TEMA 3 - CIRCUITOS RL E RC

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DESCRIÇÃO
Estudo dos circuitos RL (Resistivo-Indutivo) e RC (Resistivo-Capacitivo) ou circuitos de
primeira ordem, suas estruturas e formas de análise, suas respostas naturais e forçadas, o
cálculo da constante de tempo e seu significado.
PROPÓSITO
Compreender as características e funcionalidades dos circuitos de primeira ordem é
indispensável ao estudante, uma vez que o comportamento desses é visível em outras áreas
de aplicação, como eletrônica e controle. Assim, o estudo deste conteúdo promoverá
conhecimento técnico e teórico da operação e da descrição dos circuitos RL e RC, bem como
da forma de analisá-los.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos caneta, papel e uma calculadora, ou
qualquer outro dispositivo que permita executar os cálculos propostos e tomar notas referentes
ao conteúdo e aos exercícios apresentados.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir um circuito RC
MÓDULO 2
Identificar um circuito RL
MÓDULO 3
Aplicar a reposta forçada aos circuitos RL e RC
CIRCUITOS ELÉTRICOS 1, CIRCUITOS DE
PRIMEIRA ORDEM
MÓDULO 1
 Definir um circuito RC.
CIRCUITO RC
CIRCUITOS ELÉTRICOS 1, CIRCUITOS RC
Os circuitos conhecidos por RC, ou circuitos de primeira ordem, contêm um elemento
armazenador de energia, neste caso, o capacitor (C). Para o estudo desses circuitos, é
necessário conhecer os elementos que o compõem e a forma com que operam.
A análise do circuito RC é apresentada nos tópicos seguintes. A abordagem deste tema parte
do princípio de que o aluno já conhece o funcionamento e o comportamento individual de cada
componente do circuito. Vale destacar que o resistor é um elemento ativo e o capacitor, um
elemento passivo, que resiste à alteração brusca de tensão.
É chamado de circuito de primeira ordem aquele que é modelado por uma equação diferencial
de primeira ordem. Para avaliar o comportamento de um circuito RC, deve-se considerar que o
elemento capacitivo é capaz de armazenar energia no campo elétrico, por isso, ele pode ser
excitado de duas formas distintas:
Por meio da energia armazenada inicialmente no capacitor.

Pela inserção de uma fonte externa, sendo aqui consideradas as fontes de corrente contínua
(CC).
RESPOSTA NATURAL
EM UM CIRCUITO RC SEM A PRESENÇA DA FONTE
EXTERNA DE ALIMENTAÇÃO, A FONTE É
DESCONECTADA E O ELEMENTO CAPACITIVO
CONTÉM ENERGIA QUE SERÁ LIBERADA AO
RESISTOR CONECTADO.
Nessa avaliação, é obtida a resposta natural do circuito. Como já visto, avalia-se o
comportamento do circuito proposto ao longo do tempo, considerando, porém, que a excitação
é feita por meio da energia já armazenada no capacitor.
EM UM CIRCUITO CUJOS ELEMENTOS SÃO
TODOS ATIVOS (RESISTORES), AO
DESCONECTAR A FONTE, ESPERA-SE QUE A
TENSÃO E A CORRENTE SEJAM NULAS, O QUE
NÃO OCORRE NESSA SITUAÇÃO (CIRCUITO DE
PRIMEIRA ORDEM).
O esperado é que haja uma dinâmica de descarregamento do capacitor, que ocorre por meio
da dissipação da energia via resistor. Para exemplificar essa análise, considera-se um circuito
composto de um resistor e um capacitor, como pode ser visto na imagem a seguir, conectados
em série, cujo capacitor encontra-se inicialmente carregado.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 224).
 Imagem 1 - Circuito RC sem fonte.
Deseja-se, nesse contexto, obter a resposta natural desse circuito, neste caso, a tensão
em cima do capacitor, ou seja
Como o capacitor possui uma carga inicial, no instante zero
haverá uma tensão devido a essa energia, definida desta maneira:
v(t).
(t = 0),
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como citado, é esperado que o aluno já conhece o comportamento de cada um dos
componentes do circuito de forma individual, assim a energia armazenada no capacitor é dada
pela equação seguinte:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando-se a tensão inicial, a equação pode ser reescrita como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante ressaltar que todas as leis de circuitos já conhecidas são aplicáveis aos circuitos
de primeira ordem. Ao avaliar novamente a Figura 1, nota-se que a aplicação da Lei de
Kirchhoff para Corrente (LKC) torna-se uma forma viável para solucionar o circuito proposto.
Assim, considerando dois nós, como indicado na imagem, pode-se escrever a equação como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
v(t)= V0
w = Cv212
w = CV 20
1
2
iC + iR = 0
Pela última equação, fica definido que a soma das correntes que entram em um determinado
nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó.
Sabe-se, ainda, que a corrente que circula pelo capacitor e pelo resistor, por definição, podem
ser descritas pelas equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, substituindo as equações de corrente na equação definida pela LKC, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rearranjando os membros da equação, isto é, dividindo todos os componentes por C, obtém-
se a equação diferencial de primeira ordem, aquela cuja matemática é responsável por modelar
o circuito RC:
iC = C
dv
dt
iR =
v
R
iC + iR = 0
C + = 0
dv
dt
v
R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para solucionar a equação anterior, uma vez que apresenta uma derivada, basta seguir os
passos apresentados:
Rearranjar os termos da equação.

Integrar os dois lados da equação obtida.
Ao rearranjar a equação, tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa mesma equação é integrada em
e
, fornecendo o seguinte resultado:
+ = 0
dv
dt
v
RC
= − dt
dv
v
1
RC
dv
dt
ln v = − + ln A
t
RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No qual
representa a constante de integração.
Deseja-se, contudo, expressar o valor de “v”, assim, aplica-se as propriedades do logaritmo
natural (base e), obtendo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que A representa a tensão inicial no capacitor, anteriormente definida por
sendo possível representar a equação acima como segue:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observando a expressão que descreve a tensão em um circuito de primeira ordem resistivo-
capacitivo, ou circuito RC, conclui-se que a tensão, diferentemente de um circuito resistivo, não
é zero ao se desligar as fontes externas.
Por descrição matemática, vê-se que a tensão tem o comportamento representado por uma
função exponencial, que inicia em um valor, aqui definido por
e decresce à medida que o tempo aumenta.
Isso ocorre pois a resposta avaliada é dada em razão da energia presente no elemento
capacitivo e não tem vínculo com a fonte de alimentação externa, sendo nomeada resposta
natural.
lnA
v(t)= Ae−
t
RC
V0,
v(t)= V0e
− t
RC
V0,
 ATENÇÃO
É importante ressaltar as seguintes propriedades logarítmicas:
Soma: 
Subtração: 
CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITO RC
A resposta natural do circuito, como já citada, pode ser descrita e analisada por meio de uma
queda de exponencial, sendo possível avaliá-la graficamente, como mostra a imagem a seguir.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 226).
 Imagem 2 - Representação gráfica do circuito RC sem fonte.
Em um instante inicial
o valor da exponencial é unitário, sendo definida que a tensão inicial é dada por
Com o passar do tempo, acréscimo em
lnA + lnB = ln  AB
lnA − lnB = ln A
B
(t = 0),
V0.
o valor inicial passa a reduzir, pois a parcela exponencial assume valores diferentes de
A velocidade de decaimento dessa função é dada pela constante de tempo, . Essa
constante representa o tempo necessário para que a resposta decaia a 36,8% do valor inicial,
isto é, quando:
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que a constante de tempo é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se representar a equação que modela a resposta do circuito em função da constante de
tempo:
t,
1.
τ
t = RC
τ = RC
t = τ
v(t)= V0e
− = V0e
−1 = 0,368V0
τ
RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AVALIAÇÃO DA CONSTANTE DE TEMPO
Para melhor avaliação do gráfico de decaimento, pegue uma calculadora ou utilize alguma
ferramenta para cálculo e substitua os valores de
na equação anterior, na qual são encontrados os valores expressos na tabela a seguir. É
importante ressaltar que, após cinco constantes de tempo,
a tensão está abaixo de
do valor inicial, o que torna possível supor que o capacitor se encontra descarregado.
0,368
0,135
0,049
0,018
0,007
v(t)= V0e
− t
τ
t
5τ,
1
t v(t)/V0
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Análise da variação da constante de tempo. 
Elaborado por Isabela Oliveira Guimarães.
NOTAS:


São necessárias cinco constantes de tempo para que a resposta natural atinja o regime
permanente, ou seja, o valor final.


Uma constante de tempo menor proporciona uma resposta que transita para o regime mais
rapidamente, isto é, quanto menor for a constante de tempo, maior é a velocidade da resposta.
Entretanto, independentemente da velocidade da resposta, o circuito atinge o regime em cinco
constantes de tempo.


A corrente que circula pelo resistor pode ser descrita como segue:
A energia armazenada no capacitor é dissipada por meio do resistor. Dessa forma, é possível
calcular a energia absorvida pelo elemento resistivo. Considerando a potência dissipada por
ele definida pela seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao substituir a corrente e a tensão pelos valores já calculados, a equação é reescrita:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular a energia, basta integrar ao longo do tempo de operação, a potência absorvida, o
que é representado a seguir:
iR =
v
R
iR =
V0e
− tτ
R
p(t)= vi
p(t)=
V0
2e−
2t
τ
R
wr = ∫
t
0 p(t)dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando a alternância da variável
e
tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAS:


wr = ∫
t
0
dt
V0
2e−
2t
τ
R
wr =
∣
∣
∣
τV0
2
e−
2t
τ
2R
t
0
t
τ = RC,
wr =
CV0
2 (1−e− )
2t
τ
2
É possível observar que com o aumento do tempo, isto é, à medida que o valor tende ao
infinito, a energia absorvida pelo resistor é a mesma armazenada pelo capacitor, indicando que
houve a dissipação da energia.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IBADE, 2020) NO CIRCUITO DA IMAGEM ABAIXO,
E
SE, EM
O VALOR DE VC É IGUAL A 12V, CALCULE O VALOR DE I3, QUANDO
A) 0,6e -5t A
R1 = 20Ω,
R2, = 15Ω,
R3 = 5Ω
C = 0.02F .
t = 0,
t > 0.
B) 0,5e -6t A
C) 12e -5t A
D) 3e -5t A
E) 3e -6t A
2. CONSIDERE O CIRCUITO ABAIXO, FAÇA A TENSÃO INICIAL DO
CAPACITOR SENDO IGUAL A 15V. PEDE-SE A RESPOSTA NATURAL
PARA O CIRCUITO (TENSÃO NO CAPACITOR).
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. (IBADE, 2020) No circuito da imagem abaixo,
v(t)= 15e
t
0,327
v(t)= 1,5e
− t
0,327
v(t)= 15e
− t
3,27
v(t)= 15e
− t
0,327
v(t)= −15e
t
0,327
R1 = 20Ω,
R2, = 15Ω,
R3 = 5Ω
e
Se, em
o valor de Vc é igual a 12V, calcule o valor de i3, quando
A alternativa "A " está correta.
 
O primeiro passo é considerar que a análise do circuito é feita sabendo que a excitação é dada
pelo capacitor. Assim, o cálculo da corrente pode ser feito utilizando-se a equação apresentada
a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é a associação de
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cálculo da constante de tempo:
C = 0.02F .
t = 0,
t > 0.
iR =
V0e
−
t
τ
R
R
R2 + R3.
imax = = 0.6
12
20
τ = RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observação:
Para o cálculo da constante de tempo, deve-se primeiro associar:
e
em série e, em seguida, o resultado deve ser associado em paralelo com
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou ainda:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere o circuito abaixo, faça a tensão inicial do capacitor sendo igual a 15V. Pede-
se a resposta natural para o circuito (tensão no capacitor).
R2
R3
R1.
τ = 0,02(10)= 0,2
τ = 0,02(10)= 1
5
= 51τ
iR =
V0e
−
t
τ
R
iR = 0.6e
−5t
A alternativa "D " está correta.
 
O primeiro passo é calcular o equivalente entre os resistores do circuito. Sendo:
associação em série entre 8 e 10 ohms;
associação em paralelo entre 4 e 18 ohms.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, deve-se calcular a constante de tempo do circuito, utilizando a resistência
equivalente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, definir a resposta natural do circuito, sabendo que a tensão inicial do capacitor é 15V:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Identificar um circuito RL.
Req = 3,27Ω
τ = RC
τ = 3,27(0,1)= 0,327s
v(t)= V0e
−
t
τ
v(t)= 15e−
t
0,327
CIRCUITOS ELÉTRICOS 1, CIRCUITOS RL
CIRCUITO RL
Os circuitos conhecidos por RL, tal como os circuitos RC, são circuitos de primeira ordem, pois
contêm um elemento armazenador de energia, neste caso, o indutor (C). Assim como já dito, é
necessário conhecer esse elemento e a forma com que ele opera para entender melhor o
comportamento do circuito.
Considerando que as características de funcionamento de um indutor, já são de conhecimento
do aluno por estudo em temas anteriores, ressaltaremos apenas as equações e propriedades a
serem aplicadas neste tema. O indutor, tal como o capacitor, é um elemento passivo que, por
sua vez, resiste à alteração brusca de corrente.
Para analisar um circuito RL, é necessário solucionar uma equação diferencial de primeira
ordem. Neste caso específico, deve-se considerar a propriedade do elemento indutivo em
armazenar energia no campo magnético. Com isso, esse circuito pode ser excitado de duas
formas distintas:
Por meio da energia armazenada inicialmente no indutor.

Pela inserção de uma fonte externa, sendo aqui consideradas as fontes de corrente contínua
(CC).
RESPOSTA NATURAL DO CIRCUITO RL
Para fins de estudo, considera-se um circuito RL simples, sem excitação, ou seja, sem a
presença da fonte externa de alimentação, como mostrado na imagem a seguir. Nesse
contexto, a fonte é desconectada e o estado inicial do elemento indutivo é dado por carregado.
Essa energia, por sua vez, será liberada ao resistor presente no circuito, como será observado
posteriormente.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O (2013, p. 229).
 Imagem 3 - Representação do circuito RL sem fonte.
Nessa avaliação, o objetivo é a obtenção da resposta natural do circuito, também conhecida
por solução em regime. Dessa forma, o comportamento do circuito é avaliado ao longo da
variação temporal, considerando, porém, que a excitação é feita por meio da energia já
armazenada no indutor. Como já visto no módulo anterior, é esperado, nessas condições, que
haja uma dinâmica de descarregamento do indutor, que ocorre por meio da dissipação da
energia via resistor.
Considerando o mesmo circuito da imagem anterior, na qual pode serobservada a presença de
um resistor e um indutor conectados em série, o indutor encontra-se inicialmente carregado.
Diferentemente do que foi proposto para o circuito RC, o cálculo da resposta natural do circuito
proporciona a corrente que circula através do indutor,
Como este tem uma carga inicial, no instante zero
haverá uma corrente que circula devido a essa energia armazenada, definida como segue:
i(t).
(t = 0),
i(0)= I0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cálculo da energia armazenada no indutor é dado por meio da seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao considerar o valor inicial de corrente já definido, a equação pode ser reescrita, para um
instante
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante ressaltar que todas as leis de circuitos lineares são aplicáveis aos circuitos de
primeira ordem. Dessa forma, ao avaliar novamente a Figura 3, nota-se que a aplicação da Lei
de Kirchhoff para as Tensões (LKT) é a análise mais viável para a solução do circuito proposto.
Assim, pode-se escrever a equação como apresentado adiante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Por meio da equação acima, fica explícito que a soma das quedas de tensão em caminho
fechado é igual a zero.
w = Li21
2
t = 0 :
w(0) = LI0212
v
L
+ v
R
= 0
Por definição, sabe-se que as tensões sobre os componentes indutivo e capacitivo são dadas
respectivamente por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, substituindo as equações anteriores na equação definida pela LKT, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo todos os membros da última equação pelo indutor (L), obtém-se a equação
diferencial de primeira ordem, que modela o comportamento do circuito RL:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para solucionar a equação, uma vez que ela apresenta uma derivada, basta seguir os passos
anteriormente mostrados:
v
L
= L di
dt
v
R
= Ri
v
L
+ v
R
= 0
L + Ri = 0di
dt
+ = 0di
dt
Ri
L
PASSO 1
Rearranjar os termos da equação, que pode ser reescrita como segue:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO 2
Integrar os dois lados da equação em questão, cujo resultado é descrito por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
representa a constante de integração.
Deseja-se, contudo, expressar o valor de i; assim, aplicam-se as propriedades do logaritmo
natural (base e), obtendo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que
representa a corrente inicial que circula no indutor, anteriormente definida por
é possível representar a mesma equação por:
= − dt
di
i
Ri
L
ln i = − + lnA
tR
L
lnA
i (t) = Ae−
tR
L
A
I0,
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela expressão que descreve a corrente em um circuito de primeira ordem resistivo-indutivo,
ou circuito RL, conclui-se:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A corrente, diferente de um circuito resistivo, não é zero ao se desligar as fontes externas,
como era esperado, uma vez que o estudo para o circuito RC foi apresentado no módulo
anterior.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
i(t)= I0e
− tR
L
Por descrição matemática, percebe-se que o comportamento atribuído à corrente é
representado por uma função exponencial, assim como ocorre com a tensão no capacitor do
circuito RC. Isso indica que o gráfico que descreve a corrente inicia em um valor, aqui definido
por
e decresce à medida que o tempo aumenta (tende ao infinito).
Esse comportamento ocorre pois a resposta avaliada é dada em razão da energia presente no
elemento indutivo e não tem vínculo com a fonte de alimentação externa, sendo assim
nomeada resposta natural.
CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITO RL
A resposta natural do circuito, como já citada, pode ser descrita e analisada por meio de uma
queda de exponencial.
COMO MENCIONADO, EM UM INSTANTE INICIAL
O VALOR DA EXPONENCIAL É UNITÁRIO, DEFININDO-
SE QUE A CORRENTE INICIAL É DADA POR
COM O PASSAR DO TEMPO, ACRÉSCIMO EM
O VALOR
I0,
(t = 0),
I0.
t,
I0
PASSA A REDUZIR, POIS A PARCELA EXPONENCIAL
ASSUME VALORES DIFERENTES DE
O que define a velocidade de decaimento da função é a constante de tempo,
apresentada anteriormente para os circuitos RC. É importante ressaltar que esse valor
representa o tempo necessário para que a resposta decaia a 36,8% do valor inicial, como é
representado na imagem a seguir.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013).
 Imagem 4 - Decaimento da corrente em um circuito RL sem fonte.
Para o circuito indutivo, a constante de tempo é definida como apresentada em seguida,
lembrando que
se refere a tempo, sendo assim, a constante é medida em segundos:
1.
τ,
τ
τ = L
R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, é possível representar a equação que modela a resposta do circuito em função
da constante de tempo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAS:


Como já mencionado para o circuito RC, são necessárias cinco constantes de tempo para que
a resposta natural atinja o regime permanente, ou seja, o valor final.


A tensão sobre o resistor pode ser calculada, uma vez que se conhece o valor de corrente do
resistor.
i(t)= I0e
− t
τ
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A energia armazenada no indutor é dissipada por meio do resistor. Dessa forma, é possível
calcular a energia absorvida pelo elemento resistivo. Considere-se a potência dissipada por
ele, definida pela seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao substituir a corrente e a tensão pelos valores já calculados, a equação é reescrita:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular a energia, basta que integre ao longo do tempo de operação a potência absorvida
pelo elemento, o que é representado a seguir:
v
R
= Ri
v
R
= RI0e
− t
τ
p(t)= vi
p(t)= RI 20 e
− 2t
τ
wr = ∫
t
0
p(t)dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando a variação da variável
e ainda que
a energia é dada como segue:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nessa equação, é possível observar que com o aumento do tempo, isto é, à medida que o
valor tende ao infinito, a energia absorvida pelo resistor é a mesma armazenada pelo indutor,
indicando que houve a dissipação da energia.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Considere o circuito da imagem a seguir para as atividades 1 e 2:
wr = ∫
t
0
RI 20 e
− dt
2t
τ
wr =
∣
∣
∣
τRI 20 e
− 2tτ
2
t
0
t
τ = L/R,
wr =
LI 20 (1 − e
−
)
2t
τ
2
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
1. PARA O CIRCUITO APRESENTADO, CONSIDERANDO QUE O VALOR
INICIAL DA CORRENTE QUE PERCORRE O INDUTOR É DE
PEDE-SE O VALOR DA CORRENTE
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. PARA O CIRCUITO APRESENTADO, PEDE-SE O VALOR DA CORRENTE
DA TENSÃO SOBRE O INDUTOR.
A) 
B) 
10A,
i(t).
 i1(t)= 1e
− t
2,5
3
 i1(t)= 15e
− t
2,5
3
 i1(t)= 10e
t
2,5
3
 i1(t)= 10e
−t
 i1(t)= 10e
− t
2,5
3
v =(−10)e− t
2,5
3
v = −e− t
2,5
3
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Para o circuito apresentado, considerando que o valor inicial da corrente que percorre
o indutor é de
pede-se o valor da corrente
A alternativa "E " está correta.
 
Aplica-se a LKT, dividindo o circuito em duas malhas, ou seja, dois laços:
Laço 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Laço 2:
 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
Substituindo no Laço 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solucionando por meio dos passos já apresentados:
v = e− t10
3
2,5
3
v = (− )e− t10
3
2,5
3
v = (− )e− t10
3
2
3
10A,
i(t).
L + R(i1 − i2)= 0
di
dt
0,4 + 2(i1 − i2)= 0
di1
dt
6i2 − 2i1 − 3i1 = 0
i2 = i1
5
6
0,4 + i1 = 0
di1
dt
1
3
= − dt
di1
i1
2,5
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retirando o logaritmo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para o circuito apresentado, pede-se o valor da corrente da tensão sobre o indutor.
A alternativa "D " está correta.
 
Para o cálculo da tensão no indutor, assume-se a corrente calculada anteriormente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para isso, basta aplicar a propriedade derivada:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a reposta forçada aos circuitos RL e RC.
ln i1 − ln i0 = − t
2,5
3
ln = − t
 i1
 i0
2,5
3
 i1(t)=  i0e
− t
2,5
3
 i1(t)= 10e
− t
2,5
3
 i1(t)= 10e
− t
2,5
3
v = L di
dt
v = 0,4(10)(− )e− t2,5
3
2,5
3
v = (− )e− t10
3
2,5
3
FUNÇÕES DE SINGULARIDADE
CIRCUITOS ELÉTRICOS 1, RESPOSTA AO
DEGRAU
Para dar continuidade aos estudos aqui propostos, é necessário se inteirar minimamente de
alguns conceitos referentes às funções de singularidade.
ESSAS FUNÇÕES, TAMBÉM CONHECIDAS POR
COMUTAÇÃO, SERVEM PARA EXEMPLIFICAR
SITUAÇÕES E FENÔMENOS QUE OCORREM NOS
CIRCUITOS ELÉTRICOS, ISTO É, EM SITUAÇÕES EM
QUE SÃO OBSERVADOS COMPONENTES COMO
CHAVES, HÁ UMA CARACTERÍSTICA DESCONTÍNUA.
Com isso, é possível representar as formas de onda de corrente e tensão pela utilização das
funções singulares.
Dentre as funções de singularidade mais comuns, encontram-se:
DEGRAU UNITÁRIO
Função na qual a amplitude unitária é uma particularidade. Em zero, nota-se a
descontinuidade; em um, por sua vez, ela muda de estado de forma abrupta.
O uso dessa função ocorre em casos nos quais se deseja representar alterações de tensão ou
corrente de forma instantânea; na qual, em um dado instante, o circuito está desligado e, em
seguida, passa a existir uma excitação no circuito, equivalência de uma comutação de chaves.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 234).
 Imagem 5 - Função degrau unitário.
O modelo matemático que descreve a função degrau unitário é apresentado a seguir, na qual a
mudança de estado ou comutação ocorre em
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
IMPULSO UNITÁRIO
Representado na imagem a seguir:
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 236).
 Imagem 6 - Função impulso unitário.
RAMPA UNITÁRIA
Representada na imagem a seguir:
t = 0 :
u(t)={ 0,  t < 0
1,  t > 0
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 237).
 Imagem 7 - Função Rampa unitária
 SAIBA MAIS
Destaca-se que nem sempre essa função é unitária, como se aplicará nos exemplos propostos
neste módulo.
No intuito de avaliar a resposta completa dos circuitos RC e RL, será considerada, neste
estudo, a aplicação de um degrau unitário.
RESPOSTA AO DEGRAU CIRCUITO RC
Considerando o circuito de primeira ordem RC, deseja-se avaliar a resposta no cenário em que
uma fonte é aplicada. Anteriormente, o comportamento deste foi verificado partindo da
excitação vinda da energia armazenada no capacitor.
Para modelar o acréscimo da fonte ao circuito, utiliza-se da função degrau, que simula a
comutação de uma chave e cuja resposta obtida é conhecida por resposta ao degrau. Essa
resposta representa o comportamento decorrente da conexão repentina de uma fonte, seja ela
de tensão ou de corrente.
Para ilustrar a análise, é apresentado o circuito da imagem a seguir (a e b), em que as duas
representações se referem ao degrau de tensão, ou seja, à conexão súbita da fonte que ocorre
pela comutação da chave. Nesse circuito RC, a fonte é contínua e deseja-se calcular a tensão
no capacitor (resposta ao degrau).
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013).
 Imagem 8 - Circuito RC com excitação externa.
Podemos assumir as seguintes condições:
CONDIÇÃO 1
O capacitor apresenta uma tensão inicial, dada por
CONDIÇÃO 2
Como é característico do componente, há uma continuidade na tensão do capacitor, resistente
à alteração imediata nos níveis de tensão. Assim sendo, a tensão no instante logo após o
fechamento da chave é a mesma do momento anterior.
Ao aplicar a LKC no nó entre o capacitor e o resistor, como feito na análise sem excitação, o
circuito pode ser modelado conforme mostra a seguinte equação:
V0.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
representa a fonte ou o degrau unitário.
Reorganizando a expressão, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando o instante de aplicação do degrau,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reorganizando a expressão acima, é possível reescrevê-la da seguinte forma:
C + = 0
dv
dt
v − Vsu (t)
R
Vsu (t)
+ =
dv
dt
v
RC
Vsu (t)
RC
t > 0 :
+ =
dv
dt
v
RC
Vs
RC
= −dv
dt
v−Vs
RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para solucionar a equação diferencial, sigamos os passos já apresentados nos módulos
anteriores:
Rearranjar os termos da equação.

Integrar os dois lados da equação obtida.
Assim, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação anterior deve ser integrada em ambos os lados, resultando na seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou ainda, reorganizando os membros da equação e aplicando as propriedades dos logaritmos:
= −dv
v−Vs
dt
RC
ln (v − Vs)|
v(t)
V0
= −
∣
∣
∣
t
0
t
RC
ln (v − Vs) − ln(V0 − Vs) = − + 0
t
RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como mencionado
e, com isso, a equação pode ser reescrita:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou ainda:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ln ( ) = −
v − Vs
V0 − Vs
t
RC
( )= e−v−Vs
V0−Vs
t
RC
τ = RC
= e−
v−Vs
V0−Vs
t
τ
v − Vs =(V0 − Vs)e
−  t
τ
v(t)= Vs +(V0 − Vs)e
−  t
τ
Avaliando-se a resposta, tem-se que:
NO INSTANTE 
Antes do fechamento da chave, a tensão sobre o capacitor é dada pela tensão inicial.
NO INSTANTE 
Após o fechamento da chave, a tensão é descrita pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação representa a resposta completa ou o total do circuito, ao considerar um capacitor
inicialmente carregado.
CONSIDERANDO O CAPACITOR DESCARREGADO
A tensão inicial em é nula.
AINDA CONSIDERANDO QUE NÃO HAJA CARGA NO
CAPACITOR
A resposta ao degrau pode ser escrita como a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cálculo da corrente no capacitor pode ser feito ao se derivar a expressão obtida para a
tensão dele. Dessa forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou ainda:
t  < 0
t  > 0
v(t)= Vs +(V0 − Vs)e
− t
τ
t  <  0
v(t)  =  Vs1 − e − tτ  v(t)= Vs(1 − e− )
t
τ
i(t)= C dv
dt
i(t)= Vse
− C
τ
t
τ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAS:
A resposta final tem duas componentes:


Resposta natural
sem a presença da fonte, considerando a energia armazenada.


Resposta forçada
produzida por uma fonte externa, ou seja,considerando a fonte independente.
i(t)= e−   u(t)
Vs
R
t
τ
(vn),
(vf),
A resposta completa é dada pela junção da resposta natural com a resposta forçada, que pode
ser modelada matematicamente por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resposta natural se extingue com o tempo, bem como a parte transiente da resposta forçada.

A parte transiente se refere ao que é modelado pela exponencial, é a parte que decai a zero e
desaparece quando o tempo se aproxima do infinito.

A parte que fica é a parte permanente, é a resposta final.
ANÁLISE GRÁFICA DO CIRCUITO RC
v = vn + vf
vn = V0e
−  t
τ
vf = Vs(1 − e− )
t
τ
O presente tópico tem o intuito de avaliar a saída de tensão e de corrente referentes ao circuito
RC. Por meio de uma análise gráfica, é possível comparar o comportamento de corrente e
tensão em um circuito cujo capacitor se encontra incialmente descarregado.
A primeira imagem representa o comportamento da tensão em um circuito RC, inicialmente
descarregado. O capacitor irá armazenar energia até que atinja o regime permanente, após
cinco constantes de tempo. A segunda imagem mostra um comportamento oposto para a
corrente, que tem um valor inicialmente e, à medida que o capacitor carrega, apresenta um
decaimento.
 
Imagens: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 243).
 Imagem 9, à esquerda, comportamento da tensão. Imagem 10, à direita, comportamento da
corrente.
RESPOSTA AO DEGRAU CIRCUITO RL
De forma semelhante ao que foi feito com o capacitor, deseja-se analisar a resposta ao degrau
para um circuito RL. Para isso, será considerado um circuito de primeira ordem RL, com a
presença de uma fonte externa, ou seja, um cenário de aplicação do degrau. Destaca-se que,
anteriormente, o comportamento desse circuito foi verificado partindo-se da excitação vinda da
energia armazenada no indutor.
Para modelar o acréscimo da fonte ao circuito RL, utiliza-se a função degrau, que simula a
comutação de uma chave, embora a resposta a ser obtida seja conhecida por resposta ao
degrau. Esta, por sua vez, representa o comportamento decorrente da conexão repentina de
uma fonte, seja ela de tensão ou de corrente.
Para fins de estudo e melhor exemplificação dos conceitos acima citados, será apresentado o
circuito da imagem a seguir (a e b), em que as duas representações se referem ao degrau de
tensão, ou seja, à conexão súbita da fonte que se dá pela comutação da chave presente. É
importante ressaltar que, nesse circuito, tal como no anterior, a fonte é contínua, e deseja-se
calcular a corrente que circula no indutor (resposta ao degrau).
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 247)
 Imagem 11 - Comportamento da corrente.
Podem ser assumidas as condições apresentadas a seguir:
CONDIÇÃO 1
O indutor apresenta um valor de corrente inicial, dado por
CONDIÇÃO 2
Como é característico do componente, há uma continuidade na corrente do indutor, isto indica
que ele é resistente à alteração imediata nos níveis de corrente. Assim, o valor de corrente
observado no instante logo após o fechamento da chave igual ao observado no momento
anterior.
I0.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Há duas formas de solucionar o problema:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A primeira forma é aplicar a LKT no circuito proposto e seguir todos os passos já mencionados
para a análise do circuito RC com fonte.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A segunda é utilizar o conhecimento de que a resposta completa do circuito é dada por uma
parcela transiente (que desaparece com o tempo) e por uma parcela estacionária.
Utilizando o segundo método de solução, vimos, no tópico relacionado à resposta para o
circuito RC, que a parcela transiente é aquela que se refere ao decaimento. Sendo assim, a
parcela de corrente transiente é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo A o valor inicial a ser definido e ainda sabendo que, pela análise RL, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resposta em regime estacionário é aquela em que o sistema se encontra após passar um
tempo depois da chave fechada. Desta forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinar o valor inicial, considera-se que há uma continuidade no componente e que o
valor da corrente é dado por
assim, no instante
pela análise do circuito:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, a reposta completa do circuito é definida por:
it = Ae
−   
t
τ
τ = L
R
iss =  
Vs
R
I0,
t = 0,
A = I0−
Vs
R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Avaliando a resposta tem-se que:
NO INSTANTE 
Antes do fechamento da chave, a corrente sobre o indutor é dada pela corrente inicial.
NO INSTANTE 
Após o fechamento da chave, a tensão é descrita pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação representa a resposta completa ou total do circuito, ao considerar um indutor
inicialmente carregado.
CONSIDERANDO O INDUTOR DESCARREGADO
A corrente inicial em é nula.
AINDA CONSIDERANDO QUE NÃO HAJA CARGA NO
INDUTOR
A resposta ao degrau pode ser escrita como demonstrado a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cálculo da tensão no indutor pode ser feito ao derivar a expressão obtida para a corrente
dele. Dessa forma:
i(t)= +(I0 − )e− VsR
Vs
R
t
τ
t  < 0
t  > 0
i(t)= +(I0 − )e− VsR
Vs
R
t
τ
t  < 0
i(t)= (1 − e−  )Vs
R
t
τ
v(t)= L di
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou ainda:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAS:


A resposta transiente se extingue após cinco constantes de tempo.


Após o transiente, o indutor se comporta como um curto-circuito, e a tensão é nula.
i(t)= Vse
− L
τR
t
τ
i(t)= Vse
−   u(t)tτ
ANÁLISE GRÁFICA DO CIRCUITO RL
Assim como feito para o circuito RC, o presente tópico tem o intuito de avaliar a saída de
tensão e de corrente referentes ao circuito RL.
Analisando graficamente, é possível avaliar o comportamento da corrente e da tensão no
indutor em duas situações:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Quando o indutor está com carga inicial.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Quando o indutor está descarregado, ou seja, a corrente é nula.
A imagem ao lado representa o comportamento da corrente quando o indutor está inicialmente
carregado.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 248)
 Imagem 12 - Comportamento da corrente com indutor carregado.
Ao contrário desse comportamento, na imagem seguinte é possível observar o carregamento
do indutor, quando a corrente inicial é nula e irá aumentar após a conexão da fonte.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 249)
 Imagem 13 - Comportamento da corrente com indutor descarregado.
A imagem a seguir, representa o comportamento da tensão para um indutor inicialmente
descarregado.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 249)
 Imagem 14 - Comportamento da tensão com indutor carregado.
APLICAÇÕES DOS CIRCUITOS RC E RL
CIRCUITOS DE CARGA
Como exemplos de aplicação prática referentes aos circuitos RC, podem ser citados os
circuitos para flash eletrônico de câmeras fotográficas. Esse é um circuito de carga, cujos
principais componentes podem ser observados de forma simplificada no esquema mostrado na
próxima imagem. É possível identificar a presença de resistores e do capacitor, sendo o
capacitor o responsável pelo armazenamento da energia utilizada na lâmpada que produz a
luminosidade do flash. Ainda é inserida uma fonte de tensão CC cuja função é carregar o
capacitor. O circuito completo possui ainda um circuito do tipochopper e um circuito de disparo,
assim nomeado por sua função de acionar a lâmpada do flash.
 
Imagem: ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. (2013, p. 260).
 Imagem 15 - Circuito simplificado do flash da câmera.
 SAIBA MAIS
Circuitos chopper - são tipos de conversores cuja função é converter tensão CC em CC.
EXEMPLO RESOLVIDO
Considere um circuito de carregamento de um flash eletrônico, como mostrado na imagem a
seguir. Nele, observam-se um resistor que tem a função de limitar o valor da corrente do
circuito, de 5kΩ (R1), e um capacitor eletrolítico de 1.000µF carregado a uma tensão de 220V.
Considerando-se que a resistência da lâmpada seja de 10Ω (R2), deseja-se determinar:
a corrente de pico na carga;
o tempo necessário para que o capacitor se encontre completamente carregado;
a corrente de descarga de pico;
a energia total armazenada no capacitor; e
a potência média dissipada pela lâmpada.
RESOLUÇÃO
Para calcular a corrente de pico na carga, considera-se apenas o circuito de carga, sem o R2:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabe-se que a equação referente à constante de tempo de um circuito RC é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, substituindo-se os valores e considerando-se que são necessárias cinco constantes de
tempo para que o capacitor se encontre completamente carregado, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cálculo da corrente de descarga é feito considerando-se o circuito de descarga RC, no qual
está presente a lâmpada. Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, o cálculo da energia armazenada no capacitor considera a equação já apresentada
anteriormente, como a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Efetuando as substituições, tem-se:
I = = 44mA220
5k
τ = RC
τ = 5k(1000µ)
τ = 5s
τ =(5)5 = 25s
I = = 22A220
10
w = Cv21
2
w = (1000µ)2202 = 24,2J1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A energia armazenada no capacitor, cujo cálculo foi desenvolvido, descarrega-se por meio da
lâmpada, o tempo de descarga é de cinco constantes de tempo. Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esse valor, é possível encontrar a potência média dissipada, na qual:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FILTRO DE LINHA
O filtro de linha é um dispositivo de segurança amplamente conhecido, utilizado em
computadores e demais equipamentos eletrônicos sensíveis a surtos de tensão. Além de
proteger os equipamentos, o filtro é capaz de atenuar a interferência eletromagnética. Quanto a
seus aspectos construtivos, eles são compostos, principalmente, por disjuntores, capacitores e
indutores.
CIRCUITO DE IGNIÇÃO
Um exemplo de aplicação referente aos circuitos RL são circuitos de ignição de motores à
combustão. Esses sistemas fazem uso de arcos voltaicos, criados a partir da propriedade do
indutor em se opor às mudanças bruscas de corrente.
τ = 10(1000µ)
τ = 5 * RC
τ = 0,005s
p = W
τ
p =
24,2
0,05
p = 484 Watts
NOTAS:


Todas as análises propostas podem ser aplicadas a qualquer circuito que possa ser reduzido a
RL e RC (contendo apenas um elemento armazenador de energia).


Há duas formas de calcular a resposta forçada, que apresentam o mesmo resultado,
possibilitando a conferência dos cálculos.


Neste estudo, foi aplicada a função degrau unitário, contudo, as demais funções de
singularidade podem ser aplicadas para fins de representação de comportamentos de outros
equipamentos.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FGV, 2016) A IMAGEM A SEGUIR APRESENTA UM CIRCUITO
COMPOSTO DE UMA FONTE CC DE 271,8V QUE ALIMENTA, POR UMA
CHAVE INICIALMENTE ABERTA, UM CIRCUITO RC SÉRIE.
SABENDO-SE QUE O CAPACITOR SE ENCONTRA DESCARREGADO E
QUE O VALOR DO RESISTOR É 1KΩ, AO FECHAR A CHAVE, O VALOR DA
CORRENTE ELÉTRICA NO CIRCUITO NO INSTANTE T IGUAL À
CONSTANTE DE TEMPO DO CIRCUITO É DE:
A) 0,10A
B) 0,25A
C) 0,50A
D) 0,70A
E) 0,85A
2. (FGV, 2017) A IMAGEM A SEGUIR APRESENTA UM CIRCUITO
COMPOSTO DE UMA FONTE CC DE 90,6V QUE ALIMENTA, POR MEIO DE
UMA CHAVE QUE INICIALMENTE ESTÁ ABERTA, UM CIRCUITO RC
SÉRIE.
SABE-SE QUE O CAPACITOR SE ENCONTRA DESCARREGADO E QUE O
VALOR DO RESISTOR É 10KΩ. AO FECHAR A CHAVE, O VALOR DA
CORRENTE ELÉTRICA NO CIRCUITO NO INSTANTE T IGUAL À
CONSTANTE DE TEMPO DO CIRCUITO É DE:
A) 3,33mA
B) 6,66mA
C) 7,33mA
D) 8,33mA
E) 9,66mA
GABARITO
1. (FGV, 2016) A imagem a seguir apresenta um circuito composto de uma fonte CC de
271,8V que alimenta, por uma chave inicialmente aberta, um circuito RC série.
Sabendo-se que o capacitor se encontra descarregado e que o valor do resistor é 1kΩ,
ao fechar a chave, o valor da corrente elétrica no circuito no instante t igual à constante
de tempo do circuito é de:
A alternativa "A " está correta.
 
Sabe-se que o valor da tensão é dado.
Considerando o instante em que
é igual à constante de tempo e tendo em vista que o capacitor se encontra descarregado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cálculo da corrente no capacitor pode ser feito ao derivar a expressão obtida para a tensão
do capacitor. Desta forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou ainda:
t
v(t)= Vs(1 − e− )
t
τ
i(t)= C dv
dt
i(t)= Vse− 
C
τ
t
τ
i(t)= e−   u(t)
Vs
R
t
τ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou aproximadamente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (FGV, 2017) A imagem a seguir apresenta um circuito composto de uma fonte CC de
90,6V que alimenta, por meio de uma chave que inicialmente está aberta, um circuito RC
série.
Sabe-se que o capacitor se encontra descarregado e que o valor do resistor é 10kΩ. Ao
fechar a chave, o valor da corrente elétrica no circuito no instante t igual à constante de
tempo do circuito é de:
A alternativa "A " está correta.
 
O capacitor se encontra incialmente descarregando, assim, ao fechar a chave, deve-se calcular
a carga do capacitor por meio das seguintes equações:.
i(t)= e− 1 
271,8
1k
i(t)= 0,099A
i(t)= 0,1A 
v(t)= Vs(1 − e− )
t
τ
i(t)= e−   u(t)
Vs
R
t
τ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando o instante em que t é igual à constante de tempo, pode-se fazer a seguinte
análise: o capacitor encontra-se completamente carregado, com 63% da tensão.
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para fins de cálculo, chamaremos de A:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este estudo teve por objetivo a apresentação dos circuitos de primeira ordem do tipo RL e RC,
englobando suas características básicas, bem como a forma com que esses circuitos de
primeira ordem são utilizados nos circuitos elétricos. Foram utilizados exemplos para cálculos e
uso de técnicas de solução e análise das repostas natural e forçada.
O estudo foi dividido em três partes: no primeiro módulo, foram pontuados os aspectos básicos
do circuito RC, a análise da resposta natural e exemplos ilustrativos.
0,63Vs = Vs(1 − e−1)
e−1
0,63Vs = Vs(1 − A)
(1 − A)= 0,63
(A)= 0,37
e−1 = 0,37
i(t)= e−   
Vs
R
t
τ
i(t)= e− 1 
90,6
10k
i(t)= 3,33A 
No segundo módulo, foram apresentadas as mesmas técnicas, no entanto, com foco no circuito
indutivo RL, identificando as diferenças entre os dois circuitos.
Por fim, no terceiro módulo, foram apresentadas análises referentes aos dois tipos de circuitos.
Dessa vez, focou-se a resposta forçada, os métodos para avaliá-la matemática e graficamente,
as funções usadas para estudo dos circuitos e exemplos.
Agoraé possível correlacionar os tópicos, fazendo-se necessário o bom entendimento de cada
um deles para melhor absorção do conteúdo seguinte.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto
Alegre: AMGH, 2013.
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Rio de Janeiro: Prentice/Hall do Brasil,
1998.
EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos: reedição da edição clássica. 2. ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 1991.
GUSSOW, M. Eletricidade básica. São Paulo: Makron Books, 1985.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de circuitos elétricos. Rio
de Janeiro: Prentice/Hall do Brasil, 1994. 539 p.
MARKUS, O. Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada. São José dos
Campos: Érica, 2001.
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL. Educação continuada: circuitos
em corrente alternada. São Paulo, 2002.
EXPLORE+
Se você deseja se aprofundar neste conteúdo, recomendamos revisar o comportamento dos
elementos passivos, que pode ser visto no livro Fundamentos de Circuitos Elétricos, de
Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);