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Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
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1.	 Probabilidade .................................................................................................................................................. 2	
1.1.	 Espaço Amostral ............................................................................................................................................. 3	
1.2.	 Evento ............................................................................................................................................................. 3	
2.	 Definição Clássica de Probabilidade (Laplace) .................................................................................................. 4	
3.	 Probabilidade como Frequência Relativa ......................................................................................................... 5	
4.	 Combinações de Eventos ................................................................................................................................. 7	
5.	 Propriedades sobre Probabilidades ................................................................................................................. 9	
6.	 Definição Axiomática de Probabilidade ......................................................................................................... 11	
7.	 Probabilidade Condicional ............................................................................................................................. 13	
7.1.	 Teorema da Multiplicação ............................................................................................................................ 17	
7.2.	 Independência de três eventos ..................................................................................................................... 18	
7.3.	 Teorema da Probabilidade Total .................................................................................................................. 19	
7.4.	 Teorema de Bayes ......................................................................................................................................... 24	
8.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 27	
9.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 77	
10.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 81	
11.	 Considerações Finais .................................................................................................................................... 220	
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre probabilidade? 
Não se esqueçam que vocês podem acompanhar dicas diárias comigo pelo instagram 
@profguilhermeneves. 
Sem mais delongas, vamos iniciar nossa aula!! 
1. PROBABILIDADE 
 
“A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo 
número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua 
existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é 
buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida desta probabilidade, 
a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador 
é o número de todos os casos possíveis”. 
Pierre Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as Probabilidades 
 
A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados para 
estudar experimentos aleatórios. 
Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições inúmeras 
vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza. 
Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral podemos 
descrever o conjunto que “abriga” todos os resultados possíveis. 
Quando é possível fazer uma “previsão” do resultado de um experimento, ele é chamado de 
determinístico. 
Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas vidas. 
Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha chance de 
ganhar na Mega Sena? 
Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: 
i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. 
O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um 
experimento aleatório. 
 
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è Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente 
inalteradas. 
è Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes de 
descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
 
 
1.1. ESPAÇO AMOSTRAL 
 
Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o espaço 
amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denotaremos este 
conjunto pela letra U. 
 
Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. 
i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto: 
𝑈" = {1,2,3,4,5,6} 
ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. 
𝑈- = {𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎} 
Resumindo: ao efetuar um experimento aleatório, o primeiro passo consiste em descrever todos 
os resultados possíveis, ou seja, explicitar o conjunto de possíveis resultados e calcular o número 
de elementos que pertencem a ele. 
Este conjunto é chamado de Espaço Amostral. 
1.2. EVENTO 
 
Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao lançamento do dado. 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈" = {1,2,3,4,5,6} 
Por exemplo, o subconjunto 
𝐴 = {2,3,5} 
é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. 
Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral. 
B: ocorrência de número menor que 5. 𝐵 = {1,2,3,4}. 
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C: ocorrência de número menor que 8. 𝐶 = {1,2,3,4,5,6} = 𝑈" 
D: ocorrência de número maior que 8. 𝐷 = ∅ (conjunto vazio). 
 
 
• Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. 
• Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 
 
 
2. DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE (LAPLACE) 
 
Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso do 
evento 𝐴 = {2,3,5} que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis no lançamento de 
um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o 
experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a 
metade das vezes. 
 
O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte: 
i) Cada um dos elementos que compõem o espaço amostral são igualmente “prováveis”. 
ii) O número de elementos do evento (𝑛(𝐴) = 3) é justamente a metade dos elementos do 
espaço amostral (𝑛(𝑈") = 6). 
Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte forma: 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈) =
3
6 =
1
2 
Como vimos o texto no início deste capítulo, Laplace referia-se aos elementos do evento como os 
casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaçoamostral são chamados de casos 
possíveis. Desta forma: 
 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
Esta é a definição clássica de probabilidade. Esta definição não é válida do ponto de vista lógico 
porque ao se exigir que os elementos do espaço amostral sejam “igualmente prováveis”, utiliza-se 
o próprio conceito que se pretende definir. 
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Ademais, um dos defeitos dessa definição é o de não abordar casos em que os eventos não são 
equiprováveis. 
3. PROBABILIDADE COMO FREQUÊNCIA RELATIVA 
Considere um experimento aleatório. Na prática, não podemos obter infinitas realizações. 
Entretanto, imagine que o experimento será realizado N vezes. 
Definimos frequência relativa de um evento como sendo o número 𝑓 tal que 
𝑓 =
𝑛
𝑁 
em que n é o número de ocorrências do evento. 
Assim, por exemplo, se lançamos um determinado dado de 6 faces 200 vezes e observamos o 
número 3 em 54 vezes, então a frequência relativa deste evento será: 
𝑓 =
54
200 = 0,27 = 27% 
Experimentalmente, verificamos que a frequência relativa se estabiliza em torno de um valor 
definido, quando o número N de realizações tende a infinito. 
Assim, como o dado tem 6 faces, o esperado é que se N for suficientemente grande, cada face 
sairá em "
M
≅ 16,67% das vezes. 
Vamos realizar este experimento utilizando o Excel. 
Vamos lançar o dado 60.000 vezes (usando a função =ALEATÓRIOENTRE), ou seja, o Excel irá gerar 
números aleatórios inteiros no intervalo [1,6]. 
Esperamos que cada face saia em torno de 10.000 vezes. 
Observe os resultados gerados (usando a função =cont.se): 
Número da face Frequência absoluta 
1 9.917 
2 9.958 
3 10.126 
4 10.090 
5 10.003 
6 9.906 
 
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Para calcular a frequência relativa, basta dividir cada frequência absoluta pelo total de 
experimentos. 
Número da 
face Frequência absoluta Frequência relativa 
1 9.917 16,528% 
2 9.958 16,597% 
3 10.126 16,877% 
4 10.090 16,817% 
5 10.003 16,671% 
6 9.906 16,510% 
 
Se o número de realizações N aumentar significativamente, as frequências relativas tendem a se 
estabilizar em torno de 1/6. 
Assim, considerando N realizações de um experimento aleatório, definimos a probabilidade de um 
evento E como 
𝑃(𝐸) = lim
S→U
𝑛(𝐸)
𝑁 
Assim, a probabilidade pode ser definida como a frequência relativa quando o número de 
realizações do experimento tende a infinito. 
Esta também não é uma definição rigorosa do ponto de vista lógico, porque utiliza-se o próprio 
conceito de probabilidade para uma interpretação rigorosa da definição apresentada. 
Ademais, esta definição se limita aos casos em que o número de eventos observados pode crescer 
indefinidamente. 
 
 
 
 
 
 
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4. COMBINAÇÕES DE EVENTOS 
 
Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos 
conjuntos (eventos). 
è União de dois eventos 
 
Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por 𝐴 ∪ 𝐵 e ocorre se e somente se ao 
menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que 𝐴 ∪ 𝐵 ocorre se e somente se A ou B (ou 
ambos) ocorrerem. 
 
Se 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈, dizemos que A e B são eventos exaustivos. 
 
è Interseção de dois eventos 
 
Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado por 𝐴 ∩ 𝐵 e ocorre se e somente se 
os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem). 
 
è Complementar de um evento 
 
Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por �̅� e ocorre se e somente se 
não ocorre A. 
Vejamos alguns exemplos: 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈 = {1,2,3,4,5,6} 
Considere os seguintes eventos. 
 
A: ocorrência de um número ímpar. 𝐴 = {1,3,5}. 
B: ocorrência de um número par: 𝐵 = {2,4,6}. 
C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. 𝐶 = {1,2,3} 
 
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Desta forma, temos os seguintes eventos. 
𝐴 ∪ 𝐵: ocorrência de um número ímpar ou número par. 
𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6} 
 
𝐴 ∪ 𝐶: ocorrência de um número ímpar ou de um número menor ou igual a 3. 
𝐴 ∪ 𝐶 = {1,2,3,5} 
 
𝐵 ∪ 𝐶: ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3. 
𝐵 ∪ 𝐶 = {1,2,3,4,6} 
 
𝐴 ∩ 𝐵: ocorrência de um número ímpar e par. 
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 
 
O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par e ímpar. 
Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos (ou mutuamente 
excludentes). 
 
Se 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈, dizemos que A e B são eventos exaustivos. 
Se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos (ou excludentes). 
 
 
𝐴 ∩ 𝐶: ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3. 
𝐴 ∩ 𝐶 = {1,3} 
 
𝐵 ∩ 𝐶: ocorrência de um número par e menor ou igual a 3. 
𝐵 ∩ 𝐶 = {2} 
 
�̅�: não ocorrer um número ímpar. 
�̅� = {2,4,6} 
 
 
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𝐵Y : não ocorrer um número par. 
𝐵Y = {1,3,5} 
 
�̅�: não ocorrer um número menor ou igual a 3. 
�̅� = {4,5,6} 
 
5. PROPRIEDADES SOBRE PROBABILIDADES 
 
è A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual a 1. 
 
Vamos lembrar: 
Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. 
Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 
 
Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado. 
 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈 = {1,2,3,4,5,6} 
Considere os eventos. 
A: ocorrência de número menor que 8. 𝐴 = {1,2,3,4,5,6} = 𝑈 
B: ocorrência de número maior que 8. 𝐵 = ∅ (conjunto vazio). 
Já sabemos que: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠	𝑑𝑜	𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠	𝑑𝑜	𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜	𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
Desta forma, 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈) =
6
6 = 1 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈) =
0
6 = 0 
 
 
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Observe ainda que se A e B são eventos exaustivos, ou seja, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1. 
 
è Se A é um evento qualquer, então 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. 
 
Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade é um número maior ou igual a 0 e menor ou 
igual a 1. A probabilidade será igual a 0 se o evento for impossível e a probabilidade será igual a 1 
se o evento for certo. Se o evento A nem for o evento certo nem o evento impossível, então a 
probabilidade é um número positivo e menor que 1. 
 
è Se A é um evento qualquer, então 𝑃(𝐴) + 𝑃(�̅�) = 1. 
 
É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de 
chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 
70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1. 
Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma das 
probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que: 
100% =
100
100 = 1 
Esta propriedade é importantíssima na resolução de muitas questões. Lembre-se que se a 
probabilidadede um evento A ocorrer é P(A), então a probabilidade de não ocorrer o evento A 
será igual a 1 – P(A). 
 
è Probabilidade do evento união 
 
Se A e B forem dois eventos quaisquer, então 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos. 
 
O evento interseção é aquele formado pelos elementos comuns entre A e B. 
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O evento união é o representado abaixo. 
 
 
Quando somamos 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) as probabilidades dos eventos contidos em 𝐴 ∩ 𝐵 são computadas 
duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para eliminar esta “dupla 
contagem”, subtraímos 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) para que nenhum elemento seja contado mais de uma vez. O 
raciocínio é o mesmo do princípio da inclusão-exclusão (conjuntos). 
Vimos anteriormente que quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio eles são 
chamados de mutuamente excludentes. 
 
 
Neste caso, quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, tem-se que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
Para três conjuntos quaisquer, a probabilidade da união fica: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
6. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE 
 
Vamos agora definir probabilidade de acordo com a teoria axiomática de Kolmogorov. 
Este é o conceito moderno de probabilidade. Para tanto, vamos utilizar os conceitos de espaço 
amostral, evento e experimento aleatório. 
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Considere um experimento aleatório com espaço amostral U. Considere ainda um evento 
qualquer A. Assim, temos que 𝐴 ⊂ 𝑈. 
Por definição, a probabilidade de ocorrer o evento A é uma função P que atribui um número P(A), 
denominado probabilidade de A, para o evento A do espaço amostral U tal que: 
i) 𝑃(𝐴) ≥ 0 
ii) 𝑃(𝑈) = 1 
iii) Se A e B são eventos mutuamente excludentes (𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙), então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
Assim, adotamos as três sentenças acima como axiomas, ou seja, verdades absolutas que não 
carecem de demonstração. 
Observe que, a partir dos axiomas acima, podemos demonstrar alguns teoremas. Veja os exemplos 
a seguir: 
 
Teorema 1: Se A é um evento qualquer de um espaço amostral U e 	𝐴	YYY é o seu evento 
complementar, então 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 1. 
Demonstração 
Os eventos 𝐴 e 	𝐴	YYY são mutuamente excludentes, já que a interseção entre eles é o conjunto vazio. 
Assim, substituindo B por 	𝐴	YYY no axioma iii, temos: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 	𝐴	YYY) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) 
𝑃(𝑈) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) 
O segundo axioma afirma que 𝑃(𝑈) = 1, portanto: 
𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 1 
Como queríamos demonstrar. 
 
Teorema 2: A probabilidade do evento impossível é zero. 
Demonstração 
Os conjuntos 𝑈 e 𝜙 são mutuamente excludentes. Substituindo A por 𝑈 e B por 𝜙 no axioma iii, 
temos: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝑈 ∪ 𝜙) = 𝑃(𝑈) + 𝑃(𝜙) 
𝑃(𝑈) = 𝑃(𝑈) + 𝑃(𝜙) 
𝑃(𝜙) = 0 
Como queríamos demonstrar. 
 
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7. PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 
homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os 
espectadores. Desta forma, como há 1.000 pessoas na plateia, então a probabilidade de um 
homem ser sorteado é igual a 
400
1.000 = 0,4 = 40% 
e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a 
600
1.000 = 0,6 = 60% 
Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de 
1
1.000 = 0,001 = 0,1% 
 
Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos 
que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele 
então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma frustração geral entre as 
mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma 
probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento. 
Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram. 
Ora, não temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 
pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de: 
 
1
400 = 0,0025 = 0,25% 
 
A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi “reduzido”. 
 
 
 
 
 
 
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Vejamos outro exemplo para entendermos bem este conceito. Considere a seguinte tabela que 
reúne alguns alunos do Estratégia. 
 Usam óculos Não usam óculos Total 
Mulheres 80 220 300 
Homens 20 180 200 
Total 100 400 500 
Imagine que colocamos em uma caixa 500 papéis, cada um com o nome de um destes 500 alunos. 
Vou retirar um papel desta caixa. 
A probabilidade de a pessoa sorteada usar óculos é igual a 100/500, pois há 100 pessoas que usam 
óculos em um total de 500 pessoas. 
A probabilidade de a pessoa sorteada ser uma mulher é igual a 300/500, pois há 300 mulheres em 
um total de 500 pessoas. 
Estas são probabilidades "a priori", pois foram calculadas antes da realização do sorteio. 
Imagine agora que eu realizo o sorteio e aviso: a pessoa sorteada é uma mulher. 
Qual é a probabilidade de ela usar óculos? 
Percebeu a diferença? 
Não temos mais 500 pessoas, pois sabemos que a pessoa sorteada é uma mulher! O total de 
possibilidades agora é 300. Queremos saber quantas pessoas, dentre as 300 mulheres, usam 
óculos. Ora, como há 80 mulheres que usam óculos, a probabilidade pedida (probabilidade a 
posteriori ou probabilidade condicional) é igual a 80/300. 
Imagine agora que eu realizo o sorteio e aviso: a pessoa sorteada usa óculos. 
Qual é a probabilidade de ela ser uma mulher? 
Ora, não temos mais 500 pessoas, pois sabemos que a pessoa sorteada usa óculos. O total de casos 
possíveis agora é 100. 
Como queremos calcular a probabilidade de esta pessoa ser mulher, devemos olhar na tabela 
quantas são as mulheres que usam óculos: 80. 
Portanto, a probabilidade pedida é 80/100. 
Vamos treinar mais um pouco. Sabendo que a pessoa sorteada não usa óculos, qual é a 
probabilidade de ser um homem? 
Ora, se a pessoa sorteada não usa óculos, estamos restritos a 400 pessoas. Destas 400 pessoas que 
não usam óculos, 180 são homens. Portanto, a probabilidade pedida é 180/400 
Vejamos outro exemplo. 
Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o espaço 
amostral 𝑈 = {1,2,3,4,5,6} e os eventos 𝐴 = {2,4,6} e 𝐵 = {1,2,5}. 
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Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a: 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈) =
3
6 =
1
2 
Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. 
Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado do 
mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião sobre a ocorrência do 
evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá ter ocorrido B se o 
resultado do experimento tiver sido o número 2. 
Esta opinião é quantificada com a introdução de uma “probabilidadea posteriori” ou, como vamos 
chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por. 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) =
1
3 
Vamos ilustrar esta situação com um diagrama. 
 
Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa de ser U e 
passa a ser A. 
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 = 𝐴 
Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha. 
 
 
O número de casos possíveis agora é igual a 3. 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
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𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑛(𝐴) 
 
Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos elementos comuns 
de A e B. Portanto, os casos desejados são os elementos da interseção entre A e B. 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) 
Finalmente, a expressão “probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu” é expressa assim: 
𝑃(𝐵|𝐴) 
Chegamos à fórmula: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) 
Vamos dividir numerador e denominador por 𝑛(𝑈). 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑈)
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
 
Assim, ficamos com: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) 
Veja como é fácil memorizar esta expressão. 
𝑃(𝐵|𝐴) significa que queremos saber a probabilidade de B, sabendo que A ocorreu. 
No numerador, sempre ficará a interseção dos eventos: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). 
No denominador, sempre ficará a probabilidade do evento ocorrido: 𝑃(𝐴). 
Imagine, por exemplo, que queremos calcular 𝑃(𝐶|𝐷). 
No numerador, sempre ficará a interseção dos eventos: 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷). 
No denominador, sempre ficará a probabilidade do evento ocorrido: 𝑃(𝐷). 
Portanto, 
𝑃(𝐶|𝐷) =
𝑃(𝐶 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐷) 
Imagine que você está resolvendo uma questão de probabilidade e o enunciado pede para calcular 
a probabilidade de que o time A tenha vencido a partida, sabendo que choveu no dia do jogo. 
𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟|𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢) = 
No numerador fica a interseção dos eventos. No denominador fica o evento que ocorreu. 
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𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟|𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢) =
𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟	𝑒	𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟)
𝑃(𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟) 
7.1. TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO 
 
 
A probabilidade condicional mostra que: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) 
Que pode ser expressa da seguinte forma: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) 
Esta fórmula é chamada de Teorema da Multiplicação e pode ser lida assim: 
A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade 
de B depois que A ocorreu. 
 
Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os 
eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
 
Isto quer dizer que se A e B são independentes, então: 
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
A primeira expressão afirma que a probabilidade de B ocorrer sabendo que A ocorreu é a própria 
probabilidade de B ocorrer. 
A segunda expressão afirma que a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu é a própria 
probabilidade de A ocorrer. 
 
 
 
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7.2. INDEPENDÊNCIA DE TRÊS EVENTOS 
 
Vimos que dois eventos A e B são independentes se e somente 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
 
Isto quer dizer que se A e B são independentes, então 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) e se 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵), então os eventos A e B são independentes. 
 
O mesmo não ocorre para três conjuntos. 
Os eventos A, B e C são independentes se e somente se 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) 
Isto quer dizer que se A, B e C são independentes, então as 4 condições acima ocorrem e se as 4 
condições acima ocorrem, então os eventos A, B e C são independentes. 
 
Imagine, por exemplo, que uma questão afirma que A, B e C são eventos independentes. Desta 
forma, você pode usar qualquer uma das 4 relações acima. 
Entretanto, se um problema apenas afirma que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶), você não 
pode concluir que A, B e C são independentes. Para que isto seja verdade, você precisa ter certeza 
de que as 4 expressões acima são válidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.3. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 
Imagine 3 urnas. Na primeira urna, há 2 bolas azuis e 3 bolas vermelhas; na segunda urna, há 1 
bola azul e 2 bolas vermelhas; na terceira urna, há 1 bola azul e 1 bola vermelha. 
 
Vamos selecionar uma dessas urnas ao acaso e retirar uma bola. Queremos calcular a 
probabilidade de a bola retirada ser vermelha. 
Observe que não podemos simplesmente dizer que são 10 bolas no total das quais 6 são vermelhas 
e que a probabilidade é igual a 6/10. Isso não pode ser feito porque as probabilidades de cada bola 
ser retirada não são iguais. 
Observe que: 
- Se a primeira urna for escolhida, a probabilidade de sair uma bola vermelha é 3/5. 
- Se a segunda urna for escolhida, a probabilidade de sair uma bola vermelha é 2/3. 
- Se a terceira urna for escolhida, a probabilidade de sair uma bola vermelha é 1/2. 
O nosso objetivo é calcular a probabilidade total de sair uma bola vermelha independentemente 
de qual urna foi selecionada. 
Um erro grave normalmente cometido é dizer que probabilidade de sair uma bola vermelha ao 
escolher aleatoriamente uma urna é igual à soma das probabilidades acima calculadas. Observe: 
3
5 +
2
3 +
1
2 = 0,6 + 0,6666…+ 0,5 = 1,7666… > 1 
Ora, sabemos que a probabilidade não pode ser maior que 1 e, obviamente, o raciocínio acima 
está errado. 
O raciocínio está errado porque o experimento é realizado em duas etapas a, saber: 
i) escolher uma urna aleatoriamente 
ii) escolher uma bola aleatoriamente 
O evento “bola vermelha” pode ocorrer se escolhermos a urna 1, urna 2 ou urna 3. 
A probabilidade de escolhermos a urna 1 é 1/3. Escolhida a urna 1, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 3/5. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 1 é igual a 
1
3 ∙
3
5 =
3
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A probabilidade de escolhermos a urna 2 é 1/3. Escolhida a urna 2, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 2/3. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 2 é igual a 
1
3 ∙
2
3 =
2
9 
 
A probabilidade de escolhermos a urna 3 é 1/3. Escolhida a urna 3, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 1/2. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 3 é igual a 
1
3 ∙
1
2 =
1
6 
A probabilidade total é a soma das probabilidades calculadas. 
𝑃(𝑉𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎) =
3
15 +
2
9 +
1
6 =
18 + 20 + 15
90 =
53
90 
 
Este raciocínio pode ser facilitado com um diagrama de árvore. A primeira etapa é escolher a urna. 
Escolhida a urna, vamos selecionar uma bola ao acaso. 
 
A probabilidade de cada urna ser selecionada ao acaso é 1/3. 
A probabilidade de escolhermos a urna 1 é 1/3. Escolhida a urna 1, a probabilidadede sair uma 
bola vermelha é 3/5. A probabilidade de sair uma bola azul é 2/5. 
A probabilidade de escolhermos a urna 2 é 1/3. Escolhida a urna 2, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 2/3. A probabilidade de sair uma bola azul é 1/3. 
A probabilidade de escolhermos a urna 3 é 1/3. Escolhida a urna 3, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 1/2. A probabilidade de sair uma bola azul é 1/2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos escrever estas probabilidades no diagrama a seguir. 
 
Agora, basta multiplicar as respectivas probabilidades em cada “caminho” das setas. 
 
 
A probabilidade total de sair uma bola vermelha é igual a 
3
15 +
2
9 +
1
6 =
18 + 20 + 15
90 =
53
90 
 
 
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Durante o mês de março, a probabilidade de chover em um determinado dia é de 7/10. Os 
voos da companhia aérea Rosa são cancelados em um dia de chuva com probabilidade 4/5 e 
em um dia sem chuva com probabilidade 1/20. Qual a probabilidade de, em um dia qualquer 
do mês de março, um determinado voo da companhia Rosa não ser cancelado? 
Resolução 
A probabilidade de chover em um determinado dia é 7/10. Portanto, a probabilidade de não 
chover é 3/10. 
 
A probabilidade de o voo ser cancelado em um dia de chuva é 4/5. Assim, a probabilidade de 
o voo não ser cancelado é 1/5. 
A probabilidade de o voo ser cancelado em um dia sem chuva é 1/20. Assim, a probabilidade 
de o voo não ser cancelado é 19/20. 
 
Queremos calcular a probabilidade de em um dia qualquer do mês de março o voo não ser 
cancelado. Vamos multiplicar as probabilidades nos caminhos que chegam nos voos não 
cancelados. 
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Agora basta somar as probabilidades. 
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
50 +
57
200 =
28 + 57
200 =
85
200 = 42,5% 
 
 
De uma forma mais geral, assim fica o Teorema da Probabilidade Total. 
 
Observe que o evento B ocorre depois do evento A. Assim, para calcular a probabilidade de B em 
cada ramo do diagrama, devemos levar em consideração a ocorrência do evento A. Ficamos com: 
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴") + 𝑃(𝐴-) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴-) 
Não se preocupe em decorar a fórmula acima. Aprenda a construir o diagrama de árvores e você 
será capaz de resolver todas as questões. 
 
 
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7.4. TEOREMA DE BAYES 
Durante o mês de março, a probabilidade de chover em um determinado dia é de 7/10. Os voos da 
companhia aérea Rosa são cancelados em um dia de chuva com probabilidade 4/5 e em um dia 
sem chuva com probabilidade 1/20. Um determinado voo da companhia Rosa foi cancelado em um 
dia do mês de março. Calcule a probabilidade de ter chovido nesse dia. 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de ter chovido sabendo que o voo foi cancelado. 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) 
Esta é uma probabilidade condicional. 
No numerador, devemos colocar a probabilidade interseção dos eventos. No denominador, a 
probabilidade do que sabemos que ocorreu. 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜)
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) 
Observe o diagrama. 
 
 
Pelo diagrama, temos: 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
10 ∙
4
5 =
28
50 =
14
25 
Vamos agora calcular a probabilidade de o voo ter sido cancelado. Para tanto, vamos utilizar o 
Teorema da Probabilidade total: o voo pode ter sido cancelado se choveu ou se não choveu. 
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
10 ∙
4
5opq
rstuvw	v	xty	z{|zv}{~t
+
3
10 ∙
1
20o�p�q
Sãt	zstuvw	v	xty	z{|zv}{~t
 
 
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
28
50 +
3
200 =
112 + 3
200 =
115
200 =
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Assim, ficamos com: 
 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜)
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
14/25
23/40 =
14
25 ∙
40
23 =
560
575 =
112
115 
 
A probabilidade de ter chovido sabendo que o voo foi cancelado é de 112/115. 
 
O teorema de Bayes é um corolário do Teorema da Probabilidade Total. Observe o diagrama que 
construímos no tópico anterior. 
 
Estamos interessados em calcular a probabilidade de ocorrer A1 sabendo que B ocorreu. 
𝑃(𝐴"|𝐵) =? 
Do teorema da probabilidade condicional, temos: 
𝑃(𝐴"|𝐵) =
𝑃(𝐴" ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴"|𝐵) =
𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴")
𝑃(𝐵) 
 
Do Teorema da Probabilidade Total temos que 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴") + 𝑃(𝐴-) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴-). 
Portanto, 
𝑃(𝐴"|𝐵) =
𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴")
𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴") + 𝑃(𝐴-) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴-)
 
 
Novamente, não se preocupe em memorizar a fórmula acima. Você pode ficar em mente somente 
com a fórmula da probabilidade condicional: 
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𝑃(𝐴"|𝐵) =
𝑃(𝐴" ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) 
Podemos ainda utilizar o diagrama de árvores ou a probabilidade como frequência relativa para 
resolver problemas envolvendo o Teorema de Bayes. 
 
 
 
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8. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Várias pessoas, entre as quais Artur e Mário, estão sentadas em volta de uma mesa redonda. Entre 
Artur e Mário há 3 pessoas por um lado e 5 pessoas pelo outro. 
 Uma das pessoas da mesa é sorteada ao acaso. A probabilidade de que essa pessoa sorteada não 
seja nem Artur, nem Mário, nem nenhum dos seus vizinhos, é de 
a) 20%. 
b) 30%. 
c) 40%. 
d) 50%. 
e) 60%. 
2. (FGV 2018/SASDH – Niterói) 
Um dado é lançado duas vezes consecutivas. Considere os seguintes eventos relativos a esses 
lançamentos: 
 
A: a soma dos números obtidos é 8 
B: a soma dos números obtidos é 10 
C: a soma dos números obtidos é 12 
 
Colocando-se esses três eventos em ordem crescente da probabilidade de ocorrência, obtém-se: 
a) A, B, C; 
b) A, C, B; 
c) B, C, A; 
d) C, A, B; 
e) C, B, A. 
3. (FGV 2017/SEPOG-RO) 
Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre 
quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os dois 
funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é 
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a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/6 
e) 3/4 
4. (FGV 2015/TJ-SC) 
Cada uma das 13 letras do nome “SANTA CATARINA” é escrita em um cartão e todos os cartões são 
colocados em uma urna. Aleatoriamente, são então retirados, sucessivamente e sem reposição, 
dois cartões. 
A probabilidade de um dos cartões retirados conter a letra S e o outro cartão retirado conter a 
letra C é de: 
a) 2/13 
b) 3/39 
c) 1/78 
d) 1/156 
e) 25/156 
5. (FGV 2015/Câmara Municipal de Caruaru) 
Dois dados são jogados. A probabilidade de que o produto dos dois números sorteados seja maior 
do que 12 é 
a) 13/36. 
b) 5/12. 
c) 2/3. 
d) 1/3. 
e) 1/2. 
6. (FGV 2015/TJ-RO) 
Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 quadradinhos brancos. 
 
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Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. 
A probabilidade de que o quadradinho sorteadoseja um quadradinho preto da borda do tabuleiro 
é: 
a) 1/2. 
b) 1/4. 
c) 1/8. 
d) 9/16. 
e) 7/32. 
7. (FGV 2015/Prefeitura de Paulínia) 
Um ciclo completo de um determinado semáforo é de um minuto e meio. A cada ciclo o semáforo 
fica vermelho 30 segundos, em seguida fica laranja 10 segundos e, por fim, fica verde 50 segundos. 
Escolhido um instante de tempo ao acaso, a probabilidade de que neste instante de tempo o 
semáforo NÃO esteja fechado, isto é, NÃO esteja vermelho, é: 
a) 1/9. 
b) 2/9. 
c) 1/3. 
d) 4/9. 
e) 2/3. 
8. (FGV 2014/Prefeitura de Osasco) 
Um semáforo funciona continuamente de tal modo que a cada minuto ele fica verde por 30 
segundos, fica amarelo por 10 segundos e vermelho por 20 segundos. 
 Em um instante de tempo escolhido aleatoriamente, a probabilidade de o semáforo estar 
vermelho é: 
a) 1/5. 
b) 1/4. 
c) 1/3. 
d) 1/2. 
e) 2/3. 
9. (FGV 2018/ALE-RO) 
Em uma caixa há 4 cartões amarelos e 6 cartões vermelhos. Foram retirados, aleatoriamente, 2 
cartões da caixa. 
 A probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é de 
a) 1/2 
b) 1/3 
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c) 1/4 
d) 1/5 
e) 1/6 
10. (FGV 2018/ALE-RO) 
Em um grupo de 10 deputados, 6 são do Partido A e 4 são do Partido B. Serão sorteados 2 desses 
10 deputados, aleatoriamente. 
A probabilidade de os 2 deputados sorteados serem do Partido B é 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 2/3 
d) 2/9 
e) 2/15 
11. (FGV 2018/ALE-RO) 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Três dessas bolas são sorteados aleatoriamente. 
A probabilidade de o produto dos três números sorteados ser ímpar é 
a) 1/12 
b) 1/10 
c) 1/8 
d) 1/4 
e) 1/2 
12. (FGV 2017/IBGE) 
A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das duas últimas questões de uma 
determinada prova é 70%. 
Acertar ou errar cada uma das questões são eventos independentes. 
A probabilidade desse aluno errar as duas referidas questões: 
a) é menor que 10%; 
b) está entre 10% e 20%; 
c) está entre 20% e 30%; 
d) está entre 30% e 50%; 
e) é maior que 50%. 
 
 
 
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13. (FGV 2017/Prefeitura de Salvador) 
Abel tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá “cara” 
com probabilidade 1/3. Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. O primeiro 
que obtiver “cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos independentes. 
A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamento é de 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/8 
e) 1/18 
14. (FGV 2015/TJ-RO) 
A probabilidade de chover em determinado dia, dado que choveu no dia anterior, é de 0,6. Se a 
probabilidade de chover em um dia qualquer é de 0,3, a probabilidade de dois dias de chuva 
seguidos é de: 
a) 0,15; 
b) 0,18; 
c) 0,30; 
d) 0,40; 
e) 0,50. 
15. (FGV 2018/ALE-RO) 
Dois eventos A e B ocorrem, respectivamente, com 40% e 30% de probabilidade. A probabilidade 
de que A ocorra ou B ocorra é 50%. Assim, a probabilidade de que A e B ocorram é igual a 
a) 10%. 
b) 20%. 
c) 30%. 
d) 40%. 
e) 50%. 
 
 
16. (CESPE 2018/EBSERH) 
Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade composta 
apenas por casais e seus filhos. 
Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A∪B∪C, em que 
A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade}; 
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B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade}; 
C = {casais com pelo menos 4 filhos}. 
Considerando que n(P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha 
que n(A)=18; n(B)=20; n(C)=25; n(A∩B)=13; n(A∩C)=11; n(B∩C)=12e n(A∩B∩C)=8. O diagrama a 
seguir mostra essas quantidades de elementos. 
 
 
Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir. 
Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a probabilidade de ele ter menos de 4 
filhos será superior a 0,3. 
 
17. (CESPE 2017/Pref. de São Luís) 
Em um jogo de azar, dois jogadores lançam uma moeda honesta, alternadamente, até que um 
deles obtenha o resultado cara. O jogador que detiver esse resultado será o vencedor. a 
probabilidade de o segundo jogador vencer o jogo logo em seu primeiro arremesso é igual a 
a) 2/3 
b) 1/2 
c) 1/4 
d) 1/8 
e) 3/4 
 
18. (CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos 
países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser 
examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em 
B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B. 
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Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 
Se 2 dos 30 passageiros, selecionados forem escolhidos ao acaso, então a probabilidade de esses 2 
passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 1/30. 
 
19. (CESPE 2018/ABIN) 
Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Gödel disputaram, no parque 
da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os 
quantitativos de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por gênero. 
 
A partir dessa tabela, julgue os itens subsequentes. 
Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido retirado, ao acaso, do interior 
de uma urna que continha os nomes de todos os familiares presentes no evento. Nessa situação, 
sabendo-se que o sorteado não é uma mulher da família Gödel, a probabilidade de ser uma mulher 
da família Russel será superior a 20%. 
 
20. (CESPE 2017/SEDF) 
 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
Se uma mulher tiver sido escolhida para ser a plantonista de sábado, então a probabilidade de se 
escolher um homem para o plantão de domingo é igual a 0,5. 
 
21. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
A probabilidade de os dois plantonistas serem homens é igual ou superior a 4/9. 
 
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22. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
A probabilidade de os plantões serem feitos por um homem e uma mulher é igual a 5/9. 
 
23. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
 
O gráfico ilustra cinco possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas 
rentabilidades. Considerando que as probabilidades de investimentopara os fundos A, B, C e D 
sejam, respectivamente, P(A)= 0,182; P(B) = 0,454; P(C)= 0,091; e P(D)= 0,182, julgue o item 
subsequente. 
 
A probabilidade do fundo de investimento E é maior que a probabilidade do fundo de investimento 
C. 
24. (CESPE 2016/INSS) 
Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos seguintes dois grupos: 
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e 
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas). 
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos (diabética e fumante). 
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A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, ex-fumantes e 
pessoas que nunca fumaram (não-fumantes). 
Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. 
Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de pessoas do grupo e a 
quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quantidade de pessoas fumantes desse grupo, 
então, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo desse grupo, a probabilidade de ele não 
pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de ex-fumantes será inferior a 70%. 
 
25. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
A equipe de atendentes de um serviço de telemarketing é constituída por 30 empregados, 
divididos em 3 grupos, que trabalham de acordo com a seguinte escala. 
- Grupo I: 7 homens e 3 mulheres, que trabalham das 6 h às 12 h. 
- Grupo II: 4 homens e 6 mulheres, que trabalham das 9 h às 15 h. 
- Grupo III: 1 homem e 9 mulheres, que trabalham das 12 h às 18 h. 
A respeito dessa equipe, julgue o item que se segue. 
A probabilidade de um cliente que liga para o telemarketing ser atendido por uma atendente é 
maior no período de 15 h a 18 h do que no período de 12 h a 15 h. 
 
26. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
 
Se Pedro não resolver o problema de um cliente, considerando-se que nenhuma informação a 
respeito da tentativa é repassada a Marcos, a probabilidade de que este também não resolva o 
referido problema será inferior a 20%. 
 
27. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
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suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
Se Pedro e Marcos tentarem, independentemente, resolver o mesmo problema desse cliente, a 
chance de ambos resolverem o problema desse cliente será inferior a 45%. 
 
28. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
 
Se ambos tentarem, independentemente, resolver o mesmo problema de um cliente, então a 
chance de o problema ser resolvido por Pedro ou por Marcos será superior a 90%. 
 
29. (CESPE/DEPEN 2015) 
Considerando que, entre a população carcerária de um presídio, a probabilidade de um detento 
contrair tuberculose seja igual a 0,01; que dois detentos sejam selecionados aleatoriamente dessa 
população carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre esses detentos sejam eventos 
independentes, julgue o item. 
 
A probabilidade de os dois detentos na amostra contraírem tuberculose será igual a 0,02. 
30. (CESPE/DEPEN 2015) 
Considerando que, entre a população carcerária de um presídio, a probabilidade de um detento 
contrair tuberculose seja igual a 0,01; que dois detentos sejam selecionados aleatoriamente dessa 
população carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre esses detentos sejam eventos 
independentes, julgue o item. 
 
A probabilidade de pelo menos um detento na amostra contrair tuberculose será superior a 0,01 e 
inferior a 0,03. 
 
(CESPE 2015/TCE-RN) 
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Para fiscalizar determinada entidade, um órgão de controle escolherá 12 de seus servidores: 5 da 
secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevenção da corrupção, 3 da corregedoria e 1 da 
ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por sorteio, nas equipes A, B e C; e cada equipe será 
composta por 4 servidores. A equipe A será a primeira a ser formada, depois a equipe B e, por 
último, a C. 
A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes. 
31. A probabilidade de um servidor que não for sorteado para integrar a equipe A ser 
sorteado para integrar a equipe B é igual a 0,5. 
32. A probabilidade de a equipe A ser composta por quatro servidores da secretaria de 
controle interno é inferior a 0,01. 
33. A chance de a equipe A ser composta por um servidor de cada unidade é superior a 
10%. 
34. (CESPE 2015/Polícia Federal) 
Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região 
atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de 
policiais policia cada uma das quadras. 
Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. 
Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em 
determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será 
superior a 0,5. 
35. (CESPE 2014/ANTAQ) 
Uma pesquisa sobre o objeto de atividade de 600 empresas apresentou o seguinte resultado: 
• 5/6 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de cargas; 
• 1/3 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de passageiros; 
• 50 dessas empresas não atuam com transporte fluvial, nem de cargas, nem de passageiros; 
Com base nessa situação hipotética e sabendo-se que as 600 empresas pesquisadas se enquadram 
em, pelo menos, uma das 3 opções acima, julgue o item a seguir. 
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Selecionada, ao acaso, uma dessas empresas, a probabilidade de que ela não atue com transporte 
fluvial de cargas nem de passageiros é inferior a 10%. 
 
36. (CESPE 2014/SUFRAMA) 
Uma pesquisa na qual os 40 alunos de uma disciplina deveriam responder SIM ou NÃO às 
perguntas P1 e P2 apresentadas a eles, mostrou o seguinte resultado: 
• 28 responderam SIM à pergunta P1; 
• 22 responderam SIM à pergunta P2; 
• 5 responderam NÃO às 2 perguntas. 
Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 
Selecionando-se ao acaso um desses alunos, a probabilidade de ele ter respondido SIM a pelo 
menos uma das perguntas será superior a 0,9. 
 
37. (CESPE 2013/TRT 17ª Região) 
 Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As 
avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a sexta-
feira,podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. 
A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 
Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo 
independente dos demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um 
mesmo dia será inferior a 1%. 
 
38. (CESPE 2013/SEGESP-AL) 
Nas investigações, pesquisadores e peritos devem evitar fazer afirmações e tirar conclusões 
errôneas. Erros de generalização, ocorridos ao se afirmar que certas características presentes em 
alguns casos deveriam estar presentes em toda a população, são comuns. É comum, ainda, o uso 
de argumentos inválidos como justificativa para certas conclusões. Acerca de possíveis erros em 
trabalhos investigativos, julgue o item a seguir. 
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Se determinado evento for impossível, então a probabilidade de ocorrência desse evento será 
nula. 
 
39. (CESPE 2013/BACEN) 
A numeração das notas de papel-moeda de determinado país é constituída por duas das 26 letras 
do alfabeto da língua portuguesa, com ou sem repetição, seguidas de um numeral com 9 
algarismos arábicos, de 0 a 9, com ou sem repetição. Julgue os próximos itens, relativos a esse 
sistema de numeração. 
Considere o conjunto das notas numeradas da forma #A12345678&, em que # representa uma 
letra do alfabeto e &, um algarismo. Nessa situação, retirando-se, aleatoriamente, uma nota desse 
conjunto, a probabilidade de # ser uma vogal e de & ser um algarismo menor que 4 é inferior a 
1/10. 
 
40. (CESPE 2013/MTE) 
Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de segurança no trabalho, 7 a 
respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando que esses processos sejam 
colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma pilha, julgue 
os itens que se seguem. 
Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira aleatória. Nesse caso, a 
probabilidade de o processo que está na parte superior tratar de assunto relativo a FGTS será 
superior a 0,3. 
41. (CESPE 2008/SEAD-PA) 
A respeito de probabilidade e estatística, assinale a opção correta. 
A) Os eventos são coletivamente exaustivos se não têm elemento comum, ou se não podem 
ocorrer simultaneamente. 
B) Os eventos são mutuamente excludentes se nenhum outro resultado é possível para o 
experimento em questão. 
C) Espaço amostral é uma coleção bem definida de objetos ou itens. 
D) A probabilidade de qualquer evento é representada por um número entre 0 e 1. 
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42. (FCC 2018/SEFAZ-GO) 
Em um campeonato de futebol, as equipes recebem 3 pontos a cada vitória, 1 ponto por empate e 
não recebem ponto quando são derrotadas. Faltando somente a última rodada para ser disputada, 
apenas a equipe X, com 74 pontos, e a equipe Y, com 73 pontos, ainda têm chance de vencer o 
campeonato. O campeão será aquele que somar mais pontos ao final da última rodada, sendo que, 
em caso de empate, os critérios estabelecidos no regulamento indicam que a equipe Y será a 
campeã. Considerando os adversários de cada equipe na última rodada, analistas esportivos 
estimaram, para as equipes X e Y, as seguintes probabilidades para os jogos que decidirão o 
torneio. 
Equipe 
Adversário 
na última 
rodada 
Probabilidade 
de vitória 
Probabilidade 
de empate 
Probabilidade 
de derrota 
X P 50% 30% 20% 
Y Q 80% 10% 10% 
 
Admitindo que os resultados dos jogos das equipes X e Y na última rodada sejam independentes, a 
probabilidade de que a equipe X seja campeã, de acordo com a estimativa dos analistas é igual a: 
a) 60% 
b) 63% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 58% 
43. (FUNRIO 2009/ Administrador FUNAI) 
 
O vírus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na 
forma X1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver 
é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas 
condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é 
a) 11/15 
b) 2/3 
c) 3/5 
d) 7/15 
e) 1/3 
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44. (FGV 2015/ TJ-RO) 
 
Suponha que A e B são dois eventos quaisquer, tais que P(A) = 0,7 e 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,9. Então, se eles 
são independentes, pode-se afirmar que P(B) é igual a: 
a) 0,6 
b) 3/4 
c) 2/3 
d) 0,2 
e) 1/2 
 
45. (ESAF 2004/ MPU) 
 
 Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma 
aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% 
das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz 
em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, 
ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido 
feita por José é igual a 
a) 0,15. 
b) 0,25. 
c) 0,30. 
d) 0,20. 
e) 0,40. 
46. (ESAF 2010/ MPOG) 
Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três 
meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, 
um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e 
consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três 
meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. 
Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual 
a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita? 
a) 1. 
b) 2/3. 
c) 1/2. 
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d) 1/3. 
e) 1/4. 
 
47. (ESAF 2004/ MPU) 
 
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele 
estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de 
Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em 
Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. 
Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a 
probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a 
a) 2/3 
b) 1/7 
c) 1/3 
d) 5/7 
e) 4/7 
 
48. (ESAF 2009/ ANA) 
 
Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética 
é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? 
a) 0,98% 
b) 1% 
c) 2,94% 
d) 1,30% 
e) 3,96% 
 
49. (ESAF 2009/ ANA) 
 
 Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 
bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? 
a) 11,53% 
b) 4,24% 
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c) 4,50% 
d) 5,15% 
e) 3,96% 
 
50. (ESAF 2009/ ATRFB) 
 
Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, um correntista deve utilizar 
sua senha constituída por três letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, 
sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. 
Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco 
teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitarsua senha, o correntista deve 
acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o 
valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco 
teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha? 
a) 0,001. 
b) 0,0001. 
c) 0,000125. 
d) 0,005. 
e) 0,008. 
 
51. (ESAF 2013/ DNIT) 
 
Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, e os números das faces voltadas para cima 
são somados. A probabilidade da soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a: 
a) 35% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 15% 
e) 25% 
 
52. (ESAF 2013/ ATA-MF) 
 
No quadro a seguir, tem-se a listagem dos 150 funcionários de uma empresa: 
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Uma bicicleta será sorteada entre os funcionários dessa empresa; a probabilidade de que uma 
mulher que desempenha a função de serviços gerais ganhe a bicicleta é igual a: 
a) 22% 
b) 23% 
c) 20% 
d) 24% 
e) 21% 
 
53. (ESAF 2013/ ATA-MF) 
 
 Beatriz é servidora do Ministério da Fazenda e costuma se deslocar de casa para o trabalho de 
carro próprio ou de ônibus. Sabe-se que Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de 
ônibus em 10% das vezes. Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega atrasada em 30% das vezes 
e, quando se desloca de carro próprio, chega atrasada em 10% das vezes. Em um determinado, dia 
Beatriz chegou atrasada ao trabalho. Qual a probabilidade de ela ter ido de ônibus neste dia? 
a) 30% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 10% 
e) 25% 
 
54. (ESAF 2016/ FUNAI) 
Em uma cidade, 40% dos adultos são obesos, 45% dos adultos obesos são mulheres e 50% dos 
adultos não obesos são mulheres. Indique qual a probabilidade de que uma pessoa adulta da 
cidade escolhida ao acaso seja uma mulher. 
 
a) 0,48 
b) 0,49 
c) 0,50 
d) 0,51 
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220 
e) 0,52 
 
 
55. (ESAF 2005/ APO-MPOG) 
 
Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e 
“coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A 
outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre 
a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para 
cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para 
baixo seja “coroa” é igual a: 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 2/3 
e) 3/4 
 
56. (ESAF 2014/ MTUR) 
 Uma caixa contém 3 moedas de um real e 2 moedas de cinquenta centavos. 2 moedas serão 
retiradas dessa caixa ao acaso e obedecendo às condições: se a moeda retirada for de um real, 
então ela será devolvida à caixa e, se for de cinquenta centavos, não será devolvida à caixa. Logo, a 
probabilidade de pelo menos uma moeda ser de um real é igual a 
 
a) 80% 
b) 75% 
c) 90% 
d) 70% 
e) 85% 
 
57. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas centenas com dígitos distintos. Se uma centena for 
selecionada ao acaso, a probabilidade de ser menor do que 500 e par é 
 
a) 15% 
b) 10% 
c) 25% 
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d) 30% 
e) 20% 
 
 
58. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Dois eventos, A e B, são ditos independentes quando: 
a) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵) 
b) 𝑃(𝐵|𝐴) = 1 − 𝑃(𝐵) 
c) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
d) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
e) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) 
 
59. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; P(A | B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar 
que: 
a) A e B são eventos dependentes. 
 
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos. 
 
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes. 
 
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes. 
 
e) P(A ∩ B) = 0 e os eventos são independentes. 
 
 
60. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Assim, a probabilidade de se obter 2 caras é igual a: 
a) 1/16 
b) 1/4 
c) 3/16 
d) 3/8 
e) 1/2 
 
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61. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
 Em um determinado município, 70% da população é favorável a um certo projeto. Se uma amostra 
aleatória de cinco pessoas dessa população for selecionada, então a probabilidade de exatamente 
três pessoas serem favoráveis ao projeto é igual a 
a) 40,58%. 
b) 35,79%. 
c) 42,37%. 
d) 30,87%. 
e) 37,46%. 
 
62. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Considere que, num determinado setor da ANAC, três pessoas, A, B e C, são responsáveis 
diariamente pelos relatórios das atividades desenvolvidas. Dos últimos 200 relatórios, A foi o 
responsável por 50, B foi responsável por 70 e C foi responsável por 80. Em 6% das vezes, o 
relatório de A apresenta algum tipo de erro, de B em 10% das vezes e de C em 5% das vezes. 
Seleciona-se ao acaso um relatório desses 200 e verifica-se que apresenta algum tipo de erro, 
então a probabilidade de ter sido elaborado por B é igual a 
a) 0,35. 
b) 0,30. 
c) 0,45. 
d) 0,40. 
e) 0,50. 
 
63. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Uma caixa contém seis bolas brancas e quatro pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma 
a uma e sem reposição, então a probabilidade de uma ser branca e a outra ser preta é igual a 
a) 4/15. 
b) 7/15. 
c) 2/15. 
d) 8/15. 
e) 11/15. 
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64. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Quando Maria vai visitar sua família, a probabilidade de Maria encontrar sua filha Kátia é 0,25; a 
probabilidade de Maria encontrar seu primo Josino é igual a 0,30; a probabilidade de Maria 
encontrar ambos ─ Kátia e Josino ─ é igual a 0,05. Sabendo-se que, ao visitar sua família, Maria 
encontrou Kátia, então a probabilidade de ela ter encontrado Josino é igual a: 
a) 0,30 
b) 0,20
 
c) 0,075 
d) 0,1667 
e) 0,05 
 
65. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Beto e Bóris são grandes amigos e moram em cidades diferentes. Durante uma viagem que 
realizaram ao Rio de Janeiro para participar de um congresso, Beto ficou devendo a Bóris 500 
dólares. Bóris, um rico empresário, disse a Beto que não se preocupasse com a dívida, pois assim 
teria um motivo para viajar até a cidade de Beto, tantas vezes quantas forem necessárias, para 
cobrar a dívida. Como Beto reside sozinho e costuma sair muito, Bóris só poderá cobrar a dívida se 
encontrar Beto em sua casa. Sabe-se que a probabilidade de Beto ser encontrado em casa é 1/5. 
Então, a probabilidade de Bóris ter de ir mais de 2 vezes à casa de Beto para cobrar a dívida é dada 
por: 
a) 1/8 
b) 4/25 
c) 9/25 
d) 3/16 
e) 16/25 
 
66. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 O processo de produção de uma fábrica de copos está apresentando um grande número de copos 
defeituosos, ou seja: copos trincados. Antônio e Ricardo estão realizando um estudo para analisar 
a quantidade de copos trincados. Antônio embala em uma caixa 8 copos, dos quais 3 estão 
trincados. Ricardo retira, aleatoriamente, e sem reposição, 4 copos da caixa. Então, a 
probabilidade de Ricardo retirar, exatamente, dois copos trincados é igual a: 
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a) 3/5 
b) 12 
c) 3/7 
d) 2/5 
e) 2/7 
 
67. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Coruja e Pardal são dois jogadores do Futebol Clube Natureza, FCN. Talvez Coruja e Pardal não 
possam defender o FCN em sua próxima partida, contra seu temido adversário, o Futebol Clube 
Verde, FCV. A probabilidade de Coruja jogar é 40% e a de Pardal jogar é 70%. Com ambos os 
jogadores em campo, o FCN terá 60% de probabilidade de vencer o FCV. Masse nem Coruja e nem 
Pardal jogarem, a probabilidade de vitória do FCN passa para 30%. No entanto, se Coruja jogar e 
Pardal não jogar, a probabilidade de o FCN vencer o FCV é de 50%. Se Pardal jogar e Coruja não 
jogar, essa probabilidade passa para 40%. Sabendo-se que o fato de Coruja jogar ou não é 
independente de Pardal jogar ou não, então a probabilidade de o FCN vencer seu temido 
adversário é igual a: 
 
a) 90% 
b) 45% 
c) 60% 
d) 30% 
e) 75% 
 
 
 
 
68. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Em um clube, 5% dos homens e 2% das mulheres praticam basquete. Sabe-se que 40% dos 
frequentadores são mulheres. Selecionando-se, ao acaso, um frequentador desse clube, verificou-
se que ele pratica basquete. Assim, a probabilidade desse frequentador ser mulher é igual a: 
 
a) 4/15 
b) 4/19 
c) 23/45 
d) 6/19 
e) 4/21 
 
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69. (ESAF - Adaptada 2014/ MTUR) 
 
 Um dado é lançado 12 vezes. Desse modo, a probabilidade de a face 6 aparecer 3 vezes, a face 5 
aparecer 2 vezes e a face 1 aparecer 4 vezes e as demais aparecerem uma vez é igual a: 
𝑎)
12!
5! 4! 3! �
1
6�
-�
 
𝑏)
12!
4! 3! 2! �
1
6�
"-
 
𝑐)
12!
4! 3! 2! �
1
6�
�"-
 
𝑑)
−12!
5! 4! 3! �
1
6�
"�
 
𝑎)
12!
5! 4! 3! �
1
6�
"-
 
 
70. (ESAF 2010/ SMF-RJ) 
 
Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e 
uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é 
colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, 
em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada 
um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou com cinco moedas. 
Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro? 
a) 0,15 
b) 0,20 
c) 0,5 
d) 0,25 
e) 0,7 
 
71. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Em um determinado aeroporto, podem ocorrer dois eventos A e B, em que o evento A é a 
ocorrência de mau tempo e o evento B é a ocorrência de cancelamento de voos. Estes dois eventos 
A e B possuem as seguintes probabilidades: P(A)=4/5 e P(B)=1/3. A partir destes dados, pede-se 
para determinar os limites de P(A ∩ B). 
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a) 1/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/4. 
 
b) 2/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/4. 
 
c) 1/15 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
 
d) 2/15 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
 
e) 1/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
 
72. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Há duas rotas para ir da cidade A para a cidade B, e duas outras rotas para ir da cidade B para a 
cidade C. Cada uma dessas quatro rotas pode estar bloqueada com probabilidade q, 
independentemente uma das outras. Determine a probabilidade de haver uma rota aberta da 
cidade A à cidade B dado que não há nenhuma rota aberta da cidade A para a cidade C. Essa 
probabilidade condicional pedida é representada por: 
 
P(A tem rota aberta até B | A não tem rota aberta até C) 
a) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)
���
"�("��)���
 
b) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = �"��
����
"�("���)�
 
c) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)�
"�("��)�
 
d) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)�
�
"�("��)��
 
e) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)
��
"�("��)�
 
 
 
73. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
 Se A e B são eventos independentes, então: 
a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵) 
b) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)/𝑃(𝐵), se 𝑃(𝐵) > 0. 
c) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
d) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐴), se 𝑃(𝐴) > 0. 
e) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
 
74. (ESAF 2015/ APO-MPOG) 
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 Um restaurante especializado em carnes recebe somente 3 tipos de clientes, a saber: os que 
gostam de carne de gado, os que gostam de carne de javali e os que gostam de carne de jacaré. 
Desses clientes que frequentam o restaurante, 50% deles gostam de carne de gado, 40% gostam 
de carne de javali e 10% gostam de carne de jacaré. Por outro lado, dos clientes que gostam de 
carne de gado, 80% das vezes que vão ao restaurante eles bebem cerveja; dos clientes que gostam 
de carne de javali, 90% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja; dos clientes que 
gostam de carne de jacaré, 95% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja. Um cliente, 
ao sair do restaurante, informa que não bebeu cerveja. Assim, a probabilidade de que ele goste de 
carne de javali é igual a: 
a) 8/29 
b) 1/5 
c) 45/47 
d) 7/8 
e) 25/32 
 
75. (ESAF 2014/ ATA-MF) 
 
Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: de carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% 
das vezes ela vai de carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total 
das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de ônibus, chega atrasada em 10% 
delas e, quando vai de bicicleta, chega atrasada em 8% delas. Sabendo-se que um determinado dia 
Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido de carro é igual a: 
a) 20% 
b) 40% 
c) 60% 
d) 50% 
e) 30% 
 
76. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% da população adulta em determinada região 
é feito por um invasivo exame que produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas mostraram 
que esse exame produz um resultado falso positivo em 10% dos casos e produz um resultado falso 
negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o resultado for 
negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença. 
a) 20% 
b) 15% 
c) 10% 
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d) 5% 
e) 0% 
 
77. (ESAF 2010/ SUSEP) 
 
Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada 
doença é de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma 
probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. 
Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, 
qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo? 
a) 30%. 
b) 7,5%. 
c) 25%. 
d) 15%. 
e) 12,5%. 
 
78. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
Uma turma de uma escola de primeiro grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são 
meninos. Ao se escolher ao acaso três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 
exatamente 2 dos 3 alunos escolhidos serem meninas? 
a) 1/2
 
b) 12/27 
c) 45/91 
d) 95/203 
e) 2/3 
 
79. (ESAF 2012/ MPOG) 
 
O porta-joias de Ana é formado por duas gavetas: a gaveta A e a gaveta B. Na gaveta A, Ana guarda 
1 colar de pérolas e 2 pulseiras de ouro. Na gaveta B, Ana guarda 2 colares de pérolas e 1 pulseira 
de ouro. Ana, ao arrumar as gavetas, retira aleatoriamente uma joia da gaveta A e a coloca na 
gaveta B, misturando-a com as joias que já estavam na gaveta B. Beatriz, amiga íntima de Ana, 
pede uma joia emprestada para ir a uma festa. Ana, com satisfação, diz para Beatriz retirar, 
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aleatoriamente, uma joia da gaveta B. Desse modo, a probabilidade de Beatriz retirar uma pulseira 
de ouro da gaveta B é igual a: 
 
a) 2/3 
b) 7/12 
c) 5/12 
d) 3/5 
e) 1/4 
 
 
80. (ESAF 2012/ MPOG) 
 
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se