Analise matemática Volume II

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03/02/2021 Analise matemática. Volume II
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Página 1
The Zakon Series on Mathematical Analysis
Conceitos Básicos de Matemática
Análise Matemática I
Análise Matemática II
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The Zakon Series on Mathematical Analysis
Matemático
Análise
Volume II
Elias Zakon
Universidade de Windsor
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The Trillia Group West Lafayette, IN
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Análise Matemática II
c 1977 Elias Zakon
c 2009 Bradley J. Lucier e Tamara Zakon
O Capítulo 6 é distribuído sob Creative Commons Atribuição 3.0 Não Adaptada (CC BY 3.0)
licença possibilitada pelo financiamento da Fundação Saylor para ser incorporada
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Os capítulos 7 a 9 são distribuídos sob a atribuição Creative Commons - Não comercial -
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Os termos completos da licença estão em: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode.
Se você quiser mais direitos para este trabalho (por exemplo, direitos de publicação comercial ou incluindo
partes deste trabalho em outro trabalho, etc.), entre em contato com o editor.
Publicado por The Trillia Group, West Lafayette, Indiana, EUA
ISBN 978-1-931705-03-8
Publicado pela primeira vez: 18 de dezembro de 2009. Esta versão lançada: 11 de maio de 2017.
Datilógrafo Técnico: Betty Gick. Editor de cópia: John Spiegelman. Logo: Miriam Bogdanic.
A frase “The Trillia Group” e o logotipo do Trillia Group são marcas registradas da The Trillia
Grupo e não pode ser usado sem permissão.
Este livro foi preparado por Bradley J. Lucier e Tamara Zakon a partir de um manuscrito
preparado por Elias Zakon. Pretendemos corrigir e atualizar este trabalho conforme necessário. Se você notar
quaisquer erros neste trabalho, envie um e-mail para lucier@math.purdue.edu e eles serão
corrigido em uma versão posterior.
Página 5
Conteúdo ∗
Prefácio ix
Sobre o autor XI
Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados 1
1. Derivados Direcionais e Parciais ................................... 1
Problemas em derivados direcionais e parciais .................... 6
2. Mapas Lineares e Funcionais. Matrizes ............................... 7
Problemas em Mapas Lineares e Matrizes ........................... 14
3. Funções Diferenciáveis ............................................. 16
Problemas em funções diferenciáveis .............................. 25
4. A regra da cadeia. A Regra Invariante de Cauchy ........................ 28
Problemas adicionais em funções diferenciáveis ...................... 33
5. Diferenciação repetida. Teorema de Taylor ......................... 35
Problemas de Diferenciação Repetida e Expansões de Taylor ... 44
6. Determinantes. Jacobianos. Operadores Lineares Bijetivos ................ 47
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Problemas em Mapas Lineares Bijetivos e Jacobianos ................. 55
7. Funções inversas e implícitas. Mapas abertos e fechados .............. 57
Problemas em funções inversas e implícitas,
Mapas Abertos e Fechados ........................................... 67
8. Categorias Baire. Mais em Mapas Lineares ............................. 70
Problemas em categorias de Baire e mapas lineares .................... 76
9. Extrema local. Máximos e mínimos ................................ 79
Problemas no Maxima e no Minima ................................. 84
10. Mais sobre diferenciação implícita. Extrema condicional ............... 87
Problemas adicionais no Maxima e Minima ........................ 94
Capítulo 7. Volume e Medida 97
1. Mais sobre intervalos em E n . Semirings de conjuntos .......................... 97
Problemas em intervalos e semirings ............................. 104
2. C σ -Sets. Aditividade contável. Série Permutável ................... 104
Problemas em C σ -Sets, σ-Additivity, e Permutable Series ........ 112
∗ As seções “com estrela” podem ser omitidas por iniciantes.
Página 6
vi Conteúdo
3. Mais sobre famílias de conjuntos ............................................ ... 115
Problemas em famílias de conjuntos ........................................ 121
4. Definir funções. Aditividade. Continuidade .............................. 124
Problemas em definir funções ....................................... 133
5. Funções de conjunto não negativas. Pré-medidas. Medidas Externas ........... 136
Problemas em pré-medidas e tópicos relacionados .................... 141
6. Meça os espaços. Mais sobre medidas externas .......................... 147
Problemas em medidas e medidas externas ...................... 155
7. Topologias. Conjuntos de Borel. Borel Measures ............................. 160
Problemas em topologias, conjuntos de Borel e medidas regulares ....... 165
8. Medida de Lebesgue .............................................. .... 168
Problemas na Medida de Lebesgue .................................. 172
9. Medidas de Lebesgue-Stieltjes ........................................ 176
Problemasnas medidas de Lebesgue-Stieltjes ........................ 178
10. Vitali Coverings .............................................. ...... 180
Problemas em coberturas Vitali .................................... 190
11. Medidas generalizadas. Continuidade absoluta ......................... 194
Problemas em medidas generalizadas ............................... 206
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12. Diferenciação de Funções Definidas ..................................... 210
Problemas na diferenciação de funções de conjunto ..................... 215
Capítulo 8. Funções Mensuráveis. Integração 217
1. Funções Elementares e Mensuráveis .............................. 217
Problemas em funções mensuráveis e elementares em (S, M) .... 222
2. Mensurabilidade de funções reais estendidas .......................... 224
Problemas adicionais em funções mensuráveis em (S, M) ............ 229
3. Funções mensuráveis em (S, M, m) ................................. 231
Problemas em funções mensuráveis em (S, M, m) .................. 238
4. Integração de funções elementares ................................ 241
Problemas na Integração de Funções Elementares ................ 248
5. Integração de funções reais estendidas ............................. 251
Problemas na integração de funções reais estendidas ............. 265
6. Funções integráveis. Teoremas de Convergência ....................... 267
Problemas em Teoremas de Integrabilidade e Convergência ............ 277
7. Integração de funções complexas e com valor vetorial ............... 283
Problemas na integração de funções complexas e com valor vetorial 291
8. Medidas do produto. Integrais Iterados ............................... 293
Problemas nas Medidas do Produto e Teoremas de Fubini ............. 302
Página 7
Conteúdo vii
9. Integração de Riemann. Stieltjes Integrals ............................ 306
Problemas em Integrais de Riemann e Stieltjes ..................... 319
10. Integração em Espaços de Medida Generalizada .......................... 323
Problemas na integração generalizada ............................. 333
11. Teorema Radon-Nikodym. Decomposição de Lebesgue ........... 336
Problemas em derivados de Radon-Nikodym e
Decomposição de Lebesgue ......................................... 344
12. Integração e Diferenciação ..................................... 345
Problemas de diferenciação e tópicos relacionados .................. 354
Capítulo 9. Cálculo usando a teoria de Lebesgue 357
1. L-integrais e antiderivados ..................................... 357
Problemas em L-integrais e antiderivados ...................... 367
2. Mais sobre L-Integrais e Continuidade Absoluta ....................... 372
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Problemas em L-Integrais e Continuidade Absoluta ................ 384
3. Integrais impróprios (Cauchy) ....................................... 387
Problemas em Integrais de Cauchy .................................... 397
4. Convergência de Integrais Parametrizados e Funções ............... 402
Problemas de convergência uniforme de funções e C-integrais. 412
Índice 417
Página 8Página 9
Prefácio
Este é um texto polivalente. Quando tirado na íntegra, incluindo o segundo "com estrela"
ções, é um curso de graduação que cobre a diferenciação em espaços normados e
integração no que diz respeito a medidas complexas e vetoriais. O com estrela
seções podem ser omitidas sem perda de continuidade, no entanto, para um júnior ou
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curso sênior. Também se tem a opção de limitar tudo a E n , ou tomar Riemann
integração antes da teoria de Lebesgue (nós a chamamos de “abordagem limitada”). o
as provas e definições são escolhidas de forma que sejam tão simples no caso geral
como nos casos mais especiais. Em suma, as idéias básicas da teoria da medida
são fornecidos no Capítulo 7, §§1 e 2. Não é necessário muito mais para o "limitado
abordagem."
No Capítulo 6 (Diferenciação), nos esforçamos para apresentar um moderno
teoria, sem perder o contato com a terminologia e notação clássicas.
(Caso contrário, o aluno é incapaz de ler textos clássicos após ter sido
ensinou a teoria moderna "elegante".) É por isso que preferimos definir derivados
como na análise clássica, ou seja, como números ou vetores, não como mapeamentos lineares. o
os últimos são usados para definir uma versão moderna dos diferenciais.
No Capítulo 9, destacamos os tópicos de cálculo (por exemplo, integrais impróprios)
que são mais bem tratados no contexto da teoria de Lebesgue.
Nosso princípio é manter a exposição mais geral sempre que o geral
caso pode ser tratado tão simplesmente quanto os especiais (o grau do desejado
especialização é deixada para o instrutor). Muitas vezes, isso ainda simplifica as coisas -
por exemplo, ao considerar espaços normados em vez de apenas E n , evita-se
técnicas complicadas de coordenadas. Isso também torna o texto mais flexível.
Notas do editor
As passagens de texto em azul são hiperlinks para outras partes do texto.
Várias anotações são usadas ao longo deste livro:
∗ Este símbolo marca o material que pode ser omitido na primeira leitura.
⇒ Este símbolo assinala exercícios de particular importância.
Página 10Página 11
Sobre o autor
Elias Zakon nasceu na Rússia sob o czar em 1908, e foi varrido
junto com a turbulência dos grandes eventos da Europa do século XX.
Zakon estudou matemática e direito na Alemanha e na Polônia, e mais tarde ele
ingressou no escritório de advocacia de seu pai na Polônia. Fugindo da aproximação do alemão
03/02/2021 Analise matemática. Volume II
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Exército em 1941, ele levou sua família para Barnaul, na Sibéria, onde, com o resto dea população, eles suportaram cinco anos de dificuldades. O Instituto de Leningrado de
A tecnologia também foi evacuada para Barnaul após o cerco de Leningrado, e
lá Zakon conheceu o matemático IP Natanson; com o incentivo de Natanson-
agement, Zakon retomou seus estudos e pesquisas em matemática.
Zakon e sua família passaram os anos de 1946 a 1949 em um campo de refugiados
em Salzburgo, Áustria, onde aprendeu hebraico sozinho, um dos seis ou sete
línguas nas quais ele se tornou fluente. Em 1949, ele levou sua família para a nova
criou o estado de Israel e lecionou no Technion em Haifa até 1956. Em
Israel publicou seus primeiros artigos de pesquisa em lógica e análise.
Ao longo de sua vida, Zakon manteve o amor pela música, arte, política, história,
direito, e especialmente xadrez; foi em Israel que ele alcançou o posto de xadrez
mestre.
Em 1956, Zakon mudou-se para o Canadá. Como bolsista de pesquisa na Universidade de
Toronto, ele trabalhou com Abraham Robinson. Em 1957, ele se juntou ao matemat-
o corpo docente da Universidade de Windsor, onde os primeiros diplomas no recém
O programa de honras estabelecido em matemática foi concedido em 1960. Enquanto
em Windsor, ele continuou publicando seus resultados de pesquisa em lógica e análise.
Nesta era pós-McCarthy, ele costumava ter como hóspede o prolífico e
o excêntrico matemático Paul Erd˝os, que foi então banido do United
Estados por suas opiniões políticas. Erd˝os falaria na Universidade de Windsor,
onde matemáticos da Universidade de Michigan e outros americanos
as universidades se reuniam para ouvi-lo e discutir matemática.
Enquanto estava em Windsor, Zakon desenvolveu três volumes sobre análise matemática,
que foram encadernados e distribuídos aos alunos. Seu objetivo era apresentar
material rigoroso o mais cedo possível; cursos posteriores podem então contar com isso
material. Estamos publicando aqui a última versão completa da última
esses volumes, que foram usados em uma aula de dois semestres exigida de todas as honras
Estudantes de matemática em Windsor.
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Capítulo 603/02/2021 Analise matemática. Volume II
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Diferenciação em E n e OutroEspaços Lineares Normados
§1. Derivados direcionais e parciais
No Capítulo 5, consideramos as funções f: E 1 → E de uma variável real.
Agora assumimos as funções f: E ′ → E onde E ′ e E são normalizados
espaços. 1
O campo escalar de ambos é sempre assumido o mesmo: E 1 ou C (o complexo
campo). O caso E = E ∗ é excluído aqui; assim, tudo é considerado finito.
Usamos principalmente as letras com setas p, q,. . . , x, y, z para vetores no espaço de domínio
E ′ , e letras não pontiagudas para aqueles em E e para escalares.
Como antes, adotamos a convenção de que f é definido em todos E ′ , com
f (x) = 0 se não for definido de outra forma.
Observe que, se p ∈ E ′ , pode-se expressar qualquer ponto x ∈ E ′ como
x = p + tu,
com t ∈ E 1 e ua vetor unitário. Para se x = p, defina
t = | x - p | e u =
1
t (x - p);
e se x = p, defina t = 0, e qualquer u servirá. Costumamos usar a notação
t = ∆ x = x - p = tu (t ∈ E 1 , t, u ∈ E ′ ).
Em primeiro lugar, generalizamos a Definição 1 no Capítulo 5, §1.
Definição 1.
Dado f: E ′ → E e p, u ∈ E ′ (u = 0), definimos o direcional
derivada de f ao longo de u (ou derivada direcionada a u de f) em p por
(1) D u f (p) = lim
t → 0
1
t [f (p + tu) - f (p)],
1 Agora pressupomos os §§9-12 do Capítulo 3, incluindo as partes “marcadas com estrela”.
Página 14
03/02/2021 Analise matemática. Volume II
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2 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
se esse limite existe em E (finito).
Também definimos a função derivada direcionada para u,
D u f: E ′ → E,
do seguinte modo. Para qualquer p ∈ E ′ ,
D u f (p) = (
lim
t → 0
1
t [f (p + tu) - f (p)] se este limite existir,
0 de outra forma.
Assim, D u f é sempre definido, mas o nome derivado é usado apenas se o
limite (1) existe (finito). Se ele existe para cada p em um conjunto B ⊆ E ′ , chamamos D u f (em
notação clássica ∂f / ∂ u) a derivada direcionada para u de f em B.
Observe que, como t → 0, x tende a p sobre a reta x = p + t u. Assim, D u f (p)
pode ser tratado como um limite relativo sobre essa linha. Observe que depende de
a direção e o comprimento de u. Na verdade, temos o seguinte resultado.
Corolário 1. Dado f: E ′ → E, u = 0, e um escalar s = 0, temos
D s u f = sD u f.
Além disso, D s u f (p) é um derivado genuíno se D u f (p) for.
Prova. Defina t = sθ em (1) para obter
sD u f (p) = lim
θ → 0
1
θ [f (p + θs u) - f (p)] = D s u f (p). D
Em particular, considerando s = 1 / | u |, nós temos
| su | =
| u |
| u |
= 1 e D u f =
1
s
D s u f.
Assim, tudo se reduz ao caso D v f, onde v = su é um vetor unitário. Este aparelho,
chamado de normalização, é frequentemente usado, mas na verdade não simplifica as coisas.
Se E ′ = E n (C n ), então f é uma função de n variáveis escalares x k (k = 1, ..., n)
e E ′ tem os n vetores unitários básicos e k . Este exemplo nos leva ao seguinte
definição.
Definição 2.
Se na fórmula (1), E ′ = E n (C n ) e u = e k para um k ≤ n fixo, chamamos
D u f a função parcialmente derivada para f, em relação ax k , denotada
D k f ou
∂f
∂x k
,
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03/02/2021 Analise matemática. Volume II
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§1. Derivados direcionais e parciais 3
e o limite (1) é chamado de derivada parcial de f em p, em relação a
x k , denotado
D k f (p), ou
∂
∂x k
f (p), ou
∂f
∂x k \
\
\ x = p
.
Se ele existe para todo p ∈ B, chamamos D k f a derivada parcial (resumidamente,
parcial) de f em B, em relação a x k .
Em qualquer caso, as funções derivadas D k f (k = 1, ..., n) são sempre de-
multado em todos os casos de E n (C n ).
Se E ′ = E 3 (C 3 ), muitas vezes escrevemos x, y, z para x 1 , x 2 , x 3 e
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
para D k f (k = 1,2,3). 2
Nota 1. Se E ′ = E 1 , os escalares também são "vetores" e D 1 f coincide com f ′
conforme definido no Capítulo 5, §1 (exceto onde f ′ = ± ∞). Explicar!
Nota 2. Como observamos, a derivada direcionada a u (1) é obtida por
mantendo x na linha x = p + t u.
Se u = e k , a reta é paralela ao k-ésimo eixo; então todas as coordenadas de x, exceto
x k , permanece fixo (x i = p i , i = k), ef se comporta como uma função de uma variável,
x k . Assim, podemos calcular D k f pelas regras usuais de diferenciação, tratando
todos os x i (i = k) como constantes ex k como a única variável.
Por exemplo, seja f (x, y) = x 2 y. Então
∂f
∂x
= D 1 f (x, y) = 2xy e
∂f
∂y
= D 2 f (x, y) = x 2 .
Nota 3. Mais geralmente, dados p e u = 0, defina
h (t) = f (p + tu), t ∈ E 1 .
Então h (0) = f (p); assim
D u f (p) = lim
t → 0
1
t [f (p + tu) - f (p)]
= lim
t → 0
h (t) - h (0)
t - 0
= h ′ (0)
se o limite existe. Assim, tudo se reduz a uma função h de uma variável real.
Para funções f: E 1 → E, a existência de uma derivada finita (“diferenciação-
bilidade ”) em p implica continuidade em p (Teorema 1 do Capítulo 5, §1). Mas no
caso geral, f: E ′ → E, isso pode falhar mesmo se D u f (p) existir para todo u = 0.
2 Da mesma forma no caso E ′ = E 2 (C 2 ).
03/02/2021 Analise matemática. Volume II
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Página 16
4 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Exemplos.
(a) Defina f: E 2 → E 1 por
f (x, y) =
x 2 y
x 4 + y 2
, f (0,0) = 0.
Fixe um vetor unitário u = (u 1 , u 2 ) em E 2 . Seja p = (0,0). Para encontrar D u f (p), use
oh da Nota 3:
h (t) = f (p + tu) = f (tu) = f (tu 1 , tu 2 ) =
tu 2
1 u 2
t 2 u 4
1 + u 2 2
se u 2 = 0,
e h = 0 se u 2 = 0. Portanto
D u f (p) = h ′ (0) =
você 21
você 2
se u 2 = 0,
e h ′ (0) = 0 se u 2 = 0. Assim, D u (0) existe para todo u. No entanto, f é descontinuado
uous em 0 (consulte o Problema 9 no Capítulo 4, §3).
(b) Deixe
f (x, y) = {
x + y se xy = 0,
1 de outra forma.
Então f (x, y) = x no eixo x; então D 1 f (0,0) = 1.
Da mesma forma, D 2 f (0,0) = 1. Assim, ambas as parciais existem em 0.
No entanto, f é descontínuo em 0 (ainda que relativamente) em qualquer linha y = ax
(a = 0). Pois nessa linha, f (x, y) = 1if (x, y) = (0,0); então f (x, y) → 1;
mas f (0,0) = 0 + 0 = 0.
Assim, a continuidade em 0 falha. (Mas veja o Teorema 1 abaixo!)
Portanto, se a diferenciabilidade implica continuidade, ela deve ser definida em um
maneira mais forte. Fazemos isso em §3. Por enquanto, provamos apenas alguns teoremas sobre
derivadas parciais e direcionais, baseadas nas do Capítulo 5.
Teorema 1. Se f: E ′ → E tem uma derivada direcionada em u em p ∈ E ′ , então f é
relativamente contínuo em p sobre a linha
x = p + tu (0 = u ∈ E ′ ).
Prova. Defina h (t) = f (p + tu), t ∈ E 1 .
Pela Nota 3, nossa suposição implica que h (uma função em E 1 ) é diferenciável
em 0.
Pelo Teorema 1 do Capítulo 5, §1, então, h é contínuo em 0; assim
lim
t → 0
h (t) = h (0) = f (p),
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Página 17
§1. Derivados direcionais e parciais 5
ie,
lim
t → 0
f (p + tu) = f (p).
Mas isso significa que f (x) → f (p) como x → p sobre a reta x = p + tu, para, em
essa linha, x = p + t u.
Assim, de fato, f é relativamente contínuo em p, como declarado. D
Observe que, na verdade, usamos a substituição x = p + t u. Isto é admissível
viável, uma vez que a dependência entre x e t é um-para-tom (Corolário 2 (iii) de
Capítulo 4, §2). Por quê?
Teorema 2. Seja E ′ ∋ u = q - p, u = 0.
Se f: E ′ → E é relativamente contínuo no segmento I = L [p, q] e tem um
derivada direcionada por u em I - Q (Q contável), então
(2) | f (q) - f (p) | ≤ sup | D u f (x) |, x ∈ I - Q.
Prova. Defina novamente h (t) = f (p + tu) e g (t) = p + t u.
Então h = f ◦ g, eg é contínuo em E 1 . (Por quê?)
Como f é relativamente contínuo em I = L [p, q], então h = f ◦ g no intervalo
J = [0,1] ⊂ E 1 (cf. Capítulo 4, §8, Exemplo (1)).
Agora fixe t 0 ∈ J. Se x 0 = p + t 0 u ∈ I - Q, nossas suposições implicam que
existênciade
D u f (x 0 ) = lim
t → 0
1
t
[f (x 0 + tu) - f (x 0 )]
= lim
t → 0
1
t
[f (p + t 0 u + tu) - f (p + t 0 u)]
= lim
t → 0
1
t
[h (t 0 + t) - h (t 0 )]
= h ′ (t 0 ). (Explicar!)
Isso pode falhar para no máximo um conjunto contável Q ′ de pontos t 0 ∈ J (aqueles para os quais
x 0 ∈ Q).
Assim, h é diferenciável em J - Q ′ ; e assim, pelo Corolário 1 no Capítulo 5, §4,
| h (1) - h (0) | ≤ sup
t∈J − Q ′ | h ′ (t) | = sup x∈I − Q | D u f (x) |.
Agora, como h (1) = f (p + u) = f (q) eh (0) = f (p), segue-se a fórmula (2). D
Teorema 3. Se no Teorema 2, E = E 1 e se f tem uma derivada direcionada por u em
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pelo menos no segmento de linha aberta L (p, q), então
(3) f (q) - f (p) = D u f (x 0 )
para algum x 0 ∈ L (p, q).
Página 18
6 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
A prova é como no Teorema 2, com base no Corolário 3 no Capítulo 5, §2 (ao invés
do Corolário 1 no Capítulo 5, §4).
Os teoremas 2 e 3 são freqüentemente usados na forma “normalizada”, como segue.
Corolário 2. Se nos Teoremas 2 e 3, definimos
r = | u | = | q - p | = 0 e v =
1
r
você,
então as fórmulas (2) e (3) podem ser escritas como
(2 ′ ) | f (q) - f (p) | ≤ | q - p | sup | D v f (x) |, x ∈ I - Q,
e
(3 ′ ) f (q) - f (p) = | q - p | D v f (x 0 )
para algum x 0 ∈ L (p, q).
Para pelo Corolário 1,
D u f = rD v f = | q - p | D v f;
então (2 ′ ) e (3 ′ ) seguem.
Problemas em derivados direcionais e parciais
1. Preencha todos os detalhes que faltam na prova dos Teoremas 1 a 3 e Corol-
laries 1 e 2.
2. Complete todos os detalhes nos Exemplos (a) e (b). Encontre D 1 f (p) e D 2 f (p)
também para p = 0. Faça o Exemplo (b) de duas maneiras: (i) use a Nota 3; (ii) usar
Definição 2 apenas.
3. Nos Exemplos (a) e (b), descreva D u f: E 2 → E 1 . Calcule para
u = (1,1) = p.
Em (b), mostre que f não tem derivadas direcionais D u f (p), exceto se
ue 1 ou ue 2 . Dê duas provas: (i) use o Teorema 1; (ii) usar definições
só.
4. Prove que se f: E n (C n ) → E tem uma derivada parcial zero, D k f = 0,
em um conjunto convexo A, então f (x) não depende de x k , para x ∈ A. (Use
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Teoremas 1 e 2.)
5. Descreva D 1 f e D 2 f nas várias partes de E 2 , e discuta o
continuidade relativa de f ao longo de linhas até 0, dado que f (x, y) é igual a:
(Eu)
xy
x 2 + y 2
; (ii) a parte integral de x + y;
(iii)
xy
| x |
+ xsin
1
y
; (iv) xy
x 2 - y 2
x 2 + y 2
;
(v) sin (y cosx); (vi) x y .
Página 19
§1. Derivados direcionais e parciais 7
(Defina f = 0 sempre que a fórmula não fizer sentido.)
⇒6. Prove que se f: E ′ → E 1 tem um máximo ou mínimo local em p ∈ E ′ ,
então D u f (p) = 0 para todo vetor u = 0 em E ′ .
[Dica: use a Nota 3, depois o Corolário 1 no Capítulo 5, §2.]
7. Enuncie e prove a Lei dos Incrementos Finitos (Teorema 1 do Capítulo 5,
§4) para derivadas direcionais.
[Dica: imite o Teorema 2 usando duas funções auxiliares, h e k.]
8. Enuncie e prove os Teoremas 4 e 5 do Capítulo 5, §1, para direcional
derivados.
§2. Mapas lineares e funcionais. Matrizes
Para uma definição adequada de diferenciabilidade, precisamos da noção de uma
mapa. Abaixo, E ′ , E ′ ′ , e E denotam espaços normados sobre o mesmo campo escalar,
E 1 ou C.
Definição 1.
Uma função f: E ′ → E é um mapa linear se e somente se para todo x, y ∈ E ′ e
escalares a, b
(1) f (ax + by) = af (x) + bf (y);
equivalentemente, iff para todos esses x, y e a
f (x + y) = f (x) + f (y) e f (ax) = af (x). (Verificar!)
Se E = E ′ , tal mapa também é chamado de operador linear.
Se o espaço de intervalo E é o campo escalar de E ′ , (ou seja, E 1 ou C,) o linear
o mapa f também é chamado de funcional linear (real ou complexo) em E ′ .
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Nota 1. A indução estende a fórmula (1) a quaisquer "combinações lineares":
(2) f (
m
∑
i = 1
a i x i ) = m ∑
i = 1
a i f (x i )
para todos os x i ∈ E ′ e escalares a i .
Resumidamente: Um mapa linear f preserva combinações lineares.
Nota 2. Tomando a = b = 0 em (1), obtemos f (0) = 0 se f for linear.
Exemplos.
(a) Seja E ′ = E n (C n ). Fixe um vetor v = (v 1 , ..., v n ) em E ′ e defina
(∀ x ∈ E ′ ) f (x) = x · v
Página 20
8 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
(produto interno; consulte o Capítulo 3, §§1–3 e §9).
Então
f (ax + por) = (ax) · v + (por) · v
= a (x · v) + b (y · v)
= af (x) + bf (y);
então f é linear. Observe que se E ′ = E n , então, por definição,
f (x) = x · v =
n
∑
k = 1
x k v k =
n
∑
k = 1
v k x k .
Se, no entanto, E ′ = C n , então
f (x) = x · v =
n
∑
k = 1
x k ¯v k =
n
∑
k = 1
¯v k x k ,
onde ¯v k é o conjugado do número complexo v k .
Pelo Teorema 3 no Capítulo 4, §3, f é contínuo (um polinômio!).
Além disso, f (x) = x · v é um escalar (em E 1 ou C). Assim, o intervalo de f
encontra-se no campo escalar de E ′ ; então f é um funcional linear em E ′ .
(b) Seja I = [0,1]. Seja E ′ o conjunto de todas as funções u: I → E que são de
classe CD ∞ (Capítulo 5, §6) em I, portanto, aí limitada (Teorema 2 da
Capítulo 4, §8).
Como no Exemplo (C) no Capítulo 3, §10, E ′ é um espaço linear normalizado, com
norma
u = sup
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x∈I | u (x) |.
Aqui cada função u ∈ E ′ é tratada como um único “ponto” em E ′ . o
distância entre dois desses pontos, uev, é igual a u - v, por definição.
Agora defina um mapa D em E ′ definindo D (u) = u ′ (derivada de u em
EU). Como todo u ∈ E ′ é da classe CD ∞ , u ′ também .
Assim, D (u) = u ′ ∈ E ′ , e assim D: E ′ → E ′ é um operador linear. (Está
a linearidade segue do Teorema 4 no Capítulo 5, §1.)
(c) Seja novamente I = [0,1]. Seja E ′ o conjunto de todas as funções u: I → E que são
limitada e ter antiderivadas (Capítulo 5, §5) em I. Com a norma u
como no Exemplo (b), E ′ é um espaço linear normalizado.
Agora defina φ: E ′ → E por
φ (u) = ∫
1
0
você,
com / u como no Capítulo 5, §5. (Lembre-se de que /
1
0
u é um elemento de E se
u: I → E.) Pelo Corolário 1 no Capítulo 5, §5, φ é um mapa linear de E ′ em
Página 21
§2. Mapas lineares e funcionais. Matrizes 9
E. (por quê?)
(d) O mapa zero f = 0 em E ′ é sempre linear. (Por quê?)
Teorema 1. Um mapa linear f: E ′ → E é contínuo (mesmo uniformemente) em
todo E ′ sse for contínuo em 0; equivalentemente, se houver um c> 0 real tal que
(∀ x ∈ E ′ ) | f (x) | ≤ c | x |.
(Chamamos essa propriedade de limitação linear.)
Prova. Suponha que f é contínuo em 0. Então, dado ε> 0, há δ> 0
de tal modo que
| f (x) - f (0) | = | f (x) | ≤ ε
sempre que | x −0 | = | x | <δ.
Agora, para qualquer x = 0, certamente temos
\
\
\
\
δ x
2 | x | \\\\
=
δ
2
<δ.
Conseqüentemente
(∀ x = 0) \\ \
\ f
(δ x
2 | x |) \\\\
≤ ε,
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ou, por linearidade,
δ
2 | x |
| f (x) | ≤ ε,
ie,
| f (x) | ≤
2ε
δ | x |.
Pela Nota 2, isso também é válido se x = 0.
Assim, tomando c = 2ε / δ, obtemos
(3) (∀ x ∈ E ′ ) f (x) ≤ c | x | (limitação linear).
Agora assuma (3). Então
(∀ x, y ∈ E ′ ) | f (x - y) | ≤ c | x - y |;
ou, por linearidade,
(4) (∀ x, y ∈ E ′ ) | f (x) - f (y) | ≤ c | x - y |. 1
Logo, f é uniformemente contínuo (dado ε> 0, tome δ = ε / c). Isto por sua vez,
implica continuidade em 0; portanto, todas as condições são equivalentes, conforme reivindicado. D
1 Esta é a chamada condição Lipschitz uniforme.
Página 22
10 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Um mapa linear não precisa ser contínuo. 2 Mas, para E n e C n , temos o
resultado seguinte.
Teorema 2.
(i) Qualquer mapa linear em E n ou C n é uniformemente contínuo.
(ii) Todo funcional linear em E n (C n ) tem a forma
f (x) = x · v (produto escalar)para algum vetor único v ∈ E n (C n ), dependente apenas de f.
Prova. Suponha que f: E n → E é linear; portanto, f preserva combinações lineares.
Mas todo x ∈ E n é tal combinação,
x =
n
∑
k = 1
x k e k (Teorema 2 no Capítulo 3, §§1–3).
Assim, pela Nota 1,
n
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f (x) = f ( ∑
k = 1
x k e k ) = n ∑
k = 1
x k f (e k ).
Aqui, os valores da função f (e k ) são vetores fixos no espaço de intervalo E, digamos,
f (e k ) = v k ∈ E,
de modo a
(5) f (x) =
n
∑
k = 1
x k f (e k ) =
n
∑
k = 1
x k v k , v k ∈ E.
Assim f é um polinômio em n variáveis reais x k , portanto, contínuo (mesmo uniformemente
então, pelo Teorema 1).
Em particular, se E = E 1 (ou seja, f é um funcional linear), então todos os v k em (5) são
numeros reais; então eles formam um vetor
v = (v 1 , ..., v k ) em E n ,
e (5) pode ser escrito como
f (x) = x · v.
O vetor v é único. Pois suponha que existam dois vetores, uev, tais que
(∀ x ∈ E n ) f (x) = x · v = x · u.
Então
(∀ x ∈ E n ) x · (v - u) = 0.
2 Veja o Problema 2 (ii) abaixo.
Página 23
§2. Mapas lineares e funcionais. Matrizes 11
Pelo Problema 10 do Capítulo 3, §§1–3, isso resulta em v - u = 0, ou v = u. este
completa a prova para E = E n .
É análogo para C n ; apenas em (ii) os v k são complexos e um deve substituir
eles por seus conjugados ¯v k ao formar o vetor v para obter f (x) = x · v.
Assim tudo está provado. D
Nota 3. Fórmula (5) mostra que um mapa linear f: E n (C n ) → E é exclusivamente
determinado pelos n valores da função v k = f (e k ).
Se ainda E = E m (C m ), os vetores v k são m-tuplas de escalares,
v k = (v 1k , ..., v mk ).
Muitas vezes escrevemos esses vetores verticalmente, como as n "colunas" em uma matriz de m
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“Linhas” e n “colunas”:
(6)
⎛
⎢
⎢
⎝
v 11 v 12 ... v 1n
v 21 v 22 ... v 2n
... ... ... ...
v m1 v m2 ... v mn
⎢
⎢ .
Formalmente, (6) é uma sequência dupla de termos mn, chamada de matriz m × n. Nós
denote-o por [f] = (v ik ), onde para k = 1,2, ..., n,
f (e k ) = v k = (v 1k , ..., v mk ).
Assim, mapas lineares f: E n → E m (ou f: C n → C m ) correspondem um-para-um a
suas matrizes [f].
A prova fácil dos Corolários 1 a 3 abaixo é deixada para o leitor.
Corolário 1. Se f, g: E ′ → E são lineares, então é
h = af + bg
para quaisquer escalares a, b.
Se ainda E ′ = E n (C n ) e E = E m (C m ), com [f] = (v ik ) e [g] = (w ik ),
então
[h] = (av ik + bw ik ).
Corolário 2. Um mapa f: E n (C n ) → E é linear sse
f (x) =
n
∑
k = 1
v k x k ,
onde v k = f (e k ).
Dica: Para o “se”, use o Corolário 1. Para o “somente se”, use a fórmula (5) acima.
Página 24
12 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Corolário 3. Se f: E ′ → E ′ ′ e g: E ′ ′ → E são lineares, então é o composto
h = g ◦ f.
Nosso próximo teorema trata da matriz da aplicação linear composta g ◦ f.
Teorema 3. Seja f: E ′ → E ′ ′ e g: E ′ ′ → E linear, com
E ′ = E n (C n ), E ′ ′ = E m (C m ) e E = E r (C r ).
Se [f] = (v ik ) e [g] = (w ji ), então
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[h] = [g ◦ f] = (z jk ),
Onde
(7) z jk =
m
∑
i = 1
w ji v ik , j = 1,2, ..., r, k = 1,2, ..., n.
Prova. Denote os vetores unitários básicos em E ′ por
e ′
1 , ..., e ′ n ,
aqueles em E ′ ′ por
e ′ ′
1 , ..., e ′ ′ m ,
e aqueles em E por
e 1 , ..., e r .
Então, para k = 1,2, ..., n,
f (e ′
k ) = v k =
m
∑
i = 1
v ik e ′ ′
i e h (e ′ k ) =
r
∑
j = 1
z jk e j ,
e para i = 1, ... m,
g (e ′ ′
i ) =
r
∑
j = 1
w ji e j .
Além disso,
h (e ′
k ) = g (f (e ′ k )) = g (
m
∑
i = 1
v ik e ′ ′
i ) = m
∑
i = 1
v ik g (e ′ ′
i ) =
m
∑
i = 1
v ik ( r∑
j = 1
w ji e j ).
portanto
h (e ′
k ) =
r
∑
j = 1
z jk e j =
r
∑
j = 1 ( m
∑
i = 1
w ji v ik ) e j .
Mas a representação em termos de e j é única (Teorema 2 no Capítulo 3,
§§1–3), então, igualando os coeficientes, obtemos (7). D
Página 25
§2. Mapas lineares e funcionais. Matrizes 13
Nota 4. Observe que z jk é obtido, por assim dizer, pela "multiplicação de pontos" do
jª linha de [g] (uma matriz r × m) pela k-ésima coluna de [f] (uma matriz m × n).
É natural definir
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[g] [f] = [g ◦ f],
ou
(w ji ) (v ik ) = (z jk ),
com z jk como em (7).
Cuidado. A multiplicação de matrizes, assim definida, não é comutativa.
Definição 2.
O conjunto de todos os mapas lineares contínuos f: E ′ → E (para E ′ e E fixos ) é
denotado L (E ′ , E).
Se E = E ′ , escrevemos L (E) em seu lugar.
Para cada f em L (E ′ , E), definimos sua norma por
f = sup
| x | ≤1 | f (x) |. 3
Observe que f <+ ∞, pelo Teorema 1.
Teorema 4. L (E ′ , E) é um espaço linear normalizado sob a norma definida acima
e sob as operações usuais de funções, como no Corolário 1.
Prova. O corolário 1 facilmente implica que L (E ′ , E) é um espaço vetorial. Nós agora
mostrar que · é uma norma genuína.
A lei do triângulo,
f + g ≤f + g,
segue exatamente como no Exemplo (C) do Capítulo 3, §10. (Verificar!)
Além disso, pelo Problema 5 no Capítulo 2, §§8–9, sup | af (x) | = | a | sup | f (x) |. Conseqüentemente
af = | a | f para qualquer escalar a.
Conforme observado acima, 0 ≤ f <+ ∞.
Resta mostrar que f = 0 sse f for o mapa zero. E se
f = sup
| x | ≤1 | f (x) | = 0,
então | f (x) | = 0 quando | x | ≤ 1. Portanto, se x = 0,
f (
x
| x |)
=
1
| x |
f (x) = 0.
Como f (0) = 0, temos f (x) = 0 para todo x ∈ E ′ .
Assim, f = 0 implica f = 0, e o inverso é claro. Assim tudo está provado. D
3 Equivalentemente, f = sup x = 0 | f (x) | / | x |; consulte a Nota 5 abaixo.
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14 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
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Nota 5. Uma prova semelhante, via f ( x
| x | ) e propriedades de lub, mostra que
f = sup
x = 0 \
\
\
f (x)
| x | \\\
e
(∀ x ∈ E ′ ) | f (x) | ≤f | x |.
Segue-se também que f é o c menos real, de modo que
(∀ x ∈ E ′ ) | f (x) | ≤ c | x |.
Verificar. (Veja o Problema 3 ′ .)
Como em qualquer espaço normalizado, definimos distâncias em L (E ′ , E) por
ρ (f, g) = f - g,
tornando-o um espaço métrico; então podemos falar de convergência, limites, etc., nele.
Corolário 4. Se f ∈ L (E ′ , E ′ ′ ) e g ∈ L (E ′ ′ , E), então
g ◦ f ≤g f.
Prova. Pela Nota 5,
(∀ x ∈ E ′ ) | g (f (x)) | ≤g | f (x) | ≤gf | x |.
Conseqüentemente
(∀ x = 0) \\\
(g ◦ f) (x)
| x |
\
\
\ ≤ gf,
e entao
gf ≥ sup
x = 0
| (g ◦ f) (x) |
| x |
= g ◦ f. D
Problemas em mapas lineares e matrizes
1. Verifique a Nota 1 e a equivalência das duas afirmações na Definição 1.
2. Nos Exemplos (b) e (c) mostram que
f n → f (uniformemente) em I iff f n - f → 0,
ou seja, f n → f em E ′ .
[Dica: Use o Teorema 1 no Capítulo 4, §2.]
Portanto, deduza o seguinte.
(i) Se E for completo, então o mapa φ no Exemplo (c) é contínuo.
[Dica: use o Teorema 2 do Capítulo 5, §9, e o Teorema 1 do Capítulo 4, §12.]
(ii) O mapa D do Exemplo (b) não é contínuo.
[Dica: use o Problema 3 no Capítulo 5, §9.]
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§2. Mapas lineares e funcionais. Matrizes 15
3. Prove os corolários 1 a 3.
3 ′ . Mostra isso
f = sup
| x | ≤1 | f (x) | = sup | x | = 1 | f (x) | = supx = 0
| f (x) |
| x |
.
[Dica: a partir da linearidade de f deduza que | f (x) | ≥ | f (cx) | if | c | <1. Portanto, pode-se
desconsidere vetores de comprimento <1 ao calcular sup | f (x) |. Por quê?]
4. Encontre as matrizes [f], [g], [h], [k] e as fórmulas de definição para o
mapas lineares f: E 2 → E 1 , g: E 3 → E 4 , h: E 4 → E 2 , k: E 1 → E 3 se
(i) f (e 1 ) = 3, f (e 2 ) = −2;
(ii) g (e 1 ) = (1,0, −2,4), g (e 2 ) = (0,2, −1,1), g (e 3 ) = (0,1,0, -1);(iii) h (e 1 ) = (2,2), h (e 2 ) = (0, −2), h (e 3 ) = (1,0), h (e 4 ) = (- 1, 1);
(iv) k (1) = (0,1, −1).
5. No Problema 4, use a Nota 4 para encontrar as matrizes de produto [k] [f], [g] [k],
[f] [h] e [h] [g]. Portanto, obtenha as fórmulas de definição para k ◦ f, g ◦ k,
f ◦ h e h ◦ g.
6. Para matrizes m × n (com m e n fixos), defina adição e multiplicação
cátion por escalares como segue:
a [f] + b [g] = [af + bg] se f, g ∈ L (E n , E m ) (ou L (C n , C m )).
Mostre que essas matrizes formam um espaço vetorial sobre E 1 (ou C).
7. Com adição de matriz como no Problema 6 e multiplicação como na Nota 4,
mostram que todas as matrizes n × n formam um anel não comutativo com unidade,
ou seja, satisfaça os axiomas de campo (Capítulo 2, §§1-4), exceto a comutatividade
de multiplicação e existência de inversos multiplicativos (dar contraex-
amplos!).
Qual é a matriz de “unidade”?
8. Seja f: E ′ → E linear. Prove as seguintes afirmações.
(i) A derivada D u f (p) existe e é igual a f (u) para todo p, u ∈ E ′
(u = 0);
(ii) f é relativamente contínuo em qualquer reta em E ′ (use o Teorema 1 em §1);
(iii) f carrega qualquer linha em uma linha em E.
9. Seja g: E ′ ′ → E linear. Prove que se algum f: E ′ → E ′ ′ tiver um u-
derivada direcionada em p ∈ E ′ , então tem h = g◦f, e D u h (p) = g (D u f (p)).
[Dica: Use o Problema 8.]
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Página 28
16 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
10. Um conjunto A em um espaço vetorial V (A ⊆ V) é considerado linear (ou linear
subespaço de V) sse ax + por ∈ A para qualquer x, y ∈ A e quaisquer escalares a, b.
Prove o seguinte.
(i) Qualquer A é em si um espaço vetorial.
(ii) Se f: E ′ → E é um mapa linear e A é linear em E ′ (respectivamente,
em E), assim é f [A] em E (respectivamente, também é f −1 [A] em E ′ ).
11. Um conjunto A em um espaço vetorial V é chamado de extensão de um conjunto B ⊆ A (A = sp (B))
iff A consiste em todas as combinações lineares de vetores de B. Então, também
diga que B abrange A.
Prove o seguinte:
(i) A = sp (B) é o menor subespaço linear de V que contém B.
(ii) Se f: V → E é linear e A = sp (B), então f [A] = sp (f [B]) em E.
12. Um conjunto B = {x 1 , x 2 , ..., x n } em um espaço vetorial V é chamado de base se cada
v ∈ V tem uma representação única como
v =
n
∑
i = 1
a i x i
para alguns escalares a i . Se assim for, o número n dos vetores em B é chamado de
dimensão de V, e V é dito ser n-dimensional. Exemplos de tais
os espaços são E n e C n (os e k formam uma base!).
(i) Mostre que B é uma base se ela abrange V (ver Problema 11) e sua
os elementos x i são linearmente independentes, ou seja,
n
∑
i = 1
a i x i = 0 se todos os a i desaparecerem.
(ii) Se E ′ é finito-dimensional, todos os mapas lineares em E ′ são uniformemente
contínuo. (Veja também os Problemas 3 e 4 do §6.)
13. Prove que se f: E 1 → E é contínuo e (∀ x, y ∈ E 1 )
f (x + y) = f (x) + f (y),
então f é linear; então, pelo Corolário 2, f (x) = vx onde v = f (1).
[Dica: Mostre que f (ax) = af (x); primeiro para a = 1, 2, ... (nota: nx = x + x + ··· + x,
n termos); então, para racional a = m / n; então, para a = 0 e a = −1. Qualquer a ∈ E 1 é um
limite de racionais; então use continuidade e Teorema 1 no Capítulo 4, §2.]
§3. Funções Diferenciáveis
Como sabemos, uma função f: E 1 → E (em E 1 ) é diferenciável em p ∈ E 1 sse, com
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Página 29
§3. Funções Diferenciáveis 17
∆f = f (x) - f (p) e ∆x = x - p,
f ′ (p) = lim
x → p
∆f
∆x
existe (finito).
Definindo ∆x = x - p = t, ∆f = f (p + t) - f (p), ef ′ (p) = v, podemos escrever
esta equação como
lim
t → 0 \
\
\
∆f
t −v \\\ = 0,
ou
(1) lim
t → 0
1
| t |
| f (p + t) - f (p) - vt | = 0.
Agora defina um mapa φ: E 1 → E por φ (t) = tv, v = f ′ (p) ∈ E.
Então φ é linear e contínuo, ou seja, φ ∈ L (E 1 , E); então, pelo Corolário 2 no §2,
podemos expressar (1) da seguinte forma: há um mapa φ ∈ L (E 1 , E) tal que
lim
t → 0
1
| t |
| ∆f - φ (t) | = 0.
Adotamos isso como uma definição no caso geral, f: E ′ → E, também.
Definição 1.
Uma função f: E ′ → E (onde E ′ e E são espaços normados sobre o mesmo
campo escalar) é dito ser diferenciável em um ponto p ∈ E ′ se houver um mapa
φ ∈ L (E ′ , E)
de tal modo que
lim
t → 0
1
| t |
| ∆f - φ (t) | = 0;
isso é,
(2) lim
t → 0
1
| t |
[f (p + t) - f (p) - φ (t)] = 0.
Como mostramos abaixo, φ é único (para um p fixo), se existir.
Chamamos φ o diferencial de f em p, brevemente denotado df. Como depende
em p, também escrevemos df (p; t) para df (t) e df (p; ·) para df.
Alguns autores escrevem f ′ (p) para df (p; ·) e chamam de derivada em p, mas
não faremos isso (ver Prefácio). Seguindo M. Spivak, no entanto, devemos usar
“[F ′ (p)]” para sua matriz, como segue.
Definição 2.
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Se E ′ = E n (C n ) e E = E m (C m ), e f: E ′ → E é diferenciável em
p, nós definimos
[f ′ (p)] = [df (p; ·)]
Página 30
18 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
e chame-a de matriz Jacobiana de f na p.
Nota 1. No Capítulo 5, §6, não definimos df como um mapeamento. No entanto, se
E ′ = E 1 , o valor da função
df (p; t) = vt = f ′ (p) ∆x
é como no Capítulo 5, §6.
Além disso, [f ′ (p)] é uma matriz 1 × 1 com um único termo f ′ (p). (Por quê?) Isso motivou
Definição 2.
Teorema 1 (unicidade de df). Se f: E ′ → E é diferenciável em p, então o
o mapa φ descrito na Definição 1 é único (dependente apenas de f e p).
Prova. Suponha que haja outro mapa linear g: E ′ → E tal que
(3) lim
t → 0
1
| t |
[f (p + t) - f (p) - g (t)] = lim
t → 0
1
| t |
[∆f - g (t)] = 0.
Seja h = φ - g. Pelo corolário 1 em §2, h é linear.
Além disso, pela lei do triângulo,
| h (t) | = | φ (t) - g (t) | ≤ | ∆f - φ (t) | + | ∆f - g (t) |.
Portanto, dividindo por | t |,
\
\
\
\ h
(t | t |) \
\
\
\
=
1
| t |
| h (t) | ≤
1
| t |
| ∆f - φ (t) | +
1
| t |
| ∆f - g (t) |.
Por (3) e (2), as expressões do lado direito tendem a 0 quando t → 0. Assim
lim
t → 0 h (
t
| t |)
= 0.
Isso permanece válido também se t → 0 em qualquer linha até 0, de modo que t / | t | permanece
constante, digamos t / | t | = u, onde u é um vetor unitário arbitrário (mas fixo).
Então
h (
t
| t |)
= h (u)
é constante; então pode tender a 0 apenas se for igual a 0, então h (u) = 0 para qualquer unidade
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vetor u.
Uma vez que qualquer x ∈ E ′ pode ser escrito como x = | x | u, rendimentos de linearidade
h (x) = | x | h (u) = 0.
Assim, h = φ - g = 0 em E ′ , e então φ = g afinal, provando a singularidade
de φ. D
Página 31
§3. Funções Diferenciáveis 19
Teorema 2. Se f é diferenciável em p, então
(i) f é contínuo em p;
(ii) para qualquer u = 0, f tem a derivada direcionada a u
D u f (p) = df (p; u).
Prova. Por suposição, a fórmula (2) é válida para φ = df (p; ·).
Assim, dado ε> 0, há δ> 0 tal que, definindo ∆f = f (p + t) - f (p),
temos
(4)
1
| t |
| ∆f - φ (t) | <ε sempre que 0 <| t | <δ;
ou, pela lei do triângulo,
(5) | ∆f | ≤ | ∆f - φ (t) | + | φ (t) | ≤ ε | t | + | φ (t) |, 0 <| t | <δ.
Agora, pela Definição 1, φ é linear e contínuo; assim
lim
t → 0 | φ (t) | = | φ (0) | = 0.
Assim, fazendo t → 0 em (5), com ε fixo, obtemos
lim
t → 0 | ∆f | = 0.
Como t é apenas outra notação para ∆ x = x - p, isso prova a afirmação (i).
A seguir, fixe qualquer u = 0 em E ′ e substitua tu por t em (4).
Em outras palavras, t é uma variável real, 0 <t <δ / | u |, de modo que t = tu satisfaz
0 <| t | <δ.
Multiplicando por | u |, usamos a linearidade de φ para obter
ε | u | > \\\
∆f φ (tu) ∆f \ f (p + tu) - f (p) - φ (u) \\\.
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t - t\\\ = \\\ t −φ (u) \\\ = \\ t
Como ε é arbitrário, temos
φ (u) = lim
t → 0
1
t [f (p + tu) - f (p)].
Mas isso é simplesmente D u f (p), pela Definição 1 em §1.
Assim, D u f (p) = φ (u) = df (p; u), provando (ii). D
Nota 2. Se E ′ = E n (C n ), o Teorema 2 (ii) mostra que se f é diferenciável em
p, tem as n parciais
D k f (p) = df (p; e k ), k = 1, ..., n.
Página 32
20 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Mas o inverso falha: a existência de D k f (p) nem mesmo implica con
tinuidade, muito menos diferenciabilidade (ver §1) Além disso, temos o seguinte
resultado.
Corolário 1. Se E ′ = E n (C n ) e se f: E ′ → E é diferenciável em p, então
(6) df (p; t) =
n
∑
k = 1
t k D k f (p) =
n
∑
k = 1
t k
∂
∂x k
f (p),
onde t = (t 1 , ..., t n ).
Prova. Por definição, φ = df (p; ·) é um mapa linear para um p fixo.
Se E ′ = E n ou C n , podemos usar a fórmula (3) de §2, substituindo f e x por φ
e t, e obter
φ (t) = df (p; t) =
n
∑
k = 1
t k df (p; e k ) =
n
∑
k = 1
t k D k f (p)
pela Nota 2. D
Nota 3. Na notação clássica, escreve-se ∆x k ou dx k para t k em (6). Portanto,
omitindo p e t, a fórmula (6) é muitas vezes escrita como
(6 ′ ) df =
∂f
∂x 1
dx 1 +
∂f
∂x 2
dx 2 + ··· +
∂f
∂x n
dx n .
Em particular, se n = 3, escrevemos x, y, z para x 1 , x 2 , x 3 . Isso produz
(6 ′ ′ ) df =
∂f
dx +
∂f
dy +
∂f
dz
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∂x ∂y ∂z
(uma fórmula de cálculo familiar).
Nota 4. Se o espaço de intervalo E no Corolário 1 for E 1 (C), então o D k f (p)
formar uma n-tupla de escalares, ou seja, um vetor em E n (C n ).
No caso f: E n → E 1 , o denotamos por
∇f (p) = (D 1 f (p), ..., D n f (p)) =
n
∑
k = 1
e k D k f (p).
No caso f: C n → C, substituímos D k f (p) por seus conjugados D k f (p) e definimos
∇f (p) =
n
∑
k = 1
e k D k f (p).
O vetor ∇f (p) é denominado gradiente de f (“gradf”) em p.
Página 33
§3. Funções Diferenciáveis 21
De (6) obtemos
(7) df (p; t) =
n
∑
k = 1
t k D k f (p) = t · ∇f (p)
(produto escalar de t por ∇f (p)), desde que f: E n → E 1 (ou f: C n → C) seja diferente-
afetável na p.
Isso nos leva ao seguinte resultado.
Corolário 2. Uma função f: E n → E 1 (ou f: C n → C) é diferenciável em p
sse
(8) lim
t → 0
1
| t |
| f (p + t) - f (p) - t · v | = 0
para algum v ∈ E n (C n ).
Nesse caso, necessariamente v = ∇f (p) e t · v = df (p; t), t ∈ E n (C n ).
Prova. Se f é diferenciável em p, podemos definir φ = df (p; ·) ev = ∇f (p).
Então, por (7),
φ (t) = df (p; t) = t · v;
então, pela Definição 1, (8) resultados.
Por outro lado, se algum v satisfaz (8), defina φ (t) = t · v. Então (8) implica (2),
e φ é linear e contínuo.
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Assim, por definição, f é diferenciável em p; então (7) é válido.
Além disso, φ é um funcional linear em E n (C n ). Pelo Teorema 2 (ii) no §2, o v em
φ (t) = t · v é único, assim como φ.
Assim, por (7), v = ∇f (p) necessariamente. D
Corolário 3 (lei da média). Se f: E n → E 1 (real) é relativamente contínuo
em um segmento fechado L [p, q], p = q, e diferenciável em L (p, q), então
(9) f (q) - f (p) = (q - p) · ∇f (x 0 )
para algum x 0 ∈ L (p, q).
Prova. Deixei
r = | q - p |, v =
1
r (q - p) e rv = (q - p).
Por (7) e Teorema 2 (ii),
D v f (x) = df (x; v) = v · ∇f (x)
para x ∈ L (p, q). Assim, pela fórmula (3 ′ ) do Corolário 2 no §1,
f (q) - f (p) = rD v f (x 0 ) = rv · ∇f (x 0 ) = (q - p) · ∇f (x 0 )
para algum x 0 ∈ L (p, q). D
Página 34
22 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Como sabemos, a mera existência de parciais não implica diferenciabilidade.
Mas a existência de parciais contínuos sim. Na verdade, temos o seguinte
teorema.
Teorema 3. Seja E ′ = E n (C n ).
Se f: E ′ → E tem as derivadas parciais D k f (k = 1, ..., n) em todas as
abra o conjunto A ⊆ E ′ , e se os D k f são contínuos em algum p ∈ A, então f é
diferenciável na p.
Prova. Com p como acima, deixe
φ (t) =
n
∑
k = 1
t k D k f (p) com t =
n
∑
k = 1
t k e k ∈ E ′ .
Então φ é contínuo (um polinômio!) E linear ( Corolário 2 em §2).
Assim, pela Definição 1, resta mostrar que
lim
t → 0
1
| t |
| ∆f - φ (t) | = 0;
isso é,
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(10) lim
t ∈0
1
| t |
∣
∣
∣
∣f (p
+ t) - f (p) -
n
∑
k = 1
t k D k f (p) ∣∣∣
∣
= 0.
Para fazer isso, fixe ε> 0. Como A está aberto e os D k f são contínuos em p ∈ A,
existe um δ> 0 tal que G p (δ) ⊆ A e simultaneamente (explique isso!)
(∀ x ∈ G p (δ)) | D k f (x) - D k f (p) | <
ε
n
, k = 1, ..., n.
Portanto, para qualquer conjunto I ⊆ G p (δ)
(11) e aí
x∈I | D k f (x) - D k f (p) | ≤
ε
n
. (Por quê?)
Agora fixe qualquer t ∈ E ′ , 0 <| t | <δ, e seja p 0 = p,
p k = p +
k
∑
i = 1
t i e i , k = 1, ..., n.
Então
p n = p +
n
∑
i = 1
t i e i = p + t,
| p k - p k − 1 | = | t k |, e todo p k reside em G p (δ), para
| p k - p | = ∣∣ ∣
∣
k
∑
i = 1
t i e i ∣∣∣
∣
= √
√
√
√
k
∑
i = 1
| t i | 2 ≤ √
√
√
√
n
∑
i = 1
| t i | 2 = | t | <δ,
Página 35
§3. Funções Diferenciáveis 23
como requerido.
Como G p (δ) é convexo (Capítulo 4, §9), os segmentos I k = L [p k − 1 , p k ] estão todos em
G p (δ) ⊆ A; e por suposição, f tem todos os parciais ali.
Portanto, pelo Teorema 1 em §1, f é relativamente contínuo em todo I k .
Tudo isso também se aplica às funções g k , definidas por
(12) (∀ x ∈ E ′ ) g k (x) = f (x) - x k D k f (p), k = 1, ..., n.
(Porque aqui
D k g k (x) = D k f (x) - D k f (p).
(Por quê?)
Assim, pelo Corolário 2 no § 1 e (11) acima,
| g k (p k ) - g k (p k − 1 ) | ≤ | p k - p k − 1 | e aí
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x∈I k | D k f (x) - D k f (p) |
≤
ε
n | t k | ≤
ε
n | t |,
Desde a
| p k - p k − 1 | = | t k e k | ≤ | t |,
por construção.
Combine com (12), lembrando que a k-ésima coordenada x k , para p k e p k − 1 ,
diferem por t k ; então obtemos
(13)
| g k (p k ) - g k (p k − 1 ) | = | f (p k ) - f (p k − 1 ) - t k D k f (p) |
≤
ε
n | t |.
Além disso,
n
∑
k = 1
[f (p k ) - f (p k − 1 )] = f (p n ) - f (p 0 )
= f (p + t) - f (p) = ∆f (veja acima).
portanto
∣
∣
∣
∣∆f
-
n
∑
k = 1
t k D k f (p) ∣∣∣
∣
= ∣∣∣
∣
n
∑
k = 1
[f (p k ) - f (p k − 1 ) - t k D k f (p)] ∣∣ ∣
∣
≤ n ·
ε
n | t | = ε | t |.
Como ε é arbitrário, (10) segue, e tudo está provado. D
Teorema 4. Se f: E n → E m (ou f: C n → C m ) é diferenciável em p, com
f = (f 1 , ..., f m ), então [f ′ (p)] é uma matriz m × n,
(14) [f ′ (p)] = [D k f i (p)], i = 1, ..., m, k = 1, ..., n.
Página 36
24 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Prova. Por definição, [f ′ (p)] é a matriz do mapa linear φ = df (p; ·),
φ = (φ 1 , ..., φ m ). Aqui
φ (t) =
n
∑
k = 1
t k D k f (p)
pelo Corolário 1.
Como f = (f 1 , ..., f m ), podemos calcular D k f (p) componente a componente pelo Teorema 5
do Capítulo 5, §1, e Nota 2 no §1 para obter
D k f (p) = (D k f 1 (p), ..., D k f m (p))
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=
m
∑
i = 1
e ′
i D k f i (p), k = 1,2, ..., n,
onde o e ′
i são os vetores básicos em E m (C m ). (Lembre-se de que e k são os
vetores básicos em E n (C n ).)
portanto
φ (t) =
m
∑
i = 1
e ′
i φ i (t).
Além disso,
φ (t) =
n
∑
k = 1
t k
m
∑
i = 1
e ′
i D k f i (p) =
m
∑
i = 1
e ′Eu
n
∑
k = 1
t k D k f i (p).
A singularidade da decomposição (Teorema 2 no Capítulo 3, §§1-3) agora
rendimentos
φ i (t) =
n
∑
k = 1
t k D k f i (p), i = 1,. . . , m, t ∈ E n ( Cn ).
Se aqui t = e k , então t k = 1, enquanto t j = 0 para j = k. Assim obtemos
φ i (e k ) = D k f i (p), i = 1, ..., m, k = 1, ..., n.
Conseqüentemente
φ (e k ) = (v 1k , v 2k , ..., v mk ),
Onde
v ik = φ i (e k ) = D k f i (p).
Mas, pela Nota 3 do §2, v 1k , ..., v mk (escritoverticalmente) é a k-ésima coluna de
a matriz m × n [φ] = [f ′ (p)]. Assim, a fórmula (14) realmente resulta. D
Em conclusão, vamos enfatizar novamente que enquanto D u f (p) é uma constante, para um
p, df (p; ·) é um mapeamento
φ ∈ L (E ′ , E),
especialmente “adaptado” para p.
Página 37
§3. Funções Diferenciáveis 25
O leitor deve estudar cuidadosamente, pelo menos, os problemas “direcionados” abaixo.
Problemas em funções diferenciáveis
1. Preencha os detalhes que faltam nas provas desta seção.
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2. Verifique a Nota 1. Descreva [f ′ (p)] para f: E 1 → E m , também. Dar exemplos.
⇒3. Um mapa f: E ' → E é dito para satisfazer uma condição de Lipschitz (L) da ordem
α> 0 em p iff
(∃ δ> 0) (∃ K ∈ E 1 ) (∀ x ∈ G ¬ p (δ)) | f (x) - f (p) | ≤ K | x - p | α .
Prove o seguinte.
(i) Isso implica continuidade em p (mas não o contrário; consulte o Problema 7 em
Capítulo 5, §1).
(ii) L de ordem> 1 implica diferenciabilidade em p, com df (p; ·) = 0
em E ′ .
(iii) Diferenciabilidade em p implica L de ordem 1 (aplique o Teorema 1 em §2
para φ = df).
(iv) Se f e g são diferenciáveis em p, então
lim
x → p
1
| ∆ x |
| ∆f || ∆g | = 0.
4. Para as funções do Problema 5 em §1, encontre aqueles p em que f é diferente-
envolvente. Encontrar
∇f (p), df (p; ·) e [f ′ (p)].
[Dica: use o Teorema 3 e o Corolário 1.]
⇒5. Prove as seguintes afirmações.
(i) Se f: E ′ → E é constante em um globo aberto G ⊂ E ′ , é diferente
passível em cada p ∈ G, e df (p, ·) = 0 em E ′ .
(ii) Se o último for válido para cada p ∈ G - Q (Q contável), então f é
constante em G (mesmo em G), desde que f seja relativamente contínuo
lá.
[Dica: Dado p, q ∈ G, use o Teorema 2 em §1 para obter f (p) = f (q).]
6. Faça o Problema 5 no caso de G ser qualquer conjunto conectado por polígono aberto em E ′ . (Vejo
Capítulo 4, §9.)
⇒7. Prove o seguinte.
(i) Se f, g: E ′ → E são diferenciáveis em p, então é
h = af + bg,
Página 38
26 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
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para quaisquer escalares a, b (se f e g são escalares com valor, a e b podem servetores); além disso,
d (af + bg) = a df + b dg,
ie,
dh (p; t) = a df (p; t) + b dg (p; t), t ∈ E ′ .
(ii) No caso f, g: E m → E 1 ou C m → C, deduza também que
∇h (p) = a∇f (p) + b ∇g (p).
⇒8. Prove que se f, g: E ′ → E 1 (C) são diferenciáveis em p, então o são
h = gf e k =
g
f
.
(o último, se f (p) = 0). Além disso, com a = f (p) e b = g (p), mostre
este
(i) dh = a dg + b df e
(ii) dk = (a dg - b df) / a 2 .
Se ainda E ′ = E n (C n ), verifique se
(iii) ∇h (p) = a∇g (p) + b∇f (p) e
(iv) ∇k (p) = (a∇g (p) - b∇f (p)) / a 2 .
Prove (i) e (ii) para g com valor vetorial também.
[Dicas: (i) Defina φ = a dg + b df, com a e b como acima. Verifique isso
∆h - φ (t) = g (p) (∆f - df (t)) + f (p) (∆g - dg (t)) + (∆f) (∆g).
Use o Problema 3 (iv) e a Definição 1.
(ii) Seja F (t) = 1 / f (t). Mostre que dF = −df / a 2 . Em seguida, aplique (i) a gF.]
⇒9. Seja f: E ′ → E m (C m ), f = (f 1 , ..., f m ). Provar que
(i) f é linear sse todos os seus m componentes f k são;
(ii) f é diferenciável em p sse todos os f k são, e então df = (df 1 , ..., df m ).
Portanto, se f for complexo, df = df re + i · df im .
10. Prove as seguintes afirmações.
(i) Se f ∈ L (E ′ , E), então f é diferenciável em E ′ , e df (p; ·) = f,
p ∈ E ′ .
(ii) Tal é qualquer monômio de primeiro grau, portanto, qualquer soma de tal mono-
mials.
11. Qualquer função racional é diferenciável em seu domínio.
[Dica: Use os Problemas 10 (ii), 7 e 8. Proceda como no Teorema 3 no Capítulo 4, §3.]
Página 39
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§3. Funções Diferenciáveis 27
12. Faça o Problema 8 (i) no caso de g é apenas contínuo em p, e f (p) = 0. Encontre
dh.
13. Faça o Problema 8 (i) para produtos escalares h = f · g das funções f, g: E ′ →
E m (C m ).
14. Prove o seguinte.
(i) Se φ ∈ L (E n , E 1 ) ou φ ∈ L (C n , C), então φ = | v |, com v como em §2,
Teorema 2 (ii).
(ii) Se f: E n → E 1 (f: C n → C 1 ) é diferenciável em p, então
df (p; ·) = | ∇f (p) |.
Além disso, no caso f: E n → E 1 ,
| ∇f (p) | ≥ D u f (p) se | u | = 1
e
| ∇f (p) | = D u f (p) quando u = ∇f (p)
| ∇f (p) |
;
portanto
| ∇f (p) | = max
| u | = 1
D u f (p).
[Dicas: Use o caso de igualdade no Teorema 4 (c ') do Capítulo 3, §§1–3. Use a fórmula (7),
Corolário 2 e Teorema 2 (ii).]
15. Mostre que o Teorema 3 é válido mesmo se
(i) D 1 f é descontínuo em p, e
(ii) f tem parciais em A - Q apenas (Q contável, p ∈ Q), desde que f seja
contínuo em A em cada uma das últimas n - 1 variáveis.
[Dica: Para k = 1, a fórmula (13) ainda resulta pela definição de D 1 f, se um δ adequado tiver
foi escolhido.]
∗ 16. Mostre que o Teorema 3 e o Problema 15 também se aplicam a qualquer f: E ′ → E
onde E ′ é n-dimensional com base {u 1 , ..., u n } (ver Problema 12 em
§2) se escrevermos D k f para D u k f.
[Dicas: Suponha | u k | = 1, 1 ≤ k ≤ n (se não, substitua u k por u k / | u k |; mostre que isso
produz outra base). Modifique a prova de forma que p k ainda estejam em G p (δ). Cuidado:
A norma padrão de E n não se aplica aqui.]
17. Seja f k : E 1 → E 1 diferenciável em p k (k = 1, ..., n). Para x =
(x 1 , ..., x n ) ∈ E n , definir
F (x) =
n
∑
k = 1
f k (x k ) e G (x) =
n
∏
k = 1
f k (x k ).
Mostre que F e G são diferenciáveis em p = (p 1 , ..., p n ). Expressar
∇F (p) e ∇G (p) em termos de f ′
k (p k ).
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Página 40
28 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
[Dica: para usar os Problemas 7 e 8, substitua f k por funções adequadas definidas
em E n . Para ∇G (p), “imite” o Problema 6 no Capítulo 5, §1.]
§4. A regra da cadeia. A Regra Invariante de Cauchy
Para generalizar a regra da cadeia (Capítulo 5, §1), consideramos o composto h = g◦f
de duas funções, f: E ′ → E ′ ′ eg: E ′ ′ → E, com E ′ , E ′ ′ , e E como antes.
Teorema 1 (regra da cadeia). E se
f: E ′ → E ′ ′ e g: E ′ ′ → E
são diferenciáveis em p e q = f (p), respectivamente, então
h = g ◦ f
é diferenciável em p, e
(1) dh (p; ·) = dg (q; ·) ◦ df (p; ·).
Resumidamente: “O diferencial do composto é o composto de diferenciais”.
Prova. Seja U = df (p; ·), V = dg (q; ·) e φ = V ◦ U.
Como U e V são mapas contínuos lineares, φ também o é. Devemos mostrar que φ =
dh (p; ·).
Aqui é mais conveniente escrever ∆ x ou x - p para o “t” da Definição 1
em §3. Por brevidade, definimos (com q = f (p))
w (x) = ∆h - φ (∆ x) = h (x) - h (p) - φ (x - p), x ∈ E ′ ,(2)
u (x) = ∆f - U (∆ x) = f (x) - f (p) - U (x - p), x ∈ E ′ ,(3)
v (y) = ∆g - V (∆ y) = g (y) - g (q) - V (y - q), y ∈ E ′ ′ .(4)
Então o que temos que provar (ver Definição 1 em §3) se reduz a
(5) lim
x → p
w (x)
| x - p |
= 0,
enquanto a existência assumida de df (p; ·) = U e dg (q; ·) = V pode ser ex-
pressionado como
(5 ′ ) lim
x → p
u (x)
| x - p |
= 0,
e
(5 ′ ′ ) lim
y → q
v (y)
| y - q |
= 0, q = f (p).
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Página 41
§4. A regra da cadeia. A Regra Invariante de Cauchy 29
De (2) e (3), lembrando que h = g ◦ f e φ = V ◦ U, obtemos
(6)
w (x) = g (f (x)) - g (q) - V (U (x - p))
= g (f (x)) - g (q) - V (f (x) - f (p) - u (x)).
Usando (4), com y = f (x), e a linearidade de V, reescrevemos (6) como
w (x) = g (f (x)) - g (q) - V (f (x) - f (p)) - V (u (x))
= v (f (x)) + V (u (x)).
(Verifique!) Assim, a fórmula desejada (5) será provada se mostrarmos que
(6 ′ ) lim
x → p
V (u (x))
| x - p |
= 0
e
(6 ′ ′ ) lim
x → p
v (f (x))
| x - p |
= 0.
Agora, como V é linear e contínuo, a fórmula (5 ′ ) resulta em (6 ′ ). De fato,
lim
x → p
V (u (x))
| x - p |
= lim
x → p V (u (x)
| x - p |)
= V (0) = 0
pelo Corolário 2 no Capítulo 4, §2. (Por quê?)
Da mesma forma, (5 ′ ′ ) implica (6 ′ ′ ) substituindo y = f (x), uma vez que
| f (x) - f (p) | ≤ K | x - p |
pelo Problema 3 (iii) em §3. (Explique!) Assim, tudo está provado. D
Nota 1 (regra invariante de Cauchy). Sob as mesmas premissas, também temos
(7) dh (p; t) = dg (q; s)
se s = df (p; t), t ∈ E ′ .
Para com U e V como acima,
dh (p; ·) = φ = V ◦ U.
Assim se
s = df (p; t) = U (t),
temos
dh (p; t) = φ (t) = V (U (t)) = V (s) = dg (q; s),
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prova (7).
Página 42
30 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Nota 2. Se
E ′ = E n (C n ), E ′ ′ = E m (C m ) e E = E r (C r )
então, pelo Teorema 3 de §2 e Definição 2 em §3, podemos escrever (1) na matriz
Formato,
[h ′ (p)] = [g ′ (q)] [f ′ (p)],
assemelhando-se ao Teorema 3 no Capítulo 5, §1 (com feg trocados). Além disso,
Nós temos o seguinte teorema.
Teorema 2. Com tudo como no Teorema 1, deixe
E ′ = E n (C n ), E ′ ′ = E m (C m ),
e
f = (f 1 , ..., f m ).
Então
D k h (p) =
m
∑
i = 1
D i g (q) D k f i (p);
ou, em notação clássica,
(8)
∂
∂x k
h (p) =
m
∑
i = 1
∂
∂y i g (q) ·
∂
∂x k
f i (p), k = 1,2, ..., n.
Prova. Fixe qualquer vetor básico e k em E ′ e defina
s = df (p; e k ), s = (s 1 , ..., s m ) ∈ E ′ ′ .
Como f é diferenciável em p, seus componentes f i (Problema 9 em §3), e
s i = df i (p; e k ) = D k f i (p)
pelo Teorema 2 (ii) em §3. Usando também o Corolário 1 em §3, obtemos
dg (q; s) =
m
∑
i = 1
s i D i g (q) =
m
∑
i = 1
D k f i (p) D i g (q).
Mas como s = df (p; e k ), a fórmula (7) produz
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dg (q; s) = dh (p; e k ) = D k h (p)
pelo Teorema 2 (ii) em §3. Assim, o resultado segue. D
Nota 3. O Teorema 2 é freqüentemente chamado de regra da cadeia para funções de vários
variáveis. Ele produz o Teorema 3 no Capítulo 5, §1, se m = n = 1.
Página 43
§4. A regra da cadeia. A Regra Invariante de Cauchy 31
No cálculo clássico, muitas vezes fala-se de derivadas e diferenciais de vari-
ables y = f (x 1 , ..., x n ) em vez de mapeamentos. Assim, o Teorema 2 é
declarado da seguinte forma.
Seja u = g (y 1 , ..., y m ) diferenciável. Se, por sua vez, cada
y i = f i (x 1 , ..., x n )
é diferenciável para i = 1, ..., m, então u também é diferenciável como um com
função posita das n variáveis x k , e (fórmula de "simplificação" (8)) nós
ter
(8 ′ )
∂u
∂x k
=
m
∑
i = 1
∂u
Iy eu
Iy eu
∂x k
, k = 1,2, ..., n.
Entende-se que os parciais
∂u
∂x k
e
Iy eu
∂x k são tomados em algum p ∈ E ′ ,
enquanto os ∂u / ∂y i estão em q = f (p), onde f = (f 1 , ..., f m ). Esta “variável”
notação é conveniente em cálculos, mas pode causar ambigüidades (consulte o
próximo exemplo).
Exemplo.
Seja u = g (x, y, z), onde z depende de x e y:
z = f 3 (x, y).
Defina f 1 (x, y) = x, f 2 (x, y) = y, f = (f 1 , f 2 , f 3 ) eh = g ◦ f; assim
h (x, y) = g (x, y, z).
Por (8 ′ ),
∂u
∂x
=
∂u
∂x
∂x
∂x
+
∂u
∂y
∂y
∂x
+
∂u
∂z
∂z
∂x
.
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Aqui
∂x
∂x
=
∂f 1
∂x
= 1 e
∂y
∂x
= 0,
para f 2 não depende de x. Assim obtemos
(9)
∂u
∂x
=
∂u
∂x
+
∂u
∂z
∂z
∂x
.
(Pergunta: É (∂u / ∂z) (∂z / ∂x) = 0?)
O problema com (9) é que a variável u “se apresenta” como g e h.
À esquerda, é h; à direita, é g.
Página 44
32 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Para evitar isso, nosso método é diferenciar mapeamentos bem definidos, não
“Variáveis.” Assim, em (9), temos os mapas
g: E 3 → E e f: E 2 → E 3 ,
com f 1 , f 2 , f 3 conforme indicado. Então, se h = g ◦ f, o Teorema 2 afirma (9)
inequivocamente como
D 1 h (p) = D 1 g (q) + D 3 g (q) · D 1 f (p),
onde p ∈ E 2 e
q = f (p) = (p 1 , p 2 , f 3 (p)).
(Por quê?) Na notação clássica,
∂h
∂x
=
∂g
∂x
+
∂g
∂z
∂f 3
∂x
(evitando o “paradoxo” de (9)).
No entanto, com o devido cuidado, pode-se usar a notação "variável" onde
conveniente. O leitor deve praticar ambos (veja os Problemas).
Nota 4. A regra de Cauchy (7), em notação de "variável", transforma-se em
(10) du =
m
∑
i = 1
∂u
Iy eu
dy i =
n
∑
k = 1
∂u
∂x k
dx k ,
onde dx k = t k e dy i = df i (p; t).
Na verdade, pelo Corolário 1 no §3,
dh (p; t) =
n
∑ D k h (p) · t k e dg (q; s) =
m
∑ D i g (q) · s i .
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k = 1 i = 1
Agora, em (7),
s = (s 1 , ..., s m ) = df (p; t);
então, pelo Problema 9 no §3,
df i (p; t) = s i , i = 1, ..., m.
Reescrevendo tudo na notação “variável”, obtemos (10).
A "vantagem" de (10) é que du tem a mesma forma, independentemente de
se u é tratado como uma função de x k ou de y i (daí o nome
Regra “invariante”). No entanto, deve-se lembrar o significado de dx k e dy i ,
que são bastante diferentes.
A "invariância" também falha completamente para diferenciais de ordem superior (§5 ).
As vantagens da notação "variável" desaparecem, a menos que se seja capaz de "trans-
tarde ”em fórmulas precisas.
Página 45
§4. A regra da cadeia. A Regra Invariante de Cauchy 33
Problemas adicionais em funções diferenciáveis
1. Para E = E r (C r ) prove o Teorema 2 diretamente.
[Dica: Encontre
D k h j (p), j = 1, ..., r,
do Teorema 4 do §3, e Teorema 3 do §2. Verifique isso
D k h (p) =
r
∑
j = 1
e j D k h j (p) e D i g (q) =
r
∑
j = 1
e j D i g j (q),
onde o e j são os vetores unitários básicos em E r . Continuar.]
2. Seja g (x, y, z) = u, x = f 1 (r, θ), y = f 2 (r, θ), z = f 3 (r, θ), e
f = (f 1 , f 2 , f 3 ): E 2 → E 3 .
Assumindo diferenciabilidade, verifique (usando "variáveis") que
du =
∂u
∂x
dx +
∂u
∂y
dy +
∂u
∂z
dz =
∂u
∂r
dr +
∂u
∂θ
dθ
calculando derivadas de (8 ′ ). Em seguida, faça tudo na notação de mapeamento
para H = g ◦ f, dH (p; t).
3. Para as funções específicas f, g, h e k dos Problemas 4 e 5 do §2, defina
levantar e resolver problemas análogos ao Problema 2, usando
(a) k ◦ f; (b) g ◦ k; (c) f ◦ h; (d) h ◦ g.
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4. Para as funções do Problema 5 em §1, encontre as fórmulas para df (p; t). Em
em qual p existe df (p; ·) em cada caso dado? Descreva-o para um p escolhido.
5. Do Teorema 2, com E = E 1 (C), encontre
∇h (p) =
n
∑
k = 1
D k g (q) ∇f k (p).
6. Use o Teorema 1 para uma nova solução do Problema 7 em §3 com E = E 1 (C).
[Dica: Defina F em E ′ e G em E 2 (C 2 ) por
F (x) = (f (x), g (x)) e G (y) = ay 1 + por 2 .
Então h = af + bg = G ◦ F. (Por quê?) Use os Problemas 9 e 10 (ii) de §3. Faça tudo dentro
Notação de “variável” também.]
7. Use o Teorema 1 para uma nova prova do “somente se” no Problema 9 em §3.
[Dica: Defina f i = g ◦ f, onde g (x) = x i (o iésimo “mapa de projeção”) é um monômio.
Verificar!]
8. Faça o Problema 8 (i) em §3 para o caso E ′ = E 2 (C 2 ), com
f (x) = x 1 e g (x) = x 2 .
Página 46
34 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
(Simplifique!) Em seguida, faça o caso geral como no Problema 6 acima, com
G (y) = y 1 y 2 .
9. Use o Teorema 2 para uma nova prova do Teorema 4 no Capítulo 5, §1. (Continuar
como nos Problemas 6 e 8, com E ′ = E 1 , de modo que D 1 h = h ′ .) Faça isso no
Notação de “variável” também.
10. Sob suposições de diferenciabilidade adequadas, use a fórmula (8 ′ ) para expressar
as parciais de você se
(i) u = g (x, y), x = f (r) h (θ), y = r + h (θ) + θf (r);
(ii) u = g (r, θ), r = f (x + f (y)), θ = f (xf (y));
(iii) u = g (x y , y z , z x + y ).
Em seguida, refaça tudo na terminologia de “mapeamento” também.
11. Seja o mapa g: E 1 → E 1 diferenciável em E 1 . Encontrar | ∇h (p) | E se
h = g ◦ f e
(i) f (x) =
n
∑
k = 1
x k , x ∈ E n ;
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(ii) f (x) = | x | 2 , x ∈ E n .
12. (Teorema de Euler.) Um mapa f: E n → E 1 (ou C n → C) é chamado de homoge-
neous de grau m em G iff
(∀ t ∈ E 1 (C)) f (tx) = t m f (x)
quando x, tx ∈ G. Prove as seguintes afirmações.
(i) Se assim for, ef é diferenciável em p ∈ G (um globo aberto), então
p · ∇f (p) = mf (p).
∗ (ii) Por outro lado, se o último vale para todo p ∈ G e se 0 ∈ G, então f é
homogêneo de grau m em G.
(iii) E se 0 ∈ G?
[Dicas: (i) Seja g (t) = f (tp). Encontre g ′ (1). (iii) Pegue f (x, y) = x 2 y 2 se x ≤ 0, f = 0 se
x> 0, G = G 0 (1).]
13. Experimente o Problema 12 para f: E ′ → E, substituindo p · ∇f (p) por df (p; p).
14. Com tudo como no Teorema 1, prove o seguinte.
(i) Se E ′ = E 1 es = f ′ (p) = 0, então h ′ (p) = D s g (q).
(ii) Se u e v são diferentes de zero em E ′ e au + bv = 0 para alguns escalares a, b,
então
D a u + bv f (p) = aD u f (p) + bD v f (p).
Página 47
§4. A regra da cadeia. A Regra Invariante de Cauchy 35
(iii) Se f é diferenciável em um globo G p , e u = 0 em E ′ , então
D u f (p) = lim
x → u
D x (p).
[Dicas: Use o Teorema 2 (ii) do §3 e a Nota 1.]
15. Use o Teorema 2 para encontrar as funções parcialmente derivadas de f, se
(i) f (x, y, z) = (sin (xy / z))
x
;
(ii) f (x, y) = log x ∣ ∣tan (y / x)
∣
∣.
(Defina f = 0 sempre que indefinido.)
§5. Diferenciação repetida. Teorema de Taylor
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Em §1 , definimos funções derivadas dirigidas por u, D u f para qualquer f: E ′ → E e qualqueru = 0 em E ′ .
Assim, dada uma sequência {u i } ⊆ E ′ - {0}, podemos primeiro formar D u 1 f, então
D u 2 (D u 1 f) (a função derivada u 2 -direcionada de D u 1 f), então a u 3 -dirigida
função derivada de D u 2 (D u 1 f), e assim por diante. Chamamos todas as funções formadas de
funções derivadas direcionais de ordem superior de f.
Se em cada etapa o limite postulado na Definição 1 de §1 existe para todo p em um
conjunto B ⊆ E ′ , nós as chamamos de derivadas direcionais de ordem superior de f (em B).
Se todos u i são vetores unitários básicos em E n (C n ), dizemos "parcial" em vez de "di-
rectional. ”
Também definimos D 1vocêf = D u f e
(1) D k
u 1 u 2 ... u k f = D u k (D k − 1 u 1 u 2 ... u k − 1 f), k = 2,3, ...,
e chame D k
u 1 u 2 ... u k fa função derivada direcional de ordem k. (Alguns autores
denote-o por D k u k u k − 1 ... u 1 f.)
Se todo u i for igual a u, escrevemos D kvocêem vez disso.
Para funções parcialmente derivadas, simplificamos esta notação, escrevendo 1 2 ... para
e 1 e 2 ... e omitindo o "k" em D k (exceto na notação clássica):
D 12 f = D 2
e 1 e 2 f =
∂ 2 f
∂x 1 ∂x 2
, D 11 f = D 2
e 1 e 1 f =
∂ 2 f
∂x 21
etc.
Também definimos D 0vocêf = f para qualquer vetor u.
Exemplo.
(A) Defina f: E 2 → E 1 por
f (0,0) = 0, f (x, y) =
xy (x 2 - y 2 )
x 2 + y 2
.
Página 48
36 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Então
∂f
∂x
= D 1 f (x, y) =
y (x 4 + 4x 2 y 2 - y 4 )
(x 2 + y 2 ) 2
,
de onde D 1 f (0, y) = −y se y = 0; e também
D 1 f (0,0) = lim
x → 0
f (x, 0) - f (0,0)
x
= 0. (Verifique!)
Assim, D 1 f (0, y) = −y sempre, e então D 12 f (0, y) = −1; D 12 f (0,0) = −1.
Similarmente,
x (x 4 - 4x 2 y 2 - y 4 )
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D 2 f (x, y) = (x 2 + y 2 ) 2
se x = 0 e D 2 f (0,0) = 0. Assim (∀ x) D 2 f (x, 0) = x e assim
D 21 f (x, 0) = 1 e D 21 f (0,0) = 1 = D 12 f (0,0) = −1.
O exemplo anterior mostra que podemos muito bem ter D 12 f = D 21 f, ou mais
geralmente, D 2 uv f = D 2 vu f. No entanto, obtemos o seguinte teorema.
Teorema 1. Dados os vetores diferentes de zero uev em E ′ , suponha que f: E ′ → E tem
os derivados
D u f, D v f e D 2
uv f
em um conjunto aberto A ⊆ E ′ .
Se D 2
uv f é contínuo em algum p ∈ A, então a derivada D 2 vu
f (p) também
existe e é igual a D 2 uv f (p).
Prova. Pelo Corolário 1 em §1, tudo se reduz ao caso | u | = 1 = | v |. (Por quê?)
Dado ε> 0, fixe δ> 0 tão pequeno que G = G p (δ) ⊆ A e simultaneamente
(2) e aí
x∈G | D 2
uv f (x) - D 2 uv f (p) | ≤ ε
(pela continuidade de D 2 uv f em p).
Agora (∀ s, t ∈ E 1 ) defina H t : E 1 → E por
H t (s) = D u f (p + tu + sv).
Deixei
I = (-
δ
2
,
δ
2)
.
Se s, t ∈ I, o ponto x = p + tu + sv está em G p (δ) ⊆ A, uma vez que
| x - p | = | tu + sv | <
δ
2
+
δ
2
= δ.
Página 49
§5. Diferenciação repetida. Teorema de Taylor 37
Assim, por suposição, a derivada D 2 uv f (p) existe. Além disso,
H ′
t (s) = lim∆s → 0
1
∆s
[H t (s + ∆s) - H t (s)]
= lim
∆s → 0
1
∆s
[D u f (x + ∆s · v) - D u f (x)].
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Mas o último limite é D 2 uv f (x), por definição. Assim, definindo
h t (s) = H t (s) - sD 2
uv f (p),
Nós temos
h ′
t (s) = H ′ t (s) - D 2 uv f (p)
= D 2
uv f (x) - D 2 uv f (p).
Vemos que h t é diferenciável em I, e por (2),
e aí
s∈I | h ′
t (s) | ≤ sup
x∈G | D 2
uv f (x) - D 2 uv f (p) | ≤ ε
para todo t ∈ I. Conseqüentemente, pelo Corolário 1 do Capítulo 5, §4,
| h t (s) - h t (0) ≤ | s | sup
σ∈I | h ′
t (σ) | ≤ | s | ε.
Mas por definição,
h t (s) = D u f (p + tu + sv) - sD 2
uv f (p)
e
h t (0) = D u f (p + tu).
portanto
(3) | D u f (p + tu + sv) - D u f (p + tu) - sD 2
uv f (p) | ≤ | s | ε
para todos s, t ∈ I.
Em seguida, defina
G s (t) = f (p + tu + sv) - f (p + tu)
e
g s (t) = G s (t) - st · D 2
uv f (p).
Como antes, descobre-se que (∀ s ∈ I) g s é diferenciável em I e que
g ′
s (t) = D u f (p + tu + sv) - D u f (p + tu) - sD 2 uv f (p)
para s, t ∈ I. (Verifique!)
Portanto, por (3),
e aí
t∈I | g ′
s (t) | ≤ | s | ε.
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38 Capítulo 6. Diferenciação em E n e outros espaços lineares normados
Novamente, pelo Corolário 1 do Capítulo 5, §4,
03/02/2021 Analise matemática. Volume II
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| g s (t) - g s (0) | ≤ | st | ε,
ou pela definição de g s (assumindo s, t ∈ I - {0} e dividindo por st),
∣
∣
∣
1
st [f (p + tu + sv) - f (p + tu)] - D 2 uv f (p) -
1
st [f (p + sv) - f (p)] ∣∣∣ ≤ ε.
(Verifique!) Fazendo s → 0 (com t fixo), obtemos, pela definição de D v f,
∣
∣
∣
1
t
D v f (p + tu) -
1
t
D v f (p) - D 2
uv f (p) ∣∣∣ ≤ ε
sempre que 0 <| t | <δ / 2.
Como ε é arbitrário, temos
D 2
uv f (p) = lim t → 0
1
t
[D v f (p + tu) - D v f (p)].
Mas, por definição, esse limite é a derivada D 2 vu f (p). Assim tudo está provado. D
Nota 1. Por indução, o teorema se estende a derivadas de ordem> 2.
Assim, a derivada D k
u 1 u 2 ... u k f é independente da ordem em que u i
seguem um ao outro se ele existe e é contínuo em um conjunto aberto A ⊆ E ′ , junto
com derivadas apropriadas de ordem <k.
Se E ′ = E n (C n ), isso se aplica a parciais como um caso especial.
Para E n e C n apenas, também formulamos a seguinte definição.
Definição 1.
Seja E ′ = E n (C n ). Dizemos que f: E ′ → E é m vezes diferenciável em
p ∈ E ′ sse f f e todas as suas parciais de ordem <m são diferenciáveis em p.
Se isso vale para todo p em um conjunto B ⊆ E ′ , dizemos que f é m vezes
diferenciável em B.
Se, além disso, todas as parciais de ordem m são contínuas em p (em B), nós
diga que f é da classe CD m , ou continuamente diferenciável m vezes lá,
e escreva f ∈ CD m em p (em B).
Finalmente, se isso vale para todo m natural, escrevemos f ∈ CD ∞ em p (em B,
respectivamente).
Definição 2.
Dado o espaço E ′ = E n (C n ), a função f: E ′ → E, e um ponto
p ∈ E ′ , definimos os mapeamentos
d m f (p; ·), m = 1,2, ...,
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§5. Diferenciação repetida. Teorema de Taylor 39
de E ′ para E definindo para cada t = (t 1 , ..., t n )
(4)
d 1 f (p; t) =
n
∑
i = 1
D i f (p) · t i ,
d 2 f (p; t) =
n
∑
j = 1
n
∑
i = 1
D ij f (p) · t i t j ,
d 3 f (p; t) =
n
∑
k = 1
n
∑
j = 1
n
∑
i = 1
D ijk f (p) · t i t j t k e assim por