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AULA PRÁTICA 06 
 
1. Qual é a equação reduzida de uma esfera que tem raio r=7 e cujo centro está 
no ponto C(-2, 5, 11)? 
Resolução: 
      220
2
0
2
0 rzzyyxx  
      2222 7115)2(  zyx 
      491152 222  zyx 
 
2. Qual é a equação geral de uma esfera que tem raio r=7 e cujo centro está no 
ponto C(-2, 5, 11)? 
Resolução: 
      220
2
0
2
0 rzzyyxx  
      2222 7115)2(  zyx 
      491152 222  zyx 
04912122251044 222  zzyyxx 
04912125422104222  zyxzyx 
010122104222  zyxzyx 
 
3. Obtenha a equação reduzida de um elipsoide onde o centro está em C(0, 3, 
6) e que possui semi-eixos a=5, b=4 e c=3. 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
3
6
4
3
5
0
2
2
2
2
2
2





 zyx
 
   
1
9
6
16
3
25
222





zyx
 
 
4. Obtenha a equação geral de um elipsoide onde o centro está em C(0, 3, 6) e 
que possui semi-eixos a=5, b=4 e c=3. 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
3
6
4
3
5
0
2
2
2
2
2
2





 zyx
 
   
1
9
6
16
3
25
222





zyx
 
   
1
3600
6400
3600
3225
3600
144
222





zyx
 
    360064003225144 222  zyx 
    03600361240096225144 222  zzyyx 
0360014400480040020251350225144 222  zzyyx 
0360014400202548001350400225144 222  zyzyx 
01282548001350400225144 222  zyzyx 
 
5. Considere o elipsoide que possui equação canônica dada por 
     
1
36
5
9
6
9
1
222





 zyx
. Quais são as coordenadas do centro deste 
elipsoide? 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
36
5
9
6
9
1
222





 zyx
 
)5 ,6 ,1( C 
 
6. Uma torre de resfriamento tem por objetivo eliminar resíduos ou fluidos de 
calor em um determinado processo. Para a otimização do resfriamento, utiliza-
se um modelo de torre cuja estrutura está baseada em um hiperboloide na 
direção do eixo z. 
 
Obtenha a equação reduzida de uma torre que tem centro C na origem de um 
sistema de eixos coordenados, com a=10, b=10 e c=30. 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
30
0
10
0
10
0
2
2
2
2
2
2





 zyx
 
1
900100100
222

zyx
 
 
7. Obtenha a equação reduzida de um hiperboloide no sentido do eixo x com 
centro na origem do sistema de coordenadas e que tem semi-eixos a=11, b=4 e 
c=3. 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 






c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
3
0
4
0
11
0
2
2
2
2
2
2







zyx
 
1
916121
222

zyx
 
 
8. Obtenha a equação canônica do paraboloide elíptico que está posicionado no 
sentido do eixo z cujo vértice está no ponto (1, 2, 0) e tem semi-eixo a igual a 5 
e semi-eixo b igual a 3. 
Resolução: 
   
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
z



 
   
2
2
2
2
3
2
5
1 



yx
z 
   
9
2
25
1
22




yx
z 
 
9. Sabendo que a equação canônica de um paraboloide hiperbólico posicionado 
ao longo do eixo y é 
   
121
3
81
5
22




zx
y , 
quais são os respectivos semi-eixos a e c? 
Resolução: 
   
2
2
0
2
2
0
c
zz
a
xx
y



 
   
121
3
81
5
22




zx
y 
812 a 
81a 
9a 
1212 c 
121c 
11c 
 
10. Obtenha a equação canônica de um paraboloide hiperbólico posicionado ao 
longo do eixo x onde C(0, 4, 2), b=9 e c=8. 
Resolução: 
   
2
2
0
2
2
0
c
zz
b
yy
x



 
   
2
2
2
2
8
2
9
4 



zy
x 
   
64
2
81
4
22




zy
x

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