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GA-AulaPratica01

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AULA PRÁTICA 01 
 
1. Quais são as componentes do vetor v

 com origem no ponto A(5, 7, -1) e final 
no ponto B(3, 11, 21)? 
Resolução: 
ABv 

 
ABv 

 
)1 ,7 ,5()21 ,11 ,3( v

 
))1(21 ,711 ,53( v

 
)22 ,4 ,2(v

 
 
2. Obtenha o vetor v

 com origem no ponto A(-3, 2) e final no ponto B(4, -1). 
Resolução: 
ABv 

 
ABv 

 
)2 ,3()1 ,4( v

 
)21 ),3(4( v

 
)3 ,7( v

 
 
3. Obtenha a distância entre o ponto P(0, 9, 2) e o ponto Q(5, 0, 7). 
 
Resolução: 
222
),( )()()( PQPQPQQP zzyyxxd  
222
),( )27()90()05( QPd 
222
),( 5)9(5 QPd 
258125),( QPd 
131),( QPd 
45,11),( QPd 
 
4. O baricentro, encontro das medianas das arestas do triângulo, é um elemento 
bastante importante cujas coordenadas correspondem à média das coordenadas 
dos vértices do triângulo. Sabendo que T é o triângulo com vértices nos pontos 
A(5, 5), B(10, 7) e C(12, 11), calcule o baricentro G do triângulo T. 
Resolução: 





 

3
 ,
3
CBACBA yyyxxxG 





 

3
1175
 ,
3
12105
G 







3
23
 ,
3
27
G 
 ,677 ;9G 
 
5. Qual é o módulo do vetor )8 ,9( v

 indicado na figura a seguir? 
 
Resolução: 
22|| yxv 

 
22 )8(9|| v

 
6481|| v

 
145|| v

 
04,12|| v

 
 
6. Qual é a inclinação do vetor )8 ,9( v

 indicado na figura a seguir? 
 
Resolução: 
 
x
y
)(tg  
9
8
)(tg  
888888889,0)(tg  
888888889,0 tgarc 
 63,41 
 
  360 
 63,41360 
 37,318 
 
7. Considere o vetor v

 que tem módulo igual a 10 e inclinação igual a 35°. Quais 
são as componentes xv e yv deste vetor? 
Resolução: 
||
)(cos
v
xv
 
10
)35(cos v
x
 
10
0,819152 v
x
 
0,819152
10
v
x
 
10 . 0,819152vx 
19,8vx 
 
||
)(sen
v
yv
 
10
)35(sen v
y
 
10
0,573576 v
y
 
0,573576
10
v
y
 
10 . 0,573576vy 
74,5vy 
 
)74,5 ;19,8(v

 
 
8. Um muro está escorado por uma viga inclinada conforme a figura a seguir. 
 
Qual é a inclinação da viga? 
Resolução: 
x
y
)(tg  
8,1
7,2
)(tg  
5,1)(tg  
,51 tgarc 
 31,56 
 
9. Qual é a inclinação  do telhado, em relação à horizontal, cuja vista frontal é 
representada na figura a seguir? 
 
Resolução: 
x
y
)(tg  
3
2
)(tg  
666666667,0)(tg  
,6666666670 tgarc 
 69,33 
 
10. Em um determinado jogo 3D, a posição de um jogador está associada ao 
ponto J1 de coordenadas (180, 210, 315). O jogador adversário está no ponto J2 
de coordenadas (92, 200, 301). 
 
Sabendo que as unidades estão em metros, qual é a distância entre estes dois 
jogadores? 
Resolução: 
222
),( )()()( 12121221 JJJJJJJJ zzyyxxd  
222
),( )315301()210200()18092(21 JJd 
222
),( )14()10()88(21 JJd 
1961007744),( 21 JJd 
8040),( 21 JJd 
66,89),( 21 JJd 
 
11. Um ponto pertencente a um espaço bidimensional pode ser localizado por 
meio de coordenadas cartesianas. Também pode ser determinado pela distância 
d do ponto até a origem do sistema de eixos coordenados e pelo ângulo  que o 
segmento que vai da origem ao ponto forma com o eixo x. A este sistema é dado 
o nome de sistema de coordenadas polares. Considere o ponto A de 
coordenadas cartesianas (8, 5). Obtenha as coordenadas polares (d, ) de A. 
Resolução: 
22 yxd  
22 58 d 
2564d 
89d 
43,9d 
 
x
y
)(tg  
8
5
)(tg  
625,0)(tg  
,6250 tgarc 
 01,32 
 
)01,23 ;43,9( A 
 
 
AULA PRÁTICA 02 
 
1. O quilômetro por hora (km/h) é uma medida de velocidade pertencente ao 
Sistema Internacional de Unidades. No entanto, não é a única unidade de 
medida de velocidade. Em diversos países de língua inglesa, a unidade utilizada 
para este fim é a milha por hora (mi/h). A milha é uma unidade de comprimento 
definida pelo sistema imperial de medidas e equivale a 1,609344 quilômetros. 
Para convertermos quilômetros por hora em milhas por hora, basta dividirmos a 
velocidade em questão por 1,609344 ou, de forma equivalente, multiplicarmos 
esta velocidade por 0,621371. Observe que 1/1,609344 corresponde a 
0,621371. Para convertermos um conjunto de velocidades, podemos armazená-
las em um vetor e efetuarmos as multiplicações necessárias. O vetor 
)101 ,08 ,06 ,04 ,30(v

 contém as velocidades máximas em km/h de algumas 
vias. Obtenha o vetor w

 que contém as respectivas velocidades em mi/h com 
uma casa decimal cada. 
Resolução: 
vw

.621371,0 
)101 ,08 ,06 ,04 ,30.(621371,0w

 
)8,46 ;9,74 ;7,33 ;4,92 ;6,18(w

 
 
2. Considere o vetor )3 ,1(v

 e o ponto A(4, 2). 
 
Obtenha as coordenadas do ponto B de modo que o vetor AB seja equipolente 
ao vetor v

. 
Resolução: 
ABv 

 
ABv 

 
BvA 

 
vAB

 
)3 ,1()2 ,4( B 
)32 ,14( B 
)5 ,5(B 
 
 
3. Sabendo que )3 ,1 ,3(u

 e )1 ,9 ,4(v

, calcule vu

 . 
Resolução: 
)1 ,9 ,4()3 ,1 ,3(  vu

 
)13 ,91 ),4(3(  vu

 
)4 0,1 ,1( vu

 
 
4. Dados os vetores )5 ,2(u

 e )1 ,8(v

, calcule vu

53  . 
Resolução: 
)1 ,8(5)5 ,2(353  vu

 
)5 ,40()51 ,6(53  vu

 
)551 ,406(53  vu

 
)01 ,46(53  vu

 
 
5. Uma aeronave está sobrevoando o Oceano Atlântico com a velocidade 
indicada pelo vetor )30 ,600(v

 onde as componentes estão em km/h. 
 
Esta velocidade tem a influência de uma corrente de ar descrita pelo vetor 
)2 ,15(Cv

. Determine o vetor Av

 que representa a velocidade da aeronave sem 
a influência desta corrente. 
Resolução: 
CA vvv

 
AC vvv

 
CA vvv

 
)2 ,15()30 ,600( Av

 
)82 ,585(Av

 
 
6. Um objeto que estava no solo foi içado por duas cordas, cada uma delas 
representadas pelos vetores )41 ,30(u

 e )14 ,32(v

. 
 
Considerando ainda que o vetor relacionado ao peso do objeto corresponde a 
)20 ,0( p

, qual é o respectivo vetor resultante r

? 
Resolução: 
pvur

 
)20 ,0()14 ,32()14 ,30( r

 
)201414 ,03230( r

 
)35 ,2(r

 
 
 
7. Sabendo que )4 ,20 ,2(2  wvu

 onde )1 ,3 ,3( u

 e )1 ,3 ,2(v

, determine 
w

. 
Resolução: 
)4 ,02 ,2(2  wvu

 
vuw

2)4 ,02 ,2(  
)1 ,3 ,2(2)1 ,3 ,3()4 ,02 ,2( w

 
)2 ,6 ,4()1 ,3 ,3()4 ,02 ,2( w

 
)214 ,6302 ,432( w

 
)3 ,11 ,9(w

 
 
9. Em uma animação feita por meio da computação gráfica, uma casa na 
montanha está inclinada em relação ao solo. Sabe-se que o assoalho desta casa 
está apoiado nos pontos A(10, 2, 1), B(6, 8, 0) e C(8, 8, 0). 
 
As paredes desta casa formam um ângulo de 90° com o assoalho. Fazendo 
ABu 

 e ACv 

, obtenha um vetor w

 que possa ser utilizado para determinar 
a inclinação destas paredes. 
Resolução: 
ABu 

 
ABu 

 
)1 ,2 ,10()0 ,8 ,6( u

 
)1 ,6 ,4( u

 
 
ACv 

 
ACv 

 
)1 ,2 ,10()0 ,8 ,8( v

 
)1 ,6 ,2( v

 
 
162
164


kji
vuw


 
62162
64164


jikji
w


 
)2).(6).(()6).(1).(()1).(4).(()6).(4).(()2).(1).(()1).(6).((  kijkjiw

 
kijkjiw

12642426  
kjiw

1220  
)12 ,2 ,0( w

 
 
10. considerando os vetores )1 ,21 ,9(u

 e )3 ,4 ,0( v

, calcule o produto 
vetorial vu

 . 
Resolução: 
340
1129


kji
vu


 
40340
1291129


jikji
vu


 
)0).(12).(()4).(1).(()3).(9).(()4).(9).(()0).(1).(()3).(12).(( kijkjiw

 
kijkjiw

042736036  
kjiw

362740  
)36 ,72 ,40( w

 
 
11. Dados os vetores )9 ,5 ,7 ,5(u

 e )2 ,2 ,3 ,1(v

, obtenha o produto escalar 
vu

. . 
Resolução 
)2 ,2 ,3 ,1).(9 ,5 ,7 ,5(. vu

 
x29x253x7)1(x5. vu

 
1810215. vu

 
44. vu

 
 
12. Qual é o ângulo formado pelos vetores

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