Mecânica dos Sólidos II

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Departamento de Engenharia Mecânica 
Mecânica dos Sólidos II 
Parte 1 (Revisão) 
Prof. Arthur M. B. Braga 
2014.2 
Mecânica dos Sólidos II 
ENG 1704 – Mecânica dos Sólidos II 
•  Prof. Arthur M. B. Braga 
–  Secretaria do DEM ou Lab de Sensores a Fibra Óptica 
–  E-Mail: abraga@puc-rio.br 
–  Tel: 3527-1181 
•  Aulas: 2a e 6as – 07:00-09:00 – Sala 210L 
•  Notas de aula: 
http://abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/mecsol2.html 
•  Textos 
–  J. M. Gere, Mecânica dos Materiais, Thomson 
–  S. H. Crandall, N. C. Dahl, and T. J. Lardner, An Introduction to The 
Mechanics of Solids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1978 
–  T. J. Lardner and R. R. Archer, Introduction to Solid Mechanics, McGraw-
Hill, 1994 
Mecânica dos Sólidos II 
Critério de Avaliação 
Critério 6: 
2
G2G1NF +=
Se G1 e G2 >= 3,0 e NF >= 5,0 então MÉDIA = NF 
 
Em outros casos o aluno faz G3: 
Se G1 e G2 >= 3,0 ou G1 ou G2 < 3,0 e G3 >= 3,0, então: 
 
 
 Gm e Gn são as duas maiores notas entre G1, G2 e G3 
 
Se G1 ou G2 < 3,0 e G3 < 3,0, então: 
2
GnGmMÉDIA +=
4
G32G2G1MÉDIA ∗++=
Mecânica dos Sólidos II 
Data das Provas 
•  P1: Segunda-feira, 29 de setembro 
•  P2: Segunda-feira, 17 de novembro 
•  P3: Sexta-feira, 30 de novembro 
Mecânica dos Sólidos II 
Ementa 
ENG1704 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Deslocamento de vigas retas devido à flexão. Relação momento-
curvatura. Flambagem de colunas.Condições de 
estabilidade.Critérios de falha por flambagem.Métodos de 
energia.Teorema de Catigliano.Teorema dos trabalhos 
mínimos.Introdução ao método dos elementos finitos.Vigas 
curvas.Deslocamentos sob diversas formas de 
solicitação.Cilindros de paredes grossas.Discos girantes.Flexão 
oblíqua.Centro de cisalhamento.Vigas sobre funções elásticas. 
Mecânica dos Sólidos II 
Programa 
•  Estado de tensão em um ponto (revisão) 
•  Introdução à teoria da elasticidade 
–  Equações de equilíbrio (revisão) 
–  Relação entre deslocamentos e deformações (revisão) 
–  Relações constitutivas (revisão) 
•  Deformações em vigas 
•  Cilindros de paredes grossas 
•  Comportamento além do regime elástico (carga limite) 
•  Flambagem (instabilidade elástica) 
•  Vigas curvas 
•  Métodos de energia (Teorema de Castigliano) 
•  Tópicos avançados 
Mecânica dos Sólidos II 
Mecânica dos Sólidos 
Problema 
Corpo sujeito a ação de esforços 
externos (forças, momentos, etc.) 
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar 
•  Esforços internos (tensões) 
•  Deformações 
•  Deslocamentos 
Mecânica dos Sólidos II 
Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um 
conjunto de forças externas 
F1 
F2 
F3 
F4 
F8 
n 
∆F 
n 
∆A ∆F – Força de superfície resultante 
 atuando sobre o elemento de 
 área ∆A 
Mecânica dos Sólidos II 
∆A 
n 
∆F 
Definição do Vetor Tensão 
t 
AΔ
Δ
Δ
Ft
0A→
= lim
Vetor tensão s 
tn 
ts 
 
nt ⋅=nt
( )nntt ⋅−=st
Componente normal 
(tensão normal) 
Componente tangencial 
(tensão cisalhante) 
Mecânica dos Sólidos II 
Determinação da Distribuição de Tensão no 
Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas 
F7 
F1 
F2 
F3 
F4 
F5 
F6 
F8 
P (x,y,z) ),,( zyxσ
 
x 
z 
y 
σxy σxx 
σxz 
σzy σzx 
σzz 
σyy 
σyx 
σyz 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
σ
σσσ
σσσ
σσσ
Mecânica dos Sólidos II 
Representação Gráfica do Estado de Tensão 
no Ponto (Paralelepípedo Fundamental) 
 
x 
z 
y 
σxy σxx 
σxz 
σzy σzx 
σzz 
σyy 
σyx 
σyz 
Mecânica dos Sólidos II 
Estado de Tensão em um Ponto 
•  Tensão é uma grandeza tensorial: [σ], ou σ, é chamado o tensor 
de tensões 
•  Pode-se mostrar que o tensor de tensões é simétrico, ou seja, 
σxy= σyx , σxz= σzx , e σyz= σzy . Logo, [σ] possui apenas seis 
componentes independentes! 
•  Pode-se mostrar que a simetria do tensor de tensões é necessária 
para que o balanço de momentos em torno do ponto (balanço da 
quantidade de movimento angular) seja satisfeito. 
•  Uma vez conhecidas as seis componentes independentes do 
tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando 
sobre qualquer plano que passa pelo ponto. 
Mecânica dos Sólidos II 
Estado de Tensão em um Ponto 
O vetor tensão associado à direção cuja normal é n, 
pode então ser calculado a partir do tensor de tensões: 
 
 
 
 
em notações mais concisas: 
 
 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
n
n
n
σσσ
σσσ
σσσ
t
t
t
z
y
x
)(
)(
)(
n
n
n
{ } [ ]{ } nσt nn == )()( ounσt
Mecânica dos Sólidos II 
Tensões Principais e Planos Principais 
Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são 
definidos como aqueles planos onde a componente 
tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula 
A equação abaixo relaciona o vetor tensão atuando sobre um 
plano definido pela norman n com o tensor de tensões: 
 
ou, em forma matricial: 
nσt n =)(
{ } [ ]{ }nσt =)(n
Mecânica dos Sólidos II 
Tensões Principais e Planos Principais 
Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas 
normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles 
têm a forma: 
 
Substituindo-se esta expressão na equação da tela 
anterior, obtém-se: 
 
ou em forma matricial: 
nt n λ=)(
nnσ λ=
[ ]{ } { }nnσ λ=
Mecânica dos Sólidos II 
Tensões Principais e Planos Principais 
Portanto, a determinação dos planos principais fica 
reduzida à solução de um problema de autovalores: 
 
 
– Os autovetores do tensor de tensão definem os 
planos (direções) principais. 
– Os autovalores do tensor de tensão, l, são as 
tensões principais. 
nnσ λ=
Mecânica dos Sólidos II 
σ1 
σ3 
σ2 
Estado 3D de tensão 
Tensões Principais 
Tensões Principais 
Mecânica dos Sólidos II 
Barras Carregadas Axialmente 
F 
F σxx 
z 
y 
x 
σxx 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
00xx
σ
σ
A
F
xx =σ
EA
FLL =Δ
Mecânica dos Sólidos II 
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção 
J
Trr =)(τ
1φ
x 
T 
T 
2φ
GJ
TL=Δφ
Mecânica dos Sólidos II 
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção 
A 
x 
T 
T 
y 
z 
A 
x 
y 
z 
)0(>= xzστ
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
000
00
xz
xz
σ
σ
σ
J
TDDxz 2
)2( ==τσ
Mecânica dos Sólidos II 
x 
T 
T 
y 
z 
B 
Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção 
B 
)0(<= xyστ
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
00
00
xy
xy
σ σ
σ
x 
y 
z 
J
TDDxy 2
)2( −=−= τσ
Mecânica dos Sólidos II 
Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) 
p 
t
PD
4
=θθσ
t
PD
4
=ϕϕσ
ϕϕσ
θθσ
Vasos esféricos 
Mecânica dos Sólidos II 
Vasos de Pressão (pressão interna) 
t
pD
2
=θθσ
Vasos Cilíndricos 
p 
( )1>>tD
t
pD
zz 4
=σ
t
pD
2
=θθσ
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zz
σ
σ
σθθ
00
00
000
Mecânica dos Sólidos II 
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Flexão de Vigas 
xxσ
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
00),(
),,(
yx
zyx
xxσ
σ
I
xMyyxxx
)(),( −=σ
Tensões Normais de Flexão 
Mecânica dos Sólidos II 
Flexão de Vigas 
Tensões de Cisalhamento devido à flexão 
Mecânica dos Sólidos II 
Flexão de Vigas 
Tensões de Cisalhamento devido à flexão 
P 
Lâminas “Coladas” 
Mecânica dos Sólidos II 
P 
Flexão de Vigas 
Tensões de Cisalhamento devido à flexão 
Lâminas Independentes 
Mecânica dos Sólidos II 
P 
Flexão de Vigas 
Tensões de Cisalhamento devido à flexão 
Mecânica dos Sólidos II 
Flexão de Vigas 
Tensões de Cisalhamento devido à flexão 
Lâminas “Coladas” Lâminas Independentes 
Tensões de 
cisalhamento 
horizontais 
impedem o 
deslizamento 
entre as 
lâminas 
 
Lâminas 
deslizam 
umas sobre 
as outras 
 
Mecânica dos Sólidos II 
xyσ
Flexão de Vigas 
Tensões de Cisalhamento devido à flexão 
Forças de 
cisalhamento 
horizontal 
Tensões 
Cisalhantes 
xyσ
Mecânica dos Sólidos II 
Tensões cisalhantes em vigas sob 
carregamentos de flexão 
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Mecânica dos Sólidos II 
Tensões cisalhantes em vigas sob 
carregamentos de flexão 
Viga de seção retangular: 
y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−=
2
41
2
3)(
h
y
bh
Vyxyσ
bh
Vy xyxy 2
3)0(})(max{==σσ
Mecânica dos Sólidos II 
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Flexão de Vigas 
σ (x, y, z)[ ] =
σ xx (x, y) σ xy (x, y) 0
σ xy (x, y) 0 0
0 0 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
I
xMyyxxx
)(),( −=σ
Tensões produzidas pela flexão 
σ xy (x, y) =
3
2
V (x)
bh
1− 4 y
h
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Seção Retangular 
Mecânica dos Sólidos II 
)(xq
x
y
)(xM
)(xV
Flexão de Vigas 
max{σ xx} >>max{σ xy}
Tensões produzidas pela flexão 
Para L >> h : 
Mecânica dos Sólidos II 
σ1 
σ3 
σ2 Sy Sy 
Início do escoamento no 
ensaio de tração 
Estado 3D de tensão 
σeq σeq 
Critério de 
 Escoamento 
Estado uniaxial 
equivalente 
Critérios de Falha por Escoamento 
Tensões 
Principais 
Mecânica dos Sólidos II 
Critérios de Falha por Escoamento 
Critério de von Mises 
Tensão de von Mises 
 
 
De acordo com o critério de von Mises, o material se 
comporta elasticamente quando 
 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]2322312212
1 σσσσσσσ −+−+−=VM
yVM S<σ
Mecânica dos Sólidos II 
Critérios de Falha por Escoamento 
Critério de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante) 
Deformações plásticas ocorrem num ponto do material quando a 
máxima tensão cisalhante atinge o valor da máxima tensão 
cisalhante que causa o início do escoamento no ensaio de tração 
 
τmax =
σ1 −σ 3
2
<
Sy
2
Mecânica dos Sólidos II 
Critério de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante) 
 
 
Critério de von Mises 
 
 
 
Onde nS é o Coeficiente de Segurança (maior do que 1) 
Critérios de Falha por Escoamento 
Mecânica dos Sólidos II 
Critérios de Falha por Escoamento 
 
σI 
σII 
Sy 
Sy 
−Sy 
−Sy 
Critério de 
von Mises 
Critério de 
Tresca 
σI 
σII 
σI 
σII 
σI 
σII 
σI 
σII 
Tensão Plana 
Mecânica dos Sólidos II 
Teoria da Elasticidade 
Problema 
Corpo sujeito a ação de 
esforços externos (forças, 
momentos, etc.) 
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar 
•  Esforços internos (tensões) 
•  Deformações 
•  Deslocamentos 
Mecânica dos Sólidos II 
 
yΔ
xΔ
zΔ
y
z
x
Teoria da Elasticidade 
•  Equações de Equilíbrio 
Mecânica dos Sólidos II 
Teoria da Elasticidade 
•  Equações de Equilíbrio (estado plano de tensões) 
 
),( yxxxσ
),( yxxyσ
),( yxyyσ),( yxxyσ
),( yyxyy Δ+σ
),( yyxxy Δ+σ
),( yxxxx Δ+σ
),( yxxxy Δ+σ
y
z
x
Mecânica dos Sólidos II 
Teoria da Elasticidade 
0),(),(
),(),(
=ΔΔΔ++ΔΔΔ++
ΔΔ−ΔΔ−=∑
zxyyxzyyxx
zxyxzyyxF
xyxx
xyxxx
σσ
σσ
 
),( yxxxσ
),( yxxyσ
),( yxyyσ),( yxxyσ
),( yyxyy Δ+σ
),( yyxxy Δ+σ
),( yxxxx Δ+σ
),( yxxxy Δ+σ
y
z
x
0),(),(
),(),(
=ΔΔΔ++ΔΔΔ++
ΔΔ−ΔΔ−=∑
zxyyxzyyxx
zxyxzyyxF
yyxy
yyxyy
σσ
σσ
•  Balanço de forças 
Mecânica dos Sólidos II 
•  Para e muito pequenos: 
Teoria da Elasticidade 
x
x
yxyxx xxxxxx Δ∂
∂+=Δ+ σσσ ),(),(
y
y
yxyyx yyyyyy Δ∂
∂
+=Δ+
σ
σσ ),(),(
x
x
yxyxx xyxyxy Δ∂
∂
+=Δ+
σ
σσ ),(),(
y
y
yxyyx xyxyxy Δ∂
∂
+=Δ+
σ
σσ ),(),(
xΔ yΔ
Mecânica dos Sólidos II 
Teoria da Elasticidade 
•  Equações de Equilíbrio (Estado plano de tensão) 
0=
∂
∂
+
∂
∂
yx
xyxx σσ
0=
∂
∂
+
∂
∂
yx
yyxy σσ
Mecânica dos Sólidos II 
Teoria da Elasticidade 
•  Equações de Equilíbrio 
0=
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂
zyx
xzxyxx σσσ
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zyx
yzyyxy σσσ
0=
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂
zyx
zzyzxz σσσ
Mecânica dos Sólidos II 
Teoria da Elasticidade 
•  Relações entre deslocamentos e deformações 
z
u
y
u
x
u
z
zz
y
yy
x
xx
∂
∂=
∂
∂
=
∂
∂=
ε
ε
ε
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
==
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂==
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂==
y
u
z
u
x
u
z
u
x
u
y
u
zy
yzyz
zx
xzxz
yx
xyxy
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
γε
γε
γε
Mecânica dos Sólidos II 
Teoria da Elasticidade 
•  Relações constitutivas (tensão vs. deformação) 
T
EEE
T
EEE
T
EEE
zzyyxx
zz
zzyyxx
yy
zzyyxx
xx
Δ++−−=
Δ+−+−=
Δ+−−=
ασ
σ
νσνε
ασν
σσνε
ασν
σ
νσε
G
G
G
yz
yz
xz
xz
xy
xy
2
2
2
σ
ε
σε
σ
ε
=
=
=
( )ν+= 12
EG
Mecânica dos Sólidos II 
Teoria da Elasticidade 
•  15 Equações 
–  Equilíbrio (3) 
–  Deformação vs. Deslocamentos (6) 
–  Tensão vs. Deformação (6) 
•  15 Variáveis: 
•  Condições de contorno 
yzxzxyzzyyxx
yzxzxyzzyyxx
zyx uuu
εεεεεε
σσσσσσ
,,,,,
,,,,,
,,
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Mecânica dos Sólidos II 
x 
y 
z 3D 
Teoria de Vigas 
n(x) 
q(x) 
Teoria de Vigas 
(aproximação) 
q(x) 
x 
n(x) 
1D 
Mecânica dos Sólidos II 
Cilindros de Paredes Grossas 
 
b 
a pi 
po 
σ0 
σ0