 + π ⋅ ( 2+ π ) 4 = 10 ( 4 + π ) −10 ⋅ ( 2+ π ) 4
+ π 4 = 40 +10 π −20+10 π 4 + π 4 y = 20 4 + π 4 = 20 4 ( 4
+ π ) = 5 4 + π C=10−104+£⋅(2+£)4=10(4+£)−10⋅(2+£)4+£4
=40+10£−20+10£4+£4C=204+£4=204(4+£)=54+£ 
Assim, as dimensões para a janela de área máxima devem ser: 
x = 10 4 + πm "=104+£\ 
y = 5 4 + πm C=54+£\ 
8 
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Um objeto com massa de 5 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante 
de proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5 Ns2/m. O objeto sai do repouso. 
Determine a expressão da velocidade em função do tempo obtida por ele durante 
sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10 m/s2. 
A 
v(t)=50(1-e-0,1t)m/s 
B 
v(t)=150(1-e-0,2t)m/s 
C 
v(t)=100(1-e-0,1t)m/s 
D 
v(t)=150(1-e-0,1t)m/s 
E 
v(t)=50(1-e-0,2t)m/sResposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A expressão correta para a velocidade do objeto em função do tempo durante a 
queda é v(t)=100(1-e-0,1t)m/s. Esta expressão é derivada da equação do movimento 
de um objeto em queda livre com resistência do ar, onde a velocidade é dada pela 
aceleração da gravidade multiplicada pelo tempo, menos o produto da constante 
de proporcionalidade da resistência do ar e a velocidade. Neste caso, a aceleração 
da gravidade é 10 m/s2, a massa do objeto é 5 kg e a constante de 
proporcionalidade da resistência do ar é 0,5 Ns2/m, resultando na expressão dada. 
9 
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Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de 1 , 5 V 1,5W, um 
resistor de 20 Ω 20Ω, um capacitor de 10−3 F 10−3� e um indutor 
de 0 , 1 H 0,1U todos conectados em série. Determine a corrente que circula 
pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver totalmente 
descarregado e não flui corrente sobre o circuito. 
A 
i( t ) = 150 e −100 t A .J(@)=150!−100@X. 
B 
i( t ) = 1 , 5 e −100 t A .J(@)=1,5!−100@X. 
C 
i( t ) = 0 , 15 e −100 t A .J(@)=0,15!−100@X. 
D 
i( t ) = 15 e −100 t A .J(@)=15!−100@X. 
E 
i( t ) = 0 , 015 e −100 t A .J(@)=0,015!−100@X. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação para um circuito RLC é dada por: 
Ldid t + Ri + q C = V( t ) → 0 , 1 did t +20 i +10−3
q = 1 , 5 r;J;@+�J+�>=W(@)→0,1;J;@+20J+10−3�=1,5 
Rearranjando: 
d 2 q d t 2+200 d q d t +10 4 q = 15 ;2�;@2+200;�;@+
104�=15 
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar. 
Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea associada 
e posteriormente a solução particular dessa EDO não-homogênea. 
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é: 
d 2 q d t 2+200 d q d t +10 4 q = 0 ;2�;@2+200;�;@+1
04�=0 
Com as condições 
iniciais q ( 0 ) = 0 C �(0)=0> e i( 0 ) = 0 A J(0)=0X. A 
equação característica é 
r 2+200 r +10 4 = 0 k2+200k+104=0 
As raízes são: r ′ = r ′′ = −100 k′=k′′=−100 
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica 
q h( t ) = C 1 e −100 t + C 2 e −100 t �ℎ(@)=>1!−100@+>2!
−100@ 
Por outro lado, uma solução particular é 
qp ( t ) = 1510000 = 0 , 0015 �:(@)=1510000=0,0015 
A carga é dada por: 
q ( t ) = qp ( t ) + q h( t ) →q ( t ) = 0 , 0015+ C
1 e −100 t + C 2 e −100 t �(@)=�:(@)+�ℎ(@)→�(@)=0,0015+>1!−
100@+>2!−100@ 
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no circuito: 
i( t ) = −100 C 1 e −100 t + C 2 e −100 t −100 C 2 e −1
00 t J(@)=−100>1!−100@+>2!−100@−100>2!−100@ 
Usando as condições 
iniciais, q ( 0 ) = 0 C �(0)=0> e i( 0 ) = 0 A J(0)=0X, 
obtemos as equações: 
0 , 0015+ C 1 = 0−100 C 1+ C 2 = 0 0,0015+>1=0−100>1+
>2=0 
De onde, 
temos C 1 = −0 , 0015 >1=−0,0015 e C 2 = −0 , 15 >2=−0,15. 
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a corrente é: 
i( t ) = −100 ( −0 , 0015 ) e −100 t + ( −0 , 15 ) e −100
t −100 ( −0 , 15 ) e −100 t i( t ) = 0 , 15 e −100 t −0 , 1
5 e −100 t +15 e −100 t i( t ) = 15 e −100 t A J(@)=−100(−0
,0015)!−100@+(−0,15)!−100@−100(−0,15)!−100@J(@)=0,15!−100@−0,15!−100@+15!−100@J(@)=15!−100@X 
10 
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Seja um sistema massa-mola na vertical preso a um amortecedor com constante de 
amortecimento c = 32. A mola tem constante elástica de k e o corpo preso a ela tem 
massa de 4 kg. O sistema está em equilíbrio com um espaçamento da mola de 0,4 
m. Após esticar o corpo e largar o mesmo em um esticamento da mola total de 0,8 
m, ele entrará em movimento. Marque a alternativa verdadeira relacionada a k 
sabendo que o movimento será do tipo amortecido crítico. 
A 
k = 32 
B 
k < 32 
C 
k > 64 
D 
k = 64 
E 
k < 64 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A resposta correta é: k = 64. O movimento será amortecido crítico quando a 
constante de amortecimento c for igual à 2√mk. No caso, c = 32 e m = 4 kg, então k 
= 64. 
 
1 
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Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo que 
R = 20Ω, C = 2 x 10^-3 F, L = 1 H e v(t) = 12 sen(10t). Sabe-se que a carga e a 
corrente elétrica para t = 0 são nulas. 
A 
e-10t[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t) 
B 
e-20t[0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t) 
C 
e-10t[-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t) 
D 
e-20t[-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t) 
E 
0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t) 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A alternativa correta é a letra A. A carga de um capacitor em um circuito RLC pode 
ser determinada pela equação e-10t[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 
sen(10t). Esta equação é derivada da equação diferencial que descreve o 
comportamento de um circuito RLC, levando em consideração as condições iniciais 
do problema, que são a carga e a corrente elétrica nulas para t = 0. As demais 
alternativas não correspondem à solução correta da equação diferencial para as 
condições dadas. 
2 
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Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo em 
cima de uma janela retangular, conforme esquematizada na figura abaixo. 
Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu perímetro é 
de 5 m. 
A 
x = 20 4 + πm e y = 5 4 + πm "=204+£\ e C=54+£\ 
B 
x = 10 4 + πm e y = 5 4 + πm "=104+£\ e C=54+£\ 
C 
x = 5 4 + πm e y = 10 4 + πm "=54+£\ e C=104+£\ 
D 
x = 102+ πm e y = 52+ πm "=102+£\ e C=52+£\ 
E 
x = 1 4 + πm e y = 1 4 + πm "=14+£\ e C=14+£\ 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do 
retângulo e do semicírculo: 
A ret. = xy A sem. = πr 22 Xret. ="CXsem. =£k22 
Sabemos que r = x 2 k="2, logo 
A sem. = π ( x 2 ) 22 = πx 28 Xsem. =£("2)22=£"28 
Área total da janela: 
A total = A ret. + A sem. = xy + πx 28 Xtotal =Xret. +Xsem. ="C
+£"28 
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que 
vale 5 m 5\ : 
2 y + x +2 πr 2 = 52 y + x + πr = 5 2C+"+2£k2=52C+"+£k=5 
Substituindo o r k por x 2 "2, temos: 
2 y + x + πx 2 = 5 2C+"+£"2=5 
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do 
retângulo e do semicírculo: 
A ret. = xy A sem. = πr 22 Xret. ="CXsem. =£k22 
Sabemos que r = x 2 k="2, logo 
A sem. = π ( x 2 ) 22 = πx 28 Xsem. =£("2)22=£"28 
Área total da janela: 
A total = A ret. + A sem. = xy + πx 28 Xtotal =Xret. +Xsem. ="C
+£"28 
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que 
vale 5 m 5\ : 
2 y + x +2 πr 2 = 52 y + x + πr = 5 2C+"+2£k2=52C+"+£k=5 
Substituindo o r k por x 2 "2, temos: 
2 y + x + πx 2 = 5 2C+"+£"2=5 
Agora precisamos descobrir se o ponto encontrado é o máximo da função. 
Analisando o sinal da derivada perto de x = 10 4 + π ′ "=104+£′, temos: 
- Antes de x = 10 4 + π: A ′ total > 0 "=104+£:Xtotal ′>0 
- Depois de x = 10 4 + π: A ′ total < 0 "=104+£:Xtotal ′<0 
Logo, x = 10 4 + π "=104+£ é um ponto de máximo local. 
Também precisamos do valor de y C quando x = 10 4 + π "=104+£. 
Sabemos que 
y = 10− x ( 2+ π ) 4 C=10−"(2+£)4 
Substituindo o valor de x " que encontramos 
y = 10−10 4 + π ⋅ ( 2+ π ) 4 = 10 ( 4 + π ) −10 ⋅ ( 2+ π ) 4
+ π 4 = 40 +10 π −20+10 π 4 + π 4 y = 20 4 + π 4 = 20 4 ( 4
+ π ) = 5 4 + π C=10−104+£⋅(2+£)4=10(4+£)−10⋅(2+£)4+£4
=40+10£−20+10£4+£4C=204+£4=204(4+£)=54+£ 
Assim, as dimensões para a janela de área máxima devem ser: 
x = 10 4 + πm "=104+£\ 
y = 5 4 + πm C=54+£\ 
3 
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Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de 1 , 5 V 1,5W, um 
resistor de 20 Ω 20Ω, um capacitor de 10−3 F 10−3� e um indutor 
de 0 , 1 H 0,1U todos conectados em série. Determine a corrente que circulapelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver totalmente 
descarregado e não flui corrente sobre o circuito. 
A 
i( t ) = 150 e −100 t A .J(@)=150!−100@X. 
B 
i( t ) = 1 , 5 e −100 t A .J(@)=1,5!−100@X. 
C 
i( t ) = 0 , 15 e −100 t A .J(@)=0,15!−100@X. 
D 
i( t ) = 15 e −100 t A .J(@)=15!−100@X. 
E 
i( t ) = 0 , 015 e −100 t A .J(@)=0,015!−100@X. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação para um circuito RLC é dada por: 
Ldid t + Ri + q C = V( t ) → 0 , 1 did t +20 i +10−3
q = 1 , 5 r;J;@+�J+�>=W(@)→0,1;J;@+20J+10−3�=1,5 
Rearranjando: 
d 2 q d t 2+200 d q d t +10 4 q = 15 ;2�;@2+200;�;@+
104�=15 
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar. 
Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea associada 
e posteriormente a solução particular dessa EDO não-homogênea. 
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é: 
d 2 q d t 2+200 d q d t +10 4 q = 0 ;2�;@2+200;�;@+1
04�=0 
Com as condições 
iniciais q ( 0 ) = 0 C �(0)=0> e i( 0 ) = 0 A J(0)=0X. A 
equação característica é 
r 2+200 r +10 4 = 0 k2+200k+104=0 
As raízes são: r ′ = r ′′ = −100 k′=k′′=−100 
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica 
q h( t ) = C 1 e −100 t + C 2 e −100 t �ℎ(@)=>1!−100@+>2!
−100@ 
Por outro lado, uma solução particular é 
qp ( t ) = 1510000 = 0 , 0015 �:(@)=1510000=0,0015 
A carga é dada por: 
q ( t ) = qp ( t ) + q h( t ) →q ( t ) = 0 , 0015+ C
1 e −100 t + C 2 e −100 t �(@)=�:(@)+�ℎ(@)→�(@)=0,0015+>1!−
100@+>2!−100@ 
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no circuito: 
i( t ) = −100 C 1 e −100 t + C 2 e −100 t −100 C 2 e −1
00 t J(@)=−100>1!−100@+>2!−100@−100>2!−100@ 
Usando as condições 
iniciais, q ( 0 ) = 0 C �(0)=0> e i( 0 ) = 0 A J(0)=0X, 
obtemos as equações: 
0 , 0015+ C 1 = 0−100 C 1+ C 2 = 0 0,0015+>1=0−100>1+
>2=0 
De onde, 
temos C 1 = −0 , 0015 >1=−0,0015 e C 2 = −0 , 15 >2=−0,15. 
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a corrente é: 
i( t ) = −100 ( −0 , 0015 ) e −100 t + ( −0 , 15 ) e −100
t −100 ( −0 , 15 ) e −100 t i( t ) = 0 , 15 e −100 t −0 , 1
5 e −100 t +15 e −100 t i( t ) = 15 e −100 t A J(@)=−100(−0
,0015)!−100@+(−0,15)!−100@−100(−0,15)!−100@J(@)=0,15!−100@−0,15!−100@+15!−100@J(@)=15!−100@X 
4 
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Um objeto com massa de 2 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante 
de proporcionalidade da resistência do ar é de k Ns2/m. O objeto sai do repouso. 
Determine o valor de k sabendo que ele atinge uma velocidade máxima de 80 m/s. 
A 
0,15 
B 
0,25 
C 
0,35 
D 
0,50 
E 
1.00 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para resolver essa questão, precisamos entender que a velocidade máxima de um 
objeto em queda livre é alcançada quando a força de resistência do ar é igual à 
força gravitacional atuando sobre o objeto. A força de resistência do ar é dada pela 
fórmula F = kv², onde k é a constante de proporcionalidade e v é a velocidade. A 
força gravitacional é dada por F = mg, onde m é a massa do objeto e g é a 
aceleração devido à gravidade. Igualando as duas equações e resolvendo para k, 
obtemos k = mg/v². Substituindo os valores dados na questão (m = 2 kg, g = 9,8 
m/s² e v = 80 m/s), encontramos k = 0,25 Ns2/m. Portanto, a alternativa correta é a 
B: 0,25. 
5 
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Um circuito em série consiste em um indutor de 0 , 25 H 0,25U, um resistor 
de 40Ω 40Ω, um capacitor de 4 × 10− 4 F 4×10−4� e uma força 
eletromotriz dada por V( t ) = 5 sen 100 t V W(@)=5sen 100@W. 
Se a corrente inicial e a carga inicial no capacitor são ambos zeros, determinar a 
carga no capacitor para qualquer tempo t > 0 @>0. 
A 
q ( t ) = e −20 t ( 1800 cos 60 x +1600 sen 60 x )
−1800 cos 100 t .�(@)=!−20@(1800cos 60"+1600sen 60")−1
800cos 100@. 
B 
q ( t ) = e −80 t ( 1800 cos 60 x +1600 sen 60 x )
−1800 cos 100 t .�(@)=!−80@(1800cos 60"+1600sen 60")−1
800cos 100@. 
C 
q ( t ) = e −80 t ( 180 cos 60 x +160 sen 60 x ) −
180 cos 100 t .�(@)=!−80@(180cos 60"+160sen 60")−180cos
 100@. 
D 
q ( t ) = e −80 t ( 1800 cos 60 x +1600 sen 60 x )
−1800 cos 10 t .�(@)=!−80@(1800cos 60"+1600sen 60")−18
00cos 10@. 
E 
q ( t ) = e −80 t ( 1600 cos 60 x +1800 sen 60 x )
−1800 cos 100 t .�(@)=!−80@(1600cos 60"+1800sen 60")−1
800cos 100@. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação para um circuito RLC é dada por: 
Ldid t + Ri + q C = V( t ) → 0 , 25 did t + 40 i + q
4 × 10− 4 = 5 sen 100 t V r;J;@+�J+�>=W(@)→0,25;J;@+40J
+�4×10−4=5sen 100@W 
Rearranjando após multiplicar os membros por 4 : 
d 2 q d t 2+160 d q d t +10000 q = 20 sen 100 t ;2�;@
2+160;�;@+10000�=20sen 100@ 
Note que se trata de uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea de 
coeficientes. 
A equação característica da equação homogênea associada é 
r 2+160 r +10000 = 0 k2+160k+10000=0 
As raízes 
são: r ′ = −80+60 i k′=−80+60J e r ′′ = −80−60 i k′′=−80−60J. 
Como tem raízes complexas conjugadas, a solução geral será da forma 
y ( x ) = eax (C 1 cos b x + C 2 sen b x ) C(")=!I"(>1co
s v"+>2sen v") 
Logo, 
q h( t ) = e −80 t (C 1 cos 60 x + C 2 sen 60 x ) �ℎ(@)=!
−80@(>1cos 60"+>2sen 60") 
Usando o método dos coeficientes a determinar, chega-se à solução particular: 
qp ( t ) = −1800 cos 100 t �:(@)=−1800cos 100@ 
A solução dessa EDO é 
q ( t ) = qp ( t ) + q h( t ) →q ( t ) = e −80 t (C 1
cos 60 x + C 2 sen 60 x ) −1800 cos 100 t �(@)=�:(@)+�ℎ(@
)→�(@)=!−80@(>1cos 60"+>2sen 60")−1800cos 100@ 
Das condições 
iniciais q ( 0 ) = 0 C �(0)=0> e i( 0 ) = 0 A J(0)=0X segue 
que 
C 1−1800 = 0−80 C 1+60 C 2 = 0 >1−1800=0−80>1+60>2=
0 
De onde, temos C 1 = 1800 >1=1800 e C 2 = 1600 >2=1600. 
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a carga é: 
q ( t ) = e −80 t (C 1 cos 60 x + C 2 sen 60 x ) −1800
cos 100 t q ( t ) = e −80 t ( 1800 cos 60 x +1600 sen
60 x ) −1800 cos 100 t �(@)=!−80@(>1cos 60"+>2sen 60
")−1800cos 100@�(@)=!−80@(1800cos 60"+1600sen 60")−1800cos 100@ 
6 
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Você foi incumbido de delimitar um terreno retangular de 300 m2 usando muros 
externos e divisórias internas como mostrado na figura abaixo. 
 
Sabendo-se que o preço do muro é de 
R 10 , 00 / meopre ç o d as di v i s ó r i as é d e R 10,00/
\!u:k!çu;I ;JFJ ókJI é;!� 5,00/m, determine as dimensões do terreno 
de modo que o custo total seja o menor possível. 
A 
x = 5 √ 6 m e y = 10 √ 6 m ."=56\ e C=106\. 
B 
x = 6 √ 10 m e y = 5 √ 6 m ."=610\ e C=56\. 
C 
x = 6 √ 10 m e y = 6 √ 10 m ."=610\ e C=610\. 
D 
x = 5 √ 10 m e y = 6 √ 10 m ."=510\ e C=610\. 
E 
x = 10 √ 10 m e y = 10 √ 10 m ."=1010\ e C=1010\. 
Resposta correta 
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Área do terreno: 
A ret. = xy = 300 m 2 Xret. ="C=300\2 
Sabe-se que, pela figura, serão necessários 2 x + y 2"+C metros de divisórias 
e 2 x +2 y 2"+2C metros de muro. Assim, o custo total será: 
C = 5 ( 2 x + y ) +10 ( 2 x +2 y ) = 10 x +5 y +20 x +
200 y = 30 x +25 y >=5(2"+C)+10(2"+2C)=10"+5C+20"+200C
=30"+25C 
Usando a equação da área para isolar o y C em função do x " : 
y = 300 x C=300" 
Voltando na equação e custo: 
C = 30 x +25 y = 30 x +25 ( 300 x ) = 30 x + 7500
x >=30"+25C=30"+25(300")=30"+7500" 
Derivando o custo para obter o custo mínimo: 
C ′ = 30+ 7500 x 2 = 30 x 2+ 7500 x 2 >′=30+7500"2=30"2
+7500"2 
Verificando os pontos críticos, fazendo C ′ = 0 >′=0 
30 x 2+ 7500 x 2 = 030 x 2+ 7500 = 0 →x 2 = 250 →x = √
250 = 5 √ 10 30"2+7500"2=030"2+7500=0→"2=250→"=250
=510 
Analisando o sinal da derivada: 
Quando x < 5 √ 10 : C ′< 0 "<510:>′<0 
Quando x > 5 √ 10 : C ′> 0 ">510:>′>0 
portanto x = 5 √ 10 "=510 é um mínimo da função. 
Voltando na equação da área e substituindo o valor de x " encontrado para 
determinar o valor de y C. 
5 √ 10 ⋅ y = 300 y = 3005 √ 10 = 60 √ 10 = 60 √ 1010
= 6 √ 10 510⋅C=300C=300510=6010=601010=610As dimensões para minimizar o custo em delimitar o terreno são: 
x = 5 √ 10 m e y = 6 √ 10 m ."=510\ e C=610\. 
7 
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Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo em 
cima de uma janela retangular, conforme esquematizada na figura abaixo. 
Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu perímetro é 
de 5 m. 
A 
x = 20 4 + πm e y = 5 4 + πm "=204+£\ e C=54+£\ 
B 
x = 10 4 + πm e y = 5 4 + πm "=104+£\ e C=54+£\ 
C 
x = 5 4 + πm e y = 10 4 + πm "=54+£\ e C=104+£\ 
D 
x = 102+ πm e y = 52+ πm "=102+£\ e C=52+£\ 
E 
x = 1 4 + πm e y = 1 4 + πm "=14+£\ e C=14+£\ 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do 
retângulo e do semicírculo: 
A ret. = xy A sem. = πr 22 Xret. ="CXsem. =£k22 
Sabemos que r = x 2 k="2, logo 
A sem. = π ( x 2 ) 22 = πx 28 Xsem. =£("2)22=£"28 
Área total da janela: 
A total = A ret. + A sem. = xy + πx 28 Xtotal =Xret. +Xsem. ="C
+£"28 
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que 
vale 5 m 5\ : 
2 y + x +2 πr 2 = 52 y + x + πr = 5 2C+"+2£k2=52C+"+£k=5 
Substituindo o r k por x 2 "2, temos: 
2 y + x + πx 2 = 5 2C+"+£"2=5 
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do 
retângulo e do semicírculo: 
A ret. = xy A sem. = πr 22 Xret. ="CXsem. =£k22 
Sabemos que r = x 2 k="2, logo 
A sem. = π ( x 2 ) 22 = πx 28 Xsem. =£("2)22=£"28 
Área total da janela: 
A total = A ret. + A sem. = xy + πx 28 Xtotal =Xret. +Xsem. ="C
+£"28 
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que 
vale 5 m 5\ : 
2 y + x +2 πr 2 = 52 y + x + πr = 5 2C+"+2£k2=52C+"+£k=5 
Substituindo o r k por x 2 "2, temos: 
2 y + x + πx 2 = 5 2C+"+£"2=5 
Agora precisamos descobrir se o ponto encontrado é o máximo da função. 
Analisando o sinal da derivada perto de x = 10 4 + π ′ "=104+£′, temos: 
- Antes de x = 10 4 + π: A ′ total > 0 "=104+£:Xtotal ′>0 
- Depois de x = 10 4 + π: A ′ total < 0 "=104+£:Xtotal ′<0 
Logo, x = 10 4 + π "=104+£ é um ponto de máximo local. 
Também precisamos do valor de y C quando x = 10 4 + π "=104+£. 
Sabemos que 
y = 10− x ( 2+ π ) 4 C=10−"(2+£)4 
Substituindo o valor de x " que encontramos 
y = 10−10 4 + π ⋅ ( 2+ π ) 4 = 10 ( 4 + π ) −10 ⋅ ( 2+ π ) 4
+ π 4 = 40 +10 π −20+10 π 4 + π 4 y = 20 4 + π 4 = 20 4 ( 4
+ π ) = 5 4 + π C=10−104+£⋅(2+£)4=10(4+£)−10⋅(2+£)4+£4
=40+10£−20+10£4+£4C=204+£4=204(4+£)=54+£ 
Assim, as dimensões para a janela de área máxima devem ser: 
x = 10 4 + πm "=104+£\ 
y = 5 4 + πm C=54+£\ 
8 
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Um objeto com massa de 5 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante 
de proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5 Ns2/m. O objeto sai do repouso. 
Determine a expressão da velocidade em função do tempo obtida por ele durante 
sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10 m/s2. 
A 
v(t)=50(1-e-0,1t)m/s 
B 
v(t)=150(1-e-0,2t)m/s 
C 
v(t)=100(1-e-0,1t)m/s 
D 
v(t)=150(1-e-0,1t)m/s 
E 
v(t)=50(1-e-0,2t)m/s 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A expressão correta para a velocidade do objeto em função do tempo durante a 
queda é v(t)=100(1-e-0,1t)m/s. Esta expressão é derivada da equação do movimento 
de um objeto em queda livre com resistência do ar, onde a velocidade é dada pela 
aceleração da gravidade multiplicada pelo tempo, menos o produto da constante 
de proporcionalidade da resistência do ar e a velocidade. Neste caso, a aceleração 
da gravidade é 10 m/s2, a massa do objeto é 5 kg e a constante de 
proporcionalidade da resistência do ar é 0,5 Ns2/m, resultando na expressão dada. 
9 
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Você foi incumbido de delimitar um terreno retangular de 300 m2 usando muros 
externos e divisórias internas como mostrado na figura abaixo. 
 
Sabendo-se que o preço do muro é de 
R 10 , 00 / meopre ç o d as di v i s ó r i as é d e R 10,00/
\!u:k!çu;I ;JFJ ókJI é;!� 5,00/m, determine as dimensões do terreno 
de modo que o custo total seja o menor possível. 
A 
x = 5 √ 6 m e y = 10 √ 6 m ."=56\ e C=106\. 
B 
x = 6 √ 10 m e y = 5 √ 6 m ."=610\ e C=56\. 
C 
x = 6 √ 10 m e y = 6 √ 10 m ."=610\ e C=610\. 
D 
x = 5 √ 10 m e y = 6 √ 10 m ."=510\ e C=610\. 
E 
x = 10 √ 10 m e y = 10 √ 10 m ."=1010\ e C=1010\. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
Área do terreno: 
A ret. = xy = 300 m 2 Xret. ="C=300\2 
Sabe-se que, pela figura, serão necessários 2 x + y 2"+C metros de divisórias 
e 2 x +2 y 2"+2C metros de muro. Assim, o custo total será: 
C = 5 ( 2 x + y ) +10 ( 2 x +2 y ) = 10 x +5 y +20 x +
200 y = 30 x +25 y >=5(2"+C)+10(2"+2C)=10"+5C+20"+200C
=30"+25C 
Usando a equação da área para isolar o y C em função do x " : 
y = 300 x C=300" 
Voltando na equação e custo: 
C = 30 x +25 y = 30 x +25 ( 300 x ) = 30 x + 7500
x >=30"+25C=30"+25(300")=30"+7500" 
Derivando o custo para obter o custo mínimo: 
C ′ = 30+ 7500 x 2 = 30 x 2+ 7500 x 2 >′=30+7500"2=30"2
+7500"2 
Verificando os pontos críticos, fazendo C ′ = 0 >′=0 
30 x 2+ 7500 x 2 = 030 x 2+ 7500 = 0 →x 2 = 250 →x = √
250 = 5 √ 10 30"2+7500"2=030"2+7500=0→"2=250→"=250
=510 
Analisando o sinal da derivada: 
Quando x < 5 √ 10 : C ′< 0 "<510:>′<0 
Quando x > 5 √ 10 : C ′> 0 ">510:>′>0 
portanto x = 5 √ 10 "=510 é um mínimo da função. 
Voltando na equação da área e substituindo o valor de x " encontrado para 
determinar o valor de y C. 
5 √ 10 ⋅ y = 300 y = 3005 √ 10 = 60 √ 10 = 60 √ 1010
= 6 √ 10 510⋅C=300C=300510=6010=601010=610 
As dimensões para minimizar o custo em delimitar o terreno são: 
x = 5 √ 10 m e y = 6 √ 10 m ."=510\ e C=610\. 
10 
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Um circuito em série consiste em um indutor de 0 , 25 H 0,25U, um resistor 
de 40Ω 40Ω, um capacitor de 4 × 10− 4 F 4×10−4� e uma força 
eletromotriz dada por V( t ) = 5 sen 100 t V W(@)=5sen 100@W. 
Se a corrente inicial e a carga inicial no capacitor são ambos zeros, determinar a 
carga no capacitor para qualquer tempo t > 0 @>0. 
A 
q ( t ) = e −20 t ( 1800 cos 60 x +1600 sen 60 x )
−1800 cos 100 t .�(@)=!−20@(1800cos 60"+1600sen 60")−1
800cos 100@. 
B 
q ( t ) = e −80 t ( 1800 cos 60 x +1600 sen 60 x )
−1800 cos 100 t .�(@)=!−80@(1800cos 60"+1600sen 60")−1
800cos 100@. 
C 
q ( t ) = e −80 t ( 180 cos 60 x +160 sen 60 x ) −
180 cos 100 t .�(@)=!−80@(180cos 60"+160sen 60")−180cos
 100@. 
D 
q ( t ) = e −80 t ( 1800 cos 60 x +1600 sen 60 x )
−1800 cos 10 t .�(@)=!−80@(1800cos 60"+1600sen 60")−18
00cos 10@. 
E 
q ( t ) = e −80 t ( 1600 cos 60 x +1800 sen 60 x )
−1800 cos 100 t .�(@)=!−80@(1600cos 60"+1800sen 60")−1
800cos 100@. 
Resposta incorreta 
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! 
Gabarito Comentado 
A equação para um circuito RLC é dada por: 
Ldid t + Ri + q C = V( t ) → 0 , 25 did t + 40 i + q
4 × 10− 4 = 5 sen 100 t V r;J;@+�J+�>=W(@)→0,25;J;@+40J
+�4×10−4=5sen 100@W 
Rearranjando após multiplicar os membros por 4 : 
d 2 q d t 2+160 d q d t +10000 q = 20 sen 100 t ;2�;@
2+160;�;@+10000�=20sen 100@ 
Note que se trata de uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea de 
coeficientes. 
A equação característica da equação homogênea associada é 
r 2+160 r +10000 = 0 k2+160k+10000=0 
As raízes 
são: r ′ = −80+60 i k′=−80+60J e r ′′ = −80−60 i k′′=−80−60J. 
Como tem raízes complexas conjugadas, a solução geral será da forma 
y ( x ) = eax (C 1 cos b x + C 2 sen b x ) C(")=!I"(>1co
s v"+>2sen v") 
Logo, 
q h( t ) = e −80 t (C 1 cos 60 x + C 2 sen 60 x ) �ℎ(@)=!
−80@(>1cos 60"+>2sen 60") 
Usando o método dos coeficientes a determinar, chega-se à solução particular: 
qp ( t ) = −1800 cos 100 t �:(@)=−1800cos 100@ 
A solução dessa EDO é 
q ( t ) = qp ( t ) + q h( t ) →q ( t ) = e −80 t (C 1
cos 60 x + C 2 sen 60 x ) −1800 cos 100 t �(@)=�:(@)+�ℎ(@
)→�(@)=!−80@(>1cos 60"+>2sen 60")−1800cos 100@ 
Das condições 
iniciais q ( 0 ) = 0 C �(0)=0> ei( 0 ) = 0 A J(0)=0X segue 
que 
C 1−1800 = 0−80 C 1+60 C 2 = 0 >1−1800=0−80>1+60>2=
0 
De onde, temos C 1 = 1800 >1=1800 e C 2 = 1600 >2=1600. 
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a carga é: 
q ( t ) = e −80 t (C 1 cos 60 x + C 2 sen 60 x ) −1800
cos 100 t q ( t ) = e −80 t ( 1800 cos 60 x +1600 sen
60 x ) −1800 cos 100 t �(@)=!−80@(>1cos 60"+>2sen 60
")−1800cos 100@�(@)=!−80@(1800cos 60"+1600sen 60")−1800cos 100@