Atividade 04 Cálculo aplicado uma variável

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Atividade 04 
Cálculo aplicado uma variável 
01 Para resolver a integral , é necessário aplicar o método de integração por partes. Nesse caso, devemos resolver a integral por meio da fórmula: , em que uma das partes é nomeada  e a outra parte, .   Nesse sentido, faça as escolhas adequadas, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
02 Dadas as curvas  e e as retas verticais  e , é necessário verificar qual dessas funções está limitando a região superiormente. Observe a região limitada ao gráfico da figura abaixo, que serve como suporte para o cálculo da área dessa região. Nesse sentido, encontre a área proposta e assinale a alternativa correta.
 
Figura 4.2 - Região limitada pelas funções e e a reta 
03 Em relação aos métodos de integração, evidenciamos dois deles: o método por substituição de variáveis e o método de integração por partes. Ambos são aplicados com o intuito de reduzir a integral original a uma integral elementar de resolução muito simples. Para tanto, é preciso analisar e fazer a escolha adequada.
 
Nesse sentido, analise as alternativas a seguir.
 
I. A integral de  é .
II. Se é uma primitiva de .
III. Se , então sua primitiva .
IV. Se ,  então .
 
É correto o que se afirmar em:
04 O conceito de integral indefinida de uma função está associado a uma família de primitiva dessa função. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integrada. Assim, considere as funções e , contínuas e, portanto, integráveis e analise suas primitivas. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I.  é primitiva da função 
Pois:
II. .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
05 O conceito da primitiva de uma função está interligado à definição de integral indefinida, assim como ao conceito de derivada de uma função. A integral indefinida de uma função é igual a uma família de primitivas. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integrada. Assim, considere as funções e , contínuas, e analise suas derivadas ou integrais em relação à variável x. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I.  é primitiva da função .
Pois:
II. .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
06 Aplica-se o método de integração por partes para resolver a integral   . Observe que a intenção é conseguir transformá-la em uma integral que não contém a função logarítmica, pois não é uma função elementar; portanto, não consta na tabela de integração. Nesse sentido, utilize a fórmula  para resolver a integral e assinale a alternativa correta.
07 Segundo a terceira lei de Newton, quaisquer dois objetos exercem uma atração gravitacional um sobre o outro de igual valor e sentido oposto. A velocidade mínima necessária para que um objeto escape da força gravitacional da Terra é obtida da solução da equação  
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir.
 
I. Integrando-se ambos os lados da equação eq. 1 e adicionando a constante arbitrária no lado direito, obtemos .
II.  Considerando  (raio da terra) e  , obtemos a equação .
III. A velocidade pode ser escrita como  , em que C é uma constante arbitrária.
IV. Derivando-se a função velocidade, encontra-se a função espaço-tempo  
 
É correto o que se afirmar em:
08 Dada a integral indefinida , verifique que a função integrada é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada.  Nesse sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
09 Considere o gráfico da função , mostrado na figura abaixo, que servirá de suporte para resolução da questão. Verifique a região sombreada no gráfico e determine os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo x. Avalie também de que forma é possível calcular a área limitada por integração.
 
Figura 4.3 - Região limitada pela função e o eixo x
Considerando o contexto apresentado, sobre cálculo de área e integrais definidas, analise as afirmativas a seguir.
 
I. A integral definida .
II. A área hachurada no gráfico abaixo do eixo x é igual a 
III. Os pontos de interseção da curva e o eixo x são .
IV. A área limitada pela curva  e o eixo x ao 1º quadrante é igual a u.a.
 
É correto o que se afirmar em:
10 O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas e . Nesse sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e assinale a alternativa correta.
 
Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e