Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

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Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 1 
 
1. CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE CONTÍNUA 
1.1. Definições 
1.1.1. Corrente Eléctrica 
É uma passagem ordenada de partículas carregadas electricamente (electrões livres nos metais e iões nos líquidos). 
A passagem da corrente é causada pelo campo eléctrico estabelecido pela fonte de energia num determinado circuito 
eléctrico. 
A intensidade de corrente eléctrica em um meio condutor (sólido, líquido ou gasoso) é a quantidade de carga 
eléctrica que atravessa qualquer superfície desse condutor colocado normalmente à direcção da carga por unidade de 
tempo. 
 
 
 
 → Corrente contínua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → Corrente variável 
1.1.2. Circuito Eléctrico 
É um conjunto de elementos ligados electricamente entre si. Um elemento eléctrico é um dispositivo no interior do 
qual há uma conversão de uma forma de energia em outra forma de energia, sendo uma delas energia eléctrica. A 
representação gráfica de um circuito eléctrico é denominada esquema do circuito eléctrico. 
 
1.1.3. Elemento Passivo, Receptor ou Carga 
Se no interior do elemento eléctrico há conversão de energia eléctrica noutra forma de energia (em calor numa 
resistência, em energia mecânica num motor eléctrico, etc.) dizemos que se trata de um elemento passivo, receptor 
ou carga. 
 
1.1.4. Elemento Activo ou Fonte de Energia 
Quando no interior do elemento há conversão de outra forma de energia (Química, mecânica, luminosa, etc.) em 
energia eléctrica. 
Qualquer fonte de energia eléctrica é caraterizada pela grandeza e sentido da força electromotriz (f.e.m) que gera e 
pela sua resistência interna. 
 
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1.1.5. Corrente Contínua 
É uma corrente eléctrica unidirecional e invariável no tempo. 
 
1.1.6. Tensão Eléctrica ou Diferença de Potencial 
A tensão U entre os terminais de qualquer elemento eléctrico é a razão entre a energia trocada entre o elemento e o 
seu exterior, W, durante um certo intervalo de tempo e a carga Q que durante esse intervalo de tempo, atravessa a 
sua secção recta: 
 
 
 
 
 
 
 
A unidade da tensão no Sistema Internacional é o Volt [V]. 
A relação entre a corrente através duma resistência e a diferença de potencial ou tensão chama-se a sua 
Característica Volt-Ampere (V/A) ou característica tensão – corrente. 
 
1.1.7. Efeito de Joule 
Num condutor metálico percorrido por uma corrente eléctrica há dissipação de energia eléctrica em calor. É o 
chamado Efeito de Joule. 
Joule confirmou que a potência dissipada num condutor (energia eléctrica transformada em calor por unidade de 
tempo) é proporcional ao quadrado da corrente que percorre esse condutor. 
 
Sendo que a constante de proporcionalidade k depende apenas da geometria do condutor e do material de que é feito. 
 
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1.1.8. Resistência Eléctrica de Um Condutor 
A resistência é uma característica de qualquer corpo, que tem esta designação, pois quantifica a maior ou menor 
dificuldade com que a corrente eléctrica flui através do corpo. 
A constante de proporcionalidade que aparece na Lei de Joule é na realidade a resistência eléctrica do condutor em 
causa, designada por R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
 l - Comprimento do condutor 
S - Área da secção transversal do condutor 
 - É uma característica do material que constitui o corpo chamada Resistividade ou Resistência Específica. 
Nos metais a resistividade varia com a temperatura segundo a lei: 
 
 
Onde, 
α - é uma constante própria de cada material, designada por Coeficiente de Temperatura; 
θ - é temperatura em °C. 
Consequentemente, a resistência eléctrica de um condutor também varia com a temperatura. 
 
1.1.9. Condutância Eléctrica 
A condutância (g) de um é o inverso da sua resistência e a condutividade é o inverso da sua resistividade. 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
R – é a resistência eléctrica. 
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ɣ – é a condutividade ou condutância específica do material. 
ρ – é a resistividade ou resistência específica do material. 
A unidade da condutância no sistema internacional (SI) é o siemens, o inverso do ohm. 1S = 1 Ω
-1
. 
 
1.1.10. Circuitos Lineares 
Os elementos resistivos cuja característica V/A é uma recta chamam-se Lineares e os circuitos que contêm 
unicamente elementos lineares chamam-se circuitos lineares. 
 
 
Os circuitos lineares possuem somente elementos lineares. 
 
1.1.11. Circuitos Não Lineares 
Os elementos resistivos para os quais a característica V/A não é uma recta chamam-se Não-Lineares e os circuitos 
que os contêm chamam-se Circuitos Não-Lineares. 
 
Um circuito Não-Linear possui pelo menos um elemento não-linear. 
 
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1.2. Elementos Eléctricos, Tensão e Corrente 
1.2.1. Elemento Passivo (Resistência) 
 
 Recebe energia eléctrica e transforma noutra forma de energia 
(calorífica). 
 
1.2.2. Elemento Activo (Fonte de Energia) 
 
Transforma outra forma de energia em energia eléctrica. A título 
de exemplo, uma pilha seca. 
 
1.2.3. Elemento Passivo (Carga) 
 
Recebe energia eléctrica e transforma em outra forma de energia. 
Por exemplo, uma bateria a carregar. 
 
1.3. Redes de Malhas Simples e Múltiplas – Leis dos Circuitos Eléctricos 
1.3.1. Definições 
Malha - É qualquer percurso fechado de um circuito eléctrico, iniciando e terminando no mesmo ponto. 
Nodo ou Nó - É um ponto numa rede eléctrica onde três ou mais ramos se encontram. 
Ramo - É uma parte da malha limitada por dois nós ou uma parte do circuito cujos elementos estão ligados em série.
 
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Num circuito eléctrico, cada ramo conduz uma corrente diferente. 
Circuito (1) três (3) ramos: dois (2) Nós 
Circuito (2) três (3) ramos: um (1) Nó 
 
1.3.2. Lei de George Simon Ohm (1826) 
Para qualquer condutor metálico, existe uma proporcionalidade constante entre a tensão entre os seus terminais e a 
corrente que o percorre (Lei de Ohm). 
 
 
 
Tensão Num Ramo de Um Circuito 
Exemplo 1: 
 
 
 
Exemplo 2: → 
 
 
 
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Exemplo 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sentido positivo da queda de tensão num ramo de um circuito coincide com o sentido positivo da corrente nas 
resistências. 
 
Exercício 1: 
Determinar a tensão Uab nos terminais a e b do ramo representadona figura abaixo. 
 Dados 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
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1.3.3. As Leis de Kirchhoff 
Todos os circuitos eléctricos obedecem às duas leis de Kirchhoff. 
1.3.3.1. Primeira Lei: Lei das Correntes (ou Lei dos Nós) 
Tem duas formulações: 
1- A soma algébrica das correntes que fluem para a derivação de um circuito é igual a zero. 
2- A corrente total que entra em qualquer derivação de um circuito é igual a corrente total que deixa essa 
derivação. 
 
 
1º Enunciado/Formulação: 
2º Enunciado/Formulação: 
A Lei das Correntes de Kirchhoff implica que não pode haver acumulação da carga eléctrica em qualquer 
derivação de um circuito eléctrico. 
1.3.3.2. Segunda Lei: Lei das Tensões (ou Lei das Malhas) 
Tem duas formulações: 
1- O total das quedas de tensão à volta de um circuito fechado (malha) é igual às f.e.m somadas no mesmo 
sentido à volta desse circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
Os termos entram na respectiva soma com sinal (+) se estão no sentido atribuído à circulação em volta do 
circuito e com sinal (-), se estão no sentido oposto. 
2- A soma algébrica das tensões (não quedas de tensão) à volta de qualquer circuito fechado é zero. 
 
 
 
 
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Exemplo 1: 
 
Primeira Lei de Kirchhoff 
 1ª Formulação 2ª Formulação 
 Nó a 
 Nó b 
Segunda Lei de Kirchhoff 
 1ª Formulação 2ª Formulação 
 Malha I 
 Malha II 
 
1.4. O Circuito Em Série 
Dois ou mais elementos estão ligados em série quando estão em sequência e não existe nenhuma derivação em 
pontos intermédios. 
 
 
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1.4.1. Particularidades de Uma Associação Em Série 
1ª A intensidade da corrente é a mesma em todos os elementos (resistências) em série. 
 
2ª A tensão entre os terminais dum ramo contendo resistências em série é igual à soma das tensões entre os terminais 
das resistências associadas. 
 
 3ª A resistência equivalente dum agrupamento em série é a soma das resistências associadas. 
 
 
 
No caso geral: 
 
 
A resistência equivalente é sempre maior do que qualquer resistência associada. 
4ª No circuito eléctrico em série as tensões nas resistências são proporcionais as resistências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.2. Divisor de Tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Generalizando para n resistências em série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5. O Circuito Em Paralelo 
Duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo quando estão sujeitas à mesma tensão. 
 
1.5.1. Particularidades do Circuito Em Paralelo 
1ª A tensão aplicada é a mesma em todas as resistências associadas. 
2ª A corrente total é a soma das correntes das resistências associadas, de acordo com a 1ª Lei de Kirchhoff. 
 
 
 
 
3ª A condutância equivalente é a soma das condutâncias associadas. 
 
 
 
 
 
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Para Duas Resistências Em Paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A resistência equivalente de um agrupamento em paralelo é sempre menor que qualquer uma das resistências 
associadas. 
4ª As correntes nos ramos das resistências ligadas em paralelo são inversamente proporcionais as resistências 
respectivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.5.2. Divisor de Corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente, 
 
 
 
 
 
1.6. Classificação dos Circuitos Eléctricos 
 
ÍNDICE DE CLASSIFICAÇÃO CLASSIFICAÇÃO 
 
Tipo de corrente - Circuito de corrente contínua 
- Circuito de corrente alternada 
Característica V/A - Circuitos lineares 
- Circuitos não lineares 
Presença de fontes - Circuitos activos 
- Circuitos passivos 
Complexidade - Circuitos simples 
- Circuitos complexos 
 
 
 
 
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1.7. Transformação Estrela – Triângulo Equivalente 
 
Para a Ligação Em Estrela 
 (1ª Lei de Kirchhoff) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para a Ligação Em Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando a equação 1.7.1 e com a equação 1.7.2 obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De igual modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.8. TransformaçãoTriângulo – Estrela Equivalente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9. Circuito Aberto e Curto-Circuito 
1.9.1. Circuito Aberto 
Diz-se que um bípolo esta em circuito aberto (ca) ou em marcha em vazio (mv) quando o seu exterior é uma 
resistência infinita (ou condutância nula), ou seja, quando a corrente nos seus terminais é nula (Imv = 0). 
 
A tensão de circuito aberto de um bípolo (Uca), ou tensão de marcha em vazio (Umv) pode ser diferente de zero, se 
existirem fontes de energia no interior do bípolo (bípolo activo), mas a potência eléctrica trocada com o seu exterior 
em circuito aberto Pca é sempre nula. 
 
1.9.2. Curto-Circuito 
Diz-se que um bípolo está em curto-circuito (cc) quando o seu exterior é uma resistência nula (condutância infinita), 
ou seja, quando a tensão entre os seus terminais é nula. 
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A corrente de curto-circuito de um bípolo (Icc) pode ser diferente de zero, se existirem fontes no interior do bípolo 
(bípolo activo), mas a potência eléctrica trocada com o exterior em curto-circuito (Pcc) é sempre nula: 
 
 
1.10. Representação das Fontes de Energia 
Uma fonte de energia eléctrica é qualquer dispositivo que transforma energia não eléctrica em energia eléctrica. 
Uma fonte de energia eléctrica é caracterizada por uma força electromotriz (E) e uma resistência interna Ri 
(resistência interna da fonte). 
Dependendo da relação entre a força electromotriz (E) e a resistência interna (Ri), todas as fontes eléctricas podem 
ser representadas como fontes de tensão ou como fontes de corrente. 
 
1.10.1. Fonte Ideal de Tensão 
Uma fonte ideal de tensão fornece energia eléctrica ao circuito a tensão constante, qualquer que seja a intensidade da 
corrente que atravessa a fonte e, portanto, qualquer que seja o circuito a que a fonte está ligada. 
Para que a tensão permaneça constante, qualquer que seja a corrente I que atravessa a fonte, será necessário que ela 
tenha uma resistência interna nula (não tenha perdas). 
 
A fonte ideal de tensão é uma fonte ideal de energia para a qual a tensão nos seus terminais é constante e igual à 
força electromotriz E e a resistência interna é zero. 
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1.10.2. Fonte Real de Tensão 
Uma fonte de energia não pode ter resistência interna nula (pode ser muito pequena, mas nunca nula). Assim uma 
fonte real de tensão pode ser representada (para o exterior) como uma associação em série de uma fonte ideal de 
tensão com uma resistência (que representa a sua resistência interna, relacionada com a transformação de energia 
eléctrica em calor que ocorre no seu interior – energia de perdas). 
Ri ≠ 0 
 
 
 
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 Intensidade de curto-circuito ou corrente de curto-circuito 
 
 
 
 
 
 
 Caracteriza a rigidez da fonte. 
Se e 
 
 
 
Se → Fonte ideal de tensão 
 
1.10.3. Fonte Ideal de Corrente 
Uma fonte designa-se por fonte ideal de corrente quando fornece potência eléctrica sempre com corrente constante, 
qualquer que seja o valor da tensão entre os seus terminais e, portanto, qualquer que seja o circuito a que a fonte está 
ligada. 
O símbolo que usaremos neste manual para representar uma fonte ideal de corrente é o representado abaixo, 
indicando as duas setas o sentido da corrente debitada. 
 
Para que a corrente J que atravessa a fonte permaneça constante, qualquer que seja a tensão U entre os terminais da 
fonte, será necessário que qualquer variação do valor da resistência equivalente do circuito não afecte o valor da 
corrente. Como 
 
 
 
 
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Isso só poderá acontecer se a resistência interna da fonte for infinita (a condutância interna for nula): 
 Ri = ∞ ou Gi = 0 
 
Mas, para que, mesmo com uma resistência interna infinita, possa continuar a circular corrente no circuito, então é 
preciso que a f.e.m. da fonte também seja infinita. E = ∞ 
 
 
 
 
∞
∞ 
 
∞
∞
 
Portanto, uma fonte ideal de corrente tem uma resistência interna infinita e uma força electromotriz também infinita, 
debitando uma corrente que é a razão constante entre dois valores infinitamente grandes. A corrente que atravessa a 
fonte é sempre constante e igual a J. 
Portanto, J = constante 
 ∞
 ∞
 
 
Uma fonte ideal de corrente só tem existência teórica. Algumas fontes existentes podem aproximar-se deste conceito 
de fonte ideal de corrente quando funcionam próximo do curto-circuito, mas já não podem se funcionarem longe da 
situação de curto-circuito. 
 
1.10.4. Fonte Real de Corrente 
Uma fonte de energia não pode ter uma resistência interna e uma força electromotriz infinitas (poderão ser valores 
muito elevados, mas nunca infinitos). 
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A tensão nos terminais de uma fonte real de tensão é dada pela expressão: 
 
Dividindo ambos os membros da equação pela resistência interna Ri, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
 
 
 
 
 
Com base na equação: podemos constituir um circuito que representa uma fonte real de 
corrente. 
 
Então, uma fonte real de corrente pode ser representada como uma associação em paralelo de uma fonte ideal de 
corrente com uma resistência que representa a sua resistência interna Ri. 
Agora a corrente na carga I já depende da tensão U entre os terminais da fonte de energia. Ou seja, a corrente I já 
não é constantemente igual a corrente de curto-circuito da fonte e é tanto maior quanto maior for a tensão nos 
terminais da fonte. 
 
A corrente que atravessa a resistência da carga Rc é a mesma para ambos os circuitos de representação das fontes de 
energia (circuito em sério e circuito em paralelo). 
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Os circuitos de representação das fontes de energia em série e em paralelo são equivalentes quanto aos parâmetros 
de saída U, I, ou seja, são equivalentes quanto a energia convertida pela resistência da carga Rc. Mas não são 
equivalentes quanto à energia dissipada pela resistência interna Ri da fonte de energia. 
 
 
 
 
Portanto, uma fonte de tensão não pode ser substituída por uma fonte de corrente e vice-versa. 
 
1.11. Conexão de Fontes de Energia 
1.11.1. Conexão de Fontes de Energia em Série 
 
 
 
 
 
Em geral: 
 
 
 
 
 
 
 
 Soma algébrica soma artimética 
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Observação: Fontes de corrente ideal não podem ser ligadas em série. 
 
1.11.2. Conexão de Fontes de Tensãoem Paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso geral: 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação: Fontes de tensão ideal não podem ser ligadas em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 ∞ 
 
1.11.3. Conexão em Paralelo de Fontes de Tensão e Fontes de Corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de não haver f.e.m. em qualquer um dos ramos do circuito, o respectivo termo desaparece no numerador 
da equação da f.e.m. equivalente, mas a sua condutância aparece no denominador da mesma equação. 
 
1.12. Aparelhos de Medida 
Os principais aparelhos de medida de grandezas eléctricas possuem dois terminais e ligam-se ao circuito através dos 
seus dois terminais. As suas designações são as seguintes: 
 
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1.12.1. Amperímetro 
Serve para medir o valor da intensidade de corrente que passa num determinado elemento (ou ramo) de um circuito 
eléctrico. A corrente deverá atravessar o aparelho que terá de ser colocado em série com o elemento cuja corrente 
pretendemos medir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Introduz erro desprezável 
A resistência interna de um amperímetro ideal é nula (RA=0). 
 
1.12.2. Voltímetro 
Serve para medir a tensão num determinado elemento (ou entre dois pontos) de um circuito eléctrico. A tensão 
deverá estar acessível nos terminais do aparelho, que terá de ser colocado em paralelo com o elemento cuja tensão 
pretendemos medir. 
 
 
 
 
 
 
 Introduz erro desprezável O voltímetro ideal tem uma resistência interna infinita. 
 
1.12.3. Ohmímetro ou Mega ohmímetro 
Serve para medir o valor da resistência (ou associação de resistências). O princípio de funcionamento baseia-se 
directa ou indirectamente na Lei de Ohm. 
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O Ohmímetro possui uma fonte de energia que faz com que a resistência a medir seja atravessada por uma corrente e 
apresenta uma tensão entre os seus terminais. O valor da resistência é calculado com base no valor destas duas 
grandezas. 
O Ohmímetro só pode ser ligado a uma resistência ou a uma associação de resistências que não contenha qualquer 
fonte de energia (bipolo passivo). 
 
1.12.4. Multímetro 
É um aparelho que tem, simultaneamente, as funções de mais do que um dos aparelhos descritos anteriormente, isto 
é, uma mesma caixa engloba um amperímetro e um voltímetro e, eventualmente, também um ohmímetro. 
 
1.13. Cálculo de Circuitos Simples 
Calcular um circuito eléctrico significa determinar todas as correntes, em todos os ramos. 
O método da resistência equivalente é o método mais simples de calcular circuitos eléctricos, mas só é válido para 
circuitos simples com uma única fonte de energia. 
Método da Resistência Equivalente 
Algoritmo de Cálculo 
1. Calcular a resistência equivalente do circuito vista dos terminais da fonte; 
2. Calcular a corrente que passa pela fonte, por aplicação da lei de Ohm; 
3. Aplicando criteriosamente as leis de Kirchhoff e de Ohm, calcular as outras correntes. 
 
1.14. Trocas de Energia nos Circuitos Eléctricos – Equação de Equilíbrio das Potências 
Com base na lei da conservação de energia, a quantidade de energia fornecida a um circuito eléctrico deve ser igual 
a quantidade de energia por este consumido. 
 
 Potência fornecida ao circuito por fontes de energia. 
 Potência dissipada ou consumida no circuito. 
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 Soma algébrica 
 
 
 
 Soma aritmética 
Quando a corrente I tem o mesmo sentido que a força electromotriz E, a fonte fornece energia ao circuito, e a 
quantidade de energia fornecida entra na equação que rege as trocas de energia com o sinal mais (+). 
 
Quando o sentido da corrente I é contrário ao sentido da força electromotriz E, a fonte absorve energia do circuito 
(quando uma bateria esta a carregar), figurando o produto EI com sinal menos (–) na equação respectiva. 
 
 
1.15. Ligação à Terra Num Circuito Eléctrico 
Uma ligação à terra num circuito, não vai afectar neste a distribuição das correntes. Isto porque não há qualquer 
derivação por onde a corrente possa circular. O mesmo não se pode dizer quando existem dois ou mais pontos a 
potenciais diferentes ligados a terra, porque há derivações adicionais através da terra, o que vai alterar todas as 
distribuições de correntes no circuito. Portanto, podemos ligar um circuito eléctrico num ponto sem alterar a 
distribuição das correntes e potênciais no mesmo. 
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1.16. Os Métodos de Cálculo de Circuitos Complexos 
1.16.1. Método das Equações de Kirchhoff 
Algoritmo de Cálculo 
1˚. Determinar o número de nós (N) do circuito dado, número total de ramos (r), número de ramos com fontes de 
corrente (rc). 
2˚. Marcar arbitrariamente o sentido positivo das correntes em todos os ramos. 
3˚. Constituir as equações pela 1ª lei de Kirchhoff, sendo o número de equações igual N-1. Se considerarmos todos 
os nós, as incógnitas repetem-se. 
 → 1ª Lei de Kirchhoff 
4˚. Determinar o número de equações pela 2ª Lei de Kirchhoff, sendo o número de equações dado por: 
 → 2ª Lei de Kirchhoff 
5˚. Fixar um sentido positivo de circulação em cada malha, de modo a possibilitar a tradução algébrica da Lei das 
Malhas de Kirchhoff. 
Observação 
a) Cada malha deve conter no mínimo um ramo o qual nenhuma outra contém, tais malhas chamam-se 
independentes. 
b) Qualquer malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de corrente. 
6˚. Resolver o sistema de equações obtido, usando qualquer método. 
7˚. Se a corrente num ramo é negativa, significa que na realidade o sentido da corrente neste ramo é oposto ao 
sentido atribuído inicialmente. 
8˚. Verificar os resultados obtidos através da equação de equilíbrio das potências fornecidas e consumidas no 
circuito. 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 29 
 
Exemplo: 
Calcular o circuito representado. 
 Dados: 
 J, E2, R1, R2, R3, R4 e R5 
 
 
 
Resolução 
1) Número de Nós: N= 4 
Número total de ramos: r = 6 
Número de ramos com fonte de corrente: rc =1 
2) Sentido positivo das correntes no circuito. 
 
3) 
 
São 3 equações pela primeira lei de kirchhoff 
 
 
 
 
 
 
Cada equação deve ter pelo menos uma incógnita que as outras não têm, por isso não usamos o Nó 4. 
4) Número de equação pela 2ª lei de kirchhoff. 
 
 
Portanto, são duas equações pela 2ª lei. 
5) Duas (2) Equações pela 2ª lei duas malhas 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 306) Resolver o sistema de equação obtido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, 5 equações 5 Incógnitas 
7) Fazer a prova, através da equação de equilíbrio das potências. 
 
1.16.2. Método de Sobreposição 
O método de sobreposição baseia-se no teorema de sobreposição. 
Teorema de Sobreposição 
A corrente em qualquer ramo de uma rede eléctrica é a soma algébrica das correntes devidas a cada uma das fontes 
consideradas separadamente, removidas todas as outras fontes, mas deixando no circuito as residências internas 
respectivas. 
O teorema de sobreposição é válido para todos os circuitos lineares. 
Exemplo: 
Utilizando o Teorema de Sobreposição, calcular o circuito. 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 31 
 
Resolução 
1º. Considerando unicamente a fonte J: 
 
2º. Considerando unicamente a fonte E2: 
A resistência interna da fonte de corrente é infinita. 
3º. A corrente em cada ramo é a soma algébrica das correntes respectivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 
O teorema de sobreposição não pode ser utilizado para determinar as potências desenvolvidas em resistências como 
soma das potências devidas às correntes individuais, pois que a potência é uma função quadrática da corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 32 
 
1.16.3. Método das Malhas Independentes 
Neste método, assinala-se por um símbolo a corrente em cada uma das malhas da rede, consideradas independentes 
umas das outras. As equações são escritas em função destes símbolos, e é a partir delas que após a resolução do 
sistema de equações se encontram as correntes em todos os ramos. 
 
Algoritmo de Cálculo 
1. Determinar o número das equações necessárias (número das malhas independentes) ou o número das 
correntes de malha. 
2. Escolher as malhas independentes e marcar o sentido de correntes de malha. 
Observação: 
a) Qualquer malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de corrente. 
b) Para se ter em conta as influências das fontes de corrente sobre a distribuição das potências e correntes no 
circuito é necessário marcar também as correntes de malha conhecidas, tantas quantas fontes de corrente 
tiver a rede a calcular, de valor conhecido e igual a J e sentido coincidente com o sentido de J. 
c) Uma malha com corrente de malha igual a J deve conter apenas uma fonte de corrente. 
 
3. Constituir as equações pela 2ª Lei de Kirchhoff para cada malha escolhida. 
4. Resolver o sistema de equações obtido, ou seja, determinar as correntes de malha. 
Se a corrente de malha for negativa, significa que o sentido da corrente de malha é contrário ao sentido 
inicialmente atribuído. 
5. Determinar as correntes nos ramos. Nos ramos independentes a corrente é igual a corrente de malha. 
 
Ramo Independente – Ramo pelo qual passa apenas uma corrente de malha. 
Ramo Comum – Ramo pelo qual passa mais de uma corrente de malha. 
Num ramo comum a corrente calcula-se como soma algébrica das correntes de malha. 
6. Verificar os resultados obtidos através da equação de equilíbrio das potências. 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 33 
 
Exemplo 1: 
Determinar as correntes no circuito representado na figura pelo método 
das malhas independentes. 
 Dados: E1=10 V R2=1 Ω E2=8 V R2’ =2 Ω 
E3=10 V R3=10 Ω 
R1=4 Ω R4=5 Ω R2’=5 Ω R5=2 Ω 
 Resolução 
1) Número das equações (malhas independentes ou correntes de malhas). 
 ; ; 
 
 
Vamos substituir três (3) equações 
2) Escolher três (3) malhas independentes 
3) Constituir as equações: 
 
 
 
 
 
 
 
4) Resolver o sistema de equações obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Correntes nos ramos 
 
 
 
6) Verificação dos resultados obtidos 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → O que significa que os resultados obtidos estão correctos. 
 
1.16.4. Método de Análise Nodal 
A corrente em qualquer ramo duma rede pode ser calculada como se se tratasse de um ramo isolado contendo uma 
f.e.m. Basta para isso conhecer a ddp entre os seus extremos, ou, o que é o mesmo entre os nós que limitam o ramo 
em questão. 
1° Neste método as incógnitas são os potenciais. Temos que determinar os potenciais em cada nó. 
 
2° Um dos nós marcamos ligando à terra, o que não vai alterar a distribuição das correntes. O nó que escolhemos 
para ligar à terra, fica evidentemente ao potencial ZERO. Ver o parágrafo 1.15. 
Seja 
Pela 1ᵃ lei de Kirchhoff: 
Nó 1: (1) 
Nó 2: (2) 
Vamos escrever as equações das correntes nos ramos em função dos potenciais. 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 35 
 
 
Substituindo as correntes na equação (1). 
 
 
 
Substituindo as correntes na equação (2) 
 
 
 
 
 
 
 
Algoritmo de Cálculo 
1° Ligação de um nó à terra que fica evidentemente ao potencial ZERO. 
2° Determinar o número de equações necessárias 
 
3° Construir as equações pelo método de análise nodal: 
- Para cada nó de potencial desconhecido escreve-se uma equação que consiste em: 
Membro Esquerdo 
Produto entre o potencial do nó em questão e a condutância própria com sinal mais (+) e a soma dos produtos entre 
os potenciais dos nós vizinhos e as condutâncias mútuas respectivas com sinal menos (-). 
Membro Direito 
Soma algébrica dos produtos ligados com o nó em questão e a soma algébrica das fonte de corrente ligadas 
ao mesmo nó. 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 36 
 
4° Resolver o sistema de equações obtido, ou seja, determinar os potenciais desconhecidos. 
5° A partir dos potenciais, determinar a correntes nos ramos. 
6° Verificar os resultados obtidos através da equação de equilíbrio das potências fornecidas e consumidas no 
circuito. 
 
Exemplo: 
Usando o método de análise nodal, calcular a rede representada abaixo. 
Dados 
E1=72 V 
E2=48 V 
R1=3 Ω 
R2=4 Ω 
R3=12 Ω 
Resolução 
1° Ligação de um Nó à terra: seja 
2° Número de equações: 
 
3° Constituir as equações: 
 
4° Resolver o sistema de equações obtido, determinar ospotenciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 37 
 
 
5° A partir das potências determinar as correntes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6° Equação de Equilíbrio das Potências 
Potência fornecida: 
 
 
Potência Consumida: 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: Resultados correctos 
 
 
 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 38 
 
1.16.5. Método do Par de Nós 
Algumas redes só têm dois nós. Nestes casos as correntes podem ser calculadas facilmente pelo Método do Par de 
Nós. 
Número de equações: 
 Seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso geral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 39 
 
Exemplo: 
Calcular o circuito representado na figura abaixo e fazer a prova através da equação de equilíbrio das potências. 
 
Dados 
J1=30 mA ; R3=100 Ω ; R4=20 Ω ; J6=20 mA ; 
 ; E3=45 V ; 
 
Resolução 
O circuito representado têm apenas dois nós, por isso vamos usar o método do par de nós. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de equilíbrio das potências 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 40 
 
Potências fornecidas ao circuito: 
 
 
Pf ≈ 17,470 W 
Potências consumidas no circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pc ≈ 17,471 W 
Pf ≈ Pc → Resultados correctos. 
 
1.17. Redes de Dois Terminais ou Bípolos 
Em qualquer rede eléctrica é possível tirar um ramo e simbolizar o restante da rede por uma caixa. Essa caixa 
constitui uma rede de dois terminais ou bípolo. 
Uma rede de dois terminais é aquela que tem dois terminais acessíveis para ligação de um ramo. 
Uma rede de dois terminais contendo uma fonte de corrente ou fonte de tensão, ou ambas, chamam-se Activa, 
assinalada pela letra A. 
Se uma rede de dois terminais ou bípolo não contiver nenhuma fonte de tensão ou de corrente chama-se Passiva, 
assinalada pela letra P. 
 
1.17.1. Teorema de Thevenin (Teorema do Gerador Equivalente) 
Em relação a um ramo removido, a rede de dois terminais que ficou pode ser equiparada a um gerador cuja f.e.m é 
igual a d.d.p. que aparece nos dois terminais quando o ramo está aberto, isto é, sem carga, e cuja resistência interna é 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 41 
 
igual a resistência medida entre os dois terminais depois de substituídos os geradores pelas suas resistências internas. 
Este é o chamado Teorema de Thevenin. 
 
Naturalmente a corrente I não muda se duas f.e.m. iguais e opostas forem colocadas no ramo ab. 
 
 
Aplicando o Teorema de Sobreposição: 
 
Onde é devida a fonte mais todas as fontes de energia da rede de dois terminais (a). 
 
 
 é devida somente a (Bipolo passivo) (b). 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 42 
 
 
 
 
 
Façamos , ou seja escolhemos tal que 
 
 equivale a um ramo aberto entre os terminais a e b. A tensão entre os terminais a e b é então a tensão do 
circuito aberto, ou seja, é a tensão da marcha em vazio 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 é a resistência da rede vista dos terminais ab (resistência de entrada da rede de dois terminais). 
R é a resistência do ramo ab. 
 
Passos para Aplicação do Teorema de Thevenin 
1°. Determinar a tensão que aparece entre os terminais a e b quando o respectivo ramo é removido . 
2°. Determinar a resistência que o bípolo apresenta quando visto desses dois terminais depois de substituir os 
geradores pelas suas resistências internas. As fontes de tensão nas quais são curto-circuitadas e as fontes de 
corrente cuja resistência interna é infinita devem ser abertas. 
3°. Calcular a corrente no ramo que se removeu pela equação: 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 43 
 
Para 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
Determinar o valor e o sentido da corrente no circuito representado aplicando o Teorema de Thevenin. 
 
Dados: R1 = 10Ω R2 = 6Ω R3 = 4Ω R4 = 2Ω R5 = 5Ω E3 = 20 V J6 = 10A 
Resolução 
1°. 
Vamos usar o método de análise nodal para determinar a tensão 
Seja: ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto significa que a corrente tem o sentido contrário ao definido inicialmente na figura. 
Exemplo 2: 
Calcular a corrente no ramo ab, utilizando o teorema de Thevenin, na ponte representada na figura. 
 
Dados: E=10 V; R1=1Ω; R2=4 Ω; R3=2 Ω; R4=1 Ω; R5=2 Ω 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Eng.º Nivaldo Garcia 45 
 
1.17.2. Potência Transferida de Um Bípolo Activo a Uma Carga 
Se a carga R está ligada a uma rede activa de dois terminais é atravessada pela corrente: 
 
 
 
 
E a potência dissipada é: 
 
 
 
 
 
 
Qual deve ser a relação entre a carga R e a resistência de entrada da rede de dois terminais, de modo a que a 
potência transferida desta para carga seja máxima e ainda qual é a máxima potência e o rendimento correspondente a 
esta máxima potência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que Req ≥ 0 ˄ R ≥ 0 
Vamos calcular a segunda derivada para verificar se se trata de um máximo ou de um mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 46 
 
 são constantes, ou seja, dados da rede e não podem ser alterados. 
 
 
 
 
 
 
A potência máxima será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta é a potência máxima que a rede pode dissipar numa carga R. 
 
A potência de entrada vinda do gerador equivalente é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rendimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 47 
 
Rendimento Máximo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Considere o circuito representado: 
 
 Dados: 
 E1=3V R1=4Ω 
 E2=6V R2=3Ω 
 E3=33V R3=2Ω 
 R4=8Ω R5=8Ω 
a) Determine o equivalente de Thevenin do bipolo ab, usando como método auxiliar o método das malhas 
independentes. 
b) Qual é o valor da resistência R a colocar entre os pontos a e b para que a potência eléctrica nela dissipada 
seja de 50W? 
c) Qual seria o novo valor da R para que a potência eléctrica nela dissipada seja máxima? E qual seria o valor 
dessa potência máxima? 
Resolução 
a) Resistência equivalente entre os terminais a e b: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método das malhas Independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Valor de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Eng.º Nivaldo Garcia 50 
 
2. CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA SINUSOIDAL MONOFÁSICA 
2.1. Definições 
2.1.1. Corrente Alternada 
É aquela que se desloca primeiro num sentido e em seguida no sentido oposto, ou seja, é alternadamente positiva e 
negativa. 
 
 
2.1.2. Corrente Alternada Sinusoidal 
É aquela que varia sinusoidalmente com o tempo, de acordo com uma equação da forma: 
 (2.1.1) 
 
Na equação (2.1.1) e no gráfico: 
i(t)… é a corrente instantânea no tempo t; 
 … é o valor máximo ou amplitude da corrente alternada sinusoidal; 
T… é o tempo gasto por um ciclo completo de variações ou período; 
i(t) 
Im 
t 
𝜳_𝒊 
i 
 
 
 
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Eng.º Nivaldo Garcia 51 
 
 … é a velocidade angular ou pulsação da corrente alternada sinusoidal em radiano/s; 
 … é a frequência da corrente ou número de ciclos efectuados num segundo em ciclos por segundo; 
 
 
 
 
 
 
 
A quantidade é o ângulo de fase da corrente alternada sinusoidal indicando um deslocamento da onda 
com o tempo a partir da origem. O ângulo de fase para , ou , é chamado Fase Inicial. 
Qualquer função sinusoidal, incluindo a tensão da corrente alternada pode ser representada pela mesma equação e 
especificada em função das mesmas quantidades. 
 
A frequência da rede eléctrica da Africa Austral incluindo Moçambique é de 50 ciclo/s ou 50 Hz; nos EUA a 
frequência é de 60 Hz ou 60 ciclo/s. 
Correntes sinusoidais e tensões de frequências relativamente baixas (até vários quilociclos) são geradas por 
geradores síncronos. 
 
2.2. Valores Médios e Valores Médios Quadráticos das Quantidades Sinusoidais 
O valor médio de uma quantidade sinusoidal ao longo de um ciclo ou um número inteiro de ciclos é obviamente 
zero. Uma média significa será a média dos valores que prevalecem durante um meio ciclo (positivo ou negativo). 
 
2.2.1. Valor Médio da Corrente durante Meio Ciclo 
Assim o valor médio da corrente durante metade do ciclo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Eng.º Nivaldo Garcia 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor médio da corrente durante um meio-ciclo positivo (ou negativo) é 
 
 
 vezes o valor máximo da 
corrente. 
 Analogamente, 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.2. Valor Eficaz da Corrente Alternada Sinusoidal ou Valor Médio Quadrático 
Na prática o valor médio mais usado é a raiz quadrada da média das correntes elevadas ao quadrado (que são todos 
positivos), denominado Valor Eficaz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da Matemática sabe-se que: 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Analogamente, 
 
 
 
 
 
 
Pode se comparar a acção calorífica da corrente alternada com acção calorífica de uma corrente contínua que passa 
pela mesma resistência durante o mesmo intervalo de tempo. 
 
 Corrente Contínua 
Para a corrente contínua, a energia dissipada numa resistência R, no intervalo de tempo igual ao período T será: 
 
 Num Período 
 
 Corrente Alternada Sinusoidal 
 
 
Para a corrente alternada sinusoidal a energia dissipada na resistência R num período T será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Comparando a energia dissipada numa resistência R para uma corrente contínua e para uma corrente alternada 
sinusoidal no mesmo intervalo de tempo T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 
O valor eficaz de uma corrente alternada sinusoidal é tal intensidade de uma corrente continua que tem o mesmo 
efeito calorífico numa dada resistência,que a corrente alternada em questão. 
 
2.3. Representação de Quantidades Sinusoidais 
2.3.1. Representação Analítica 
 
 
 
 
É difícil efectuar esta soma. Se tivéssemos mais correntes com diferentes amplitudes e fases iniciais seria mais 
complicado ainda. 
 
2.3.2. Representação Complexa ou Simbólica 
Um número complexo tem a parte real e a parte imaginária e pode ser representado por vectores num plano 
complexo. A convenção é marcar o eixo das quantidades reais “+1” e o eixo das quantidades imaginárias com “+j”. 
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 ou 
Pela equação de Euler. 
 (2.3.1) 
No plano complexo a função é representado por um vector de comprimento unitário, fazendo um ângulo α. 
com o eixo +1. A grandeza do e
jα
 é a unidade. 
 
 
O ângulo α é lido no sentido anti-horário a partir do eixo +1. 
A projecção do vector e
jα
 no eixo +1 é cosα e a projecção no eixo +j é senα. 
Pode se ver que 
 
 
Num plano complexo esta função, como a função e
jα
, será representada por um vector fazendo um ângulo α com o 
eixo +1, mas de um comprimento Im vezes maior. 
O ângulo α na equação (2.3.1) pode ter qualquer grandeza. Seja ou seja varia 
linearmente com o tempo. 
Então: 
 
 (2.3.2) 
O termo é a parte imaginária da função Im.e
j(ωt+ψi)
 , ou seja, 
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Portanto, a corrente sinusoidal pode ser representada por 
 , ou pela projecção do vector girante 
 
 no eixo “+j”. 
Por uniformidade, os vectores das quantidades sinusoidais são representados no plano complexo para um tempo 
ωt = 0. 
Então: 
 
 
Em que Im é uma quantidade complexa cuja grandeza é Im. O vector Im faz um ângulo com o eixo +1 no plano 
complexo igual a fase inicial ψi. 
 
 
A quantidade Im é a amplitude complexa da corrente i(t) (ou a corrente máxima complexa). No plano complexo 
representa a corrente i(t) no momento de referência ωt = 0. 
 
Em vez da corrente máxima complexa, é muitas vezes mais conveniente empregar o valor complexo eficaz da 
corrente ou simplesmente a corrente complexa que é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.3. Representação por meio de Vectores 
Seja dada a corrente alternada sinusoidal i(t). 
 
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A projecção do vector no eixo vertical, representa o valor instantâneo da corrente i(t). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é a posição angular em qualquer instante t. 
Um diagrama vectorial é uma representação gráfica de vectores de quantidades sinusoidais num plano complexo. As 
quantidades são tomadas todas na mesma frequência e com as respectivas diferenças de fase. Por uniformidade os 
vectores das quantidades sinusoidais são representados no plano complexo para um tempo ωt = 0. 
Consideremos duas correntes da mesma frequência. Combinadas produzem uma corrente i(t) da mesma 
frequência. 
 
 
 
Desejamos conhecer a grandeza de e a fase inicial da corrente i(t). 
A grandeza de é dada pelo comprimento do vector soma e a fase inicial pelo ângulo entre o vector soma e o eixo 
+1. 
 
Se os vectores , e rodassem a uma velocidade angular ω, em torno da origem das coordenadas, a sua 
posição relativa não mudaria. 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 58 
 
Exemplo 1: 
Expressar a corrente instantânea 
 , A em termos de amplitude complexa. 
 
 
 
Em vez de corrente máxima complexa, é muitas vezes mais conveniente empregar o valor complexo da corrente, ou 
seja, a corrente complexa eficaz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
Determinar o valor instantâneo da corrente máxima complexa 
 
 
 ; 
 
 
 
 
2.4. Elementos Principais dos Circuitos de Corrente Alternada Sinusoidal 
2.4.1. Resistência 
Oferece oposição à passagem da corrente. A unidade da resistência eléctrica no Sistema Internacional é o Ohm (Ω). 
Uma resistência diz-se Linear quando a carecterística V/A é uma recta, ou seja, quando a corrente que a atravessa é 
directamente proporcional à diferença de potencial entre os seus terminais. 
Um elemento resistivo diz-se Não-Linear quando a característica V/A não é uma recta. 
Todos os elementos resistivos têm uma potência nominal que é a potência máxima que pode ser dissipada sem que o 
aumento da temperatura danifique o elemento resistivo. 
Exemplo: 
Assim numa resistência de 100Ω e 1W pode passar no máximo uma corrente de 100mA sem danificar o resistor. 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
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Eng.º Nivaldo Garcia 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
Numa resistência a energia eléctrica é transformada em calor. 
 
2.4.2. Indutância de Uma Bobina 
Uma Bobina é um fio condutor enrolado de forma a constituir um conjunto de N espiras (condutores 
aproximadamente circulares, todos do mesmo raio, concentrados sobre o mesmo eixo e situados em planos 
paralelos). 
 
A bobina representa-se pelo seguinte símbolo: 
 
Uma bobina é um dispositivo usado para, ao ser atravessado por uma corrente eléctrica, se obter um campo 
magnético uniforme e intenso numa pequena região do espaço (no seu interior). Armazena energia sob a forma de 
um campo magnético. 
 
 
 
 
 
 
 pois 
Num circuito eléctrico ou em parte de um circuito eléctrico, em que a variação da corrente é acompanhada por 
variação do fluxo e consequentemente uma f.e.m. induzida é dito indutivo, ou estamos em presença de uma 
indutância L. 
Um circuito tem uma indutância de 1 Henry (1H) se uma f.e.m. de 1 Volt é induzida quando a variação da corrente é 
1 Ampere por segundo. 
 
2.4.3. Capacidade de Um Condensador (ou Capacitor) 
Um condensador é um dispositivo constituído por dois condutores (designados armaduras), separados por um 
dieléctrico. É normalmente representado pelo símbolo: 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 60 
 
 
Para carregar um condensador deve impor-se uma dada tensão U entre as suas armaduras, por intermédio de uma 
fonte de energia eléctrica. Isto fará com que, através da fonte, uma quantidade de carga +Q (proporcional a U) seja 
retirada a armadura ligada ao terminal negativo da fonte e acrescentada à armadura ligada ao terminal positivo da 
fonte. Diz-se que a carga do condensador é Q (+ Q numa armadura e – Q na outra armadura). Este facto implica o 
aparecimento de um campo eléctrico no dieléctrico entre as armaduras, ou seja, o aparecimento de energia eléctrica 
armazenada nessa região, obtida à custa da fonte de energia eléctrica que carregou o condensador. 
 
Em conclusão, um condensador é um dispositivo que armazena carga eléctrica (e, consequentemente, armazena 
energia correspondente ao campo eléctrico que existe entre as armaduras). A sua capacidadede armazenamento é 
definida pela razão constante que existe entre o módulo da carga existente em cada armadura Q e a tensão existente 
entre elas U: 
 
 
 
A unidade da capacidade no SI é o Farad (F). 
 
 
 
 
 
 
 
Um condensador representa um circuito aberto em corrente contínua, por isso, não incluímos este dispositivo no 
estudo de circuitos de corrente contínua: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. As Leis dos Circuitos Eléctricos de Corrente Alternada Sinusoidal para Valores Instantâneos 
2.5.1. Lei de Ohm (Lei Empírica ou Experimental) 
 
 
 
 
 
 
 
A lei de Ohm em valores instantâneos é válida apenas para resistências lineares. 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
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2.5.2. As Leis de Kirchhoff 
Para aplicar as Leis de Kirchhoff é preciso saber os sentidos de i, e e u, por isso para circuitos de corrente alternada, 
os sentidos de i, e e u marcam-se condicionalmente por meio de setas. 
 2.5.2.1. Primeira Lei de Kirchhoff: Lei das Correntes (ou Lei dos Nós) 
 1) A soma algébrica das correntes instantâneas que fluem em qualquer nó de uma rede eléctrica é igual a zero. 
 
 
 
2) A soma das correntes instantâneas que chegam à derivação de um circuito eléctrico é igual a soma das correntes 
instantâneas que deixam essa mesma derivação. 
 
2.5.2.2. A Segunda Lei de Kirchhoff: Lei das Tensões (ou Lei das Malhas) 
1) A soma algébrica das tensões num contorno fechado é igual a zero. 
 
 
 
 
2) A soma algébrica dos valores instantâneos das quedas de tensão em qualquer contorno fechado é igual à soma 
algébrica dos valores instantâneos das f.e.m. ao longo do mesmo contorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.3. Potência Instantânea 
A potência instantânea p em um circuito é o produto da tensão instantânea através do circuito pela corrente 
instantânea no mesmo circuito. 
 ou 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
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2.6. Processos Eléctricos nos Elementos RLC 
2.6.1. Corrente Alternada numa Resistência 
 
 
 
 
de Ohm: Lei 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A resistência representa-se por R na forma complexa. 
 
 
Numa resistência a corrente i(t) a tensão u(t) estão em fase (os seus valores máximos são simultâneos). 
 
Vamos determinar a potência instantânea: 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A potência instantânea tem uma componente constante e uma componente variável ( ) que varia com a 
frequência dupla de frequência da corrente e da tensão. 
Potência Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor médio da potência eléctrica recebida numa resistência é igual ao produto dos valores eficazes da tensão e da 
corrente. 
 
2.6.2. Corrente Alternada numa Bobina 
 
p(t) 
i(t) 
u(t) 
0 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
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O produto é designado por e é chamado Reactância Indutiva. 
 
 
 
Uma indutância oferece a uma corrente alternada uma oposição igual a que é directamente proporcional à 
frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim a reactância indutiva na forma complexa representa-se por jXL 
 
Numa indutância a tensão está em avanço de 90º sobre a corrente, ou seja, a corrente complexa está em atraso 90º 
em relação à tensão. 
Potência 
Vejamos como varia com o tempo a potência eléctrica recebida pela bobina: 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A frequência da potência instantânea é o dobro da frequência da corrente ou da tensão e varia de forma alternada 
sinusoidal. 
A área definida entre a função p(t) e o eixo dos tempos é numericamente igual a energia transferida entre a fonte e a 
bobina. Assim uma indutância recebe e dá alternadamente energia à fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para avaliar a potência de troca entre elementos indutivos e as fontes de energia introduz-se uma grandeza que se 
designa Potência Reactiva. 
 
 
𝜋/2 𝜋 2𝜋 3𝜋 4𝜋 5𝜋 
 
u(t) 
p(t) 
i(t) 
p(t) 0 
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2.6.3. Corrente Alternada num Condensador 
 
Seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
O termo 
 
 
 é chamado Reactância Capacitiva simboliza-se por XC: 
 
 
 
 
 
 
 
A reatância capacitiva de um condensador é inversamente proporciona à frequência e é expressa em OHM . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
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A tensão sinusoidal nos bornes de um condensador tem um atraso de 90º em relação à corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos determinar a potência instantânea: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p(t) 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
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A potência instantânea num condensador tem as mesmas características que numa bobina: frequência dupla da 
tensão ou da corrente e valor médio nulo. 
A área definida entre a função p(t) e o eixo dos tempos é numericamente igual a energia transferida entre a fonte e o 
condensador. A área é alternadamente positiva e negativa, ou seja, o capacitor fornece e recebe alternadamente 
energia da fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7. Análise dos Circuitos de Corrente Alternada pelo Método dos Números Complexos 
A razão deste método consiste em que para uma corrente variando sinusoidalmente com o tempo, as equações nos 
valores instantâneos, que são de facto equações diferenciais, podem ser substituídas por equações algébricas em 
correntes e tensões complexas. Mas especificamente, em qualquer equação de Kirchhoff escrita para um regime 
permanente, a corrente instantânea i é substituída pela corrente complexa eficaz , a tensão instantânea aplicada a 
uma resistência 
 
Pela queda de tensão complexaque está em fase com a corrente . 
A tensão instantânea aplicada a uma indutância 
 
 
 substitui-se pela quantidade complexa 
 que tem um avanço de 90º sobre a corrente . 
A tensão instantânea aplicada a um capacitor 
 
 
 substitui-se pela quantidade complexa 
 com um atraso de 90º sobre a corrente . 
A tensão instantânea u ou f.e.m. instantânea e substitui-se pela tensão complexa ou f.e.m complexa . 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
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2.7.1. O Circuito RLC Série 
 
 
 (2ª Lei de Kirchhoff) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; ; 
 
 
 
 
Define-se Impedância do ramo como sendo o complexo: 
 
A impedância tem como parte real a resistência do ramo e como parte imaginária a chamada reactância do ramo, 
definida como a diferença entre a reactância indutiva e a reactância capacitiva. 
 
 
 
 com 
 
 
 
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A expressão: 
 é designada por Lei de Ohm em Corrente Alternada. 
 
 
 
 (para um dado ) 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
Um ramo de um circuito eléctrico é constituído por uma resistência de e uma bobina com 50mH de coeficiente 
de auto-indução. Calcular a tensão em cada elemento, a tensão total no ramo e a energia eléctrica dissipada em 10 
minutos, quando a variação da corrente for: 
a) 
b) 
Resolução 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
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A tensão total está adiantada de 
 em relação à corrente. 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão na resistência mantem-se não obstante a variação da frequência. 
Na bobina: 
 
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Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão total está adiantada de 89º-30º = 59º em relação à corrente. 
A energia dissipada mantém o valor da alínea anterior. 
 
Exercício 1: 
Repita o exercício exemplo anterior, mas colocando em série com a resistência e a bobina, um condensador com 
 de capacidade. 
 
Exercício 2: 
Aplicando o conceito de impedância, determine a tensão total do ramo no exercício do exemplo anterior. 
 
2.7.2. Impedância 
A impedância de um ramo passivo é a razão entre a tensão complexa entre os seus terminais e a corrente que o 
atravessa. 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
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Eng.º Nivaldo Garcia 73 
 
Onde, 
R- resistência do ramo passivo (parte real); 
X- reactância do ramo passivo (parte imaginária); 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , mas como 
 = Então, 
 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 74 
 
O ângulo representa o desfasamento entre a tensão e a corrente. 
O ângulo entre os vectores corrente e tensão mede-se a partir do vector corrente para o vector tensão. 
Ângulos positivos medem-se no sentido anti-horário e ângulos negativos no sentido horário. 
O módulo da impedância representa a razão entre os valores eficazes da tensão e da corrente. 
 
2.7.3. Admitância Simbólica ou Admitância Complexa 
A admitância de um ramo passivo é o inverso da sua impedância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A unidade da admitância é 
 
 
 ou [Ω -1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A parte real da admitância designa-se por condutância e a sua parte imaginária por susceptância (b). 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
Observação: 
A condutância e a susceptância de um ramo passivo não são o inverso da resistência e sua reactância respetivamente. 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 75 
 
 
 
 O ângulo é negativo. 
 
 
2.7.4. Tensão Activa e Tensão Reactiva 
 
 
 
 
 
 ; Tensão activa 
 Tensão reactiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 76 
 
2.7.5. Corrente Activa e Corrente Reactiva 
 
 onde ; 
 
 → Corrente Activa 
 → Corrente Reactiva 
 
 
 
2.7.6. Lei de Ohm em Notação Complexa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.7. As Leis de Kirchhoff em Representação Simbólica 
2.7.7.1. Primeira Lei de Kirchhoff: Lei das Correntes (ou Lei dos Nós) 
A soma (vectorial) das representações complexas das correntes num nó é nula. 
 Substituindo por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 77 
 
 
 
2.7.7.2. Segunda Lei de Kirchhoff: Lei das Tensões (ou Lei das Malhas) 
1) Ao longo de qualquer malha, a soma (vectorial) das representações simbólicas das f.e.m. é igual à soma 
(vectorial) das representações simbólicas das tensões nas impedâncias: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Ao longo de qualquer malha, a soma (vectorial) das representações simbólicas das tensões em todos elementos é 
nula: 
 
 
 
 
 
2.8. Aplicação dos Métodos de Cálculo dos Circuitos de Corrente Contínua em Circuitos de Corrente 
Alternada Sinusoidal 
Uma vez que as Leis de Kirchhoff das Correntes e das Tensões se mantêm para circuitos de corrente alternada 
sinusoidal, podemos escrever todas as equações do capítulo dos circuitos lineares de corrente contínua na forma 
complexa para circuitos de corrente alternada sinusoidal. 
Para tal bastará substituir corrente I pelo complexo , a condutância pela admitância , a resistência R pela 
impedância simbólica e a f.e.m. da corrente contínua E pela f.e.m. complexa . 
Equações com variações e coeficientes complexos. 
Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I 
 
Eng.º Leonel Fanequiço 
Eng.º Nivaldo Garcia 78 
 
Corrente contínua (CC) Corrente Alternada (CA) 
U 
I 
R 
G 
 
Todos os métodos de cálculo dos circuitos de corrente contínua são também válidos para os circuitos de corrente 
alternada sinusoidal, bastando para tal utilizar o método dos números complexos. 
- Transformação