Lista 4

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ELETROMAGNETISMO I – FCM0114 – 2013 - José Schneider 
 
LISTA 4 – Resolução de equação de Laplace: Separação de variáveis em coordenadas cartesianas 
 
 
1) Considere a cavidade da figura 1, formada por dois semiplanos infinitos posicionados em y=0 e y=a e extensos ao 
longo de x>0, e a tampa lateral de largura a do lado esquerdo. O conjunto se estende infinitamente ao longo do 
eixo z. Os semiplanos são condutores e estão a potencial V=0. A tampa é condutora, mas está isolada dos planos 
e é mantida a potencial V0. Calcule o potencial elétrico dentro da cavidade. 
 
 
 
 
 
 
2) Considere a cavidade mostrada na figura 2. Os semiplanos em y=0 e y=a são condutores e estão a potencial V=0. 
A tampa esta dividida em duas fitas condutoras de largura a/2 mutuamente isoladas, a fita inferior a potencial V0 e a 
superior a - V0. Calcule o potencial elétrico dentro da cavidade. 
 
3) Um tubo de seção retangular é construído com quatro fitas condutoras mutuamente isoladas, como mostrado na 
figura 3. O tubo se estende infinitamente ao longo do eixo z. As fitas em y=0 e y=a estão a potencial nulo, enquanto 
que as fitas em x=-b/2 e x=b/2 se encontram a potencial V0. Calcule o potencial no interior do tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
4) A figura 4 mostra um tubo de seção retangular infinitamente extenso ao longo do eixo z. As paredes em y=0, y=a e 
x= 0 estão a potencial nulo, enquanto que parede em x=b se encontra a potencial V0(y), dependente da 
coordenada y. 
(a) Calcule o potencial no interior do tubo para V0(y) em geral. 
(b) Calcule explicitamente o potencial para o caso particular V0(y)=V0, constante. 
 
5) A figura 5 mostra um cubo de faces condutoras. A face superior, em z=a, se encontra a potencial V0 constante. As 
restantes faces estão a potencial zero. Calcule o potencial elétrico no interior do cubo. 
 
x 
y 
a 
z 
V=0 
V=0 
V=V0 
Figura 1 
x 
y 
a 
z 
V=0 
V=0 V0 
Figura 2 
a/2 -V0 
Figura 3 
a 
V=0 
V=0 
V=V0 V=V0 
x 
y 
z 
-b/2 b/2 
Figura 4 
a 
V=0 
V=0 
V=0
 
V=V0(y) 
x 
y 
z b 
Figura 5 
 2
6) Campo elétrico na proximidade de cantos e pontas. Considere a região do espaço em forma de cunha limitada 
por duas superfícies condutoras planas muito longas formando um ângulo β, se estendendo infinitamente ao longo 
do eixo z, como mostrado na figura 6. Esta configuração será suficiente para analisar o comportamento do 
potencial e do campo elétrico perto do vértice da cunha, independentemente de diferenças na geometria a 
distâncias maiores. De acordo com a simetria do problema, é conveniente usar coordenadas polares: ( )ϕ,sr =r . 
A condição de contorno sobre o condutor é ( )0, =ϕsV = Vo e ( )βϕ =,sV = Vo para todo 0≥s , sendo Vo uma 
constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) De acordo com o método de separação de variáveis para resolver a equação de Laplace de potencial dentro 
da região do espaço com forma de cunha, se propõe que ( ) ( ) ( )ϕϕ Φ= sRsV , . Demonstre que em 
coordenadas polares resulta: 
2ν=





ds
dR
s
ds
d
R
s
 e 22
21
ν
ϕ
−=
Φ
Φ d
d
 , (1) 
sendo a constante 2ν ≥ 0, a ser determinada pelas condições de contorno. 
b) Demonstre que funções da forma 
( ) νν −+= sBsAsR e ( ) ( ) ( )ϕνϕνϕ senDC +=Φ cos , (2) 
 são soluções das equações diferenciais (1) para 0≠ν , e que 
( ) ( )sbasR ln00 += e ( ) ϕϕ 00 dc +=Φ , (3) 
 são soluções de (1) com 0=ν . 
c) Aplicando a condição de contorno ( )0, =ϕsV = Vo para 0≥s , mostre que a solução geral do problema deve 
ser da forma 
( ) ( )∑
≠
+=
0
0 ',
ν
ν
ν ϕνϕ sensAVsV (4) 
 (Ajuda: observe que não pode haver termos divergentes para s � 0). 
d) Aplicando a condição de contorno ( )βϕ =,sV = Vo para 0≥s , mostre que a solução geral do problema deve 
ser da forma 
( ) ( )∑
∞
=
+=
1
0 ',
m
mm sensAVsV m ϕνϕ ν com ,...2,1== m
m
m β
pi
ν (5) 
Figura 6 
V=V0 
z V=V0 
( )ϕ,sr =r
ϕ
sβ
 3
Os coeficientes mA' são determinados quando se especifica a condição de contorno para regiões longe do vértice 
da cunha. 
e) Potencial e campo perto do vértice. Uma aproximação de ( )ϕ,sV válida na região perto do vértice da 
cunha, onde s é pequeno, consiste em reter apenas o primeiro termo na soma (m=1, supondo que 0'1 ≠A ). 
Nessa condição, mostre que as componentes do vetor campo elétrico no sistema de coordenadas polares 
resultam: 
( ) 





−≅
−
β
ϕpi
β
piϕ β
pi
ρ sens
A
sE
1
1'
, (6.a) 
( ) 





−≅
−
β
ϕpi
β
piϕ β
pi
ϕ cos
'
,
1
1 s
A
sE (6.b) 
 
f) Mostre que, perto do vértice, a densidade de carga superficial ( )sσ sobre os planos em 0=ϕ e βϕ = é 
aproximadamente: 
( ) 110 ' −−≅ β
pi
β
piε
σ s
A
s . (7) 
 
g) “O poder das pontas”. Interprete o tipo de concentração de carga perto do vértice de acordo com (7), ou 
equivalentemente a intensidade do campo elétrico de acordo com (6), para as seguintes geometrias: quina 
com β = pi/4, quina reta β = pi/4, plano β = pi, ponta reta β = 3pi/2, ponta de uma lâmina fina β = 2pi. Em qual 
geometria o campo é mais intenso perto do vértice? 
 
7) Dois semiplanos infinitos mutuamente isolados, como mostrado na figura 7, se encontram a potenciais constantes, 
respectivamente zero e V0 ≠ 0. (a) Usando separação de variáveis em coordenadas cilíndricas, demonstre que o 
potencial no semi-espaço superior é ( ) ϕ
pi
ϕ 0,, VzsV = . (b) Como é o potencial no semiplano inferior? (c) Calcule 
o campo elétrico e desenhe as linhas de campo e as equipotenciais em todo o espaço. 
Ajuda: O potencial elétrico não diverge para ∞→s e para 0→s . 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7 
V=V0 
z 
ϕ
s
V=0