GEOMETRIA ANALÍTICA Avaliação II - Individual

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18/06/2022 10:30 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:686843)
Peso da Avaliação 1,50
Prova 39738163
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 7/3
Nota 7,00
Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de 
uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio formado 
pelos vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de 
vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. 
Baseado nisso, assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:
A O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.
B O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
C A transformação a seguir não é um operador linear.
D O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos 
colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais 
de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente 
a isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam 
corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação:
A É um número real que anula a transformação.
B É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
C É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
D É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. 
Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva 
as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta a imagem do vetor (-1, 2, 4) quando aplicado na transformação a seguir.
A (-7, 2).
B (7, -2).
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A+ Alterar modo de visualização
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C (-5, 2).
D (-2, 7).
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo 
menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
A {(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}.
B {(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}.
C {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
D {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de 
vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas 
principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação 
possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da 
transformação T(x,y) = (x-y, y-x). 
I- v = (1,1). 
II- v = (0,1). 
III- v = (-2,-2). 
IV- v = (1,0). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e IV estão corretas.
B As opções II e III estão corretas.
C As opções I e III estão corretas.
D As opções II e IV estão corretas.
Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que 
normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear 
ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação 
opera com vetores e não com números reais como de costume. Baseado na transformação linear de R³ 
em R³ dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas: 
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)]. 
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( ) A sua imagem tem dimensão 2. 
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo. 
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - V - F - F.
C V - F - V - V.
D V - V - F - V.
Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³, dada pela fórmula: F(x,y) = 
(x + y), (x - y)², x²). O vetor v = (1, -1) de R² terá que coordenadas em R³?
A As coordenadas são (2, -4, 1).
B As coordenadas são (0, 4, 1).
C As coordenadas são (2, 4, 1).
D As coordenadas são (2, -4, 0).
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços 
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma 
transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das 
transformações lineares, analise as opções a seguir: 
I- T(x,y) = (x² , y²). 
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y). 
III- T (x,y) = (2x + y, x - y). 
IV- T (x,y) = (x, x - y). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções III e IV estão corretas.
B Somente a opção IV está correta.
C As opções I e II estão corretas.
D As opções II e III estão corretas.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
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encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador:
A [(1,0,1)].
B [(0,1,1)].
C [(1,1,0)].
D [(0,0,1)].
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (2,-3,4) e v = (2,2,-3), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
( ) u x v = (-10,-1,-14). 
( ) u x v = (-1,-14,-10). 
( ) u x v = (1,14,10). 
( ) u x v = (10,-1,14). 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B F - F - F - V.
C V - F - F - F.
D F - F - V - F.
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