Calculo Aplicado Varias Variaveis - A2 Atividade 2

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GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-
14901.01
Material de Aula Unidade 2
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2 (A2)
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Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-14901.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
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Pergunta 1
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são
funções da variável , isto é,  e . A derivada da função 
 com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por
. Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das
derivadas parciais da função  com relação às variáveis  e  e precisamos
das derivadas das funções  e  com relação à variável .
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada
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da resposta:
da função  com relação à variável , sabendo que
 e .
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes
derivadas: , ,  e .
Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada
desejada: .
Trocando as expressões de  e  temos
.
Pergunta 2
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Comentário
da resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor
normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é
perpendicular à curva de nível  que passa por um P, para
determinar a equação de um plano tangente à função  no ponto P,
precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma,
a equação do plano tangente pode ser escrita como
.
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a
equação do plano tangente à função  no ponto P(1,-1).
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da
função  são:  e .  Calculando o valor da
função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos:
,  e . Assim, trocando
essas informações na equação do plano
 obtemos
.
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Pergunta 3
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Comentário da
resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja
determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso,
essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente
em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a
direção de maior decrescimento da função.
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento
da função  no ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior
crescimento é . Precisamos então determinar o vetor
gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas
parciais da função , assim,
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2):
-                          
-                         
-                
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é
.
Assim, a direção de maior crescimento é
.
Pergunta 4
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três
variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de
componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam,
nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte
situação: O potencial elétrico num ponto  do espaço tridimensional
é expresso pela função .
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá
a maior taxa de variação do potencial elétrico  no ponto .
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1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação
do potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor
gradiente calculado no ponto P, isto é, Dado que o
vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e
sua norma é , temos
que a direção procurada é .
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
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Comentário
da resposta:
As derivadas parciais com relação a  e a  fornecem em cada uma delas a
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis  quando
fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto,
é possível, também, determinar a derivada da função  com relação a
qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados,
desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser
expressa por . Assinale a alternativa que corresponde
à derivada direcional da função  no ponto  na direção do
vetor .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da
função  são:  e , que implicam que o vetor
gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no
ponto P, temos que . Para calcular a derivada
direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome
. Logo, a derivada direcional
procurada é .
1 em 1 pontos
Pergunta 6
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço ,
enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o
domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há
restrições para os valores que  e  podem assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as
afirmativas a seguir.
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
II. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
III. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
I, apenas.
I, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Veri�cando as restrições
para a função, temos que apenas a a�rmativa I é verdadeira, pois:
A�rmativa I: Correta. A função  tem as seguintes
restrições  e , portanto, o domínio da função
é o conjunto , que
corresponde à região dada na a�rmativa.
Pergunta 7
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem
trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido.
Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de
funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não
zeraram o denominador.
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
I - O domínio da função  é o conjunto
.
II - O domínio da função  é o conjunto
.
III - O domínio da função  é o conjunto
.
IV - O domínio da função  é o conjunto
.
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as
restrições de cada função, concluímos que:
A�rmativa I: Correta. O domínio da função
 é o conjunto
.
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função 
 é o conjunto .
Pergunta 8
Resposta
Selecionada:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um
software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro
recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o
comportamento da função é o conceito de curva de nível.
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
1 em 1 pontos
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O grá�co de uma função
de duas variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder
visualizar uma representação geométrica da função no plano 
 recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do
plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano
.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Ovetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função,
isto é, dada a função  o vetor gradiente é o vetor
. Dado um ponto , o vetor gradiente da
função  no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão
.
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função
 no ponto .
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos
calcular as derivadas parciais da função:
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como
constante): 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como
constante):  .
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos
 e . Logo, o vetor gradiente é
.
Pergunta 10
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de
uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o
gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo:
Harbra, 1994.
De acordo com essa definição e considerando a função 
 e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da
função  e seu vetor gradiente são: ,
 e . Assim,
. Temos ainda que vetor unitário na direção de
 é o vetor . Portanto, a derivada direcional
é .