Unidade IV - Movimento em Duas e Três Dimensões

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CAMPUS DE SOBRAL
CURSO DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO
Unidade IV 
Movimento em Duas e Três Dimensões
Professor: Renato de Sousa Nascimento
Disciplina: Física Geral I
Sumário
4.1. Posição e Deslocamento
4.2. Velocidade Média e Velocidade Instantânea
4.3. Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4.4. Movimento de Projéteis
4.5. Análise do Movimento de um Projétil
4.6. Movimento Circular Uniforme
4.7. Movimento Relativo em uma Dimensão
4.8. Movimento Relativo em duas Dimensões
Física Geral I
Unidade IV – Movimento em Duas e Três Dimensões
2
4.1. Posição e Deslocamento
• O vetor posição especifica a localização de uma
partícula, dado por:
Eq. 4.1
Onde são componentes vetoriais de
e x, y e z são as componentes escalares.
• Ex.:
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®
r
^^^
kji zyxr ++=
®
^^^
kej,i zyx
®
r
^^^
km)5(jm)2(im)3( ++-=
®
r
4.1. Posição e Deslocamento
• O deslocamento da partícula é dado por:
Eq. 4.2
• Na notação de vetores unitários:
Eq. 4.3
Eq. 4.4
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®®®
-=D 12 rrr
^
12
^
12
^
12 k)(j)(i)( zzyyxxr -+-+-=D
®
^^^
kji zyxr D+D+D=D
®
4.1. Posição e Deslocamento
• Exercício I: Na Figura 4-2 o vetor posição de uma
partícula é inicialmente
e depois passa a ser
Calcule Dr .
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^^^
1 km)5(jm)2(im)3( ++-=
®
r
^^^
2 km)8(jm)2(im)9( ++=
®
r
®
D r
4.1. Posição e Deslocamento
• Exercício II: Uma partícula executa um movimento
segundo as funções:
No instante t = 15 s, qual é o vetor posição em
termos de vetores unitários e na notação módulo-
ângulo?
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Física Geral I
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282,731,0 2 ++-= ttx
301,922,0 2 +-= tty
4.2. Velocidade Média e Velocidade Instantânea
• A velocidade média da partícula é dada por:
Eq. 4.5
Eq. 4.6
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t
r
v méd
D
D
=
®
®
^^^
kji
t
z
t
y
t
x
v méd
D
D
+
D
D
+
D
D
=
®
4.2. Velocidade Média e Velocidade Instantânea
• A velocidade ou velocidade instantânea da partícula
é dada por:
Eq. 4.7
Eq. 4.8
Eq. 4.9
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Física Geral I
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dt
rd
v
®
®
=
^^^
kji
dt
dz
dt
dy
dt
dx
v ++=
®
^^^
kji zyx vvvv ++=
®
4.2. Velocidade Média e Velocidade Instantânea
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Física Geral I
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4.2. Velocidade Média e Velocidade Instantânea
• Exercício III: Para o caso do Exercício II, determine a
velocidade no instante 15 s em termos dos vetores
unitários e na forma módulo-ângulo.
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4.3. Aceleração Média e Aceleração Instantânea
• A aceleração média da partícula é dada por:
Eq. 4.10
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Física Geral I
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t
vv
t
v
améd
D
-
=
D
D
=
®®®
®
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• A aceleração ou aceleração instantânea da partícula
é dada por:
Eq. 4.11
Eq. 4.12
Eq. 4.13
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dt
vd
a
®
®
=
^^^
kji
dt
dv
dt
dv
dt
dv
a zyx ++=
®
^^^
kji zyx aaaa ++=
®
4.3. Aceleração Média e Aceleração Instantânea
4.3. Aceleração Média e Aceleração Instantânea
• Exercício IV: Para o caso do Exercício II, determine a
aceleração no instante 15 s em termos dos vetores
unitários e na forma módulo-ângulo.
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Física Geral I
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4.4. Movimento de Projéteis
• Consideração:
– Uma partícula que se move em um plano vertical
com velocidade inicial vo e com uma aceleração
constante g; dirigida para baixo.
• Tal partícula recebe o nome de projétil;
• Seu movimento é chamado demovimento balístico;
• Ex.: Bola de tênis.
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0
®
v
®
g
4.4. Movimento de Projéteis
• Obs.: Despreza-se a resistência do ar no estudo.
• Ex.:
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^
0
^
00 ji yx vvv +=
®
4.4. Movimento de Projéteis
• As componentes e vo podem ser calculados por:
Eq. 4.14
• Durante o movimento bidimensional o vetor posição
e a velocidade do projétil mudam continuamente,
mas o vetor aceleração é constante;
• O projétil não possui aceleração horizontal;
• No movimento de projéteis, o movimento horizontal
e o vertical são independentes.
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)cos(|| 000 q=
®
vv x
xv0 yv0
)sen(|| 000 q=
®
vv ye
4.4. Movimento de Projéteis
• Exemplo: Duas bolas de golfe.
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4.5. Análise do Movimento de um Projétil
• Movimento Horizontal:
Eq. 4.15
Eq. 4.16
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tvxx x00 =-
tvxx )cos|(| 000 q=-
®
4.5. Análise do Movimento de um Projétil
• Movimento Vertical:
–Movimento em queda livre;
– Temosentão:
Eq. 4.17
Eq. 4.18
Eq. 4.19
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2
00 2
1
gttvyy y -=-
2
000 2
1
)sen|(| gttvyy -q=-
®
gtvvy -q=
®
00 sen||
)(2)sen|(| 0
2
00
2 yygvvy --q=
®
4.5. Análise do Movimento de um Projétil
• Equação da Trajetória:
Eq. 4.20
Obs.: Na dedução considerou-se x0 e y0 nulos.
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2
00
2
0 )cos(2
)(tan
q
q
v
gx
xy r-=
4.5. Análise do Movimento de um Projétil
• Alcance Horizontal:
– Distância horizontal percorrida pelo projétil até
voltar sua altura inicial (altura de lançamento);
– É dado por:
Eq. 4.20
– Obs.: R será máximo para θ0 = 45°.
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0
2
0 2sen q
g
v
R
r
=
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4.5. Análise do Movimento de um Projétil
• Exercício V: Na Fig. 4-9 um avião de salvamento voa a
198 km/h (=55,0 m/s), a uma altura constante de 500 m, rumo
a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio,
para deixar cair uma balsa.
a) Qual deve ser o ângulo φ da linha de visada do piloto para a
vítima no instante em que o piloto deixa a cair a bolsa?
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b) No momento em que a balsa
atinge a água, qual é a sua
velocidade em termos dos
vetores unitários e na notação
módulo-ângulo?
4.6. Movimento Circular Uniforme
• Uma partícula está em MCU se descreve uma
circunferência ou arco de circunferência com
velocidade escalar constante (uniforme);
• Aceleração centrípeta.
Eq. 4.21
Eq. 4.22
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r
v
a
2r
r
=
v
r
T r
p2
=
4.6. Movimento Circular Uniforme
Ex.: Em t1 = 2,00 s, a aceleração de uma partícula em
movimento circular no sentido anti-horário é
<6.00,4.00> m/s². Ela se move com velocidade
escalar constante. Em t2 = 5,00 s, sua aceleração é
<4.00,-6.00> m/s². Qual é o raio da trajetória da
partícula se a diferença t2 – t1 é menor que um
período? 65. 2,92 m
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4.7. Movimento Relativo em uma Dimensão
• A velocidade de uma partícula depende do
referencial de quem está observando ou medindo a
velocidade;
• Um referencial é um objeto físico ao qual fixamos
nosso sistema de coordenadas, geralmente o solo;
• A aceleração de uma partícula medida por
observadores em diferentes referenciais que se
movem com velocidade constante em relação aos
outros é sempre a mesma.
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4.7. Movimento Relativo em uma Dimensão
• Ex.:
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4.8. Movimento Relativo em duas Dimensões
• Da mesma forma, temos:
Eq. 4.23
Eq. 4.24
Eq. 4.25
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BAPBPA rrr
®®®
+=
BAPBPA vvv
®®®
+=
PBPA aa
®®
=
4.8. Movimento Relativo em duas Dimensões
Ex.: A neve está caindo verticalmente com uma
velocidade constante de 8,0 m/s. Comque ângulo,
em relação à vertical, os flocos de neve parecem
estar caindo do ponto de vista do motorista de um
carro que viaja em uma estrada plana e retilínea a
uma velocidade de 50 km/h? 75. 60°
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