Aula 15 - Problema de Minimização dos Custos

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PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO 
DOS CUSTOS
Professor: Jorge H. N. Viana
Contato: jorgehnoroes@gmail.com
Referências: Capítulo 6 do Goolsbee, Levitt e Syverson (2018)
& Capítulo 21 do Varian (2015)
mailto:jorgehnoroes@gmail.com
INTRODUÇÃO
• A Teoria da firma foca na seguinte sequência:
• Analisaremos este processo em quatro etapas:
I. Pressupostos sobre o comportamento de produção das firmas;
II. Representações da tecnologia e dos custos;
III. O Problema de Minimização dos Custos (PMC);
IV. Concorrência Perfeita;
V. Problema de Maximização do Lucro (PML).
Funções de 
Oferta
Empresas
Maximizam os
Lucros
INTRODUÇÃO
• Ideia Central: consumidores e empresas fazem o melhor que podem para
alcançar seus objetivos. Os agentes econômicos são otimizadores.
 Nossa hipótese comportamental para as firmas, por hora, é que elas tentam
minimizar os custos, dada uma meta para a quantidade produzida.
• Representamos a tecnologia da firma através de uma função de produção (𝑄 =
𝑓(𝐿, 𝐾)).
• As retas de isocusto são dadas por: C = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾.
INTRODUÇÃO
• Assim, o problema da nossa firma é o problema de minimização dos custos
(PMC):
min
𝐾,𝐿
𝑤𝐿 + 𝑟𝐾
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 𝑓 𝐿, 𝐾 = 𝑄
• Cujas soluções são as funções 𝐾(𝑤, 𝑟, 𝑄) e 𝐿(𝑤, 𝑟, 𝑄), chamadas de demandas
compensadas por insumos.
• E a função 𝐶 𝑤, 𝑟, 𝑄 = 𝑤 ∗ 𝐿 𝑤, 𝑟, 𝑄 + 𝑟 ∗ 𝐾(𝑤, 𝑟, 𝑄) é chamada de função
custo (total de longo prazo).
INTUIÇÃO GRÁFICA
• Exemplo Ilustrativo: Considere os seguintes dados para uma firma:
 O preço do capital é de $ 100,00 por hora e o salário é de $40,00 por hora.
 A firma tem como meta produzir 20 unidades do seu produto.
 A função de produção da firma é dada por 𝑓 𝐿, 𝐾 = 𝐿
1
3𝐾
2
3
• Então como fica o problema de minimização dos custos da firma?
 Resposta:
min
𝐾,𝐿
40𝐿 + 100𝐾
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 𝐿
1
3𝐾
2
3 = 20
INTUIÇÃO GRÁFICA
• Situação não-ótima I:
• A restrição é satisfeita
nos pontos A e B;
• A e B não são pontos
de mínimo.
INTUIÇÃO GRÁFICA
• Situação não-ótima II:
• A restrição não é satisfeita.
INTUIÇÃO GRÁFICA
• Situação ótima:
• A restrição é satisfeita;
• Não existe outro ponto
que satisfaça a restrição e
implique custo menor;
• No ótimo temos uma
condição de tangência. As
inclinações da isoquanta e
da isocusto são iguais.
INTUIÇÃO GRÁFICA
• Considere agora o problema geral abaixo:
min
𝐾,𝐿
𝑤𝐿 + 𝑟𝐾
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 𝑓 𝐿, 𝐾 = 𝑄
• Lembre-se que:
 Inclinação da Isoquanta: −
𝑃𝑀𝑔𝐿
𝑃𝑀𝑔𝐾
 Inclinação da Isocusto: −
𝑤
𝑟
• Por seu turno, a condição de tangência implica que:
−
𝑃𝑀𝑔𝐿
𝑃𝑀𝑔𝐾
= −
𝑤
𝑟
𝑇𝑀𝑆𝑇𝐿,𝐾 =
𝑤
𝑟
INTUIÇÃO GRÁFICA
• Assim, para resolver o PMC, basta resolver o seguinte sistema:
𝜕𝑓(𝐿∗, 𝐾∗)
𝜕𝐿
𝜕𝑓(𝐿∗, 𝐾∗)
𝜕𝐾
=
𝑤
𝑟
𝑓 𝐿∗, 𝐾∗ = 𝑄
MÉTODO DE LAGRANGE
• Considere o problema mais geral abaixo:
min
𝐾,𝐿
𝑤𝐿 + 𝑟𝐾
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 𝑓 𝐿, 𝐾 = 𝑄
1. Monte a função lagrangeano:
ℒ 𝐿, 𝐾, 𝜆 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 + 𝜆[𝑓 𝐿, 𝐾 − 𝑄]
2. Tire a Condição de Primeira Ordem para o lagrangeano e resolva o sistema dela
resultante:
𝜕ℒ(𝐿∗, 𝐾∗, 𝜆∗)
𝜕𝐿
= 0
𝜕ℒ(𝐿∗, 𝐾∗, 𝜆∗)
𝜕𝐾
= 0
𝜕ℒ(𝐿∗, 𝐾∗, 𝜆∗)
𝜕𝜆
= 0
MÉTODO DE LAGRANGE
• Se dividirmos a equação (1) pela (2):
𝑤 = 𝜆
𝜕𝑓 𝐿∗,𝐾∗
𝜕𝐿
(1)
𝑟 = 𝜆
𝜕𝑓 𝐿∗,𝐾∗
𝜕𝐾
(2)
𝑓 𝐿∗, 𝐾∗ = 𝑄 (3)
𝑤
𝑟
=
𝜕𝑓 𝐿∗, 𝐾∗
𝜕𝐿
𝜕𝑓 𝐿∗, 𝐾∗
𝜕𝐾
𝑓 𝐿∗, 𝐾∗ = 𝑄
𝜕ℒ(𝐿∗, 𝐾∗, 𝜆∗)
𝜕𝐿
= 0
𝜕ℒ(𝐿∗, 𝐾∗, 𝜆∗)
𝜕𝐾
= 0
𝜕ℒ(𝐿∗, 𝐾∗, 𝜆∗)
𝜕𝜆
= 0
𝑤 − 𝜆
𝜕𝑓 𝐿∗, 𝐾∗
𝜕𝐿
= 0
𝑟 − 𝜆
𝜕𝑓 𝐿∗, 𝐾∗
𝜕𝐾
= 0
𝑓 𝐿∗, 𝐾∗ − 𝑄 = 0