Bases matemáticas Tema 3 Aprofundamento de funções

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Dada a função f(x) = 2x, com domínio igual ao conjunto dos números naturais, assinale a alternativa correta relativa a seu domínio, contradomínio e imagem.
A
O domínio dessa função possui todos os números inteiros.
B
Não é possível usar essa função para qualquer fim, pois o seu contradomínio não está bem definido.
C
A imagem dessa função é igual ao conjunto dos números pares não negativos.
D
O contradomínio dessa função não pode ser o conjunto dos números naturais.
E
A imagem dessa função é igual ao seu domínio.
Gabarito comentado
Resposta correta: C
Incorreta! O domínio da função possui apenas o conjunto dos números naturais, que não inclui os números negativos, como é feito no conjunto dos números inteiros.
Incorreta! Não é necessário definir o contradomínio, uma vez que o domínio está bem definido.
Correta!
Incorreta! O contradomínio dessa função pode ser qualquer conjunto numérico que contenha a sua imagem.
Incorreta! O domínio contém números ímpares, a imagem não.
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Em determinado país, o cálculo do imposto de renda é feito da seguinte forma: 10% da renda, para rendas iguais ou inferiores a R$ 900,00 e, para rendas acima de R$ 900,00, o imposto será igual a R$ 90,00, acrescido de 20% da parte da renda que ultrapassa R$ 900,00. Nestas condições, determine a renda de uma pessoa que pagou R$ 970,00 de impostos.
A
R$ 4.100,00
B
R$ 4.300,00
C
R$ 5.100,00
D
R$ 5.300,00
E
R$ 6.100,00
Gabarito comentado
Resposta correta: D
A resposta correta é: D.
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As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011?
A
4
B
6,5
C
7
D
8
E
10
Gabarito comentado
Resposta correta: E
Após uma cuidadosa análise do gráfico da função, podemos identificar dois pontos: (0, 18) e (9, 0). Através desses pontos, vamos encontrar a lei de formação da função. Como o gráfico é uma reta, sabemos que essa é uma função do 1° grau, portanto, do tipo y = a · x + b. Dessa forma, vamos substituir os pontos (0, 18) e (9, 0) nessa equação:
Podemos afirmar que a lei de formação da função representada no gráfico é dada por:
y = ¿ 2 · x + 18
onde y é o número de sacolas e x é o ano (subtraindo 2007 de x). 
Para que não haja confusão a respeito do valor de x, podemos reescrever a função da seguinte forma:
y = ¿ 2 · (x ¿ 2007) + 18
Agora que temos a lei de formação da função, podemos determinar quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos quando tivermos x = 2011:
y = ¿ 2 · (x ¿ 2007) + 18
y = ¿ 2 · (2011 ¿ 2007) + 18
y = ¿ 2 · 4 + 18
y = ¿ 8 + 18
y = 10
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(ENEM 2021) Por muitos anos, o Brasil tem figurado no cenário mundial entre os maiores produtores e exportadores de soja. Entre os anos de 2010 e 2014, houve uma forte tendência de aumento da produtividade, porém, um aspecto dificultou esse avanço: o alto custo do imposto ao produtor associado ao baixo preço de venda do produto. Em média, um produtor gastava R$ 1 200,00 por hectare plantado, e vendia por R$ 50,00 cada saca de 60 kg. Ciente desses valores, um produtor pode, em certo ano, determinar uma relação do lucro L que obteve em função das sacas de 60 kg vendidas. Suponha que ele plantou 10 hectares de soja em sua propriedade, na qual colheu x sacas de 60 kg e todas as sacas foram vendidas.
A
L(x) = 50x + 12 000
B
L(x) = 1 200x - 500
C
L(x) = 500x - 1 200
D
L(x) = 50x - 1 200
E
L(x) = 50x - 12 000
Gabarito comentado
Resposta correta: E
Função Lucro = Receita - Custo
Aplica-se a lei de formação da Função do Primeiro Grau ou Função Afim
f (x) = ax + b
a = Receita
b = Custo
f (x) = L (x) = Função Lucro
Receita = R$ 50,00
Custo = 1 200 x 10 hectares = R$ 12 000,00
Logo:
L (x) = 50x - 12 000
 
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Qual é o ponto de encontro entre as retas: x - y = 0 e x + y - 4 = 0
A
(2,0)
B
(0,2)
C
(2,2)
D
(0,0)
E
(1,1)
Gabarito comentado
Resposta correta: C
Para determinar o ponto de encontro entre duas retas, deve-se isolar uma de suas incógnitas, descobrir o valor de uma delas e depois encontrar o valor da outra, por processos de substituição. Observe:
x - y = 0 logo, x = y
x + y - 4 = 0
y + y - 4 = 0
2y = 4
y = 2
Assim:
x - y = 0
x - 2 = 0
x = 2
O ponto de encontro entre essas duas retas tem as seguintes coordenadas (2, 2).
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Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse caso determine quanto este estudante reservou para o pagamento de diárias.
A
R$ 250,00
B
R$ 350,00
C
R$ 450,00
D
R$ 550,00
E
R$ 650,00
Gabarito comentado
Resposta correta: C
A resposta correta é: C.
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A tabela a seguir relaciona as vendas mensais para três preços diferentes do mesmo produto:
Quais são as encontre as situações-limite (preço máximo e demanda potencial) para essa função de 1º grau?
A
R$12,00 e 4 unidades
B
R$12,00 e 3 unidades
C
R$10,00 e 4 unidades
D
R$10,00 e 3 unidades
E
R$8,00 e 4 unidades
Gabarito comentado
Resposta correta: A
m = (y - y0) / (x - x0) ... m = (6,00 - 9,00) / (2 - 1) = -3,00 / 1 = -3
m = (y - y0) / (x - x0) ... -3 = (9,00 - y0) / (1 - 0)  ... (9,00 - y0) = -3 * (1 - 0) ... 9,00 - y0 = -3 ... -y0 = -3 - 9,00 ... y0 = n = 12,00
Função de 1º grau : y = m*x + n ... y = -3*x+12
Para preço máximo: x = 0 (se não vendesse nenhuma unidade)
y = -3*x+12 ... y = -3*0+12 ... y = R$12,00
Para demanda potencial: y = 0 (se todas as unidades fossem de graça, quantas ¿sairiam¿)
y = -3*x+12 ... 0 = -3*x+12 ... 3*x = 12 ... x = 4 unidades
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A função g(x) = 84.x representa o gasto médio, em reais, com a compra de água mineral de uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família pretende deixar de comprar água mineral e instalar em sua residência um purificador de água que custa R$ 299,90. Com o dinheiro economizado ao deixar de comprar água mineral, o tempo para recuperar o valor investido na compra do purificador ficará entre
A
entre 3 e 4 meses.
B
entre 4 e 5 meses.
C
entre 5 e 6 meses.
D
entre 2 e 3 meses.
E
entre 1e 2 meses.
Gabarito comentado
Resposta correta: A
A função afim g(x) representa o gasto médio com a compra de água mineral e queremos saber o tempo para recuperar o valor ( R$ 299,90) investido na compra do purificador. Basta igualar a função do gasto com o valor que foi gasto no purificador.
 
84.x = 299,90
x = 299,90/84
x = 3,57
 
Logo, irá recuperar o valor entre 3 e 4 meses.
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 Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30.
A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é dado por:
A
L(t) = 20t + 3 000
B
L(t) = 20t + 4 000
C
L(t) = 200t
D
L(t) = 200t - 1 000
E
L(t) 200t + 3 000
Gabarito comentado
Resposta correta: D
Analisando o gráfico e sabendo que ele se comporta como uma reta, o gráfico de uma função polinomial do primeiro grau possui lei de formação f(x) = ax + b. Nesse caso, trocando a letras, podemos descrever por:
L(t) = at + b
É possível ver no gráfico que, se t = 0 e L(0) = - 1000, temos que b = - 1000.
Agora, quando t = 20 e L(20) = 3000, substituindo na lei de formação, temos que:
3000 = a·20 - 1000
3000+1000 = 20a
4000 = 20a
4000 : 20 = a
a = 200
A lei de formação da função é:
L(t) = 200t ¿ 1000
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Seja f:R→R,dada porf(x)=senx. Considere as seguintes afirmações.
1. A função f(x) é uma função par, isto é, fx = f(-x), para todo x real.
2. A funçãof(x) é periódica de período 2π.
3. A função f é sobrejetora.
4. f(0)=0,f(π3)=32 e f(π2)=1.
São verdadeiras as afirmações:
A
1 e 3, apenas.
B
3 e 4, apenas.
C
2 e 4, apenas.
D
1,2 e 3, apenas.
E
1,2,3 e 4.
Gabarito comentado
Resposta correta: C
As afirmações 2 e 4 estão corretas.
A afirmativa 2 está correta. A função seno é uma função periódica, definida no círculo trigonométrico e, por isso, possui um período de 2 𝜋.
A afirmativa 4 também está correta. Sabemos, pelo círculo trigonométrico que: sen(0)=0, sen(𝜋/3)=sen(60)=3/2, sen(90)=1.
A afirmativa 1 está incorreta, f(x) pode assumir valores de -1 a 1.
A afirmativa 3 está incorreta, f(x) não é sobrejetora já que f(x) assume apenas valores entre -1 e 1.