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ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa
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CONVERSA INICIAL
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Nossa aula busca introduzir conceitos básicos da estatística e mostrar seu imenso potencial de
uso na economia e áreas correlatas.
Os esforços de aprendizado serão direcionados para e entendimento: (i) do objeto de estudo da
estatística e dos seus principais objetivos enquanto ciência aplicada; (ii) de alguns conceitos iniciais
aplicados em diversas técnicas estatísticas; (iii) da importância do uso de amostras e da forma de
coleta dos dados a serem analisados; (iv) de algumas formas de se resumir grandes conjuntos de
dados; (v) de algumas das principais aplicações da estatística na economia.
CONTEXTUALIZANDO
Em um ano, qual o efeito de um aumento nos gastos do governo na taxa de desemprego no
Brasil? Qual o impacto no salário de se ter cursado ensino superior? Esse impacto difere entre os
países e regiões e, se sim, por que? Qual o perfil médio e os desejos do público-alvo da minha
empresa? Qual a taxa de defeito nas peças que saem da minha linha de produção? Qual a previsão
do crescimento do meu mercado nos próximos cinco anos?
Essas e outras perguntas de relevância econômica, política e social são respondidas pela
estatística. A teoria econômica provê explicações teóricas para o comportamento e a relação entre
variáveis econômicas e variáveis do contexto social, porém a verificação empírica dessas teorias e a
aplicação para casos concretos dependem da existência de dados adequados e do emprego de
técnicas estatísticas.
O objetivo desta disciplina é mostrar a base da estatística e suas técnicas, que serão
aprofundadas na disciplina de econometria do quarto ano. Os tópicos serão apresentados de forma
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sucinta e introdutória, sendo possível que os alunos se aprofundem em temas de seu interesse ao
lerem a bibliografia recomendada.
TEMA 1 – O QUE É E PARA QUE SERVE A ESTATÍSTICA?
O que é a estatística e qual a sua importância para a economia e áreas correlatas? Essas duas
perguntas serão exploradas na aula de hoje. É possível adiantar que a estatística tem um papel
central dentro da ciência econômica, ajudando a transpor os modelos teóricos da economia para a
análise de situações empíricas do mundo real. As técnicas estatísticas ajudam os economistas a
balizar suas previsões sobre o futuro, a testar hipóteses sobre o comportamento dos atores
econômicos e suas relações e a estimar a direção e a força das relações entre variáveis econômicas e
entre variáveis econômicas e outros fatores do contexto social, como variáveis políticas e sociais
(Hoffman, 2006).
A importância da estatística é tão grande que uma nova disciplina emergiu dentro da economia
através da junção de teoria econômica, modelos matemáticos baseados nessas teorias e uso de
técnicas estatísticas para a análise de dados empíricos – a econometria, que será ensinada no último
ano do nosso curso.
A nossa disciplina de Estatística Aplicada visa ensinar os conceitos e técnicas básicas da
estatística utilizados pelos economistas em uma variedade de situações práticas. Os conceitos a
serem ensinados não só formam a base para o entendimento da disciplina de Econometria, mas são
fundamentais para o aguçamento do senso crítico, para o entendimento de notícias e informações
científicas diversas e para a aplicação de conceitos e técnicas para a resolução de problemas que
economistas enfrentam no seu trabalho em empresas, governos, entidades sem fins lucrativos ou em
seus empreendimentos pessoais.
Para iniciarmos nossa jornada, devemos primeiro entender o que é a estatística e quais os
objetivos de suas duas principais áreas. “Estatística é a ciência que coleta, organiza, analisa e
interpreta dados para a tomada de decisão” (Larson; Farber, 2010, p.3). É aplicada em diversos
campos do conhecimento e da ação humana que envolvam dados e decisões, sejam de ordem
científica, tecnológica, empresarial, produtiva, comercial, de gestão pública, entre outros.
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A matéria-prima da estatística são os dados, que podem ser quantitativos ou qualitativos. Para
que esses dados forneçam informações relevantes para situações do mundo real, eles devem ser
organizados e analisados com técnicas adequadas. Esse processo de transformação de conjuntos de
dados brutos em informações úteis para a tomada de decisão no mundo real é o objetivo principal
da estatística.
Para a realização desse objetivo, a estatística é dividida em duas partes. A estatística descritiva
que tem por objetivo apresentar, organizar e descrever um conjunto de dados de forma sucinta, e a
inferência estatística se refere a técnicas que permitem generalizações (inferências), que podem ser
feitas sobre características de uma população a partir de amostras e informações incompletas
(Hoffman, 2006).
Dessa forma, a essência da inferência estatística é aprender algo sobre uma população de
interesse a partir da coleta e análise de dados de uma parte menor de seus membros (amostras)
(Triola, 2006). Os tópicos abordados nas próximas seções devem tornar esses conceitos mais claros.
TEMA 2 – CONCEITOS INICIAIS
Alguns conceitos iniciais são necessários para se entender os objetivos e potenciais da
estatística. O quadro 1 apresenta uma parte desses conceitos iniciais, sendo os demais conceitos
iniciais apresentados em conteúdos posteriores.
Quadro 1 – Alguns conceitos básicos da estatística
CONCEITO DEFINIÇÃO EXEMPLO
Dado Dados são observações coletadas. Altura de estudantes de uma escola, cotações de uma
moeda ao longo de um ano.
Dado
quantitativo
Observação numérica representando contagens ou
medidas.
Peso de latas de refrigerantes produzidas em uma
fábrica, lucro de empresas de um determinado país
em um ano.
Dado
qualitativo
Observações que podem ser separadas em
diferentes categorias conforme alguma
característica não numérica.
Cores dos carros vendidos por uma concessionária,
voto no candidato X em uma eleição, cidade de
origem dos funcionários de uma empresa.
Variável Um atributo do objeto de estudo considerado que
tenha variação.
Renda per capita da população de um país, altura de
adultos de um país.
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Variável
aleatória
Variável cujos valores provém de um processo
aleatório.
Resultado do lançamento de um dado ou de uma
moeda.
População Coleção completa de todos os elementos a serem
estudados.
Todos os habitantes do Brasil no caso do Censo
Demográfico.
Parâmetro Medida numérica que descreve alguma
característica da população.
Proporção de todos os brasileiros que estão em
situação de extrema pobreza.
Censo Coleta de dados sobre todos os membros de uma
população.
Censo Demográfico realizado no Brasil a cada dez
anos.
Amostra Subconjunto de membros selecionados de uma
população.
Pesquisa de intenção de votos para uma eleição.
Estatística Medida numérica que descreve alguma
característica de uma amostra.
Proporção de eleitores que pretendem votar no
candidato A, salário médio de pessoas que se
formaram no curso X.
Inferência
Estatística
Generalização sobre algum parâmetro da população
de interesse com base em uma estatística obtida de
uma amostra dessa população.
Projeção da provável vitória de um candidato que
tenha obtido intenções de voto muito maiores que
outros candidatos em uma amostra.
Fonte: Elaborado com base em Triola, 2006.
A aplicação desses conceitos em casos práticos deve ser bem demarcada no tempo e no espaço.
Por exemplo, se quisermos analisar a distribuição de renda em um determinado território, é preciso
demarcar bem qual é esse territórioe a que período do tempo os dados se referem. A distribuição de
renda do Brasil em 2018, por exemplo, é diferente da de 2019, e as distribuições de renda das regiões
e estados brasileiros também se diferem entre si. Para um melhor entendimento dos conceitos, leia
os casos hipotéticos abaixo.
Suponha que desejamos saber o desempenho acadêmico de uma escola. Como se trata de uma
população de estudantes relativamente pequena, a escola resolve realizar um teste com todos os
estudantes (censo). A pontuação no teste dos alunos é a variável de interesse, e o desempenho
médio dos alunos é o parâmetro que mede o desempenho acadêmico da escola. É importante
assinalar que os resultados refletem o desempenho dessa escola específica em um momento do
tempo específico, não podendo ser generalizado para outros contextos.
Agora, suponha que desejamos saber qual candidato a uma eleição provavelmente será o
vencedor e qual a proporção da população votante de um território (população) que vai votar em
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cada candidato (parâmetro). Como a população é grande, foi decidido realizar uma amostra
aleatória com dois mil eleitores. A variável de interesse é a intenção de voto na eleição específica. As
proporções de intenção de voto para cada candidato obtidas na amostra são as estatísticas, a partir
das quais a aplicação de técnicas estatísticas permite a estimação do parâmetro, chegando-se a
conclusões prováveis sobre qual a proporção de votos que cada candidato vai ter na eleição e, logo,
qual o provável vencedor, a chamada inferência estatística.
Um melhor entendimento das formas de se obter amostras é o nosso próximo tópico.
TEMA 3 – AMOSTRAGEM
A melhor forma de se conhecer os atributos de uma população seria realizar um censo, no qual
todos os membros da população têm seus dados coletados, porém isso nem sempre é viável ou
prático.
Por exemplo, se quisermos saber a opinião de todos os milhões de brasileiros em idade de votar
sobre a aprovação de uma nova lei qualquer, teríamos que realizar um censo que abordasse todos os
brasileiros dentro de um espaço curto de tempo, de cidadãos que habitam as grandes metrópoles às
comunidades indígenas e ribeirinhas da Amazônia. Isso se tornaria inviável em termos logísticos,
técnicos e financeiros, ainda mais se considerarmos que se trata de uma questão pontual.
O Brasil realiza, a cada dez anos em média, o Censo Demográfico para a coleta de dados
diversos sobre a população brasileira. Esse censo exige elevados recursos e planejamento a longo
prazo, e, mesmo assim, falha em capturar informações de todos os cidadãos brasileiros. Muitos não
respondem a pesquisa por não estarem em casa no momento em que o recenseador chega para a
coleta de dados, por não terem residência fixa, entre outros motivos diversos.
Mesmo que sua cobertura seja incompleta, ela pode ser considerada razoável para a maioria das
questões. Contudo, por ser realizado a cada dez anos, os dados podem ficar desatualizados nesse
meio tempo. Um dado como a taxa de desemprego em 2010 não diz muito sobre o desemprego no
Brasil em 2019, ainda mais considerando que essa é uma variável conjuntural que flutua muito de um
ano para o outro ou mesmo dentro de um mesmo ano.
Há ainda outras questões. Por exemplo, se quisermos avaliar a resistência mecânica de uma peça
de nossa linha de produção, teremos que utilizar testes que levem essas peças ao seu limite, ou seja,
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à destruição. Realizar um censo para mensurar a resistência de todas as peças tornaria a linha de
produção insustentável.
Dadas essas dificuldades para a realização de censos, é possível utilizar amostras, que são
subconjuntos da população de interesse, para se estimar algum atributo sobre a população. Há
diversas formas de se obter uma amostra, mas a que possui as melhores propriedades e a mais
utilizada em análises estatísticas são as amostras aleatórias. Em uma amostra aleatória, todos os
membros da população têm a mesma chance de serem selecionados para a amostra (Triola, 2006).
Um dos riscos de se utilizar uma amostra é que ela pode não ser representativa da população de
interesse, gerando, assim, resultados distorcidos. Uma amostra ruim pode ser pior do que não ter
amostra nenhuma. Uma amostra representativa é uma que não tenha vieses de seleção, que são
direcionamentos que fazem com que determinados membros de uma população tenham maior
chance de serem selecionados ou excluídos de uma amostra. Ao aparecerem em maior ou menor
frequência que a parte da população de interesse, eles fazem a amostra ter uma composição
diferente, gerando resultados não representativos.
Nesse contexto, se quisermos saber qual a renda média das famílias da cidade de São Paulo, não
podemos coletar dados somente de pessoas que trabalham na Avenida Faria Lima, conhecida por ser
um polo financeiro e uma região de renda elevada. Uma estatística baseada somente em indivíduos
dessa região não seria capaz de estimar a renda média de São Paulo, pois seria distorcida por não
incorporar pessoas que habitam regiões mais periféricas e de menor renda. A amostra deve sim
abarcar pessoas que habitam a região da Faria Lima, mas também pessoas das outras regiões da
cidade.
A aleatoriedade garante a redução do risco de vieses ao fazer com que todos os segmentos
tenham a mesma probabilidade de serem incluídos na amostra. Há ainda riscos de distorções na
composição da amostra devido ao acaso, mas são bem baixos. Especialmente em grandes amostras,
a aleatoriedade é a melhor maneira de garantir a minimização desses riscos.
Nosso próximo tópico mostra algumas formas de organização e resumo de conjuntos de dados.
TEMA 4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA E GRÁFICOS
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Os conjuntos de dados têm algumas propriedades que nos permitem entender seu
comportamento e características gerais. Uma dessas propriedades é a distribuição dos dados, que se
refere à forma com que os dados são distribuídos ao longo da escala da variável analisada (Triola,
2006). Os valores dos dados podem se concentrar próximos a um ou mais pontos específicos, e há
formas de se observar isso visualmente por meio de tabelas e gráficos.
Uma forma eficiente de se organizar os dados e entender como eles se distribuem é por meio da
construção de tabelas, como a distribuição de frequência, que é uma tabela que divide os valores
individualmente ou em classes de valores e reporta a frequência que aqueles valores aparecem no
conjunto (Pinheiro et al., 2009).
Os procedimentos para a elaboração de uma distribuição de frequência são: (i) organizar os
dados em ordem crescente; (ii) definir a amplitude dos valores ao subtrair do valor máximo o valor
mínimo; (iii) definir o número de intervalos a serem feitos, em geral de mesma amplitude, e os
valores dos seus limites superiores e inferiores; (iii) colocar a frequência de aparecimento no conjunto
de dados de valores por intervalo. Atualmente, qualquer software estatístico realiza isso
automaticamente, logo devemos focar na interpretação dos resultados.
Utilizamos um exemplo real de uma variável econômica de alta relevância para ilustrar esse
conceito. A tabela 1 mostra o valor da renda familiar per capita média dos 26 estados brasileiros e do
Distrito Federal em 2019. Os dados foram obtidos da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios
(PNAD), que coleta periodicamente dados representativos das unidades federativas do país sobre
mercado de trabalho e outras variáveis socioeconômicas. Os valores foram arredondados.
Tabela 1 – Renda familiar per capita das unidades federativas do Brasil – em R$
Unidade Federativa Renda per capita familiar - em R$
Rondônia 1.111
Acre 890
Amazonas 838
Roraima 1.050
Pará 795
Amapá 874
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Tocantins1.038
Maranhão 637
Piauí 831
Ceará 939
Rio Grande do Norte 1.042
Paraíba 909
Pernambuco 954
Alagoas 729
Sergipe 970
Bahia 912
Minas Gerais 1.331
Espírito Santo 1.440
Rio de Janeiro 1.809
São Paulo 1.889
Paraná 1.586
Santa Catarina 1.709
Rio Grande do Sul 1.812
Mato Grosso do Sul 1.491
Mato Grosso 1.361
Goiás 1.284
Distrito Federal 2.599
Fonte: IBGE, 2021.
A renda familiar per capita é um indicador do grau de desenvolvimento econômico e acesso a
consumo de uma região. Quanto maior, melhor. Os dados das unidades federativas brasileiras
indicam uma forte variação da renda per capita familiar entre as regiões do país, algumas com renda
muito mais elevada do que outros.
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Nossa variável de interesse X é a renda familiar per capita das unidades federativas do Brasil. O
menor valor (R$637) pertence ao estado do Maranhão, e o maior (R$ 2.599), ao Distrito Federal. Em
2019, a diferença entre a unidade de maior e menor renda foi de R$ 1.961. Arredondando esse valor
para R$ 2.000, pode-se dividir os dados em cinco intervalos de igual tamanho de R$ 400. A tabela
seguinte apresenta a distribuição de frequência.
Tabela 2 – Distribuição de frequência da renda familiar per capita das unidades federativas
brasileiras (em R$)
Faixa de renda – R$ Frequência Frequência relativa
600-999 12 44,4%
1.000-1.399 7 25,9%
1.400-1.799 4 14,8%
1.800-2.199 3 11,1%
2.200-2.600 1 3,7%
Fonte: Elaborada com base em IBGE, 2021.
A tabela mostra tanto a frequência absoluta (numérica) quanto relativa (em percentual) das
faixas de renda familiar per capita das unidades federativas brasileiras. Enquanto, na tabela 1, com 27
linhas, é difícil ter uma visão de como os dados se distribuem, na tabela de frequência, é possível ver
de forma sucinta que quase metade dos estados tem uma renda per capita relativamente baixa, de
menos de R$ 1.000, e mais de 70% tem renda per capita inferior a R$ 1.400.
Uma outra forma de sintetizar os dados e mostrar como eles se distribuem é construindo
gráficos, dos quais o mais usual é o histograma. Um histograma é um gráfico de barras no qual o
eixo horizontal representa intervalos de valores da variável de interesse X e o vertical, a frequência
que esses valores aparecem no conjunto de dados analisado. A altura das barras é proporcional à
frequência de aparecimento dos dados, e as barras são construídas adjacentes umas às outras (Triola,
2006). É basicamente a representação visual da tabela de distribuição de frequência. As barras em
geral possuem a mesma largura, representando intervalos de valores de igual magnitude. O gráfico 1
é um histograma dos dados de renda familiar per capita das unidades federativas brasileiras em
2019.
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Gráfico 1 – Histograma da renda familiar per capita das unidades federativas do Brasil – em R$
Fonte: Elaborado com base em IBGE, 2021.
Os dados refletem o mesmo padrão expresso na tabela de frequência acima: a maioria das
unidades federativas brasileiras tem renda per capita relativamente baixa, abaixo de R$ 1,4 mil.
Apresentadas essas formas de se visualizar a distribuição dos dados de um conjunto, o próximo
tópico mostra alguns dos usos possíveis da estatística na economia.
TEMA 5 – EXEMPLOS DE USO NA ECONOMIA
As possibilidades de uso da estatística e da disciplina derivada de econometria pelos
economistas e profissionais de áreas correlatas são diversas. Elas são disciplinas instrumentais, que
ajudam os estudantes e profissionais formados a aplicarem os conhecimentos teóricos adquiridos nas
disciplinas de economia a problemas do mundo real. O quadro 2 mostra algumas das aplicações da
estatística na economia e exemplos.
Quadro 2 – Alguns dos usos da estatística na economia
TIPO DE USO EXEMPLO
Definição e mensuração de variáveis
econômicas
PIB, taxa de inflação, distribuição de renda.
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Indicações do estado atual da economia Taxa de crescimento econômico, taxa de desemprego.
Previsões sobre variáveis econômicas e
financeiras
Valor futuro de uma ação; expectativa de crescimento do PIB no próximo ano.
Avaliação do impacto de políticas Quanto um aumento de 1% nos gastos públicos hoje vai impactar no PIB do
próximo ano?
Estimação da relação entre variáveis Quanto o aumento de 1% no preço do meu produto vai impactar na
quantidade vendida?
Planejamento empresarial Qual o perfil e os desejos do público consumidor da minha marca?
Fonte: Barbosa, 2021
Como visto, o potencial de uso da estatística para economistas é imenso. Mais adiante, vamos
aprofundar o entendimento dos conceitos e técnicas.
TROCANDO IDEIAS
Em um fórum de discussão, discuta as limitações e os problemas de se utilizar amostras não
aleatórias e não representativas das populações que se deseja analisar.
NA PRÁTICA
A lição proposta é acessar o site que roda online e gratuitamente o software estatístico Statdisk e
construir um histograma dos dados a seguir. Suponha que os dados fictícios representam a renda
familiar per capita de 12 pessoas selecionadas aleatoriamente de seu bairro.
X – Renda familiar per capita
1000
1100
950
1200
1300
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1450
1325
2000
1600
1900
1875
2100
Passos para a realização da atividade:
1. Acesse o site do Statdisk (<https://www.statdisk.com/accounts/login/?next=/>);
2. Inscreva-se com sua conta Google ou outra;
3. O programa vai abrir sua página inicial com uma planilha vazia;
4. Copie e cole os doze dados acima na primeira célula da planilha em branco;
5. Após colar, clique em Data na barra superior e na opção Histogram;
6. Após abrir a janela, clique em Select Column e coloque a opção 1;
7. Clique em Plot ao final da página;
8. O histograma dos dados será gerado à esquerda, então analise-o.
Caso não disponha de um computador ou não consiga realizar a lição proposta, construa um
histograma à mão. Lembre-se que é preciso: (i) organizar os dados em ordem crescente; (ii) calcular a
amplitude dos valores subtraindo do valor máximo o valor mínimo; (iii) dividir o valor da amplitude
em intervalos de igual tamanho, no caso três intervalos são suficientes; (iv) contar a frequência de
ocorrência dos valores; (v) desenhar o gráfico a partir desses dados.
FINALIZANDO
Nesta aula, realizamos uma introdução à estatística, seus conceitos básicos e seu potencial de
uso na economia. Aprendemos também algumas formas de organizar e visualizar grandes conjuntos
de dados de forma resumida. É importante um entendimento adequado desses tópicos, porque a
estatística é uma disciplina cumulativa, logo cada conteúdo tem relação com conteúdos anteriores.
https://www.statdisk.com/accounts/login/?next=/
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REFERÊNCIAS
HOFFMAN, R. Introdução. In: _____. Estatística para economistas. 4. ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2006, p. XIII-XIV.
IBGE. PNAD – Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios – 2021. Disponível em:
<https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/rendimento-despesa-e-consumo/9127-pesquisa-
nacional-por-amostra-de-domicilios.html?=&t=o-que-e>. Acesso em 29 out. 2021.
LARSON, R.; FARBER, B. Introdução à Estatística. In:__ Estatística Aplicada. 4. ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2010, p. 2-30.
PINHEIRO, J. I. D.; DA CUNHA, S. B.; CARVAJAL, S. R.; GOMES, G. C. Análise exploratória para uma
variável. In:__ Estatística Básica: a arte de trabalha com dados. São Paulo: Elsevier, 2009, p. 11-51.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. In: _____. Estatística Elementar. 10. ed. Boston: Pearson
Prentice Hall, 2006, p. 2-39.
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ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa07/06/2022 20:13 UNINTER
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CONVERSA INICIAL
MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO
Anteriormente, aprendemos a organizar conjuntos de dados e observar como variáveis se
distribuem com tabelas de distribuição de frequência e histogramas. Nesta aula, vamos aprender
algumas medidas que ajudam a resumir diferentes propriedades de conjuntos de dados e que são
utilizadas para a realização de inferências estatísticas.
Os esforços de aprendizado são: (i) entender o conceito de medida de posição e seus principais
tipos e (ii) entender o conceito de medida de dispersão e seus principais tipos. Ambos os conceitos
são centrais para a estatística descritiva e inferencial, abordadas em conteúdo posterior.
CONTEXTUALIZANDO
Como resumir um conjunto de dados em algumas estatísticas? Como comparar diferentes
conjuntos de dados? Que valores representam melhor meu conjunto de dados e em qual grau eles
são uma representação precisa?
Essas e outras perguntas são elucidadas nesta aula, o entendimento dos conceitos apresentados
é fundamental para que possamos realizar uma análise descritiva de conjuntos de dados e são os
elementos fundamentais a serem aplicados nas diferentes técnicas de inferência estatísticas a serem
apresentadas em conteúdo posterior.
O objetivo é entender a lógica das medidas e como interpretá-las, o cálculo em si pode ser feito
facilmente em softwares especializados.
TEMA 1 – O QUE SÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO?
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Anteriormente, aprendemos a utilizar histogramas e distribuições de frequência para analisarmos
a distribuição de um conjunto de dados ao longo de seu intervalo de valores. Analisar a distribuição
de um conjunto de dados nos permite entender ao redor de quais valores os dados se concentram e
se há lacunas na escala para as quais não há dados.
Outras duas propriedades de conjuntos de dados muito relevantes tanto para a estatística
descritiva quanto para a estatística inferencial serão ensinadas hoje. A primeira são as medidas de
posição, que indicam valores ao redor dos quais os dados do conjunto se concentram, e a segunda
são as medidas de dispersão, que medem o quanto os dados de um conjunto variam entre si.
Uma medida de posição central é um valor numérico representativo de um conjunto de dados
que nos mostra um valor típico, uma tendência sobre a qual os dados do conjunto orbitam (Triola,
2006).
Alguns conceitos iniciais devem ser retomados e apresentados antes de se adentrar nas medidas
de posição em si (Triola, 2006).
N – número de elementos que compõem uma população;
n – número de elementos que compõem uma amostra;
∑ - operador somatório se refere à soma de todos os elementos de X;
Xi – i-ésima unidade do conjunto de dados X.
Parâmetro - medida numérica que descreve alguma característica da população, em geral
representada por letras gregas, como µ (mi), α (alfa) e β (beta);
Estatística - medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra, em geral
representadas por letras do nosso alfabeto comum, como a e b, letras do nosso alfabeto com algum
símbolo sobrescrito, como  (x barra), ou como letras gregas com algum símbolo sobrescrito, como 
 (alfa chapéu);
Outlier – valor de um conjunto de dados muito discrepante para mais ou para menos de todos
os outros dados.
TEMA 2 – MÉDIA E MEDIANA
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A média é a medida numérica mais utilizada para descrever um conjunto de dados. A média de
um conjunto de dados é calculada pela soma de todos os valores do conjunto dividido pelo número
total de unidades do conjunto de dados. Ela tem duas vantagens, (i) as médias amostrais tendem a
ser as medidas de centro mais consistentes no sentido que a média de diversas médias amostrais
retiradas da mesma população tende a convergir para o valor da média populacional e a apresentar
menor variabilidade que as outras medidas de centro e (ii) ela considera todos os valores do conjunto
de dados em seu cálculo, refletindo assim de alguma forma na distribuição e na concentração dos
dados do conjunto, sua principal desvantagem é que ela é sensível a outliers (Triola, 2006). O Quadro
1 mostra a fórmula e os componentes dos dois principais tipos de média.
Quadro 1 – Fórmula e componentes da média populacional e amostral
Média populacional Média amostral
Onde:
 é a média populacional
 é o somatório de todos os valores das unidades i da
variável X
N é o tamanho da população
Onde:
 é a média amostral
 é o somatório de todos os valores das unidades i da
variável X
n é o tamanho da amostra
Fonte: Barbosa, 2021.
Considere o seguinte conjunto de dados fictício:
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36
Para obtermos a média, bastaria somar todos esses dados e dividir pelo número de unidades do
conjunto de dados n, que é oito.
 =  =  = 20,75.
A média do conjunto de dados é 20,75. Se conjunto for uma amostra, resultado é uma média
amostral, se for a população inteira, é a média populacional.
Mediana
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A mediana é o valor que, quando o conjunto de dados é organizado de forma crescente ou
decrescente, fica no meio do conjunto. Se tamanho do conjunto de dados é um número par,
mediana é a média dos dois valores centrais. Tem a desvantagem de considerar somente um ou dois
elementos do conjunto de dados, não dizendo muito sobre a distribuição e a concentração dos
dados, tem como vantagem não ser afetada por outliers (Triola, 2006). Para o mesmo conjunto de
dados fictício, primeiro se organiza os dados em ordem crescente, depois se identifica o valor do
dado que fica no meio, no caso, por número de unidades do conjunto ser par, a mediana é a média
dos dois valores centrais, no caso 22 e 22, logo, o valor da mediana é 22.
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
TEMA 3 – MODA E SEPARATRIZES
A moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados (Triola, 2006). Tem
a vantagem de não ser influenciada pela presença de outliers e a desvantagem de levar em conta
somente o valor mais frequente em seu cálculo, ignorando o restante dos dados. Para sua
identificação, é preciso ordenar os dados em ordem crescente ou decrescente e visualizar qual se
repete mais vezes. Considerando nosso conjunto de dados.
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
Moda é o valor 22, que aparece duas vezes, nenhum outro valor apareceu mais de uma vez. Um
conjunto de dados pode ser amodal quando nenhum dos valores aparece em maior frequência que
os outros, unimodal quando há uma moda, bimodal quando há duas modas e assim por diante. Em
um histograma em que cada dado possível é uma barra, a moda é o valor com a barra mais alta.
Separatrizes
São medidas que separam o conjunto de dados em subconjuntos com igual número de
unidades, ajudando a identificar a forma com que os dados são distribuídos. Não são os valores da
variável X que são divididos em intervalos de igual tamanho, mas o número de dados, daí se
identifica qual o valor de X que marca o recorte entre uma separatriz e outra. Os intervalos podem
ser diversos, quatro (quartil), cinco (quintil), dez (decil), cem (percentil), entre outros.
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Por exemplo, se dividirmos a distribuição de renda per capita de todos os brasileiros em dez
intervalos (decis) e quisermos saber que valor separa os 10% de menor renda do restante dos
brasileiros, basta identificarmos o valor do primeiro decil. 10% da população brasileira ganha uma
quantia igual ou menor que esse valor.
Retomando nosso conjunto de dados fictício e calculando os valores de seus quartis (intervalos
que dividem 25%, 50% e 75% dos dados).
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
O cálculo desses valores é relativamente trabalhoso, utilizou-se o Statdisk para o cálculo e para a
criação do gráfico a seguir, conhecido comoboxplot.
Tabela 1 – Valores dos quartis
Medida Valor X
Valor mínimo 10
Primeiro quartil 11,5
Segundo quartil 22
Terceiro quartil 26,5
Valor máximo 36
Fonte: elaborada com base em software Statdisk.
Figura 1 – Gráfico boxplot dos dados
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Fonte: elaborada com base no software Statdisk.
Na escala de cima se coloca os valores da variável X, as pontas da linha são os valores mínimo e
máximo do conjunto de dados, os outros três valores destacados são o primeiro quartil (11,5), o
segundo quartil (22), que sempre é igual à mediana, e o terceiro quartil (26,5). A escala de baixo
mostra os valores possíveis da amostra.
Intervalos menores entre os valores indicam que dados são mais concentrados, por exemplo, um
quarto dos valores está entre 10 e 11,5 unidades, já o último quarto de valores está menos
concentrado, já que varia de 26,5 a 36. O conceito de separatrizes e gráficos como o boxplot ajudam
a analisar resumidamente como os dados estão distribuídos e os pontos de concentração de forma
parecida às tabelas de distribuição de frequência e histogramas.
No exemplo, foi utilizado quartis, mas outras medidas como quintis, decis e percentis poderiam
ter sido utilizadas.
TEMA 4 – MEDIDAS DE DISPERSÃO
Dispersão é o quanto os valores de um conjunto de dados variam entre si. Quanto mais
próximos os dados estiverem entre si, menor a dispersão e vice-versa (Triola, 2006). A primeira
medida de dispersão analisada é a amplitude.
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A amplitude é a diferença entre o valor máximo e o mínimo de um conjunto de dados.
Organizando-se os dados em ordem crescente ou simplesmente utilizando um software estatístico, é
fácil obter essa estimativa, mas sua utilidade prática é pequena, já que em seu cálculo ela considera
somente dois valores extremos de um conjunto de dados, ignorando todas as outras unidades (Triola,
2006).
A amplitude não diz nada sobre a distribuição dos dados, não indica se eles estão concentrados
perto de um dos extremos ou do outro ou de qualquer outro valor em particular. Considerando
nosso conjunto de dados fictício.
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
Amplitude = valor máximo - valor mínimo = 36 – 10 = 26.
TEMA 5 – VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
As medidas de dispersão mais utilizadas são o desvio padrão e a variância. Ambas utilizam em
seu cálculo a média e são interpretadas como o grau de variação dos dados em relação à média.
Começando pela variância, ela é calculada pelo somatório de cada valor de X subtraído da média,
tudo elevado ao quadrado e dividido pelo tamanho da população ou pelo tamanho da amostra
menos um. O Quadro 2 mostra as fórmulas e componentes da variância, que são levemente
diferentes se conjunto de dados é uma população ou amostra.
Quadro 2 – Fórmula e componentes da variância populacional e amostral
Variância populacional Variância amostral
Onde:
 (sigma ao quadrado) é a variância populacional
 é o somatório de cada valor Xi subtraído da
média populacional elevado ao quadrado
N é o tamanho da população
Onde:
 é a variância amostral
 é o somatório de cada valor Xi subtraído da
média amostral elevado ao quadrado
n – 1 é o tamanho da amostra menos um
Fonte: Barbosa, 2021.
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Retomando o conjunto de dados fictícios, calcula-se sua variância considerando o conjunto uma
população e uma amostra. Os cálculos são relativamente trabalhosos, por isso se utilizou o software
Statdisk.
X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
A variância populacional é menor que a amostral porque na fórmula da variância amostral a
divisão ocorre por n-1 e não por N. A unidade de medida da variância é a mesma da variável X, só
que elevada ao quadrado, não tendo assim uma interpretação direta, no exemplo seria 74,2 ou 84,8
unidades ao quadrado, uma unidade de medida diferente e não diretamente comparável à unidade
de medida dos dados e das medidas de posição.
Para corrigir esse problema, usa-se o desvio padrão, que é derivado da fórmula da variância, mas
que pertence à mesma unidade de medida da variável X e das outras medidas de posição, sendo
assim facilmente interpretável. Sua fórmula e componentes estão no Quadro 3.
Quadro 3 – Fórmula e componentes do desvio padrão populacional e amostral
Desvio padrão populacional Desvio padrão amostral
Onde:
 (sigma) é o desvio padrão populacional
 é o somatório de cada valor Xi subtraído da
média populacional elevado ao quadrado
N é o tamanho da população
Onde:
 é o desvio padrão amostral
 é o somatório de cada valor Xi subtraído da
média amostral elevado ao quadrado
n – 1 é o tamanho da amostra menos um
Fonte: Barbosa, 2021.
Retomando nosso conjunto de dados fictício e utilizando o Statdisk para a realização dos
cálculos.
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X – 10, 11, 12, 22, 22, 25, 28, 36.
8,6
9,2
O desvio padrão amostral é maior que o populacional pela mesma razão das variâncias, o
denominador do primeiro é n-1 e do segundo é N. O valor está na mesma escala da variável original,
a média é de 20,75 unidades, o desvio padrão é de 8,6 ou 9,2 unidades de variação em relação à
média.
O desvio-padrão mede a variação de todos os valores do conjunto de dados em relação à
média, tanto para o lado esquerdo quanto para o lado direito da média. Assim como a variância, seu
valor pode ser positivo ou zero, caso todos os valores do conjunto de dados sejam iguais, mas ele
nunca é negativo. Tem a vantagem de considerar todos os dados em seu cálculo e a desvantagem de
ser influenciado pela presença de outliers. As fórmulas dos desvios-padrão são similares às das
variâncias, só se extrai a raiz quadrada do valor calculado das variâncias para se obter os desvios -
padrão e se eleva os valores dos desvios-padrão ao quadrado para se obter as variâncias.
Entendidos esses conceitos, podemos realizar uma análise estatística descritiva do conjunto de
dados real a seguir. A Tabela 2 mostra a taxa de crescimento econômico percentual de um trimestre
acumulada em relação aos quatro trimestres anteriores entre 2016 e 2021. Por exemplo, a taxa de
crescimento de 0,1% no 3º trimestre de 2017 reflete a um aumento no valor do PIB de apenas 0,1%
entre o 3º trimestre de 2016 e o 3º trimestre de 2017.
Tabela 2 – Taxa de crescimento econômico trimestral – acumulado dos quatro trimestres
anteriores
Trimestre Taxa de crescimento – em %
1º trimestre 2016 -4,4
2º trimestre 2016 -4,5
3º trimestre 2016 -4,1
4º trimestre 2016 -3,3
1º trimestre 2017 -1,9
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2º trimestre 2017 -0,9
3º trimestre 2017 0,1
4º trimestre 2017 1,3
1º trimestre 2018 1,7
2º trimestre 2018 1,9
3º trimestre 2018 2
4º trimestre 2018 1,8
1º trimestre 2019 1,6
2º trimestre 2019 1,6
3º trimestre 2019 1,4
4º trimestre 2019 1,4
1º trimestre 2020 1
2º trimestre 2020 -2,1
3º trimestre 2020 -3,4
4º trimestre 2020 -4,1
1º trimestre 2021 -3,8
2º trimestre 2021 1,8
Fonte: SCNT – IBGE, 2021.
Os dados foram colocados no Statdisk on-line e analisados ao se pressionar a aba Data e a
opção Explora Data – Descriptive Statistics. As estatísticas obtidas estão resumidas na Tabela 3.
Tabela 3 – Estatísticas da taxa de crescimento trimestral acumulada de quatro trimestres do Brasil
Estatística Valor
Média - 0,677%
Mediana 0,55%
Variância 6,55
Desvio-padrão 2,56%
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Amplitude 6,5%
Valor mínimo - 4,5%
Primeiro quartil - 3,4%
Segundo quartil 0,55
Terceiro quartil 1,6
Valor máximo 2
Fonte: elaborada com base em software on-line Statdisk.
Nota-se que as taxas de crescimento brasileiras foram bem baixas no período de 2016 a 2021,
refletindo a recessão que o país vem passando há anos. A taxa média de crescimento é na verdade
negativa– 0,677%, a mediana é positiva e relativamente pequena (0,55%), indicando que a maioria
das taxas é positiva, mas baixa. O desvio-padrão de 2,56% indica uma variação considerável das taxas
de crescimento do período. A taxa mínima foi de –4,5% no segundo trimestre de 2016, ou seja,
período de recessão aguda, e a maior de 2%, relativamente baixa, já que os dados consideram os
quatro trimestres anteriores. Essas estatísticas relativamente simples já nos permitem fazer um
panorama relativamente detalhado do crescimento brasileiro do período recente. A principal
conclusão é que as taxas de crescimento foram negativas ou muito baixas no período, prejudicando
o desempenho econômico nacional.
TROCANDO IDEIAS
Em um fórum de discussão, discuta os problemas que podem surgir da má interpretação de
medidas de posição e/ou dispersão da estatística em situações do cotidiano.
NA PRÁTICA
A lição proposta é acessar o software estatístico Statdisk on-line, como no conteúdo anterior,
calcular as medidas de posição e dispersão do conjunto de dados descrito a seguir e interpretar seus
resultados. Os dados são a renda familiar per capita das unidades federativas brasileiras em 2019, já
explorados em outro momento e expressos na Tabela 4.
Tabela 4 – Renda familiar per capita das unidades federativas brasileiras em 2019 - em R$
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Rondônia 1111
Acre 890
Amazonas 838
Roraima 1050
Pará 795
Amapá 874
Tocantins 1038
Maranhão 637
Piauí 831
Ceará 939
Rio Grande do Norte 1042
Paraíba 909
Pernambuco 954
Alagoas 729
Sergipe 970
Bahia 912
Minas Gerais 1331
Espírito Santo 1440
Rio de Janeiro 1809
São Paulo 1889
Paraná 1586
Santa Catarina 1709
Rio Grande do Sul 1812
Mato Grosso do Sul 1491
Mato Grosso 1361
Goiás 1284
Distrito Federal 2599
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Fonte: PNAD IBGE, 2021.
Passos para a realização da atividade:
1. Acesso ao site do Statdisk;
2. Entre em sua conta;
3. O programa vai abrir sua página inicial com uma planilha vazia;
4. Copie e cole as duas colunas descritas anteriormente;
5. Após colar, clique em Data na barra superior e na opção Explore Data – Descriptive Statistics
(Explore os dados – Estatísticas Descritivas);
6. Após abrir a janela, clique em Select Column e coloque a opção 2, já que a primeira coluna
ficou com o nome das unidades federativas e a segunda com os dados;
7. Clique em Evaluate (Valorar/Calcular) no retângulo verde;
8. Observe, à esquerda, um conjunto de estatísticas descritivas que será calculado para o conjunto
de dados e à direita um histograma será apresentado;
9. Entre as estatísticas calculadas, identifique Sample Size n (tamanho amostral n), mean (média),
median (mediana), variance (variância), standard deviation (desvio padrão), range (amplitude),
minimum (mínimo), 1st quartile (primeiro quartil), 2nd quartile (segundo quartil), 3rd quartile
(terceiro quartil), maximum (máximo). Todas são medidas em reais, exceto a variância, que é
medida em reais ao quadrado;
10. Interprete essas estatísticas, o que elas dizem sobre a distribuição da renda familiar per capita
entre as unidades federativas do Brasil.
Caso não disponha de um computador ou não consiga realizar a lição proposta, procure calcular
à mão ou em uma calculadora ao menos a média, mediana e desvio-padrão desse conjunto de dados
e interprete os resultados.
FINALIZANDO
Nesta aula aprendemos sobre algumas medidas que nos ajudam a sintetizar características de
conjuntos de dados. Essas medidas estão entre os conceitos fundamentais de toda a estatística e são
utilizadas em uma variedade de aplicações. Entender a lógica dessas medidas e como interpretá-las é
importante para nosso avanço nos próximos conteúdos.
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REFERÊNCIAS
PNAD IBGE (2021). PNAD – Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Disponível em:
<https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/rendimento-despesa-e-consumo/9127-pesquisa-
nacional-por-amostra-de-domicilios.html?=&t=o-que-e>. Acesso em: 4 set. 2021.
SCNT – IBGE (2021). Sistema de Contas Nacionais Trimestrais. Disponível em:
<https://www.ibge.gov.br/estatisticas/economicas/contas-nacionais/9300-contas-nacionais-
trimestrais.html?=&t=series-
historicas&utm_source=landing&utm_medium=explica&utm_campaign=pib#evolucao-taxa>. Acesso
em: 7 set. 2021.
TRIOLA, M. F. Capítulo 3 – Estatísticas para a descrição, exploração e comparação de dados. In:
TRIOLA, M. F. Estatística elementar. 10. ed. Boston: Pearson Prentice Hall, 2006, p. 74-135.
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ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa
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CONVERSA INICIAL
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Nesta aula, aprenderemos um pouco sobre a teoria da probabilidade, seus conceitos principais e
algumas de suas aplicações na estatística. A estatística inferencial, por se basear em amostras,
descreve seus resultados em termos probabilísticos. Esse conteúdo inicialmente não parece ser tão
conectado aos conteúdos anteriores, mas, ao final desta aula e de conteúdos posteriores, ficará clara
a ligação entre esses tópicos e os tópicos mais diretamente relacionadas à estatística.
Os esforços de aprendizado são no sentido de entender: (i) o conceito de probabilidade e outros
conceitos iniciais relacionados, (ii) a regra da adição; (iii) probabilidade condicional e a regra da
multiplicação; (iv) o que é uma distribuição de probabilidade e (v) o exemplo da distribuição de
probabilidade binomial.
CONTEXTUALIZANDO
É possível observar algum padrão que nos ajude a tirar conclusões a partir de variáveis aleatórias
que, a princípio, parecem caóticas? Como considerar resultados aleatórios que são independentes
uns dos outros dos que são dependentes? Como tomar decisões com base em variáveis aleatórias?
Essas perguntas são abordadas na presente aula e serão relevantes para o entendimento dos
demais conteúdos. O objetivo é entender os conceitos e a lógica de interpretação dos resultados,
não os cálculos em si.
TEMA 1 – CONCEITOS INICIAIS
Alguns conceitos iniciais são apresentados por Pinheiro et al. (2009):
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Probabilidade é uma descrição numérica do quão provável é a ocorrência de um evento
específico;
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável aleatória, um
exemplo é o lançamento de um dado, há seis resultados possíveis – 1, 2, 3, 4, 5, 6;
Um evento é um subconjunto do espaço amostral de interesse. Por exemplo: quais as
possibilidades de ocorrer um número par no lançamento de um dado? - 2, 4, 6;
Um evento simples é um resultado do espaço amostral que não pode mais ser subdivido em
componentes menores, um exemplo – ao se lançar um dado, obter 1 ponto;
Experimento aleatório é quando realizamos tentativas repetidas de processos semelhantes e
seus resultados são imprevisíveis, ou seja, são uma variável aleatória;
Os conceitos de espaço amostral, evento e evento simples se referem a possibilidades de
ocorrência da variável ou resultado de interesse, não diz nada sobre probabilidades de ocorrência
(Pinheiro et al., 2009).
É importante conhecer todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A
probabilidade de um evento ou conjunto de eventos nem sempre é conhecida, se os eventos são
todos de mesma probabilidade, como é o caso do lançamento de uma moeda ou de um dado, a
probabilidade do evento A é:
Considerando o caso do lançamento de um dado, a probabilidade de se obter 3 pontos é:
Como os pontos dos dados possuem mesma probabilidade de ocorrer, o cálculo da
probabilidade se resume a contar os resultados favoráveis ao evento de interesse, no caso o dadodar
3 pontos, e dividir pelo número de resultados possíveis (espaço amostral), no caso 6.
Porém, para a maioria dos fenômenos do mundo real, os eventos ou conjuntos de eventos
possíveis não possuem a mesma probabilidade de ocorrência. Essas probabilidades muitas vezes nem
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são conhecidas. É possível aproximar a probabilidade real de um evento por sua frequência relativa
de ocorrência em experimentos aleatórios de grande tamanho (Larson, Farber, 2010a). Considerando
um experimento aleatório, a probabilidade de A fica:
A lógica é que se o experimento tem resultados aleatórios, conforme se aumenta o número de
resultados obtidos, mais as frequências relativas se aproximam das probabilidades teóricas do
fenômeno, a chamada Lei dos Grandes Números. Lógica é similar ao uso de amostras aleatórias para
aproximar a população de interesse. Essa lógica fundamenta a chamada Abordagem Frequencista da
Estatística, que aproxima as probabilidades de um fenômeno das frequências relativas de
experimentos que tentam analisar esse fenômeno (Larson, Farber, 2010b).
O entendimento da teoria das probabilidades junto ao conhecimento da estatística descritiva,
explorada nas duas primeiras aulas, formam a base da estatística inferencial. Uma das regras básicas
da estatística inferencial é que se, sob uma dada premissa, a probabilidade de um evento em
particular é muito pequena, a conclusão é que a premissa é provavelmente incorreta (Triola, 2006).
Essa questão ficará bastante clara em conteúdos posteriores.
O próximo tópico apresenta casos em que as probabilidades de ocorrência de um evento são ou
não afetadas pela ocorrência de outros eventos e como isso afeta os cálculos e interpretações das
probabilidades.
TEMA 2 – EVENTOS INDEPENDENTES E DEPENDENTES
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de
ocorrência do outro, se a ocorrência de um deles afeta de alguma forma a probabilidade de
ocorrência do outro, trata-se de eventos dependentes (Triola, 2006).
A regra da soma postula que a probabilidade de ocorrência de um evento A ou de um evento B
como resultado de um experimento é igual a soma das probabilidades desses eventos, descontada a
probabilidade de ocorrência simultânea do evento A e do evento B (Pinheiro et al., 2009).
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Os eventos A e B são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer ao mesmo tempo. Nesse
caso, a probabilidade de ocorrer A ou B é:
Um exemplo: qual a probabilidade de, ao se lançar um dado, a pontuação ser 2 e 3?
Se não forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de A ou B deve descontar a probabilidade
de que os eventos ocorram simultaneamente, ou seja:
Um exemplo: qual a probabilidade de, ao se lançar um dado, A – obter uma pontuação ímpar e B
– uma pontuação maior que 3?
Probabilidade de A – pontuação par – 2, 4, 6
P (A) – 3/6 = 0,5
Probabilidade de B – pontuação maior que 3 – 4, 5, 6
P (B) – 3/6 = 0,5
Se eventos fossem independentes, P (A ou B) = 1, ou seja, 100%. Porém há sobreposição entre os
eventos e essa probabilidade está superestimada, considerando o espaço amostral 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e
que eventos têm mesma probabilidade.
P (A) ou P (B) mostrada acima não engloba os valores 1 e 3 e considera os valores 4 e 6 duas
vezes. O evento A ou B engloba os valores – 2, 4, 5 e 6, logo a probabilidade de pontuação ser par ou
ser maior que três é:
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TEMA 3 – PROBABILIDADE CONDICIONAL
A probabilidade de ocorrer o evento A na primeira tentativa de um experimento, e de ocorrer o
evento B na segunda tentativa é descrita pela regra da multiplicação. A regra da adição, explicada no
tema anterior, é descrita pelo termo ou, já a regra da multiplicação pelo termo e, no caso a P (A e B).
Um ponto importante a considerar é que a probabilidade do segundo evento B deve levar em
conta o fato de que o evento A já ocorreu (Triola, 2006). A regra geral é:
Probabilidade de ocorrer A e depois B é igual à probabilidade de ocorrência do primeiro evento
A multiplicada pela probabilidade de ocorrência do evento B, dado que A já ocorreu, essa última
parte é expressa por P (B|A).
Se o evento A e B forem independentes, ou seja, a ocorrência de um deles não afeta positiva ou
negativamente a probabilidade de ocorrência do outro, a P (B|A) = 0 e expressão se resume a:
Um exemplo é a probabilidade de obter dois números um ao se lançar um dado duas vezes. A
probabilidade de se obter 1 em um lançamento é de um sexto, como eventos são independentes, ou
seja, o resultado alcançado no primeiro lançamento do dado em nada interfere no resultado do
segundo lançamento, a probabilidade de obter dois números 1 ao se lançar duas vezes o dado é de
1/6 * 1/6 = 1/36 = 2,8%, uma probabilidade relativamente baixa. A probabilidade de obter três
números 1 em três lançamentos do dado seria 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216 = 0,5%, muito baixa.
Nos casos em que a ocorrência de A afeta a probabilidade de ocorrência de B em seguida, diz-se
que são casos de probabilidade condicional, logo a P (B|A) é diferente de zero.
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Ou seja, é a probabilidade de ocorrer A e depois B dividida pela probabilidade de A. É a razão
entre a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B e a probabilidade geral de A.
Um exemplo: ao se lançar um dado uma vez, qual a probabilidade de A – resultado ser um
número ímpar e B – resultado ser no mínimo 3 pontos (Pinheiro et al., 2009)?
Há três números ímpares possíveis para A – 1, 3, 5
Dos seis números do dado, quatro são iguais ou maiores que 3 – 3, 4, 5, 6
Há dois elementos que sobrepõem A e B – 3 e 5
Considerando que há seis resultados possíveis do lançamento de um dado e todos têm a mesma
probabilidade de ocorrer, a probabilidade de, ao se lançar um dado, obter um número ímpar e igual
ou maior que três é 2/6 ou 1/3.
Aplicando a fórmula:
A probabilidade de se obter um número igual ou maior que 3, dado que resultado foi ímpar, é
de 2/3.
Muitas das técnicas estatísticas combinam resultados de diversas variáveis conhecidas para se
obter o resultado e/ou a probabilidade de ocorrência de uma variável que dependa dessas outras.
Por exemplo: um meteorologista pode determinar que há 40% de probabilidade de chuva com base
na frequência relativa de chuva sob condições climáticas semelhantes às que estão ocorrendo no
momento. Saber características do ambiente, como temperatura e umidade do ar, faz com que se
estime com maior precisão a probabilidade de ocorrência de chuva em determinado dia (Larson,
Farber, 2010b).
TEMA 4 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Uma distribuição descreve a probabilidade de cada valor possível de uma variável aleatória. Esta
deve cobrir todos os resultados possíveis, acumulando 100% das probabilidades, e o valor da
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probabilidade de um valor específico ou intervalo de valores é zero ou positivo, nunca negativo
(Pinheiro et al., 2009).
Muitas distribuições de probabilidade, na estatística, são descritas por gráficos, tabelas ou por
funções que possuem como variável independente o valor da variável de interesse X e variável
dependente a probabilidade de ocorrência do valor de X específico (Triola, 2006). Algumas das
principais distribuições utilizadas pela estatística e suas derivações serão estudadas mais adiante e
em conteúdos posteriores.
É importante conhecer a forma, o centro e a variabilidade de uma distribuição de probabilidade
para que se possa tomar decisões baseadas em inferências estatísticas (Larson, Farber, 2010b). O
conhecimento desses parâmetros das distribuições de probabilidade é fundamental para o uso de
técnicas de estatística inferencial.
As variáveis aleatórias descritas podem ser tanto discretasquanto contínuas. Uma variável
aleatória discreta é uma com resultados contáveis, com números geralmente inteiros, que podem ser
finitos ou infinitos; já variáveis aleatórias contínuas têm infinitos valores associados, mesmo que sua
amplitude seja finita, já que cada subintervalo pode ser dividido em infinitos números e as escalas
não têm vazios ou saltos – esse tipo de variável geralmente está associado a mensurações (Pinheiro
et al., 2009).
O valor esperado de uma variável aleatória discreta E é a média dos valores ponderados pelas
suas probabilidades de ocorrência e seria como sua média, no caso:
A variância e o desvio-padrão de distribuições de probabilidade discretas possuem as seguintes
fórmulas:
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O caso para variáveis contínuas exige o conhecimento de ferramentas matemáticas mais
avançadas, ficando fora do escopo dessa aula o conhecimento de suas fórmulas, porém as
distribuições mais utilizadas da estatística já possuem suas distribuições bem analisadas e
incorporadas nos diferentes softwares estatísticos, tornando cálculos desse tipo desnecessários.
Em muitos casos da estatística, e mesmo da vida real, não sabemos a distribuição de
probabilidade detalhada do fenômeno que estamos analisando. Contudo, podemos aproximar,
considerando a frequência relativa observada dos resultados (Larson, Farber, 2010b).
Considerando o exemplo do lançamento de um dado, o espaço amostral consiste de seis
elementos – 1, 2, 3, 4, 5, 6 com igual probabilidade de ocorrência. A distribuição de probabilidade
desse fenômeno está expressa na tabela 1 e no gráfico 1.
Tabela 1 - Tabela de probabilidades de lançamento de um dado
Pontuação do dado Probabilidade
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Fonte: Barbosa, 2021.
Os dados no gráfico foram arredondados para três casas decimais.
Gráfico 1 - Gráfico de probabilidade do lançamento de um dado
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Fonte: Barbosa, 2021
Como a probabilidade de ocorrência é igual para qualquer valor da pontuação dos dados, o
gráfico de barras tem o formato de um retângulo. Raramente os fenômenos do mundo real são
assim, com probabilidades uniformes para toda a escala de valores possível, em geral, as
distribuições de probabilidade são bem mais complexas.
Um exemplo de distribuição mais complexa seria a soma da pontuação do lançamento de dois
dados, o espaço amostral vai de 2 a 12, já que valor mínimo de cada dado é 1, logo a soma mínima
do lançamento de dois dados é 2 e a soma máxima é 12, já que valor máximo por dado é 6. Contudo,
a probabilidade de ocorrência dos valores difere, como pode ser visto na tabela 2 e no gráfico 2.
Tabela 2 - Tabela de probabilidades da soma do lançamento de dois dados
Valor da soma Probabilidade
2 1/36
3 2/36
4 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36
9 4/36
10 3/36
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11 2/36
12 1/36
Fonte: elaborado com base em Pinheiro et al., 2009.
Fica claro que a probabilidade de ocorrência dos valores da variável X diferem entre si. O gráfico
2 mostra visualmente os dados da tabela 2. Os resultados foram arredondados para três casas
decimais.
Gráfico 2 - Gráfico de probabilidade da soma do lançamento de dois dados
Fonte: elaborado com base em Pinheiro et al., 2009.
Essa distribuição de probabilidades é bem diferente da distribuição de quando se lança um
dado. O caso da soma do lançamento de dois dados está bem longe de ser uma distribuição de
probabilidade uniforme, já que ela varia substancialmente, com probabilidades maiores nos valores
do meio da escala do que nos valores das pontas. A seguir apresentamos a primeira distribuição de
probabilidade utilizada com certa frequência na estatística.
TEMA 5 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL
A distribuição de probabilidade binomial descreve variáveis aleatórias que podem ser divididas
em duas categorias, como sim ou não, aceitável ou defeituoso, votou em X ou não votou em X, cara
ou coroa. Em geral, se classificam os resultados em sucessos e fracassos, sem necessariamente uma
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valoração subjetiva que um sucesso é algo positivo e um fracasso é algo negativo. Duas exigências
dessa distribuição é que cada elemento seja independente, ou seja, obter um resultado individual
não afeta a probabilidade de se obter o mesmo resultado ou algum outro resultado específico nas
outras tentativas e que a probabilidade de obter um sucesso é a mesma para cada tentativa, ou seja,
ela se mantém constante (Triola, 2006).
A função abaixo descreve a distribuição de probabilidade binomial.
Na qual:
p é a probabilidade de sucesso
q é a probabilidade de fracasso (1-p)
n é o número de tentativas
X é o número específico de sucessos em n tentativas
P (x) é a probabilidade de obter exatamente X sucessos em n tentativas
! fatorial é a multiplicação de fatores decrescentes, exemplo 4! = 4*3*2*1 = 24
Analisar a fórmula dessa distribuição não é relevante para nós, nosso foco é saber sua aplicação
e interpretar seus resultados. Abaixo estão as fórmulas que descrevem a média, variância e desvio-
padrão da distribuição binomial.
Os valores das probabilidades são expressos em decimais. Um exemplo é: qual a chance de
obter exatamente sete jurados de origem mexicana entre os doze jurados de um tribunal
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selecionados aleatoriamente de uma população que é 80% de origem mexicana em uma localidade
dos EUA (Triola, 2006)?
Se formos pela lei da multiplicação de probabilidades e considerarmos a seleção dos jurados
independentes uma das outras, o cálculo seria (0,8  = 0,21 ou 21% de chance. Porém, nesse caso
não é o valor correto porque assume que os sete primeiros jurados são de origem mexicana e os
últimos cinco dos doze não são, mas diversos outros arranjos são possíveis para sete jurados de
origem mexicana, e cinco, não. Tomando a distribuição binomial, essa probabilidade cairia para 0,053
ou 5,3% de obter exatamente sete jurados de origem mexicana entre os 12 jurados do tribunal, o
valor real é quase um quarto da probabilidade estimada pela lei da multiplicação.
Se formos calcular os parâmetros da distribuição desse exemplo, no caso média, variância e
desvio-padrão, obteríamos:
p - a probabilidade de sucesso é 0,8, no caso, obter um cidadão de origem mexicana em uma
seleção aleatória de uma população que é 80% dessa origem;
q - a probabilidade de fracasso 0,2, a probabilidade de não se obter um cidadão de origem
mexicana em uma seleção aleatória de uma população que é 80% de origem mexicana;
n – número de tentativas é 12, já que são 12 jurados selecionados aleatoriamente para compor o
júri;
Os cálculos abaixo se referem à média, variância e desvio-padrão desse exemplo:
 = 12*0,8 = 9,6
 = 12*0,8*0,2 = 1,92
 = 1,38
Para as 12 tentativas desse experimento, a média de sucessos obtidos (cidadãos de origem
mexicana selecionados aleatoriamente para o júri) é de 9,6, a variância de 1,92 selecionados para o
júri ao quadrado e o desvio-padrão de 1,38 pessoas de origem mexicana selecionadas para o júri.
TROCANDO IDEIAS
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Em um fórum de discussão, comente e reflita sobre mais casos práticos em que as regras da
adição e da multiplicação para as probabilidades se aplicam, tanto para eventos independentes
quanto dependentes.
NA PRÁTICA
Suponha que um teste de sangue para a detecção de uma doença tenha duas possibilidades de
dar resultados enganosos. Primeiro: há uma probabilidade de 3% de o teste dar um resultado falso
positivo – quando o exame diz que a pessoa tem a doença quando na verdade ela não tem – e uma
probabilidade de 4% de dar falso negativo – quando o exame aponta que a pessoa não tem a
doença em questão quandona verdade ela tem. Resultados falsos positivos e falsos negativos são
mutuamente excludentes, ou seja, não podem ocorrer ao mesmo tempo para o mesmo exame. Com
base nesses dados:
1. Calcule a probabilidade de um teste selecionado aleatoriamente ter resultados enganosos.
2. Se selecionarmos 50 testes aleatoriamente, qual o número esperado de testes que darão
resultados enganosos, seja falso positivo ou falso negativo?
FINALIZANDO
A presente aula abordou alguns conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, que são
importantes para o entendimento das técnicas e da lógica da estatística inferencial, foco de
conteúdos posteriores, em especial o conceito de distribuição de probabilidade.
REFERÊNCIAS
LARSON, R.; FARBER, B. Capítulo 3 - Probabilidade. In:__ Estatística Aplicada. 4. ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2010a, p. 104-153.
LARSON, R.; FARBER, B. Capítulo 4 – Distribuições de Probabilidade Discretas. In:__ Estatística
Aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010b, p. 154-191.
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PINHEIRO, J. I. D.; DA CUNHA, S. B.; CARVAJAL, S. R.; GOMES, G. C. Capítulo 3 – Introdução ao
cálculo de probabilidades. In:__ Estatística Básica: a arte de trabalha com dados. São Paulo: Elsevier,
2009, p. 70-94.
TRIOLA, M. F. Capítulo 5 – Distribuições de probabilidade. In: TRIOLA, M. F. Estatística
Elementar. 10. ed. Boston: Pearson Prentice Hall, 2006, p. 198-243.
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ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa
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CONVERSA INICIAL
Nesta aula, vamos aprender a principal distribuição de probabilidade utilizada na estatística, a
distribuição normal, suas propriedades e como ela dá base para as técnicas e conceitos da estatística
inferencial. Relembrando que a estatística inferencial busca realizar generalizações sobre alguma
característica de uma população a partir de dados obtidos de uma amostra representativa.
Os esforços de aprendizado são no sentido de compreender: (i) o que é a distribuição normal; (ii)
que fenômenos ela descreve; (iii) o que é a distribuição amostral e sua ligação com a distribuição
normal; (iv) que parâmetros podem ser estimados de forma precisa por estatísticas amostrais; e (v) o
que são estimadores pontuais.
CONTEXTUALIZANDO
Qual é a distribuição de probabilidade de algumas das principais variáveis do mundo real? Como
se fundamentam as inferências de uma amostra sobre uma população? Que parâmetros podemos
gerar inferências e quais não?
Algumas dessas perguntas serão abordadas nesta aula que foca a estatística inferencial. O
objetivo é entender os conceitos e aprender a interpretar os resultados, e não os cálculos em si, que
hoje em dia são facilmente realizados em softwares estatísticos.
TEMA 1 – A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição mais utilizada na estatística é chamada distribuição normal, que descreve vários
fenômenos do mundo real e é fundamental para a estatística inferencial. A fórmula dessa distribuição
é a seguinte:
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em que e é aproximadamente 2,718 e π é igual a 3,14 e são constantes; logo, são os parâmetros
σ e µ, sua média e desvio-padrão que determinam o formato da curva normal. A média fica no exato
ponto central da escala X e localiza a linha de simetria da distribuição, e o desvio-padrão mostra o
quanto os dados são estendidos ao longo do eixo X (Larson; Ferber, 2010).
A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua, que possui algumas
propriedades:
a média, a mediana e a moda são iguais e se localizam no centro da distribuição;
a curva da distribuição tem forma de sino e é simétrica em torno da média;
a área total sob a curva normal é igual a um;
à medida que se distancia da média, a curva se aproxima do eixo X, mas nunca o toca, ou seja, a
probabilidade de ocorrência vai diminuindo e tendendo a zero, mas não chega a ser zero
(Larson; Ferber, 2010);
A Figura 1 mostra o gráfico da distribuição normal e suas características.
Figura 1 − Gráfico da distribuição normal
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Crédito: Peter Hermes Furian / Adobe Stock.
A média, a mediana e a moda são do mesmo valor, localizado no meio da distribuição em µ. Os
dados se concentram ao redor da média, e quanto mais nos afastamos da média, tanto para a
esquerda quanto para a direita, menor a probabilidade de ocorrência desses valores. Cerca de 68,2%
dos dados da distribuição ocorrem a um desvio-padrão para esquerda ou para a direita da média, ou
seja, quase 70%. Se formos considerar dois desvios-padrão para a esquerda ou para a direita da
média, a probabilidade acumulada sobe para quase 95%. A três desvios-padrão para a esquerda ou
direita, acumulam-se 99,7% da probabilidade, ou seja, valores acima de três desvios-padrão da
média, tanto para cima quanto para baixo, são bastante raros.
Como foi dito, a distribuição normal é uma distribuição contínua. A área total sob a curva é igual
a 1, englobando todas as probabilidades. A probabilidade de ocorrência de cada intervalo de valores
vai de 0 (impossível) a 1. O Gráfico 1 mostra um histograma de mil dados gerados aleatoriamente de
acordo com a distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 10.
Gráfico 1 − Exemplo de um histograma de uma distribuição normal com valores gerados por
computador
Crédito: Elaborado pelo autor
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Notamos o formato de sino das barras, a expressão curva de sino é sinônima da curva que se
obtém em um gráfico da distribuição normal. Plotar e analisar um histograma da variável de interesse
é uma das formas de se examinar se um conjunto de dados parece seguir uma distribuição normal
ou não.
De modo a não ser necessário utilizar a complexa fórmula da distribuição normal para se
encontrar a probabilidade de ocorrência de valores ou intervalos de valores específicos, foi criada a
chamada distribuição normal padrão. Trata-se de uma distribuição normal com média 0 e desvio-
padrão 1, para a qual os cálculos de probabilidade já foram tabulados e se encontram prontamente
em softwares estatísticos. É possível transformar uma distribuição normal qualquer em uma
distribuição padrão ao se calcular o chamado escore Z de cada valor de X.
Vamos exemplificar. A escala de QI (quociente de inteligência) é uma das formas de mensuração
da inteligência humana, porém não a única. Em geral, os testes são feitos de modo a terem média
100 e desvio-padrão 15. Uma pessoa com QI de 125 está a quantos desvios-padrão da média? Para
obter essa informação, calculamos o escore Z de um QI de 125. O resultado é que essa pessoa está a
1,667 desvio-padrão acima da média. A partir das tabelas de probabilidade da distribuição normal
padrão, sabe-se que ela está entre os 5% de maior QI em uma população.
É possível calcular a probabilidade de ocorrência de um valor ou intervalo de valores de uma
distribuição normal ao se padronizar o valor de X desejado e se calcular qual a probabilidade a partir
de softwares estatísticos. Usando o Statdisk, primeiro calcule o valor do escore Z e defina se o
objetivo é encontrar probabilidade de um intervalo de valores ou valores mais ou menos extremos
do que esse. Supondo hipoteticamente que a altura média de homens adultos é 1,8 metro com
desvio-padrão de 0,2 metro, qual é a probabilidade de se selecionar aleatoriamente um homem com
1,6 metro ou menos? Para obter esse valor, é preciso calcular o escore Z de 1,6 metro (no caso, -1) e
calcular a probabilidade de Z ser igual ou menor que -1. Clique em Analysis e, na primeira opção,
Probability Distributions, em seguida clique na primeira opção Normal Distribution. Na caixa Z valuecoloque o valor do escore Z (-1) e clique em Evaluate. Uma série de valores aparecerão à direita. Na
quarta linha Left, aparece a probabilidade em termos decimais de valor ser menor ou igual ao escore
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Z específico − no caso, 0,159, em percentual 15,9%, de chance de um homem selecionado
aleatoriamente ter 1,6 metro ou menos.
Se nossa pergunta fosse a probabilidade de um homem selecionado aleatoriamente ter altura
igual ou maior que 1,6 metro, a opção seria a da quinta linha, Right − no caso, 0,841 ou 84,1% de
probabilidade de um homem selecionado aleatoriamente ter 1,6 metro de altura ou mais.
TEMA 2 – EXEMPLOS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Há diversas variáveis do mundo real que tendem a seguir uma distribuição normal, tais como o
tamanho de partes do corpo de pessoas do mesmo sexo e idade, variáveis metabólicas do corpo
humano e animal, a altura de pessoas adultas etc.
A distribuição normal pode servir como uma aproximação da distribuição de probabilidade
binomial quando o tamanho da amostra não é muito pequeno. O cálculo da probabilidade de X
sucessos com base na fórmula binomial é trabalhoso, em especial quando o valor de n e o de X são
grandes; assim, a aproximação pela distribuição binomial, com cálculos mais fáceis e padronizados,
pode ser muito útil (Larson; Ferber, 2010). As condições para essa aproximação são as seguintes: se
np ≥ 5 e nq ≥ 5, a variável aleatória X pode ser aproximada pela distribuição normal com média µ =
np e desvio-padrão σ = . Quanto maior o valor de n, mais a distribuição binomial se aproxima
de uma distribuição normal (Larson; Ferber, 2010).
Vamos exemplificar. Se quisermos descobrir a probabilidade de obter ao menos 55% de homens
ao selecionarmos aleatoriamente 200 pessoas para compor nossa amostra de uma população que é
de 50% de homens e 50% de mulheres, o cálculo pela fórmula da distribuição binomial seria
trabalhoso e repetitivo. A aproximação com a distribuição normal facilita isso.
µ − 100 homens (50% de 200)
X – 110 homens (55% de homens na amostra de 200)
σ – 7,1 homens (
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A probabilidade de obtermos ao menos 110 homens na nossa amostra é de 8,1% (valor à direita
de Z = 1,4), uma probabilidade relativamente baixa.
TEMA 3 – A DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
A distribuição amostral de uma estatística se refere à distribuição de todas as estimativas
possíveis tiradas de diversas amostras de mesmo tamanho obtidas da mesma população. Equivale
repetir a coleta de dados da mesma população infinitas vezes com amostras de mesmo tamanho n.
Apesar de inúmeras estatísticas poderem ser calculadas para uma amostra, apenas quatro delas são
boas estimadoras dos parâmetros populacionais – média, proporção, variância e outra que é um bom
estimador em grandes amostras, o desvio-padrão. Isso se deve à sua distribuição amostral que, sob
determinadas condições, pode ser aproximada por uma distribuição normal, que possui propriedades
conhecidas que permitem inferências sólidas (Triola, 2006).
Um bom estimador tem duas propriedades básicas (Sartoris, 2006):
1) ele não é viesado, ou seja, a média das médias das diferentes amostras é igual à média
populacional do parâmetro;
2) dentro dos estimadores não viesados, ele é o que possui a menor variância, propriedade
conhecida como eficiência.
À medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral de estimadores não
viesados tende a se tornar uma distribuição normal. Na prática, as estatísticas que são bons
estimadores dos parâmetros populacionais são a média, a variância e a proporção. O desvio-padrão
não é um estimador não viesado diretamente, mas pode ser aproximado se a amostra for
relativamente grande. Outras estatísticas como a mediana e a amplitude não são bons estimadores
dos parâmetros populacionais (Triola, 2006).
A distribuição amostral das médias das amostras tem média igual à média populacional:
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Ela tem a seguinte variância e desvio-padrão (o desvio padrão  é também conhecido como
erro padrão da média):
O parâmetro é geralmente um valor fixo para a população e desconhecido, já o valor do
estimador depende dos valores obtidos em cada amostra, ou seja, o estimador é uma variável
aleatória que segue uma distribuição de probabilidade (Sartoris, 2006).
A estatística inferencial busca generalizar com segurança as conclusões obtidas a partir de uma
amostra para toda a população e quantificar as probabilidades de erro envolvidas no processo de
extrapolar da parte para o todo (Pinheiro et al., 2009).
Um erro muito comum é pensar que a amostra deve conter uma proporção significativa da
população analisada. Na verdade, isso não é necessário, o importante é garantir a aleatoriedade na
seleção dos componentes da amostra e um n absoluto adequado; não se trata de se obter uma
parcela X da população (Triola, 2006).
Se amostras de tamanho n ≥ 30 tiradas de uma população com média µ e desvio-padrão σ, a
distribuição amostral de médias das amostras se aproxima da distribuição normal; quanto maior o n,
maior a aproximação da distribuição amostral com a distribuição normal. Se a população original for
normalmente distribuída, a distribuição amostral de médias das amostras é normalmente distribuída
para qualquer amostra de tamanho n. Esse é o chamado Teorema do Limite Central, uma das bases
da estatística inferencial.
Teorema do Limite Central
1. Se o tamanho da amostra é 30 ou mais unidades, a média amostral segue uma distribuição
normal, mesmo que a distribuição de probabilidade da população original se afaste da distribuição
normal.
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2. Se a população original for normalmente distribuída, a distribuição amostral será normal, não
importa o tamanho da amostra.
3. Se a amostra for menor do que 30 e a população original não seguir uma distribuição normal,
os métodos aqui expostos não se aplicam (Triola, 2006).
O Teorema do Limite Central diz que se tamanho amostral for grande o suficiente, a distribuição
das médias amostrais pode ser aproximada por uma distribuição normal, não importa qual seja a
distribuição de probabilidade da variável original (Triola, 2006). A média aqui citada não é somente o
parâmetro média, mas a média das proporções, variâncias e desvios-padrão obtidos nas diferentes
amostras.
Como dito anteriormente, cada amostra nos dá um valor para o estimador, e como diversas
amostras são possíveis e levam a valores de estatísticas diferentes, o estimador é uma variável
aleatória. As diferenças entre a média da população e as médias obtidas nas amostras são o chamado
erro amostral.
TEMA 4 – PARÂMETROS APROXIMÁVEIS
Há algumas estatísticas amostrais que são estimadores não viesados e eficientes dos parâmetros
populacionais, porém não são todas.
Utilizando-se o exemplo de uma população com valores 1, 2 e 5 e feita com reposição, pode-se
obter nove amostras diferentes de dois elementos. A partir do cálculo das principais estatísticas
apresentadas anteriormente, calcula-se a média das amostras, ou seja, a distribuição amostral e se vê
que para a média, a variância e a proporção, as estatísticas amostrais são bons estimadores dos
parâmetros populacionais, como pode ser visto na Tabela 1.
Tabela 1 − Parâmetros que são estimados sem viés por estatísticas
Amostra Média Variância Proporção de números ímpares
1,1
1,2
1,5
2,1
2,2
1
1,5
3
1,5
2
0
0,5
8
0,5
0
1
0,5
1
0,5
0
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2,5
5,1
5,2
5,5
3,5
3
3,5
5
4,5
8
4,5
0
0,5
1
0,5
1
Média da estatística 8/3 26/9 2/3
Parâmetro populacional 8/3 26/9 2/3
A estatística amostral atinge o valor populacional? Sim Sim Sim
Fonte: Triola, 2006.
A média dos valores das amostras possíveis é igual ao valor do parâmetro.Já outras estatísticas,
como a mediana, a amplitude e o desvio-padrão, não são bons estimadores do parâmetro
populacional, no sentido de serem não viesados, conforme pode ser visto na Tabela 2.
Tabela 2 − Parâmetros que são estimados com vieses por estatísticas
Amostra Mediana Amplitude Desvio-padrão
1,1
1,2
1,5
2,1
2,2
2,5
5,1
5,2
5,5
1
1,5
3
1,5
2
3,5
3
3,5
5
0
1
4
1
0
3
4
3
0
0
0,707
2,828
0,707
0
2,121
2,828
2,121
0
Média da estatística 8/3 16/9 1,3
Parâmetro populacional 2 4 1,7
A estatística amostral atinge o valor populacional? Não Não Não
Fonte: Triola, 2006.
Contudo, a média do desvio-padrão não difere tanto do valor do desvio-padrão populacional,
sendo assim um estimador razoável se o tamanho da amostra for relativamente grande.
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Portanto, se a amostra for relativamente grande, o valor amostral da média, variância, proporção
e desvio-padrão são bons estimadores da média, variância, proporção e desvio-padrão populacional.
Esses valores amostrais, chamados de estimadores pontuais, são as melhores estimativas que temos.
Por isso, as pesquisas de intenção de voto são fidedignas ao apontar as proporções de voto de
um candidato. O mesmo ocorre para o desempenho acadêmico médio dos estudantes de uma
escola, aproximado pela média do valor obtido em testes aplicados a uma amostra aleatória de
estudantes, e para a análise, por exemplo, de qual máquina produz peças com menor variabilidade,
ou seja, peças que seguem melhor o padrão adotado, aproximada pela variância ou o desvio-padrão.
Estatísticas que são bons estimadores nem sempre acertam o valor dos parâmetros
populacionais; essa diferença entre o valor amostral e o populacional é chamado de erro amostral.
Não é possível saber se estamos cometendo esse erro e qual é o seu valor real, já que parâmetro é
desconhecido, porém podemos estimar probabilisticamente o tamanho desse erro dentro de alguma
margem de probabilidade, algo que será explorado posteriormente (Pinheiro et al., 2009).
TEMA 5 – EXEMPLOS DE ESTIMADORES PONTUAIS
Como dito anteriormente, para alguns parâmetros populacionais as estatísticas amostrais são os
melhores estimadores, mas não para todos. A média, a variância, a proporção e o desvio-padrão para
grandes amostras são as melhores estimativas que temos de seus correspondentes parâmetros, que
são em geral desconhecidos.
O Quadro 1 traz alguns exemplos de casos hipotéticos de estatísticas amostrais obtidas de
amostras aleatórias que permitem estimar o valor dos parâmetros desconhecidos. Por enquanto,
ignore questões como distribuição dos dados amostrais e tamanho da amostra, aspectos que serão
trabalhados mais adiante.
Quadro 1 − Exemplos hipotéticos de interpretação de estatísticas amostrais
Estatísticas amostrais e sua interpretação
A média obtida em uma amostra do peso de pessoas adultas foi de 70 kg; como a amostra foi aleatória e relativamente
grande, pode-se inferir que o peso médio da população estudada é de cerca de 70 kg.
A mediana da mesma amostra acima foi de 68 kg; apesar de a amostra ser aleatória e grande, não é possível inferir se a
mediana populacional é 68 kg ou não porque a mediana amostral é um estimador viesado da mediana populacional.
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Uma pesquisa de intenção de votos identificou que 50% dos respondentes pretendem votar no candidato A; como a
amostra foi aleatória e grande, essa proporção amostral de 50% é a melhor estimativa disponível da proporção
populacional. Pode-se concluir que esse candidato tem cerca da metade das intenções de voto e tem chances de vencer a
eleição.
Em uma pesquisa sobre a produção de um equipamento industrial de uma empresa, identificou-se que a variância do peso
das peças era de 0,02 kg, uma margem aceitável segundo os padrões dessa indústria; a variância amostral de 0,02 kg é a
melhor estimativa que temos da variância populacional desconhecida.
O controle de qualidade de processos em empresas envolve medidas estatísticas, como a média de determinados atributos
dos produtos vendidos dentro do padrão, a variância e o desvio-padrão dessas propriedades para medir a variabilidade
entre os itens produzidos, a proporção de produtos defeituosos e fora do padrão etc. Obter amostras aleatórias fidedignas
é fundamental para esse processo de controle de qualidade e garantia de certificações técnicas diversas.
Crédito: Elaborado pelo autor
Conforme podemos ver nesses exemplos, para alguns parâmetros as estatísticas
correspondentes são as melhores estimativas disponíveis do valor deles. Nesses casos, as estatísticas
amostrais brutas são chamadas de estimadores pontuais dos parâmetros, pois fornecem um valor
pontual de estimativa.
Apesar de serem estimadores não viesados e de menor variância, estimadores pontuais não
dizem nada sobre o quanto suas estimativas são precisas, e essa é sua principal falha. Posteriormente,
vamos aprender a construir formas de se obter um intervalo de valores com alta probabilidade de
conter o verdadeiro valor do parâmetro e suas exigências. Por ora, enfatizamos a importância de as
amostras serem aleatórias para que a estatística inferencial possa ocorrer, mas mais adiante veremos
que há outras condições necessárias à realização de inferências a partir de amostras.
TROCANDO IDEIAS
Em um fórum de discussão, debata sobre que conclusões podemos ou não tirar de estatísticas
amostrais, como a média, a mediana, a proporção, variância e o desvio-padrão de parâmetros,
obtidas de amostras aleatórias.
NA PRÁTICA
A tarefa proposta é julgar a validade das seguintes afirmações e justificar sua resposta:
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A. Coletamos uma amostra não aleatória e identificamos que 50% dos respondentes preferem
comprar em lojas em que já tenham adquirido o mesmo item anteriormente. Podemos concluir
que a maioria das pessoas é relativamente conservadora em relação ao consumo e preferem
comprar nas mesmas lojas que já tenham comprado o mesmo item?
B. Em uma amostra aleatória e grande, é confiável basear nossas conclusões na mediana amostral
obtida?
C. Em uma amostra aleatória e grande, é confiável basear nossas conclusões sobre uma população
com base na média e na variância amostrais obtidas?
D. Se a média obtida de uma amostra aleatória e grande indica que o peso dos sacos de cimento
produzidos em uma linha de produção está acima do valor especificado na embalagem, é
possível concluir que os equipamentos estão desregulados? O fabricante dos equipamentos diz
que a variação está dentro do normal.
(A resposta está no final da aula.)
FINALIZANDO
A presente aula descreveu a distribuição normal e fundamentou a capacidade de a estatística
inferencial realizar generalizações sobre alguns parâmetros populacionais a partir de dados
amostrais. Essas questões serão aprofundadas posteriormente, além de serem introduzidas as duas
principais ferramentas da estatística inferencial: a estimação intervalar de parâmetros e o teste de
hipóteses.
REFERÊNCIAS
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
PINHEIRO, J. I. D. et al. Estatística básica: a arte de trabalha com dados. São Paulo: Elsevier, 2009.
SARTORIS, A. Estatística e introdução à econometria. São Paulo: Saraiva, 2008.
TRIOLA, M. F. Estatística elementar. 10. ed. Boston: Pearson Prentice Hall, 2006.
RESPOSTAS
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Lembre-se de que somente amostras aleatórias geram resultados confiáveis para a estimativa
dos valores dos parâmetros, isso é fundamental; quanto maiores elas forem, mais precisos serão os
resultados.
Outro ponto é que somente podemos julgar se um valor estipulado para um parâmetro está
incorreto se realizarmos um teste estatístico completo que, além de precisar da estatísticaque
representa o parâmetro, exige outros dados como variância da estimativa e valores críticos.
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ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa
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CONVERSA INICIAL
Nesta aula, aprofundaremos nosso conhecimento nos dois principais tópicos da estatística
inferencial: (i) a estimação de parâmetros e o grau de confiabilidade dessas estimativas; e (ii) o teste
de hipóteses sobre o valor dos parâmetros populacionais. Os conceitos da aula anterior de
estimador, distribuição amostral e estimador pontual serão importantes para o entendimento desta
aula.
Os esforços de aprendizado são no sentido de entender: (i) o que são intervalos de confiança e
como interpretá-los; (ii) como realizar testes de hipóteses estatísticas; e (iii) como interpretar testes
de hipóteses.
CONTEXTUALIZANDO
Quão precisas são as estimativas de um parâmetro populacional tiradas de uma amostra
aleatória? Como testar com base em dados amostrais o valor de um parâmetro? Essas perguntas
serão abordadas na presente aula, que tem como foco os dois principais tópicos da inferência
estatística: a estimação do valor de parâmetros e o teste de hipóteses estatísticas.
TEMA 1 – ESTIMADOR PONTUAL
Conforme a aula anterior, somente alguns parâmetros populacionais podem ser estimados de
forma não viesada com base em dados amostrais, no caso a média, a proporção e a variância de uma
população. O desvio padrão pode ser aproximado se a amostra for relativamente grande, mas outros
parâmetros, como a mediana e a amplitude, não podem ser estimados com precisão com base em
amostras.
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O problema de se utilizar estimadores pontuais como esse é que eles não nos indicam quão
boas e precisas essas estimativas são. Para superarmos essa limitação, podemos construir um
intervalo de valores ao redor da estimativa pontual que tenha uma grande probabilidade de incluir o
verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Dois conceitos importantes são o nível de significância e o nível de confiança. O nível de
confiança indica a probabilidade de que o processo de estimação do intervalo contenha o verdadeiro
valor do parâmetro.
A sua interpretação é muitas vezes enganosa, pois um nível de confiança de 95% não indica que
há 95% de probabilidade de um intervalo de confiança específico conter o verdadeiro valor
populacional, por exemplo. Uma vez definido o intervalo, ou ele contém o verdadeiro valor do
parâmetro ou não, não é uma questão probabilística. Como o valor do parâmetro é desconhecido,
nunca sabemos se um intervalo de confiança específico contém o verdadeiro valor do parâmetro ou
não (Pinheiro et al., 2009). O nível de confiança é sobre o processo de estimação.
Suponha que se retirem 100 amostras aleatórias de tamanho n da mesma população e se
calculem os 100 intervalos de confiança. Um nível de confiança de 95% nos diz que dos 100
intervalos, esperamos que 95 deles contenham o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
O nível de significância α (alfa) é a probabilidade de um erro amostral maior que o contido no
intervalo de confiança, é o complemento do nível de confiança. Ou seja, a probabilidade de que o
intervalo não contemple o real valor do parâmetro, em geral fixado em 5% ou 1%, também se trata
de uma propriedade de amostras repetidas, assim como o nível de confiança (Pinheiro et al., 2009).
O intervalo é construído pela adição e subtração do valor da margem de erro d em relação ao
valor do parâmetro θ (Pinheiro et al., 2009).
A probabilidade de o valor do parâmetro estar entre a estimativa pontual e mais ou menos a
margem de erro em amostras repetidas é igual a 1 – α, o nível de confiança. Os dois próximos
tópicos mostram como estimamos esse valor d da margem de erro e como se interpretam seus
resultados para a estimação da média, proporção, variância e desvio padrão de populações.
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TEMA 2 – INTERVALO DE CONFIANÇA
Em geral, escolhe-se um nível de confiança de 95% ou 99%, logo, um nível de significância de
5% ou 1%. O nível de significância é dividido para as duas caudas da distribuição α/2 e seus valores
padronizados são chamados de valores críticos.
Um intervalo de confiança simplesmente calcula uma margem de erro para mais ou para menos
em relação ao valor do estimador pontual. No caso da média populacional, nossa melhor estimativa
pontual é a média amostra .
A tabela 1 a seguir mostra a fórmula da margem de erro se o desvio padrão populacional for
conhecido, o que raramente ocorre na prática, e se o desvio padrão for desconhecido, nesse último
caso, os valores críticos seguem uma distribuição T, que é similar a Z (normal padrão).
Tabela 1 – Margem de erro da média populacional
Margem de erro se σ conhecido Margem de erro se σ desconhecido
E é a margem de erro
Z é a distribuição normal padronizada
α/2 é o nível de significância bicaudal
Zα/2 é o valor crítico positivo e negativo conforme nível de
significância bicaudal
σ é o desvio padrão populacional
n é o tamanho da amostra
E é a margem de erro
T é a distribuição T
α/2 é o nível de significância bicaudal
Tα/2 é o valor crítico positivo e negativo conforme nível de
significância bicaudal
s é o desvio padrão amostral
n é o tamanho da amostra
Construindo um intervalo de confiança para a média populacional:
1. Verifique se o tamanho amostral é maior que 30, se for menor e a população original parecer
ser normalmente distribuída, a amostra é adequada;
2. Se o valor da variância populacional for desconhecido, como geralmente é, ache o valor crítico
bicaudal da distribuição T conforme o número de graus de liberdade da amostra, calculado por
n-1. Se o valor da variância populacional for conhecido, a distribuição utilizada é a normal
padronizada Z e o valor crítico não depende dos graus de liberdade, é obtido diretamente;
3. Calcule a margem de erro conforme alguma das fórmulas acima;
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4. Calcule o valor da margem de erro e adicione e subtraia do valor da média amostral para obter
os limites do intervalo de confiança.
Suponha que você coletou dados sobre a renda per capita de 100 pessoas selecionadas
aleatoriamente. A média obtida foi de R$ 1.000 e o desvio padrão amostral de R$ 100. Calculando o
intervalo de confiança com 5% de significância no software Statdisk:
O desvio padrão populacional não é conhecido, o valor crítico buscado segue a distribuição T
com (n-1) 99 graus de liberdade.
E = R$ 19,84
980,16 < µ < 1019,84
Com 95% de confiança, pode-se dizer que a média populacional da renda per capita da
população estudada está entre R$ 980 e R$ 1020.
TEMA 3 – INTERVALO DE CONFIANÇA, PROPORÇÃO, VARIÂNCIA E
DESVIO PADRÃO
Neste tema, estimaremos uma proporção populacional. As condições para a aproximação da
distribuição binomial pela distribuição normal são satisfeitas. Uma estatística de proporção tirada de
uma amostra aleatória com ao menos 30 unidades é a melhor estimativa da proporção populacional.
O valor da proporção amostral é chamado de estimativa pontual da proporção populacional.
A margem de erro pode ser encontrada na fórmula a seguir:
Margem de erro da proporção populacional
E é a margem de erro
Z é a distribuição normal padrão
α/2 é o nível de significância bicaudal
Zα/2 é o valor crítico positivo e negativo conforme nível de significância bicaudal
 é a proporção amostral de sucessos
 é a proporção amostral de fracassos
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n é o tamanho da amostra
Procedimento para construção de intervalos de confiança para p:
1. Verificar se as condições para a aproximação da distribuição binomialpela distribuição normal
são satisfeitas;
2. Ache os valores críticos bicaudais correspondentes ao grau de confiança desejado;
3. Calcule a margem de erro;
4. Calcule o valor da margem de erro e adicione e subtraia do valor da proporção amostral para
obter os limites do intervalo de confiança.
Suponha que tenhamos coletado aleatoriamente a opinião de 1000 pessoas sobre a aprovação
ou não de um projeto de lei. A proporção de aprovação na amostra foi de 38%. Calculando o
intervalo de confiança com 5% de significância no Statdisk:
E aproximadamente 3%
35% < p < 41%
Com 95% de confiança, pode-se dizer que a proporção populacional de pessoas que aprovam o
projeto de lei específico na população estudada está entre 35% e 41%.
Estimando o intervalo de confiança para a variância e desvio padrão:
O parâmetro não viesado para estimação pontual é a variância, mas pode-se aproximar também
o desvio padrão, as fórmulas para o cálculo de intervalos de confiança estão dadas a seguir:
Margem de erro da variância Margem de erro do desvio padrão
 é a variância populacional estimada
n é o tamanho da amostra
 é a variância amostral
 valor crítico acumulado à direita
 valor crítico acumulado à esquerda
Os valores críticos dependem do nível de significância α
escolhido bicaudal
σ é o desvio padrão populacional estimado
n é o tamanho da amostra
 é a variância amostral
 valor crítico acumulado à direita
 valor crítico acumulado à esquerda
Os valores críticos dependem do nível de significância α
escolhido bicaudal
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Procedimento de cálculo do intervalo de confiança da variância e do desvio padrão
populacional
1. Verifique se a população tem distribuição normal, essa exigência é fundamental e deve ser
cumprida mesmo que a amostra seja grande;
2. Identifique o n da amostra e seus graus de liberdade (n-1);
3. Encontre a estimativa pontual de ;
4. Encontre os valores críticos direito  e  esquerdo conforme o nível de confiança. Lembre-se
que a distribuição chi-quadrado não é simétrica, o valor do lado direito e esquerdo não é o
mesmo, dê preferência por calcular em softwares, já que encontrar esses valores é
relativamente trabalhoso;
5. Calcule os valores extremos direito e esquerdo e determine o intervalo de confiança ao subtrair
o lado esquerdo e adicionar o direito da estimativa pontual;
6. Se o interesse for calcular o desvio padrão, retire a raiz quadrada dos extremos e do valor da
variância (Larson, Farber, 2010).
Suponha que vendamos caixas de suco de 1 litro (1.000 ml), coletamos aleatoriamente 2000
caixas e as pesamos. A média realmente é 1000 ml e o desvio padrão amostral é de 10 ml. Desejamos
saber com maior precisão o quanto nossas caixas de suco variam, para isso, estimamos com 5% de
significância um intervalo de confiança do desvio padrão no software Statdisk.
Nossa amostra segue uma distribuição normal, como o exigido.
9,69 < σ < 10,31
Com 95% de confiança, o desvio padrão populacional da produção de sucos em relação à média
fica entre 9,69 ml e 10,31 mls.
TEMA 4 – TESTE DE HIPÓTESES ESTATÍSTICAS
Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre uma propriedade de uma população.
O teste de hipóteses é um procedimento para o teste de uma afirmação sobre o parâmetro de
uma população com base em dados amostrais e visa distinguir resultados que facilmente ocorreriam
por acaso de resultados que muito provavelmente não ocorreriam por acaso (Triola, 2006).
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É possível realizar testes de hipóteses sobre a média, a proporção, a variância e o desvio padrão
populacionais, pelas mesmas razões que é possível obter estimativas não viesadas e eficientes desses
mesmos parâmetros e construir intervalos de confiança, como visto acima.
É preciso formular duas hipóteses. A hipótese nula   em geral é formulada como uma
igualdade, e o parâmetro populacional testado é considerado igual a um número específico. A
hipótese alternativa  contradiz a hipótese nula, colocando que o parâmetro testado é diferente,
maior ou menor do que o valor colocado na hipótese nula (Sartoris, 2006).
O nível de significância é a probabilidade por meio da qual obter um resultado tão extremo na
amostra em relação ao valor que se considera que o parâmetro possua é considerado algo não vindo
do acaso, mas uma prova de que o valor considerado do parâmetro na hipótese nula está errado. Ele
nos dá o valor crítico por meio do qual se rejeita ou se falha em rejeitar a hipótese nula. Ele pode
ser unicaudal, se a hipótese alternativa sugerir que o valor do parâmetro é maior ou menor que certo
número; ou bicaudal, quando a hipótese alternativa coloca que o valor do parâmetro é diferente do
valor expresso na hipótese nula (Sartoris, 2006).
Para cada tipo de parâmetro testado, há fórmulas diferentes que geram um valor chamado
estatística de teste, que é comparado com o valor crítico, e, com base nessa comparação, testa-se a
validade da hipótese nula (Triola, 2006).
A região crítica (ou de rejeição) é o conjunto de todos os valores para os quais a estatística de
teste leva à rejeição da hipótese nula (Triola, 2006). O nível de significância é a probabilidade de que
a estatística de teste caia na região crítica quando a hipótese nula na verdade é verdadeira, é o risco
de rejeitar uma hipótese nula quando ela é verdadeira (Triola, 2006).
O Valor-p é a probabilidade de se obter um valor da estatística de teste ao menos tão extremo
quanto o obtido por meio dos dados amostrais. Assumindo que a hipótese nula é verdadeira, em
geral valores de 0,05 ou menores são considerados como pouco prováveis de ocorrer por acaso e
levam à rejeição da hipótese nula (Triola, 2006).
O teste sempre tem como base a hipótese nula, e as conclusões podem levar (i) à rejeição da
hipótese nula, se o valor da estatística de teste cair na região crítica; ou (ii) à falha em rejeitar a
hipótese nula, se a estatística de teste não cai na região crítica (Triola, 2006).
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Pode-se cometer um erro do tipo I, quando se rejeita uma hipótese nula que, na verdade, é
verdadeira, representada pelo nível de significância do teste α; ou um erro do tipo II, quando se falha
em rejeitar a hipótese nula quando ela na verdade é falsa (Triola, 2006).
Testando uma afirmação sobre uma média populacional
A amostra tem ao menos 30 elementos ou a população de origem é normalmente distribuída. Se
o valor do desvio padrão populacional é conhecido, usa-se a distribuição normal Z, se não, é preciso
utilizar a distribuição T. Em geral, não se conhece o desvio padrão populacional.
Procedimento para o teste de hipótese:
1. Identifique sua hipótese nula e sua hipótese alternativa;
2. Escolha o nível de significância α;
3. Calcule a estatística de teste conforme a fórmula;
4. Determine o valor e a área crítica. A distribuição t varia conforme o número de graus de
liberdade da amostra, determinado por n-1;
5. Encontre o valor-p;
6. Compare o valor da estatística de teste com o valor crítico e interprete o resultado no contexto
da afirmação inicial.
Suponha que sua empresa produza peças industriais. O diâmetro padrão de uma peça é 10 cm.
Após coletarmos uma amostra aleatória de 30 peças, medimos e descobrimos que a média foi
de 9,9 cm, abaixo da média padronizada. Como estar no tamanho especificado é importante,
testamos se as peças têm realmente média de 10 cm, considerando o desvio padrão amostral de 0,1
cm no software Statdisk com 95% de confiança.
 – µ = 10 cm (média populacional é 10 cm);
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 - µ < 10 cm (média populacional é menor que 10 cm);
Estatística de teste t = - 5,4772;
Valor crítico de t (29 graus de liberdade unicaudal) = - 1,6991;
Valor-p = 0,0000.
Como o valor da estatística de teste é bem superior ao valor crítico, rejeitamosa hipótese nula.
Dados da amostra indicam que a média populacional do diâmetro das peças é menor que 10 cm, ou
seja, as peças estão fora do padrão especificado.
TEMA 5 – TESTE DE HIPÓTESE DE PROPORÇÃO, VARIÂNCIA E
DESVIO PADRÃO
Para testar uma afirmação sobre uma proporção populacional, usa-se a distribuição normal
como uma aproximação da distribuição binomial. Condição que np ≥ 5 e nq ≥ 5. Fórmula da
estatística de teste abaixo.
Estatística de teste para a proporção populacional
Z é o valor da estatística de teste
 é a proporção amostral estimada do sucesso
p é a proporção populacional de sucesso considerada
q é a proporção populacional de fracasso
n é o tamanho da amostra
Procedimento para o teste de hipótese:
1. Identifique sua hipótese nula e sua hipótese alternativa;
2. Escolha o nível de significância α;
3. Calcule a estatística de teste conforme a fórmula;
4. Determine o valor e a área crítica uni ou bicaudal;
5. Encontre o valor-p;
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6. Compare o valor da estatística de teste com o valor crítico e interprete o resultado no contexto
da afirmação inicial.
Suponha que queiramos testar a afirmação de que 20% dos brasileiros preferem carros da cor
preta, dita por uma pesquisa de mercado. Para isso, criamos uma amostra aleatória de 100 brasileiros
e obtemos uma proporção de 25% que preferem carros da cor preta. Testamos essa hipótese no
software Statdisk, adotando um nível de confiança de 95%.
 – p =20% (20% preferem carros da cor preta);
 – p > 20% (mais de 20% preferem carros da cor preta);
 = 0,25; q = 0,8, p = 0,2, n = 100;
Estatística de teste Z – 1,25;
Valor crítico Z (unicaudal) – 1,6449;
Valor-p – 0,1056.
Com 95% de confiança, acabamos por não rejeitar a hipótese nula. Apesar de a proporção
amostral ser maior que a afirmação sobre a proporção populacional, os resultados não são extremos
o suficiente para nos levar a rejeitar a hipótese nula de que 20% dos brasileiros preferem carros da
cor preta.
Testando uma afirmação sobre o desvio padrão ou variância populacional
A população tem distribuição normal, essa é uma exigência mais forte para esse tipo de
parâmetro do que a que ocorre nos testes de médias e proporções. A distribuição da estatística de
teste é a , com n-1 graus de liberdade.
Estatística de teste para a variância ou desvio padrão populacional
 é o valor da estatística de teste chi-quadrado
n é o tamanho da amostra
 é a variância amostra
é a variância populacional
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Procedimentos para o teste de hipótese:
1. Construa a afirmação verbal e matemática identificando as hipóteses nula e alternativa;
2. Escolha o nível de significância;
3. Determine os graus de liberdade n-1;
4. Determine os valores críticos e as regiões de rejeição. Lembre-se de que a distribuição chi-
quadrado não é simétrica, o valor do lado direito e esquerdo não é igual com sinal trocado. Dê
preferência por calcular em softwares, já que encontrar esses valores é relativamente
trabalhoso;
5. Calcule a estatística de teste;
6. Compare o valor da estatística de teste e os valores críticos e escolha entre a rejeição ou a falha
em rejeitar a hipótese nula.
Suponha que você tenha uma máquina empacotadora automática de trigo que afirma
empacotar sacos com média de 100 quilos e desvio padrão de 0,5 quilos. Você está desconfiado de
que a máquina empacota sacos com maior variabilidade do que esse desvio padrão sugere. Para isso,
você seleciona aleatoriamente 50 sacos de trigo e os mede. A média amostral foi realmente de 100
quilos, já o desvio padrão amostral foi de 0,8 quilos. Utilizando o software Statdisk e 95% de
confiança você testa:
 – σ = 0,5 quilos
 – σ ≠ 0,5 quilos
Os dados seguem estritamente uma distribuição normal, como é exigido para esse teste, e o
teste é sobre uma afirmação que leva a valores críticos bicaudais.
Estatística de teste Chi-quadrado – 125,44;
Valor crítico inferior – 31,55;
Valor crítico superior – 70,22;
Valor-p – 0,0000.
Os dados indicam que, com 95% de confiança, podemos rejeitar a hipótese nula de que o desvio
padrão é 0,5 quilos. O desvio padrão parece ser maior que 0,5 quilos, não seguindo o que o
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fabricante afirmou.
TROCANDO IDEIAS
Em um fórum, discuta as potencialidades e os limites do uso de intervalos de confiança e do
teste de hipóteses em situações reais.
NA PRÁTICA
A proposta é aprender a calcular intervalos de confiança no Statdisk on-line. Considere os
seguintes dados: uma amostra aleatória com 1500 pessoas indicou que 20% (300) aprovam um novo
projeto de lei. Calcule o intervalo de confiança dessa proporção amostral. Os passos são:
1. Entre no Statdisk on-line;
2. Clique na opção Analysis na barra superior;
3. Clique em Confidence Interval e na primeira opção – Proportion one sample;
4. Coloque na primeira opção Confidence Level (Nível de Confiança) 0,95, equivalente a um nível
de confiança de 95%;
5. Em Sample Size, n coloque o tamanho da amostra;
6. Em Number of Sucesses, x coloque o número de sucessos, ou seja, de pessoas que aprovam o
novo projeto de lei na amostra;
7. Clique em Evaluate;
8. Obtenha os resultados na terceira linha 95% Confidence Interval (using normal approx);
9. Os resultados da terceira linha estão em números decimais, multiplique por 100, arredonde e
adicione o símbolo de %;
10. Interprete os resultados. Qual é o intervalo de confiança da proporção de pessoas que aprovam
o projeto de lei? Trata-se de um projeto com alta taxa de aprovação?
FINALIZANDO
Nesta aula, aprofundamos as técnicas e o entendimento da estatística inferencial por meio dos
aprendizados das aulas anteriores. Aprendemos como construir e interpretar intervalos de estimação
de parâmetros e como formular e testar hipóteses sobre o valor desses parâmetros. O importante
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aqui é o entendimento dos conceitos, da lógica dos procedimentos e da interpretação dos
resultados, e não a realização de cálculos trabalhosos que são hoje facilmente realizáveis em
softwares estatísticos. A próxima aula apresentará a análise da relação entre duas variáveis, a
chamada estatística bivariada.
REFERÊNCIAS
LARSON, R.; FARBER, B. Intervalos de confiança. In: LARSON, R.; FARBER, B. (Orgs.). Estatística
Aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. p. 250-291.
PINHEIRO, J. I. D.; CUNHA, S. B. da.; CARVAJAL, S. R.; GOMES, G. C. Estimação de parâmetros. In:
PINHEIRO, J. I. D.; CUNHA, S. B. da.; CARVAJAL, S. R.; GOMES, G. C. (Orgs.). Estatística Básica: a arte
de trabalhar com dados. São Paulo: Elsevier, 2009. p. 175-211.
SARTORIS, A. Estimação. In: SARTORIS, A. (Org.). Estatística e introdução à econometria. São
Paulo: Saraiva, 2008. p. 127-157.
TRIOLA, M. F. Estimativas e tamanho amostral. In: TRIOLA, M. F. (Org.). Estatística Elementar. 10.
ed. Boston: Pearson Prentice Hall, 2006. p. 244-317.
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ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa
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CONVERSA INICIAL
As aulas anteriores focaram quase que exclusivamente na análise de uma variável X; porém, na
economia, é mais comum o foco da análise ser na relação entre duas ou mais variáveis. Nesta aula,
abordaremos as noções de conjuntos de dados pareados e de análise de correlação. Esses conceitos
são fundamentais para a preparação para nossa futura aula de econometria, que possui como objeto
fundamental a modelagem da relação entre variáveis econômicas e do contexto social. Nesse
sentido, nossos esforços de aprendizado nesta aula são no sentido de entender:
a. o que são conjuntos de dados bivariados;
b. o que é correlação;c. como calcular e interpretar o coeficiente de correlação;
d. o que correlações dizem sobre o mundo real e a relação entre variáveis.
CONTEXTUALIZANDO
Quão forte é a ligação entre variáveis como o preço de uma ação X e o preço de outra ação Y? E
a ligação entre anos de estudo e renda futura? Entre uma queda na taxa básica de juros e a taxa de
crescimento econômico posterior? A força dessas relações pode ser estimada mediante análise de
correlação entre duas variáveis. Há formas mais complexas e detalhadas de se analisar essas relações,
como por meio da análise de regressão; contudo, esse assunto será abordado na aula de
econometria. Como sempre foi enfatizado, o objetivo é o entendimento dos conceitos, de sua
aplicação e interpretação dos resultados, não a realização de cálculos, hoje facilmente realizáveis com
uso de softwares estatísticos.
TEMA 1 – ESTATÍSTICA BIVARIADA
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As aulas anteriores se concentraram na descrição e na realização de inferências sobre uma
variável X, a chamada estatística univariada. Suas aplicações na economia são diversas; contudo,
muitas vezes nosso interesse não está em conhecer as propriedades de uma variável sozinha, mas em
saber qual a relação entre variáveis e como prever o comportamento de uma variável com base no
comportamento de outras variáveis relacionadas, a chamada estatística bivariada, que trata da
relação ou comparação entre duas variáveis. Por fim, há o que designamos estatística multivariada,
que ocorre quando o número de variáveis comparadas for três ou mais.
As estatísticas bi e multivariada formam a base da Econometria, disciplina a ser ensinada no
último ano do nosso curso e que representa uma combinação da estatística, da teoria econômica e
da matemática aplicada à modelagem econômica. As técnicas da estatística univariada ensinadas nas
aulas anteriores serão úteis, para nós, tanto nas aplicações que envolvam somente uma variável,
como num melhor entendimento de problemas que necessitem da estatística bi e/ou multivariada.
Nossa aula vai apresentar alguns conceitos básicos da estatística bivariada e uma de suas
principais técnicas, a análise de correlação. Nosso objetivo é iniciar o estudo da força e do sentido da
relação entre duas variáveis, que será aprofundado na disciplina de Econometria.    Antes de
iniciarmos o estudo da análise de correlação, alguns conceitos iniciais da estatística bivariada devem
ser apresentados.
Em um conjunto de n pares de dados (Xi, Yi), cada valor de Xi está ligado a um valor de
específico de Yi (Hoffman, 2006). A relação entre a variável X e a variável Y pode ser forte, fraca ou
inexistente; assim como positiva – quando, conforme o valor de X aumenta, o de Y aumenta também
– ou negativa, quando ocorre o contrário. Uma das formas de se visualizar a relação entre duas
variáveis é se construindo um diagrama de dispersão, que é um gráfico que contém um eixo X
horizontal e outro eixo Y vertical, em um plano cartesiano e no qual se coloca o par ordenado de
dados (Xi, Yi) como pontos, no eixo. O Gráfico 1 é um exemplo de um diagrama de dispersão das
variáveis X e Y, cujos dados são fictícios.
Gráfico 1 – Diagrama de dispersão dos dados fictícios X e Y
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Nota-se que, conforme o valor de X aumenta, o de Y tende a aumentar também, indicando uma
relação positiva entre X e Y. O próximo tópico define melhor o que é correlação.
TEMA 2 – COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
Uma correlação existe entre duas variáveis quando uma delas está relacionada à outra em
termos numéricos (Triola, 2006). Há diversas formas de se analisar a associação entre variáveis, e as
mais comuns são a análise de correlação e a análise de regressão (esta última a ser ensinada na nossa
futura disciplina de Econometria).
A correlação mede a força e a direção de relações entre duas variáveis. Sua forma mais comum é
o coeficiente de correlação de Pearson, que mede a relação linear entre X e Y. Relações lineares são
como retas no plano cartesiano; relações no mundo real muito raramente são perfeitamente lineares,
mas muitas se aproximam de um padrão assim. Os Gráficos 2 e 3 mostram, respectivamente,
situações em que a relação entre as variáveis são lineares e situações em que há uma relação entre as
variáveis, mas ela não é linear.
Gráfico 2 – Exemplo de uma relação linear entre X e Y
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Gráfico 3 – Exemplo de uma relação não linear entre X e Y
Há outros tipos de relação entre variáveis que não são lineares, logo não são bem capturadas
por esse coeficiente.
Para cada unidade amostral, se coleta um par de dados sobre duas variáveis de que se deseja
conhecer a relação. Se há alguma relação entre as variáveis, um padrão emerge e uma direção da
relação pode ser notada (Triola, 2006). O coeficiente de correlação linear r mede a força da relação
linear entre dados pareados das variáveis X e Y, em uma amostra:
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 .
Valor de r próximo a zero indica que não há correlação linear entre X e Y: quanto mais próximo,
esse valor, de 1 ou -1, mais forte a correlação. Valores positivos do coeficiente r indicam uma relação
positiva entre as variáveis: o aumento de uma das variáveis é, em geral, acompanhado por um
aumento na outra variável. Já valores negativos de r indicam variáveis que caminham em direções
opostas: o aumento de uma é, em geral, acompanhado por queda na outra variável.
O coeficiente linear de correlação r tem seu valor entre -1 e 1, e o valor do coeficiente não muda
se todos os valores de uma das variáveis são convertidos para uma escala diferente. O valor é o
mesmo: não importando qual variável é X ou Y, o coeficiente mede a força de relações lineares, não
relações que sejam não lineares (Triola, 2006). Contudo, correlação não implica relação de
causalidade entre as variáveis analisadas, como será visto mais à frente.
TEMA 3 – EXEMPLOS DE CORRELAÇÃO
É fácil notar, visualmente, a força e a direção da correlação entre duas variáveis com base na
construção de diagramas de dispersão (scatterplots). Os cinco gráficos a seguir (Gráficos 4-8) retratam
os diferentes tipos de correlação e seu padrão visual, com emprego de dados fictícios.
Gráfico 4 – Correlação positiva e forte: valor de r próximo a 1
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Gráfico 5 – Correlação positiva e relativamente fraca: valor de r próximo a 0,5
Gráfico 6 – Correlação negativa e forte: valor de r próximo a -1
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Gráfico 7 – Correlação negativa e relativamente fraca: valor de r próximo a -0,5
Gráfico 8 – Correlação fraca: valor de r próximo a zero
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Quanto mais próximos de uma linha os pontos, mais forte a correlação. Correlações muito fracas
parecem mais uma nuvem de pontos dispersos no plano cartesiano, como mostra o Gráfico 8. O
Quadro 1 ilustra alguns exemplos de correlações positivas e negativas esperadas entre variáveis
econômicas e sociais, de acordo com as teorias mais comuns.
Quadro 1 – Correlações esperadas entre algumas variáveis econômicas e sociais
Variáveis econômicas e sociais com correlação positiva
esperada
Variáveis econômicas e sociais com correlação negativa
esperada
Produto interno bruto (PIB) per capita e número médio de
anos de escolaridade
Preço de um produto e quantidade/demanda do mesmo
produto
PIB per capita e expectativa de vida ao nascer Taxa de crescimento econômico e taxa de desemprego
Renda dos consumidores e gastos com consumo PIB per capita e taxa de analfabetismo
TEMA 4 – TESTE DE HIPÓTESE DE CORRELAÇÃO
Muitas vezes, o conjunto de pares de dados utilizados na análise de regressão provém de uma
amostra.É possível testar a hipótese de significância do coeficiente de correlação de Pearson entre as
duas variáveis, em termos populacionais, com base nos dados amostrais.
O parâmetro ρ (rô) é o coeficiente de correlação populacional entre X e Y, um valor fixo e muitas
vezes desconhecido. A partir da coleta de uma amostra aleatória de pares de dados, calcula-se o
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coeficiente de correlação de Pearson amostral r (Hoffman, 2006). O teste de hipótese fica assim: Ho –
ρ = 0, ou seja, não há relação positiva ou negativa significativa entre X e Y; se Ho – ρ ≠ 0, com ou ρ >
0 ou ρ < 0, há uma relação entre X e Y que é significativamente diferente de zero. Pode-se postular
que a relação é diferente de zero e que ela pode ser tanto positiva quanto negativa; ou se pode
afirmar que a relação é positiva ou negativa.
O procedimento para o teste da força do coeficiente de correlação ρ abrange:
a. determine o número de pares de dados na amostra;
b. especifique um nível de significância;
c. identifique o valor crítico correspondente (uni ou bicaudal);
d. determine se | r |> valor crítico; se sim, correlação é estatisticamente significante; caso contrário,
correlação amostral não é significante;
e. interprete o resultado conforme afirmação original.
Em geral, a hipótese nula é formulada como se ρ = 0, ou seja, não há correlação entre as
variáveis populacionais e a hipótese alternativa bicaudal ou unicaudal ρ ≠ 0 ou ρ ≥ 0 ou ρ ≤ 0. Testa-
se, pelo cálculo de t, se a correlação entre duas variáveis for significante:
 .
Segue-se uma distribuição t, com n-2 graus de liberdade. Se o valor em módulo de r for maior
que o valor crítico identificado, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, a evidência da amostra corrobora a
hipótese alternativa de que há, sim, uma relação entre X e Y, e o sinal do coeficiente de correlação vai
indicar se a relação é positiva ou negativa.
TEMA 5 – CORRELAÇÃO E CAUSALIDADE
A análise de correlação ajuda a estimar a direção e a força da relação linear entre duas variáveis;
contudo, ela não nos diz se há alguma relação de causa e efeito entre as variáveis analisadas.
Relações de causa e efeito geralmente provêm de teorias de fora da estatística, como a teoria
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econômica. A estatística serve para testar essa teoria e para estimar relações na prática, mas não diz
nada sobre mecanismos causais. A interpretação dos resultados da análise de correlação deve ser
feita à luz dessas teorias externas à estatística.
Há três possibilidades quanto a relações de causa e efeito, em casos que os coeficientes de
correlação são elevados:
1. Há uma relação direta de causa e efeito real entre X e Y, e essa conclusão geralmente requer o
apoio de uma teoria desenvolvida em outras áreas da ciência. Porém, a correlação em si não diz
qual variável causa qual, o que exige, novamente, que se recorra a teorias externas à estatística.
Por exemplo, se a análise de correlação da taxa de crescimento econômico de alguns países se
correlacionar, de forma forte, com a taxa de aumento no consumo, pode-se dizer que há uma
relação entre aumentos na renda das famílias e aumentos no nível de consumo. E é a teoria
econômica que fundamenta esse mecanismo causal e diz qual variável afetou qual.
2. Há uma relação indireta entre as variáveis, que não é causal em si. Nesses casos, há fatores
externos anteriores que alteraram ambas as variáveis, fazendo com que a correlação fosse forte,
porém sem ligação direta através de algum mecanismo causal. Novamente, as teorias nos
dizem qual a ordem de causalidade. Um exemplo: suponha que haja uma correlação entre o
número de pessoas que usam cachecóis e o número de pessoas gripadas – o uso de cachecóis
causou um aumento nos casos de gripe ou vice-versa? Na verdade, nenhuma das duas
hipóteses são verdadeiras! um terceiro fator externo ocasionou o aumento simultâneo das duas
variáveis, no caso a temperatura fria, que fez as pessoas usarem cachecol mais frequentemente
e aumentou a transmissão da gripe. Por sinal, o frio, em si, não causa a gripe, mas tende a
aumentar sua incidência, por uma variedade de fatores.
3. Houve uma coincidência: apesar de o coeficiente de correlação ser alto, as duas variáveis não
têm ligação nenhuma, seja direta, seja indireta. Um exemplo disso é a correlação positiva e
muito forte (r > 0,99) entre o consumo de queijo muçarela, per capita, nos EUA, e o número de
doutorados concluídos no país em engenharia civil entre 2000 a 2009 (Vigen, 2015). Não há
nenhuma teoria que indique que ambas as variáveis possuem algum tipo de relação, nem o
senso comum assim o diz. Logo, essa correlação, apesar de ser bem forte, é uma coincidência e
não diz nada sobre a existência de alguma relação entre essas variáveis.
Muitos enganos são feitos ao se confundir os conceitos de correlação e causalidade, seja direta,
seja indireta. Para os economistas, as teorias econômicas fornecem a base para o entendimento das
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relações entre as variáveis econômicas e do contexto.
TROCANDO IDEIAS
Em um fórum on-line, pense e descreva situações em que há correlação entre variáveis. Há
algum suporte teórico, nelas, que diga qual variável causa qual e se há fatores externos que
interferem na relação descrita?
NA PRÁTICA
A proposta é acessar o software estatístico Statdisk Online (2004-2021) e calcular o coeficiente
de correlação entre duas variáveis (Tabela 1):
1. o PIB per capita, em 2010, de 15 países de diferentes regiões e níveis de desenvolvimento do
mundo, com base em dólares de 2011;
2. a média de anos de estudo de pessoas com 15 anos ou mais, em 2010, nesses mesmos países.
Tabela 1 – PIB per capita em 2010 (em dólares de 2011) e média de anos de estudo de pessoas
com 15 anos ou mais nos países pesquisados
PAÍS PIB PER CAPITA 2010 – US$ (2011) MÉDIA DE ANOS DE ESTUDO (15 anos ou mais)
África do Sul 11.389 9,89
Albânia 9.545 10,44
Argentina 15.842 9,71
Austrália 44.855 11,69
Bélgica 38.178 11,29
Brasil 13.541 8,17
Camarões 2.685 6,41
Chile 18.093 10,35
China 9.337 8,25
El Salvador 6.097 8,06
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Haiti 1.650 5,17
Holanda 44.004 11,71
Irã 17.328 9,15
Malásia 17.913 10,89
Marrocos 6.422 5,27
Fonte: Adaptado de Correlacion, [201-].
Os passos para a realização da atividade são:
a. acesse o site do Statdisk Online (2004-2021) em: <https://www.statdisk.com/accounts/login/?ne
xt=/>;
b. entre em sua conta;
c. o programa vai abrir sua página inicial com uma planilha vazia;
d. copie e cole as três colunas de dados da Tabela 1, não copie a primeira linha com o título – país,
PIB per capita 2010 (US$ 2011) e média de anos de estudo (15 anos ou mais);
e. após colar, clique em Analysis e na opção Correlation and Regression;
f. na caixa Significance, coloque 0,05; na caixa rolante X Variable Column, coloque 2; e, na Y
Variable Column, coloque 3;
g. clique em Evaluate – o valor do coeficiente de correlação é o quarto resultado: Correlation coeff.
r;
h. identifique o valor do coeficiente e interprete seus resultados: qual a força e a direção da
relação entre as variáveis;
i. analise se, na sua opinião, a relação entre as duas variáveis é causal ou não; se for causal, qual a
causa e qual o efeito – saiba que a relação entre escolaridade e nível de riqueza de um país é
um assunto polêmico na economia; há relações óbvias, porém a causalidade pode vir de ambos
os lados, ou seja, um aumento na renda permite às pessoas estudarem mais e, ao mesmo
tempo, um aumento no tempo que as pessoas estudam está associado a um aumento de sua
produtividade; logo, aumentos na escolarização de uma população estão associados ao
crescimento econômico.
FINALIZANDO
https://www.statdisk.com/accounts/login/?next=/
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Nossa aula nos introduziu a estatística bivariada e a importância da análise das relações entre
variáveis, para os economistas. Esses tópicos serão mais bem explorados na disciplina de
Econometria, no futuro. O importante a ter em mente é que cálculos estatísticos, hoje, são facilmente
realizados com uso de softwares, e o fundamental, para a estatística atual, é entender os conceitos,
seu modo de aplicação e como interpretar os resultados obtidos.
REFERÊNCIAS
CORRELATION between mean Years of schooling and GDP per capita, 2010. Our World in Data,
[201-]. Disponível em: <https://ourworldindata.org/grapher/correlation-between-mean-years-of-
schooling-and-gdp-per-capita>. Acesso em: 1 nov. 2021.
HOFFMAN, R. Correlação e regressão. In: _____. Estatística para economistas. 4. ed. São Paulo:
Cengage Learning, 2006. p. 279-308.
STATDISK ONLINE. [S.l.]: Triola Stats, 2004-2021. Disponível em:
<https://www.statdisk.com/accounts/login/?next=/>. Acesso em: 1 nov. 2021.
TRIOLA, M. F. Correlação e regressão. In: _____. Estatística elementar. 10. ed. Boston: Pearson
Prentice Hall, 2006. p. 514-587.
VIGEN, T. Spurious Correlations. Nova York: Hachette Books, 2015.