Lista1_Nota2_Rev_Analise_Combinatoria

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA – Lista 1 da Nota Parcial 2
01) Uma lanchonete dispõe de quatro tipos de pães (francês, italiano, pão de forma, centeio), três tipos de saladas (alface, pepino, rúcula) e somente queijo branco. Faça a árvore das possibilidades para um sanduiche que contenha apenas um tipo de pão, um tipo de salada e que contenha queijo, destacando todos os resultados possíveis. 
02) Em uma roleta, estão desenhados os números 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, como na figura abaixo. Uma pessoa gira a roleta duas vezes. Apresente todos os resultados possíveis para os dois giros sucessivos. 
Sugestão: Em vez da árvore das possibilidades, faça um quadro para apresentar os resultados possíveis. 
	g1\g2
	10
	20
	30
	40
	50
	60
	70
	80
	10
	10,10
	10,20
	10,30
	10,40
	10,50
	10,60
	10,70
	10,80
	20
	20,10
	20,20
	20,30
	20,40
	20,50
	20,60
	20,70
	20,80
	30
	30,10
	30,20
	30,30
	30,40
	30,50
	30,60
	30,70
	30,80
	40
	40,10
	40,20
	40,30
	40,40
	40,50
	40,60
	40,70
	40,80
	50
	50,10
	50,20
	50,30
	50,40
	50,50
	50,60
	50,70
	50,80
	60
	60,10
	60,20
	60,30
	60,40
	60,50
	60,60
	60,70
	60,80
	70
	70,10
	70,20
	70,30
	70,40
	70,50
	70,60
	70,70
	70,80
	80
	80,10
	80,20
	80,30
	80,40
	80,50
	80,60
	80,70
	80,80
03) A partir de uma população de tamanho N = 3, com todas as unidades elementares distintas entre si, quantas amostras de tamanho n = 2 podem ser obtidas, usando amostragem casual simples, com reposição? Faça a árvore das possibilidades.
3*3=9 
04) A partir de uma população de tamanho N = 3, com todas as unidades elementares distintas entre si, quantas amostras de tamanho n = 2 podem ser obtidas, usando amostragem casual simples, sem reposição? Faça a árvore das possibilidades.
 3*2=6
05) Conceitue o princípio multiplicativo, em análise combinatória.
Se uma decisão 𝑑1 pode ser tomada de 𝑛1 maneiras e, em seguida, outra decisão 𝑑2 pode ser tomada de 𝑛2 maneiras e assim, sucessivamente, até uma decisão 𝑑𝑘 puder ser tomada de 𝑛𝑘 maneiras, então o número total de maneiras de tomarmos as decisões 𝑑1, 𝑑2, ..., 𝑑𝑘 é
𝑛1 ∙ 𝑛2 ∙ … ∙ 𝑛𝑘
06) Conceitue e indique a fórmula de:
 a) Permutação simples
Permutação simples: é um tipo de agrupamento de 𝑛 elementos tomados a partir de 𝑛 elementos distintos entre si, de modo que a ordem dos elementos se alterada, altera o agrupamento.
Fórmula matemática: 𝑃𝑛 = 𝑛! , com 𝑛 ∈ 𝑁∗
 b) Permutação com repetição	
Permutação com repetição: é um tipo de agrupamento de 𝑛 elementos tomados a partir de 𝑛 elementos dentre os quais há 𝑛1 elementos iguais entre si, 𝑛2 elementos iguais entre si, 𝑛3 elementos iguais entre si, e, assim, sucessivamente, até 𝑛𝑘 elementos iguais entre si; sendo 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 +...+ 𝑛𝑘 = 𝑛 .
 c) Permutação circular
Permutação circular: é um tipo de agrupamento de 𝑛 elementos distintos entre si, que serão alocados em forma de círculo e não em forma de fila.
𝑃𝐶n = (𝑛 - 1)!, com 𝑛 ∈ 𝑁 -{1}
 d) Arranjo simples
Arranjo simples: é um tipo de agrupamento de 𝑝 elementos tomados a partir de 𝑛 elementos distintos entre si, com 𝑝 < 𝑛, de modo que tanto a ordem como a natureza dos
elementos se alteradas alteram o agrupamento.
Fórmula matemática: 𝐴𝑛,𝑝 = , com 𝑛 ∈ 𝑁∗, 𝑝 ∈ 𝑁* e 𝑝 < 𝑛 
 e) Arranjo com repetição	
Arranjo com repetição: é um tipo de agrupamento em que uma quantidade de 𝑛 elementos distintos entre si se repete, sucessivamente, por 𝑟 vezes.
Fórmula matemática: 𝐴𝑅𝑛,𝑟 = 𝑛𝑟, com 𝑛 ∈ 𝑁∗ e 𝑟 ∈ 𝑁∗
 f) Combinação
Combinação: é um tipo de agrupamento de 𝑝 elementos tomados a partir de 𝑛 elementos distintos entre si, com 𝑝 < 𝑛, de modo somente a natureza, e não a ordem, dos elementos se alterada altera o agrupamento.
𝐶𝑛,𝑝 = , com 𝑛 ∈ 𝑁∗, 𝑝 ∈ 𝑁* e 𝑝 < 𝑛 
07) Em cada item abaixo, identifique se o exercício é permutação simples, permutação com repetição, arranjo simples, arranjo com repetição ou combinação. Após, resolva-o.
a) Quantos anagramas podem ser obtidos a partir da palavra CAMINHO?
R: Por permutação simples: 𝑃𝑛 = 𝑛!
P7=7!=5040 anagramas
b) Quantos anagramas podem ser obtidos a partir da palavra PARALELEPIPEDO?
R: Por permutação com repetição: PARALELEPIPEDO 14 letras.
P=3
A=2 Anagramas= = 605404800
L=2
E=3
c) Quantos anagramas que começam por consoante e terminam por vogal podem ser obtidos a partir da palavra UNIVERSIDADE?
Vogais=4
Consoantes=5
4*5 * =36288000
d) Quantos números com quatro algarismos distintos podem ser obtidos a partir dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
R:Utilizando arranjo simples: 𝐴𝑛,𝑝 = 
𝐴9,4 = =3024
e) Quantos números com quatro algarismos podem ser obtidos a partir dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
R por arranjo com repetição :𝐴𝑅𝑛,𝑟 = 𝑛𝑟
𝐴𝑅9,4 = 94 = 6561
f) Quantos números com quatro algarismos distintos podem ser obtidos a partir dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
R:Utilizando arranjo simples: 𝐴𝑛,𝑝 = 
𝐴9,1 = X 𝐴9,3 = =9917
g) Quantos números com quatro algarismos podem ser obtidos a partir dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
R Por princípio multiplicativo: 
9*10*10*10=9000
h) A partir de uma população de tamanho N = 20, com todas as unidades elementares distintas entre si, quantas amostras de tamanho n = 5 podem ser obtidas, usando amostragem casual simples, com reposição?
R: Por arranjo com repetição: 𝐴𝑅𝑛,𝑟 = 𝑛𝑟
𝐴𝑅20,5 = 205 = 3200000
i) A partir de uma população de tamanho N = 20, com todas as unidades elementares distintas entre si, quantas amostras de tamanho n = 5 podem ser obtidas, usando amostragem casual simples, sem reposição?
R:Utilizando arranjo simples: 𝐴𝑛,𝑝 = 
𝐴20,5 = =1860480
j) A partir de uma população de tamanho N = 20, com todas as unidades elementares distintas entre si e enfileiradas, quantas amostras de tamanho n = 5 podem ser obtidas, usando amostragem sistemática? 4 apenas
R: Apenas 4 como foi citado na aula de 11/05/2022 para se manter o conceito de amostragem sistemática, as distâncias das amostras devem se manter, permitindo assim apenas 4 amostras de tamanho 5 e não 45 amostras.
k) A partir de uma população de tamanho N = 100, dividida em três estratos, cada qual com 20, 30 e 50 unidades elementares, respectivamente, quantas amostras de tamanho n = 20 podem ser obtidas, usando amostragem proporcional estratificada, sem reposição?
comb n1 =20/4 * cpmb n2=30/6* comb n3=50/10
R: Por combinação:𝐶𝑛,𝑝 = 
n1=20
n2=30
n3=50
n120,4 = n230,6 = n350,10 = 
 n1 = n230,6 = n350,10 = 
 	 n1 = n2 = n3 = = 2.919
08) No Brasil, as placas de carro já tiveram os modelos apresentados na figura abaixo. Calcule quantas placas podem ser formadas, em cada modelo. Considere disponível um total de 26 letras e 10 numerais. 
R: Foi utilizado o princípio multiplicativo:
 Total de opções de letras:26(A~Z)
 Total de opções de números:10(0~10)
 26 x 105 = 2.600.000
107=10.000.000
26x26x104=6.760.000
263 x 104= 175.760.000
263x10x26x10²=456.976.000
09) Luciane decidiu escolher uma senha para o e-mail dela trocando de lugar as letras do próprio nome. Quantas senhas podem ser obtidas, considerando que a senha deve ser diferente do próprio nome e que cada letra pode ser maiúscula ou minúscula?
R: é possível resolver por permutação
P7=7*6*5*4*3*2*1=7!=5040
Como maiúsculas e minúsculas são diferenciáveis cada posição da permutação tem suas opções multiplicadas por 2, assim temos a seguinte permutação:
(7*2)*(6*2)*(5*2)*(4*2)*(3*2)*(2*2)*(1*1)= 322.560
 o total de senhas possíveis é de 322.560 - 1.
10) Em uma reunião de um condomínio residencial, com pauta para a eleição dos membros da administração, 10 pessoas se habilitam para ocupar os cargos de síndico, secretário e tesoureiro.
a) Há quantos resultados possíveis para preencher esses cargos?
R: por arranjo simples;
An,p= 
A10,3= = =720 resultados possíveis.
b) Se uma das 10 pessoas solicita não ser escolhida para síndico, quantos são os resultados possíveis para preencher esses cargos?
R: por princípio multiplicativotemos
9*9*8= 648 resultados possíveis. 
11) Em 2016, nove candidatos disputaram o cargo de prefeito de uma cidade e 1.101 candidatos disputaram o cargo de vereador. Se um único candidato podia ser eleito prefeito e 38 candidatos podiam ser eleitos vereadores, havia quantas maneiras possíveis para se formar o grupo de representantes eleitos, nessa cidade? 
R: Por combinação:𝐶𝑛,𝑝 = 
Para prefeito são 9 possibilidades. 
𝐶1101,38 = = 
12) (FJP; G. H./UFMG) Leia atentamente o quadro abaixo:
 	Esse quadro contém o “Guia de discurso para tecnocratas principiantes”, o qual teria sido adaptado de uma versão publicada numa revista polonesa. A maneira de empregá-lo é simples. Inicia-se o discurso sempre pela primeira casa da primeira coluna. A seguir, passa-se para qualquer casa da segunda coluna. Depois, para qualquer casa da terceira e, logo após, para qualquer casa da quarta coluna. Volta-se, então, para qualquer casa da coluna 1, exceto a primeira casa, e, assim por diante, de coluna em coluna, apenas mantendo a ordem 1, 2, 3, 4, sem repetir as casas já utilizadas. Ao associar as expressões, assim, pode-se falar durante um certo tempo, sem dizer absolutamente nada. 
 	São necessários 12 segundos, aproximadamente, para se proferir as expressões de cada associação dessas. Dessa forma, um tecnocrata "enganador" poderá fazer um discurso “vazio” durante quanto tempo? 
a) Até 2 horas b) De 4 a 10 horas c) De 20 a 30 horas d) mais de 30 horas
Número de possibilidades da primeira frase (P1)=10
Número de possibilidades da segunda frase (P2)=10
Número de possibilidades da terceira frase (P3)=10
Número de possibilidades da quarta frase (P4)=10
Logo por princípio multiplicativo temos: 10*10*10*10= 104= 10000
Então pode-se fazer um discurso vazio por 10000 x 12 = 120 000 segundos
120 000 segundos = 33,3 horas
Ou seja, letra D