Equações de Maxwell

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distribuição 
contínua de carga
Forma Diferencial da Lei de GaussForma Diferencial da Lei de Gauss
( )
VS
E dS E dV= ∇∫∫   g gÑ
� Teorema da divergência para o campo elétrico E

0VS
E dS dVρ=
ε∫∫  gÑ
0
E ρ∇ =
ε
 
g Lei diferencialLei diferencial
de Gaussde Gauss
Lei de Gauss para
distribuição contínua
de carga
Forma Diferencial da Lei de GaussForma Diferencial da Lei de Gauss
0
E ρ∇ =
ε
 
g
Interpretação Física:Interpretação Física:
Divergente de um vetor fluxo por unidade 
de volume desse vetor que atravessa uma certa
região.
Campo Elétrico 
 dá o número de linhas de força que “entra”
numa certa região, ou que “sai”, por unidade de volume. 
 Densidade de linhas de força que “entram 
ou “saem” da região considerada.
Linhas de ForçaLinhas de Força
E∇
 
g
dq
dt
ρ =
carga contida numa
 certa regiãodensidade porunidade de
volume
Dessa carga “sairão” (ou “entrarão”)
0
ρ
ε
linhas de força
EXEMPLO: Calcularemos o divergente ( fluxo por
unidade de volume desse vetor) de num
ponto de uma região onde seja produzi-
do por uma carga puntiforme. 
+q
r P
O
E

reˆ
� o campo em P
r2
0
1 q ˆE e
4 r
=
pi ε

3
0
q rE
4 r
=
pi ε

ˆ ˆ ˆr x i y j z k= + +
E

� da figura , temos :
( ) 1/ 22 2 2r x y z= + +
( )
( )x y z 3/ 22 2 20
ˆ ˆ ˆx i y j z kqˆ ˆ ˆE E i E j E k
4 x y z
+ +
= + + =
pi ε + +

+q
r P
O r
eˆ
� o campo em P : 3
0
q rE
4 r
=
pi ε

ˆ ˆ ˆr x i y j z k= + +� da figura , temos :
( ) 1/ 22 2 2r x y z= + +
� substituindo na equação acima :
( )x 3/ 22 2 20
q xE
4 x y z
=
pi ε + + ( )y 3/ 22 2 20
q yE
4 x y z
=
pi ε + + ( )z 3 / 22 2 20
q zE
4 x y z
=
pi ε + +
componente x componente y componente z
+q
r P
O r
eˆ
� queremos calcular :
� já vimos que : ( )x 3/ 22 2 20
q xE
4 x y z
=
pi ε + +
yx zEE EE
x y z
∂∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
 
g
E ?∇ =
 
g
( )( )3/ 22 2 2x
0
E q x x y z
x 4 x
−∂ ∂
= + +
∂ pi ε ∂
� cálculo do primeiro termo :
( ) ( )3/ 2 5 / 22 2 2 2 2 2x
0
E q 3x y z x x y z 2x
x 4 2
− −∂  
= + + − + + ∂ pi ε  
( ) ( )( )3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2x
0
E q x y z 3x x y z
x 4
− −∂
= + + − + +
∂ pi ε
+q
r P
O r
eˆ
� queremos calcular :
� já vimos que :
yx zEE EE
x y z
∂∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
 
g
E ?∇ =
 
g
( ) ( )( )3/ 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2x
0
E q x y z 3x x y z
x 4
− −∂
= + + − + +
∂ pi ε
� por analogia, temos que :
( ) ( )( )3/ 2 5 / 2y 2 2 2 2 2 2 2
0
E q x y z 3y x y z
y 4
− −∂
= + + − + +
∂ pi ε
( ) ( )( )3/ 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2z
0
E q x y z 3z x y z
z 4
− −∂
= + + − + +
∂ pi ε
+q
r P
O r
eˆ
� queremos calcular :
� já vimos que :
yx zEE EE
x y z
∂∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
 
g
E ?∇ =
 
g
( ) ( )( )3 / 2 5/ 22 2 2 2 2 2 2x
0
E q x y z 3x x y z
x 4
− −∂
= + + − + +
∂ pi ε
( ) ( )( )3/ 2 5 / 2y 2 2 2 2 2 2 2
0
E q x y z 3y x y z
y 4
− −∂
= + + − + +
∂ pi ε
( ) ( )( )3/ 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2z
0
E q x y z 3z x y z
z 4
− −∂
= + + − + +
∂ pi ε
yx zEE EE 0
x y z
∂∂ ∂∇ = + + =
∂ ∂ ∂
 
g E 0∇ =
 
g
 no ponto P não
 existem cargas
ou fluxo do vetor E

E 0∇ =
 
g não há fontes nem sorvedouros
E 0∇ >
 
g divergente ( fonte )
E 0∇ <
 
g convergente ( sorvedouro )
0
E ρ∇ =
ε
 
g válida parao vácuo
+q
r P
O r
eˆ
permissividade
elétrica do meio
considerado
Equação de Maxwell para a eletrostática
 Essa e outras três equações, 
sintetizam todo o eletromagnetismo
E ρ∇ =
ε
 
g
No ítem anterior, calculamos
o divergente de . Agora ,
procuremos calcular no 
ponto P, o rotacional de .
Equação de Maxwell para a eletrostática
E

E

y yz x z xE EE E E Eˆ ˆ ˆE i j k
y z z x x y
∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × = − + − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
 
+q
r P
O r
eˆ
E ?∇ × =
 
( )x 3 / 22 2 20
q xE
4 x y z
=
pi ε + + ( )y 3/ 22 2 20
q yE
4 x y z
=
pi ε + + ( )z 3 / 22 2 20
q zE
4 x y z
=
pi ε + +
componente x componente y componente z
� já vimos que :
Cálculo do primeiro termo : yz
EE
y z
∂ ∂
− ∂ ∂ 
+q
r P
O r
eˆ
( )y 3/ 22 2 20
q yE
4 x y z
=
pi ε + + ( )z 3 / 22 2 20
q zE
4 x y z
=
pi ε + +
componente y componente z
( )( ) ( )3/ 2 5 / 22 2 2 2 2 2z
0 0
E q qz x y z 3 y z x y z
y 4 y 4
− −∂ ∂
= + + = − + +
∂ pi ε ∂ pi ε
( )( ) ( )3/ 2 5/ 2y 2 2 2 2 2 2
0 0
E q qy x y z 3y z x y z
z 4 z 4
− −∂ ∂
= + + = − + +
∂ pi ε ∂ pi ε
yz EE 0
y z
∂∂
− =
∂ ∂� então :
+q
r P
O r
eˆ
yz EE 0
y z
∂∂
− =
∂ ∂
� então :
x zE E 0
z x
∂ ∂
− =
∂ ∂
y xE E 0
x y
∂ ∂
− =
∂ ∂� por analogia : e
y yz x z xE EE E E Eˆ ˆ ˆE i j k 0
y z z x x y
∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × = − + − + − =    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
 
� então :
E 0∇ × =
 
E

- é conservativo
2ª equação de Maxwell da eletrostática
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