A geometria segundo Hilbert

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SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 3 
2 A GEOMETRIA SEGUNDO HILBERT....................................................................... 4 
2.1 Panorama Histórico e Motivação .......................................................................................4 
2.1.1 Método axiomático .......................................................................................................................4 
2.1.2 Os fundamentos da matemática ....................................................................................................4 
2.2 A axiomática de Hilbert.......................................................................................................5 
2.2.1 Grupo I - Axiomas de Incidência ..................................................................................................5 
2.2.2 Grupo II - Axiomas de Ordem ......................................................................................................5 
2.2.3 Grupo III - Axiomas de Congruência............................................................................................6 
2.2.4 Grupo IV - Axiomas das Retas Paralelas ......................................................................................7 
2.2.5 Grupo V - Axiomas de Continuidade............................................................................................7 
3 CONCLUSÃO ................................................................................................................. 8 
4 BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................9
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RESUMO 
 
O objetivo deste trabalho é relacionar a 
Axiomática de Hilbert à Axiomática 
utilizada no livro texto da disciplina 
MA241 [1], que foi proposta por 
Birkhoff; de modo que ao examinar os 
axiomas propostos por Hilbert possa ser 
feito um paralelo com os que foram 
propostos durante o curso, para que a 
compreensão daqueles seja efetiva. 
Inicialmente apresentamos uma visão 
histórica e as motivações que levaram a 
tal estudo axiomático. 
 
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1 INTRODUÇÃO 
David Hilbert foi um matemático alemão que nasceu em 1862 na região de 
Königsberg. Lá, iniciou seus estudos sendo nomeado em 1895 para Göttingen, onde ele 
ensinou até se aposentar, em 1930. Hilbert é freqüentemente considerado como um dos 
maiores matemáticos do século XX, no mesmo nível de Henri Poincaré. Devemos a 
ele principalmente a lista de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos 
até hoje, que ele apresentou em 1900 no Congresso Internacional de 
Matemática em Paris. 
Suas contribuições à Matemática são diversas : 
• Consolidação da teoria dos invariantes, que foi o objeto de sua tese. 
• Transformação da geometria euclidiana em axiomas, para torná-la consistente, 
publicada no seu Grundlagen der Geometrie (Bases de geometria). 
• Trabalhos sobre a teoria dos números algébricos, retomando e simplificando, 
com a ajuda de seu amigo Minkowski, os trabalhos de Kummer, Kronecker, 
Dirichlet e Dedekind, e publicando-os no seu Zahlbericht (Relatório sobre os 
números). 
• Criação dos espaços que levam seu nome, durante seus trabalhos em análise 
sobre as equações integrais. 
• Contribuição para as formas quadráticas, bases matemáticas da Relatividade de 
Einstein. 
O texto usado neste trabalho, Foundations of Geometry (Grundlagen der 
Geometrie no original), foi publicado por Hilbert em 1899 substituindo os axiomas 
tradicionais de Euclides por um conjunto mais formal, evitando as “fraquezas” 
encontradas na argumentação daquele. Ainda assim, o texto de Euclides é usado 
como livro texto padrão.Um fato curioso é que ao mesmo tempo que Hilbert, mas 
independentemente, o estudante americano de 19 anos Robert Lee Moore publicou 
um conjunto de axiomas equivalentes aos de Hilbert. 
A abordagem de Hilbert marca a transição para o método axiomático moderno, no 
qual axiomas agora não são mais verdades auto-evidentes. Apesar da Geometria tratar 
de objetos a respeito dos quais temos forte intuição, não se faz necessário ter significado 
explícito para conceitos indefinidos tais como o ponto, a reta, o plano e as relações de 
pertinência, congruência e “estar entre”. Segundo Hilbert não era mais necessário tratar 
dos objetos comuns à geometria (reta, ponto e plano), podendo substituí-los por objetos 
cotidianos. A discussão, entretanto, não se baseia nos objetos mas sim nas relações 
entres eles estabelecendo o que chamamos de axiomas de incidência, ordem, 
congruência, paralelismo de retas e continuidade. 
 
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2 A GEOMETRIA SEGUNDO HILBERT 
2.1 Panorama Histórico e Motivação 
Lembrando o que é um sistema axiomático, ele deve satisfazer as três condições 
seguintes: ser consistente, quer dizer, os postulados não podem contradizer uns aos 
outros, por si mesmos ou por suas conseqüências; deve ser completo, no sentido de 
serem suficientes para provar verdadeiras ou falsas todas as proposições formuladas no 
contexto da teoria em questão; e, por fim, cada postulado deve ser independente dos 
demais, no sentido de que não é conseqüência deles, sob pena de ser supérfluo. 
2.1.1 Método axiomático 
Após vários matemáticos haverem exibido modelos euclidianos das geometrias 
não-euclidianas, estas ganharam total credibilidade. Provava-se que elas eram 
consistentes, isto é, livres de contradições internas. Mas tais provas apoiavam-se na 
geometria euclidiana, de sorte que elas tornavam ao mesmo tempo evidente a 
necessidade de provar a consistência da própria Geometria de Euclides. Os matemáticos 
começaram então a estudar a consistência dos postulados de Euclides, e logo perceberam 
que eles eram insuficientes para provar os teoremas conhecidos, sem falar nos demais 
que viessem a ser considerados no futuro. 
Analisando os Elementos sob esse novo ponto de vista, eles descobriram que a 
axiomática euclidiana era incompleta e continha sérias falhas. Euclides, em suas 
demonstrações, apelava para fatos alheios aos postulados e em outros casos colocava 
como postulado fatos que não tinham justificativa para tal, isto é mencionado pelo 
próprio Hilbert no texto. Era, portanto, necessário reorganizar a própria geometria 
euclidiana, suprindo, inclusive, os postulados que estavam faltando. Isso foi feito por 
vários matemáticos no final do século XIX, dentre eles Hilbert no livro texto, no qual ele 
faz uma apresentação rigorosa de uma axiomática adequada ao desenvolvimento lógico-
dedutivo da geometria euclidiana. 
2.1.2 Os fundamentos da matemática 
Paralelamente ao que acontecia em Geometria, as preocupações com o rigor se 
faziam presentes também na Análise Matemática a partir de aproximadamente 1815. Os 
desenvolvimentos que vinham ocorrendo na Geometria, na Álgebra e na Análise durante 
todo o século XIX convergiram, no final do século, para uma preocupação com os 
fundamentos de toda a Matemática. Por duas razões importantes, os matemáticos 
acabaram se convencendo de que todas as teorias matemáticas teriam de se 
fundamentar, em última instância, nos números naturais. 
De um lado, os números complexos, os números reais, os racionais e os inteiros 
puderam ser construídos, de maneira lógica e consistente, uns após outros, começando 
nos números naturais. De outro lado, Hilbert estabelecera uma correspondência entre os 
elementos geométricos do plano - pontos, retas e círculos - com os entes numéricos da 
geometria analítica. Os pontos podem ser caracterizados por pares ordenados de 
números reais, e as retas e círculos por suas equações. Isso permitiu reduzir o problema 
da consistência da Geometria à consistência da Aritmética. Provando-se a consistência 
desta, ficaria também provada a da Geometria. Assim, a Geometria, que desde a 
Antigüidade era considerada o modelo de rigor lógico, estava agora dependendo da 
própria Aritmética para sua efetiva fundamentação.5
2.2 A axiomática de Hilbert 
Agora trataremos de relacionar a Axiomática de Hilbert à Axiomática utilizada no 
livro texto [1] da disciplina em questão. Tendo em vista uma linguagem clara e concisa 
vamos chamar de Postulados os Axiomas do livro texto acima citado; eles serão 
numerados exclusivamente com algarismos indo-arábicos. 
2.2.1 Grupo I - Axiomas de Incidência 
I1 – Para cada dois pontos A e B existe uma reta a que contém ambos pontos A e B; 
I2 – Para cada dois pontos A e B não existe mais de uma reta que contém ambos A e B; 
Note que esses dois axiomas juntos equivalem ao Postulado 1, uma vez que um deles 
trata da existência e o outro da unicidade. 
I3 – Existem pelo menos dois pontos sobre uma reta. Existem pelo menos três pontos 
que não estão na mesma reta. 
Este Axioma equivale exatamente aos Postulados 2 e 3. 
I4 – Para quaisquer três pontos A, B e C que não estão numa mesma reta existe um 
plano α que contém todos os três A, B e C. Para cada plano existe um ponto contido 
nele; 
I5 – Para quaisquer três pontos A, B e C que não pertencem a uma mesma reta não 
existe mais do que um plano que contém cada um dos três pontos; 
I6 – Se dois pontos A e B de uma reta a pertencem a um plano α então cada ponto da 
reta a pertence a α; 
I7 – Se dois planos α e β têm um ponto em comum A então eles têm pelo menos mais 
um ponto B em comum; 
I8 – Existem pelo menos quatro pontos que não pertencem ao mesmo plano. 
Os cinco últimos Axiomas referem-se à Geometria Espacial na qual não temos interesse 
no momento. 
2.2.2 Grupo II - Axiomas de Ordem 
II1 – Se um ponto B está entre dois outros pontos A e C então A, B e C são três pontos 
distintos de uma reta, e então B também está entre C e A; 
Este axioma apenas trata da reflexividade do conceito de um ponto estar entre outros 
dois. Não há equivalente entre os postulados estudados. 
II2 – Para dois pontos A e B, sempre existe pelo menos um ponto C na reta AB tal que B 
está entre A e C; 
Este axioma coincide com o item (1) do teorema 1.7 da literatura. 
II3 – De quaisquer três pontos sobre uma reta não existe mais de um entre os outros 
dois; 
Sendo que o teorema 1.6 de [1] trata da unicidade mencionada neste axioma ele ainda 
garante a existência, e isto é demonstrado num outro teorema proposto por Hilbert. 
II4 – Sejam A, B e C três pontos que não estão na mesma reta e seja a uma reta no 
plano ABC que não encontra nenhum dos pontos A, B e C. Se a reta a passa por um 
ponto do segmento AB então, ela passa por um ponto do segmento BC ou por um ponto 
do segmento AC. 
Este axioma foi mencionado no exercício 1.10 como o Postulado de Pasch, o qual foi 
utilizado por Pasch em seu trabalho substituindo o Postulado da Separação do Plano. Este 
é apresentado por Hilbert como teorema que decorre exclusivamente deste axioma, 
sendo sua equivalência garantida. Intuitivamente a idéia do axioma é de se uma reta 
entre no interior do triângulo ela deve sair dele. 
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Alguns resultados interessantes e comentários: 
• O resultado do item (3) do teorema 1.7 também é demonstrado num teorema de 
[2] e sua demonstração torna-se complicada com o uso dos axiomas de incidência e 
ordem, coisa que não ocorre na demonstração do teorema 1.7 uma vez que este 
utiliza propriedades de ordem e completude dos números reais (Postulado da Reta). 
• “Dados quatro pontos sobre uma reta, sempre é possível denominá-los A, B, C, D 
de modo que A-B-C, A-B-D, A-C-D e B-C-D.” Este teorema, e também uma 
generalização dele para n pontos, lembram o Postulado da Colocação da Régua por 
mencionar um sistema de coordenadas com origem e não deixa de considerar o 
conceito de “estar entre”. 
• Também é enunciado um teorema de Separação do Espaço por um plano, cuja 
demonstração segue exclusivamente dos axiomas considerados até então, portanto 
os axiomas do grupo II são completos até mesmo para a geometria espacial. 
2.2.3 Grupo III - Axiomas de Congruência 
III1 – Se A e B são pontos sobre uma reta a, e A’ é um ponto sobre qualquer reta a’ 
então sempre é possível encontrar um ponto B’ num dado lado da reta a’ por A’ tal que 
AB ≡ A’B’; 
III2 – Se A’B’ ≡ AB e A”B” ≡ AB então A’B’ ≡A”B”; 
III3 – Sobre a reta a sejam AB e BC segmentos tais que B é o único ponto em 
comum entre eles. Além disso, sobre qualquer reta a’ sejam A’B’ e B’C’ segmentos 
tais que B’ é o único ponto em comum entre eles. Sendo assim, 
 se AB ≡A’B’ e BC ≡B’C’ então AC ≡A’C’; 
Estes três axiomas, ditos lineares, enunciam as propriedades do conceito de 
congruência, a saber a existência de um segmento congruente numa reta distinta 
dado um ponto, transitividade e aditividade de segmentos. 
Na definição de ângulo de Hilbert os lados do ângulo são tratados de raios e a 
consideração de medida de ângulo é dada no máximo para o ângulo reto. 
III4 – Sejam ∠(h,k) um ângulo no plano α, a’ uma reta no plano α’ e dado um lado 
definido da reta a’. Seja h’ um raio sobre a reta a’ que sai do ponto O’. Então existe no 
plano α’ um único raio k’ tal que 
∠ (h,k) ≡ ∠ (h’,k’) 
Todo ângulo é congruente a si mesmo; 
III5 – Se para dois triângulos ABC e A’B’C’ valem as congruências 
 
AB ≡ A’B’, AC ≡ A’C’, ∠BAC ≡ ∠B’A’C’, 
Então também vale 
∠ABC ≡ ∠A’B’C’. 
No caso destes dois axiomas, considerados no plano, vale observar que o primeiro 
admite a possibilidade de serem construídos ângulos congruentes e ainda dá a 
unicidade da construção, e que o segundo não diz nada sobre a congruência de 
triângulos, mas prepara para essa parte da teoria. 
 
Alguns resultados interessantes e comentários: 
• A unicidade da construção de um segmento segue da unicidade da construção de 
um ângulo, utilizando para isso os axiomas III5 e III4, nesta ordem; 
• Todos os resultados de congruência de triângulos, mesmo os postulados, são 
teoremas propostos por Hilbert; 
• “Sejam h,k,l e h',k',l' raios partindo de O e O', respectivamente. Sejam h,k e h',k' 
simultaneamente no mesmo lado ou em lados diferentes de l e de l', 
respectivamente. Se valem as congruências 
 ∠ (h,l) ≡ ∠ (h’,l’) e ∠ (k,l) ≡ ∠ (k’,l') então 
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valem ∠ (h,k) ≡ ∠ (h’,k’).” Este 
teorema, para o caso em que h,k e h',k' estão em lados diferentes de l e de l' 
respectivamente, equivale ao Postulado da Adição de Ângulos; 
• “Sejam ∠ (h,k) e ∠ (h',l') quaisquer. Se a construção de ∠ (h,k) em h' do lado de 
l' leva a um raio interior k' então a construção do ∠ (h',l') em h do lado de k leva 
a um raio exterior l, e vice-versa.” Deste teorema são obtidas a tricotomia e a 
transitividade da comparação quantitativa de ângulos. No caso de segmentos, as 
propriedades correspondentes para a sua comparação quantitativa segue 
imediatamente dos axiomas do grupo II, de III1-III3 e da unicidade da construção 
do segmento. 
2.2.4 Grupo IV - Axiomas das Retas Paralelas 
IV – (Axioma de Euclides) Seja a uma reta e A um ponto que não esteja sobre a. 
Então existe no máximo uma reta no plano, determinado por a e A, que passa por A e 
não intersecciona a. 
Este axioma, considerado no plano, coincide com o Postulado das Paralelas e Hilbert 
menciona o ítem b) do teorema 4.9 de [1] como sendo equivalente a este axioma. 
Alguns resultados interessantes e comentários: 
• O Axioma das Paralelas simplifica a fundamentação da Geometria facilitando seu 
desenvolvimento a um nível considerável; 
• “Se duas retas paralelas intersecciona uma terceira então os ângulos 
correspondentes e os alternados são congruentes; reciprocamente, a congruência 
dos ângulos correspondentes ou dos alternados implica que as retas são 
paralelas.” Existe em [1] o ítem a) do Teorema 4.9 que expressa parte do 
conteúdo deste acima; 
• O Teorema 4.10 decorre do Axioma das Paralelas junto dos Axiomas de 
Congruência, excluindo apenas a informação de que dois ângulos retos somam 
180. 
2.2.5 Grupo V - Axiomas de Continuidade 
V1 – (Axioma de medida ou Axioma de Arquimedes) Se AB e CD são quaisquer 
segmentos então existe um número n tal que n segmentos CD construídos 
contiguamenteapartir de A, ao longo do raio de A até B, vai passar além de B. 
V2 – (Axioma da completude da reta) Uma extensão de um conjunto de pontos 
sobre uma reta e suas relações de ordem e congruência que preservem as relações 
existentes entre os elementos originais tanto quanto as propriedades fundamentais de 
ordem e congruência da reta, que seguem dos axiomas I-III e de V, é impossível. 
No caso desses dois últimos axiomas, lineares, não existe correspondência com nenhum 
postulado, porém o segundo relaciona-se com o Postulado da Régua permitindo agora que 
possamos utilizar as propriedades dos números reais assim como o Postulado da Régua o faz. 
 
Alguns resultados interessantes e comentários: 
• Para que V2 seja satisfeito é necessário que o conjunto de axiomas cuja validade 
ele requer contenha o Axioma V1, mesmo não sendo uma consequência dele; 
• Pode ser enunciado um Teorema de completude que engloba todos os elementos 
de geometria sendo este uma espécie de generalização do axiomaV2 que trata da 
completude da reta. 
• A validade de alguns dos axiomas mencionados não são requeridos 
incondicionalmente para o Teorema de Completude mencionado. Entretanto, é 
essencial para sua validade que o axioma I7 esteja contido entre os axiomas cuja 
persistência é requerida;
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3 CONCLUSÃO 
Através das comparações feitas foi possível perceber que Hilbert é bastante minucioso 
em suas colocações e demonstrações o que torna essas últimas muitas vezes complexas 
comparadas às demonstrações que tínhamos estudado em [1]. Porém, não há dúvida que o 
conjunto de axiomas proposto por Hilbert é completo e coerente. A preocupação de Hilbert era 
fazer um trabalho bem feito sob o ponto de vista lógico, tanto que na introdução do seu livro 
ele diz que “estabelecer os axiomas da Geometria é equivalente a análise lógica da nossa 
percepção do espaço.” 
Existem certos axiomas que ele apresenta os quais em conjunto determinam um único 
Postulado em [1]. Em contrapartida, certos axiomas são colocados como teoremas em [1] ou 
somente são citados como itens de teoremas o que mostra que aquilo que antes era 
considerando a origem para próximos resultados na verdade tornou-se uma informação 
dependente de algum outro conceito previamente discutido. Do ponto de vista dos resultados 
obtidos o conjunto de axiomas é equivalente aos postulados de [1]. 
 
 
 
 
 
 9
4 BIBLIOGRAFIA 
[1] Rezende, Eliane Q. F. e de Queiroz , Maria Lúcia B., Geometria Euclidiana Plana e 
Construções Geométricas, Ed. UNICAMP, 2000; 
[2] Hilbert, David, Foundations of Geometry, Open Court, 1990; 
[3] Eves, Howard, História da Matemática, Ed. UNICAMP, 1995; 
[4] www.wikipedia.org; 
[5] www.rpm.org.br/novo/conheca/45/1/euclides.