calcnum_lista3

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Ca´lculo Nume´rico IV
Lista 3 — 2015.1
Exerc´ıcio 1
Utilizando o me´todo da eliminac¸a˜o gaussiana, resolva os sistemas lineares a seguir:
a)

2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7
x1 − x2 − 2x3 − x4 = 1
3x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 = 4
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12
b)

3x1 + 2x2 + x4 = 7
9x1 + 8x2 − 3x3 + 4x4 = 6
− 6x1 + 4x2 − 8x3 = −16
3x1 − 8x2 + 3x3 − 4x4 = 18
Exerc´ıcio 2
Considere os seguintes sistemas lineares:
a)

3x1 − 2x2 + 5x3 + x4 = 7
− 6x1 + 4x2 − 8x3 + x4 = −9
9x1 − 6x2 + 19x3 + x4 = 23
6x1 − 4x2 − 6x3 + 15x4 = 11
b)
 0, 252x1 + 0, 36x2 + 0, 12x3 = 70, 112x1 + 0, 16x2 + 0, 24x3 = 8
0, 147x1 + 0, 21x2 + 0, 25x3 = 9
c)
 x1 +
1
2 x2 +
1
3 x3 =
11
6
1
2 x1 +
1
3 x2 +
1
4 x3 =
13
12
1
3 x1 +
1
4 x2 +
1
5 x3 =
47
60
d)

x1 +
1
2 x2 +
1
3 x3 +
1
4x4 =
25
12
1
2 x1 +
1
3 x2 +
1
4 x3 +
1
5x4 =
77
60
1
3 x1 +
1
4 x2 +
1
5 x3 +
1
6x4 =
57
60
1
4 x1 +
1
5 x2 +
1
6 x3 +
1
7 x4 =
319
420
1
1. Utilizando aritme´tica exata, analise esses sistemas lineares quanto ao nu´mero de soluc¸o˜es atrave´s
da eliminac¸a˜o gaussiana.
2. Utilizando agora aritme´tica de precisa˜o finita, num sistema de ponto flutuante (β, t, L, U) =
(10, 3,−1023, 1024), analise esses sistemas lineares quanto ao nu´mero de soluc¸o˜es atrave´s da
eliminac¸a˜o gaussiana.
3. Repita o item anterior, mas agora utilizando eliminac¸a˜o gaussiana com pivotamento parcial.
Exerc´ıcio 3
Consiedere a seguinte matriz
A =
 1 1 12 1 −1
3 2 0
 .
1. Calcule a decomposic¸a˜o LU da matriz A.
2. Calcule o determinante de A.
Exerc´ıcio 4
Utilize a decomposic¸a˜o LU para resolver o sistema linear a seguir 5x1 + 2x2 + x3 = 03x1 + x2 + 4x3 = −7
x1 + x2 + 3x3 = −5
2