Fascículo Física Básica III

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álgEBra linEar
FÍSICA GERAL III
FRANKLIN
(1706-1790)
Benjamin Franklin, 
nasceu em Boston, 
na Filadélfia.
Líder da revolução 
americana, é 
conhecido por 
suas citações e 
experiências com 
eletricidade.
Estudou a repulsão 
e atração de 
cargas elétricas,
introduziu o 
conceito de um 
único fluido 
elétrico e foi 
o inventor do 
pararraios. Em 15 
de junho de 1752, 
comprovou que 
o raio é apenas 
uma corrente 
elétrica de grandes 
proporções.
Maringá
2010
FÍSICA GERAL III
Editora da UnivErsidadE EstadUal dE Maringá
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E a 
 
 
Este material foi gentilmente cedido pela UEM Universidade stadual de Maringa, para o uso restrito da Licenciatura em Físic
 na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.
 
 
Maringá
2010
FoRmAção dE PRoFESSoRES Em FÍSICA - EAd
FÍSICA GERAL III
Ivair Aparecido dos Santos
 João Mura
Mauricio Antonio Custodio de Melo
12
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mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos 
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Mura, João
 Física geral III / João Mura, Maurício, Antonio Custodio Melo, Ivair Aparecido dos 
Santos. -- Maringá: Eduem, 2010. 
 144p. il. (Formação de professores em física – EAD; v.12) 
 
 ISBN: 978-85-7628-239-6 
 
 1. Física geral. I. João Mura. II. Melo, Maurício Antonio Custodio de. III. Santos, Ivair 
Aparecido dos.
 
CDD 21. ed. 530
M972f
3
Sobre os autores ................................................................................... 5
Apresentação da coleção ..................................................................... 7
Apresentação do livro ........................................................................... 9
1 Carga Elétrica .........................................................................................11
2 Campo Elétrico .................................................................................... 23
3 lei de gauss .........................................................................................31
4 potencial Elétrico ................................................................................. 39
5 Capacitência ....................................................................................... 49
6 Corrente e resistência ........................................................................ 67
7 Campo Magnético .............................................................................. 89
8 lei de ampère ....................................................................................103
9 lei de indução, de Faraday ................................................................117
10 indutância .........................................................................................133
11 referências .......................................................................................144
umárioS
5
Ivair Aparecido dos Santos
Possui graduação em Física (Licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de 
Maringá (1994). Obteve seu Mestrado em 1997 na Universidade Estadual de Campinas. Em 
2001 terminou o seu doutorado em Física na Universidade Federal de São Carlos, onde, 
na sequência, realizou um estágio de pós doutoramento. Desde 2002 é professor do 
Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá e atualmente ocupa o cargo de 
Professor Adjunto. 
João Mura
Possui graduação em Física (licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de 
Campinas (1975) e graduação em Direito pela Universidade Estadual de Maringá (1983). O prof. 
Mura obteve sua especialização em Ensino de Física Experimental (1979), mestrado (2000) e 
doutorado em Física (2005) pela Universidade Estadual de Maringá. Desde 1976 é professor do 
Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá. Atualmente ocupa o cargo de 
Professor Associado. 
Mauricio Antonio Custodio de Melo
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1987), mestrado em Físico-
Química pela Universidade Federal de Santa Catarina (1990), doutorado em Ciências Naturais 
– Física pela Technische Universität Braunschweig na Alemanha (1995) e realizou um pós-
doutorado no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1995-1997). Professor da Universidade 
Estadual de Maringá desde 1997, sendo atualmente Professor Associado. 
obre os autoresS
7
Embora	relativamente	recente	no	Brasil,	a	Educação	a	Distância	foi	imaginada	e		im-
plantada com relativo sucesso, há muito tempo em diversas partes ao redor do mundo. 
Já em 1833, na Suécia, uma publicação se referia ao ensino por correspondência, e 
poucos anos depois, na Alemanha, foi fundada a primeira escola por correspondência 
destinada	ao	ensino	de	línguas.	Com	o	advento	da	transmissão	radiofônica,	as	facilida-
des	se	tornaram	reais	e	as	trocas	de	informações	se	agilizaram	e,	consequentemente,	
a	Educação	a	Distância	experimentou	umcrescimento	signifi	cativo.	Fato	semelhante	
ocorreu	com	a	evolução	dos	setores	de	comunicação	televisiva,	e	defi	nitivamente,	a	
Educação a Distância se consolidou incorporando novas formas de comunicação.
O Ministério da Educação, através da Secretaria de Educação a Distância (SEED) 
tem promovido uma ampla difusão de vários cursos a distância, em parceria com di-
versas Instituições Públicas de Ensino Superior (IPES). O curso de Física em EAD da 
Universidade	Estadual	de	Maringá	(UEM)	foi	 implantado	com	total	apoio	desses	ór-
gãos	ofi	ciais.	Possui	disciplinas	idênticas	e	o	mesmo	conteúdo	programático	do	curso	
presencial. 
Entretanto,	 existem	 pontos	 entre	 ambos,	 que	 não	 podem	 convergir	 devido	 ao	
enfoque:	 enquanto	 o	 curso	 presencial	 requer	 uma	metodologia	 característica,	 com	
a	 relação	 professor-discente	 acontecendo	 quase	 que	 exclusivamente	 dentro	 de	 um	
espaço	físico	próprio,	o	curso	a	distância	deve	abranger	e	considerar	a	relação	espaço-
temporal	para	 efetivar	o	 aprendizado.	A	 coleção	que	ora	 apresentamos	 refl	ete	 essa	
preocupação.	Os	 volumes	 foram	escritos	por	professores	que	possuem	experiência	
sufi	ciente	para	elaborar	o	conteúdo	adequado	a	cada	disciplina	e,	de	forma	bastante	
consistente,	eleger	os	tópicos	exigidos	para	a	formação	de	um	licenciado	em	Física.	O	
leitor	perceberá	que,	mesmo	dentro	de	um	único	livro	escrito	por	diversos	autores,	
a	 linguagem	 não	 é	 uniforme	 e	 os	 enfoques	 são	 diferenciados;	 enfi	m,	 preservamos	
tanto	quanto	possível	as	particularidades	respeitando-se	as	experiências	individuais	e,	
certamente,	isso	se	refl	ete	na	apresentação	do	conteúdo	e	no	estilo	de	exposição	do	
presentação da ColeçãoA
FÍsiCa gEral iii
8
material didático. 
Adicionalmente uma parcela do corpo docente do Departamento de Física – UEM 
tem se dedicado à tarefa de produção de textos direcionados a Educação a Distância, 
os Departamentos de Matemática, de Química, de Fundamentos da Educação e de 
Informática	têm	contribuído	com	os	textos	pertinentes	às	disciplinas	que	usualmente	
ministram	na	modalidade	Presencial.	Ao	fi	nal	do	quarto	ano,	a	coleção	contará	com	
mais	de	trinta	volumes.	Esses	foram	gerados	com	o	objetivo	de	proporcionar	ao	dis-
cente da Educação a Distância um material produzido pelo empenho de um conjunto 
de	professores	que	acreditam	que	a	Educação	a	Distância	seja	uma	alternativa	para	
suprir	a	defi	ciência	de	professores	de	Física	no	ensino	médio.	Percebe-se	também	que	
não	é	a	modalidade	de	ensino	que	determina	o	aprendizado,	mas	ele	depende,	acima	
de	tudo,	do	esforço	e	da	dedicação	de	cada	um.	Esperamos	que	essa	coleção	seja	uma	
forma de tornar essa tarefa mais fácil de Física em EAD.
Sonia Maria Soares Stivari
Organizadora da Coleção
9
Física,	instrumento	para	entendimento	do	mundo	que	vivemos,	possui	uma	grande	
beleza	conceitual,	em	que	na	maioria	dos	casos	só	pode	ser	realmente	entendida	quando	
do uso do instrumental matemático. No curso de física Geral III você vai se deparar fre-
quentemente	com	operações	vetoriais,	derivadas,	integrais	de	superfície	e	de	linha	e	ou-
tros	instrumentos	matemáticos.	É	muito	importante	que		você	saiba	usar	com	destreza	o	
instrumental	matemático	para	um	bom	entendimento	dos	conceitos	aqui	apresentados.
O	eletromagnetismo	clássico	a	ser	estudado	neste	curso	pode	ser	resumido	em	qua-
tro	equações	 fundamentais.	Este	 resumo	 foi	proposto	pelo	grande	 físico	 James	Clerk	
Maxwell,	e	denominam-se	as	equações	de	Maxwell.	Elas	relacionam	os	vetores	campo	
elétrico	e	magnético	as	suas	fontes,	que	podem	ser	cargas	elétricas,	correntes	ou	campos	
variáveis	com	o	tempo.	A	partir	dessas	equações	é	possível	demonstrar	todas	as	leis	fun-
damentais	da	eletricidade	e	do	magnetismo.	As	equações	de	Maxwell	exercem	um	papel	
no	eletromagnetismo	clássico	comparável	ao	das	leis	de	Newton	na	mecânica	clássica.	
Em	principio,	qualquer	problema	clássico	de	eletromagnetismo	pode	ser	resolvido	usan-
do	as	equações	de	Maxwell,	o	que	envolve	um	tratamento	matemático	sofi	sticado.	As	
equações	de	Maxwell	são	fundamentais	também	para	o	entendimento	das	Ondas	eletro-
magnéticas,	que	têm	como	exemplo	a	luz	visível.	Nosso	objetivo	é	chegar	a	compreensão	
das	equações	de	Maxwell.	Não	se	assuste.	Para	 isso	vamos	utilizar	alguns	conceitos	 já	
conhecidos	e,	durante	o	curso,	aprofundar	os	nossos	conhecimentos	do	eletromagnetis-
mo,	e	da	própria	física.
Cada	capitulo	tem	uma	série	de	exemplos	resolvidos,	que	têm		o	intuito	de	mostrar	a	
você a aplicação dos conhecimentos estudados. Todos eles precisam analisados e refeitos 
por	você	com	muita	atenção	para	que	você	possa	assimilar	os	conceitos	ali	discutidos.
Ao	fi	nal	 de	 cada	 capitulo	 existe	um	pequeno	 conjunto	de	 Problemas.	O	Objetivo	
deste	conjunto	de	problemas	é	conduzir	o	aluno	a	uma	experiência	dirigida	de	com-
preensão	e	fi	xação	do	conteúdo	estudado.	Você,	aluno,	tem	como	tarefa	fazer	todos	os	
problemas	e,	se	possível,	com	pouco	auxilio	externo.	A	compreensão	e	fi	xação	têm	maior	
sucesso	quando	cada	um	encara	a	tarefa	proposta.
Por	fi	m,	os	autores	dedicam	esta	obra	à	memória	da	Professora	Doutora	Marlete	Apa-
recida	Zamprônio.	A	ela,	nossa	homenagem	pelo	esforço,	dedicação	e,	principalmente,	
amizade	demonstrados	nos	nossos	longos	anos	de	trabalho	e	convivência.
OS AUTORES
presentação do livroA
FÍsiCa gEral iii
10
11
Carga Elétrica1
1.1 Um pouco de história - o átomo
1.2 Carga e Matéria - processos de Eletrização
1.3 lei de Coulomb
FÍsiCa gEral iii
12
1 CARGA ELÉTRICA
1.1 Um Pouco de História – O Átomo
Nossa aventura começa na cidade de Abdera, região da Trácia, porto marítimo 
localizado na costa norte do mar Egeu, onde o lendário fi lósofo grego Leucipo, nascido 
em 500 a.C., fora morar por volta de 478 a.C. Leucipo foi discípulo de Zenon e mestre 
de Demócrito, sendo considerado o fundador da Escola de Abdera, que se notabilizou por 
estudar um dos problemas fundamentais da Filosofi a e da Ciência da época, ou seja: a 
constituição da matéria que compõe o nosso Universo. A Escola de Abdera é considerada 
a criadora da teoria atomística da matéria.
Muitas hipóteses a respeito da constituição do Universo foram formuladas. Thales 
de Mileto propunha que o elemento fundamental constituinte da matéria seria a água, 
dizendo que “tudo se compõe de água e tudo em água se dissolve”. Empédocles propôs 
a teoria de que a matéria seria constituída de quatro elementos: água, ar, fogo e terra, 
denominados de raízes, sendo constituídas de partículas que se achavam submetidas às 
forças de atração e repulsão (amor e ódio), responsáveis pela constituição e decomposição 
dos corpos, habitando, portanto, o mundo sublunar. Junto com Heráclito e Anaxágoras, 
defendia o princípio da conservação e indestrutibilidade da matéria. 
Aristóteles de Estagira viveu no século IV a.C., sendo considerado um dos maiores 
sábios da antiguidade. Discípulo de Platão, outro gigante da cultura grega, adotava a 
teoria dos quatro elementos à qual acrescentava um quinto elemento, o éter, elemento 
imaterial que não teria peso e nem leveza, além de ser eterno e imutável. Não possuiria 
movimento ascendente ou descendente e nem habitaria o mundo sublunar. Habitaria os 
espaços celestiais, sendo o símbolo da perfeição. A visão Aristotélica do éter é entendida, 
atualmente, como sendo o vácuo. No entanto, Aristóteles e seus discípulos, não aceitavam 
a teoria atomística da matéria, propondo outra teria, denominada de teoria plena da 
matéria, que dizia “ter a matéria uma estrutura perfeitamente contínua e poderia ser 
subdividida para sempre, sem limite”. A teoria plena da matéria, juntamente, com a teoria 
geocêntrica defendida por ele, perdurou por mais de 15 séculos, até serem enterradas pela 
renovação das idéias ocorrida durante a Renascença.
Leucipo e Demócrito, discípulos da Escola de Abdera, diziam que o Universo era 
constituído de duas coisas fundamentais, os átomos e o vazio, ou seja, de um agregado dematéria e de um vácuo total. Acreditavam que as diversas espécies de matéria poderiam 
ser subdivididas até atingirem um limite, além do qual nenhuma divisão seria possível. 
Epicuro, quase 100 anos depois, batizou tais partículas indivisíveis de átomos. Diziam 
também que as substâncias seriam diferentes porque seus átomos difeririam quanto à 
forma ou pela maneira que estariam agregados, podendo ser mais duros ou mais maleáveis, 
explicando nossas sensações de visão, audição, paladar, tato e olfato.
Outro discípulo da Escola de Abdera, Epicuro, nascido em Gargeta, cidade próxima 
de Atenas, no ano de 341 a.C., retomou e ampliou as terias de seus mestres sob a constituição 
do Universo, dizendo, dentre outras coisas, que: “nada vem do nada ou do que não existe, 
pois se assim não fosse, tudo nasceria de tudo sem necessitar de sementes”; “há o vácuo, 
pois se ele não existisse, criando o espaço e a extensão, não teriam os corpos um local 
para estar, nem onde se movimentar”; “o universo é infi nito pela grandeza do vácuo e 
pela quantidade dos átomos, que se movem continuamente. Quando no vácuo, os átomos 
13
Carga Elétrica
possuem igual velocidade, pois supõe que nada os detenha, nem os mais pesados correm 
mais que os mais leves, nem os menores que os maiores”; “os átomos não têm princípio 
já que eles e o vácuo são a causa de tudo. Não tem nenhuma qualidade a não ser sua 
confi guração, a grandeza e o peso”.
É importante ressaltar que a Escola de Abdera já propunha o princípio da conservação 
da matéria, a constituição da matéria por átomos, que seriam imutáveis, indivisíveis, 
impenetráveis, invisíveis, possuindo movimentos próprios, além de propor a existência 
do vácuo. Também indicava que os corpos poderiam existir como agregados de átomos ou 
por átomos simples, afi rmando ainda, que os átomos apresentavam certo peso.
Coube a Lucrécio, fi lósofo nascido em 95 a.C., difundir as idéias atomísticas da 
Escola de Abdera entre os romanos, principalmente pelo seu livro intitulado “De Rerum 
Natura”. As obras de Lucrécio foram muito difundidas na época do Renascimento, 
principalmente por Pierre Gassend, solidifi cando a teoria atomística da matéria, em 
substituição à teoria plena da matéria de Aristóteles. Coube a Proust e Dalton, no século 
XVIII d.C., ao proporem as leis das proporções constantes e múltiplas, a aceitação geral 
de que quando substâncias elementares se combinam, o fazem como entidades discretas 
ou átomos. Finalmente, a ciência aceitou a teoria atomística (corpuscular) da matéria, que 
é a teoria adotada neste livro.
1.2 Carga e Matéria - Processos de Eletrização
A eletricidade e o magnetismo são fenômenos naturais conhecidos pelo homem desde 
a antiguidade. Sabe-se que os antigos gregos, há mais de 25 séculos atrás, já conheciam a 
atração elétrica que o âmbar, quando atritado, exercia sobre pequenos pedaços de palha. 
Afi nal, o nome grego do âmbar é elektron, daí, originando-se a palavra eletricidade.
Também, a palavra magnetismo, deriva do nome de uma região localizada na 
Ásia Menor, chamada de Magnésia, onde os seus moradores conheciam uma pedra, 
a magnetita, que tinha a propriedade de atrair minério de ferro, propriedade esta 
denominada de magnetismo. A partir desse minério, os antigos chineses construíram as 
primeiras bússolas, que tiveram papel decisivo no ciclo das grandes navegações, inclusive 
no descobrimento do Brasil.
Entretanto, só a partir do século XVI da nossa era, é que os estudos da eletricidade 
e do magnetismo começaram a se desenvolver de forma sistemática, mas ainda sem que 
houvesse uma junção entre eles. Em 1820, Oersted observou uma conexão entre as duas 
ciências, quando percebeu, acidentalmente, que ao passar uma corrente elétrica por um 
fi o ocorria a defl exão do ponteiro de uma bússola que estava próxima. Esta experiência 
demonstrou que uma corrente elétrica podia gerar um campo magnético e vice-versa. 
Nascia assim uma nova ciência, o eletromagnetismo, cuja infl uência no mundo moderno 
é muito grande.
Os primeiros fenômenos de natureza elétrica conhecidos pelo homem eram de 
natureza estática, isto é, não envolviam o movimento contínuo de cargas elétricas. Por 
essa razão receberam o nome de fenômenos eletrostáticos, e serão tratados nesta parte 
do curso. 
Sabemos que a matéria é constituída por pequenas partículas chamadas de 
átomos (teoria atomística da matéria) e, posteriormente, descobriu-se que cada átomo 
é formado por uma parte central denominada de núcleo, onde se localizam os prótons 
FÍsiCa gEral iii
14
e nêutrons, e por uma parte periférica, denominada de eletrosfera, onde se encontram 
os elétrons. Atualmente, associamos aos prótons carga elétrica positiva e, aos elétrons, 
carga elétrica negativa. Os nêutrons não possuem carga elétrica. Os termos, positivo e 
negativo (convenção de sinais), foram introduzidos por Benjamin Franklin (1750), sendo 
que, anteriormente, usavam-se termos com eletricidade atrativa, eletricidade do âmbar, 
eletricidade repulsiva, etc.
O átomo é uma porção de matéria muito pequena. Seu diâmetro é da ordem de 
10-8 cm e seu núcleo é da ordem de 10-12 cm. No interior do átomo, onde não existe 
matéria, existe vácuo. É como um sistema solar em miniatura, onde não existe a massa dos 
planetas e do sol (do núcleo e dos elétrons), existe vácuo, que, aliás, é a parte dominante 
dos sistemas, tanto do átomo quanto do sistema solar. O modelo atômico com núcleo, 
proposto por Rutherford e adotado didaticamente neste livro, pode ser visualizado na 
fi gura 1 ao lado.
Na época de Franklin, a carga elétrica era imaginada como se fosse um “fl uido” 
contínuo e não discreto. Hoje, sabemos que os próprios fl uidos não são contínuos, mas 
sim discretos, pois são formados por átomos e moléculas, portanto, o “fl uido elétrico” não 
é contínuo, mas composto por múltiplos de uma determinada carga elementar, ou seja, 
qualquer carga q que pode ser observada e medida, pode ser escrita como q = n.e, onde n é 
um número inteiro positivo ou negativo e e é a carga elementar. Sempre que uma grandeza 
física, como a carga elétrica, existir apenas através de “unidades”, ao invés de aparecer de 
forma “contínua”, diz-se que essa grandeza é quantizada. 
A quantidade de carga associada a um próton é igual, em módulo, á quantidade de 
carga associada a um elétron, denominada de carga elementar, simbolizada pela letra “e”, 
sendo uma das constantes fundamentais do universo. Seu valor no Sistema Internacional 
de Unidades (SI) é igual a “1,60 x 10-19 C”, não existindo no universo, carga menor do 
que ela (quantização da carga). 
Exemplo 1 – Uma moeda de cobre (Z=29) com m = 3,11 gramas é eletricamente neutra. Qual é 
o valor da carga de cada espécie?
Solução:
Se a moeda é eletricamente neutra, ela possui igual quantidade de carga negativa e positiva 
por átomo, ou seja, cada átomo contém 29 prótons (Z = número atômico) e 29 nove elétrons. A 
moeda é composta por um número N de átomos, portanto, o módulo da carga q de cada espécie 
(positiva ou negativa) é dado por q = N.Z.e, sendo e a carga elementar (e = 1,6 x 10-19 C). Para 
saber o número de átomos que a moeda possui, deve-se usar a relação N = NA.m/A, onde NA é o 
número de Avogrado (6,02 x 1023 átomos /mol), m é a massa da moeda e A é o número de massa 
do isótopo mais estável do Cobre (A = 63,54 g/mol)1. Assim,
N = 2,95 x 1022 átomos
O valor total da carga positiva ou negativa (em módulo) é dado por,
q = 1,37. 105 C
Obs. A carga calculada é uma enorme carga elétrica, tanto negativa quanto positiva! Veja que a 
carga negativa média espalhada sobre a superfície da Terra é de, aproximadamente, 5 x 105 C. 
Na realidade, a moeda acumula uma carga desse valor em elétrons e em prótons, mas não indi-
vidualmente, sendo que a carga total da moeda é nula. Observe que pequenos corpos possuem 
imensas cargas elétricas.
1 Ver tabela periódica dos elementos químicos.
Figura 1 – Modelo 
atômico com núcleo 
central.
15
Carga Elétrica
A matéria, de uma formageral, é neutra, isto é, possui igual quantidade de carga 
positiva e negativa em seus átomos e moléculas. Se certa substância está eletrizada é 
porque a quantidade de prótons contidos nos núcleos é diferente da quantidade de elétrons 
que ela possui na periferia destes. 
A eletrização de corpos ocorre sempre com o ganho ou perda de elétrons, pois as 
forças que os prendem ao núcleo são mais fracas sobre as últimas camadas de energia 
(no caso de metais), bastando uma pequena quantidade de energia para deixá-los livres. 
Assim, se um corpo está carregado positivamente, é porque está com falta de elétrons e, 
se está carregado negativamente, é porque está com excesso de elétrons. 
Os átomos com falta ou com excesso de elétrons são denominados de íons, positivos 
ou negativos. O número de prótons no interior do núcleo atômico permanece sempre o 
mesmo. O núcleo se comporta como uma bola compacta difícil de ser fracionada.
 a) b) c)
Figura 2 – a) ion negativo, b) Átomo neutro e 
c) íons positivo. (o núcleo deste átomo é constituído de 3 protons e 3 neutrons)
A experiência mostra que ao se aproximar um corpo carregado positivamente 
de outro também positivo, eles se repelem, enquanto que, ao se aproximar um corpo 
carregado positivamente de outro corpo carregado negativamente, eles se atraem. Desta 
observação empírica, conhecida pelos povos antigos, pode-se concluir que, “cargas 
elétricas de mesmo sinal se repelem e cargas elétricas de sinais contrários se atraem” 
(Fig. 3). É importante observar que coube ao pesquisador francês Charles Du Fay (1730) 
a proposição de que a força elétrica podia ser tanto atrativa quanto repulsiva.
Figura 3 – Forças de repulsão e atração eletrostáticas 
Corpos cujos elétrons podem ser removidos com facilidade são chamados de 
condutores (Ex: metais) e os que apresentam difi culdade de remoção são denominados 
de isolantes ou dielétricos. Os intermediários são denominados de semicondutores.
Três processos de eletrização de um corpo são possíveis: eletrização por atrito; 
eletrização por contato e eletrização por indução.
FÍsiCa gEral iii
16
Quando dois corpos são atritados, pode ocorrer a passagem de elétrons de um 
corpo para outro. Observe que somente os elétrons são transferidos de um corpo a outro. 
Este processo é denominado de eletrização por atrito (Fig. 4)
Conclusão - Na eletrização por atrito, os dois corpos fi cam carregados com cargas 
iguais, porém de sinais contrários. Há a transferência de elétrons de um corpo a outro. 
O núcleo não se altera!!
Quando dois corpos são postos em contato, estando um eletrizado e outro neutro, 
pode ocorrer a passagem de elétrons do corpo eletrizado para o corpo neutro. Este é o 
processo de eletrização por contato.
Observe que as cargas em excesso do bastão carregado negativamente se repelem 
(fi cam separadas o máximo possível), e assim, algumas passam para o corpo neutro, 
carregando-o negativamente (Fig. 5).
No caso seguinte, o bastão está carregado positivamente (falta de elétrons), mas 
continua haver passagem de elétrons, só que desta vez, do corpo neutro para o corpo 
eletrizado, visto que o bastão está com falta de elétrons. No fi nal, a esfera fi ca carregada 
positivamente, pois cedeu elétrons para o bastão (Fig. 6). Um dado importante é que a 
soma das cargas dos corpos é igual antes e depois do contato, válido, também para o caso 
anterior.
Figura 6 – Eletrização por contato.
Conclusão - Na eletrização por contato, os corpos fi cam eletrizados com cargas de 
mesmo sinal.
Quando um corpo eletrizado é colocado próximo de outro neutro, pode ocorrer a 
separação dos centros de cargas no corpo neutro, que desloca seus elétrons para pontos 
mais distantes ou para pontos mais próximos do corpo carregado, dependendo do sinal 
das cargas do corpo carregado. Neste caso, não ocorre transferência de carga elétrica, 
havendo somente uma separação dos centros de carga no corpo neutro, polarizando o 
corpo. Este é o processo de eletrização por indução (Fig. 7). Separando os corpos, a 
eletrização induzida no corpo neutro terminará. 
Figura 7 – Eletrização por indução.
Figura 4
Eletrização por atrito.
Figura 5
Eletrização por contato
17
Carga Elétrica
Conclusão - Na indução eletrostática ocorre apenas uma separação entre as cargas 
positivas e negativas no corpo induzido (anteriormente neutro).
Para obter uma eletrização permanente no corpo induzido, basta ligá-lo á Terra 
(que funciona como pólo negativo), mantendo-o na presença do corpo carregado 
(indutor). Após alguns instantes, desfaz-se a ligação com a Terra, e, assim, o corpo 
induzido fi cará com um excesso de cargas. Neste caso, fi cará com um excesso de cargas 
positivas (Fig. 8). Ocorreria o contrário se o bastão estivesse carregado positivamente.
Figura 8 – Eletrização por indução – Carga permanente.
1.3 Lei de Coulomb
Esta lei se refere à intensidade das forças de atração ou de repulsão eletrostáticas 
existente entre duas cargas elétricas puntiformes (puntuais). Denomina-se carga 
puntiforme, um corpo eletricamente carregado, cuja dimensão material é desprezível 
quando comparada com as distâncias envolvidas nos fenômenos elétricos, por exemplo, 
entre as cargas elétricas ou ions. 
Como já foi explicitada anteriormente, a força é atrativa se as cargas entre os corpos 
tiverem sinais contrários e, repulsiva, se as cargas possuírem sinais iguais (Fig. 9). A Lei 
de Coulomb também é denominada de lei do inverso do quadrado da distância ou de lei 
de força central. 
Figura 9 – Forças de repulsão e atração entre cargas puntuais.
As forças sempre existem aos pares, como prediz a 3ª Lei de Newton. Entre um 
par de cargas, uma das forças é denominada de ação, enquanto que a outra é denominada 
de reação, sendo que elas possuem a mesma intensidade (módulo), agem na mesma 
direção, mas atuam em sentidos opostos. As forças de ação e reação agem em corpos 
distintos, portanto nunca se anulam. Pergunta: “de acordo com a 3ª Lei de Newton, o 
número de forças no universo é um número par ou ímpar?”.
Coulomb1, no fi nal do século XVIII, utilizando a variação do pêndulo de torção 
(balança de torção), verifi cou que:
“A força de atração ou de repulsão entre duas cargas elétricas é diretamente 
proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado 
da distância que as separa”.
FÍsiCa gEral iii
18
O enunciado é praticamente idêntico ao da Lei da Gravitação Universal de Newton, 
bastando, somente, trocar as massas dos corpos pelas cargas elétricas.
Matematicamente, o módulo da Lei de Coulomb, para o vácuo, é escrito como:
, onde
 
onde, Q e q são as cargas elétricas, d é a distância que separa seus centros e ko é uma 
constante denominada de permissividade elétrica do espaço livre (vácuo), e vale 8,85 x 
10-12 C2/N.m2. A constante eletrostática do vácuo (Constante Coulombiana), 
determinada experimentalmente, no Sistema Internacional de unidades (SI), para o vácuo 
ou para o ar seco (o valor difere muito pouco), vale:
, assim;
Assim,
Tendo várias cargas puntiformes presentes, o valor da força resultante é a soma 
vetorial das várias forças individuais, de acordo com o Princípio da Superposição.
Já foi visto em Física Geral I, que toda força é um vetor, fi cando caracterizado por 
um módulo ou intensidade (número), uma direção, um sentido e um sistema de unidades. 
Assim, as características do vetor força F são:
a- Módulo ou Intensidade: é um número que resulta da aplicação da fórmula da 
Lei de Força (Lei de Coulomb) defi nida acima.
b- Direção da força: é a direção dada pela reta que une os centros das cargas 
elétricas puntiformes.
c- Sentido da força: O sinal é positivo (+) se as cargas forem de sinais iguais, sendo 
a força de repulsão. O sentido é negativo (-) se as cargas possuírem sinais contrários, 
sendo a força de atração.
d- Sistema de Unidades: Depende do sistema de unidades que estiver sendo 
utilizado,que pode ser o SI, ou outros sistemas.
Uma visualização gráfi ca da força de interação elétrica em função da distância de 
separação entre os centros das cargas é uma curva representada por uma hipérbole.
Figura 10 – Módulo da força em relação à distância entre as cargas
19
Carga Elétrica
Exemplo 2
Qual o módulo da força eletrostática atrativa média entre o elétron e 
o próton em um átomo de Hidrogênio, cuja distância média de separação 
é igual a 5,3 x 10-11m. Compará-la com a força gravitacional entre as mesmas 
partículas. Dados: q = ± 1,6 x 10-19C; meletron= 9,11 x 10-31kg; mproton=1,67 x 10-27kg; 
Constante gravitacional G = 6,67 x 10-11m3/kg.s2; Constante eletrostática do vácuo 
Ko= 8,99 x 109 N.m2/C2. 
Solução:
A força eletrostática é dada por,
Substituindo os valores temos que o módulo da forca é,
A força gravitacional é dada por,
Substituindo os valores fi camos com,
F = 3,6 x 10-47 N
Nota-se então, que a força gravitacional é 1039 vezes menor do que a força 
eletrostática que age entre as partículas. A força gravitacional entre partículas ou 
corpos é sempre atrativa e age no sentido de agregar massa, provocando a formação de 
grandes massas cósmicas, poeiras gasosas, planetas e estrelas, situação onde as forças 
gravitacionais são enormes. No caso em questão, ela é desprezível em relação à força 
eletrostática. As forças eletrostáticas são repulsivas para cargas de mesmo sinal, donde 
se pode concluir que elas não ajudam agregar grandes cargas de mesmo sinal, visto 
agirem no sentido de separá - las o máximo possível. É por isso que temos, quase 
sempre, as duas cargas juntas, para que uma compense a outra. As quantidades de cargas 
que conhecemos no nosso dia-a-dia são bem pequenas, ao contrário das massas.
FÍsiCa gEral iii
20
Exercícios
1) Duas cargas elétricas puntiformes iguais a 5x10-6 C e 0,5x10-6 C , estão no vácuo e 
separadas por uma distância de 1 m . Calcule a intensidade das forças entre elas. As forças 
são de repulsão ou de atração?
2) Duas cargas elétricas puntiformes Q= 2x10-6 C e q= -1x10-6 C, estão no vácuo. a) A 
força entre elas é de atração ou de repulsão. b) Calcular a intensidade da força entre elas 
em 11cm, 20cm, 30cm e 40cm. c)Usando os pontos calculados, faça um esboço do gráfi co.
3) Um corpo eletrizado possui uma carga de 6,4 μC (μ=10-6). Quantos elétrons estão 
faltando no corpo?
4) Quantos elétrons devemos fornecer a um corpo inicialmente neutro para eletrizá-lo 
com uma carga de 4,8 μC (μ=10-6)?
5) Três cargas elétricas positivas iguais a 5 nC (n=10-9) ocupam os vértices de um triângulo 
retângulo, cujos catetos medem 5 cm. Calcule a força resultante que atua sobre a carga 
colocada no ângulo reto do triângulo.
6) Duas pequenas esferas condutoras de mesmo raio, no vácuo, cada uma com massa igual a 
1 g, estão suspensas de um mesmo ponto por fi os leves e isolantes de 1 m de comprimento. 
Eletrizadas com cargas iguais verifi ca-se que elas se repelem permanecendo em equilíbrio 
a 0,1 mm uma da outra. Determine a carga de cada esfera, tomando g=10 m/s2.
7) Três cargas +q , -q e +6q (q= 2 x 10-6 C) estão dispostas numa linha separadas por 10 
cm (+q e –q) e 40 cm (-q e +6q), Determine a intensidade da força resultante sobre a carga 
–q.
21
Carga Elétrica
Anotações
FÍsiCa gEral iii
22
Anotações
23
Campo Elétrico2
2.1 Campo Elétrico - linhas de Força para Cargas em repouso
2.2 linhas de Força de 
FÍsiCa gEral iii
24
2 CAMPO ELÉTRICO
2.1 Campo Elétrico – Linhas de Força para Cargas em Repouso
Uma carga elétrica cria ao seu redor uma perturbação que altera as propriedades 
elétricas do espaço em sua volta. Uma outra carga , chamada de carga de prova, quando 
colocada no espaço perturbado, “sente” ou “percebe” a presença da primeira carga pela 
ação de uma força que atua sobre ela, atraindo-a ou repulsando-a, dependendo dos sinais 
das cargas envolvidas na interação. Neste sentido, diz-se que há um Campo Elétrico E, 
produzido pela carga na região, atuando sobre a carga de prova (parte a da fi gura 1). 
É um campo vetorial que atua em todas as direções do espaço nas vizinhanças da carga 
que o produz. 
Obviamente que a carga de prova também cria um Campo Elétrico em sua 
volta, que também atuará sobre a carga (parte b da fi gura). Assim, adotando a Teoria dos 
Campos para explicar os fenômenos elétricos, existe uma interação entre os dois campos 
elétricos criados pelas cargas elétricas, que são quantifi cados pelas forças que atuam nas 
cargas de forma recíproca, de acordo com a 3ª Lei de Newton. Se uma das forças for 
chamada de Ação, a outra será denominada de Reação, e vice-versa. É por isso que se diz 
que as forças na natureza sempre aparecem aos pares.
Figura 1 – Campo elétrico criado pelas cargas elétricas
O campo elétrico desempenha o papel de transmissor da interação (das forças) entre 
as cargas. Podemos expressar esta afi rmação pela relação seguinte:
A palavra interação signifi ca que sempre existem duas forças agindo de forma 
independente, mas interligadas pelas ações dos dois campos elétricos presentes. É 
necessário fi car claro que as forças não agem sobre uma mesma carga, caso isso ocorresse, 
a resultante das forças seria zero e nunca teríamos qualquer movimento (velocidade nula). 
Na tabela 1 estão registrados alguns valores aproximados do modulo de campos 
elétricos comuns. 
25
Campo Elétrico
Campo E [N/C]
Dentro de um fi o de cobre dos circuitos domésticos 10-2
Nas ondas de rádio 10-1
Na atmosfera 102
Na luz solar 103
Próximo a um pente de plástico carregado 103
Em uma nuvem de tempestade 104
No cilindro carregado de uma copiadora 105
Num tubo de raios X 106
No elétron de um átomo de hidrogênio 6 x 1011
Na superfície de um átomo de urânio 2 x 1021
Tabela 1: Alguns campos elétricos (valores aproximados)
O valor do campo elétrico presente num certo ponto do espaço, produzido por um 
corpo carregado ou por uma simples carga e, “sentido” por uma carga de prova q1, é 
representado pelo vetor , cujo módulo, matematicamente, é dado por:
Exemplo 1
Quando um elétron é colocado em um campo elétrico 510 10 /E N C= ×

, qual a força 
que age sobre ele?
Solução: 
( )
5
19
1
1
101,6 10 10F NE F q E C
q C
−  = → = = − × × 
 

  
141,6 10F N−= − ×

Assim, como para as forças, os campos também obedecem ao Princípio da 
Superposição, que diz: se tivermos “n” cargas presentes, elas devem interagir de forma 
independente, sendo que o campo resultante sobre certa carga, será a soma vetorial dos 
campos produzidos pelas outras cargas sobre ela. Por exemplo, o módulo do campo 
resultante sobre a carga de prova q1 devido à presença de “n” cargas, será dado por:
onde, por exemplo, é o valor do campo elétrico que age na carga q1 devido à presença 
da carga q3, e assim por diante.
O módulo do campo elétrico produzido pela carga Q, num certo ponto do espaço 
distante d de uma carga de prova q, é dado por:
(Lei de Coulomb para uma carga)
 
sendo que, a direção do campo é a da linha radial a partir da carga Q, apontando para fora 
se a carga Q for positiva, ou apontando para dentro, se a carga Q for negativa. A partir da 
equação anterior podemos reescrever a Lei de Coulomb (em módulo) de outra maneira, 
ou seja,
 
FÍsiCa gEral iii
26
Exemplo 2
Quando uma carga de prova de 2nC é colocada num certo ponto do espaço, sofre uma 
forca de 4x10-4N na direção x. Qual o campo elétrico neste ponto.
Como , o campo resultante sobre a 
carga de prova q1 devido à presença de “n” cargas, puntiformes se calcula pela soma 
vetorial dos campos das cargas tomadas separadamente:
onde é a distância d da carga q1 até a carga Qi, e é um vetor unitário na direção que 
liga as duas cargas q1 e Qi.
Exemplo 3
Uma carga +q e uma carga –q estão 
dispostas conforme a fi gura abaixo. 
a) calcular o campo elétrico num ponto 
arbitrário do eixo x. 
Solução: 
Temos que estudar o problema em três regiões diferentes: x > a,-a <x < a e x <-a.
Para x > a: O campo elétrico é dado pela somatória do campo da carga positiva e da 
carga negativa. A dis tância d da carga positiva para um ponto x qualquer é x - a e a 
distância d da carga negativa é x + a, então, 
Quando x >> a, podemos desprezar diante de no denominador, portanto,
 Para x < -a: A distância d da carga positiva para um ponto x qualquer é x + a e a 
distância d da carga negativa é x - a. A contribuição da carga positiva tem a direção 
negativa, e a contribuição da carga negativa tem direção positiva, portanto o campo 
elétrico é dado por:
A equação acima é idêntica ao do caso anterior, a menos do sinal negativo, portanto
27
Campo Elétrico
 
Da mesma forma, para quando x <<- a, temos,
O campo elétrico é sempre positivo para x < -a
Para -a < x < a: entre as cargas a contribuição de cada termo tem a direção negativa, 
portanto,
O campo elétrico para -a < x < a é sempre negativo. Quando x = 0 o campo elétrico 
 é igual a .
Abaixo um esboço do gráfi co de campo elétrico em função da posição x, para as três 
regiões.
Um sistema de duas cargas puntiformes de valor q e -q , separadas por uma pequena 
distância L, é um dipolo elétrico (fi gura 2a). A intensidade e a orientação do dipolo elétrico 
se descrevem pelo momento de dipolo elétrico (o vetor aponta da carga negativa para 
a positiva), cujo o modulo é . O campo elétrico nos pontos sobre o eixo do dipolo, 
a uma grande distância x das cargas (ver exemplo 1), tem direção coincidente com a do 
momento de dipolo e é dado por: 
Algumas moléculas têm momento de dipolo permanente, em virtude de distribuição 
inomogênea das cargas elétricas (fi gura 2b). Exemplo é a molécula de água, que é constituído 
de dois íons de hidrogênio positivo de carga combinado com um íon de oxigênio de 
carga . Estas moléculas em um campo elétrico externo uniforme têm a força resultante 
nula sobre o dipolo elétrico, porém o torque sobre o dipolo não é nulo , de 
modo que o momento de dipolo gira no sentido do campo . Se o momento de dipolo 
estiver perpendicular ao campo magnético, a energia potencial do dipolo é . Os 
fornos de microondas aproveitem-se do momento de dipolo das moléculas para provocar 
o cozimento dos alimentos. Como todas as ondas eletromagnéticas, as microondas têm 
um campo elétrico oscilante que provoca a vibração dos dipolos elétricos.
Figura 2 – a) dipolo 
elétrico separadas por 
uma distância L. b)
Molécula de H2O com 
momento de dipolo 
permanente. 
FÍsiCa gEral iii
28
2.2 Linhas de Força de 
 Para uma visão e percepção mais fácil do campo elétrico E, Michael Faraday 
(1791-1867) introduziu o conceito de Linhas de Força do vetor campo elétrico, 
atualmente, usada somente de forma qualitativa. Assim, quando a carga geradora do 
campo for positiva, o sentido do vetor campo elétrico é radial e saindo da carga (sentido 
de afastamento), como é visto na fi gura 3.
Figura 3 – Campo elétrico criado por uma carga puntiforme positiva
Se a carga criadora do campo for negativa, o sentido do vetor campo elétrico é 
radial, mas entrando na carga (sentido de aproximação). Se, numa região do espaço existir 
duas cargas elétricas, uma positiva e outra negativa (dipolo elétrico), as linhas de força do 
vetor campo elétrico tem a visualização, da fi gura 4.
Exercícios
1) Determine o valor do campo elétrico criado por uma carga puntiforme igual a 4μC, no 
vácuo, num ponto localizado a 40 cm dela.
2) Num ponto situado a uma distância “x” de uma carga de 10 μC, o campo elétrico vale 
9x105 N/C. Determine o valor de “x”.
3) Determine as características do vetor campo elétrico criado por uma carga puntiforme 
igual a 8μC (no vácuo) em um ponto a 10 cm de distância dela. Se naquele ponto estiver 
uma outra carga igual a 2μC, dê as características da força que atua na carga menor.
4) Duas cargas puntiformes iguais a 40 μC e -50μC estão separadas por 50 cm uma da outra. 
Determine a intensidade do vetor campo elétrico num ponto a meia distância entre elas.
5) Nos vértices de um quadrado de lado igual a 10 cm, colocam-se 4 cargas de mesmo 
módulo, sendo que nos vértices superiores colocam-se cargas +q e nos vértices inferiores 
cargas –q. Determine a intensidade do vetor campo elétrico no centro do quadrado.
6) Duas placas paralelas metálicas, eletrizadas com cargas iguais e de sinais contrários, 
estão colocadas no vácuo a 10 cm uma da outra. O campo elétrico produzido por elas 
vale 6 . 10 7 N/C. Uma carga de prova puntiforme positiva igual a 2μC e massa igual a 
5 x 10-6 kg, é abandonada na placa positiva, Supondo desprezível a força gravitacional 
sobre a carga de prova, determine: a)- força elétrica constante atuante sobre a carga; b)- 
a aceleração adquirida por ela; c)- a velocidade com que atinge a placa negativa; d)- o 
tempo gasto para ir de uma placa a outra. Comentar a trajetória real da carga.
7) Determinar a energia potencial de um dipolo elétrico perpendicular a um campo 
elétrico .
8) Desenhe as linhas de força do Campo Elétrico para duas cargas positivas iguais, para 
duas cargas negativas iguais e para duas cargas iguais, mas de sinais contrários, colocadas 
no vácuo e a certa distância entre elas.
Figura 4 – Linhas de 
força do campo elétrico 
existente entre duas 
cargas pontuais de sinais 
opostos.
29
Campo Elétrico
Anotações
FÍsiCa gEral iii
30
Anotações
31
Lei de Gauss3
3.1 lei de gauss - superfície gaussiana
FÍsiCa gEral iii
32
3 LEI DE GAUSS
3.1 Lei de Gauss – Superfícies Gaussiana
Na Física, sempre podemos tirar vantagens da situação de simetria entre os corpos. 
A simetria se refere à forma como a massa de um corpo está distribuída no seu volume, ou, 
no caso de cargas elétricas, como elas estão distribuídas no espaço. Um corpo altamente 
simétrico, por exemplo, é a esfera ou uma elipsóide.
A Lei de Coulomb é a principal lei da Eletrostática, podendo ser usada em qualquer 
problema onde haja alto ou baixo grau de simetria, em especial, ela é bastante utilizada 
em problemas com baixo grau de simetria entre as cargas distribuídas num corpo. Quando 
o grau de simetria for alto, é vantajoso utilizar a Lei de Gauss, que é uma nova forma 
de expressar a Lei de Coulomb, porque a aplicação da lei facilita muito a resolução 
de problemas de eletrostática. A Lei de Gauss é uma das quatro leis fundamentais 
do eletromagnetismo estabelecidas por Maxwell, daí sua importância no estudo do 
eletromagnetismo e da óptica.
A Lei de Gauss (assim como a Lei de Coulomb) estabelece a relação entre a carga 
elétrica e o campo elétrico criado pela carga numa certa região do espaço simétrico, 
sendo uma outra maneira de resolver problemas de eletrostática com alta simetria.
A questão central da Lei de Gauss é uma hipotética superfície fechada (uma 
envoltória) que engloba o corpo carregado, denominada de “superfície gaussiana”. 
Ela pode ter o formato que se deseja, mas será útil se o formato for compatível com a 
simetria do problema a ser resolvido. Ela pode ser uma superfície esférica, uma elipsóide, 
uma superfície cilíndrica ou qualquer outra forma simétrica, porém deve ser sempre uma 
superfície fechada de modo a separar os pontos que estão em seu interior dos pontos que 
estão em seu exterior. 
Se os vetores do campo elétrico forem uniformes em módulo e apontarem 
radialmente para fora, pode-se concluir que existe dentro da superfície uma distribuição 
total de carga positiva e com simétrica esférica. Neste caso, a superfície gaussiana é 
esférica (simetria esférica).
De um modo geral, pode-se dizer que:
“A Lei de Gauss nos diz como o campo elétrico encontrado na superfície gaussiana 
está relacionado com as cargas contidas em seu interior”. 
Antes de conceituarmos a Lei de Gauss, vamos introduzir um novo conceito, 
intimamente relacionado com a Lei de Gauss, denominado de fl uxo de um campo vetorial, 
símbolo Φ. É um conceito que se aplica a qualquer campo vetorial, e em especial, ao 
campo elétrico. Ele é uma grande escalar, resultante do produto escalar entre dois vetores.Figura 2 – (a) Uma superfície plana (área A) imersa num campo uniforme. 
(b) Superfície inclinada em relação ao fl uxo do campo.
Figura 1 – Campo 
elétrico e superfície 
Gaussiana em sua volta.
33
lei de gauss
Para defi nir o fl uxo do campo elétrico Φ, vamos considerar uma superfície gaussiana 
qualquer imersa num campo elétrico, que pode ser uniforme ou não. Vamos dividir esta 
superfície em quadrados muito pequenos, cada um com uma área , sufi ciente pequena 
para poder ser considerada como área plana. Para cada área, associamos um vetor , 
com módulo igual ao valor da área, mas com direção perpendicular à área e voltado para 
fora da superfície gaussiana (fi gura 2a). Devido a área de cada quadradinho ser muito 
pequena, podemos considerar que o vetor campo elétrico em cada uma deles tenha um 
valor igual em módulo e também seja constante para todos os pontos desta área pequena.
Os vetores , e , que caracterizam cada quadrado fazem entre si um ângulo θ, 
que pode variar de 0 a 180 graus, dependendo da posição do quadrado sobre a superfície 
gaussiana (fi gura 2b), de tal forma que o produto escalar será dado por:
Podemos defi nir o fl uxo do campo elétrico Φ como sendo o número de linhas de 
força do campo elétrico que atravessa uma superfície gaussiana, e que, para uma dada 
superfície fechada, pode ser negativo, positivo ou nulo, dependendo do ângulo entre o 
vetor campo elétrico e o vetor associado à área do quadrado pertinente. Matematicamente, 
temos que:
 
A somatória implica que devemos somar uma a uma as contribuições em cada 
quadradinho, o que é muito trabalhoso. Uma maneira exata de se fazer a somatória é fazer 
a área dos quadradinhos cada vez menor, aproximando-as do limite diferencial . Assim 
fazendo, substitui-se a somatória por uma integral sobre toda a superfície, tal que:
 
 
(1)
Uma vez defi nido o fl uxo do campo elétrico que atravessa uma superfície fechada, 
estamos aptos a escrever a lei de Gauss. O fl uxo resultante produzido pela carga interna 
 que atravessa uma superfície gaussiana é dado por,
Fazendo uso da equação do fl uxo (1) fi camos com:
(Lei de Gauss)
onde, representa a carga total envolvida pela superfície (contida dentro da superfície). 
As cargas que porventura estiverem fora da superfície gaussiana não serão consideradas 
no cálculo, mas o valor do campo vetorial é o valor do campo resultante de todas as 
cargas presentes, tanto no interior como no exterior da superfície fechada. A lei de Gauss é 
aplicada para cargas que se encontram no vácuo, mas também vale para cargas localizadas 
no ar.
Exemplo 1 - Simetria esférica. Se a Lei de Gauss e a Lei de Coulomb são equivalentes, 
é possível partir de uma delas e chegar à outra, considerando as simetrias do problema. 
No exemplo que segue, vamos partir da Lei de Gauss e chegar à Lei de Coulomb fazendo 
uso da uma superfície gaussiana esférica em torno de uma carga puntual (fi gura 
3). Dividindo a superfície da área esférica em pequenos quadradinhos (área elementar 
dA) e sabendo que em cada área elementar o vetor campo elétrico é perpendicular (campo 
radial) a ela, então, o produto escalar entre o vetor campo elétrico e o vetor associado a 
cada área é sempre igual a , pois o ângulo entre os vetores é 
igual a zero graus. 
Na fi gura 3, a superfície gaussiana circunda a carga positiva (carga interna) com 
raio d. Como a carga está no centro da superfície, o campo elétrico é normal à mesma e 
Figura 3 – Campo de uma 
carga puntual positiva e 
superfície gaussiana de 
raio r. Força sobre uma 
carga de prova q’.
FÍsiCa gEral iii
34
seu valor é constante em qualquer ponto da superfície. Apesar da representação estar no 
plano (duas dimensões), deve-se ter em mente que a superfície gaussiana é tridimensional. 
Assim, aplicando a Lei de Gauss temos,
Como o vetor campo elétrico tem sempre o mesmo valar em cada ponto da superfície 
gaussiana (mesmo valor em cada área elementar), pode-se retirá-lo da integral, assim,
A integral é, simplesmente, a área da superfície gaussiana esférica de ra io d 
(Área=4πd2), de modo que a equação anterior fi ca,
Esta equação permite calcular o campo elétrico Er produzido pela carga q numa 
região distante d do centro da carga. Pela Lei de Coulomb, o módulo da força de repulsão 
exercida pela carga q sobre uma determinada carga de prova q’>0 (no vácuo), localizada 
na sua vizinhança (distância d) é dada por,
Exemplo 2 - Simetria plana. A fi gura ao lado mostra a seção de um plano não condutor, 
fi no e infi nito, carregado com uma densidade superfi cial uniforme de cargas σ (C/m2). Uma 
fi na chapa de plástico, carregada uniformemente por fricção, é uma boa representante para 
o exemplo. O objetivo é encontrar o campo elétrico nas proximidades (a uma distância r 
do mesmo). Como o plano está carregado positivamente, o vetor campo elétrico deve ser 
perpendicular ao plano e saindo dele e, ainda mais, deve ter o mesmo valor numérico em 
pontos situados em lados opostos e equidistante, mesma direção, mas sentidos contrários. 
Uma superfície gaussiana apropriada ao caso (que refl ete a simetria do sistema), é um 
cilindro fechado, cada lado com área A, equidistante, e altura 2r, com eixo perpendicular 
ao plano, atravessando-o (altura igual em ambos os lados). 
Observando a fi gura, é possível perceber que o campo E é paralelo às superfícies 
curvas do cilindro, mas perpendicular às suas bases, onde associamos um vetor infi nitésimo 
 em cada uma delas. Nas partes curvas, o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor 
 é igual a 90°, portanto, não há fl uxo atravessando as partes curvas (lado). Só há fl uxo 
saindo das bases do cilindro, assim, pela Lei de Gauss, temos
Como , o campo elétrico é paralelo à (
 e o campo elétrico é constante na base, então, 
A carga , portanto,
Figura 4 – Superfície 
gaussiana cilíndrica 
atravessando o plano de 
cargas.
35
lei de gauss
Como a distância do plano ao ponto calculado (distância d), não aparece na equação 
acima, conclui-se que o campo possui valor único em qualquer ponto, sendo, portanto, 
um campo uniforme em toda parte. Como exemplo, calcule o campo em pontos dentro 
de um sistema constituído por duas placas paralelas carregadas com a mesma densidade 
superfi cial de cargas, mas de sinais contrários (capacitor de placas paralelas).
Exemplo 3 - Condutores em equilíbrio eletrostático. Um bom condutor elétrico, como 
o cobre, a prata, o ouro, o alumínio (metais de uma forma geral), contém inúmeras cargas 
elétricas (elétrons) que não estão presas a nenhum átomo, sendo, portanto, elétrons livres 
que podem se mover dentro do corpo metálico. Se nenhum movimento de carga ocorrer 
dentro do corpo, diz-se que o corpo está em equilíbrio eletrostático. Cada carga livre 
é uma partícula em equilíbrio, portanto, a resultante das forças sobre ela é nula. Para 
um condutor isolado (que não esteja aterrado) em equilíbrio eletrostático, as seguintes 
propriedades são verifi cadas:
a)- O campo elétrico é nulo em qualquer ponto de seu interior;
b)- Se ele tiver uma carga líquida (elétrons livres), a carga em excesso fi cará 
localizada totalmente em sua superfície externa;
c)- O campo elétrico em seu exterior (da face externa para fora) é perpendicular à 
sua superfície e tem uma magnitude igual a E = σ/εo (Lei de Gauss) em cada ponto;
d)- Se o condutor tiver formato irregular, a densidade de carga σ (carga por unidade 
de área) será máxima nos locais onde é mínimo o raio de curvatura da superfície do corpo 
(ponto P) e mínima nas regiões mais lisas (ponto R), propriedade denominada de poder 
das pontas (ver para-raio)
Como exercício, para verifi car as propriedades acima, o aluno deverá pesquisar 
em textos próprios, procurando entendê-las e demonstrá-las. Procure calcular, também, o 
campo elétrico médio sobre a superfície terrestre. 
Exercícios
1) Seja o campo elétrico uniforme . a) Qual o fl uxo deste campo através de 
um quadrado de 1m de lado num plano yz? Qual é o fl uxo através do mesmoquadrado 
cuja normal faz um ângulo de 30o com o eixo dos x?
2) Uma carga de 5µC está 10 cm acima do centro de um quadrado cuja lado tem 50cm. 
Calcular o fl uxo do campo através do quadrado (sugestão: não integre).
3) Considere uma esfera condutora de raio igual a 20 cm. Ela está carregada com carga 
igual a 4 . 10-8 C. Calcule o campo elétrico em pontos no interior da esfera e num ponto a 
40 cm do seu centro. 
4) Considere uma esfera maciça uniformemente carregada com carga Q e de raio R. 
Calcule o campo elétrico em pontos no interior e no exterior da esfera. 
5) Explicar por que o campo elétrico no interior de uma esfera maciça uniformemente 
carregada cresce com r e não diminui com 1/r2, no interior da esfera.
6) Determinar, usando a lei de Gauss, o campo elétrico a uma distância r de um fi o 
infi nito, uniformemente carregado. (sugestão: utilize uma superfície cilíndrica circular, de 
comprimento L e raio r, coaxial ao fi o) 
7) Se o fl uxo liquido através de uma superfície fechada for nulo, o campo elétrico E é 
nulo em qualquer ponto da superfície? O que pode se concluir sobre a carga no interior 
da superfície fechada?
Figura 5 – Corpo com 
formato irregular. Campo 
elétrico e poder das 
pontas.
FÍsiCa gEral iii
36
Anotações
37
lei de gauss
Anotações
FÍsiCa gEral iii
38
Anotações
39
Potencial Elétrico4
4.1 potencial Elétrico - Energia pontencial Elétrica
FÍsiCa gEral iii
40
4 POTENCIAL ELÉTRICO
4.1 Potencial Elétrico - Energia Potencial Elétrica
Antes de conceituarmos a energia potencial elétrica, faremos uma distinção entre 
forças conservativas e não conservativas. As forças são os agentes que realizam 
trabalho sobre os corpos (vale a pena revisar o conceito de trabalho tratado no capitulo 
6 do livro de Física Geral I). A força é conservativa se for nulo o trabalho realizado por 
ela sobre uma carga ou partícula que descreve um circuito fechado (ciclo). Se o trabalho 
não for nulo, a força não é conservativa. Também, uma força é dita conservativa se o 
trabalho realizado por ela sobre uma partícula ou carga que se desloca entre dois pontos 
num campo, depender somente destes pontos e não da trajetória em si. Se depender da 
trajetória, ela é uma força não conservativa. Exemplo de forças conservativas: força 
gravitacional, força elétrica, força elástica. Os vários tipos de atrito são exemplos típicos 
de forças não conservativas.
A força elétrica que age sobre uma partícula carregada, devido a um campo elétrico, é 
uma força conservativa, ou seja, o trabalho realizado por ela ao deslocar uma carga de 
um ponto a outro do campo só depende destes pontos e não do caminho percorrido pela 
carga.
Energia potencial é uma forma de energia armazenada em um campo, 
independentemente do tipo de campo (gravitacional, elétrico), portanto, a energia 
potencial elétrica, símbolo U, é uma forma de energia armazenada no campo elétrico. 
Vamos supor que uma determinada carga de prova qo>0 (cuja carga por ser muito pequena, 
praticamente não infl uencia o Campo Elétrico existente no local) esteja se movimentando 
em um campo elétrico, desde um ponto inicial i até um ponto fi nal f. Pode-se defi nir a 
diferença de energia potencial elétrica como
 “A diferença de energia potencial elétrica de uma carga de prova, entre dois pontos 
(inicial e fi nal) de uma trajetória, é igual ao valor negativo do trabalho realizado 
pelo campo elétrico sobre a carga durante seu movimento, independentemente da 
trajetória percorrida”.
Matematicamente podemos escrever que
f i ifU U U W∆ = − = −
onde, Wif é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova entre os pontos 
especifi cados. A fi gura 1 ilustra o enunciado acima
Na fi gura 2, a carga de prova q’ é movimentada ao longo do eixo y, partindo do 
ponto a (início = ya) até o ponto b (fi nal = yb) ao longo de uma trajetória que está na mesma 
direção e sentido do campo elétrico E. Neste caso, há um decréscimo da energia potencial 
porque, quando se desloca uma carga positiva na direção o campo, há a realização de um 
trabalho positivo sobre a carga e assim a energia potencial diminui.
 fU < iU ifW→ > 0 
Também é possível deslocar uma carga de prova no sentido contrário ao vetor 
campo elétrico (deslocamento da posição ya para a posição yb). Nesta nova situação, há um 
incremento na energia potencial quando uma carga positiva se move em sentido contrário 
ao campo elétrico E, pois o campo realiza um trabalho negativo sobre ela, e assim, a 
energia potencial aumenta.
Obs. Se a carga de prova for negativa, a situação se inverte em termos da energia 
potencial e trabalho.
Assim, pode-se dizer que “a variação na energia potencial elétrica (ΔU), quando a 
Figura 1 – Força 
eletrostática (F = qoE) 
atua sobre uma carga 
de prova submetida a 
um campo elétrico E 
uniforme dirigido para 
baixo.
41
potencial Elétrico
carga se movimenta entre os pontos de um campo elétrico, é igual em magnitude, mas de 
sinal contrário, ao trabalho feito pelo campo sobre ela (-Wif)”. 
Se escolhermos, arbitrariamente, a localização da carga de prova no infi nito (ponto 
muito distante das outras cargas), podemos atribuir o valor da Ui = 0, assim, podemos 
escrever que 
 ∞−= WU 
Nesta situação podemos dizer que “a energia potencial U de uma carga-teste em 
um ponto qualquer, é igual ao valor negativo do trabalho W∞ realizado sobre a carga pelo 
campo elétrico para trazê-la do infi nito até a posição em questão”. É importante que haja 
a escolha do ponto inicial como um ponto de referência padrão.
O potencial elétrico, tensão ou voltagem, símbolo “V”, é defi nido como sendo a 
variação da energia potencial elétrica por unidade de carga, tendo um único valor para 
qualquer ponto do campo, independentemente do valor da carga-teste utilizado para 
prová-lo. 
Defi nimos a diferença de potencial elétrico (ddp) “ΔV”, entre dois pontos quaisquer 
de um campo de forças como sendo igual a
 / ′ ′∆ = ∆ ⋅⋅⋅ ⇒⇒ ∆ = ∆U q V U q V (1)
Assim, a diferença de potencial elétrico, é escrito como:
 ( )′∆ = − = − ⋅⋅⋅ ⇒⇒ = − −
′
if
f i i f f i
W
V V V W q V V
q
O trabalho “Wif” realizado pela força elétrica sobre a carga de prova positiva, no 
seu movimento desde o ponto “i” até o ponto “f”, pode ser positivo, negativo ou nulo, 
correspondendo no ponto fi nal “f” a um potencial maior, menor ou igual ao potencial no 
ponto “i”, como consequência do sinal negativo do trabalho. Quando o ponto inicial “i” 
estiver sufi cientemente afastado (no infi nito), podemos arbitrar um valor nulo para seu 
potencial (V∞ = 0), de tal forma que fi camos com:
 
∞
∞ ′= − = ⇒⇒ = − = −′ ′

W UV W q V U
q q
Uma forma simplifi cada de relacionar o trabalho realizado por uma força elétrica 
(quando se desloca uma carga de prova desde um ponto inicial “A” até um ponto fi nal 
”B”) com a diferença de potencial entre os pontos, é dada por
 ( ) ( )AB A B B AW q V V q V V= − = − − (2)
A diferença de potencial elétrico (ddp) mede o desnível de potencial elétrico entre 
dois pontos de um circuito ou de superfícies equipotenciais de uma carga.
Para calcular o trabalho realizado pela força elétrica quando desloca uma carga-
teste de um ponto inicial até um ponto fi nal, numa região onde existe um campo elétrico 
(uniforme ou não), deve-se somar (integrar) todos os trabalhos elementares feitos pela 
força ao longo de cada intervalo infi nitesimal em que foi subdividida a trajetória realizada 
pela carga, conforme mostra a fi gura 2.
O trabalho realizado é dado por
 sdEqsdFW
f
i
f
ifi
⋅=⋅= ∫∫ 0 
A integral acima é denominada de integral de linha sendo o produto entre o campo E 
e o elemento de linha ds um produto escalar. Assim, para o ponto inicial no infi nito (Vi=0), 
o potencial será dado por
 sdEVf
i
⋅−= ∫ (3)
Figura 2 – Deslocamento da 
carga de prova no sentido 
do campo elétrico. Trabalho 
positivo. Decréscimo na 
energia potencial.
FÍsiCa gEral iii
42
A equação anterior permite calcular o potencial elétrico a partir de um campo 
elétrico conhecido, ou seja, conhecendo-se o campo elétrico numa certa região do espaço, 
podemos calcular o potencial elétrico entre dois pontos quaisquer do campo. No Sistema 
Internacional de Unidades (SI), a diferença de potencial elétrico (ddp) ou voltagem é 
medida em Joule/Coulomb, que por ser tão frequente, foi-lhe dado uma unidade especial 
chamada de Volt, símbolo V. Assim,
1 Volt = 1 Joule/Coulomb→→ 1 V = 1 J/C
Como consequência, o campo elétrico também pode ter a unidade de medida dada por,
1 N/C= 1 V/m
Vamos considerar duas cargas separadas por uma grande distância e mantidas fi xas 
em suas posições. Para juntá-las até uma determinada posição, será necessário realizar um 
trabalho, ou seja, “alguém” gastou energia para juntá-las. Esta energia gasta pelo agente 
externo (força externa), ou seja, o trabalho realizado pela força externa, fi cará acumulado 
como energia potencial elétrica “U” no sistema de duas cargas. Assim, podemos escrever 
que,
1 2
.
0 12
1( )
4πε
⋅
= =ext
q qU W f
r
onde r12 é a distância entre os centros das cargas.
Entendido dessa forma e para várias cargas puntiformes, pode-se dizer que, 
“a energia potencial elétrica de um sistema de cargas puntuais fi xas é equivalente ao 
trabalho que deve ser realizado por um agente externo para reunir o sistema, trazendo 
cada carga desde o infi nito até a posição desejada”.
Nesse caso, o potencial total deve ser calculado utilizando-se o princípio da 
superposição, isto é, calcula-se o potencial de cada carga separadamente no ponto de 
desejado (referência), e depois se soma algebricamente todos os potenciais calculados 
individualmente.
Exemplo 1
Três cargas são mantidas fi xas nos vértice de um triângulo isósceles, separadas por uma 
distância d, conforme fi gura 3. Calcule a energia potencial elétrica da confi guração.
Solução: 
A energia potencial resultante é a soma da energia de cada par na confi guração dada, 
assim, 
12 13 23RU U U U= + +
( )( ) ( )( ) ( )( ) 24 2 4 21 10
4 4R o o
q q q q q q qU
d d d dπε πε
 + − + + − +
= + + = 
 
Supondo d = 12 cm e q = 150 ηC, a energia potencial resultante da confi guração vale,
17RU mJ= −
Obs. O fato da energia potencial ser negativa quer dizer que será preciso realizar um 
trabalho negativo para trazer as três cargas fi xas e no infi nito até a separação d. Por 
outro lado, signifi ca, também, que um agente externo (força externa) deve realizar um 
trabalho positivo de 17 mJ para desfazer a confi guração dada.
Podemos também calcular o campo elétrico a partir do potencial elétrico. 
Conhecendo-se o potencial elétrico em todos os pontos vizinhos de um conjunto de cargas 
elétricas, podemos traçar uma família de superfícies que possuem o mesmo potencial 
V em todos os seus pontos, chamadas de superfícies equipotenciais. As linhas de força 
do campo elétrico produzido pelo conjunto de cargas são sempre perpendiculares às 
Figura 3 – Três cargas 
puntuais fi xas nos 
vértices de um triângulo 
isósceles.
43
potencial Elétrico
superfícies equipotenciais em cada ponto e descrevem como o campo varia de uma 
posição à outra, conforme pode ser visualizado pela fi gura 4.
De acordo com a fi gura, o campo elétrico é perpendicular à superfície equipotencial 
que passa pelo ponto P. O deslocamento que a carga faz entre duas superfícies vale ds e faz 
um ângulo θ com a direção do campo E. O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre 
a carga de prova enquanto ela se move ao longo da trajetória entre as duas superfícies 
equipotenciais é dado pela equação 1, ou seja, W = - qodV, onde dV é a diferença de 
potencial entre as duas superfícies em questão. Também, o trabalho pode ser calculado 
pela equação 2, isto é, W = qoE(cosθ)ds, já resolvido o produto escalar, considerando 
o deslocamento infi nitesimal ds e a forma diferencial das equações. Igualando as duas 
equações para o trabalho, temos,
0 (cos )oq dV q E dsθ− =
Assim fi camos com
cos dVE
ds
θ = −
onde Ecosθ = Es é a componente do campo na direção do deslocamento. Considerando a 
variação de V somente na direção do deslocamento, podemos escrever a derivada parcial 
do campo, ou seja, 
s
VEs ∂
∂
−=
A equação acima é o inverso da equação 3, quando fazemos V inicial igual a zero 
(infi nito) e diz, matematicamente, que “a taxa de variação do potencial em função da 
distância, observada em qualquer direção, é igual à componente do campo E naquela 
direção, com o sinal inverso”. Utilizando os eixos ortogonais XYZ e conhecendo a função 
V(x,y,z), podemos obter as três componentes do campo em qualquer ponto, através das 
derivadas parciais. 
Vamos utilizar a equação 3 para determinar o valor do potencial elétrico num 
ponto P, a uma distância radial r de uma carga positiva isolada. Para tal, vamos supor que 
uma carga de prova qo seja trazida do infi nito até o ponto P ao longo da linha radial que 
une a carga positiva ao ponto P. Num determinado instante a carga de prova encontra-
se a uma distância r’ da carga positiva. O campo elétrico é radial e aponta para fora 
(sentido crescente de r’), conforme pode ser visualizados pelas linhas de força, mas o 
deslocamento da carga-teste tem sentido contrário ao campo (sentido decrescente de r’). 
Assim, rdsd ′−= (fi g. 5).
Figura 5 – Carga de prova trazida do infi nito até o ponto P. 
Campo criado pela carga positiva.
 Temos então que
( )(cos180 )( )E d s E dr Edr′ ′⋅ = ° − =
 
Figura 4 - Superfícies 
equipotencias de um 
campo elétrico não uni-
forme. Deslocamento da 
carga de prova entre duas 
superfícies equipoten-
ciais.
FÍsiCa gEral iii
44
Substituindo na equação 3 fi camos com
f r
i
V E d s Edr
∞
′= − ⋅ = −∫ ∫
 
O campo elétrico da carga positiva em r’ é dado pela equação 
2
1
4 o
qE
rπε
=
′
Assim, o potencial fi ca,
2
1 1
4 4
rr
o o
q qV dr
r rπε πε ∞∞
 ′= − = − − ′ ′ ∫
ou 
0
1
4
qV
rπε
=
 
(4)
Obs. O sinal do potencial é o mesmo da carga que cria o campo. Se quisermos 
determinar a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer próximos de uma carga 
puntual isolada, aplica-se a equação 4 para cada um dos pontos e depois subtrair um 
potência do outro.
Exemplo 2
Qual deve ser o valor de uma carga puntual positiva isolada, para que o potencial V, a 
15 cm dela, seja igual a +120 Volts.
Solucao:
Pela equação 4 temos,
0(4 )q V rπε=
Substituindo os valores, fi camos com
q = 2,0 x 10-9 C.
45
potencial ElétricoExercícios
1) Uma vaca encontra-se próxima a uma árvore (fi gura abaixo) que é atingida por um raio. 
Durante um curto intervalo de tempo, acumula-se na base da árvore uma carga elétrica de 
1,0 μC. Considere K = 9 x 109 (Nm2/C2). Determine:
a) o potencial elétrico gerado pela descarga na região da pata dianteira da vaca (A) e na 
região da pata traseira do animal (B);
b) a ddp entre as duas regiões;
c) a mínima distância da pata dianteira da vaca à árvore, admitindo-se que o animal resiste, 
no máximo, a uma ddp de 300 V, para não sofrer danos biológicos.
Figura 7– Distâncias das patas a árvore para o problema em questão.
2) A ddp entre uma nuvem e a Terra é da ordem de 1,2 x 109 Volts. Qual é a variação de 
energia potencial de um elétron nesta descarga elétrica?
3) Um relâmpago típico tem uma ddp da ordem de 1 bilhão de Volts e a quantidade de 
carga transferida é de cerca de 30 C. Pergunta-se: a)- Qual é a energia potencial liberada na 
descarga? b)- Se toda a energia liberada fosse utilizada para acelerar um carro de 1000 kg 
de massa, que partiu do repouso, qual seria a velocidade fi nal do carro? c)- Que quantidade 
de gelo a 0 oC, seria possível derreter se toda a energia liberada fosse utilizada para tal fi m? 
Dados: O calor latente defusão do gelo vale 3,3 x 105 J/Kg.
4) Grande parte do material contido nos anéis de Saturno tem a forma de minúsculas 
partículas de poeira cósmica cujos raios são da ordem de 1μm. Tais grãozinhos estão 
numa região que contém gás ionizado diluído e adquirem elétrons em excesso devido ao 
contato com o gás. Se o potencial elétrico na superfície de um certo grão é de cerca de – 
400 Voltes, quantos elétrons são adquiridos por ele?
5) Dois prótons existentes no núcleo de um átomo de U238 estão separados por uma 
distância de 6,0 x 10-15 m. Calcule o valor da energia potencial elétrica relacionada á força 
repulsiva entre eles, sabendo-se que a carga do próton é de 1,6 x 10-19 C.
6) No KCl, a distância entre os átomos é de 2,80x10-10m. Calcular a energia necessária 
para separar os íons K+ e Cl- até uma distancia infi nitamente grande. Dar a resposta em 
eV. (1 eV = 1,602x10-19J)
7) Três cargas pontuais são mantidas fi xas nos vértices de um triângulo isóscele de lado 
igual a d = 12 cm. As cargas são q1= +q ; q2 = -4q e q3 = +2q, sendo q = 150 nC. Calcule 
a energia potencial elétrica da confi guração.
8) O potencial elétrico numa certa região é dada por V(x) = ax2 + b, Calcular o vetor 
campo elétrico nesta região. 
9) O campo elétrico é Ex = 6x3 N/C. Calcule a diferença de potencial entre x=1m e x=2m.
FÍsiCa gEral iii
46
Anotações
47
potencial Elétrico
Anotações
FÍsiCa gEral iii
48
Anotações
49
Capacitância5
5.1 introdução
5.2 Capacitância
5.3 Capacitores
5.4 Energia potencial Eletrostática
5.5 armazenamento de Energia Elétrica
5.6 Combinação de Capacitores
5.7 dielétricos
FÍsiCa gEral iii
50
5 CAPACITÂNCIA 
5.1 Introdução
Podemos aumentar a energia potencial do sistema, elevando um peso até uma 
altura h, esticando uma mola ou comprimindo um gás. De forma análoga, quando uma 
carga é posta num condutor isolado, a energia potencial do mesmo aumenta. A razão 
entre a carga e o potencial é a capacitância do condutor. A partir disso podemos construir 
um dispositivo para “acumular” um campo elétrico e também carga. Este dispositivo 
é chamado de capacitor. O primeiro capacitor foi a garrafa de Leyden, inventado por 
Mushenbroeck e Cuneus no século XVIII, que constituía um frasco de vidro revestido 
interna e externamente por folhas de ouro (ver fi gura 1). Funcionou tão bem que o 
experimentador levou um choque que o derrubou. Benjamin Franklin percebeu que 
um capacitor não necessariamente tinha que ter a forma de uma garrafa, mas podia ser 
simplesmente um vidro de janela com as faces recobertas por folhas metálicas. No natal 
de 1750, usando um conjunto de garrafas de Leyden, Franklin tentou matar um peru com 
a descarga elétrica, mas recebeu um poderoso choque que o derrubou. Depois de refeito, 
comentou: “Tentei matar um peru, mas quase consegui matar um pato”.
Capacitores microscópicos formam a memória DRAM (dynamic random Access 
memory), que são usadas em computadores. Na eletrônica é comum o uso de capacitores. 
Capacitores médios são usados em fl ash de máquinas digitais e em desfi libradores. 
Banco de capacitores podem gerar potências de 1014 W. A fi gura 2 mostra alguns tipos de 
capacitores que são usados em circuitos elétricos.
5.2 Capacitância
O potencial de um condutor fi nito, isolado, com a carga é proporcional a 
esta carga e depende do tamanho e da forma do condutor. O potencial para um condutor 
esférico de raio R com carga é:
A razão entre a carga Q e o potencial de um condutor isolado é a capacitância C:
A capacitância é a medida da capacidade de um condutor armazenar carga para 
uma diferença de potencial. Como o potencial é sempre proporcional à carga, a razão 
entre e é sempre igual para um determinado condutor. Para um condutor esférico, 
a capacitância é 
A unidade de capacitância no Sistema Internacional (SI) é farad (F), que é 
coulomb por volt. O Farad é geralmente muito grande e assim usa-se subunidades como 
µF = 10-6 F ou nF = 10-9 F.
Figura 1 - Garrafa de 
Leyden, observe que 
a garrafa é revestida 
externamente (A) e 
internamente (B) por 
uma folhas metálicas não 
conectadas.
Figura 2 - Capacitores 
que normalmente são 
encontrados em circuitos 
eletrônicos.
51
Capacitância
Exemplo 1
Se numa esfera de capacitância CA a carga inicial for duplicada, qual o novo valor da 
capacitância?
Solução: 
Como , e substituindo a diferença de potencial , temos que para uma esfera
Que independe da carga. Se a carga for duplicada, a diferença de voltagem será dividida 
por 2. Portanto, a capacitância CA não será alterada.
5.3 Capacitores
Um sistema de dois condutores com cargas iguais e opostas é um capacitor. 
Frequentemente o capacitor é carregado pela transferência de uma carga de um para 
outro condutor, de modo que um deles fi ca com a carga e o outro com a carga . 
Para determinar a capacitância de um capacitor, temos que conhecer bem a sua 
geometria. Primeiramente temos que determinar o campo elétrico entre os dois condutores. 
O campo elétrico relaciona-se com a carga Q dos condutores pela lei de Gauss:
Para facilitar os cálculos, escolheremos uma superfície de gaussiana em que o 
campo elétrico seja constante e que e sejam paralelos em toda a superfície. 
Assim,
Depois de determinar o campo elétrico E, podemos calcular a diferença de 
potencial V entre os dois condutores. A diferença de potencial entre os condutores é 
relacionada ao campo elétrico E por:
onde a integral é calculada ao longo de qualquer trajetória que inicie em um condutor 
e termine no outro. Escolheremos uma trajetória que acompanhe uma linha de campo 
elétrico que vai do condutor positivo até o condutor negativo. Nesta trajetória, os vetores 
 e estão apontados na mesma direção. 
Usaremos este plano descrito para determinar a seguir a capacitância de capacitores 
de placas paralelas, capacitores cilíndrico e capacitores esféricos.
FÍsiCa gEral iii
52
5.3.1 Capacitor de placas planas paralelas
Figura 3
Um capacitor bastante comum é o de placas paralelas, que tem duas placas 
condutoras montadas paralelamente uma à outra. Vamos supor que as placas deste 
capacitor sejam tão largas e estejam tão próximas uma da outra que podemos ignorar a 
distorção do campo elétrico nas bordas. Assim, podemos tomar o campo elétrico E como 
uniforme entre as placas. Na fi gura 3 temos uma superfície gaussiana que engloba a carga 
Q da placa positiva. Usando a lei de Gauss, temos,
onde A é a área da placa. Como:
Como já discutimos o campo elétrico E é uniforme entre as placas e pode ser 
removido da integral. A integração é de 0 até d.
Portanto, temos que e , e assim podemos escrever que 
A capacitância C é defi nida por , consequentemente para um capacitor de 
placas paralelas,
Esta equação mostra que a capacitância não depende de Q e V e que só depende 
dos fatores geométricos, particularmente, da área A e da separação d das placas.
 Um bom exemplo de capacitores paralelos e planos são os teclados de computadores 
e outros instrumentos, que são constituídos de duas placas metálicas, conforme mostrado 
na fi gura 4. A placa a, a qual está colada a tecla, pode mover-se e a placa b é fi xa. Ao 
ser pressionada a tecla, diminui a separação entre as duas placas e portanto aumenta a 
capacitância do capacitor. O circuito do computador é então disparado para registrar e 
processar o sinal.
Figura 4 - Teclado 
capacitivo
53
Capacitância
Exemplo 2
Um capacitor de placas planas e paralelas tem placas circulares com o raio de 10 cm 
e separadas por 0,1 mm. a) qual a capacitância do capacitor? b) Se o capacitor for 
carregado a 12V, qual a quantidade de carga no capacitor? 
Solução:
a) A capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas é:
( )( )2
0
8,85 0,1
2780 2,780
0,0001
pF m
A mC pF nF
d m
π
ε
  × 
 = = = =
b) ( )( ) 92,789 12 33,36 10 33,33Q CV nF V C nC−= = = × = 
5.3.2 Capacitor Cilíndrico
Figura 5
Um capacitor cilíndrico é constituído por um cilindro ou um cabo metálico de 
pequeno raio montado coaxialmente