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GA-AulaPratica01

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)9 ,7(u

 e )8 ,1(v

? 
 
Resolução: 
||.||
.
cos
vu
vu


 
Calculando vu

. : 
)8 ,1).(9 ,7(. vu

 
727. vu

 
65. vu

 
Calculando ||.|| vu

: 
22 97|| u

 
8149|| u

 
130|| u

 
 
22 8)1(|| v

 
641|| v

 
65|| v

 
 
65.130||.|| vu

 
8450||.|| vu

 
91,923882||.|| vu

 
 
Calculando : 
||.||
.
cos
vu
vu


 
91,923882
65
cos  
0,707107cos  
 0,707107cos 1 
 45 
 
AULA PRÁTICA 03 
 
1. Dados os pontos A(3, 12) e B(5, 16), qual é a equação reduzida de reta que 
contém A e B? 
Resolução: 
  temos,123 Para , A 
baxy  
ba  )3(12 
ba  312 
123  ba 
 
  temos,165 Para , B 
baxy  
ba  )5(16 
ba  516 
165  ba 
 





165
123
ba
ba
 





165
)1( 123
ba
ba
 





165
123
ba
ba
 
402
165
123






a
ba
ba
 
42 a 
2
4
a 
2a 
 
123  ba 
12)2(3  b 
126  b 
612b 
6b 
 
62  xy 
 
2. Um veículo, inicialmente no ponto A de coordenadas (1200, 1000), partiu para 
noroeste formando um ângulo de 45° com a horizontal. 
 
Qual é a equação reduzida da reta que descreve a trajetória do veículo? 
Resolução: 
)()( 00 xxmyy  
)0001 ,1200(A 
 54 tgm 
1m 
)1200(1)1000(  xy 
12001000  xy 
10001200  xy 
200 xy 
 
3. Dada reta r de equação geral r:5x-4y+9=0, qual é a inclinação de r? 
Resolução: 
0945  yx 
954  xy 
954  xy 
4
9
4
5

x
y 
 
4
5
)(tg  
)25,1( tgarc 
 34,51 
4. Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A(-3, 7) e tem vetor 
diretor )2 ,4(v

. 
Resolução: 
)7 ,3(A 
)2 ,4(v

 
vtAr

: 
)2 ,4()7 ,3(: tr  
 
5. A aeronave apresentada na imagem a seguir tem uma trajetória cuja 
inclinação corresponde a 60° em relação à linha horizontal do mapa e está no 
ponto A de coordenadas (200, 100) para um dado sistema de eixos coordenados. 
 
Com base nestas informações, obtenha uma equação vetorial da reta que 
descreve a trajetória da aeronave. Considere tg 60°=1,73. 
Resolução: 
x
y
)(tg  
x
y
)60(tg 
x
y
73,1 
1
73,1
73,1  
),731 ;1(v

 
)001 ,200(A 
vtAr

: 
),731 ;1()001 ,200(: tr  
 
6. A aeronave apresentada na imagem a seguir tem uma trajetória cuja 
inclinação corresponde a 60° em relação à linha horizontal do mapa e está no 
ponto A de coordenadas (200, 100) para um dado sistema de eixos coordenados. 
 
Com base nestas informações, obtenha as equações paramétricas da reta que 
descreve a trajetória da aeronave. Considere tg 60°=1,73. 
Resolução: 
)001 ,200(A 
x
y
)(tg  
x
y
)60(tg 
x
y
73,1 
1
73,1
73,1  
),731 ;1(v

 





tyyy
txxx
r
v
v
0
0
: 





ty
tx
r
73,1100
200
: 
 
7. Obtenha uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos P(-5, 4, 2) e 
Q(3, -3, 9). 
Resolução: 
PQv 

 
PQv 

 
)2 ,4 ,5()9 ,3 ,3( v

 
)7 ,7 ,8( v

 
)2 ,4 ,5(P 
vtPr

: 
)7 ,7 ,8()2 ,4 ,5(:  tr 
 
8. Quais são as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(2, 5, 
2) e B(0, 11, 13)? 
Resolução: 
ABv 

 
ABv 

 
)2 ,5 ,2()31 ,11 ,0( v

 
)11 ,6 ,2(v

 
)2 ,5 ,2(A 








tzzz
tyyy
txxx
r
v
v
v
0
0
0
: 








tz
ty
tx
r
112
65
22
: 
 
9. Obtenha a equação simétrica da reta r que contém o ponto A e tem vetor 
diretor v

 conforme a figura a seguir. 
 
Resolução: 
vv y
yy
x
xx

00 

 
)4 ,2( A 
)3 ,3(v

 
3
)4(
3
2 


 yx
 
3
4
3
2 



yx
 
 
10. Dada a reta r por meio da equação 
4
9
2
1 



yx
, 
obtenha a respectiva equação reduzida y=ax+b. 
Resolução: 
4
9
2
1 



yx
 
   1492  xy 
44182  xy 
18442  xy 
1442  xy 
2
14
2
4
2
2

xy
 
72  xy 
 
11. Duas aeronaves possuem trajetórias dadas pelas retas r e s de equações 
r:(3, 1)+t(4, 2) e s:(1, 1)+t(-3, 5). 
 
Obtenha o menor ângulo formado pelas trajetórias destas aeronaves. 
Resolução: 
)2 ,4()1 ,3(: tr  
)2 ,4(u

 
)5 ,3()1 ,1(:  ts 
)5 ,3(v

 
||.||
|.|
cos
vu
vu


 
|)5 3,(|.|)2 ,4(|
|)5 3,).(2 ,4(|
cos


 
2222 5)3(.24
|.(5))2()3.()4(|
cos


 
259.416
|1012|
cos


 
34.20
|2|
cos

 
680
2
cos  
26,076810
2
cos  
0,076696cos  
0,076696cos arc 
 6,85 
 
12. Obtenha o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações 
















tz
ty
tx
r
tz
ty
tx
r
64
22: e 
51
5
47
: 21 
Resolução: 
)5 ,1 ,4(u

 
)6 ,2 ,1( v

 
||.||
|.|
cos
vu
vu


 
|)6 ,2 ,1(|.|)5 ,1 ,4(|
|)6 ,2 ,1).(5 ,1 ,4(|
cos


 
222222 6)2(1.514
|)6).(5()2).(1()1).(4(|
cos


 
3641.25116
|3024|
cos


 
41.42
|32|
cos  
1722
32
cos  
41,496988
32
cos  
0,771140cos  
0,771140 cos arc 
 54,39 
 
AULA PRÁTICA 04 
 
1. Considere o plano  que tem vetor normal )5 ,1 ,2(n

 e contém o ponto A(3, 
1, 0). 
 
Qual é a equação geral cartesiana deste plano? 
Resolução: 
0. nAP

 
)0 ,1 ,3(A 
) , ,( zyxP 
)5 ,1 ,2(n

 
APAP  
)0 ,1 ,3() , ,(  zyxAP 
)0 ,1 ,3(  zyxAP 
) ,1 ,3( zyxAP  
 
0. nAP

 
0)5 ,1 ,2).( ,1 ,3(  zyx 
0).(5)1.(1)3.(2  zyx 
05162  zyx 
0752  zyx 
 
2. Uma face do telhado de uma residência contém os pontos A(4, 0, 3), B(4, 10, 
3) e C(1, 10, 6) referentes a um sistema de coordenadas cartesianas onde as 
unidades estão em metros. 
 
Qual é a equação geral do plano associado a esta face do telhado? 
Resolução: 
ABu 

 
ABu 

 
)3 ,0 ,4()3 ,01 ,4( u

 
)33 ,001 ,44( u

 
)0 ,01 ,0(u

 
 
ACv 

 
ACv 

 
)3 ,0 ,4()6 ,01 ,1( v

 
)36 ,001 ,41( v

 
)3 ,01 ,3(v

 
 
3103
0100


kji
n


 
1033103
1000100


jikji
n


 
kijkjin

30000030  
kjin

30030  
 03 ,0 ,30n

 
 
0. nAP

 
APAP  
)3 ,0 ,4() , ,(  zyxAP 
)3 , ,4(  zyxAP 
 
0. nAP

 
0)03 ,0 ,30).(3 , ,4(  zyx 
0)3).(30().(0)4.(30  zyx 
09030012030  zyx 
02103030  zx 
 
3. Uma face do telhado de uma residência contém os pontos A(4, 0, 3), B(4, 10, 
3) e C(1, 10, 6) referentes a um sistema de coordenadas cartesianas onde as 
unidades estão em metros. 
 
Qual é a equação vetorial do plano associado a esta face do telhado? 
Resolução: 
ABu 

 
ABu 

 
)3 ,0 ,4()3 ,01 ,4( u

 
)33 ,001 ,44( u

 
)0 ,01 ,0(u

 
 
ACv 

 
ACv 

 
)3 ,0 ,4()6 ,01 ,1( v

 
)36 ,001 ,41( v

 
)3 ,01 ,3(v

 
 
vtutAzyx

21) , ,(:  
)3 ,01 ,3()0 ,01 ,0()3 ,0 ,4() , ,(: 21  ttzyx 
 
4. Obtenha a equação vetorial associada ao plano  que contém o ponto A(-5, 
11, 23) e é paralelo aos vetores )4 ,2 ,9(u

 e )13 ,7 ,13( v

. 
Resolução: 
vtutAzyx

21) , ,(:  
)13 ,7 ,13()4 ,2 ,9()32 ,11 ,5() , ,(: 21  ttzyx 
 
5. Escreva as equações paramétricas associadas ao plano  que contém o ponto 
A(-5, 11, 23) e é paralelo aos vetores )4 ,2 ,9(u

 e )13 ,7 ,13( v

. 
Resolução: 








3231
2221
1211
vtutzz
vtutyy
vtutxx
A
A
A
 








21
21
21
31423
7211
1395
ttz
tty
ttx
 
 
6. Encontre uma equação vetorial do plano  que passa pelos pontos A(12, 9, 
21), B(12, -15, 76) e C(40, 21, -10). 
Resolução: 
ABu 

 
ABu 

 
)12 ,9 ,12()67 ,15 ,12( u

 
)2167 ,915 ,1212( u

 
)55 ,24 ,0( u

 
 
ACv 

 
ACv 

 
)12 ,9 ,12()10 ,12 ,40( v

 
)2110 ,912 ,1240( v

 
)31 ,21 ,28( v

 
 
vtutAzyx

21) , ,(:  
)31 ,21 ,28()55 ,24 ,0()12

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