Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
2012 ME-100 Fundamentos de Matemática Mauro S. de F. Marques – p. 1/39 CAPÍTULO 4 Conjuntos Numéricos msdfm – p. 2/39 4.1 Números inteiros Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como: x+ 2 = 0, 2x+ 10 = 0, 4y + 4 = 0, etc... As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0o C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos. Uma força sobre umo corpo, este reage com outra de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente. msdfm – p. 3/39 Sobre a origem dos sinais A idéia sobre os sinais vem das atividades de comercio da época. Os comerciantes da época usavam traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente da quantidade retirada de um saco de graos e dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente de quantidades acrescentada. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo. msdfm – p. 4/39 Como foi estabelecido no Capítulo 3, dados dois números naturais n em, ∀n,m ∈ N,∃k ∈ N ∋ m = n+ k ⇔ n < k. denotar k = (m− n). Note que a “notacao” (m-n) so está definida para n menor quem. A idéia estender a “operação” − para todos os números naturais o que so é possível estendendo-se (aumentando) também o conjunto N. Isto pode ser feito adicionando-se um elemento identidade (neutro) e elementos inversos para todos os naturais com relac¸a˜o a` operaa˜o +. msdfm – p. 5/39 O conjunto dos nu´meros inteiros Z a • Denote por 0 o “elemento identidade (neutro)” da soma. • Para todo número natural n, denote por −n o “elemento inverso” de n • Defina Z = N ∪ {0} ∪ N− onde N− é o conjunto dos objetos denotados por −n, para cada número natural n, isto é, N− = {−n|n ∈ N} Definic¸a˜o: Os elementos do conjunto Z são chamdos de nu´meros interios e Z de conjunto do nu´meros interios. msdfm aLetra Z por Zahlen, igual a nu´mero em alema˜o – p. 6/39 Definic¸a˜o de soma de nu´meros interios Seja + : Z× Z 7→ Z definida por: (i) ∀z ∈ Z, z + 0 = 0 + z = z. (ii) ∀k,m, n ∈ N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .} ⊂ Z ∋ m = n+ k, (a) m+ (−n) = (−n) +m = k. (b) (−m) + n = n+ (−m) = −k. (c) (−m) + (−n) = −(m+ n). Desse modo definimos de modo único a soma z1 + z2, para todo par ordenados (z1, z2) em Z× Z. Essa soma restrita a elementos de N coincide com a soma em N, em outras palavras, ela estende a soma de N. msdfm – p. 7/39 Exercı´cio: 4.1 Considere a soma + definida em Z: (i) Mostre que + é comutativa. (ii) Mostre que + é associativa. (iii) Qual é a identidade para +? (iv) Mostre que todo elemento em Z é invertível e para cada z em Z encontre o inverso de z? (v) Vale a “Lei do Corte (Cancelamento)”, isto é, z + w = u+ w ⇒ z = u. msdfm – p. 8/39 Definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de nu´meros inteiros Seja · : Z× Z 7→ Z definida por: (i) ∀z ∈ Z, z · 0 = 0 · z = 0. (ii) ∀m,n ∈ N ⊂ Z, (a) m · (−n) = (−n) ·m = −(m · n). (b) (−m) · (−n) = m · n. Desse modo definimos de modo único a soma z1 · z2, para todo par ordenados (z1, z2) em Z× Z. Essa multiplicação restrita a elementos de N coincide com a multiplicação em N, em outras palavras, ela estende a multiplicação de N. msdfm – p. 9/39 Exercı´cio: 4.2 Considere a multiplicação · definida em Z: (i) Mostre que · é comutativa. (ii) Mostre que · é associativa. (iii) Qual é a identidade para ·? (iv) Mostre que, exceto pela identidade, nenhum elemento em Z é invertível com relação a multiplicação. 4.3 Vale a “Lei do Corte”? Explique! 4.4 Mostre que: ∀x, y, z ∈ Z, x · (y + z) = (x · y) + (x · z). msdfm – p. 10/39 Exercı´cio: 4.5. O que pode ser dito sobre a operação binária, chamada subtrac¸a˜o, definida em Z por: − : Z× Z 7→ Z (z, w) z − w = z + (−w). msdfm – p. 11/39 Curiosidades com nu´meros inteiros: 12345679 x 09 = 111111111 12345679 x 18 = 222222222 12345679 x 27 = 333333333 12345679 x 36 = 444444444 12345679 x 45 = 555555555 12345679 x 54 = 666666666 12345679 x 63 = 777777777 12345679 x 72 = 888888888 12345679 x 81 = 999999999 9 x 9 + 7 = 88 9 x 98 + 6 = 888 9 x 987 + 5 = 8888 9 x 9876 + 4 = 88888 9 x 98765 + 3 = 888888 9 x 987654 + 2 = 8888888 9 x 9876543 + 1 = 88888888 9 x 98765432 + 0 = 888888888 msdfm – p. 12/39 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321 9 x 7 = 63 99 x 77 = 7623 999 x 777 = 776223 9999 x 7777 = 77762223 99999 x 77777 = 7777622223 999999 x 777777 = 777776222223 9999999 x 7777777 = 77777762222223 99999999 x 77777777 = 7777777622222223 msdfm – p. 13/39 1 x 7 + 3 = 10 14 x 7 + 2 = 100 142 x 7 + 6 = 1000 1428 x 7 + 4 = 10000 14285 x 7 + 5 = 100000 142857 x 7 + 1 = 1000000 1428571 x 7 + 3 = 10000000 14285714 x 7 + 2 = 100000000 142857142 x 7 + 6 = 1000000000 1428571428 x 7 + 4 = 10000000000 14285714285 x 7 + 5 = 100000000000 142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000 9 x 9 = 81 99 x 99 = 9801 999 x 999 = 998001 9999 x 9999 = 99980001 99999 x 99999 = 9999800001 999999 x 999999 = 999998000001 msdfm – p. 14/39 12 x 12 = 144, 21 x 21 = 441 13 x 13 = 169, 31 x 31 = 961 102x102 = 10404, 201x201 = 40401 103x103 = 10609, 301x301 = 90601 112x112 = 12544, 211x211 = 44521 122x122 = 14884, 221x221 = 48841 msdfm – p. 15/39 Ordem usual em Z: Definic¸a˜o: Sejam z e w números inteiros. Dizemos que “z e´ menor que w”,escrevemos z < w se existe um número natural n tal que z + n = w. Em outros termos z, w ∈ Z, z < w ⇔ ∃n ∈ N ∋ z + n = w. Similarmente a N, para z e w números inteiros, z ≤ w ⇔ ((z < w) ∨ (z = w)); z > w ⇔ w < z e z ≥ w ⇒ w ≤ z. msdfm – p. 16/39 4.2 Números racionais Existem várias formas para definir rigorosamente aquilo que é chamado de um nu´meros racionais. Como estas notas não tem como objetivo ser um texto em estruturas algébrica, aqui introduziremos este conceito de forma não rigorosa e resumida levando em conta a simplicidade e o objetivo do texto. Parte do rigor necessário será retomado na próxima secção. Inicialmente observemos que a proposição ∀z, w ∈ Z, ∃u ∈ Z ∋ z = w + u, é verdaderia. O mesmo não é verdade se a operação soma (+) em Z é substituida pela operação multiplicação (·) em Z. De fato, sabemos, por exemplo, que na˜o existe um número inteiro z tal que 5 = 2 · z. msdfm – p. 17/39 Temos então que a proposição ∀z, w ∈ Z,∃u ∈ Z ∋ z = w · u é falsa. Note também que, em Z, o elemento 1 é a identidade, o elemento neutro, com relação a operação multiplicação (·), ou seja ∀z ∈ Z, z · 1 = 1 · z = z mas nem todo elemento de Z é invertível com relação a operação multiplicação (·), isto é, a proposição ∀z ∈ Z,∃z′ ∈ Z ∋ z · z′ = z′ · z = 1 é falsa. msdfm – p. 18/39 Podemos intuitivamete pensar em estender o conjunto dos números inteiros Z para um conjunto Q introduzindo elementos de forma que para que: ∀r, s ∈ Q\{0},∃t ∈ Q ∋ r = s · t. Em particular ∀r ∈ Q\{0}∃r−1 ∈ Q ∋ r · r−1 = r·r = 1. O conjunto Q é chamado conjunto dos nu´meros racionais e seus elementos de nu´meros racionais. msdfm – p. 19/39 Pode ser mostrado que os números racionais podemser expressos com a “razão” de dois números inteiros. Ou seja, r ∈ Q⇔ r = p q , p, q ∈ Z, q 6= 0. Identificando z = z 1 , ∀z ∈ Z ⇒ Z ⊂ Q. Além disto, ∀r1, r2 ∈ Q, r1 = p1 q1 , r2 = p2 q2 , (i) r1 + r2 = p1q1 + p2 q2 = p1·q2+p2·q1 q1·q2 (ii) r1 · r2 = p1q1 · p2 q2 = p1·p2 q1·q2 estão bem definidas, estendem a soma e a multiplicação de Z, são comutativas e associativas. Temos também que 0 (0/1) e 1 (= 1/1) são, respectivamente, os elementos identidade da soma e da multiplicação e todo racional, exceto 0, é invertível com relação a multiplicação, a saber ∀r = p q ∈ Q, r 6= 0, r−1 = q p . msdfm – p. 20/39 3.3 Números reais A equação x · x = 2 não tem solução em Q. Isto nos motiva a prosseguir no nosso processo de extensão de estruturas numéricas mais completas. Axioma R1: Seja R um conjunto com duas operações binárias + (soma) e · (multiplicação) tal que: (i) + e · são comutativas e associativas. (ii) ∃0 ∈ R ∋, ∀x ∈ R, 0 + x = x+ 0 = x (0 é a identidade para +). (iii) ∃1 ∈ R ∋, ∀x ∈ R, 1 · x = x · 1 = x (1 é a identidade para ·). (iv) ∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R,∋ (−x) + x = x+ (−x) = 0 (todo elemento é invertível com relação a +). (v) ∀x ∈ R, x 6= 0, ∃(x−1) ≡ 1 x ∈ R,∋ (x−1) · x = x · (x−1) = 1. (exceto 0, todo elemento é invertível com relação a ·). (vi) ∀x, s, t ∈ R, x · (s+ t) = (x · s) + (x · t) (a adição é distributiva com relação a soma) msdfm – p. 21/39 Teorema 1. ∀a, b, c ∈ R, (i) a · 0 = 0. (ii) (−a) · b = −(a · b). (iii) (a 6= 0 ∧ a · b = a · c)⇒ b = c. Demonstrac¸a˜o: (i) a+ (a · 0) R1(iii) = (a · 1) + (a · 0) R1(vi) = a · (1 + 0) R1(ii) = a · 1 R1(iii) = a. Ou seja, a+ (a · 0) = a. Como o elemento identidade é único (Teorema 2.13), a · 0 = 0. msdfm– p. 22/39 (ii) ∀a, b ∈ R, 0 (i) = 0 · b R1(iv) = (a+ (−a)) · b R1(vi) = a · b+ (−a) · b. Isto é 0 = a · b+ (−a) · b. Pela unicidade do inverso −(a · b) = (−a) · b. (iii) a 6= 0 R1(v) ⇒ (∃a−1 ∋ a−1 · a = 1). a · b = a · c ⇒ a−1 · (a · b) = a−1 · (a · c) R1(i) ⇒ (a−1 · a) · b = (a−1 · a) · c R1(v) ⇒ 1 · b = 1 · c R1(iii) ⇒ b = c. c.q.d msdfm – p. 23/39 Axioma R2: Existe um subconjunto R+ de R tal que: (i) ∀a, b ∈ R+, (a+ b ∈ R+) ∧ (a · b ∈ R+). (ii) ∀a ∈ R, (a ∈ R+) ∨ (a = 0) ∨ (−a ∈ R+). Definic¸a˜o: Dados a e b em R dizemos que a é menor que b (ou b maior que a), escrevemos a < b (b > a) se e somente de b+ (−a) é um elemento de R+. Em outras palavras ∀a, b ∈ R, a < b ⇔ b+ (−a) ∈ R+. Como anteriormante, a menor ou igual a b (ou b maior ou igual a a), lemos a ≤ b (b ≥ a) significa a ≤ b ⇔ (a < b) ∨ (a = b) (b ≥ a ⇔ b > a ∨ b = a). msdfm – p. 24/39 Exercı´cio: 4.6 Mostre que: (i) (−1) · (−1) = 1. (ii) ∀a ∈ R, −a = (−1) · a (iii) ∀a, b ∈ R,−(a+ (−b)) = (−a) + b. (iv) a ∈ R+ ⇔ 0 < a. Teorema 2. (Ordem total) ∀a, b ∈ R, (a < b) ∨ (a = b) ∨ (b < a). Demonstrac¸a˜o: a 6= b⇔ a+ (−b) 6= 0 R2(ii) ⇒ (a+ (−b) ∈ R+) ∨ (−(a+ (−b)) = (−a) + b = b+ (−a) ∈ R+) ⇒ (a > b) ∨ (b > a). c.q.d msdfm – p. 25/39 Teorema 3. ∀a, b, c ∈ R, (i) a < b ⇒ a+ c < b+ c. (ii) (a < b) ∧ (0 < c) ⇒ a · c < b · c. Demonstrac¸a˜o: (i) a < b⇒ b+ (−a) ∈ R+. Por outro lado, (b+ c) + (−(a+ c)) = (b+ c) + ((−a) + (−c)) = (b+(−a))+(c+(−c)) = (b+(−a))+0 = b+(−a) ∈ R+. Logo a+ c < b+ c. msdfm – p. 26/39 (ii) Inicialmente observe que (0 = −0) ∧ (0 < c)⇒ c = c+ 0 = c+ (−0) ∈ R+ e a < b ⇒ b+ (−a) ∈ R+. Pelo Axioma R2(i), ((b+ (−a)) · c) ∈ R+, ou seja, (b+ (−a)) · c = b · c+ (−a) · c = b · c+ (−(a · c)) ∈ R+, mostrando que a · c < b · c. c.q.d msdfm – p. 27/39 Definic¸a˜o: Seja A um subconjunto de R • Dizemos que um um elemento U de R é uma cota superior para A se ∀a ∈ A ⊂ R, a ≤ U. • Dizemos que um um elemento L de R é uma cota inferior para A se ∀a ∈ A ⊂ R, L ≤ a. • Se A tem uma cota superior dizemos que A é limitado superiormente • Se A tem uma cota inferior dizemos que A é limitado inferiormente • Dizemos que é limitado se ele é limitado superiormente e inferiormente. msdfm – p. 28/39 Definic¸a˜o: Seja A ⊂ R. • Dizemos que a é o infimo de A, escrevemos a = inf(A), se 1. a é uma cota inferior para A, ou seja, ∀a ∈ A ⊂ R, a ≤ a. 2. a é a maior cota inferior para A, ou seja, L ≤ a, ∀a ∈ A ⇒ L ≤ a. • Dizemos que a é o supremo de A, escrevemos a = sup(A), se 1. a é uma cota superior para A, ou seja, ∀a ∈ A ⊂ R, a ≤ a. 2. a é a menor cota superior para A, ou seja, a ≤ U,∀a ∈ A ⇒ a ≤ U. msdfm – p. 29/39 Teorema 4. Seja A um subconjunto de R, enta˜o (i) a = sup(A) ⇔ (∀a ∈ A, a ≤ a)) ∧ (∀ǫ > 0, ∃x ∈ A, a− ǫ < x ≤ a.) (ii) a = inf(A) ⇔ (∀a ∈ A, a ≤ a) ∧ (∀ǫ > 0, ∃x ∈ A, a ≤ x < a+ ǫ. Demonstrac¸a˜o: (i) Suponhamos que a = sup(A). Claramente, ∀a ∈ A, a ≤ a. Vamos assumir que a proposição em (i) é falsa, isto é, ∃ǫ0 > 0 ∋ ∀x ∈ A, x ≤ a− ǫ0. Isto implica que a− ǫ0 é uma cota superior. Mas isto é uma contradição pois, por definição, a é a menor cota superior para A e a− ǫ0 < a. Logo a proposição em (i) é verdadeira. msdfm – p. 30/39 Tomando agora como premissas (∀a ∈ A, a ≤ a)) ∧ (∀ǫ > 0,∃x ∈ A, a− ǫ < x ≤ a), trivialmente a é uma cota superior. Por outro lado, seja U uma cota superior para A. Suponhamos que U < a. U < a⇔ 0 < a+ (−U). Seja ǫ = a+ (−U). msdfm – p. 31/39 Pela segunda premissa ∃x ∈ A, a− ǫ < x ≤ a. Logo, U = a− (a+ (−U)) = a− ǫ < x Mas U < x, x ∈ A é uma contradição, pois U é uma cota superior. Logo a é a menor cota superior, isto é, a = sup(A). (ii) Exercício msdfm – p. 32/39 Axioma R3: Se A é um subconjunto não vazio de R, limitado superiormente, então A tem uma menor cota superior em R. Esse último axioma faz com que o conjunto R não tenha “buracos” como é o caso dos racionais Q. Por exemplo, {x ∈ R : x · x < 2} é limitado superiormente, por R3 ele tem uma menor cota superior em R que denotaremos por √ 2. Já o conjunto {x ∈ Q : x · x < 2} não tem uma menor cota superior em Q (Exercício). msdfm – p. 33/39 Definic¸a˜o: A estrutura R definida pelos Aximos R1-R3 é conhecida como o conjunto dos números reais e o subconjunto R+ definido em R2 de conjunto dos reais positivos. Em R podemos definir o conceito de distância entre seus elementos. Existe distintas maneiras para definir uma distancia em R, a mais usual envolve o conceito de valor albsoluto ou modulo. Definic¸a˜o: Seja x um elemento de R o valor absoluto (ou modulo) de x, escreve-se |x|, é definido por; |x| = x se x ≥ 0 −x se x < 0 msdfm – p. 34/39 Exercı´cios: 4.7. O que pode ser dito sobre a operação binária, chamada subtrac¸a˜o, definida em R por: − : R× R 7→ R (x, y) x− y = x+ (−y). 4.8. Mostre que 1 ∈ R+ 4.9. Mostre que N ⊂ R+ 4.10. Mostre que − sup(A) = inf(−A) ∧ inf(A) = sup(−A), onde −A = {−a : a ∈ A}. msdfm – p. 35/39 4.11. Mostre que, quando definidos, ∀A,B ∈ P(R), B ⊂ A, inf(A) ≤ inf(B) ≤ sup(B) ≤ sup(A) 4.12. Seja u ∈ R. Mostre que sup{x ∈ R : x < u} = u. 4.13. Mostre que o conjunto {x ∈ Q : x · x < 3} não tem uma menor cota superior em Q. 4.14 Mostre que a seguinte proposição é verdadeira: ∀x, y, z ∈ R, (x < y) ∧ (z < 0)→ (y · z < x · z) msdfm – p. 36/39 Note que | · | é uma função: | · | : R 7−→ {0} ∪ R+. Definic¸a˜o: Dado um conjunto X, uma função d(·, · · · ) : X× X 7−→ R é chamada uma distaˆncia em X se: (i) ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0. (ii) ∀x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x). (iii) ∀x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇔ x = y. (iv) ∀x, y, z ∈ X, d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z). msdfm – p. 37/39 Proposic¸a˜o 1. Em R× R defina a seguinte func¸a˜o: d(·, · · · ) R× R 7→ R (x, y) d(x, y) = |x− y|. Enta˜o d(·, · · · ) e´ uma distaˆncia em R. Demonstrac¸a˜o:Exercício. c.q.d Definic¸a˜o: Seja x um elemento de R e ǫ um real positivo. Um conjunto da forma Nǫ(x) = {y ∈ R : d(x, y) = |x− y| < ǫ} é chamado uma vizinhanc¸a de x com ra´io ǫ. msdfm – p. 38/39 Definic¸a˜o: Dizemos que um subconjunto O de R é aberto se ∀x ∈ A,∃ǫ > 0 ∋ Nǫ(x) ⊂ A. Dizemos que um subconjunto F de R é fechado se F c é aberto. Exercı´cios: 4.15 Demonstre a Proposição 1. 4.16. Verifique que Nǫ(x) = {y ∈ R : d(x, y) = |x− y| < ǫ} = {y ∈ R : x− ǫ < y < x+ ǫ} ≡ (x− ǫ, x+ ǫ). 4.17. Verifique que (i) ∀x ∈ R, | − x| = |x|. (ii) ∀x, y ∈ R, x = y ↔ ∀ǫ > 0, |x− y| < ǫ. 4.18. Demosntre que ∅ e R são ambos abertos e fechados. msdfm – p. 39/39 small 4.1 N'umeros inteiros small 4.2 N'umeros racionais small 3.3 N'umeros reais
Compartilhar