Questão resolvida - A temperatura T em graus C em um ponto (x,y) de uma placa de metal aquecido é dada por - Cálculo II - UVA

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• A temperatura T em graus C em um ponto de uma placa de metal aquecido é x, y( )
dada por: , onde x e y são medidos em centímetros.T =
300
x + y + 32 2
 
a) Que direção tomar apartir do ponto a fim de que aumente mais rapidamente?-4, 3( ) T
b) Qual a velocidade de aumento de quando alguém se move a partir do ponto na T -4, 3( )
direção encontrada no item (a)?
 
Resolução:
 
a)
A direção do vetor gradiente no ponto fornece a maior taxa de variação da temperatura. O 
gradiente da função T, denotado por , é uma função vetorial dada por;𝛻T
 
𝛻T x, y = , = +( )
𝜕T
𝜕x
𝜕T
𝜕y
𝜕T
𝜕x
i
𝜕T
𝜕y
j
 
Assim, primeiro vamos encontrar as derivadas parciais de ;T
T = T = 300 x + y + 3 ;
300
x + y + 32 2
→ 2 2
-1
 
= - 1 ⋅ 300 x + y + 3 ⋅ 2x = - 600x x + y + 3 =
𝜕T
𝜕x
2 2 -1-1( ) 2 2 -2 →
𝜕T
𝜕x
-600x
x + y + 32 2
2
 
= - 1 ⋅ 300 x + y + 3 ⋅ 2y = - 600y x + y + 3 =
𝜕T
𝜕y
2 2
-1-1( )
2 2
-2
→
𝜕T
𝜕y
-600y
x + y + 32 2
2
O vetor gradiente é;
 
𝛻T x, y = +( )
-600x
x + y + 32 2
2
i
-600y
x + y + 32 2
2
j
 
𝛻T x, y = - -( )
600x
x + y + 32 2
2
i
600y
x + y + 32 2
2
j
 
 
 
No ponto, temos que o gradiente é;
 
𝛻T -4, 3 = - -( )
600 -4
-4 + 3 + 3
( )
( )2 ( )2
2
i
600 3
-4 + 3 + 3
( )
( )2 ( )2
2
j
 
𝛻T -4, 3 = - -( )
-2400
16 + 9 + 3( )2
i
1800
16 + 9 + 3( )2
j
 
𝛻T -4, 3 = - 𝛻T -4, 3 = - 𝛻T -4, 3 = -( )
2400
28( )2
i
1800
28( )2
j → ( )
2400
784
i
1800
784
j → ( )
150
49
i
225
98
j
 
𝛻T -4, 3 = - Com isso, a temperatura aumenta mais rápitamente na direção( )
150
49
i
225
98
j →
desse vetor!
 
b) A taxa máxima de aumento é dada pelo módulo de , ou seja;𝛻T -4, 3( )
 
∣ 𝛻T -4, 3 ∣= ∣ 𝛻T 2, 1 ∣=( ) + -
150
49
2
225
98
2
→ ( ) +
150
49
( )2
( )2
225
98
( )2
( )2
 
∣ 𝛻T -4, 3 ∣= = =( ) +
22500
2401
50625
9604
22500 ⋅ 4 + 50625 ⋅ 1
9604
90000 + 50625
9604
 
∣ 𝛻T -4, 3 ∣= =( )
140625
9604
140625
9604
 
∣ 𝛻T -4, 3 ∣= °C /m( )
375
98