Postulados, Teoremas e Conjecturas

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POSTULADOS, TEOREMAS E CONJECTURAS 
 
Uma definição é um nome que damos para uma classe de objetos com características 
em comum, ou para abreviar a escrita de um objeto. Por exemplo: 
 Chamamos de número primo os números naturais que são divisíveis por exatamente 
dois números: pelo 1 e por ele mesmo. 
 Um número é composto quando ele não é um número primo. 
 Um triângulo é uma figura plana formada por três segmentos de reta que se intersectam 
dois a dois em suas extremidades. 
 
Observe que um mesmo objeto pode ser definido segundo duas regras diferentes, mas 
que são equivalentes para descrever o mesmo tipo de objeto: 
 Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois de seus lados possuem a 
mesma medida. 
 Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois de seus ângulos internos 
possuem a mesma medida. 
 
Em uma definição não estamos interessados em garantir que a família de objetos 
definida exista ou seja útil, apenas que a definição é clara e sem ambiguidades. Por 
exemplo, se B é o conjunto dos números primos e pares maiores do que 10, como o 
único número primo e par é o número 2, o conjunto B não possui nenhum elemento, é 
um conjunto vazio. 
 
Postulados e axiomas são as regras iniciais de uma teoria, que não são provadas ou 
demonstradas. São consideradas “verdades absolutas”, e deles que derivam os 
primeiros teoremas e resultados demonstráveis. 
 Axiomas são obrigatoriamente independentes entre si, um axioma não pode ser 
demonstrável a partir dos demais axiomas e postulados. 
 Postulados não são obrigatoriamente independentes entre si, um postulado pode ser 
demonstrável a partir dos demais axiomas e postulados. 
 
Lemas, proposições, teoremas e corolários são resultados demonstráveis a partir de 
postulados, axiomas e resultados previamente demonstrados. Existe a seguinte 
hierarquia entre estes conceitos: 
 Proposições: São resultados de relevância “padrão”, úteis, porém não possuem 
destaque. 
 Teoremas: São resultados de maior relevância na teoria estudada. 
 Lemas: São resultados prévios, normalmente técnicos, para a demonstração de uma 
proposição ou teorema. 
 Corolário: Resultado cuja demonstração utiliza um resultado provado logo antes. 
 Escólio: Resultado imediato de um resultado anterior, de demonstração imediata. 
 
Conjecturas são candidatas a proposições/teoremas que ainda não foram provadas 
como verdadeiras ou falsas. São suposições não verificadas. Também podem ser 
chamadas de hipóteses. 
 
Proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, a Conjectura de Goldbach é 
um dos problemas mais antigos não resolvidos na matemática, com origem em 1742. 
 
Conjectura de Goldbach (1742): Todo número par maior do que 2 pode ser 
representado pela soma de dois números primos. 
 
4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 12 = 5 + 7 
 
Melhor versão provada (Ramaré, 1995): Todo número par é a soma de no máximo 6 
números primos. 
 
 
Atividade Extra 
A demonstração de um teorema pode levar vários anos, e envolver diversas áreas 
distintas da matemática. O Último Teorema de Fermat é um resultado que envolveu 
desde o Teorema de Pitágoras até equações elípticas. 
 
A atividade extra é a leitura do livro O Último Teorema de Fermat: A história do enigma 
que confundiu as mais brilhantes mentes do mundo durante 358 anos, de Simon Singh, 
onde o autor relata a história deste teorema, de forma lúdica, intrigante e acessível ao 
público leigo. 
 
 
Referência Bibliográfica 
Sant’Anna, Adonai S. O que é uma Definição. Série Lógica Matemática. Editora Manole. 
Barueri, 2005. 
Copi, Irwing M. Introdução à lógica. Editora Mestre Jou. São Paulo, 2001 
Goldbach conjecture verification. Disponível em: <http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html> 
Singh, Simon. O Último Teorema de Fermat: A história do enigma que confundiu as mais 
brilhantes mentes do mundo durante 358 anos. Tradução de Jorge Luiz Calife. Editora 
BestBolso. Rio de Janeiro, 2014.