2011-1 AP1-HM-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 (GABARITO) – História da Matemática – 1/2011
Questão 1 [3,0 pts]:
i) [2,0 pts] Enuncie o resultado do matemático francês Pierre-Laurent Wantzel (1814 à 1848)
que permitiu, a partir das ideias de Gauss, a algebrização dos problemas de construção com
régua não graduada e compasso.
ii) [1,0 pt] Podemos duplicar o cubo de lado 1 utilizando a régua não graduada e o compasso?
Justifique sua resposta.
(Unidade 1 - Texto 2.4)
Solução:
i) Se C é um ponto obtido por uma construção com a régua não graduada e o compasso a partir
de dois pontos dados A e B, então o quociente q das distâncias AC e AB tem as seguintes
propriedades:
1. q é a raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, não todos nulos. Nesse caso, q é
chamado de um número algébrico.
2. Se p(x) for um polinômio de grau ḿınimo entre todos os polinômios com coeficientes
inteiros, não todos nulos, dos quais q é uma raiz, então o grau de p(x) é uma potência
de 2.
ii) Para duplicarmos o cubo de lado 1, teŕıamos que construir um segmento de comprimento 3
√
2.
Esse número algébrico é a raiz do polinômio x3 − 2 que tem grau (ḿınimo) 3, que não é
potência de 2.
Questão 2 [2,5 pts]:
i) [1,5 pt] Na tabela a seguir complete as colunas e efetue o produto de 26 por 31 usando o
algoritmo de multiplicação dos antigos escribas eǵıpcios.
31 26
62 13 /
124
ii) [1,0 pt] Escreva a representação de 26 na base 2. Justifique sua resposta através do algoritmo
de multiplicação.
(Unidade 2 - Texto 3.2)
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História da Matemática AP1 (GABARITO) 1/2011
Solução:
i) 31 26 0
(31× 21) 62 13 / 1
124 6 0
(31× 23) 248 3 / 1
(31× 24) 496 1 / 1
31× (24 + 23 + 21) = 31× 26.
ii) (11010)
2
pois 26 = 16 + 8 + 2 = (1× 24) + (1× 23) + (0× 22) + (1× 21) + (0× 20).
Questão 3 [3,0 pts]:
i) [2,0 pts] Prove que existe uma infinidade de números primos.
ii) [1,0 pt] Considere a lista 5, 7 e 11 de números primos. Obtenha novos números primos
utilizando a estratégia da demonstração do item (i).
(Unidade 4 - Texto 11.1)
Solução:
i) Dados p1, p2, . . . , pn números primos, considere o número p = (p1 × p2 × . . .× pn) + 1 que é
maior do que qualquer um dos pi.
Dáı, ou p é primo, e teremos um novo número primo (que não está na lista original) ou p tem
fatores primos que não estão listados.
Suponhamos então que algum primo listado originalmente seja um fator de p. Logo, esse
número dividirá (p1 × p2 × . . . × pn) + 1 e p1 × p2 × . . . × pn. Portanto, divide a diferença
entre eles, o que é absurdo, pois essa diferença é 1 e o menor número primo é o 2.
ii) (5 × 7 × 11) + 1 = 385 + 1 = 386 = 2 × 193. Vemos que 2 e 193 são dois primos que não
estão na lista dada.
Questão 4 [1,5 pt]: Utilize a substituição de Tartaglia (italiano - 1499 à 1557) para transformar
a equação de Fibonacci (italiano - ∼ 1175 à ∼ 1245) x3 + 2x2 + 10x = 20 na equação cúbica
comprimida y3 +
26
3
y =
704
27
.
(Unidade 5 - Texto 19)
Solução: Fazendo a substituição x = y −
2
3
na equação de Fibonacci temos:
(
y −
2
3
)3
+ 2
(
y −
2
3
)2
+ 10
(
y −
2
3
)
= 20,
que resulta na cúbica comprimida y3 +
26
3
y =
704
27
.
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