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CECS - CENTRO DE ENGENHARIA E CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
ESTO 017-17 - MÉTODOS EXPERIMENTAIS EM ENGENHARIA
RELATÓRIO: EXPERIMENTO #2
MEDIDAS DE CONSTANTE ELÁSTICA
E FORÇA
Carolina Quinelato Franchi RA: 11077116
Gustavo Rodrigues Paes RA: 11043516
Thayana Caroline da Silva Pellegrini RA: 11105214
Prof.ª Dra Ana Paula Romani
2021
RESUMO
É necessário conhecer e saber utilizar diferentes métodos para medir o mesmo parâmetro,
como a constante elástica, além de saber avaliar a contribuição das grandezas de influência nos
diversos métodos, determinar os coeficientes de sensibilidade e calcular a incerteza combinada
em cada caso. Com isso, o objetivo foi realizar medidas de força e efetuar o cálculo da
constante elástica de uma mola de compressão, além da determinação experimental da
aceleração da gravidade g. Através da análise de um gráfico de força versus deslocamento
utilizando uma mola de compressão e diversas massas, foi possível calcular que a constante
elástica k da mola é de 0,63±0,02 kN/m, o que está dentro do esperado para o experimento. A
aceleração da gravidade e a incerteza encontrada a partir da medida do período de oscilação de
um pêndulo foi de 9,0±0,8 m/s², que também está dentro do intervalo esperado quando
comparado com o valor conhecido da gravidade na literatura.
Palavras-chave: Mola, Constante Elástica, Gravidade, Pêndulo
1. METODOLOGIA
O experimento é composto por quatro etapas de execução. Três destas etapas são voltadas
para determinar a constante elástica de molas de tração, compressão e suas associações em
série e paralelo, considerando o caso da mola de tração. A quarta etapa foi voltada para a
determinação da aceleração da gravidade a partir de um pêndulo.
Neste trabalho será apresentado o conteúdo referente à determinação da constante elástica
da mola de compressão (Parte 1) e a determinação experimental da aceleração da gravidade
(Parte 4).
1.1. PARTE 1: DETERMINAÇÃO DE CONSTANTE ELÁSTICA DA MOLA DE
COMPRESSÃO
1.1.1. MATERIAIS UTILIZADOS
● 1 mola de compressão;
● 2 peças cilíndricas de alumínio;
● 1 peça cilíndrica;
● Tubo guia de plástico com uma escala milimetrada;
● Balança.
1.1.2. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL
Posicionando o tubo guia na bancada verticalmente com a mola de compressão no seu
interior e sem nenhuma peça a comprimindo. Foi identificado sobre a escala milimetrada um
ponto de referência utilizado para determinar o deslocamento da mola após a introdução da
peça metálica.
Neste experimento, foram realizados cinco arranjos de peças para proporcionar uma
maior variação de massas e consequentemente de deslocamentos.
● 1 Cilindro de Alumínio;
● 2 Cilindros de Alumínio;
● 1 Cilindro de Cobre;
● 1 Cilindro de Alumínio + 1 Cilindro de Cobre;
● 2 Cilindros de Alumínio + 1 Cilindro de Cobre.
Para a determinação da constante elástica, foi adotado o valor de 9,80m/s² para a
aceleração da gravidade, com a incerteza associada a este valor de 0,05m/s², utilizando a
seguinte equação:
(Eq.1)𝑚𝑔 = − 𝑘𝑋
0
(Eq. 2)𝑘 = − 𝑚𝑔𝑋
0
 
Para cada ponto experimental, foi calculado o valor da constante elástica k e a incerteza
associada ao valor de acordo com as grandezas de influência para o valor.
1.2. PARTE 4: DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA ACELERAÇÃO DA
GRAVIDADE
1.2.1. MATERIAIS UTILIZADOS
● Pêndulo composto por uma esfera e um fio fino;
● Cronômetro;
● Trena.
1.2.2. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL
Nesta etapa do experimento, foi medido o comprimento do fio do pêndulo e o raio da
esfera utilizando como instrumento de medida uma trena cuja resolução é de 1 mm.
Cronometrou-se o intervalo de tempo correspondente a dez períodos de oscilação do
pêndulo. Esse procedimento foi repetido três vezes. Após a coleta dos dados, foi usada a
seguinte fórmula para a obtenção da aceleração da gravidade:
(Eq.3)𝑇 = 2π 𝐿𝑔
Isolando g na equação anterior, obtemos:
(Eq. 4)𝑔 = 𝐿·4·π
2
𝑇 2
Para a incerteza da aceleração da gravidade, o valor foi estimado considerando o desvio
padrão.
2. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os dados dos equipamentos utilizados no experimento, bem como suas incertezas
instrumentais (fundo de escala e sua resolução) estão presentes na Tabela 1.
TABELA 1 - Características dos instrumentos utilizados.
Instrumento Fundo de escala Resolução
Balança 3200 g 0,01 g
Régua 300 nm 1 mm
Trena - 1 mm
Cronômetro - 0,01 s
As peças utilizadas na execução do experimento foram numeradas e pesadas. Eles estão
apresentados na Tabela 2.
TABELA 2 - Massas das peças sólidas.
Peça Massa (g)
Cilindro de Alumínio (1) 220,18
Cilindro de Alumínio (2) 220,88
Cilindro de Cobre 705,89
2.1. PARTE 1: DETERMINAÇÃO DE CONSTANTE ELÁSTICA DA MOLA DE
COMPRESSÃO
Para a determinar a constante elástica da mola de compressão, foram coletados os valores
de deslocamento e calculados os valores de forças (em N) para as diferentes combinações de
massas das peças sólidas.
TABELA 3 - Dados experimentais para a mola de compressão.
Arranjo de
peças
Massa do
arranjo (g)
Força (N) Deslocamen
to (mm)
Variação Δx
(mm)
Constante
elástica
(kN/m)
Incerteza
constante
elástica
(kN/m)
Sem peças 0 0 0 0 0 0
Cilindro de
Alumínio (1)
220,18 2,158 3,0 3 0,7 ±0,1
Cilindro de
Alumínio (1)
+ Cilindro
de Alumínio
(2)
441,06 4,322 8,0 5 0,54 ±0,04
Cilindro de
Cobre
705,89 6,918 12,0 4 0,58 ±0,03
Cilindro de
Alumínio (1)
+ Cilindro
de Cobre
926,07 9,075 14,0 2 0,65 ±0,03
Cilindro de
Alumínio (1)
+ Cilindro
de Alumínio
(2)+ Cilindro
de Cobre
1146,95 11,240 17,0 3 0,66 ±0,02
As principais fontes de incertezas na determinação da constante elástica nesse
procedimento são:
● Incerteza da escala;
● Erros de paralaxe;
● Precisão;
● Incerteza da balança na determinação da massa.
A Figura 1 mostra graficamente com os pontos experimentais a relação entre força (em
N) versus o deslocamento.
Figura 1 - Gráfico Força versus Deslocamento
Utilizando o software de ajuste de curvas LAB Fit, foi feito o ajuste de uma reta para o
gráfico obtido e estimado o valor da constante elástica da mola juntamente com sua incerteza
associada. O valor da constante elástica obtido para isso foi de 0,63±0,02 kN/m. O gráfico
contendo a reta ajustada pelo software pode ser observado na Figura 2.
Figura 2 - Gráfico com ajuste de reta pelo LABFit - Força versus Deslocamento
2.2. PARTE 4: DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA ACELERAÇÃO DA
GRAVIDADE
Para o cálculo da gravidade foi coletado o comprimento do fio mais o raio da esfera e três
intervalos correspondentes a dez períodos de oscilação mensurados por diferentes estudantes. O
valor correspondente ao comprimento do pêndulo e a incerteza correspondente a esta medida
estão presentes na Tabela 4 e o tempo de oscilação na Tabela 5.
TABELA 4 - Comprimento do pêndulo e a incerteza correspondente.
Comprimento do pêndulo (mm) Incerteza (m)
1870 0,05
TABELA 5 - Intervalo de tempo correspondente a dez períodos de oscilação.
Aluno Tempo para 10 períodos de oscilação (s)
1 28,35
2 28,54
3 29,02
A partir desses valores, foram calculados a aceleração da gravidade para cada aluno, a
média e o desvio padrão para assim obter a gravidade e sua incerteza associada (Tabela 8).
TABELA 6 - Aceleração da gravidade calculada para cada aluno.
Aluno Gravidade (m/s²)
1 9,18
2 9,06
3 8,77
TABELA 7 - Média e o desvio padrão da média das grandezas mensuradas.
Média Incerteza Estatística
(Desvio Padrão)
Incerteza Instrumental
Tempo (s) 28,64 0,35 0,20
Gravidade (m/s²) 9,00 0,21 0,68
TABELA 8 - Aceleração da gravidade calculada e sua incerteza.
Gravidade (m/s²) Incerteza (m/s²)
9,0 ±0,8
3. CONCLUSÕES
Baseado nos dados obtidos, conclui-se que é possível empregar diferentes métodos para
mensurar a constante elástica da mola, seja ela de compressão ou de tração. Alguns métodos
empregados são a segunda lei de Newton e a lei de Hooke, com auxílio de um dinamômetro
digital e das equações do movimento harmônico massa-mola. Dessa forma, considera-se
fundamental a escolha adequada do instrumento e método escolhido,considerando suas
respectivas incertezas para mensurar a constante elástica da mola de forma correta.
O valor encontrado para a constante elástica foi de 0,63±0,02 kN/m, que está dentro do
esperado para o experimento e pode-se determinar que o método de ajuste de reta para os
valores medidos é um método eficaz para tal objetivo. A aceleração da gravidade e a incerteza
encontrada foi de 9,0±0,8 m/s², o que também está dentro do intervalo esperado quando
comparado com o valor conhecido da gravidade.
É fundamental ressaltar que todo e qualquer procedimento experimental está sujeito a
interferências e fatores que ocasionam em erros de leitura e desencadeiam em incertezas nos
valores aferidos. Apesar destas interferências, a análise dos dados mostrou que os valores
calculados estão dentro do intervalo de confiança dos valores apresentados pela literatura. Isto
mostra que com a escolha correta do instrumento e sem erros de paralaxe, por exemplo,
pode-se atingir um valor muito mais próximo ao valor real.
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Scuracchio, C.H, Tanaka, H. Roteiro: Experimento #2 – Medidas de Constante Elástica e
Força. Métodos experimentais em Engenharia, 2021. Acesso em 26 de junho de 2021.
Apostila “Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)”. Disponível em:
< https://sites.google.com/site/esto01717/material-didatico>. Acesso em 1 de julho de 2021.
Tutorial LAB Fit sobre Ajuste de Curva. Disponível em:
<https://sites.google.com/site/esto01717/material-didatico>. Acesso em 1 de julho de 2021.
Experimento 2 - Medidas de Constante Elástica e Força
5. Apêndice
Em alguns cálculos do apêndice os valores estão arredondados por questões de representação, todos os
cálculos foram realizados com a maior quantidade de casas dispońıveis e, somente ao final, arredondados.
Parte 1. Determinação da constante elástica da mola de compressão
Cálculo da incerteza associada a balança:
Onde e refere-se à resolução fornecida pelo fabricante (e=0,1g).
ubalanca =
e
2
√
3
= 0,1
2
√
3
≈ 0, 029g
Levando em considerações as informações indicadas no relatório, foi utilizado a incerteza da balança
com apenas uma casa decimal, isto é, 0,1g.
Todas os valores de média, variância, desvio padrão e incerteza combinada seguem as mesmas fórmulas,
deste modo demonstrar-se-á apenas para o caso ’Cilindro de Alumı́nio (1) + Cilindro de Alumı́nio (2)’:
Massa total e incerteza:
Onde mal1 corresponde a massa do cilindro de alumı́nio 1 e mal2 corresponde a massa do cilindro de
alumı́nio 2. mmtotal refere-se a massa total.
mmtotal = mal1 +mal2 = 220, 18 + 220, 88 = 441, 06g
Como só uma medição na balança foi realizada (ou todas resultaram o mesmo valor), não existem
incertezas estat́ısticas associadas à massa.
Levando em consideração a combinação das incertezas para cada medida da massa, tem-se:
Onde ual1 refere-se à incerteza instrumental associada ao cilindro de alumı́nio 1 e ual2 refere-se à
incerteza instrumental associada ao cilindro de alumı́nio 2. umtotal refere-se a incerteza combinada desta
soma de massas.
umtotal =
√
u2al1 + u
2
al2 =
√
0, 12 + 0, 12 = 0, 14 ≈ 0, 2
Força e incerteza:
Onde F refere-se à força, m a massa e g a aceleração da gravidade.
F = mg = 441, 06 ∗ 9, 80 = 4322, 388gm
s2
≈ 4, 322kgm
s2
= 4, 322N
Para o cálculo da incerteza instrumental associada, é utilizado a seguinte expressão:
Onde uF refere-se à incerteza da força, ug a incerteza da gravidade, um a incerteza da massa, g a
gravidade, F a força e m a massa.
uF =
√
( ∂F
∂m
um)2 + (
∂F
∂g
ug)2 =
√
(gum)2 + (mug)2 =
√
(9, 80 ∗ 0, 2)2 + (441, 06 ∗ 0, 05)2 =
22, 14gm
s2
≈ 0, 023kgm
s2
Constante elástica e incerteza:
1
Experimento 2 - Medidas de Constante Elástica e Força
Onde k refere-se a constante elástica, x ao deslocamento e g a gravidade.
k = mg
x
= 441,06∗9,80
8
≈ 540, 3N
m
Para o cálculo da incerteza instrumental é utilizado a seguinte expressão:
Onde ux refere-se à incerteza do deslocamento, ug a incerteza da gravidade, um a incerteza da massa,
uk a incerteza da constante elástica da mola, g a gravidade, x o deslocamento, m a massa e k a constante
elástica.
uk =
√
(∂k
∂g
ug)2 + (
∂k
∂x
ux)2 + (
∂k
∂m
um)2 =
√
(kum
m
)2 + (−kux
x
)2 + (kug
g
)2 =√
k2 ∗ ((um
m
)2 + (ug
g
)2 + (ux
x
)2) =
√
540, 32 ∗ (( 0,2
441,06
)2 + (0,05
9,80
)2 + (0,5
8
)2) ≈ 33, 88N
m
uk ≈ 0, 04kNm
Parte 4. Determinação experimental da aceleração da gravidade
Rearranjando a equação do peŕıodo informada e considerando a quantidade de ciclos, a equação para
encontrar a gravidade pôde ser descrita, para o Aluno 1, como:
Onde L é a largura do fio, T é o peŕıodo total marcado pelo cronômetro e c a quantidade de ciclos.
T = 2 ∗ π ∗
√
L
g
→ g = 4Lπ2ciclos2
T 2
= 4∗1870∗π
2∗102
28,352
≈ 9185mm/s2 = 9, 185m/s2
Considerando agora a média dos tempos marcados pelos três estudantes, tem-se que:
g = galuno1+galuno2+galuno3
3
= 9, 005m/s2
Calculando a variância, e em seguida o desvio padrão (incerteza tipo A) da gravidade, obtém-se:
Onde g é a gravidade e ua o desvio padrão.
ûA
2 =
∑n
i=1(gi−ḡ)2
n−1 = 0, 0465(m/s
2)2
uA =
√
ûA
2 = 0, 2156m/s2
Para a incerteza instrumental, primeiro é necessário conhecer a incerteza dos instrumentos, para a
balança é similar a obtida na parte 1, isto é, 0.1g. A trena é um instrumento analógico e será considerado
metade de sua menor divisão, isto é, 0.5mm. Já para o cronômetro é necessário levar em consideração
uma distribuição normal e a destreza do operador, assim, para o cronômetro:
Onde ucr é a incerteza do cronômetro combinada, r a resolução e p a destreza do operador.
ucr =
√
( r
2
√
3
)2 + (p)2 =
√
( 0,01
2
√
3
)2 + (0, 1)2 ≈ 0, 2s
A seguir, o cálculo da incerteza instrumental da gravidade (incerteza tipo B).
Onde ug é a incerteza da gravidade, uL a incerteza da largura, uT a incerteza do peŕıodo, uciclo a
incerteza do ciclo, g a gravidade, L a largura e T o peŕıodo.
ug =
√
( ∂g
∂L
uL)2 + (
∂g
∂T
uT )2 + (
∂g
∂ciclo
uciclo)2 =
2
Experimento 2 - Medidas de Constante Elástica e Força
√
(4π
2ciclos2uL
T 2
)2 + (4π
2ciclos2uTL(−2)
T 3
)2 + (4π
2ciclosucicloL(2)
T 2
)2 =
2π
√
( ciclos
2uL
T 2
)2 + (−2Lciclos
2uT
T 3
)2 + (2Lciclosuciclo
T 2
)2 =
2π
√
(10
2∗0,5
28,6372
)2 + (−2∗1870∗10
2∗0,2
28,6373
)2 + (2∗1870∗10∗0,25
28,6372
)2 ≈ 0, 67m/s2
Logo, a incerteza combinada pode ser dada por:
Onde ug é a incerteza da gravidade, ua é a incerteza estat́ıstica e ucb é a incerteza combinada.
ucb =
√
u2g + u
2
a =
√
0, 672 + 0, 21562 ≈ 0, 705m/s2 ≈ 0, 8m/s2
3