Aula13_2019 1_Exercícios

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ESTO017-17 – Métodos Experimentais em Engenharia
ESTO017-17 
Métodos Experimentais em Engenharia
AULA DE EXERCÍCIOS
ESTO017-17 – Métodos Experimentais em Engenharia
Exercício 4 – Lista 1 
ESTO017-17 – Métodos Experimentais em Engenharia
O índice de massa corpórea (IMC) vem sendo utilizado para avaliação 
da saúde de homens e mulheres. Sua definição é: 
IMC = massa/altura 2.
� Quais são as principais grandezas de influência do mensurando?
� Avalie as dificuldades na definição deste mensurando (por exemplo, a 
massa não é constante durante um dia, etc...) 
� Sugira uma definição detalhada deste mensurando.
� Qual é a unidade do mensurando, no sistema internacional de 
unidades?
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� Construa um diagrama tipo espinha de peixe para este mensurando.
IMC
Massa
Balança
CalibraçãoEspecificações
Repetitividade
Altura
Sensor 
CalibraçãoEspecificações
Repetitividade
Reprodutibilidade
Atraso de leitura
"Erros numéricos"Posição do corpo, 
Condições de medida
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� Calcule os coeficientes de sensibilidade para as grandezas massa e 
altura. Caso os equipamentos de medição da massa e da altura possuam 
a mesma incerteza, e havendo possibilidade de trocar um dos 
equipamentos (apenas um) por outro de menor incerteza, qual deles deve 
ser trocado? Justifique.
2
1
( )massa
IMC
c
massa altura
∂= =
∂ 3
2
( )altura
IMC massa
c
altura altura
∂ −= =
∂
2 2( . ) ( . )IMC massa massa altura alturau c u c u= +
2 2
2 2
( . ) ( . )IMC massa massa altura alturau c u c u
IMC IMC IMC
= +
2 2
2IMC massa altura
u u u
IMC massa altura
   = +   
   
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IMC Condição do peso
abaixo de 18,5 Abaixo do peso 
18,5 a 24,9 Normal
25,0 a 29,9 Sobrepeso
acima de 30 Obeso
� Sabendo-se que uma pessoa possui massa de 90 kg, e altura de 1,80 m, 
calcule o IMC (com sua incerteza combinada). Considere que a massa possui 
uma incerteza padrão de 5% e a altura, de 5% (despreze outras grandezas de 
influência). 
IMC= 90/(1,80)2= 27,777777
umassa= 0,05.90=4,5 kg
ualtura=0,05.1,80=0,09m
2
1
0,3086
( )massa
c
altura
= =
3
2
30,8642
( )altura
massa
c
altura
−= = −
2 2( . ) ( . ) 3,1IMC massa massa altura alturau c u c u= + = IMC = (27,8±3,1) → sobrepeso ? 
���� = 0,1118	��
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� Considerando-se que para um erro normalizado (En) maior que 1 (100%), 
pode-se afirmar que há diferença significativa entre valores, verifique a partir 
de que massa, medida com a incerteza de 5%, uma pessoa com altura de 
1,80 m, com incerteza padrão de 5%, já poderia ser classificada na condição 
de sobrepeso.
�� =
��
� − ��
�
(2��)
�+(2��)
�
�� =
��
 − 25
(2����)
�+(0)�
≤ 1
���� = 0,1118	��
−1 ≤
��
 − 25
0,2236��
≤ 1
1
−5,4723
≥
111,8
��
≥
1
−3,4723
20,4 ≤ ��
 ≤ 32,2
66,1 kg
Do item anterior:
104,3 kg
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Exercício 9 – Lista 2 
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Para determinar a constante elástica k de uma mola de tração, um 
grupo de alunos mediu com o cronômetro, dez períodos de oscilação 
do MHS produzido com a conexão de quatro massas dife rentes no final 
da mola. O valor de cada massa havia sido medido pr eviamente numa 
balança. Os resultados obtidos estão dispostos na t abela abaixo. 
Medida 1 2 3 4
Massa (m) [kg] 0,513 0,634 0,752 0,950
Dez períodos de
oscilação (10T) [s]
12,4 13,6 15,0 16,9
Constante elástica
da mola (k) [N/m]
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� Explique porque não devem ser calculadas as médias dos valores de 
massa m e do período de oscilação T medidos.
� Preencha a última linha da tabela com os valores da constante elástica 
k da mola.
Constante elástica da
mola (k) [N/m] 13,1715 13,5323 13,1946 13,1314
2
2
4
2
m m
T k
k T
ππ= ⇒ =
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� Aplique agora uma análise estatística para determinar a melhor estimativa 
para a constante k da mola e sua incerteza do tipo A.
Cálculo da média e do desvio padrão:
k= (13,26 ±0,19)N/m (apenas incerteza tipo A)
� Considerando que a balança e o cronômetro utilizados apresentavam 
incertezas do tipo B de 1% e 0,5% respectivamente, determine a 
incerteza total na constante k da mola. 
2 2 2
2kB m T
u u u
k m T
     = +     
    
2
2 2 40,01 (2.0,005) 2.10kB
u
k
−  = + = 
 
ukB=0,01414.k=0,19N/m
combinação de incertezas
combinação de incertezas: 2 2 2 2(0,19) (0,19) 0,27 /k kA kBu u u N m= + = + =
k= (13,26 ±0,27)N/m
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� Utilizando os pontos experimentais da tabela, qual o tipo de função y(x) você 
escolheria para fazer um ajuste de curva de variação do período de oscilação 
T do MHS em função da massa m? Qual(is) o(s) parâmetro(s) que seria(m) 
obtido(s) como resultado do procedimento de ajuste?
 é proporc mional aT
= By AxPor exemplo, 
usar a função: 
2 /A kπ≈
2π= mT
k
No processo de ajuste de curva aos pontos experimentais, os parâmetros 
obtidos seriam A e B, com suas respectivas incertezas.
Para obter k a partir de A: 
e B ∼ 0,5
2(2 / )π=k A 2
3
8π∂= =
∂k A A
k
u u u
A A
Notar que: 
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Exercício 3 – Lista 3 
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Em três experimentos diferentes, deixou-se cair uma bola de ping-pong de 
uma altura H igual a 0,785m em uma superfície de gr anito. Os sinais 
acústicos gerados com os impactos da bola foram con vertidos em pulsos 
elétricos através de um microfone e registrados no osciloscópio, como 
realizado em sala de aula. Para cada experimento foi obtido, por métodos 
diferentes, um valor do coeficiente de restituição da bola.
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Experimento 1 (coeficiente de restituição ε1): deixou-se a bola bater 
sucessivamente na superfície, gerando o sinal da figura. Em seguida mediram-
se os diversos intervalos entre quedas consecutivas, gerando-se o gráfico 
abaixo.
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
V
ol
ts
Tempo (s)
Tensão obtida com microfone
y = 0,8e-0,218x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1 2 3 4
∆
tn
 (
em
 s
eg
un
do
s)
n- número do intervalo
Intervalo entre duas quedas
A incerteza padrão deste método é de 3%.
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∆tn = 2.t0.εn
2.t0.εn = 0,8 e-0,218n → 2t0= 0,8s 
εn = e-0,218n
ε= exp(-0,218) = 0,8041
uε= 0,024 (3%)
ε1= 0,804 ± 0,024
� =
2."
#
=
2.0,785
9,8
= 0,4	%
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Experimento 2 (coeficiente de restituição ε2): foi medido 5 vezes o intervalo de 
tempo entre o instante do primeiro impacto e do segundo. A tabela abaixo 
contém os resultados obtidos.
Medida Intervalo de tempo (s)
1 0,723
2 0,722
3 0,715
4 0,719
5 0,716
� Adote g = 9,80 m/s 
� Estime a incerteza padrão a partir dos dados da tabela, e use-a para 
indicar o valor de ε2 com o número correto de algarismos.
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A média das medidas de ∆t1 é 0,7190 s e o desvio padrão da média é 
0,0016s
� =
2."
#
=
2.0,785
9,8
= 0,4	%
∆�' = 2. � .ε ε= ∆t1/2.t0 = 0,719/2.0,4 = 0,8988
1 1
1 0
1 1
. . .0,0016 0,0020
2. 0,8t t
u u u
t tε
ε
∆ ∆
∂= = = =
∂∆
ε2= 0,8988±0,0020
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Experimento 3 (coeficiente de restituição ε3): o gráfico da figura abaixo foi 
registrado para se obter o intervalo de tempo entre o primeiro e o segundo 
impacto da bola, como realizado em sala de aula. 
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
V
ol
ts
Tempo (s)
Tensão obtida com microfone
Para indicar o valor 
de ε3 com o número 
correto de 
algarismos, 
considere que a 
incerteza padrão 
deste método é de 
3%.
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� =
2."
#
=
2.0,785
9,8
= 0,4	%
∆t1= 0,82 - 0,10 = 0,72 s 
∆�'
2. � 
= ε =
0,72
2.0,4
= 0,90
ε3 = 0,900 ± 0,027
3 3
0,03. 0,03.0,90 0,027ε ε= = =u
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� Os resultados obtidos através do experimentos 1, 2 e 3 são compatíveis? 
Justifique, utilizando o conceito de erro normalizado.
ε1 0,804 ± 0,024
ε2 0,8988±0,0020
ε3 0,900 ± 0,027
1 2
1 2
12 2 2
1,97E
U Uε ε
ε ε−= =
+
1 3
1 3
13 2 2
1,33E
U Uε ε
ε ε−= =
+
2 3
2 3
23 2 2
0,022E
U Uε ε
ε ε−= =
+
Apenas os resultados dos experimentos 2 e 3 são compatíveis. O 
resultado do experimento 1 não é compatível nem com o do 
experimento 2, nem com o do experimento 3.