CÁLCULO APLICADO, UMA VARIÁVEL - ATIVIDADE 04

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Curso GRA1569 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL GR0550-212-9 -
202120.ead-17339.01
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 05/12/21 14:19
Enviado 05/12/21 14:32
Status Completada
Resultado da
tentativa
9 em 10 pontos 
Tempo decorrido 12 minutos
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Pergunta 1
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da resposta:
O conceito da primitiva de uma função está interligado à definição de integral
indefinida, assim como ao conceito de derivada de uma função. A integral
indefinida de uma função é igual a uma família de primitivas. Apenas usando
esse conceito é possível determinar a função integranda. Assim, considere as
função e , contínuas, e analise suas derivadas
ou integrais em relação à variável x. Nesse contexto, analise as asserções a
seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. é primitiva da função .
Pois:
 II. .
 
 A seguir, assinale a alternativa correta.
 
 
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, ao derivarmos a
função , temos: 
 
 Portanto, a função é primitiva da 
Pergunta 2
 Sabendo-se que a distância percorrida por uma partícula em um dado instante é
a medida sobre a trajetória descrita no movimento, o seu valor depende da
0 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
trajetória. Com essa informação, resolva a seguinte situação-problema.
 
Considere a função velocidade de uma partícula que se
desloca ao longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por
segundo e o tempo em segundos. Utilize o gráfico da figura a seguir como
suporte para ajudar na resolução da questão. Nesse contexto, analise as
asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 I. A distância percorrida da partícula do tempo inicial até é igual a
100 m.
 Pois:
 II. A distância percorrida é igual a área da região hachurada do gráfico da Figura
7.
 
 A seguir, assinale a alternativa correta.
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição
verdadeira, uma vez que a distância percorrida é igual à área dada por 
. Consequentemente, a asserção II também é verdadeira e justifica a I.
Pergunta 3
O método de substituição de variável é um método que nem sempre pode ser
aplicado para resolver integrais de funções não elementares. Para tanto, deve-
se, inicialmente, verificar se o método é aplicável e fazer a escolha para
mudança de variável convenientemente. Assim, avalie a escolha correta para
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
aplicar esse método para resolver a integral e assinale a
alternativa correta.
 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral 
por substituição de variável, fazemos a substituição: 
; portanto, 
.
Pergunta 4
Arquimedes (287-212 a. C.), inventor, engenheiro militar, médico e o maior
matemático dos tempos clássicos no mundo ocidental, descobriu que a área sob
um arco parabólico é dois terços da base vezes a altura. Além disso, o cálculo
da área também pode ser calculado por meio da integral definida.
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura a
seguir, analise as afirmativas e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s)
Falsa(s)
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 I. ( ) A área limitada pela curva e o eixo x pode ser calculada por
meio da integral , e seu valor é igual à 
 
II. ( ) A altura do arco (ver Figura) é dada por 
 
III. ( ) Segundo Arquimedes, a área do arco parabólico é igual a dois terços da
base b vezes a altura h do arco, portanto, a área é igual à 
 
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual 
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
F, V, V, F.
F, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, uma vez
que a área é igual a | . A
alternativa II é verdadeira, pois a altura do arco parabólico é dada pelo y do vértice
( ) da parábola: . Consequentemente, a alternativa
III também é verdadeira, pois, para Arquimedes, .
Finalmente, a alternativa IV é falsa, pois a área ao primeiro quadrante é igual a 
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
 
O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral
definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões
limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região limitada
simultaneamente pelas curvas e . Nesse sentido,
encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e
assinale a alternativa correta.
 
 Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e 
 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 
.
1 em 1 pontos
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta,
resolvemos a integral 
, pois, de a , a função limita superiormente e, de a ,
a função limita superiormente. A região é limitada simultaneamente por
ambas as funções. Portanto:
 
Pergunta 6
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Comentário
da resposta:
Aplica-se o método de integração por partes para resolver a integral 
 . Observe que a intenção é conseguir transformá-la em uma
integral que não contém a função logarítmica, pois não é uma função elementar;
portanto, não consta na tabela de integração. Nesse sentido, utilize a fórmula 
 para resolver a integral e assinale a alternativa
correta.
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral 
 por partes, fazemos a substituição: , e 
; portanto, por meio dafórmula: 
Pergunta 7
Considere o gráfico da função , mostrado na figura abaixo, que
servirá de suporte para resolução da questão. Verifique a região sombreada no
gráfico e determine os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo x.
Avalie também de que forma é possível calcular a área limitada por integração.
 
 Figura 4.3 - Região limitada pela função e o eixo x
 
 
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 Considerando o contexto apresentado, sobre cálculo de área e integrais
definidas, analise as afirmativas a seguir.
 
 I. A integral definida .
 
II. A área hachurada no gráfico abaixo do eixo x é igual a 
 
III. Os pontos de interseção da curva e o eixo x são .
 
IV. A área limitada pela curva e o eixo x ao 1º quadrante é igual a 
 u.a.
 
 
 É correto o que se afirma em:
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, já que 
. A alternativa II verdadeira pois, por simetria, a área abaixo do eixo x é dada por:
 
 A alternativa III é falsa, pois há interseção com o eixo x ocorre em 
. Finalmente, a alternativa IV é verdadeira, pois a área
ao primeiro quadrante é dada por: 
Pergunta 8
Dada a integral indefinida , verifique que a função
integranda é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No
entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de
variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada. Nesse sentido, resolva
a integral e assinale a alternativa correta.
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
 
 
.
 
 
.
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral 
 por substituição de variável, fazemos a
substituição: ; portanto, 
.
Pergunta9
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Comentário
da resposta:
O conceito de integral indefinida de uma função está associado a uma família de
primitiva dessa função. Apenas usando esse conceito é possível determinar a
função integranda. Assim, considere as funções e ,
contínuas e, portanto, integráveis e analise suas primitivas. Nesse contexto,
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
 I. é primitiva da função 
 Pois:
 II. .
 
 
 A seguir, assinale a alternativa correta.
 
 
As asserções I e II são proposições falsas.
 
 
As asserções I e II são proposições falsas.
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao derivarmos a função ,
temos que: , portanto, não é
primitiva da , e a afirmativa I é falsa. A afirmativa II também é falsa, pois, 
derivando-se a função 
 Consequentemente, .
Pergunta 10
Segundo a terceira lei de Newton, quaisquer dois objetos exercem uma atração
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
gravitacional um sobre o outro de igual valor e sentido oposto. A velocidade
mínima necessária para que um objeto escape da força gravitacional da Terra é
obtida da solução da equação 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir.
 
I. Integrando-se ambos os lados da equação eq. 1 e adicionando a constante
arbitrária no lado direito, obtemos .
 
II. Considerando (raio da terra) e , obtemos a equação 
 .
III. A velocidade pode ser escrita como , em que C é uma constante
arbitrária.
 IV. Derivando-se a função velocidade, encontra-se a função espaço-tempo 
 
 É correto o que se afirma em:
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A resposta está correta, devido ao fato de que a alternativa I
está correta, pois 
. A
alternativa II também é verdadeira, basta substituir as condições e 
na equação e obter , portanto, 
. A alternativa III é falsa, pois, da
equação , isolando-se temos: . A alternativa IV é
falsa, pois, derivando-se a função velocidade, obtemos a função aceleração.